49 exercices en 7 parties, du plus simple au plus difficile : ★★★ facile · ★★★ moyen · ★★★ difficile. Le corrigé détaillé est sur benprofparticulier.fr.
1.Rappels de 2ⁿᵈᵉ : géométrie repérée
À retenir : $\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;y_B - y_A)$ ; milieu = demi-somme ; $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ en repère orthonormé. Colinéaires $\iff xy' - yx' = 0$. Sur $ax + by + c = 0$, le vecteur directeur est $(-b\,;a)$ : $2x - 5y + 1 = 0$ donne $(5\,;2)$.
Ex. 1★★★Vecteurs, milieux et distances— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, on donne $A(-3\,;2)$, $B(1\,;-1)$ et $C(-5\,;5)$.
aCalcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
bCalcule les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$.
cCalcule la distance $AB$.
dCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$, puis la distance $AC$ en valeur exacte.
eCalcule les coordonnées du milieu $K$ de $[BC]$.
fPourquoi la formule de la distance $AB$ n'est-elle valable que dans un repère orthonormé ? Justifie.
Ex. 2★★★Colinéarité et alignement par le déterminant— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, utilise le déterminant $xy' - yx'$ de $\vec{u}\,(x\,;y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;y')$ pour répondre. Justifie chaque réponse.
aLes vecteurs $\vec{u}\,(2\,;-3)$ et $\vec{v}\,(-6\,;9)$ sont-ils colinéaires ?
bLes vecteurs $\vec{s}\,(3\,;5)$ et $\vec{w}\,(5\,;3)$ sont-ils colinéaires ?
cLes points $E(-2\,;-1)$, $F(1\,;1)$ et $G(7\,;5)$ sont-ils alignés ?
dLes points $P\left(0\,;\frac{1}{2}\right)$, $Q(1\,;2)$ et $R(3\,;4)$ sont-ils alignés ?
eDétermine le réel $m$ pour que $\vec{a}\,(m\,;4)$ et $\vec{b}\,(3\,;6)$ soient colinéaires.
Ex. 3★★★Équations cartésiennes : lire, tester, convertir— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, on considère les droites $d_1 : 4x + 2y - 6 = 0$ et $d_2 : 2x + 5 = 0$.
aDonne un vecteur directeur de $d_1$, puis un vecteur directeur de $d_2$.
bLes points $A(-1\,;5)$ et $B(1\,;2)$ appartiennent-ils à $d_1$ ? Justifie.
cÉcris l'équation réduite de $d_1$.
dSami affirme : « Toute droite a une équation réduite $y = mx + p$. » A-t-il raison ? Justifie avec $d_2$.
eAvec $C(4\,;5)$, détermine une équation cartésienne de $(AC)$ par la colinéarité de $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis décris la position de $(AC)$.
Ex. 4★★★Carte au trésor : corrige les erreurs— Sur la carte d'une île, munie d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité : 10 m), le puits est en $P(-2\,;3)$ et le vieil arbre en $R(4\,;-1)$. Quatre élèves font les calculs. Trouve l'erreur de chacun, puis corrige.
aInès trouve $\overrightarrow{PR}\,(-6\,;4)$. Explique son erreur et donne les bonnes coordonnées.
bJules calcule le milieu $J$ de $[PR]$ : $\left(\frac{4 - (-2)}{2}\,;\frac{-1 - 3}{2}\right) = (3\,;-2)$. Corrige son calcul.
cMalo écrit $PR^2 = 6^2 + (-4)^2 = 36 - 16 = 20$, et Nora écrit $PR = \sqrt{(6 + (-4))^2} = 2$. Corrige, puis donne $PR$ en valeur exacte.
dLe trésor est en $T$, avec $\overrightarrow{PT} = \frac{1}{3}\overrightarrow{PR}$. Calcule les coordonnées exactes de $T$.
Ex. 5★★★Le parallélogramme du jardin— Sur le plan du jardin de Maëlys, muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité : 1 m), on place $A(-3\,;1)$, $B(2\,;-2)$ et $C(4\,;3)$. Maëlys veut un massif $ABCD$ en forme de parallélogramme, avec une allée selon la diagonale $(BD)$.
aCalcule les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme, puis celles du centre $K$ de ce parallélogramme.
bCalcule les longueurs $AB$ et $AD$ en valeur exacte. Le massif $ABCD$ est-il un losange ? Justifie.
cDétermine une équation cartésienne de l'allée $(BD)$, puis son équation réduite.
dLéo affirme que la borne $E(-2\,;9)$ est sur l'allée, car « sur le dessin, ça a l'air aligné ». A-t-il raison ? Justifie à l'aide d'un déterminant.
Ex. 6★★★Trois antennes et un relais— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité : 1 km), trois antennes sont placées en $R(3\,;0)$, $S(5\,;1)$ et $T(5\,;-4)$.
aCalcule $RS$, $RT$ et $ST$ en valeur exacte, puis déduis-en la nature du triangle $RST$. Justifie.
bDéduis-en le centre $K$ et le rayon $r$ du cercle passant par $R$, $S$ et $T$.
cUn relais est en $P\left(\frac{7}{2}\,;\frac{1}{2}\right)$. Est-il sur ce cercle, à l'intérieur ou à l'extérieur ? Justifie.
dUne quatrième antenne $W$ est sur ce cercle, diamétralement opposée à $R$. Calcule les coordonnées de $W$, puis justifie que $RSWT$ est un rectangle.
eHugo refait la figure avec 1 cm par unité en abscisse et 2 cm par unité en ordonnée. Il affirme que, sur son dessin, $ST = 5$ cm et $RS = \sqrt{5}$ cm. A-t-il raison ? Justifie.
