Troisième / Homothétie

Ex. 1★★★Automatismes : trouver le rapport — Pour chaque situation, calcule le rapport $k$, puis dis si c'est un agrandissement ou une réduction.

1. aUn segment de $4$ cm devient un segment de $10$ cm.
2. bLe rectangle R′S′T′U′ est obtenu en agrandissant ou en réduisant le rectangle RSTU. Lis les longueurs sur le quadrillage.
3. cSur une affiche, une tour de $45$ m de haut mesure $15$ cm.
4. dUn logo triangulaire de périmètre $12$ cm est réimprimé : son périmètre devient $9$ cm.
5. eLéa affirme : « Une longueur de $6$ cm devient $4$ cm, donc $k = \frac{6}{4} = 1{,}5$ : c'est un agrandissement. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 2★★★Automatismes : calculer sur un agrandissement — Le triangle KLM est rectangle en K, avec KL $= 4$ cm, KM $= 3$ cm, LM $= 5$ cm et $\widehat{KLM} ≈ 37^\circ$. On l'agrandit avec le rapport $k = 1{,}8$ et on obtient le triangle K′L′M′.

1. aCalcule K′L′, K′M′ et L′M′.
2. bDonne la mesure de l'angle $\widehat{K'L'M'}$ et la nature du triangle K′L′M′.
3. cCalcule le périmètre de KLM, puis déduis-en celui de K′L′M′ à l'aide de $k$.
4. dPar quel nombre faut-il multiplier les longueurs de K′L′M′ pour revenir au triangle KLM ? Donne-le sous forme de fraction.

Ex. 3★★★Le plan d'un studio — Sur le plan d'un studio à l'échelle $\frac{1}{150}$, la pièce principale est le rectangle EFGH de $5$ cm sur $3$ cm. Arrondis au centième si besoin.

1. aCalcule les dimensions réelles de la pièce, en mètres.
2. bUne armoire mesure $2{,}1$ m de long. Quelle longueur doit-elle avoir sur le plan ?
3. cPour avoir un plan plus grand, Malo ajoute $1$ cm à chaque côté et trace un rectangle de $6$ cm sur $4$ cm. Est-ce un agrandissement de EFGH ? Justifie avec le quotient longueur ÷ largeur.
4. dQuelle largeur Malo aurait-il dû tracer pour obtenir un vrai agrandissement de $6$ cm de long ?

Ex. 4★★★Réduction et théorème de Thalès — Le triangle ABC est rectangle en B, avec AB $= 6$ cm et BC $= 8$ cm. M est sur [AB] avec AM $= 45$ mm, N est sur [AC] et $(MN) \parallel (BC)$.

1. aExplique pourquoi le triangle AMN est une réduction du triangle ABC, puis calcule son rapport $k$.
2. bCalcule MN.
3. cCalcule AC, puis le périmètre du triangle AMN à l'aide de $k$.

Ex. 5★★★La photocopieuse de Lina — Lina photocopie le rectangle RSTU, avec RS $= 8$ cm et ST $= 5$ cm. Elle veut un agrandissement R′S′T′U′ avec R′S′ $= 10$ cm. Son ami Hugo l'aide. Arrondis au centième si besoin.

1. aHugo calcule $k = \frac{8}{10} = 0{,}8$ et dit que c'est une réduction. Explique son erreur, puis donne le bon rapport $k$.
2. bPour S′T′, Hugo ajoute $2$ cm à ST, comme pour RS. Calcule le quotient longueur ÷ largeur de RSTU et celui du rectangle de Hugo. Conclus.
3. cCalcule la bonne longueur S′T′, puis vérifie que les proportions de RSTU sont conservées.
4. dCalcule le périmètre de RSTU, puis celui de R′S′T′U′ de deux façons différentes.
5. eLina veut retrouver RSTU à partir de R′S′T′U′. Par quel nombre doit-elle multiplier les longueurs ? Vérifie avec R′S′.

Ex. 6★★★La randonnée de Mia — Mia prépare une randonnée près d'Annecy. Sur sa carte, une route droite de $1{,}2$ km est représentée par un segment de $3$ cm. Sur la carte, le refuge R, le lac L et le sommet S forment le triangle RLS rectangle en L.

1. aTom écrit : « $k = 3 \div 1{,}2 = 2{,}5$, donc la carte est un agrandissement. » Explique ses deux erreurs, puis donne l'échelle de la carte.
2. bCalcule les distances réelles RL et LS, en km.
3. cCalcule RS sur la carte, puis la longueur réelle de la boucle R → L → S → R, en km.
4. dLe lendemain, Mia veut faire une balade de $3{,}4$ km en ligne droite. Quelle longueur doit mesurer son tracé sur la carte ?

Ex. 7★★★La maquette du voilier — Le club de voile de Brest construit la maquette d'un voilier. La vraie voile est le triangle DEF rectangle en E, avec DE $= 4{,}8$ m, EF $= 2$ m et DF $= 5{,}2$ m. Sur la maquette, la voile D′E′F′ est une réduction de DEF, avec D′E′ $= 12$ cm.

