Troisième / Identités remarquables

Ex. 1★★★Automatismes : le carré d'une somme — Développe chaque carré.

Ex. 2★★★Automatismes : je nomme a et b — Pour chaque carré, écris qui est $a$ et qui est $b$, puis développe.

Ex. 3★★★Retrouve les termes manquants — Complète les pointillés pour que chaque égalité soit vraie pour tout $x$.

1. a$(x + \ldots)^2 = x^2 + 60x + \ldots$
2. b$(\ldots + 1)^2 = 4x^2 + \ldots + 1$
3. c$(3x + \ldots)^2 = \ldots + 42x + 49$
4. d$(\ldots + \ldots)^2 = 25x^2 + 40x + 16$
5. e$\left(x + \ldots\right)^2 = x^2 + \dfrac{2}{5}x + \ldots$

Ex. 4★★★Les erreurs d'Inès — Inès a développé ces carrés, mais chaque ligne contient une erreur. Trouve-la, puis écris le bon développement.

1. a$(x + 6)^2 = x^2 + 36$. Teste avec $x = 1$, puis corrige.
2. b$(8x + 3)^2 = 8x^2 + 48x + 9$
3. c$(6x + 7)^2 = 36x^2 + 13x + 49$
4. d$\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 = x^2 + \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{9}$

Ex. 5★★★Deux méthodes pour un même carré — On considère l'expression $E = (4x + 3)^2$.

1. aDéveloppe $E = (4x + 3)(4x + 3)$ par double distributivité, en écrivant les quatre produits.
2. bDéveloppe $E$ avec l'identité remarquable, en nommant $a$ et $b$. Compare avec la question précédente.
3. cCalcule $E$ pour $x = 3$ avec la forme $(4x + 3)^2$, puis avec la forme développée.
4. dDéveloppe et réduis $F = (4x + 3)^2 - (x + 2)^2$.

Ex. 6★★★Le pari de Malik et Lou — Malik affirme : « Pour tout nombre $x$, $(3x + 4)^2 = 9x^2 + 24x + 16$. » Lou affirme : « Pour tout nombre $x$, $(3x + 4)^2 = 3x^2 + 12x + 16$. »

1. aComplète le tableau :

   $x$	$0$	$1$	$-1$
   $(3x + 4)^2$
   $9x^2 + 24x + 16$
   $3x^2 + 12x + 16$

2. bLe tableau suffit-il à prouver que Malik a raison ? Justifie.
3. cProuve que Malik a raison en développant $(3x + 4)^2$ avec une identité remarquable.
4. dLe tableau suffit-il à prouver que Lou a tort ? Justifie, puis explique ses deux erreurs.
5. eMalik écrit ensuite $\left(\frac{x}{2} + 3\right)^2 = \frac{x^2}{2} + 3x + 9$. Vrai ou faux ? Justifie, puis donne le bon développement.

Ex. 7★★★Le programme de calcul de Nadia — Nadia propose ce programme : choisir un nombre ; lui ajouter $0{,}3$ ; élever le résultat au carré ; soustraire le carré du nombre de départ.

1. aApplique le programme au nombre $2$, en écrivant chaque étape.
2. bApplique le programme au nombre $-1$, en écrivant chaque étape.
3. cOn note $x$ le nombre de départ. Exprime le résultat du programme en fonction de $x$, développé et réduit.
4. dQuel nombre de départ faut-il choisir pour obtenir $3{,}09$ ? Justifie.

Ex. 8★★★Le carré découpé de Sacha — Sacha dessine un carré de côté $2a + b$ (en cm, avec $a$ et $b$ positifs). Il le découpe en un carré de côté $2a$, un carré de côté $b$ et deux rectangles de dimensions $2a$ et $b$.

1. aExprime la somme des aires des quatre morceaux en fonction de $a$ et $b$, puis réduis-la.
2. bÉcris $(2a + b)^2 = (2a + b)(2a + b)$ et développe par double distributivité, avec les quatre produits. Que constates-tu ?
3. cPour $a = 4$ et $b = 3$, calcule l'aire du grand carré de deux façons différentes.
4. dSacha développe $(x^2 + 2)^2$ et écrit $x^4 + 4$. Prouve qu'il se trompe avec $x = 1$, puis donne le bon développement en nommant $a$ et $b$.

