49 exercices en 7 parties, du plus simple au plus difficile : ★★★ facile · ★★★ moyen · ★★★ difficile. Le corrigé détaillé est sur benprofparticulier.fr.
1.Coordonnées d’un point dans un repère
À retenir : $M(x\,;\,y)$ : abscisse d’abord. Axe des abscisses : $y = 0$ ; axe des ordonnées : $x = 0$. Symétrique de $M$ : $(x\,;\,-y)$ par rapport à l’axe des abscisses, $(-x\,;\,y)$ par rapport à l’axe des ordonnées, $(-x\,;\,-y)$ par rapport à $O$.
Ex. 1★★★Lire sur un repère gradué de 2 en 2— Le repère est orthonormé. Observe bien les graduations des axes avant de lire.
aLis les coordonnées des points $P$ et $R$.
bZoé lit $U(-8\,;\,-2)$. Corrige son erreur.
cLis les coordonnées de $T$ et de $S$, puis indique l’axe sur lequel se trouve chacun.
dPlace le point $V(5\,;\,-3)$ sur la figure. Explique comment tu fais.
eQuel point de la figure a la plus grande ordonnée ? Justifie.
Ex. 2★★★Symétriques : axes ou origine ?— Le repère $(O\,;\,I,\,J)$ est orthonormé.
aDonne le symétrique de $A(4\,;\,-7)$ par rapport à l’axe des abscisses.
bDonne le symétrique de $B(-3{,}5\,;\,2)$ par rapport à l’axe des ordonnées.
cDonne le symétrique de $C\left(\frac{1}{2}\,;\,-6\right)$ par rapport à l’origine $O$.
dNoé affirme : « le symétrique de $F(2\,;\,-5)$ par rapport à $O$ est $(-5\,;\,2)$ ». A-t-il raison ? Justifie.
e$G'(-1\,;\,-4)$ est le symétrique d’un point $G$ par rapport à l’axe des ordonnées. Donne les coordonnées de $G$.
fDonne le symétrique de $H(-5\,;\,0)$ par rapport à l’axe des abscisses. Que remarques-tu ?
Ex. 3★★★Un repère orthogonal non orthonormé— Sur un dessin, le repère $(O\,;\,I,\,J)$ est orthogonal, avec $OI = 2$ cm et $OJ = 1{,}5$ cm. L’axe des abscisses est horizontal.
aÀ combien de centimètres de l’axe des ordonnées, puis de l’axe des abscisses, se trouve $A(3\,;\,4)$ ?
bDécris en centimètres la position de $B(-2{,}5\,;\,-2)$ par rapport aux deux axes.
c$K$ est à 4 cm à droite de l’axe des ordonnées et à 4,5 cm sous l’axe des abscisses. Maël écrit $K(4\,;\,-4{,}5)$. A-t-il raison ? Justifie.
d$L(2\,;\,2)$ a la même abscisse et la même ordonnée. Est-il à la même distance, en cm, des deux axes ? Justifie.
Ex. 4★★★La carte d’un jeu vidéo— La carte d’un jeu est munie d’un repère orthonormé d’origine $O$, la fontaine. L’axe des abscisses est la route est-ouest (orientée vers l’est). L’axe des ordonnées est la route nord-sud (orientée vers le nord). Le joueur est en $P(-4\,;\,3)$, l’entrée en $E(0\,;\,5)$.
aDans quelle zone (nord-est, nord-ouest, sud-est ou sud-ouest) se trouve le joueur ? Justifie avec les signes.
bLe coffre $C$ est le symétrique de $P$ par rapport à la fontaine. Donne ses coordonnées et sa zone.
cLa sortie $D$ est sur la route est-ouest, à 6 unités à l’ouest de la fontaine. Donne les coordonnées de $D$. Sur quelle route se trouve l’entrée $E$ ?
dLe monstre $M$ est le symétrique de $P$ par rapport à la route nord-sud. Inès écrit $M(-4\,;\,-3)$. A-t-elle raison ? Justifie.
eUn portail a pour coordonnées $(a\,;\,b)$ avec $a < 0$ et $b < 0$. Dans quelle zone est-il ? Et son symétrique par rapport à la fontaine ?
Ex. 5★★★Deux symétries à la suite— Le repère $(O\,;\,I,\,J)$ est orthonormé. On donne $A(-3\,;\,2{,}5)$ et $E(0\,;\,-4)$.
aDonne les coordonnées de $B$, symétrique de $A$ par rapport à l’axe des abscisses. Donne ensuite celles de $C$, symétrique de $B$ par rapport à l’axe des ordonnées.
bCompare $C$ au symétrique de $A$ par rapport à $O$. Démontre ensuite que, pour tout point $M(x\,;\,y)$, ces deux symétries à la suite donnent le symétrique de $M$ par rapport à $O$.
cLina affirme : « Le symétrique de $E$ par rapport à l’axe des ordonnées est le point $(4\,;\,0)$. » A-t-elle raison ? Justifie.
dDétermine tous les points $M(x\,;\,y)$ qui sont leur propre symétrique par rapport à l’origine $O$. Justifie.
Ex. 6★★★Le plan d’un terrain de sport— Sur le plan d’un terrain, le repère $(O\,;\,I,\,J)$ est orthogonal mais pas orthonormé : $OI = 2$ cm et $OJ = 0{,}5$ cm. L’axe des abscisses est horizontal, orienté vers la droite. L’axe des ordonnées est orienté vers le haut.
aLe point d’engagement $E$ est sur l’axe des ordonnées, à $4$ cm au-dessous de $O$ sur le plan. Lou écrit $E(-4\,;\,0)$. Corrige ses deux erreurs.
bLes coins du terrain sont les points $(-4\,;\,-10)$,$(4\,;\,-10)$, $(4\,;\,10)$ et $(-4\,;\,10)$. Quelles sont les dimensions, en cm, du rectangle dessiné sur le plan ?
cSur le plan, le point $M$ est en haut à gauche de $O$, à la même distance (en cm) des deux axes. Son abscisse est $-1{,}5$. Calcule son ordonnée.
dVrai ou faux ? « Sur le plan, si un point est à la même distance des deux axes, alors son ordonnée est égale à 4 fois son abscisse. » Justifie.