1. aCalcule le rapport $k$ de cette réduction, sous la forme d'une fraction.
2. bCalcule E′F′ et D′F′, puis le périmètre de la voile de la maquette.
3. cNour affirme : « $\widehat{EDF} ≈ 23^\circ$, donc sur la maquette $\widehat{E'D'F'} ≈ 23 \div 40$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dSur la maquette, le mât mesure $18$ cm. Calcule la hauteur du vrai mât, en mètres.
5. eUne voile de rechange pour la maquette a pour côtés $6$ cm, $2{,}5$ cm et $7$ cm. Est-ce une réduction de DEF ? Justifie.

Ex. 8★★★Automatismes : distances au centre — Dans chaque question, $A'$, $B'$, $C'$… sont les images de A, B, C… par l'homothétie de centre O et de rapport $k$ positif.

1. a$A'$ est sur $[OA)$, $OA = 4{,}5$ cm et $OA' = 18$ cm. Calcule le rapport $k$.
2. b$k = 0{,}5$ et $OB = 7$ cm. Où se trouve $B'$ par rapport à O et B ? Calcule $BB'$.
3. c$k = \frac{3}{5}$ et $OC' = 4{,}2$ cm. Calcule la distance $OC$ de l'antécédent C au centre.
4. d$k = 1$ et $OD = 5{,}8$ cm. Où se trouve $D'$ ? Calcule $DD'$.
5. e$k = 7$. Quelle est l'image du centre O ? Justifie.
6. f$k = 2{,}5$ et $OE = 2$ cm. Hugo écrit : « $EE' = 2{,}5 \times 2 = 5$ cm ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 9★★★Automatismes : construire sur quadrillage — Le quadrillage a des carreaux de 1 cm. Toutes les homothéties ont pour centre O.

1. aConstruis $A'$, image de A par l'homothétie de rapport 2, en comptant les carreaux de O à A dans les deux directions.
2. bConstruis $B'$, image de B par l'homothétie de rapport 3, au compas : reporte la longueur OB sur la demi-droite $[OB)$.
3. cConstruis $C'$, image de C par l'homothétie de rapport $0{,}5$.
4. dLe point D est l'image d'un point P par l'homothétie de rapport $1{,}5$. Place le point P.

Ex. 10★★★Retrouver le centre et le rapport — Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle ABC par une homothétie de rapport positif. Le quadrillage a des carreaux de 1 cm.

1. aTrace les droites $(AA')$ et $(BB')$, puis place le centre O de l'homothétie. Contrôle avec $(CC')$.
2. bLis OA et $OA'$ sur le quadrillage, puis calcule le rapport $k$ de l'homothétie.
3. cEst-ce un agrandissement ou une réduction ? Calcule $A'C'$ à partir de $AC = 6$ cm, puis vérifie en comptant les carreaux.

Ex. 11★★★Le pantographe de Ben — Ben recopie un dessin avec un pantographe. La pointe fixe O, la pointe sèche M et le crayon $M'$ restent alignés : $M'$ est l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport $k > 0$.

1. aSur la figure, $OM = 12$ cm et $OM' = 30$ cm. Calcule le rapport $k$.
2. bAvec ce même réglage, la pointe sèche est à 16 cm de O. À quelle distance de la pointe sèche se trouve le crayon ?
3. cBen règle le pantographe sur $k = 0{,}4$. La pointe sèche N est à 15 cm de O. Calcule $ON'$, puis la distance $NN'$ entre la pointe et le crayon.

Ex. 12★★★L'ombre de la marionnette — Une lampe O éclaire une marionnette en carton posée devant un mur. Le point $A'$ de l'ombre est l'image du point A de la marionnette par une homothétie de centre O et de rapport $k$ positif. Les points O, A et $A'$ sont alignés, $OA = 15$ cm et $AA' = 3$ m.

1. aNoé affirme : « $k = 300 \div 15 = 20$ ». Explique son erreur, puis calcule $OA'$ et le vrai rapport $k$.
2. bLa marionnette mesure $AB = 12$ cm et son ombre est $A'B'$. Calcule $A'B'$.
3. cBen veut une ombre de rapport $25$ sans bouger la lampe ni la marionnette. Calcule la nouvelle distance $AA'$ entre la marionnette et le mur, puis dis de combien il doit reculer le mur.
4. dL'ombre est-elle à l'envers de la marionnette ? Justifie avec le signe du rapport.

Ex. 13★★★Réduire un logo à partir d'un sommet — Le quadrillage a des carreaux de 1 cm. Un logo a la forme du quadrilatère RSTU. On le réduit avec l'homothétie de centre R et de rapport $\frac{3}{4}$. Arrondis au dixième.

