Terminale spécialité / Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ex. 1★★★Sections d'une poutre de charpente — Une poutre de charpente a la forme du pavé droit $ABCDEFGH$ ci-dessous, avec $AB = 12$ cm, $BC = 5$ cm et $AE = 9$ cm. Pour chaque plan, donne la nature et les dimensions de la section du pavé.

1. aUn plan parallèle à la face $ABCD$.
2. bUn plan parallèle à la face $ABFE$.
3. cUn plan parallèle aux arêtes $[BC]$ et $[BF]$, qui coupe $[AB]$ en son milieu.
4. dLe plan qui contient les arêtes $[AE]$ et $[CG]$.
5. eLe plan qui contient les arêtes $[BC]$ et $[EH]$.

Ex. 2★★★Cylindre, sphère et boule — Pour chaque solide coupé par un plan, donne la nature de la section, puis calcule ce qui est demandé.

1. aUn cylindre de rayon $6$ cm et de hauteur $10$ cm est coupé par un plan perpendiculaire à son axe. Donne l'aire exacte de la section, puis son arrondi au dixième.
2. bLe même cylindre est coupé par un plan qui contient son axe. Donne les dimensions de la section.
3. cLe même cylindre est coupé par un plan parallèle à son axe, situé à $3{,}6$ cm de lui. Donne les dimensions de la section.
4. dUne sphère de centre $O$ et de rayon $13$ cm est coupée par un plan situé à $5$ cm de $O$. Donne le rayon de la section.
5. eUne boule de rayon $25$ cm est coupée par un plan situé à $7$ cm de son centre. Donne le rayon et l'aire exacte de la section.
6. fUne sphère de rayon $4{,}5$ cm est coupée par un plan situé à $4{,}5$ cm de son centre, puis par un plan qui passe par son centre. Donne la nature de chaque section.

Ex. 3★★★Lire un cube en perspective cavalière — Le cube $ABCDEFGH$ est dessiné ci-dessous en perspective cavalière : la face avant est $ABCD$, et $E$, $F$, $G$, $H$ sont derrière $A$, $B$, $C$, $D$. Le point $I$ est le milieu de l'arête $[BF]$.

1. aQuel sommet du cube est caché ? Déduis-en les arêtes dessinées en pointillés.
2. bSur le dessin, les segments $[EF]$ et $[BC]$ se croisent. Les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont-elles sécantes ? Justifie.
3. cLes droites $(AB)$ et $(HG)$ sont-elles coplanaires ? Et les droites $(AB)$ et $(CG)$ ? Justifie.
4. dCite les deux faces du cube qui contiennent $I$. Faut-il tracer $[AI]$ en trait plein ou en pointillés ? Et $[CI]$ ? Justifie.
5. eSur le dessin, les segments $[AG]$ et $[DF]$ se croisent aussi. Les droites $(AG)$ et $(DF)$ sont-elles sécantes ? Justifie.

Ex. 4★★★Section d'une maquette cubique par le plan (IJG) — Une maquette a la forme d'un cube $ABCDEFGH$ d'arête $8$ cm. Sa face du bas est $ABCD$ et sa face du haut est $EFGH$, avec $E$ au-dessus de $A$. $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[BC]$. On coupe le cube par le plan $(IJG)$.

1. aJustifie que $[IJ]$ est un côté de la section. Cite ensuite les deux faces qui contiennent $J$, puis déduis-en un deuxième côté.
2. bLes faces $ABCD$ et $EFGH$ sont parallèles. Déduis-en le côté de la section situé dans la face $EFGH$.
3. cTermine la construction de la section, puis donne sa nature. Justifie.
4. dCalcule les longueurs exactes $IJ$, $EG$ et $EI$.
5. eSur la figure, quel côté de la section faut-il tracer en pointillés ? Justifie.

Ex. 5★★★La plaque de verre d'un module de verrière — Un module de verrière a la forme du cube $ABCDEFGH$ d'arête $4$ cm dessiné ci-dessous : la face avant est $ABCD$, et $E$, $F$, $G$, $H$ sont derrière $A$, $B$, $C$, $D$. Une plaque de verre passe par $I$, $J$ et $K$, les milieux de $[AB]$, $[BC]$ et $[CG]$. On note $M$, $N$ et $P$ les milieux de $[GH]$, $[HE]$ et $[EA]$. On travaille dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$.