Ex. 7★★★La trajectoire d’un drone— Un drone survole un champ muni d’un repère orthonormé $(O\,;\,I,\,J)$. À l’instant $t$ (en minutes, $t \geqslant 0$), il est au point $D(2t - 4\,;\,5 - t)$. Il part de $A(-4\,;\,5)$ et passe en $B(-2\,;\,4)$ une minute plus tard.
aÀ quel instant le drone traverse-t-il l’axe des ordonnées ? Donne les coordonnées du point traversé.
bLéo affirme : « Le drone traverse l’axe des abscisses au point $(3\,;\,0)$. » A-t-il raison ? Justifie.
cLe drone passe-t-il par l’origine $O$ ? Justifie.
dLe drone passe-t-il par le symétrique de $A$ par rapport à $O$ ? Justifie.
eÀ quel instant l’abscisse et l’ordonnée du drone sont-elles égales ? Donne alors ses coordonnées.
2.Coordonnées du milieu
À retenir : Milieu de $[AB]$ : $x_I = \frac{x_A + x_B}{2}$, et de même pour $y$, dans tout repère. Extrémité ou symétrique : $x_B = 2x_I - x_A$. On additionne en gardant les parenthèses : $\frac{-3 + 5}{2} = 1$. Un point équidistant de $A$ et $B$ n'est pas forcément le milieu.
Ex. 8★★★Calculer des milieux— Automatisme. Dans un repère $(O\,;\,I,\,J)$, calcule les coordonnées du milieu de chaque segment.
aLe segment $[EF]$ avec $E(-4\,;\,7)$ et $F(6\,;\,-1)$.
bLe segment $[GH]$ avec $G(-6\,;\,-2)$ et $H(-1\,;\,4)$.
cLe segment $[KL]$ avec $K(0\,;\,-5)$ et $L(8\,;\,3)$.
dLe segment $[RS]$ avec $R(1{,}5\,;\,-2)$ et $S(-4{,}5\,;\,6)$.
eLe segment $[TU]$ avec $T(-7\,;\,3)$ et $U(-2\,;\,-3)$.
fLe segment $[XY]$ avec $X\left(\frac{1}{3}\,;\,4\right)$ et $Y(1\,;\,-5)$.
Ex. 9★★★Retrouver une extrémité, un symétrique— Automatisme. Dans un repère du plan, calcule les coordonnées demandées.
a$I(2\,;\,-1)$ est le milieu de $[AB]$ et $A(5\,;\,3)$. Calcule les coordonnées de $B$.
b$N(-3\,;\,0)$ est le milieu de $[CD]$ et $C(-1\,;\,4)$. Calcule les coordonnées de $D$.
cCalcule les coordonnées du symétrique $V'$ de $V(4\,;\,-6)$ par rapport à $K(1\,;\,-2)$.
dCalcule les coordonnées du symétrique $F'$ de $F(-2\,;\,1)$ par rapport à $E(0{,}5\,;\,3)$.
e$P(3\,;\,-4)$ est le symétrique de $Q$ par rapport à $J(-1\,;\,0{,}5)$. Calcule les coordonnées de $Q$.
Ex. 10★★★L'erreur de Tom— Dans un repère, on donne $A(-5\,;\,2)$, $B(3\,;\,-4)$ et $C(0\,;\,7)$. Pour le milieu $I$ de $[AB]$, Tom écrit : $x_I = \frac{3 - (-5)}{2} = 4$ et $y_I = \frac{-4 - 2}{2} = -3$, donc $I(4\,;\,-3)$.
aQuelle erreur Tom a-t-il commise ? Explique.
bCalcule les coordonnées exactes du milieu $I$ de $[AB]$.
cCalcule $x_A + 4$ et $y_A + (-3)$. Que représentent alors les nombres $4$ et $-3$ trouvés par Tom ?
dCalcule les coordonnées du milieu $J$ de $[BC]$.
Ex. 11★★★Vrai ou faux autour du milieu— Le repère est orthonormé. On donne $P(-4\,;\,1)$, $Q(2\,;\,-1)$ et $R(0\,;\,3)$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie.
a« Le point $M(-1\,;\,0)$ est le milieu de $[PQ]$. »
b« $RP = RQ$, donc $R$ est le milieu de $[PQ]$. »
c« Si le milieu d'un segment est sur l'axe des abscisses, alors les deux extrémités sont sur cet axe. »
d« Le symétrique de $Q$ par rapport à $R$ est le point $S(-2\,;\,5)$. »
Ex. 12★★★Milieu dans un repère non orthonormé— Le plan est muni d'un repère $(O\,;\,I,\,J)$ orthogonal mais pas orthonormé : $OI = 1$ cm et $OJ = 2$ cm. On donne $A(-4\,;\,3)$, $B(2\,;\,-2)$ et $C(5\,;\,1)$. Ce repère ne se dessine pas sur un quadrillage carré : travaille par le calcul.
aInès affirme : « Le repère n'est pas orthonormé, donc on ne peut pas calculer le milieu $K$ de $[AB]$. » A-t-elle raison ? Justifie, puis calcule les coordonnées de $K$.
bCalcule les coordonnées du point $D$, symétrique de $C$ par rapport à $K$. Sur quel axe se trouve $D$ ?
cMathis dit : « $D$ est sur un axe, donc le milieu de $[CD]$ a une ordonnée nulle. » Vrai ou faux ? Justifie.
dInès écrit $AB = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{61}$ cm. Explique son erreur, puis calcule la vraie longueur $AB$ en cm (valeur exacte).