1. aQuelle est l'image du point R par cette homothétie ? Justifie.
2. bConstruis $S'$, $T'$ et $U'$, les images de S, T et U, en comptant les carreaux depuis R dans les deux directions.
3. cCalcule RT avec le théorème de Pythagore, puis $RT'$ et $TT'$.
4. dQuel rapport positif doit avoir l'homothétie de centre R qui transforme $T'$ en T ? Justifie.

Ex. 14★★★Quatre points alignés — Les points O, E, F et G sont alignés dans cet ordre, avec $OE = 2$ cm, $EF = 1$ cm et $FG = 3$ cm.

1. aMontre que F est l'image de E par l'homothétie de centre O et de rapport $1{,}5$.
2. bCalcule le rapport de l'homothétie de centre O qui transforme G en E.
3. cH est l'image de G par l'homothétie de centre O et de rapport $0{,}5$. Calcule OH. Quel point de la figure est H ?
4. dMax affirme : « G est l'image de F par l'homothétie de centre E et de rapport 3, car $FG = 3 \times EF$. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eG est l'image d'un point P par l'homothétie de centre O et de rapport 4. Calcule OP, puis la distance PE.

Ex. 15★★★Automatismes : distances avec un rapport négatif — Sur la droite ci-dessous, $OM = 3$ cm. On considère l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$. L'image $M'$ de $M$ change avec $k$.

1. aPour $k = -2$, calcule $OM'$, puis indique de quel côté de $O$ se trouve $M'$.
2. bPour $k = -2$, calcule la distance $MM'$.
3. cPour $k = -\frac{1}{3}$, calcule $OM'$. Cette homothétie est-elle un agrandissement ou une réduction ? Justifie.
4. dPour $k = -1$, calcule $OM'$. Quelle transformation déjà connue retrouves-tu ?
5. ePour $k = -1{,}5$, Tom écrit : « $OM' = -1{,}5 \times 3 = -4{,}5$ cm ». Corrige son erreur.

Ex. 16★★★Automatismes : construire sur quadrillage avec k = −1,5 — Sur le quadrillage, on considère l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = -1{,}5$.

1. aPour aller de $O$ à $A$, on fait 2 carreaux vers la droite. Décris le trajet de $O$ à $A'$, puis place $A'$.
2. bPlace les points $B'$ et $C'$, images de $B$ et $C$.
3. cTrace le triangle $A'B'C'$. Est-il « à l'endroit » ou « retourné » par rapport à $ABC$ ? Justifie.
4. dLe point $D'$ est l'image d'un point $D$ par cette homothétie. Place le point $D$.

Ex. 17★★★Retrouver le rapport, puis s'en servir — Une homothétie de centre $O$ transforme $E$ en $E'$. Les points $E$, $O$ et $E'$ sont alignés, et $O$ est entre $E$ et $E'$. On a $OE = 4$ cm, $OE' = 3$ cm et $OF = 2$ cm.

1. aRetrouve le rapport $k$ de cette homothétie : donne son signe et sa valeur.
2. bCalcule $OF'$, où $F'$ est l'image de $F$, et précise où placer $F'$.
3. cCalcule la distance $FF'$.

Ex. 18★★★Les erreurs de Jade — On considère l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = -2$, avec $OP = 2{,}5$ cm. Jade a fait l'exercice, mais sa copie contient des erreurs.

1. aJade écrit : « $k = -2$ est négatif, donc cette homothétie est une réduction. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bJade écrit : « $PP' = 2 \times OP = 5$ cm. » Explique son erreur, puis calcule correctement $OP'$ et $PP'$.
3. cPlace $P'$ sur la figure en vraie grandeur, puis vérifie ta valeur de $PP'$ à la règle.

Ex. 19★★★Un centre à l'intérieur du triangle — Sur le quadrillage (1 carreau = 1 cm), on considère l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = -\frac{2}{3}$. Le point $O$ est à l'intérieur du triangle $KLM$. Le point $P'$ est l'image d'un point $P$ par cette homothétie.

1. aPour aller de $O$ à $K$, on fait 3 carreaux vers la droite. Décris le trajet de $O$ à $K'$, puis construis l'image $K'L'M'$ du triangle $KLM$.
2. bCalcule la distance $KK'$. Justifie à l'aide de la position du point $O$.
3. cNoé affirme : « $K'L'M'$, c'est le triangle $KLM$ réduit et simplement glissé sur le quadrillage. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dPlace le point $P$ sur le quadrillage. Explique tes calculs.

Ex. 20★★★Même distance, rapports différents — Sur la droite ci-dessous, $OA = 2{,}4$ cm. Toutes les homothéties ont pour centre $O$, et tous les points construits sont sur la droite $(OA)$.