Ex. 7★★★Le drone et son couloir— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité : 100 m), le couloir aérien d'un drone de livraison est la droite $d : 3x - 2y + 4 = 0$. Un second drone part de $P(-3\,;1)$ en ligne droite, dirigé par $\vec{v}_m\,(m + 1\,;m - 2)$, où $m$ est un réel.
aNadia lit sur l'équation de $d$ le vecteur directeur $(-2\,;3)$. A-t-elle raison ? Donne un vecteur directeur $\vec{u}$ de $d$ et contrôle-le avec deux points de $d$.
bIlyes écrit $2(m + 1) - 3(m - 2) = 0$ et trouve $m = 8$ pour que la trajectoire soit parallèle à $d$. Explique son erreur, trouve la bonne valeur de $m$, puis dis si le drone rencontre alors $d$.
cOn prend $m = 3$. Détermine une équation cartésienne de la trajectoire $\Delta$ du drone, puis les coordonnées du point $I$ où il entre dans le couloir $d$.
dCalcule la distance $PI$ parcourue jusqu'au couloir, en valeur exacte, puis en mètres arrondie au mètre.
2.Vecteur normal et équation cartésienne d’une droite
À retenir : Sur $ax + by + c = 0$ : $\vec{n}\,(a\,;b)$ est normal, $\vec{u}\,(-b\,;a)$ directeur. Par $A$ : $a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0$, puis contrôle avec un autre point. Ex. : $x = -4$ a pour normal $(1\,;0)$. Médiatrice : passe par le milieu, $\overrightarrow{AB}$ normal.
Ex. 8★★★Lire une équation cartésienne— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, on considère les droites $d_1 : 5x + 2y - 10 = 0$, $d_2 : x = -5$ et $d_3 : y = -\frac{1}{2}x + 3$.
aDonne un vecteur normal et un vecteur directeur de $d_1$.
bDonne un vecteur normal et un vecteur directeur de $d_2$. Précise la direction de $d_2$.
cÉcris $d_3$ sous la forme $ax + by + c = 0$ avec des coefficients entiers. Déduis-en un vecteur normal à $d_3$.
dLe point $A(4\,;-5)$ appartient-il à $d_1$ ? Justifie.
eLéa affirme : « $\vec{w}\,(5\,;2)$ est un vecteur directeur de $d_1$. » A-t-elle raison ? Justifie.
fVrai ou faux ? $-10x - 4y + 20 = 0$ est aussi une équation de $d_1$. Justifie.
Ex. 9★★★Un point et un vecteur normal— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, détermine une équation cartésienne de la droite qui passe par le point donné et qui admet $\vec{n}$ comme vecteur normal. Contrôle avec le point.
a$A(3\,;1)$ et $\vec{n}\,(2\,;-5)$ (droite dessinée sur la figure).
b$B(-2\,;4)$ et $\vec{n}\,(-1\,;3)$.
c$C(0\,;-3)$ et $\vec{n}\,(0\,;1)$. Précise la direction de la droite.
d$D(5\,;-1)$ et $\vec{n}\,(1\,;0)$. Précise la direction de la droite.
e$E(-4\,;-2)$ et $\vec{n}\,\left(\frac{1}{2}\,;\frac{2}{3}\right)$. Donne une équation à coefficients entiers.
fPour $F(1\,;-6)$ et $\vec{n}\,(4\,;1)$, Tom écrit $4(x - 1) + (y - 6) = 0$, soit $4x + y - 10 = 0$. Trouve son erreur et corrige-la.
Ex. 10★★★La trajectoire d'un drone— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité : 100 m), un drone de livraison suit une trajectoire rectiligne qui passe par $R(-3\,;2)$ et $S(5\,;-2)$.
aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{RS}$. Déduis-en un vecteur normal à la droite $(RS)$.
bDétermine une équation cartésienne de $(RS)$. Contrôle avec $S$.
cNadia a trouvé $(RS) : 2x - y + 8 = 0$. Vérifie que $R$ est sur sa droite mais pas $S$. Explique son erreur.
dLa base de recharge est en $B(11\,;-5)$. Le drone y passe-t-il s'il continue tout droit ? Justifie.
eDétermine le réel $k$ tel que le point $K(k\,;3)$ soit sur la trajectoire du drone.
Ex. 11★★★Médiatrice et hauteur dans un triangle— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, on considère le triangle $ABC$ avec $A(-2\,;-1)$, $B(4\,;1)$ et $C(1\,;5)$.
aCalcule les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ et du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
bDéduis-en une équation cartésienne de la médiatrice $\Delta$ de $[AB]$.
cVérifie que $M(0\,;3)$ appartient à $\Delta$, puis que $MA = MB$.
dDétermine une équation cartésienne de la hauteur $h$ issue de $A$ dans le triangle $ABC$.
eVrai ou faux ? La hauteur $h$ passe par le milieu $J$ de $[BC]$. Justifie.
Ex. 12★★★Une famille de droites $d_m$— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, pour tout réel $m$, on note $d_m$ l’ensemble des points $M(x\,;y)$ tels que $(2m - 1)x + (m + 3)y - 7 = 0$.
aDonne, en fonction de $m$, un vecteur normal et un vecteur directeur de $d_m$. Justifie que $d_m$ est bien une droite pour tout réel $m$.
bPour $m = 0$, calcule les coordonnées des points $G$ et $L$ de $d_0$ d'abscisses $2$ et $-4$. Vérifie que $\overrightarrow{GL}$ est colinéaire au vecteur directeur trouvé à la question précédente.
cDétermine $m$ pour que $d_m$ soit verticale. Donne alors son équation sous la forme $x = k$.
dDétermine $m$ pour que $\vec{w}\,(1\,;2)$ soit un vecteur directeur de $d_m$. Donne alors l’équation réduite de cette droite.
eMontre que toutes les droites $d_m$ passent par un même point $F$. Donne ses coordonnées.
Ex. 13★★★Des copies à corriger sur la droite $(AB)$— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, on donne $A\left(-\frac{1}{2}\,;3\right)$, $B\left(\frac{5}{2}\,;-1\right)$ et $C(2\,;5)$. Hugo cherche une équation de $(AB)$. Il écrit : « $\overrightarrow{AB}\,(3\,;-4)$, donc $(AB) : 3x - 4y + c = 0$ ; avec $A$, je trouve $c = \frac{27}{2}$. Je contrôle avec $A$ : ça marche. »
aRemplace les coordonnées de $B$ dans l’équation de Hugo. Que constates-tu ? Explique son erreur.
bDétermine une équation cartésienne correcte de $(AB)$. Contrôle avec un point autre que celui qui t’a servi.
dSacha cherche la droite $\Delta$ qui passe par $C$ et admet $\overrightarrow{AB}$ comme vecteur normal. Il écrit $3(x - 2) - 4(y - 5) = 0$, soit $3x - 4y - 26 = 0$. Repère son erreur, corrige-la, puis contrôle avec $C$.