Ex. 13★★★Antennes relais : équidistant ou milieu ?— Sur une carte munie d'un repère orthonormé (unité : 1 km), deux antennes relais sont placées en $A(-4\,;\,-2)$ et $B(4\,;\,4)$. Un relais est installé en $R(-3\,;\,5)$.
aCalcule les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$.
bCalcule les distances $RA$ et $RB$ (valeurs exactes, radicaux simplifiés).
cSacha conclut : « $R$ est à la même distance de $A$ et de $B$, donc $R$ est le milieu de $[AB]$. » A-t-il raison ? Justifie.
dOn installe une antenne en $E$, symétrique de $R$ par rapport à $M$. Calcule les coordonnées de $E$.
eQuelle est la nature du quadrilatère $ARBE$ ? Justifie.
Ex. 14★★★Le trajet du drone— Dans un repère orthonormé (unité : 100 m), un drone survole un champ. On donne $A(4\,;\,-5)$, $B(-2\,;\,3)$ et $P(1\,;\,-1)$.
aJade lit sur la figure que $P$ est le milieu de $[AB]$. Une lecture ne suffit pas : démontre-le par un calcul.
bLe drone atterrit en un point $C$ de l'axe des ordonnées tel que le milieu $N$ de $[AC]$ soit sur l'axe des abscisses. Détermine les coordonnées de $C$, puis celles de $N$.
cPour le milieu $Q$ de $[BC]$, Hugo tape $3 + 5 \div 2$ à la calculatrice et annonce $y_Q = 5{,}5$. Corrige son erreur, puis calcule les coordonnées de $Q$.
dLe quadrilatère $PNCQ$ est-il un parallélogramme ? Justifie en nommant ses diagonales.
3.Retrouver une extrémité ou un symétrique
À retenir : Milieu $I$ de $[AB]$ connu : $x_B = 2x_I - x_A$ (et non $x_I - x_A$), idem pour $y$. Ex. : $I(1\,;\,0)$, $A(3\,;\,2)$ donnent $B(-1\,;\,-2)$. Symétrique de $A$ par rapport à $I$ : même calcul. Parallélogramme $ABCD$ : $D$ = symétrique de $B$ par rapport au milieu de $[AC]$.
Ex. 15★★★Retrouver une extrémité— Dans chaque cas, calcule les coordonnées du point demandé.
a$K(2\,;\,1)$ est le milieu de $[AB]$ avec $A(-1\,;\,3)$. Calcule les coordonnées de $B$.
bLe milieu de $[CD]$ est l'origine $O$ du repère, avec $C(2\,;\,-4)$. Calcule les coordonnées de $D$.
c$E(1{,}5\,;\,-2)$ est le milieu de $[FG]$ avec $G(4\,;\,-3{,}5)$. Calcule les coordonnées de $F$.
dLe milieu $N$ de $[PQ]$ est le point de l'axe des ordonnées d'ordonnée $\frac{1}{2}$, et $P(-5\,;\,3)$. Calcule les coordonnées de $Q$.
e$R(-3\,;\,-5)$ est le milieu de $[ST]$ avec $S(-7\,;\,-1)$. Calcule les coordonnées de $T$, puis vérifie ton résultat par le calcul du milieu.
Ex. 16★★★Symétrique d'un point par rapport à un point— Calcule les coordonnées du point demandé.
aLe symétrique $A'$ de $A(5\,;\,2)$ par rapport à $K(1\,;\,-1)$.
bOn propose $Z(-5\,;\,-10)$ comme symétrique de $P(3\,;\,-6)$ par rapport à $H(-1\,;\,-2)$. Vérifie-le par un calcul de milieu, puis calcule le vrai symétrique $P'$ de $P$.
cLe symétrique $L'$ de $L(0\,;\,4)$ par rapport à $E(-1\,;\,-2)$.
dLe symétrique $E'$ de $E(-1\,;\,-2)$ par rapport à $L(0\,;\,4)$. Obtiens-tu le même point qu'à la question précédente ?
e$U'(-3{,}5\,;\,4)$ est le symétrique de $U$ par rapport à $V(-0{,}5\,;\,1{,}5)$. Calcule les coordonnées de $U$.
f$S(4\,;\,-1)$ est le symétrique de $R(-2\,;\,3)$ par rapport au point $T$. Calcule les coordonnées de $T$.
Ex. 17★★★Trois élèves, une extrémité— $I(1\,;\,-1)$ est le milieu de $[AB]$ avec $A(-3\,;\,4)$. On cherche les coordonnées de $B$.
aLéa écrit $x_B = x_I - x_A$ et $y_B = y_I - y_A$, et trouve $B(4\,;\,-5)$. A-t-elle raison ? Justifie en calculant le milieu de $[AB]$ avec son point.
bMalik divise les coordonnées de $I$ par $2$ et trouve $B(0{,}5\,;\,-0{,}5)$. A-t-il raison ? Justifie en calculant le milieu de $[AB]$ avec son point.
cCalcule les coordonnées exactes de $B$, puis vérifie ton résultat par le calcul du milieu.
dInès écrit $y_B = 2 \times (-1) - 4 = 2$. Explique son erreur.