1. aConstruis l'image $A_1$ de $A$ par l'homothétie de rapport $-1$. Quelle transformation vue en 5ᵉ reconnais-tu ? Calcule $AA_1$.
2. bLéo cherche l'image $B$ de $A$ par l'homothétie de rapport $-2{,}5$. Il écrit : « $OB = -2{,}5 \times 2{,}4 = -6$ cm, donc $AB = 6 - 2{,}4 = 3{,}6$ cm. » Corrige ses deux erreurs.
3. cLe point $C$ est de l'autre côté de $O$ par rapport à $A$, avec $AC = 3$ cm. $C$ est l'image de $A$ par une homothétie. Retrouve le rapport de cette homothétie.
4. dInès place $D$ sur le segment $[OA]$, à la même distance de $O$ que $C$. Elle dit : « $D$ est l'image de $A$ par la même homothétie que $C$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 21★★★Retrouver le centre caché — Sur le quadrillage (1 carreau = 1 cm), le triangle $DEF$ est rectangle isocèle en $E$. Le triangle $D'E'F'$ est son image par une homothétie de centre $O$. Le point $O$ n'est pas dessiné.

1. aTrace les droites $(DD')$ et $(EE')$, puis place le centre $O$. Décris sa position par rapport à $D$ et à $D'$.
2. bRetrouve le signe et la valeur du rapport $k$ de cette homothétie. Justifie.
3. cSami écrit : « Pour trouver $|k|$, je divise $DD'$ par $OD$. » Explique pourquoi sa méthode est fausse, en montrant ce qu'elle donnerait ici.
4. dOn note $G$ le milieu de $[DF]$. Sans calcul, où se trouve son image $G'$ ? Place $G'$, puis vérifie sa position à partir de $O$.

Ex. 22★★★Automatismes : longueurs, angles et cercle image — Dans chaque question, on utilise une homothétie de centre O. Son rapport $k$ est donné, sauf dans la dernière question, où tu le cherches.

1. aAvec $k = -3$ et $AB = 2{,}4$ cm, calcule la longueur $A'B'$.
2. bAvec $k = 2$, construis l'image du cercle de centre I et de rayon $1{,}5$ cm.
3. cAvec $k = -1{,}25$, l'image du segment [AB] mesure $A'B' = 10$ cm. Calcule AB.
4. dAvec $k = 0{,}4$, le triangle XYZ a un angle $\widehat{XYZ} = 48^\circ$ et un côté $YZ = 5{,}5$ cm. Donne $\widehat{X'Y'Z'}$ et calcule $Y'Z'$.
5. eOn a $AB = 6$ cm et $A'B' = 2$ cm, avec A′ sur [OA) et B′ sur [OB). Donne le rapport $k$.

Ex. 23★★★Construire l'image d'un triangle, centre à l'intérieur — Sur le quadrillage, le centre O est à l'intérieur du triangle DEF. On utilise l'homothétie de centre O et de rapport $k = -\frac{1}{2}$.

1. aConstruis les points D′, E′ et F′, puis le triangle D′E′F′.
2. bCompte DE et D′E′ en carreaux. Vérifie que $D'E' = |k| \times DE$.
3. cQuel côté de D′E′F′ doit être parallèle à [DF] ? Vérifie-le sur ta figure.
4. dLe triangle DEF est isocèle en F. Quelle est la nature du triangle D′E′F′ ? Justifie.

Ex. 24★★★Pantographe : retrouver le centre et le rapport — Avec un pantographe, Maëlle a tracé le triangle A′B′C′, image du triangle ABC par une homothétie. Le centre O n'est pas dessiné.

1. aTrace la droite (AA′). Explique pourquoi elle ne suffit pas pour placer O, puis place O à l'aide de
   (BB′).
2. bVérifie que (CC′) passe aussi par O et que $(A'C') \parallel (AC)$.
3. cRetrouve le rapport $k$ de l'homothétie (sa valeur et son signe). Justifie.

Ex. 25★★★Logo agrandi : homothétie ou pas ? — Pour son logo, Samir a dessiné le triangle KLM rectangle en K. Il l'a ensuite agrandi et a obtenu le triangle K′L′M′.

1. aCompte les longueurs en carreaux, puis calcule $\frac{K'L'}{KL}$ et $\frac{K'M'}{KM}$.
2. bSamir dit : « Les longueurs sont multipliées par 2, donc K′L′M′ est l'image de KLM par une homothétie de rapport 2. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cConstruis les images L1 et M1 de L et de M par l'homothétie de centre K et de rapport 2. Vérifie que $(L_1M_1) \parallel (LM)$.

Ex. 26★★★Figure retournée : centre, rapport et antécédent — Sur le quadrillage (1 carreau = 1 cm), le triangle E′F′G′ est l'image du triangle EFG par une homothétie. Son centre O n'est pas dessiné. Le point P′ est le milieu de [E′F′].

1. aInès trace les droites (EF′) et (FE′) pour trouver le centre. Explique son erreur, puis place le centre O à l'aide de deux droites bien choisies.
2. bCompte EF et E′F′ en carreaux, puis donne le rapport k de l'homothétie (valeur et signe). Justifie le signe.
3. cOn a OP′ = 2 cm. Place le point P dont l'image est P′, calcule OP, puis dis ce que représente P pour le segment [EF].
4. dL'angle $\widehat{EFG}$ mesure 45°. Donne la mesure de $\widehat{E'F'G'}$ et la position de la droite (E′G′) par rapport à (EG). Justifie.