Ex. 14★★★L’antenne entre deux villages— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité : 1 km), deux villages sont situés en $U(-2\,;-3)$ et $V(4\,;1)$. Un opérateur veut installer une antenne à égale distance des deux villages, au bord de la route $r : x = -3$.
bRetrouve cette équation avec la méthode du cours (milieu $I$ de $[UV]$, vecteur normal). Explique pourquoi $\overrightarrow{UV}$ est normal et pas directeur.
cDonne un vecteur normal de $r$. Justifie que $r$ coupe la médiatrice de $[UV]$, puis détermine la position $W$ de l’antenne et la distance $WU$.
dBen affirme : « La droite qui passe par $U$ et admet $\overrightarrow{UV}$ comme vecteur normal est la médiatrice de $[UV]$. » A-t-il raison ? Justifie.
eDétermine le réel $k$ pour que le point $P(k\,;2k)$ soit à égale distance de $U$ et de $V$.
3.Droites parallèles, perpendiculaires, point d’intersection
À retenir : Normaux $(a\,;b)$, $(a'\,;b')$ : $ab'-a'b=0$ → parallèles (confondues si équations proportionnelles) ; $aa'+bb'=0$ → perpendiculaires. Perpendiculaire à $x+2y=0$ : normal $(2\,;-1)$. Point d'intersection : à vérifier dans les deux équations.
Ex. 15★★★Comparer des vecteurs normaux— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé. Pour chaque couple de droites, dis si elles sont parallèles (confondues ou strictement parallèles), perpendiculaires ou seulement sécantes. Justifie avec des vecteurs normaux.
Ex. 16★★★Parallèle et perpendiculaire passant par un point— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé. On donne $d : 3x + 5y - 4 = 0$ et $P(-3\,;2)$. Écris une équation de chaque droite demandée.
aLa parallèle à $d$ passant par $P$ (équation cartésienne).
bLa perpendiculaire à $d$ passant par $P$ (équation cartésienne).
cLa perpendiculaire à la droite $x = 4$ passant par $Q(1\,;-3)$.
dLa parallèle à $y = -2x + 5$ passant par $R(3\,;2)$, sous forme réduite.
eLa perpendiculaire à $y = \frac{2}{3}x - 1$ passant par $S(4\,;0)$, sous forme réduite.
Ex. 17★★★Trajectoires de drones : résoudre des systèmes— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, deux drones suivent les droites $d_1 : 2x - 3y + 7 = 0$ et $d_2 : 5x + 2y - 11 = 0$. On considère aussi $d_3 : 4x - 6y + 3 = 0$, $d_4 : -6x + 9y - 21 = 0$ et $d_5 : 3x - 2y - 13 = 0$. La figure montre $d_1$ et $d_3$.
aJustifie que $d_1$ et $d_2$ sont sécantes, puis calcule par combinaison les coordonnées de leur point d'intersection.
bRésous le système formé par les équations de $d_1$ et $d_3$. Déduis-en la position relative de ces droites.
cMontre que le système formé par $d_1$ et $d_4$ a une infinité de solutions et donne deux points communs à ces droites.
dPour $d_2$ et $d_5$, Tom annonce le point d'intersection $K(5\,;1)$, car $K$ vérifie l'équation de $d_5$. A-t-il raison ? Justifie et donne le bon point.
Ex. 18★★★Allées d'un jardin : trouver le paramètre— Sur le plan d'un jardin, muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, l'allée principale suit $d' : 3x - y + 1 = 0$. Une seconde allée suit $d_m : mx + 2y - 4 = 0$, où $m$ est un réel.
aDétermine $m$ pour que $d_m$ et $d'$ soient parallèles. Sont-elles alors confondues ou strictement parallèles ?
bInès écrit : « $d_m \perp d' \iff m \times (-1) - 3 \times 2 = 0$ ». A-t-elle raison ? Justifie et trouve la bonne valeur de $m$.
cPour cette valeur de $m$, écris les équations réduites de $d_m$ et de $d'$, puis contrôle avec leurs coefficients directeurs.
dUne fontaine est placée au croisement de ces deux allées perpendiculaires. Calcule ses coordonnées.
Ex. 19★★★Orthocentre d'un triangle et erreur de Noa— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé. On considère le triangle $ABC$ avec $A(-2\,;1)$, $B(4\,;-1)$ et $C(1\,;4)$. On admet que la droite $(BC)$ a pour équation $5x + 3y - 17 = 0$.
aNoa écrit : « La hauteur issue de $A$ est perpendiculaire à $(BC)$, donc elle garde le vecteur normal $(5\,;3)$ : $5x + 3y + 7 = 0$. » Montre que sa droite passe par $A$ mais qu'elle est parallèle à $(BC)$. Explique son erreur.
bÉcris une équation cartésienne correcte de la hauteur $h_A$ issue de $A$. Contrôle ensuite avec les équations réduites que le produit des coefficients directeurs de $h_A$ et de $(BC)$ vaut $-1$.
cÉcris une équation cartésienne de la hauteur $h_B$ issue de $B$.
dJustifie que $h_A$ et $h_B$ sont sécantes, puis calcule les coordonnées de leur point d'intersection $H$. Vérifie $H$ dans les deux équations.
eDéduis-en, par un produit scalaire, que $(CH)$ est perpendiculaire à $(AB)$. Que représente le point $H$ pour le triangle $ABC$ ?