Ex. 9★★★Développer en ligne — Développe et réduis chaque expression avec l'identité $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Ex. 10★★★Qui est a, qui est b ? — Pour chaque expression, écris le premier terme $a$ et le second terme $b$ de la différence, puis développe et réduis.

Ex. 11★★★Le cahier d'Inès — Inès a développé quatre carrés, mais chaque ligne contient une erreur. Pour chaque ligne, repère l'erreur puis écris le bon développement.

1. a$(x - 7)^2 = x^2 - 14x - 49$
2. b$(x - 10)^2 = x^2 - 100$
3. c$(2x - 9)^2 = 2x^2 - 36x + 81$
4. d$\left(\dfrac{x}{4} - 2\right)^2 = \dfrac{x^2}{16} - 4x + 4$

Ex. 12★★★Le test de Lucas — Lucas pense que, pour tout nombre $x$, $(x - 6)^2 = x^2 - 6x + 36$. Il teste son idée dans un tableau.

1. aComplète le tableau.
2. bLucas dit : « Pour $x = 0$, j'obtiens la même valeur, donc l'égalité est vraie pour tout $x$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cDéveloppe $(x - 6)^2$ et explique l'erreur de Lucas.

Ex. 13★★★Vrai ou faux ? — Pour chaque égalité, dis si elle est vraie pour tout nombre $x$. Justifie : développe pour prouver, ou donne un contre-exemple pour réfuter.

1. a$(4 - x)^2 = (x - 4)^2$
2. b$(x - 1)^2 - (x - 12)^2 = 22x - 143$
3. c$-(x - 3)^2 = (3 - x)^2$
4. d$(0{,}3x - 2)^2 = 0{,}09x^2 - 0{,}6x + 4$

Ex. 14★★★Le programme du club de Vannes — Au club de maths de Vannes, on propose ce programme de calcul : « Choisis un nombre. Soustrais-lui $4$. Élève le résultat au carré. Ajoute $8$ fois le nombre de départ. »

1. aApplique le programme au nombre $3$.
2. bApplique le programme au nombre $-2$.
3. cApplique le programme au nombre $0$. Compare tes trois résultats au carré du nombre choisi : quelle conjecture fais-tu ?
4. dOn note $x$ le nombre de départ. Prouve ta conjecture en développant.
5. eJade a écrit $(x - 4)^2 = x^2 - 16$. Quelle expression obtient-elle pour le programme ? Montre avec $x = 3$ que son calcul est faux.

Ex. 15★★★L'allée du jardin de Rodez — À Rodez, un jardin carré a pour côté $2x$ mètres, avec $x > 0{,}25$. On y plante une pelouse carrée de côté $(2x - 0{,}5)$ mètres. Le reste du jardin forme une allée.

1. aExprime l'aire de la pelouse en fonction de $x$, sous forme développée et réduite.
2. bExprime l'aire du jardin entier en fonction de $x$.
3. cDéduis-en l'aire de l'allée en fonction de $x$, développée et réduite.
4. dCalcule l'aire de l'allée pour $x = 5$ avec ton expression, puis vérifie avec les côtés du jardin et de la pelouse.
5. ePour quelle valeur de $x$ l'allée a-t-elle une aire de $19{,}75$ m² ? Justifie.

Ex. 16★★★Deux expressions à la loupe — On considère $E = (7 - 3x)^2 - (-x - 3)^2$ et $F = \left(\frac{x}{2} - 4\right)^2$.

1. aDans $(7 - 3x)^2$, écris qui est $a$ et qui est $b$, puis développe et réduis.
2. bSacha dit : « $(-x - 3)^2$ et $(x + 3)^2$ ont le même développement. » A-t-il raison ? Justifie en développant $(-x - 3)^2$.
3. cDéduis-en l'expression de $E$ développée et réduite.
4. dDéveloppe et réduis $F$.
5. eVérifie tes résultats : calcule $E$ pour $x = 1$ et $F$ pour $x = 10$, chacun de deux façons.

Ex. 17★★★Automatismes : développer en ligne — Développe chaque produit avec l'identité $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.

Ex. 18★★★Automatismes : qui change de signe ? — Pour chaque produit, écris le terme qui garde le même signe dans les deux parenthèses (il joue le rôle de $a$) et celui qui change de signe (il joue le rôle de $b$). Développe ensuite.