1. aJustifie que $[IJ]$ et $[JK]$ sont deux côtés de la section du cube par le plan $(IJK)$. Précise les deux faces du cube qui contiennent $J$.
2. bDonne les coordonnées de $I$, $J$, $K$ et $M$, puis démontre que $M$ appartient au plan $(IJK)$.
3. cLes faces $ABCD$ et $EFGH$ sont parallèles. Déduis-en le côté de la section porté par la face $EFGH$, et démontre que $N$ est une de ses extrémités.
4. dAvec les faces $BCGF$ et $ADHE$, démontre de la même façon que $P$ est un sommet de la section. Termine la construction de la section en citant la face qui contient chaque côté.
5. eDonne la nature de la section, puis calcule son périmètre en cm
   (valeur exacte, puis arrondi au centième).

Ex. 6★★★Les fils lumineux d'une vitrine de musée — Une vitrine de musée a la forme du pavé droit $ABCDEFGH$ ci-dessous. Sa base est $ABCD$, et $E$, $F$, $G$, $H$ sont au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On a $AB = 4$ dm, $AD = 2$ dm et $AE = 3$ dm. On se place dans le repère $(A\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$ avec $\vec{\imath} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$, $\vec{\jmath} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ et $\vec{k} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AE}$. Lina tend des fils lumineux entre les sommets.

1. aRepère $C$, $G$ et $H$ sur la figure, puis donne leurs coordonnées.
2. bLina affirme : « $[AH]$ et $[BG]$ sont sur deux faces opposées et ne se touchent pas, donc les droites $(AH)$ et $(BG)$ sont non coplanaires. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cSur la figure, les fils $[AG]$ et $[BD]$ se croisent. Les droites $(AG)$ et $(BD)$ sont-elles sécantes ? Justifie, puis donne leur position relative.
4. dDéduis-en que les points $A$, $B$, $D$ et $G$ ne sont pas coplanaires.
5. eÉtudie la position relative des droites $(AG)$ et $(EC)$. Si elles sont sécantes, donne les coordonnées de leur point d'intersection.

Ex. 7★★★Une pièce cube et cylindre dans un logiciel 3D — Dans un logiciel 3D, Inès modélise une pièce : le cube $ABCDEFGH$ d'arête $6$ cm ci-dessous (face avant $ABCD$, et $E$, $F$, $G$, $H$ derrière $A$, $B$, $C$, $D$). Ce cube contient un cylindre dont les bases sont les disques inscrits dans les carrés $ABCD$ et $EFGH$. On note $\Omega$ et $\Omega'$ les centres de ces carrés : la droite $(\Omega\Omega')$ est l'axe du cylindre.

1. aUn plan parallèle à $ABCD$ passe par le milieu de $[AE]$. Donne la nature et les dimensions de la section du cube, puis de celle du cylindre. Calcule l'aire de la partie de la section du cube qui est hors du cylindre.
2. bJustifie que le plan $(ACGE)$ contient l'axe du cylindre. Donne la nature et les dimensions exactes de la section du cube, puis de celle du cylindre, par ce plan.
3. cUn plan parallèle à la face $ADHE$ coupe $[AB]$ en $M$, avec $AM = 1$ cm. Donne la nature des sections du cube et du cylindre, et calcule leurs dimensions.
4. dMarius affirme : « Si on incline bien le plan, la section du cube peut être un disque, comme pour le cylindre. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eDétermine la section du cube par le plan $(BDE)$ en citant la face qui contient chaque côté. Donne sa nature et son périmètre
   (valeur exacte, puis arrondi au centième).

Ex. 8★★★Vecteurs et milieux avec des négatifs — Dans un repère de l'espace, on donne les points $P(-2\,;\,5\,;\,1)$, $Q(4\,;\,-1\,;\,-3)$ et $R(3\,;\,-4\,;\,6)$.

1. aCalcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{PQ}$.
2. bDonne les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{QP}$.
3. cCalcule les coordonnées du milieu $M$ de $[PQ]$.
4. dCalcule les coordonnées du milieu $L$ de $[PR]$.
5. eCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{QR}$ et de $\overrightarrow{PR}$, puis vérifie que $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}$.
6. fCalcule les coordonnées du vecteur $2\overrightarrow{PQ} - \overrightarrow{QR}$.

Ex. 9★★★Colinéaires ou pas ? — On travaille dans un repère de l'espace. Les vecteurs et les points sont donnés dans chaque question.