Ex. 18★★★La quatrième tour— Dans un jeu vidéo, la carte est un repère orthonormé (unité : une case). Trois tours sont en $A(-4\,;\,1)$, $B(1\,;\,3)$ et $C(3\,;\,-2)$. On veut placer une tour $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.
aCalcule les coordonnées du milieu $K$ de $[AC]$.
bNora affirme : « $D$ est le symétrique de $A$ par rapport à $K$. » A-t-elle raison ? Justifie, puis calcule les coordonnées de $D$.
cVérifie ton résultat en calculant le milieu de $[BD]$.
dOn cherche maintenant le point $E$ tel que $ABEC$ soit un parallélogramme. Quelles sont ses diagonales ? Calcule les coordonnées de $E$. Est-ce le point $D$ ?
Ex. 19★★★Symétries en chaîne— Dans un repère orthonormé, on donne $A(-3\,;\,2)$, $K(-1\,;\,-1)$ et $L(2\,;\,1)$. On note $A'$ le symétrique de $A$ par rapport à $K$, puis $A''$ le symétrique de $A'$ par rapport à $L$.
aCalcule les coordonnées de $A'$, puis vérifie-les par un calcul de milieu.
bCalcule les coordonnées de $A''$.
cNoé affirme : « $A''$ est le symétrique de $A$ par rapport au milieu $M$ de $[KL]$. » Vrai ou faux ? Justifie.
dCalcule $AA''$ et $KL$ en valeur exacte (radicaux simplifiés). Que remarques-tu ?
eLe triangle $AA'A''$ est-il rectangle ? Est-il isocèle ? Justifie.
Ex. 20★★★La parcelle du cadastre— Sur un plan cadastral muni d'un repère orthonormé, trois bornes d'une parcelle sont en $A(-4\,;\,-1)$, $B(1\,;\,-1)$ et $C(4\,;\,3)$. On cherche la quatrième borne $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.
aCalcule les coordonnées du milieu $M$ de $[AC]$, puis celles de $D$. Vérifie par un calcul de milieu.
bHugo calcule le milieu $N$ de $[AB]$, puis le symétrique de $C$ par rapport à $N$ : il obtient $E(-7\,;\,-5)$. A-t-il trouvé $D$ ? Quel parallélogramme a-t-il construit ? Justifie.
cCalcule $AB$,$BC$, $AC$ et $BD$ en valeur exacte (radicaux simplifiés).
dQuelle est la nature précise de $ABCD$ (parallélogramme, losange, rectangle ou carré) ? Justifie en citant les propriétés.
Ex. 21★★★La carte au trésor— Une carte au trésor est munie d'un repère orthonormé. On y voit le puits $P(4\,;\,-1)$, le chêne $C(1\,;\,2)$, la grotte $G(-2\,;\,-1)$ et la ruine $R(5\,;\,3)$. Le trésor $T$ est le symétrique du puits par rapport au chêne.
aCalcule les coordonnées de $T$, puis vérifie-les par un calcul de milieu.
bZoé calcule $2x_P - x_C$ et $2y_P - y_C$, et trouve $T(7\,;\,-4)$. A-t-elle raison ? Justifie par un calcul de milieu.
cLe triangle $PGT$ est-il rectangle ? Justifie.
dDétermine le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle $PGT$ (valeur exacte du rayon).
eMaël arrondit à l'unité : $CR \approx 4$ et le rayon vaut environ $4$, donc « la ruine est sur ce cercle ». A-t-il raison ? Justifie.
4.Distance entre deux points
À retenir : Repère orthonormé : $AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$, l'ordre est indifférent et $(-4)^2 = 16$. Valeur exacte simplifiée : $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$. $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \neq 7$ ; $\sqrt{2} + \sqrt{8} = 3\sqrt{2}$ mais $\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq \sqrt{5}$.
Ex. 22★★★Lire puis mesurer— Le repère est orthonormé. Utilise la figure ci-dessous. Donne chaque distance sous forme de valeur exacte simplifiée.
aLis les coordonnées des points $A$,$B$, $C$ et $D$.
bCalcule $AB$ sans utiliser de racine carrée : $A$ et $B$ ont la même ordonnée.
cCalcule $AC$.
dCalcule $CD$.
eCalcule la distance $OD$ entre l'origine $O$ et le point $D$.
Ex. 23★★★Distances en série— Le repère est orthonormé. Calcule chaque distance et donne sa valeur exacte, sous forme simplifiée.
a$EF$ avec $E(2\,;\,3)$ et $F(-5\,;\,-4)$.
b$MN$ avec $M(2{,}5\,;\,-1)$ et $N(-3{,}5\,;\,2)$.
c$PQ$ avec $P\left(\dfrac{1}{2}\,;\,-2\right)$ et $Q\left(-\dfrac{5}{2}\,;\,2\right)$.
d$RS$ avec $R(-3\,;\,-5)$ et $S(-3\,;\,2)$.
e$OT$ avec $O$ l'origine du repère et $T(-8\,;\,2)$.
f$UV$ avec $U(0\,;\,-4)$ et $V(-2\,;\,1)$, puis son arrondi au centième.
Ex. 24★★★Quatre copies à corriger— Ben a relevé quatre raisonnements d'élèves. Dis si chacun est juste, justifie, puis donne le bon résultat sous forme de valeur exacte.
aRepère orthonormé, $A(-2\,;\,-4)$ et $B(3\,;\,8)$. Noé écrit : $AB = \sqrt{5^2 + 12^2} = 5 + 12 = 17$. A-t-il raison ? Justifie.
bRepère orthonormé, $C(5\,;\,-1)$ et $D(1\,;\,2)$. Mila écrit : $CD^2 = (-4)^2 + 3^2 = -16 + 9 = -7$, « la distance n'existe pas ». A-t-elle raison ? Justifie.
cRepère orthonormé, $K(-1\,;\,5)$ et $L(0\,;\,-1)$. Jade calcule $(x_K - x_L)^2 + (y_K - y_L)^2$ ; Hugo dit qu'elle a inversé l'ordre et que c'est faux. Qui a raison ? Calcule $KL$.
dRepère orthogonal : en abscisse 1 unité = 1 cm, en ordonnée 1 unité = 2 cm. Inès trouve $GH = \sqrt{13}$ cm pour $G(1\,;\,1)$ et $H(4\,;\,3)$. Explique son erreur puis calcule $GH$ en cm.