Ex. 20★★★Faisceaux radar : discuter selon m— Sur l'écran d'un radar, muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, deux faisceaux suivent $d_m : mx + 2y - m - 2 = 0$ et $d'_m : 2x + my - 4 = 0$, où $m$ est un réel. On note $\Delta : x - y - 1 = 0$. La figure montre $d_1$, $d'_1$ et $\Delta$.
aMontre que $d_m$ et $d'_m$ sont parallèles si et seulement si $m = 2$ ou $m = -2$. Pour chaque valeur, dis si elles sont confondues ou strictement parallèles et donne le nombre de solutions du système.
bDétermine $m$ pour que $d_m$ et $d'_m$ soient perpendiculaires. Sami veut le vérifier avec le produit des coefficients directeurs des équations réduites. Est-ce possible ici ? Justifie.
cOn suppose $m \neq 2$ et $m \neq -2$. Montre par combinaison que les droites se coupent au point $K_m\left(\frac{m + 4}{m + 2}\,;\frac{2}{m + 2}\right)$, puis vérifie $K_m$ dans les deux équations.
dMontre que tous les points $K_m$ appartiennent à $\Delta$. Le point $E(1\,;0)$ de $\Delta$ est-il l'un des points $K_m$ ? Justifie.
Ex. 21★★★Carte au trésor : murs, puits et rivière— Sur une carte au trésor, munie d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, le vieux mur suit $d_1 : \frac{x}{2} - \frac{y}{3} + 1 = 0$ et le puits est en $P(6\,;-1)$. Deux autres murs suivent $d_2 : -9x + 6y - 18 = 0$ et $d_3 : 6x - 4y + 5 = 0$. La figure montre $d_1$, $d_3$ et $P$.
aMontre que $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont parallèles. Lesquelles sont confondues, lesquelles sont strictement parallèles ? Justifie.
bLe trésor $T$ est sur $d_1$ et sur la perpendiculaire $p$ à $d_1$ passant par $P$. Écris une équation cartésienne de $p$ à coefficients entiers.
cLucas annonce que $T(3\,;1)$. A-t-il raison ? Justifie, puis calcule les coordonnées de $T$ par un système.
dUne rivière suit $r : y = kx + \frac{1}{2}$, où $k$ est un réel. Détermine $k$ pour que $r$ soit perpendiculaire à $d_1$. La rivière est-elle alors parallèle à $p$, et confondue avec $p$ ? Justifie.
eAvec cette valeur de $k$, justifie sans calcul que $r$ et $d_3$ sont sécantes. Calcule ensuite leur point d'intersection.
4.Projeté orthogonal et distance d’un point à une droite
À retenir : Projeté $H$ de $M$ sur $d$ : $H \in d$ ET $\overrightarrow{MH}$ orthogonal à $d$ (si $M \in d$, alors $H = M$). Méthode ② : $H = M + t\,\vec{n}$, puis $MH = |t| \times \|\vec{n}\|$. Exemple : $t = -\frac{3}{2}$ et $\|\vec{n}\| = \sqrt{2}$ donnent $MH = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Une distance n’est jamais négative.
Ex. 22★★★Projeté ou pas ?— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé. Dans chaque cas, dis si le point $H$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $d$. Justifie.
a$d : 2x + y - 5 = 0$, $M(5\,;3)$ et $H(1\,;3)$.
b$d : x - 2y + 4 = 0$, $M(4\,;-1)$ et $H(2\,;3)$.
c$d : y = 4$, $M(-3\,;1)$ et $H(-3\,;5)$.
d$d : 3x - y - 2 = 0$, $M(1\,;1)$ et $H(1\,;1)$.
e$d : y = -x + 6$, $M(1\,;2)$ et $H\left(\dfrac{5}{2}\,;\dfrac{7}{2}\right)$.
Ex. 23★★★Méthode ② : trouver t— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé. Dans chaque cas, lis un vecteur normal $\vec{n}$ de $d$. Cherche le projeté $H$ de $M$ sur $d$ sous la forme $H = M + t\,\vec{n}$. Calcule ensuite la distance de $M$ à $d$ avec $MH = |t| \times \|\vec{n}\|$.
a$d : x + y - 1 = 0$ et $M(4\,;1)$.
b$d : 3x - y + 1 = 0$ et $M(3\,;0)$.
c$d : 2x - 3y + 6 = 0$ et $M(1\,;-1)$ (garde des fractions exactes).
d$d : x = -1$ et $M(3\,;2)$.
Ex. 24★★★Le tuyau du jardin de Noé— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité : 1 m), Noé dessine un massif triangulaire de sommets $A(-3\,;2)$, $B(3\,;-1)$ et $C(3\,;4)$. Il veut poser un tuyau entre le robinet $C$ et l’allée $(AB)$, et le plus court possible.
aTrouve un vecteur normal à $(AB)$, puis écris une équation cartésienne de $(AB)$.
bÉcris une équation cartésienne de la perpendiculaire $d'$ à $(AB)$ passant par $C$.
cRésous le système formé par les équations de $(AB)$ et de $d'$. Déduis-en le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $(AB)$.
dCalcule la longueur $CH$ du tuyau, puis l’aire du massif $ABC$.
Ex. 25★★★Le drone et l’antenne : l’erreur de Lina— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité : 1 km), un drone suit la droite $d : 2x - y + 3 = 0$. Une antenne est placée en $M(6\,;0)$. Lina cherche le projeté $H = M + t\,\vec{n}$ avec $\vec{n}\,(2\,;-1)$. Elle trouve $t = -3$ et écrit : « distance $= t \times \|\vec{n}\| = -3\sqrt{5}$ ».
aVérifie par le calcul que $t = -3$, puis donne les coordonnées de $H$.
bLina a-t-elle raison ? Justifie, puis donne la distance de $M$ à $d$. Contrôle-la avec les coordonnées de $H$.
cLe drone passe par $P(-1\,;1)$. Vérifie que $P \in d$, puis calcule $MP^2$, $MH^2$ et $HP^2$. Quelle relation retrouves-tu ?
dDémontre que pour tout point $P$ de $d$ distinct de $H$,$MP > MH$.