1. aExprime $\vec{v}(-6\,;\,4\,;\,-10)$ en fonction de $\vec{u}(3\,;\,-2\,;\,5)$.
2. bLina affirme que $\vec{s}(4\,;\,-6\,;\,2)$ et $\vec{r}(6\,;\,-9\,;\,4)$ sont colinéaires, car $6 = \frac{3}{2} \times 4$ et $-9 = \frac{3}{2} \times (-6)$. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cLes vecteurs $\vec{a}(2\,;\,0\,;\,-3)$ et $\vec{b}(-4\,;\,1\,;\,6)$ sont-ils colinéaires ? Justifie.
4. dLes vecteurs $\vec{c}(0\,;\,5\,;\,-1)$ et $\vec{e}(0\,;\,-15\,;\,3)$ sont-ils colinéaires ? Justifie.
5. eDétermine le réel $a$ tel que $\vec{w}(a\,;\,6\,;\,-9)$ soit colinéaire à $\vec{t}(-4\,;\,-2\,;\,3)$.
6. fAvec $A(1\,;\,2\,;\,-1)$, $B(4\,;\,0\,;\,3)$, $C(-2\,;\,5\,;\,0)$ et $D(4\,;\,1\,;\,8)$, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ? Justifie.

Ex. 10★★★Une maquette cubique — Pour une maquette, Ben modélise un cube $ABCDEFGH$ : face $ABCD$ en bas, $E$, $F$, $G$, $H$ au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. Repère : $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. $I$, $J$, $N$ sont les milieux de $[EF]$, $[CG]$, $[DC]$ et $K$ est le centre du cube (milieu de $[AG]$).

1. aDonne les coordonnées de $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$, puis calcule celles de $I$, $J$, $K$ et $N$.
2. bÀ l'aide de la relation de Chasles, exprime $\overrightarrow{AJ}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$.
3. cLes points $I$, $K$ et $N$ sont-ils alignés ? Justifie.
4. dLes points $I$, $J$ et $N$ sont-ils alignés ? Justifie.

Ex. 11★★★Ancrages alignés d'un câble — Sur la maquette numérique d'un pont, un câble rectiligne passe par les points d'ancrage $A(2\,;\,-1\,;\,3)$ et $B(5\,;\,1\,;\,-1)$, dans un repère de l'espace.

1. aOn pose $C(m\,;\,5\,;\,-9)$, où $m$ est un réel. Détermine $m$ pour que les points $A$, $B$ et $C$ soient alignés.
2. bPour $F(-1\,;\,-3\,;\,7)$, Noé écrit $\overrightarrow{BF}(6\,;\,4\,;\,8)$, le compare à $\overrightarrow{AB}$ et conclut que $A$, $B$, $F$ ne sont pas alignés. Corrige son erreur et conclus.
3. cExiste-t-il un réel $m$ tel que le point $D(m\,;\,3\,;\,m)$ soit sur la droite $(AB)$ ? Justifie.

Ex. 12★★★Le centre du cube et ses alignements — $ABCDEFGH$ est un cube : la face $ABCD$ est en bas, et $E$, $F$, $G$, $H$ sont au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On se place dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. $I$, $J$, $K$ sont les milieux de $[FG]$, $[CD]$, $[AD]$, et $P$ est le point tel que $\overrightarrow{EP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{EC}$.

1. aÀ l'aide de la relation de Chasles, exprime $\overrightarrow{EC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$. Déduis-en les coordonnées de $\overrightarrow{EC}$.
2. bDonne les coordonnées de $I$, $J$, $K$, puis celles de $P$.
3. cLes points $I$, $P$, $K$ sont-ils alignés ? Justifie.
4. dLes points $I$, $P$, $J$ sont-ils alignés ? Justifie.
5. eLes droites $(IK)$ et $(DG)$ sont-elles parallèles ? Justifie.

Ex. 13★★★La trajectoire d'un drone de livraison — Un drone de livraison doit voler en ligne droite. Dans un repère de l'espace (unité : 100 m), son logiciel enregistre trois positions : $A(-3\,;\,2\,;\,-1)$, $B(1\,;\,-4\,;\,1)$ et $C(9\,;\,-16\,;\,6)$.

1. aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{AC}$.
2. bYanis écrit : « $12 = 3 \times 4$ et $-18 = 3 \times (-6)$, donc $A$, $B$, $C$ sont alignés. » Ce raisonnement est-il correct ? Justifie.
3. cDétermine le réel $m$ tel que les points $A$, $B$ et $D(m\,;\,-1\,;\,m+1)$ soient alignés.
4. dDémontre qu'il n'existe aucun réel $m$ tel que les points $A$, $B$ et $E(m\,;\,5\,;\,2m)$ soient alignés.
5. ePour un second drone, on donne $\vec{u}(0\,;\,3\,;\,-6)$ et $\vec{v}(0\,;\,-1\,;\,2)$. Sacha affirme : « Je ne peux pas calculer $\frac{0}{0}$, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. » Cette affirmation est-elle correcte ? Justifie.