Ex. 27★★★Pochoir d'affiche : carré, cercle et centre sur un sommet — Pour une affiche, Mathis agrandit un motif : un carré RSTU de côté 4 cm et le cercle $\mathcal{C}$ de centre I et de rayon 2 cm. Il utilise l'homothétie de centre R et de rapport $k = -\frac{3}{2}$. Reproduis la figure sur ton cahier (1 carreau = 1 cm) en laissant de la place en bas à gauche.

1. aConstruis l'image R′S′T′U′ du carré : place l'image de chaque sommet, puis relie ces images dans le même ordre.
2. bLou a obtenu un carré de 6 cm de côté, mais son côté [S′T′] est penché. Son carré peut-il être l'image de RSTU par cette homothétie ? Justifie.
3. cMathis écrit : « Le cercle image a pour rayon 2 + 1,5 = 3,5 cm. » Corrige son erreur, puis construis l'image du cercle $\mathcal{C}$.
4. dMathis affirme : « Comme k est négatif, le motif rétrécit. » Calcule le périmètre des deux carrés, puis réponds-lui.

Ex. 28★★★Chambre noire : papillon et distances — Hugo fabrique une chambre noire : la lumière de la bougie [AB] passe par le trou O et forme une image [A′B′] au fond de la boîte. Les points A, O et A′ sont alignés, de même que B, O et B′. On a $(A'B') \parallel (AB)$, (AB) ⊥ (AA′), OA = 60 cm, OA′ = 24 cm et AB = 15 cm. Arrondis au dixième.

1. aJustifie que [A′B′] est l'image de [AB] par une homothétie de centre O, puis donne son rapport k sous forme de fraction irréductible.
2. bHugo calcule A′B′ = k × AB et trouve une longueur négative. Explique son erreur, puis calcule A′B′.
3. cCalcule OB, puis la distance BB′ entre le haut de la bougie et son image.
4. dHugo garde la même boîte (OA′ = 24 cm) et veut une image de 9 cm pour cette bougie. À quelle distance du trou doit-il placer la bougie ?

Ex. 29★★★Automatismes : lire ce qui est conservé — Le triangle $D'E'F'$ est l'image du triangle $DEF$, rectangle en $E$, par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = -0{,}5$. On a $DE = 6$ cm et $EF = 4$ cm, et l'angle $\widehat{EFD}$ mesure $56^\circ$.

1. aDonne la mesure de l'angle $\widehat{E'F'D'}$.
2. bJustifie que le triangle $D'E'F'$ est rectangle et précise en quel sommet.
3. cCalcule la longueur $E'F'$.
4. dLéo écrit : « $D'E' = -0{,}5 \times 6 = -3$ cm ». Corrige son erreur.
5. eQue peux-tu dire des droites $(D'F')$ et $(DF)$ ? Justifie.

Ex. 30★★★Automatismes : l'image d'un carré — $RSTU$ est un carré de côté $6$ cm. On utilise l'homothétie de centre $R$ et de rapport $k = -\frac{1}{3}$. Le quadrillage a des carreaux de $1$ cm.

1. aConstruis l'image $R'S'T'U'$ du carré $RSTU$ sur le quadrillage.
2. bQuelle est la nature du quadrilatère $R'S'T'U'$ ? Justifie sans mesurer.
3. cCalcule le périmètre de $R'S'T'U'$.
4. dNina affirme : « Comme une symétrie, cette homothétie conserve les longueurs. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. e$I$ est le milieu de $[ST]$. Que représente son image $I'$ pour le segment $[S'T']$ ? Justifie.

Ex. 31★★★Triangles emboîtés et homothétie — Sur la figure, $P \in [KL]$, $Q \in [KM]$ et $(PQ) \parallel (LM)$. On a $KP = 2$ cm, $PL = 3$ cm et $LM = 5$ cm.

1. aCalcule la longueur $KL$.
2. bÉcris l'égalité des trois quotients du théorème de Thalès, avec les longueurs du petit triangle $KPQ$ au numérateur.
3. cDéduis-en que le triangle $KPQ$ est l'image du triangle $KLM$ par une homothétie : donne son centre, l'image de $L$ et le rapport.
4. dCalcule la longueur $PQ$.

Ex. 32★★★Configuration papillon : attention au signe — Les droites $(RT)$ et $(SU)$ se coupent en $E$, et $(RS) \parallel (TU)$. Le triangle $ERS$ est rectangle en $R$, avec $ER = 4$ cm, $ET = 6$ cm et $RS = 2$ cm. Arrondis au dixième.

1. aMarius affirme : « $ETU$ est l'image de $ERS$ par l'homothétie de centre $E$ et de rapport $\frac{6}{4}$. » Corrige son erreur.
2. bCalcule la longueur $TU$.
3. cCalcule la longueur $EU$.