Ex. 19★★★Compléter les pointillés — Complète les pointillés pour que chaque égalité soit vraie pour tout nombre.

1. a$(x + \ldots)(x - \ldots) = x^2 - 2\,500$
2. b$(\ldots + 5)(\ldots - 5) = 64x^2 - 25$
3. c$(\ldots - 0{,}6)(\ldots + 0{,}6) = x^2 - 0{,}36$
4. d$(\ldots + 3t)(\ldots - 3t) = 100 - 9t^2$
5. e$(x + \ldots)(\ldots - x) = 4 - x^2$
6. f$(7a + \ldots)(7a - \ldots) = 49a^2 - 9b^2$

Ex. 20★★★Les développements de Lina — Lina a développé ces produits. Pour chaque égalité : a-t-elle raison ? Justifie et corrige si besoin.

1. aLina écrit : $(x + 9)(x - 9) = x^2 - 18$.
2. bLina écrit : $(x - 30)(x + 30) = x^2 + 900$.
3. cLina écrit : $(4x + 3)(4x - 3) = 4x^2 - 9$.
4. dLina écrit : $(2x + 7)(2x + 7) = 4x^2 - 49$.
5. eLina écrit : $(1 - 6y)(1 + 6y) = 1 - 36y^2$.

Ex. 21★★★Enchaîner et réduire — Développe puis réduis chaque expression.

1. a$A = (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)$
2. b$B = (x + 6)(x - 6) - (x - 6)^2$
3. c$C = 3(2x + 1)(2x - 1) - (x + 3)(x - 3)$
4. d$D = (1{,}5x + 2)(1{,}5x - 2) - 2{,}25x^2$

Ex. 22★★★Tester, puis prouver ou réfuter — Yanis affirme que ces deux égalités sont vraies pour tout nombre $x$ : (1) $(6 + x)(x - 6) = 36 - x^2$ ; (2) $(-x + 10)(x + 10) = 100 - x^2$.

1. aComplète le tableau.
2. bL'égalité (1) est-elle vraie pour tout $x$ ? Justifie, puis écris la forme développée correcte de $(6 + x)(x - 6)$.
3. cLe tableau suffit-il pour prouver l'égalité (2) ? Justifie, puis prouve-la en développant.
4. dComplète : $(-x + 10)(\ldots) = x^2 - 100$. Justifie en nommant $a$ et $b$.

Ex. 23★★★Le programme de Chloé — Programme de Chloé : choisis un nombre ; calcule la somme de ce nombre et de $7$ ; calcule la différence de ce nombre et de $7$ ; multiplie ces deux résultats ; ajoute $49$.

1. aApplique le programme au nombre $4$, puis au nombre $2{,}5$.
2. bQuelle conjecture peux-tu faire sur le résultat obtenu ?
3. cProuve ta conjecture pour un nombre $x$ quelconque.
4. dThéo pense que le produit des deux résultats vaut $(x + 7)^2$. A-t-il raison ? Justifie avec $x = 1$.
5. eLou remplace $7$ par $\frac{1}{3}$ dans les deux premiers calculs. Quel nombre doit-elle ajouter à la fin pour que son programme donne toujours le même résultat que celui de Chloé ?

Ex. 24★★★Les massifs du jardin de Rennes — Dans un jardin de Rennes, un massif carré a pour côté $3x$ mètres. Un massif rectangulaire a pour longueur $3x + 4$ et pour largeur $3x - 4$ (en mètres), avec $x > 2$.

1. aCalcule l'aire de chaque massif pour $x = 3$.
2. bSacha affirme que l'aire du rectangle vaut $3x^2 - 16$. A-t-il raison ? Justifie et corrige si besoin.
3. cProuve que, pour tout $x > 2$, l'écart entre l'aire du carré et celle du rectangle est toujours le même. Donne cet écart.
4. dUn autre massif rectangulaire mesure $3x + \ldots$ sur $3x - \ldots$ et son aire vaut $9x^2 - 1{,}44$. Complète les pointillés et justifie.

Ex. 25★★★Automatismes : factoriser une différence de deux carrés — Écris chaque terme comme un carré, puis factorise avec $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.