Ex. 25★★★Allées du parc— Sur le plan d'un parc, dans un repère orthonormé d'unité 10 m, on place le kiosque $K(-3\,;\,2)$, la fontaine $F(1\,;\,-2)$ et le banc $B(3\,;\,4)$. Des allées droites relient ces trois lieux.
aCalcule les valeurs exactes simplifiées de $KF$, $FB$ et $KB$.
bDéduis-en le périmètre exact du triangle $KFB$, sous forme simplifiée.
cTom affirme que ce périmètre vaut $8\sqrt{12}$. A-t-il raison ? Justifie.
dDonne la longueur totale des allées en mètres, arrondie au mètre.
eL'entrée du parc est à l'origine $O$ du repère. Lequel des trois lieux $K$,$F$, $B$ est le plus proche de l'entrée ? Justifie.
Ex. 26★★★Sur le segment ou pas ?— Le repère est orthonormé. On donne $A(-3\,;\,-2)$,$B(1\,;\,0)$, $C(5\,;\,2)$ et $D(2\,;\,1)$. On rappelle : un point $B$ appartient au segment $[AC]$ si et seulement si $AB + BC = AC$. Donne les distances en valeur exacte simplifiée.
aCalcule $AB$, $BC$ et $AC$.
bLéa écrit : « $AB + BC = \sqrt{20} + \sqrt{20} = \sqrt{40}$ ». A-t-elle raison ? Justifie. Le point $B$ appartient-il au segment $[AC]$ ?
cCalcule $AD$ et $DC$.
dSacha arrondit à l'unité : « $AD + DC \approx 9$ et $AC \approx 9$, donc $D$ appartient à $[AC]$ ». A-t-il raison ? Justifie en comparant $(AD + DC)^2$ et $AC^2$.
eÀ l'aide des questions précédentes, que représente le point $B$ pour le segment $[AC]$ ? Vérifie avec la formule du milieu.
Ex. 27★★★Antenne relais— Sur une carte, dans un repère orthonormé d'origine $O$ et d'unité 1 km, une antenne relais est placée en $K(-2\,;\,1)$. Elle couvre tous les lieux situés à 5 km d'elle ou moins. On place la ferme $F(-6\,;\,-2)$, le gîte $G(-7\,;\,-3)$ et le château $R(4\,;\,1)$.
aLa mairie est en $O$. Calcule la distance $OK$ : donne sa valeur exacte, puis un arrondi à 0,01 km.
bCalcule $KF$. La ferme est-elle couverte ?
cLe gîte est-il couvert ? Justifie en comparant des carrés, sans calculer de racine.
dLes points $K$ et $R$ ont la même ordonnée. Calcule $KR$ sans utiliser toute la formule. Le château est-il couvert ?
eUne route rectiligne relie tous les points d'ordonnée $-3$. Trouve les points de cette route situés exactement à 5 km de l'antenne.
Ex. 28★★★Trajet d'un drone— Un drone survole un terrain muni d'un repère orthonormé. Il part de $S(-3\,;\,1)$, passe par $T(-2\,;\,0)$ puis $U(0\,;\,-2)$ et se pose en $V(7\,;\,-1)$, en ligne droite entre deux points. Donne les longueurs en valeur exacte simplifiée.
aCalcule $ST$, $TU$ et $UV$.
bCalcule la longueur exacte du trajet $S \to T \to U \to V$, sous forme simplifiée.
cLe drone revient en ligne droite de $V$ à $S$. Calcule $SV$.
dSans valeur approchée, justifie que le trajet aller est plus long que le retour.
5.Nature d’un triangle par le calcul
À retenir : Calcule les trois carrés (valeurs exactes). Plus grand = somme des deux autres : rectangle au sommet opposé (réciproque du théorème de Pythagore). Sinon : non rectangle (contraposée). Deux carrés égaux : isocèle ; trois : équilatéral.
Ex. 29★★★Trois carrés, puis on conclut— Dans un repère orthonormé, on donne $E(-3\,;\,4)$, $F(2\,;\,-1)$ et $G(-1\,;\,-2)$.
aCalcule $EF^2$.
bCalcule $FG^2$.
cCalcule $EG^2$.
dQuel est le plus grand des trois carrés ? Compare-le à la somme des deux autres.
eLe triangle $EFG$ est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ? Justifie.
fCalcule l'aire du triangle $EFG$ en valeur exacte.
Ex. 30★★★Conclure à partir des longueurs— Pour chaque triangle, trouve sa nature (isocèle, équilatéral, rectangle ou aucune de ces natures) et justifie.
aTriangle $RUV$ avec $RU^2 = 18$, $UV^2 = 18$ et $RV^2 = 36$.
bTriangle $LNP$ avec $LN = \sqrt{20}$, $NP = 2\sqrt{5}$ et $LP = \sqrt{20}$.
cTriangle $BCK$ avec $B(1\,;\,-1)$,$C(3\,;\,3)$,$K(-5\,;\,2)$. Noé trouve $BC^2 = 20$,$BK^2 = 45$,$CK^2 = 65$. Il calcule $BC^2 + CK^2 = 85 \neq 45$ et conclut que le triangle n'est pas rectangle. A-t-il raison ? Justifie.
dTriangle $MQT$ avec $MQ = \sqrt{26}$, $QT = \sqrt{13}$ et $MT = 2\sqrt{10}$.