Ex. 33★★★Triangles emboîtés : du rapport à l'aire — Sur la figure, le triangle $GHJ$ est rectangle en $H$, $P \in [GH]$, $Q \in [GJ]$ et $(PQ) \parallel (HJ)$. On a $GH = 8$ cm, $HJ = 6$ cm et $GP = 6$ cm.

1. aCalcule la longueur $GJ$.
2. bJustifie que le triangle $GPQ$ est l'image du triangle $GHJ$ par une homothétie. Précise son centre et son rapport.
3. cDéduis-en les longueurs $PQ$ et $GQ$.
4. dLéa affirme : « Le triangle $GPQ$ n'est pas rectangle, car aucun angle droit n'est codé en $P$. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eCalcule l'aire du triangle $GHJ$. Sami en déduit que l'aire de $GPQ$ vaut $0{,}75 \times 24 = 18$ cm². Corrige son erreur.

Ex. 34★★★Configuration papillon : signe, agrandissement et milieu — Les droites $(EG)$ et $(FH)$ se coupent en $S$, et $(EF) \parallel (GH)$. On a $SE = 6$ cm, $SF = 5$ cm, $EF = 5$ cm et $SG = 15$ cm.

1. aNour écrit : « $SGH$ est l'image de $SEF$ par l'homothétie de centre $S$ et de rapport $-\frac{6}{15} = -0{,}4$. » Explique son erreur et donne le bon rapport.
2. bIlyès affirme : « Le rapport est négatif, donc $SGH$ est une réduction de $SEF$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cCalcule $GH$ et $SH$, puis le périmètre du triangle $SGH$.
4. d$I$ est le milieu de $[EF]$ et $J$ celui de $[GH]$. Justifie que $J$ est l'image de $I$, puis que $S$, $I$ et $J$ sont alignés.

Ex. 35★★★Retrouver le centre et le rapport, puis prolonger — Pour un logo, Kenza a tracé sur un quadrillage (carreaux de $1$ cm) le triangle $KLM$ et son image $K'L'M'$ par une homothétie, dont le centre $O$ et le rapport $k$ sont inconnus. $\mathcal{C}$ est le cercle de centre $K$ et de rayon $0{,}5$ cm.

1. aTrace les droites $(KK')$ et $(LL')$, puis place le centre $O$. Vérifie avec la droite $(MM')$.
2. bDétermine le rapport $k$ de cette homothétie
   (signe et valeur).
3. cInès affirme : « Une homothétie multiplie les longueurs par $|k|$, donc les angles aussi. » A-t-elle raison ? Donne la nature de $K'L'M'$ en justifiant.
4. dConstruis l'image $\mathcal{C}'$ du cercle $\mathcal{C}$ et donne son rayon.
5. e$P$ est le milieu de $[KM]$. Place son image $P'$ et justifie que $(L'P') \parallel (LP)$.

Ex. 36★★★Automatismes · Le bon coefficient — Avant chaque calcul, demande-toi si tu cherches une longueur, une aire ou un volume.

1. aSur la figure, A′B′C′ est l'image de ABC par l'homothétie de centre O et de rapport $k = -2$. ABC a une aire de $2$ cm². Calcule l'aire de A′B′C′.
2. bUn carré d'aire $5$ cm² est agrandi avec le rapport $k = 4$. Quelle est l'aire du carré obtenu ?
3. cUn pentagone a un périmètre de $21$ cm. Calcule le périmètre de son image par une homothétie de rapport $k = -\frac{2}{3}$.
4. dUne pyramide de volume $81$ cm³ est réduite avec le rapport $k = \frac{1}{3}$. Quel est le volume de la pyramide réduite ?
5. eUne boîte de volume $125$ cm³ est agrandie avec le rapport $k = 1{,}2$. Quel est le volume de la boîte agrandie ?

Ex. 37★★★Automatismes · Retrouver le rapport — Dans chaque cas, la seconde figure ou le second solide est l'image du premier par un agrandissement ou une réduction. Retrouve le rapport $k$.

1. aDeux logos de même forme ont des aires de $4$ cm² et $49$ cm².
2. bUne affiche de $50$ dm de périmètre est réduite par une photocopieuse en une affiche de $20$ dm de périmètre.
3. cDeux flacons de même forme ont des contenances de $32$ cL et $108$ cL.
4. dUne sculpture de $375$ dm³ est réduite en une maquette de $3$ dm³.
5. eSur la figure, A′B′C′ est l'image de ABC par une homothétie de centre O. ABC a une aire de $3$ cm² et A′B′C′ une aire de $0{,}75$ cm². Retrouve le rapport (signe et valeur).

Ex. 38★★★La maquette de la citerne — Inès construit une maquette au $\frac{1}{40}$ d'une citerne en forme de pavé de $4$ m de long, $2{,}5$ m de large et $3{,}2$ m de haut. La figure montre la face avant de la vraie citerne.