Ex. 14★★★Les points d'attache d'une verrière — Une verrière a la forme d'un pavé droit $ABCDEFGH$ ($ABCD$ au sol ; $E$, $F$, $G$, $H$ au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$). Dans un repère orthonormé d'origine $A$ (unité : le mètre), on a $B(4\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,2\,;\,0)$ et $E(0\,;\,0\,;\,3)$. $I$ et $M$ sont les milieux de $[EF]$ et de $[DC]$. $J \in [CG]$ avec $CJ = \frac{1}{3}CG$, et $N \in [AE]$ avec $AN = \frac{2}{3}AE$.

1. aDonne les coordonnées de $C$, $F$, $G$, puis celles de $I$, $J$, $M$ et $N$.
2. bÀ l'aide de la relation de Chasles, exprime $\overrightarrow{IJ}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AE}$. Vérifie ensuite avec les coordonnées.
3. cCalcule les coordonnées des milieux de $[IM]$ et de $[JN]$. Déduis-en la nature du quadrilatère $IJMN$.
4. dVrai ou faux : les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont parallèles. Justifie.
5. eBen veut fixer un spot en $R\left(m\,;\,\frac{3}{2}\,;\,\frac{3}{2}\right)$. Détermine $m$ pour que $R$ appartienne à la droite $(IJ)$.

Ex. 15★★★Coplanaires ou base ? — Dans un repère de l'espace, chaque question donne trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$.

1. a$\vec{u}(1\,;\,2\,;\,-1)$, $\vec{v}(3\,;\,0\,;\,2)$, $\vec{w}(-1\,;\,4\,;\,-4)$ : trouve deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$, puis conclus sur la coplanarité.
2. b$\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,0)$, $\vec{v}(0\,;\,3\,;\,1)$, $\vec{w}(4\,;\,1\,;\,2)$ : ces vecteurs sont-ils coplanaires ou forment-ils une base ? Justifie.
3. c$\vec{u}(1\,;\,-2\,;\,3)$, $\vec{v}(-2\,;\,4\,;\,-6)$, $\vec{w}(0\,;\,1\,;\,1)$ : ces vecteurs forment-ils une base ? Justifie.
4. dVrai ou faux ? « $\vec{u}(2\,;\,0\,;\,4)$, $\vec{v}(1\,;\,1\,;\,-1)$ et $\vec{w}(2\,;\,1\,;\,1)$ forment une base. » Justifie.

Ex. 16★★★La plaque de la maquette — Inès fabrique une maquette en forme de cube $ABCDEFGH$ d'arête 1. Elle veut y coller une plaque triangulaire $BDE$. Dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$, on a $B(1\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,1\,;\,0)$, $E(0\,;\,0\,;\,1)$. On place aussi $K\left(0\,;\,1\,;\,\frac{1}{2}\right)$, milieu de $[DH]$, et $M\left(0\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\right)$, centre de la face $ADHE$.

1. aCalcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BE}$.
2. bLes points $B$, $D$, $E$ sont-ils alignés ? Justifie.
3. cLe point $K$ appartient-il au plan $(BDE)$ ? Justifie.
4. dLe point $M$ appartient-il au plan $(BDE)$ ? Justifie.

Ex. 17★★★Une pièce dans un logiciel 3D — Dans un logiciel 3D, Nora modélise une pièce en forme de pavé $ABCDEFGH$ avec $AB = 4$ cm, $AD = 3$ cm et $AE = 2$ cm. Elle travaille dans le repère non orthonormé $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. $I$ est le milieu de $[FG]$ et $J$ est le point de $[DH]$ tel que $DJ = 0{,}5$ cm.

1. aDécompose $\overrightarrow{AG}$ dans la base $(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$ à l'aide de la relation de Chasles.
2. bDécompose $\overrightarrow{EC}$ dans cette base et donne ses coordonnées.
3. cDonne les coordonnées de $F$ et de $G$, puis celles de $I$.
4. dNora affirme que $J(0\,;\,1\,;\,0{,}5)$ car $DJ = 0{,}5$ cm. A-t-elle raison ? Justifie et corrige.
5. eCalcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{IJ}$.