Ex. 26★★★Sacha et la bouée : le point le plus proche— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé (unité : 1 km). Le bord d'une plage est la droite $d : 3x + 2y - 6 = 0$. Sacha est sur une bouée en $M(5\,;4)$ et veut rejoindre la plage par le plus court chemin. Le point $P(2\,;0)$ est sur la plage.
aHugo affirme : « $P$ est sur la plage et, sur la figure, c'est le point le plus proche de $M$, donc c'est le projeté de $M$ sur $d$. » A-t-il raison ? Justifie.
bÉcris une équation cartésienne de la perpendiculaire $d'$ à $d$ passant par $M$.
cRésous le système formé par $d$ et $d'$ pour trouver le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$. Vérifie que $H \in d$ et que $\overrightarrow{MH}$ est orthogonal à $d$.
dCalcule la valeur exacte de la distance de $M$ à $d$, puis compare-la à $MP$.
eDémontre que $d$ contient un second point $N$, distinct de $P$, tel que $MN = 5$ (utilise Pythagore dans le triangle $MHN$). Calcule ses coordonnées exactes.
Ex. 27★★★La parcelle de Maëlle— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé (unité : 1 hm, donc 1 unité d'aire = 1 hectare). Maëlle possède une parcelle triangulaire de sommets $A(-2\,;1)$, $B(4\,;-3)$ et $C(3\,;5)$. Elle veut calculer son aire avec la hauteur issue de $C$.
aJustifie que $\vec{n}\,(2\,;3)$ est normal à $(AB)$, puis écris une équation cartésienne de $(AB)$.
bCherche le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $(AB)$ sous la forme $H = C + t\,\vec{n}$. Donne $t$ et $H$ en fractions exactes, puis contrôle.
cDéduis-en la distance de $C$ à $(AB)$ avec $|t| \times \|\vec{n}\|$, puis l'aire exacte de la parcelle.
dUn piquet est planté en $E(1\,;-1)$. Maëlle affirme : « la distance de $E$ à $(AB)$ vaut $\|\vec{n}\| = \sqrt{13}$ ». A-t-elle raison ? Justifie en cherchant le projeté de $E$.
Ex. 28★★★Le radar côtier : l'oubli de Yanis— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé (unité : 1 km). Un bateau suit la droite $d : y = -\frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$. On veut installer un radar en un point $R(m\,;4)$ de la route côtière d'équation $y = 4$, de sorte que la distance de $R$ à $d$ vaille exactement $2$ km.
aMontre que $d$ a pour équation cartésienne $4x + 3y - 2 = 0$. Donne un vecteur normal $\vec{n}$ de $d$ et sa norme.
bOn note $H = R + t\,\vec{n}$ le projeté orthogonal de $R$ sur $d$. Exprime $t$, puis les coordonnées de $H$, en fonction de $m$.
cDéduis-en la distance $RH$ en fonction de $m$. Explique pourquoi une valeur absolue apparaît.
dYanis affirme : « il n'y a qu'une position possible, $m = 0$ ». Trouve son erreur, donne toutes les valeurs de $m$ et le projeté $H$ dans chaque cas.
ePour quelle valeur de $m$ le radar est-il sur la trajectoire $d$ ? Donne alors $t$, $H$ et la distance de $R$ à $d$.
5.Équation d’un cercle : centre et rayon
À retenir : $(x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=k$ : si $k>0$, c'est un cercle de centre $(\alpha\,;\beta)$ et de rayon $\sqrt{k}$ ; si $k=0$, un seul point ; si $k<0$, l'ensemble vide. Ex. : $(x+5)^2+(y-1)^2=13$ : centre $(-5\,;1)$,$r=\sqrt{13}$. Si l'équation commence par $2x^2+2y^2$, je divise d'abord par $2$.
Ex. 29★★★Lire et écrire une équation de cercle— Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$.
aDonne le centre et le rayon du cercle $\mathcal{C}_1 : \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + (y + 4)^2 = 49$.
bDonne le centre et le rayon du cercle $\mathcal{C}_2 : (x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 11$.
cÉcris une équation du cercle de centre $K(-2\,;-7)$ et de rayon $\sqrt{6}$.
dÉcris une équation du cercle de centre $J(-1\,;4)$ qui passe par $A(2\,;0)$.
eLe point $B(-3\,;0)$ appartient-il au cercle $\mathcal{C}_1$ ? Justifie.
Ex. 30★★★Compléter les carrés : cercle, point ou vide ?— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé. Pour chaque équation, complète les carrés puis donne la nature de l'ensemble des points $M(x\,;y)$ qui la vérifient (avec le centre et le rayon si c'est un cercle).
a$x^2 + y^2 - 6x + 2y - 3 = 0$
b$x^2 + y^2 + 8x - 2y + 17 = 0$
c$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 10 = 0$
d$2x^2 + 2y^2 + 4x - 12y + 2 = 0$
Ex. 31★★★Le bassin du jardin de Maëlle— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé, d'unité $1$ m. Sur le plan de son jardin, Maëlle veut creuser un bassin circulaire de diamètre $[AB]$, avec $A(-3\,;1)$ et $B(5\,;-5)$. Une statue est placée en $S(4\,;1)$ et un banc en $N(-4\,;0)$.
aDétermine le centre $I$ et le rayon du bassin.
bDéduis-en une équation du cercle $\mathcal{C}$ qui borde le bassin, puis sa forme développée.
cLa statue et le banc sont-ils dans le bassin ? Justifie par le calcul.
dUne lampe $L(a\,;2)$ doit être posée sur le bord du bassin. Trouve les valeurs possibles de $a$.
Ex. 32★★★Erreurs d'élèves et vrai ou faux— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé.
aInès affirme : « $(x + 2)^2 + (y - 7)^2 = 20$ est le cercle de centre $(2\,;-7)$ et de rayon $20$. » A-t-elle raison ? Justifie et corrige son erreur.
bTom écrit : « $x^2 + y^2 - 10x + 6y + 30 = 0$ s'écrit $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = -30$, donc c'est l'ensemble vide. » A-t-il raison ? Justifie et corrige son erreur.
cVrai ou faux ? « $x^2 + 3y^2 - 4x + 2y - 5 = 0$ est une équation de cercle. » Justifie.
dVrai ou faux ? « $x^2 + y^2 + 2xy - 9 = 0$ est une équation de cercle. » Justifie.