Ex. 26★★★Automatismes : reconnaître un carré développé — Écris chaque expression sous la forme $(a + b)^2$ ou $(a - b)^2$ quand c'est possible. Sinon, explique pourquoi.

Ex. 27★★★Factoriser au maximum — Factorise au maximum chaque expression. Mets d'abord le facteur commun en facteur, s'il y en a un.

1. a$3x^2 - 48$
2. b$50 - 2x^2$
3. c$(x - 2)^2 - 25$
4. d$(3x - 1)^2 - (x + 2)^2$
5. eVérifie ta réponse à la question c) : développe-la, puis développe $(x - 2)^2 - 25$, et compare.

Ex. 28★★★Les factorisations de Yanis — Yanis a écrit ces cinq factorisations, et elles sont toutes fausses. Pour chacune, explique son erreur, puis écris la bonne factorisation quand elle existe.

1. a$x^2 - 64 = (x - 8)^2$ : montre avec $x = 0$ que c'est faux.
2. b$x^2 + 49 = (x + 7)(x - 7)$
3. c$81y^2 - 4 = (81y + 2)(81y - 2)$
4. d$(x + 5)^2 - 16 = (x + 5 + 4)(x - 5 - 4)$
5. e$(2x + 3)^2 - (x - 1)^2 = (3x + 2)(x + 2)$

Ex. 29★★★Choisir la bonne identité — Pour chaque expression, dis si c'est une différence de deux carrés, un carré développé ou aucun des deux. Factorise-la quand c'est possible.

Ex. 30★★★Le pari de Maëlle — Maëlle pense que, pour tout nombre $x$, $x^2 - 100 = (x - 10)^2$. Inès pense que, pour tout nombre $x$, $x^2 - 100 = (x + 10)(x - 10)$.

1. aComplète le tableau.
2. bMaëlle dit : « Pour $x = 10$, les deux premières expressions sont égales, donc j'ai raison. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cProuve que l'égalité d'Inès est vraie pour tout nombre $x$ en développant.
4. dUtilise l'égalité d'Inès avec $x = 100$ pour calculer $110 \times 90$ sans calculatrice.
5. eLéo affirme : « Les expressions $x^2 - 100$ et $(x - 10)^2$ ne prennent jamais la même valeur. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 31★★★Le programme de Noé — Noé propose ce programme : je choisis un nombre. Je calcule son triple, j'ajoute $4$ et j'élève au carré : j'obtiens $A$. Je retranche $2$ au nombre de départ et j'élève au carré : j'obtiens $B$. Le programme affiche $A - B$.

1. aMontre que, si on choisit $1$, le programme affiche $48$.
2. bPour le nombre $x$, écris $A$ et $B$ en fonction de $x$, puis factorise $A - B$ avec $a^2 - b^2$.
3. cFactorise $A - B$ au maximum.
4. dUtilise ta forme factorisée pour retrouver le résultat de la question a).
5. eExplique pourquoi le programme affiche toujours un multiple de $4$ quand on choisit un nombre entier.

Ex. 32★★★Le terrain de Dinan — À Dinan, un terrain carré a une aire de $x^2 - 24x + 144$ m², avec $x > 20$. On y creuse un bassin carré de $6$ m de côté.

1. aMontre que le côté du terrain mesure $x - 12$ mètres.
2. bExprime l'aire restante du terrain, puis factorise-la.
3. cVérifie ta factorisation en développant.
4. dPour $x = 30$, calcule de tête l'aire restante avec la forme factorisée.
5. eHugo affirme que son terrain carré a une aire de $x^2 + 14x + 25$ m². Cette expression est-elle le carré d'une somme ? Justifie.

Ex. 33★★★Automatismes : des carrés de tête — Calcule de tête en écrivant d'abord le découpage autour d'un nombre rond, puis l'identité remarquable.

Ex. 34★★★Automatismes : produits et différences de carrés — Calcule de tête en écrivant le découpage, puis l'identité remarquable utilisée.

1. a$47 \times 53$
2. b$9{,}9 \times 10{,}1$
3. c$68^2 - 32^2$
4. dComplète : $104 \times 96 = (\ldots + \ldots)(\ldots - \ldots) = \ldots^2 - \ldots^2 = \ldots$
5. e$91^2 - 9^2$

Ex. 35★★★Tester, puis prouver ou réfuter — On considère deux égalités : (1) $(x + 6)(x - 2) = (x + 2)^2 - 16$ et (2) $(x + 1)^2 - 3 = x^2 + 3x - 2$.