Ex. 18★★★Les câbles du pont — Pour modéliser les câbles d'un pont, Théo utilise, dans un repère de l'espace, les vecteurs $\vec{u}(1\,;\,-1\,;\,0)$, $\vec{v}(0\,;\,2\,;\,1)$ et $\vec{w}(2\,;\,0\,;\,1)$. Il affirme : « Ces trois vecteurs sont deux à deux non colinéaires, donc ils forment une base de l'espace. »

1. aThéo a-t-il raison ? Justifie.
2. bPour un réel $m$, on pose $\vec{w}_m(2\,;\,m\,;\,3)$. Détermine $m$ pour que $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}_m$ soient coplanaires.
3. cOn prend $m = 0$ et on note $\vec{t}(2\,;\,0\,;\,3)$. Démontre que $(\vec{u},\,\vec{v},\,\vec{t})$ est une base de l'espace.
4. dDécompose le vecteur $\vec{s}(3\,;\,3\,;\,5)$ dans la base $(\vec{u},\,\vec{v},\,\vec{t})$.

Ex. 19★★★La vitre de la verrière — Sacha conçoit une verrière en forme de cube $ABCDEFGH$ d'arête 1 : $ABCD$ est la face du bas, $E$, $F$, $G$, $H$ sont au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. Une vitre passe par $I$ milieu de $[EF]$, $J$ milieu de $[CG]$ et $K$ milieu de $[AD]$. On se place dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$.

1. aDécompose $\overrightarrow{AI}$, $\overrightarrow{AJ}$ et $\overrightarrow{AK}$ dans la base $(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$ avec la relation de Chasles, puis donne les coordonnées de $I$, $J$ et $K$.
2. bDémontre que les points $I$, $J$ et $K$ définissent un plan.
3. cLe sommet $G$ appartient-il au plan $(IJK)$ ? Justifie.
4. dPour un réel $m$ de $[0\,;\,1]$, $M$ est le point de $[DC]$ tel que $\overrightarrow{DM} = m\,\overrightarrow{DC}$. Détermine $m$ pour que $M$ appartienne au plan $(IJK)$, puis précise la position de $M$.

Ex. 20★★★La charpente de Malik — Malik dessine la charpente d'un abri en forme de pavé $ABCDEFGH$ : $ABCD$ est le sol, $E$, $F$, $G$, $H$ sont au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$, avec $AB = 4$ m, $AD = 2$ m et $AE = 3$ m. $P$ est le centre de la face $BCGF$, $Q$ le milieu de $[EH]$ et $M$ le milieu de $[BF]$. On travaille dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$.

1. aCe repère n'est pas orthonormé. Décompose $\overrightarrow{AG}$, $\overrightarrow{AP}$, $\overrightarrow{AQ}$ et $\overrightarrow{AM}$ avec la relation de Chasles, puis donne les coordonnées de $G$, $P$, $Q$ et $M$.
2. bLéo affirme : « $\overrightarrow{AP}$, $\overrightarrow{AQ}$ et $\overrightarrow{EM}$ sont deux à deux non colinéaires, donc ils forment une base. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cDémontre que $(\overrightarrow{AP},\,\overrightarrow{AQ},\,\overrightarrow{AG})$ est une base de l'espace.
4. dDécompose $\overrightarrow{AC}$ dans la base $(\overrightarrow{AP},\,\overrightarrow{AQ},\,\overrightarrow{AG})$.

Ex. 21★★★La toile de la tente — Pour monter une tente, Lucie repère, dans un repère de l'espace, trois points d'attache de la toile : $A(1\,;\,2\,;\,0)$, $B(3\,;\,1\,;\,2)$ et $C(0\,;\,4\,;\,1)$. La lettre $m$ désigne un nombre réel.

1. aDémontre que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
2. bOn note $D(2\,;\,m\,;\,m)$. Détermine $m$ pour que $D$ appartienne au plan $(ABC)$.
3. cVrai ou faux ? « Pour $\vec{v}(-4\,;\,2\,;\,-4)$, $\overrightarrow{AC}$ ne s'écrit pas $a\overrightarrow{AB} + b\vec{v}$, donc $\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}$, $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas coplanaires. » Justifie.
4. dPour $E(4\,;\,2\,;\,4)$, Yanis résout $\overrightarrow{AE} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AC}$ avec les abscisses et les ordonnées. Il trouve $a = 2$ et $b = 1$, et conclut que $E \in (ABC)$. Corrige son erreur.

Ex. 22★★★Lire et écrire une représentation paramétrique — L'espace est muni d'un repère $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$.