Ex. 33★★★L'émetteur et ses trois relais— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé, d'unité $1$ km. Un opérateur place un émetteur à égale distance de trois relais $A(5\,;0)$, $B(2\,;3)$ et $C(-1\,;-3)$. L'émetteur est au centre $I$ du cercle $\mathcal{C}$ qui passe par $A$, $B$ et $C$. Sa portée est le rayon $r$ de $\mathcal{C}$. On cherche une équation de $\mathcal{C}$ de la forme $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$.
aÉcris les trois équations que vérifient $a$, $b$ et $c$, sachant que $A$, $B$ et $C$ sont sur $\mathcal{C}$.
bRésous ce système (soustrais les équations deux à deux pour éliminer $c$). Déduis-en une équation de $\mathcal{C}$.
cComplète les carrés. Déduis-en les coordonnées du centre $I$ et le rayon $r$ de $\mathcal{C}$.
dL'émetteur couvre-t-il le hameau $D(0\,;-3)$ ? Et la ferme $E(4\,;3)$ ? Justifie en comparant des distances au carré.
Ex. 34★★★Une famille d'équations à paramètre— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé. Pour tout réel $m$, on note $\mathcal{E}_m$ l'ensemble des points $M(x\,;y)$ tels que $2x^2 + 2y^2 - 4x + 4my + 4m^2 - 4m - 4 = 0$.
aDétermine la nature de $\mathcal{E}_0$. Donne ses éléments caractéristiques.
bMontre que $\mathcal{E}_m$ a une équation de la forme $(x - 1)^2 + (y - \beta)^2 = k(m)$. Exprime $\beta$ et $k(m)$ en fonction de $m$.
cDiscute selon les valeurs de $m$ la nature de $\mathcal{E}_m$ : cercle, point ou ensemble vide. Précise le point lorsque c'en est un.
dPour quelle valeur de $m$ l'ensemble $\mathcal{E}_m$ est-il un cercle de rayon maximal ? Donne ce rayon.
eDétermine les valeurs de $m$ pour lesquelles $\mathcal{E}_m$ passe par l'origine $O$.
Ex. 35★★★Trois projets de rond-point— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé, d'unité $10$ m. Pour le plan d'un futur rond-point, trois élèves proposent chacun une courbe. Ben leur demande de vérifier que c'est bien un cercle et, si c'est le cas, d'en donner le centre et le rayon.
aYanis propose $\Gamma_1 : 2x^2 + 2y^2 + 6x - 10y + 1 = 0$. Détermine la nature de $\Gamma_1$ et ses éléments caractéristiques.
bLina prend le cercle $\Gamma_2$ de diamètre $[AB]$, avec $A\left(\frac{1}{2}\,;\frac{9}{2}\right)$ et $B\left(-\frac{7}{2}\,;\frac{1}{2}\right)$, et annonce un rayon égal à $AB$. Corrige-la, puis compare $\Gamma_2$ à $\Gamma_1$.
cZoé propose $\Gamma_3 : x^2 + y^2 + 3x - 5y + 9 = 0$ et affirme : « c'est un cercle de même centre que $\Gamma_1$ et de rayon $3$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
dPour quelles valeurs du réel $b$ le point $P(b\,;b)$ est-il sur $\Gamma_1$ ? Déduis-en la position de la droite d'équation $y = x$ par rapport à $\Gamma_1$.
6.Tangente à un cercle
À retenir : Tangente en $T$ (vérifie d'abord que $T \in \mathcal{C}$) : $\overrightarrow{IT}$ est normal, pas directeur. $\overrightarrow{IT}\,(2\,;1)$ et $T(3\,;1)$ donnent $2x + y - 7 = 0$. Tangente $\iff$ distance de $I$ à la droite $= r$. Le contact est le projeté de $I$. Pas de dérivée.
Ex. 36★★★Tangente en un point du cercle— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, on considère le cercle $\mathcal{C} : (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ de centre $I(-2\,;1)$.
aVérifie que $T(1\,;5)$ est sur $\mathcal{C}$, puis donne un vecteur normal à la tangente $t$ en $T$.
bDéduis-en une équation cartésienne de $t$.
cDonne un vecteur directeur $\vec{u}$ de $t$ et contrôle que $\overrightarrow{IT} \cdot \vec{u} = 0$.
dLéa veut dériver une fonction pour trouver la tangente en $V(-2\,;6)$. Explique pourquoi c'est inadapté, puis donne une équation de cette tangente.
eLina veut tracer « la tangente en $R(1\,;4)$ ». Que dois-tu vérifier d'abord ? Conclus.
fHugo affirme que la tangente en $U(2\,;-2)$ est $3x + 4y + 2 = 0$. A-t-il raison ? Justifie et corrige.
Ex. 37★★★Le bassin du jardin— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, le bord d'un bassin circulaire a pour équation $\mathcal{C} : x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$.
aComplète les carrés pour trouver le centre $K$ et le rayon $r$ de $\mathcal{C}$.
bVérifie que $O$ est sur $\mathcal{C}$, puis donne un vecteur normal à la tangente en $O$.
cLa droite $d_1 : 3x - y = 0$ est-elle la tangente à $\mathcal{C}$ en $O$ ? Justifie.
dLa droite $d_2 : y = -\frac{1}{3}x + \frac{10}{3}$ est-elle la tangente à $\mathcal{C}$ en $T(4\,;2)$ ? Justifie.
eDétermine le réel $a$ pour que la droite $d_3 : ax + y - 18 = 0$ soit la tangente à $\mathcal{C}$ en $B(6\,;0)$.
Ex. 38★★★Le rond-point et la route— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, le bord d'un rond-point est le cercle $\mathcal{C} : (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$ de centre $J(-1\,;2)$. Une route rectiligne suit la droite $\Delta : x + 2y - 13 = 0$. On cherche les tangentes à $\mathcal{C}$ parallèles à $\Delta$.
aSoit $T$ le point de contact d'une tangente à $\mathcal{C}$ parallèle à $\Delta$. Justifie que $\overrightarrow{JT}$ est colinéaire à $\vec{n}\,(1\,;2)$.
bOn écrit $T(-1 + k\,;2 + 2k)$. Déduis-en les deux points de contact $T_1$ et $T_2$.
cÉcris les équations des deux tangentes. Vérifie que $J$ est le milieu de $[T_1T_2]$.
dCalcule le projeté orthogonal $H$ de $J$ sur $\Delta$, puis la distance de $J$ à $\Delta$. La route touche-t-elle le rond-point ? Justifie.