Ex. 31★★★Il a l'air rectangle…— Dans un repère orthonormé, on donne $C(0\,;\,1)$, $L(1\,;\,-2)$ et $S(5\,;\,-1)$. Sur le quadrillage, le triangle $CLS$ semble rectangle en $L$. On donne aussi $T(4\,;\,-1)$.
aCalcule $LS^2$, $LC^2$ et $CS^2$.
bLe triangle $CLS$ est-il rectangle ? Justifie.
cHugo arrondit les longueurs à l'unité : $LS \approx 4$,$LC \approx 3$,$CS \approx 5$. Comme $3^2 + 4^2 = 5^2$, il conclut que $CLS$ est rectangle en $L$. Explique son erreur.
dQuelle est la nature du triangle $CLT$ ? Justifie.
Ex. 32★★★Les balises du drone— Un drone vole entre trois balises placées dans un repère orthonormé (unité : 10 m) : $P(-3\,;\,-1)$, $Q(1\,;\,-1)$ et $R(-1\,;\,2{,}5)$.
aCalcule $PQ^2$, $PR^2$ et $QR^2$.
bZoé affirme : « Le triangle $PQR$ est équilatéral. » A-t-elle raison ? Justifie.
cLe triangle $PQR$ est-il rectangle ? Justifie.
dOn note $H$ le milieu de $[PQ]$. Calcule les coordonnées de $H$ et la longueur $RH$, puis l'aire du triangle $PQR$ en m².
Ex. 33★★★Le bon sommet et le cercle circonscrit— Dans un repère orthonormé, on donne $A(-2\,;\,3)$, $B(0\,;\,-1)$ et $C(-3\,;\,2)$.
aCalcule $AB^2$, $AC^2$ et $BC^2$.
bInès écrit : « $AB^2 = AC^2 + BC^2$, donc $ABC$ est rectangle en $A$. » Explique son erreur, puis conclus en citant le théorème utilisé.
cDonne les coordonnées du centre $K$ et le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$. Justifie.
dLe point $D(-2\,;\,-1)$ est-il sur ce cercle ? Justifie.
eQuelle est la nature du triangle $ABD$ ? Justifie.
Ex. 34★★★Le portail du jeu vidéo— Dans un jeu vidéo, l'écran est muni d'un repère orthonormé (unité : 1 case). Le héros est en $A(0\,;\,2)$, le coffre en $B(4\,;\,0)$. On veut placer un portail $P$ sur l'axe des abscisses pour que le triangle $ABP$ soit rectangle en $A$.
aCalcule $AB^2$.
bOn note $P(x\,;\,0)$. Exprime $AP^2$ et $BP^2$ en fonction de $x$.
cQuel côté est l'hypoténuse de $ABP$ ? Déduis-en une équation, puis les coordonnées de $P$.
dLéo place le portail à l'origine $O$. Le triangle $ABO$ est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ? Ce choix convient-il ? Justifie.
eCalcule la valeur exacte de l'aire du triangle $ABP$.
Ex. 35★★★Quatre triangles à l'épreuve— Dans un repère orthonormé, on étudie plusieurs triangles. Chaque réponse se justifie par les trois carrés de longueurs et un théorème ou une définition cités.
aVrai ou faux ? Justifie : le triangle $KLM$ avec $K(-2\,;\,-1)$, $L(2\,;\,-1)$ et $M(0\,;\,-1 + 2\sqrt{3})$ est équilatéral.
bMaëlle affirme que le triangle $DEF$, avec $D(-3\,;\,1)$, $E(1\,;\,-2)$ et $F(6\,;\,-2)$, est isocèle en $D$. A-t-elle raison ? Précise la nature de $DEF$.
cSacha dit : « Si $AB^2 + AC^2 \neq BC^2$, alors $ABC$ n'est pas rectangle. » Montre qu'il a tort avec $A(-3\,;\,3)$, $B(1\,;\,3)$ et $C(1\,;\,-3)$.
dCalcule la valeur exacte de l'aire du triangle $UVW$ avec $U(-4\,;\,-3)$, $V(-2\,;\,-1)$ et $W(1\,;\,-4)$.
6.Nature d’un quadrilatère par le calcul
À retenir : $ABCD$ parallélogramme ⇔ $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu. Puis côtés consécutifs : $AB = BC$ → losange ; diagonales : $AC = BD$ → rectangle ; les deux → carré. Ex. : $AB = BC$ mais $AC \neq BD$ : losange, pas carré.
Ex. 36★★★Parallélogramme ou pas ?— Dans chaque cas, calcule les milieux des deux diagonales du quadrilatère. Dis s'il est un parallélogramme.
a$EFGH$ avec $E(-2\,;\,-1)$,$F(3\,;\,0)$,$G(4\,;\,3)$,$H(-1\,;\,2)$.
b$MNPQ$ avec $M(1\,;\,-3)$,$N(5\,;\,-2)$,$P(6\,;\,2)$,$Q(1\,;\,1)$.
c$RSTU$ avec $R(-4\,;\,2)$,$S(-1\,;\,-2)$,$T(2\,;\,1)$,$U(-1\,;\,5)$.
d$ABCD$ avec $A(-0{,}5\,;\,-3)$,$B(1{,}5\,;\,1)$,$C(-2{,}5\,;\,3)$,$D(-4{,}5\,;\,-1)$.