1. aDonne un point et un vecteur directeur de la droite $\begin{cases} x = 2t \\ y = -7 \\ z = 6 - 5t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$. Que remarques-tu sur l'ordonnée de ses points ?
2. bDonne le point de paramètre $0$ et un vecteur directeur de la droite $\begin{cases} x = \frac{1}{2} - t \\ y = 3t \\ z = -4 \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$.
3. cPour la droite $\begin{cases} x = 4 - 2t \\ y = -3 + 5t \\ z = 1 + t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$, Inès annonce le point $(-2\,;\,5\,;\,1)$ et le vecteur directeur $(4\,;\,-3\,;\,1)$. Corrige son erreur.
4. dLe système $\begin{cases} x = 3 + 0t \\ y = -1 + 0t \\ z = 2 + 0t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$ représente-t-il une droite ? Justifie.
5. eCalcule les coordonnées du point de paramètre $t = -3$ de la droite $\begin{cases} x = -2 - t \\ y = 2t \\ z = -1 + 3t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$.
6. fÉcris une représentation paramétrique de la droite passant par $P(0\,;\,-2\,;\,7)$ et dirigée par $\vec{w}\left(-3\,;\,0\,;\,\frac{1}{2}\right)$.

Ex. 23★★★Le drone est-il passé par là ? — Dans un repère $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$, un drone suit une trajectoire rectiligne $(d)$ : $\begin{cases} x = 1 - 2t \\ y = 3 + t \\ z = -2 + 3t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$.

1. aLe point $A(-3\,;\,5\,;\,4)$ appartient-il à $(d)$ ? Justifie.
2. bLéo remarque que $t = -2$ donne $x = 5$ et $y = 1$. Il en conclut que $B(5\,;\,1\,;\,-7)$ appartient à $(d)$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cDétermine les coordonnées du point de $(d)$ d'abscisse $6$.
4. dDétermine les coordonnées du point où $(d)$ coupe le plan $(xOy)$, c'est-à-dire du point de $(d)$ de cote nulle.
5. eTrouve le réel $m$ pour que le point $E(m\,;\,0\,;\,-11)$ appartienne à $(d)$.

Ex. 24★★★La diagonale d'une maquette cubique — Une maquette est un cube $ABCDEFGH$ d'arête 1. On se place dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. $K$ est le centre du cube (milieu de $[AG]$) et $M$ le centre de la face $BCGF$ (milieu de $[BG]$).

1. aLis sur la figure les coordonnées de $E$ et de $C$. Écris une représentation paramétrique de $(EC)$ avec le point $E$ et le vecteur $\overrightarrow{EC}$.
2. bLe point $K$ appartient-il à la droite $(EC)$ ? Justifie.
3. cLe point $M$ appartient-il à la droite $(EC)$ ? Justifie.
4. dQuelle valeur du paramètre donne le point $C$ ? Déduis-en les valeurs de $t$ qui décrivent le segment $[EC]$.

Ex. 25★★★Trois saisies dans un logiciel 3D — Dans un logiciel 3D, Maëlle saisit trois droites dans un repère $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$ : $(d_1) : \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 - t \\ z = 4 + 2t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$ ; $(d_2) : \begin{cases} x = -1 + 6s \\ y = -2s \\ z = 2 + 4s \end{cases},\ s \in \mathbb{R}$ ; $(d_3) : \begin{cases} x = 5 - 6s \\ y = -2 + 2s \\ z = 7 - 4s \end{cases},\ s \in \mathbb{R}$.

1. aDonne un point et un vecteur directeur de $(d_1)$, puis de $(d_2)$.
2. bLes représentations de $(d_1)$ et $(d_2)$ décrivent-elles la même droite ? Justifie.
3. cLes représentations de $(d_1)$ et $(d_3)$ décrivent-elles la même droite ? Justifie.
4. dVrai ou faux ? Le point de paramètre $t = 3$ sur $(d_1)$ est aussi le point de paramètre $s = 3$ sur $(d_2)$. Justifie.
5. eÉcris une nouvelle représentation paramétrique de $(d_1)$ qui utilise le point de paramètre $t = 2$ et un vecteur directeur d'abscisse $-3$.

Ex. 26★★★Un câble de pont, plusieurs écritures — Dans un repère $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$, un câble de pont suit la droite $(AB)$ avec $A(3\,;\,-2\,;\,5)$ et $B(-1\,;\,4\,;\,-3)$. Le tablier du pont est dans le plan $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})$, formé des points de cote nulle.