Ex. 39★★★Le drone et l'antenne— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, la zone couverte par une antenne est limitée par le cercle $\mathcal{C} : (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 8$ de centre $I(1\,;-2)$. Un drone suit la droite $d_p : y = x + p$, où $p$ est un réel. La figure montre $d_0 : y = x$.
aMontre que les abscisses des points communs à $d_p$ et $\mathcal{C}$ vérifient $2x^2 + (2p + 2)x + p^2 + 4p - 3 = 0$.
bCalcule le discriminant en fonction de $p$. Déduis-en les valeurs de $p$ pour lesquelles $d_p$ est tangente à $\mathcal{C}$.
cPour la plus grande de ces valeurs, calcule le point de contact $T$.
dCalcule le projeté orthogonal $H$ de $I$ sur cette tangente et compare-le à $T$. Contrôle ensuite que $\overrightarrow{IT} \cdot \vec{u} = 0$, avec $\vec{u}\,(1\,;1)$.
eCombien la trajectoire $d_0 : y = x$ a-t-elle de points communs avec $\mathcal{C}$ ? Justifie.
Ex. 40★★★Les visées rasantes d'Inès— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, Inès est postée en $A(3\,;7)$ et observe un îlot dont le bord est le cercle $\mathcal{C} : x^2 + y^2 + 4x + 6y - 12 = 0$. Ses deux lignes de visée rasantes sont les tangentes à $\mathcal{C}$ qui passent par $A$.
aComplète les carrés pour donner le centre $K$ et le rayon $r$ de $\mathcal{C}$, puis justifie que $A$ est à l'extérieur du disque.
bSoit $T(x\,;y)$ un point de $\mathcal{C}$. Justifie que la tangente en $T$ passe par $A$ si et seulement si $\overrightarrow{TK} \cdot \overrightarrow{TA} = 0$. Déduis-en une équation développée du cercle $\Gamma$ de diamètre $[KA]$.
cSoustrais les équations de $\mathcal{C}$ et de $\Gamma$ : montre que les points de contact sont sur une droite que tu donneras. Calcule ensuite leurs coordonnées ($T_1$ est celui d'ordonnée négative).
dPour la tangente en $T_2$, Yanis prend $\overrightarrow{KT_2}$ comme vecteur directeur et trouve $4x + 3y + 17 = 0$. Explique son erreur, corrige-la, puis contrôle que ta droite passe par $A$.
eDonne une équation de la tangente en $T_1$, puis compare les longueurs $AT_1$ et $AT_2$.
Ex. 41★★★Le phare et les bateaux— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ (unité : le kilomètre), un phare est placé en $I(-3\,;-1)$. La zone qu'il éclaire est limitée par le cercle $\mathcal{C} : (x + 3)^2 + (y + 1)^2 = 20$. Pour tout réel $m$, on note $d_m$ la droite d'équation $2x - y + m = 0$.
aMalo veut la tangente à $\mathcal{C}$ en $T(0\,;2)$. Il prend $\overrightarrow{IT}$ comme vecteur normal et trouve $x + y - 2 = 0$. A-t-il raison ? Justifie.
bCalcule, en fonction de $m$, les coordonnées du projeté orthogonal $H_m$ de $I$ sur $d_m$, puis la distance $IH_m$.
cDétermine les valeurs de $m$ pour lesquelles $d_m$ est tangente à $\mathcal{C}$, et donne chaque point de contact. Justifie que ces deux points sont diamétralement opposés.
dUn bateau suit la route $d_0$. Montre qu'il traverse la zone éclairée, puis calcule la longueur exacte de la partie de sa route qui est éclairée.
Ex. 42★★★Un cercle et la parabole— Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j})$, Ben trace la parabole $\mathcal{P} : y = x^2$ et le cercle $\mathcal{C} : x^2 + y^2 - 5y = 0$.
aComplète le carré en $y$ pour donner le centre $J$ et le rayon $r$ de $\mathcal{C}$.
bRemplace $x^2$ par $y$ pour déterminer les points communs à $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$. On note $A$ celui d'abscisse positive et $B$ son symétrique.
cÉcris une équation de la tangente $t_A$ à $\mathcal{C}$ en $A$, puis contrôle ton résultat avec un vecteur directeur de $t_A$.
dChloé affirme : « $t_A$ ne rencontre $\mathcal{P}$ qu'au point $A$. » Vrai ou faux ? Justifie, puis explique pourquoi on obtient $t_A$ sans aucune dérivée.
eLes tangentes à $\mathcal{C}$ en $A$ et en $B$ se coupent en $S$. Calcule les coordonnées de $S$ et la longueur $SA$.
7.Intersections droite-cercle et parabole-cercle
À retenir : Substitue $y$ (ou $x$) de la droite dans le cercle, puis ordonne le trinôme : $\Delta>0$ deux points, $\Delta=0$ tangente, $\Delta<0$ aucun point. L'autre coordonnée se calcule avec la DROITE. Ex. : $x^2+y^2=2$ et $y=x$ donnent $2x^2=2$, puis $(1\,;1)$ et $(-1\,;-1)$.
Ex. 43★★★Combien de points communs ?— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé. Dans chaque cas, substitue, ordonne le trinôme obtenu, calcule $\Delta$ et déduis-en le nombre de points communs au cercle $\mathcal{C}$ et à la droite $d$.
a$\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 10$ et $d : y = x + 2$.
b$\mathcal{C} : (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$ et la droite verticale $d : x = 4$.
c$\mathcal{C} : (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4$ et la droite horizontale $d : y = 5$.
d$\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 20$ et $d : y = \dfrac{1}{2}x + 5$.
e$\mathcal{C} : (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$ et $d : y = -3x + 10$.
Ex. 44★★★Coordonnées des points communs— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé. Dans chaque cas, détermine les coordonnées des points communs au cercle $\mathcal{C}$ et à la droite $d$, puis contrôle.
a$\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 25$ et $d : y = x - 1$.
d$\mathcal{C} : (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 8$ et $d : y = x + 7$.