Ex. 37★★★Trouver le quatrième sommet— Dans chaque cas, le quadrilatère est un parallélogramme. Calcule les coordonnées du sommet manquant, puis contrôle avec le milieu de l'autre diagonale.
a$ABCD$ avec $A(-3\,;\,2)$,$B(1\,;\,4)$, $C(2\,;\,-1)$ : trouve $D$.
b$EFGH$ avec $E(4\,;\,-1)$,$F(6\,;\,3)$, $H(-2\,;\,0)$ : trouve $G$.
c$RSTU$ avec $S(-5\,;\,-2)$,$T(-1\,;\,-4)$, $U(0\,;\,1)$ : trouve $R$.
d$KLMN$ avec $K(1\,;\,0)$,$L(4\,;\,-3)$, $N(-1\,;\,-2)$ : trouve $M$.
Ex. 38★★★Le massif du parc— Sur le plan d'un parc, dans un repère orthonormé (unité : 1 m), un massif de fleurs a pour sommets $A(1\,;\,1)$,$B(-3\,;\,4)$, $C(-3\,;\,-1)$ et $D(1\,;\,-4)$.
aLe quadrilatère $ABCD$ est-il un parallélogramme ? Justifie.
bCalcule $AB^2$ et $BC^2$. Qu'en déduis-tu pour $ABCD$ ? Justifie.
cCalcule les longueurs $AC$ et $BD$ en valeur exacte (radical simplifié).
dZoé affirme : « Les quatre côtés sont égaux, donc $ABCD$ est un carré. » A-t-elle raison ? Justifie.
eL'aire d'un losange vaut $\frac{AC \times BD}{2}$, où $AC$ et $BD$ sont ses diagonales. Calcule l'aire du massif en m².
Ex. 39★★★Hugo et Inès se trompent— Dans un repère orthonormé, on donne $A(-2\,;\,-1)$,$B(2\,;\,-3)$, $C(5\,;\,3)$ et $D(1\,;\,5)$.
aHugo calcule les milieux de $[AB]$ et de $[CD]$, les trouve différents et conclut : « $ABCD$ n'est pas un parallélogramme. » Explique son erreur, puis conclus correctement.
bInès remarque que $AB = CD$ et affirme : « $ABCD$ est un losange. » Calcule $AB^2$ et $BC^2$. A-t-elle raison ? Justifie.
cCalcule $AC^2$ et $BD^2$. Quelle est la nature la plus précise de $ABCD$ ? Justifie.
dCalcule l'aire de $ABCD$ (en unités d'aire).
Ex. 40★★★La gemme du jeu vidéo— Dans un jeu vidéo, une gemme est dessinée sur l'écran dans un repère orthonormé (unité : 1 cm). Ses sommets sont $P(-3\,;\,1)$,$Q(1\,;\,6)$, $R(5\,;\,1)$ et $S(1\,;\,-2)$.
aCalcule $PQ^2$ et $QR^2$, puis les longueurs $PR$ et $QS$.
bJade affirme : « Deux côtés consécutifs sont égaux et les diagonales ont la même longueur, donc $PQRS$ est un carré. » A-t-elle raison ? Justifie.
cLe graphiste garde $P$ et $R$ et veut un carré $PVRW$ de diagonale $[PR]$, avec $V$ et $W$ d'abscisse $1$ et $y_V > y_W$. Trouve $V$ et $W$, puis justifie que $PVRW$ est un carré.
dCalcule l'aire exacte du carré $PVRW$.
Ex. 41★★★Les balises du drone— Sur un terrain d'essai, un repère orthonormé est choisi (unité : 100 m). Quatre balises sont placées en $E(2\,;\,3)$,$F(-2\,;\,5)$, $G(-4\,;\,1)$ et $H(1\,;\,-1)$. Un drone doit faire le tour d'un parallélogramme.
aLe quadrilatère $EFGH$ est-il un parallélogramme ? Justifie.
bOn déplace la balise $H$ en un point $P$ tel que $EFGP$ soit un parallélogramme. Calcule les coordonnées de $P$.
cDétermine la nature la plus précise de $EFGP$. Justifie en respectant l'ordre des étapes.
dLe drone parcourt $E \to F \to G \to P \to E$. Calcule la longueur exacte de ce trajet.
eLe drone survole ensuite le cercle qui passe par $E$,$F$, $G$ et $P$. Donne son centre et son rayon exact. Justifie.
Ex. 42★★★L'aire de jeux— Sur le plan d'une aire de jeux, dans un repère orthonormé (unité : 1 m), les quatre coins de la zone de sable sont $T(-4\,;\,0)$,$R(-2\,;\,-2)$, $U(1\,;\,1)$ et $S(-1\,;\,3)$. La zone est le quadrilatère $TRUS$.
aNomme les deux diagonales du quadrilatère $TRUS$. $TRUS$ est-il un parallélogramme ? Justifie.
bCalcule $TR^2$, $RU^2$ et $TU^2$. Le triangle $TRU$ est-il rectangle ? Justifie.
cDéduis-en la nature la plus précise de $TRUS$. Justifie.
dRetrouve la nature de $TRUS$ d'une autre façon, en comparant les longueurs des diagonales.
eCalcule l'aire exacte de la zone de sable.
7.Cercles et points équidistants
À retenir : $M$ est sur le cercle de centre $K$ et de rayon $r$ ⇔ $KM^2 = r^2$ (ex. : $K(0\,;\,0)$,$M(3\,;\,4)$,$KM^2 = 25 = 5^2$). Compare les carrés, pas des arrondis. Sur l'axe : $M(x\,;\,0)$ et $MA^2 = MB^2$, les $x^2$ s'éliminent ; ce n'est pas le milieu de [AB]. Triangle rectangle : le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.