1. aÉcris une représentation paramétrique de $(AB)$ de point $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$, puis donne le point $C$ de $(AB)$ d'abscisse $0$.
2. bLe câble traverse le plan $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath})$ en un point $T$. Calcule les coordonnées de $T$. Le point $T$ est-il situé entre $A$ et $B$ ? Justifie.
3. cYanis écrit $(d') : \begin{cases} x = 1 + 2s \\ y = 1 - 3s \\ z = 1 + 4s \end{cases},\ s \in \mathbb{R}$ et affirme : « les écritures sont différentes, donc $(d') \neq (AB)$ ». A-t-il raison ? Justifie.
4. dLina remplace la constante $1$ de $y$ par $2$ dans $(d')$, ce qui donne $(d'')$. Détermine la position relative de $(d'')$ et $(AB)$. Justifie.
5. eDans ta représentation de $(AB)$, remplace $t$ par $2t - 1$. Justifie que le système obtenu représente encore $(AB)$ et donne les valeurs de $t$ qui donnent $A$ et $B$.

Ex. 27★★★Une barre de verrière dans un cube — Un module de verrière est un cube $ABCDEFGH$ d'arête 1 : $ABCD$ est la face du bas, et $E$, $F$, $G$, $H$ sont au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On se place dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. $I$ est le milieu de $[EF]$ et $J$ celui de $[CG]$. Une barre suit la droite $(IJ)$. On pose $\vec{w}(1\,;\,2\,;\,-1)$.

1. aLis les coordonnées de $E$, $F$, $C$ et $G$. Déduis-en celles de $I$, de $J$ et du vecteur $\overrightarrow{IJ}$.
2. bJustifie que $\vec{w}$ dirige $(IJ)$, puis écris une représentation paramétrique de $(IJ)$ de point $I$ et de vecteur directeur $\vec{w}$.
3. cPour quelles valeurs du réel $m$ le vecteur $\vec{u}_m(m-1\,;\,2m-2\,;\,1-m)$ est-il un vecteur directeur de $(IJ)$ ? Justifie.
4. dAvec ta représentation, pour quelles valeurs de $t$ le point obtenu est-il sur le segment $[IJ]$ ? Déduis-en le milieu de $[IJ]$, puis vérifie avec la formule du milieu.
5. eDétermine le point $L$ où $(IJ)$ coupe le plan $(ADE)$. Le point $L$ est-il sur la face $ADHE$ du cube ? Justifie.

Ex. 28★★★La charpente pyramidale — Une charpente $SABCD$ est modélisée dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$ par $A(2\,;\,-2\,;\,0)$, $B(2\,;\,2\,;\,0)$, $C(-2\,;\,2\,;\,0)$, $D(-2\,;\,-2\,;\,0)$ et $S(0\,;\,0\,;\,4)$. Pour la poutre $(SA)$, Noé prend le point $S$ et le vecteur $\overrightarrow{SA}$, puis il écrit $\begin{cases} x = 2 \\ y = -2 \\ z = -4 + 4t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$.

1. aCalcule $\overrightarrow{SA}$, puis explique l'erreur de Noé. Quelle droite son système représente-t-il en réalité ? Justifie.
2. bÉcris une représentation paramétrique correcte de $(SA)$. Un entrait est fixé sur $[SA]$ au point $P$ de cote $1$ : calcule les coordonnées de $P$.
3. cUne poutre $(\delta)$ passe par $P$ et est parallèle à $(AB)$. Écris une représentation paramétrique de $(\delta)$. Que remarques-tu sur ses abscisses et ses cotes ?
4. dZoé écrit $(SB) : x = 2t$, $y = 2t$, $z = 4 - 4t$. Elle garde le même $t$ que pour $(\delta)$, trouve une contradiction et conclut que $(\delta)$ ne touche pas $(SB)$. Corrige-la et conclus.

Ex. 29★★★Écrire la représentation paramétrique d'un plan — L'espace est muni d'un repère $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$. Avant d'écrire un plan, vérifie que ses deux vecteurs ne sont pas colinéaires, ou que ses trois points ne sont pas alignés. Utilise deux paramètres $\lambda$ et $\mu$.