Ex. 45★★★Le cargo et la portée du phare— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé, l'unité est le kilomètre. Un phare est placé en $I(-2\,;-1)$ et sa portée est de $5$ km. Un cargo suit la route rectiligne $d : 7x + y - 10 = 0$.
aÉcris une équation du cercle $\mathcal{C}$ qui limite la zone éclairée par le phare.
bDétermine le projeté orthogonal $H$ de $I$ sur $d$ en écrivant $H = I + t\,\vec{n}$, où $\vec{n}$ est un vecteur normal à $d$, puis $IH$. Annonce le nombre de points communs à $d$ et à $\mathcal{C}$.
cSubstitue $y$ dans l'équation de $\mathcal{C}$, ordonne le trinôme et calcule $\Delta$. Est-ce cohérent avec ta prévision ? Justifie.
dDéduis-en les coordonnées des points $A$ et $B$ où la route du cargo coupe $\mathcal{C}$ ($A$ est celui qui a la plus petite abscisse).
eCalcule la longueur du trajet du cargo dans la zone éclairée.
Ex. 46★★★Quatre points pour Noé ?— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé. On considère $\mathcal{C} : (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 13$ et $d : x + y - 3 = 0$. Noé écrit : « $y = -x + 3$, j'obtiens $x^2 + x - 6 = 0$, donc $x = 2$ ou $x = -3$. Avec $x = 2$ dans $\mathcal{C}$,$(y - 3)^2 = 4$, donc $y = 1$ ou $y = 5$. Avec $x = -3$, $y = 0$ ou $y = 6$. Il y a quatre points communs. »
aDonne le centre et le rayon de $\mathcal{C}$, puis développe et ordonne pour vérifier l'équation $x^2 + x - 6 = 0$ de Noé.
bNoé a-t-il raison de trouver quatre points ? Justifie, puis donne les vrais points communs.
cVérifie que tes deux points appartiennent à $\mathcal{C}$ et à $d$, et que le point $(2\,;5)$ de Noé n'est pas sur $d$.
dPour quelles valeurs du réel $k$ la droite $d_k : x + y - k = 0$ est-elle tangente à $\mathcal{C}$ ?
Ex. 47★★★Le drone et la zone interdite— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé, l'unité est le kilomètre. Une zone interdite de survol est limitée par le cercle $\mathcal{C} : (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 10$. Le drone d'Inès part de $A(3\,;0)$ en ligne droite. Pour $m$ réel, on note $d_m : y = m(x - 3)$.
aDétermine le centre $I$ et le rayon de $\mathcal{C}$, puis la position de $A$ par rapport à $\mathcal{C}$.
bLa droite verticale $\delta : x = 3$ passe par $A$. Prévois par la distance de $I$ à $\delta$, puis vérifie par le calcul, le nombre de points communs à $\delta$ et $\mathcal{C}$.
cMontre que les abscisses des points communs à $d_m$ et $\mathcal{C}$ vérifient $(1 + m^2)x^2 + (2 + 4m - 6m^2)x + 9m^2 - 12m - 5 = 0$.
dMontre que le discriminant vaut $\Delta = -8(3m^2 - 8m - 3)$. Déduis-en les valeurs de $m$ pour lesquelles $d_m$ est tangente à $\mathcal{C}$, puis celles pour lesquelles elle traverse la zone.
ePour chaque tangente trouvée, calcule les coordonnées du point de contact $T$, puis contrôle avec le vecteur $\overrightarrow{IT}$.
Ex. 48★★★Des balles dans le bol de skate— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé. Dans un plan de coupe, le bol de skate de Malo a pour profil la parabole $\mathcal{P} : y = x^2$. On étudie ses points communs avec le cercle $\Gamma : x^2 + (y - 1)^2 = 3$, puis, pour $k > 0$, avec le cercle $\mathcal{C}_k : x^2 + (y - 2)^2 = k$.
aDonne le centre et le rayon de $\Gamma$. Remplace $x^2$ par $y$ dans l'équation de $\Gamma$ et ordonne l'équation en $y$ obtenue.
bRésous cette équation, puis donne les coordonnées de tous les points communs à $\mathcal{P}$ et $\Gamma$.
cMontre que les ordonnées des points communs à $\mathcal{P}$ et $\mathcal{C}_k$ vérifient $y^2 - 3y + 4 - k = 0$, de discriminant $\Delta = 4k - 7$.
dPour $k = 4$, Malo affirme : « deux valeurs de $y$ positives ou nulles, donc quatre points communs ». A-t-il raison ? Justifie en donnant les points.
eSelon les valeurs de $k > 0$, détermine le nombre de points communs à $\mathcal{P}$ et $\mathcal{C}_k$. Pour $k = \frac{7}{4}$, donne leurs coordonnées.
Ex. 49★★★Les deux antennes de Chloé— Le repère $(O\,;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormé, l'unité est le kilomètre. Chloé étudie les zones couvertes par deux antennes, limitées par les cercles $\mathcal{C}_1 : x^2 + y^2 + 6x - 2y - 15 = 0$ et $\mathcal{C}_2 : 2x^2 + 2y^2 - 13x - 4y - 5 = 0$.
aComplète les carrés pour déterminer le centre $I$ et le rayon de $\mathcal{C}_1$.
bDivise l'équation de $\mathcal{C}_2$ par $2$, puis détermine son centre $K$ et son rayon.
cSoustrais membre à membre l'équation de $\mathcal{C}_1$ et celle de $\mathcal{C}_2$ divisée par $2$. Déduis-en que tout point commun aux deux cercles est sur une droite $\delta$ à préciser.
dCompare $\text{dist}(I\,;\delta)$ au rayon de $\mathcal{C}_1$ pour prévoir, puis calcule les points communs $E$ (ordonnée positive) et $F$. Vérifie qu'ils sont sur $\mathcal{C}_2$.
eÉcris une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_1$ en $E$. Montre que $K \in T$, puis déduis-en que $T$ est perpendiculaire à la tangente à $\mathcal{C}_2$ en $E$.