1. aQuelle est la hauteur de la maquette, en cm ?
2. bCalcule le volume de la vraie citerne, puis la contenance de la maquette en litres.
3. cInès peint sa maquette : la surface peinte mesure $150$ cm². Quelle surface faudrait-il peindre sur la vraie citerne, en m² ?

Ex. 39★★★Les statuettes de Hugo — Une statuette en bronze de $12$ cm de haut pèse $0{,}9$ kg. Hugo en commande une de même forme et du même bronze, deux fois plus haute ($24$ cm). Il affirme : « Elle pèsera $1{,}8$ kg. »

1. aHugo a-t-il raison ? Justifie, puis calcule la masse de la grande statuette.
2. bIl faut $15$ mL de peinture dorée pour la petite (la quantité est proportionnelle à l'aire). Hugo prévoit $30$ mL pour la grande. Corrige-le.
3. cUne mini-statuette de même forme et du même bronze pèse $112{,}5$ g. Quelle est sa hauteur ?

Ex. 40★★★Le triangle retourné — Le triangle DEF est rectangle en E, avec DE = $16$ cm et EF = $12$ cm. Le triangle D′E′F′ est son image par l'homothétie de centre O et de rapport $k = -1{,}5$.

1. aCalcule DF, puis le périmètre et l'aire du triangle DEF.
2. bCalcule le périmètre du triangle D′E′F′.
3. cMalo écrit : « Comme $k = -1{,}5$, l'aire de D′E′F′ est égale à l'aire de DEF multipliée par $-1{,}5$. » Explique ses deux erreurs, puis calcule l'aire de D′E′F′.
4. dUne autre homothétie de centre O transforme DEF en un triangle D1E1F1 d'aire $24$ cm², situé du même côté de O que DEF. Retrouve son rapport, puis calcule D1F1.

Ex. 41★★★Le verre à cocktail de Léon — La partie conique d'un verre à cocktail a une profondeur SH = $15$ cm, et son bord est un cercle de rayon HA = $4$ cm. Pleine, elle contient environ $250$ cm³. Léon verse du jus jusqu'à une hauteur SK = $12$ cm : le cône de jus est une réduction du cône du verre. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le rapport de cette réduction, puis le rayon KB de la surface du jus.
2. bCalcule l'aire de la surface du jus, en cm².
3. cLéon affirme : « Le jus monte aux $\frac{12}{15}$ de la hauteur, donc il y a $\frac{12}{15}$ de $250$ cm³. » A-t-il raison ? Donne le volume de jus en cm³, puis en cL.
4. dPour un autre cocktail, il faut $54$ cm³ de sirop au fond du verre vide. Jusqu'à quelle hauteur Léon doit-il le verser ?

Ex. 42★★★La fresque de Zoé — Zoé projette sur un mur un dessin rectangulaire de $15$ cm sur $10$ cm, tracé sur un transparent. La lampe O est à OH = $25$ cm du transparent et à OH′ = $3$ m du mur, parallèle au transparent. La fresque est l'image du dessin par l'homothétie de centre O et de rapport $k = \frac{\text{OH}'}{\text{OH}}$.

1. aCalcule le rapport $k$.
2. bZoé borde la fresque d'un ruban. Quelle longueur de ruban lui faut-il, en m ?
3. cCalcule l'aire de la fresque, en m².
4. dUn pot de peinture couvre $1{,}5$ m². Combien de pots Zoé doit-elle acheter ?
5. eZoé recule le projecteur : les longueurs de la fresque sont multipliées par $2{,}5$. Elle affirme : « Il me faudra $2{,}5$ fois plus de peinture. » A-t-elle raison ? Combien de pots doit-elle acheter en tout ?

Ex. 43★★★Automatismes : distances, longueurs, aires et volumes — Réponds à chaque question. Arrondis au dixième si besoin.

1. aPar l'homothétie de centre O et de rapport $k = -1{,}5$, M′ est l'image de M, avec $OM = 4$ cm. Calcule OM′, puis MM′.
2. bUn cercle de rayon $1{,}6$ cm a pour image, par une homothétie de rapport $k = -2{,}5$, un autre cercle. Calcule le rayon de ce cercle.
3. cPar une homothétie de rapport négatif, le segment [AB] de longueur $9$ cm a pour image un segment [A′B′] de longueur $15$ cm. Donne $k$ sous forme de fraction.
4. dUn triangle d'aire $20$ cm² a pour image, par une homothétie de rapport $k = \frac{4}{3}$, un autre triangle. Calcule l'aire de ce triangle.
5. eUn solide de volume $6$ cm³ a pour image, par une homothétie de rapport $-2$, un autre solide. Léo dit que c'est une réduction. Calcule le volume de l'image, puis corrige Léo.

Ex. 44★★★Lire une figure et son image sur quadrillage — Sur le quadrillage (1 carreau = 1 cm), le triangle K′L′M′ est l'image du triangle KLM rectangle en L par une homothétie de centre O.