1. aPour l'égalité (2), complète le tableau en calculant chaque membre séparément :

   $x$	$0$	$1$	$-2$
   $(x + 1)^2 - 3$
   $x^2 + 3x - 2$

2. bTom affirme : « Pour $x = 0$, les deux membres de (2) sont égaux, donc l'égalité (2) est vraie pour tout $x$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cProuve que l'égalité (1) est vraie pour tout $x$.

Ex. 36★★★Des entiers bien encadrés — Dans cet exercice, $n$ désigne un nombre entier.

1. aSans calculer les deux nombres, compare $2\,024 \times 2\,028$ et $2\,026^2$. Justifie avec une identité remarquable.
2. bCalcule $14 \times 16$ et $15^2$, puis $29 \times 31$ et $30^2$. Que remarques-tu ?
3. cProuve ta remarque pour tout entier $n$, en développant $(n - 1)(n + 1)$.
4. dDéduis-en, sans calculatrice, la valeur de $3\,000^2 - 2\,999 \times 3\,001$.

Ex. 37★★★Les deux programmes de Lina — Programme A : « Choisis un nombre. Multiplie ce nombre augmenté de $4$ par ce nombre diminué de $4$. Soustrais le carré du nombre choisi. » Programme B : « Choisis un nombre. Calcule le carré de ce nombre augmenté de $7$. Soustrais le carré de ce nombre diminué de $7$. »

1. aTeste le programme A avec $10$, puis avec $-3$.
2. bProuve que le programme A donne toujours le même résultat, quel que soit le nombre choisi.
3. cSami écrit pour le programme B : $(x + 7)^2 - (x - 7)^2 = x^2 + 14x + 49 - x^2 - 14x + 49 = 98$. Trouve son erreur et corrige son calcul.
4. dQuel nombre faut-il choisir pour obtenir $700$ avec le programme B ?

Ex. 38★★★Le concours de calcul mental de Malik — Au concours de calcul mental de son collège, à Lille, Malik doit calculer sans calculatrice et justifier chaque découpage par une identité remarquable.

1. aMalik écrit : $89^2 = 90^2 - 1^2 = 8\,099$. Explique son erreur, puis calcule $89^2$ correctement en écrivant le découpage.
2. bMalik affirme : « $19{,}8 \times 20{,}2$ est plus petit que $400$. » Vrai ou faux ? Justifie par un calcul avec une identité remarquable.
3. cMalik affirme : « $73^2 - 27^2 = 46^2$, car $73 - 27 = 46$. » Vrai ou faux ? Justifie en calculant $73^2 - 27^2$ avec une différence de deux carrés.

Ex. 39★★★Deux impairs qui se suivent — À Rennes, Yanis multiplie deux nombres impairs consécutifs, puis ajoute $1$ au résultat. Dans cet exercice, $n$ désigne un nombre entier.

1. aEffectue le calcul de Yanis avec $5$ et $7$, puis avec $11$ et $13$. Que remarques-tu ?
2. bYanis affirme : « J'ai testé deux fois et ça marche, donc c'est toujours vrai. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cExplique pourquoi $2n + 1$ et $2n + 3$ sont deux nombres impairs consécutifs, puis développe et réduis $(2n + 1)(2n + 3) + 1$.
4. dDémontre ta remarque de la première question en écrivant le résultat comme le carré d'une expression en $n$.
5. eDéduis-en le produit $23 \times 25$ sans poser la multiplication.

Ex. 40★★★Le programme d'Inès — À Toulouse, Inès propose ce programme : « Choisis un nombre entier. Ajoute-lui $6$, puis élève le résultat au carré. Soustrais le carré du nombre choisi, puis soustrais $36$. »

1. aTeste le programme avec $2$, puis avec $5$.
2. bSon ami Hugo affirme : « Le résultat est toujours un multiple de $24$. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cOn note $n$ le nombre choisi. Écris le résultat du programme avec $n$, puis développe et réduis.
4. dProuve que le résultat est toujours un multiple de $12$, puis explique pourquoi on ne peut jamais obtenir $100$.
5. eQuel entier faut-il choisir pour obtenir $-60$ ? Vérifie avec le programme.