Ex. 43★★★Sur, dans ou hors du cercle— Dans un repère orthonormé, $\mathcal{C}$ est le cercle de centre $K(2\,;\,-1)$ et de rayon $r = 2\sqrt{5}$.
aCalcule $KA^2$ pour $A(4\,;\,3)$ et $r^2$. Le point $A$ est-il sur $\mathcal{C}$ ? Justifie.
bLes points $G(5\,;\,2)$ et $D(-1\,;\,3)$ sont-ils sur $\mathcal{C}$, à l'intérieur ou à l'extérieur ? Justifie.
cPour $E(2{,}5\,;\,3{,}5)$, Noé trouve $KE \approx 4{,}5$ et $r \approx 4{,}5$ au dixième. Il en conclut que $E$ est sur $\mathcal{C}$. A-t-il raison ? Justifie.
dLe segment [AF] est un diamètre de $\mathcal{C}$. Calcule les coordonnées de $F$.
eCalcule la valeur exacte de la longueur AF.
Ex. 44★★★Le point d'un axe à égale distance— Le repère est orthonormé. Un point $M$ est équidistant de $A$ et $B$ si $MA^2 = MB^2$.
aTrouve le point $M$ de l'axe des abscisses équidistant de $A(1\,;\,4)$ et $B(5\,;\,2)$.
bIlan pense que le point $M$ trouvé est le milieu de [AB]. A-t-il raison ? Justifie.
cTrouve le point $P$ de l'axe des ordonnées équidistant de $C(-3\,;\,2)$ et $D(1\,;\,-4)$.
dVrai ou faux : le point $N(2\,;\,0)$ est sur la médiatrice de [EF], avec $E(-1\,;\,3)$ et $F(5\,;\,1)$. Justifie.
Ex. 45★★★Une allée circulaire dans le parc— Sur le plan d'un parc, dans un repère orthonormé, trois arbres sont en $P(-4\,;\,2)$, $Q(-2\,;\,-2)$ et $R(4\,;\,1)$. On veut tracer une allée circulaire qui passe par les trois arbres.
aCalcule $PQ^2$, $QR^2$ et $PR^2$.
bLe triangle $PQR$ est-il rectangle ? Justifie.
cDétermine le centre $K$ et le rayon exact $r$ du cercle circonscrit au triangle $PQR$.
dUne fontaine est en $V(-4\,;\,1)$. Est-elle sur l'allée ? Justifie.
Ex. 46★★★Une antenne relais au bord de la route— Sur une carte, dans un repère orthonormé (unité : 1 km), trois villages sont en $A(-2\,;\,3)$, $B(5\,;\,4)$ et $C(5\,;\,-4)$. La route suit l'axe des abscisses. On veut installer une antenne sur la route, à égale distance des trois villages.
aOn pose $M(x\,;\,0)$. Développe $MA^2$ et $MB^2$ en fonction de $x$.
bDéduis-en le point $K$ de la route équidistant de $A$ et $B$.
cCalcule $KA^2$, $KB^2$ et $KC^2$. L'antenne placée en $K$ convient-elle ? Quelle portée minimale doit-elle avoir ?
dLéo affirme que l'antenne doit être au milieu de [AC], le plus grand côté du triangle $ABC$. A-t-il raison ? Justifie.
Ex. 47★★★Le cercle des plots— Sur un terrain de sport, on se place dans un repère orthonormé (unité : 1 m). Trois plots sont posés en $E(-2\,;\,2)$, $F(6\,;\,-2)$ et $G(4\,;\,-6)$. On veut tracer à la craie le cercle qui passe par les trois plots.
aCalcule $EF^2$, $FG^2$ et $EG^2$. Le triangle $EFG$ est-il rectangle ? Justifie.
bPour $L(5\,;\,1)$, Lucas trouve $LE^2 = LG^2 = 50$ et conclut que $L$ est le centre du cercle. A-t-il raison ? Justifie.
cDéduis-en le centre $K$ du cercle. Quelle longueur de corde, fixée en $K$, faut-il pour le tracer ? Quel est son diamètre ?
dUn quatrième plot doit être posé sur le cercle, en un point d'abscisse $-3$. Trouve les deux positions possibles.
Ex. 48★★★Deux trésors, un seul chemin— Dans un jeu vidéo, la carte est un repère orthonormé. Deux trésors sont cachés en $A(-5\,;\,2)$ et $B(3\,;\,6)$. Le personnage ne peut poser son camp que sur les axes. Il veut le placer à égale distance des deux trésors.
aSami affirme : « Le point de l'axe des ordonnées équidistant de $A$ et $B$ est le milieu $I$ de $[AB]$. » Calcule les coordonnées de $I$. A-t-il raison ? Justifie.
bOn pose $M(0\,;\,y)$. Développe $MA^2$ et $MB^2$, puis trouve $y$ tel que $MA = MB$. Vérifie ton résultat.
cTrouve le point $N$ de l'axe des abscisses équidistant de $A$ et $B$. Vérifie avec $NA^2$ et $NB^2$.
dOn trace le cercle de centre $N$ qui passe par $A$. Donne son rayon et son diamètre (radicaux simplifiés). Passe-t-il par $S(-4\,;\,-4)$ ? Justifie.
eLe point $R(-2\,;\,6)$ est-il sur la médiatrice de $[AB]$ ? Justifie.
Ex. 49★★★Le trésor du sentier— Sur une carte au trésor, dans un repère orthonormé (unité : 10 m), deux rochers sont en $A(-3\,;\,1)$ et $B(4\,;\,0)$. Le trésor $T$ est enterré sur le sentier, qui suit l'axe des ordonnées, à 50 m du rocher $A$.
aOn note $T(0\,;\,y)$ le trésor. Exprime $TA^2$ en fonction de $y$, puis trouve les deux positions possibles du trésor.
bLe trésor est aussi à égale distance des rochers $A$ et $B$. Laquelle des deux positions convient ? Justifie.
cLe segment [AA'] est un diamètre du cercle de centre $T$ qui passe par $A$. Calcule les coordonnées de $A'$, puis le diamètre du cercle en mètres.