1. aLe rapport $k$ de cette homothétie est-il positif ou négatif ? Justifie à l'aide des points O, K et K′.
2. bCompte les carreaux de KL et de K′L′, puis donne la valeur exacte de $k$ sous forme de fraction.
3. cQuelle est la mesure de l'angle $\widehat{K'L'M'}$ ? Justifie avec une propriété de l'homothétie.
4. dCalcule l'aire du triangle KLM, puis déduis-en l'aire du triangle K′L′M′ en utilisant le rapport $k$.

Ex. 45★★★La chambre noire d'Inès — Inès fabrique une chambre noire : la lumière passe par un petit trou O et forme sur le fond de la boîte l'image renversée d'un arbre [PS] haut de $8$ m. Le fond, parallèle à l'arbre, est à $15$ cm du trou, et l'arbre est à $12$ m du trou. L'image [P′S′] est l'image de [PS] par l'homothétie de centre O et de rapport $k$.

1. aExplique pourquoi le rapport $k$ est négatif, puis calcule $k$ sous forme de fraction
   (attention aux unités).
2. bCalcule la hauteur P′S′ de l'image de l'arbre sur le fond de la boîte.
3. cInès vise maintenant un immeuble haut de $18$ m, dont l'image mesure $12$ cm sur le fond. À quelle distance du trou se trouve l'immeuble ?

Ex. 46★★★Triangles emboîtés, Pythagore et aire — Le triangle ABC est rectangle en B, avec $AB = 10$ cm et $BC = 7{,}5$ cm. Le point M est sur [AB] avec $AM = 4$ cm, le point N est sur [AC] et $(MN) \parallel (BC)$.

1. aJustifie que le triangle AMN est l'image du triangle ABC par une homothétie de centre A, puis donne son rapport $k$ sous forme de fraction.
2. bCalcule AC, puis déduis-en AN et MN.
3. cCalcule l'aire du triangle ABC, puis celle du triangle AMN à l'aide du rapport $k$.

Ex. 47★★★Le théâtre d'ombres de Lucie — Lucie prépare un théâtre d'ombres. Une lampe ponctuelle O éclaire une plaque rectangulaire RSTU de $9$ cm sur $6$ cm, parallèle au mur. La plaque est à $OH = 40$ cm de la lampe et le mur à $OH' = 1{,}5$ m. On admet que l'ombre R′S′T′U′ est l'image de RSTU par l'homothétie de centre O qui transforme H en H′. Arrondis au dixième.

1. aExplique pourquoi le rapport $k$ de cette homothétie est positif, puis calcule $k$ sous forme de fraction irréductible.
2. bQuelle est la nature de l'ombre ? Justifie, puis calcule ses dimensions.
3. cNoah affirme : « L'aire de l'ombre vaut $3{,}75 \times 54 = 202{,}5$ cm². » A-t-il raison ? Justifie, puis calcule l'aire de l'ombre.
4. dLucie veut une ombre de $45$ cm de longueur, et le mur reste à $1{,}5$ m de la lampe. À quelle distance de la lampe doit-elle placer la plaque ? Justifie.

Ex. 48★★★Configuration papillon et erreur de signe — Les droites (FP) et (GQ) se coupent en E. P et F sont de part et d'autre de E, Q et G aussi, et $(PQ) \parallel (FG)$. Le triangle EFG est rectangle en E avec $EF = 8$ cm et $FG = 10$ cm, et $EP = 6$ cm.

1. aJustifie que le triangle EPQ est l'image du triangle EFG par une homothétie de centre E, puis donne son rapport $k$ sous forme de fraction irréductible
   (attention au signe).
2. bCalcule EG, puis EQ.
3. cYanis écrit : « $PQ = k \times FG = -\frac{3}{4} \times 10 = -7{,}5$ cm. » Explique son erreur, puis calcule PQ.
4. dQuelle est la nature du triangle EPQ ? Justifie.
5. eCalcule l'aire du triangle EFG, puis déduis-en celle du triangle EPQ à l'aide de $k$.

Ex. 49★★★Le verre conique d'Emma — Un verre a la forme d'un cône de révolution de sommet S. Sur la coupe ci-dessous, O est le centre du bord du verre, le rayon mesure $OA = 4{,}5$ cm et $SA = 7{,}5$ cm. Emma verse du jus jusqu'à la hauteur $SO' = 4$ cm : la surface du jus est un disque de centre O′ et de rayon O′A′, avec A′ sur [SA] et $(O'A') \parallel (OA)$. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la hauteur SO du verre.
2. bJustifie que le triangle SO′A′ est l'image du triangle SOA par une homothétie de centre S, donne son rapport $k$ sous forme de fraction irréductible, puis calcule le rayon O′A′.
3. cCalcule le volume du verre en valeur exacte, puis arrondi.
4. dEmma affirme : « Le jus monte aux $\frac{2}{3}$ de la hauteur, donc il occupe les $\frac{2}{3}$ du volume du verre. » Son affirmation est-elle juste ? Justifie, puis calcule le volume de jus.