Ex. 41★★★Automatismes : un nombre ou un signe devant — Développe d'abord l'identité entre parenthèses, puis multiplie par le nombre ou change tous les signes. Réduis.

Ex. 42★★★Automatismes : ordre inversé, termes négatifs et x⁴ — Nomme $a$ et $b$, puis développe et réduis.

Ex. 43★★★Expressions combinées — Développe et réduis chaque expression. Garde des parenthèses autour de chaque développement avant de supprimer le signe −.

1. a$A = (x + 7)^2 - (x - 7)^2$
2. b$B = (x - 10)^2 - (x + 10)(x - 10)$
3. c$C = (2x - 7)^2 + (2x + 7)(2x - 7)$
4. d$D = (x^2 + 2)^2 - (x^2 + 3)(x^2 - 3)$

Ex. 44★★★Les trois lignes d'Inès — Inès développe $A = 2(x - 3)^2 - (x + 1)^2$.
Ligne 1 : $A = (2x - 6)^2 - (x^2 + 2x + 1)$
Ligne 2 : $A = 4x^2 - 24x + 36 - x^2 + 2x + 1$
Ligne 3 : $A = 3x^2 - 22x + 37$

1. aQuelle erreur Inès fait-elle à la ligne 1 ? Explique.
2. bQuelle erreur fait-elle à la ligne 2 ? Explique.
3. cDéveloppe et réduis $A$ correctement.
4. dCalcule $A$ pour $x = 1$ à partir de l'expression de départ. Ton résultat est-il confirmé ? Et celui d'Inès ?

Ex. 45★★★Carrés et cadre photo — Les longueurs sont en cm et $x$ est un nombre positif.

1. aDans un carré de côté $x + 4$, Malo découpe un carré de côté $4$. Exprime l'aire restante en fonction de $x$, développée et réduite.
2. bUne photo carrée de côté $x$ est entourée d'un cadre de $1{,}5$ cm de large. Exprime l'aire du cadre seul, développée et réduite.
3. cCalcule l'aire du cadre de la question précédente pour $x = 10$.

Ex. 46★★★Le vrai ou faux d'Élise — Élise, élève de 3ᵉ à Lorient, a écrit cinq affirmations. Pour chacune, réponds par vrai ou faux et justifie : développe pour prouver, ou donne un contre-exemple.

1. aPour tout $x$, $5(x + 1)^2 = (5x + 5)^2$.
2. bPour tout $x$, $-(x - 6)^2 = -x^2 + 12x - 36$.
3. cPour tout $x$, $(-6x + 1)^2 = 36x^2 + 12x + 1$.
4. dPour tout $x$, $(x^2 + 8)(x^2 - 8) = x^4 - 64$.
5. ePour tout $x$, $(3x)^2 - (3x - 1)(3x + 1) = 1$.

Ex. 47★★★La conjecture de Lina — On pose $E = (x + 6)^2 - (x + 6)(x - 6)$. Lina calcule $E$ pour quelques valeurs de $x$.

1. aComplète le tableau. Que remarques-tu ?
2. bHugo écrit : « $E = x^2 + 36 - x^2 - 36 = 0$ ». Le tableau montre qu'il a tort. Trouve ses deux erreurs.
3. cProuve que, pour tout $x$, $E = 12x + 72$.
4. dDéduis-en, sans calculatrice, la valeur de $106^2 - 106 \times 94$. Explique ton choix de $x$.

Ex. 48★★★Le cadre de Soline — Les longueurs sont en dm et $x > 1{,}5$. Le tableau de Soline, à Colmar, est un carré de côté $2x - 3$. Avec son cadre, l'ensemble forme un carré de côté $2x + 3$.

1. aExprime l'aire du grand carré sous forme développée et réduite.
2. bMontre que l'aire du cadre est égale à $24x$.
3. cEthan calcule l'aire du cadre avec $2 \times 3(2x + 3) + 2 \times 3(2x - 3)$. A-t-il raison ? Justifie.
4. dSoline affirme : « Si on double $x$, l'aire du cadre double aussi. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eLe cadre a une aire de $1{,}2$ m², soit $120$ dm². Calcule $x$, puis le côté du tableau.