1. aÉcris une représentation paramétrique du plan passant par $A(2\,;\,-1\,;\,3)$ et dirigé par $\vec{u}(1\,;\,0\,;\,2)$ et $\vec{v}(0\,;\,1\,;\,-1)$.
2. bLes vecteurs $\vec{u}(2\,;\,-6\,;\,4)$ et $\vec{v}(-1\,;\,3\,;\,-2)$ dirigent-ils un plan passant par $B(0\,;\,4\,;\,-2)$ ? Justifie.
3. cAvec $E(1\,;\,2\,;\,0)$, $F(3\,;\,1\,;\,1)$ et $G(-1\,;\,5\,;\,2)$, écris une représentation paramétrique du plan $(EFG)$, si ce plan existe.
4. dAvec $K(1\,;\,0\,;\,2)$, $L(2\,;\,2\,;\,1)$ et $M(4\,;\,6\,;\,-1)$, écris une représentation paramétrique du plan $(KLM)$, si ce plan existe.
5. eÉcris une représentation paramétrique du plan passant par $D\left(\frac{1}{2}\,;\,0\,;\,-1\right)$ et dirigé par $\vec{u} = \vec{\imath} - 2\vec{\jmath}$ et $\vec{v} = 3\vec{\imath} + \vec{k}$.

Ex. 30★★★Un drone de tournage dans un plan — Dans un repère de l'espace, un drone de tournage reste dans le plan $\mathcal{P}$ : $\begin{cases} x = -1 + 2\lambda + \mu \\ y = 3 - \lambda \\ z = 2 + \lambda - 2\mu \end{cases},\ (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$.

1. aLe point $P_1(0\,;\,4\,;\,5)$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ? Justifie.
2. bLe point $P_2\left(\frac{1}{2}\,;\,\frac{5}{2}\,;\,\frac{3}{2}\right)$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ? Justifie.
3. cPour $P_3(4\,;\,1\,;\,-1)$, Élise tire $\lambda = 2$ de $y$, puis $\mu = 1$ de $x$, et conclut : $P_3 \in \mathcal{P}$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dCalcule les coordonnées du point de $\mathcal{P}$ obtenu pour $\lambda = 2$ et $\mu = -1$.
5. eDétermine le réel $c$ tel que $Q(-2\,;\,4\,;\,c)$ appartienne à $\mathcal{P}$.

Ex. 31★★★Une pièce cubique dans un logiciel 3D — Léna modélise une pièce dans un logiciel 3D : c'est le cube $ABCDEFGH$ d'arête 1 ci-dessous, dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. Les points $I$, $J$, $K$ sont les milieux de $[AE]$, $[BC]$ et $[GH]$.

1. aDonne les coordonnées de $I$, $J$ et $K$ dans ce repère.
2. bDémontre que $I$, $J$, $K$ ne sont pas alignés, puis écris une représentation paramétrique du plan $(IJK)$.
3. cLe centre $\Omega\left(\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\right)$ du cube appartient-il au plan $(IJK)$ ? Justifie.
4. dDétermine le réel $m$ tel que le point $M(1\,;\,1\,;\,m)$ de l'arête $[CG]$ appartienne à $(IJK)$. Que représente $M$ pour $[CG]$ ?

Ex. 32★★★La maquette d'une tente — Ben fabrique la maquette d'une tente : c'est une pyramide $SABCD$ à base carrée. Dans un repère orthonormé, $A(0\,;\,0\,;\,0)$, $B(4\,;\,0\,;\,0)$, $C(4\,;\,4\,;\,0)$, $D(0\,;\,4\,;\,0)$ et $S(2\,;\,2\,;\,4)$. Aux questions b) à e), dis si l'affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

1. aDémontre que $A$, $B$, $S$ ne sont pas alignés, puis écris une représentation paramétrique du plan $(SAB)$ passant par $A$.
2. bAffirmation : le système $\begin{cases} x = 4 + \lambda - \mu \\ y = \mu \\ z = 2\mu \end{cases},\ (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$, est aussi une représentation paramétrique de $(SAB)$.
3. cAffirmation : la droite $(d)$ $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 5 + 2t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$, est incluse dans le plan $(SAB)$.
4. dAffirmation : le plan $\mathcal{P}$ parallèle à $(SAB)$ passant par $C$ contient le point $T(0\,;\,6\,;\,4)$.
5. eAffirmation de Noah : les plans $(SCD)$ et $(SAB)$ sont parallèles.

Ex. 33★★★Deux représentations pour une verrière — Dans un repère de l'espace, une verrière est contenue dans le plan $\mathcal{P}_1$ : $\begin{cases} x = 1 + \lambda + 2\mu \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda + \mu \end{cases},\ (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$. L'architecte, Sofia, utilise le plan $\mathcal{P}_2$ : $\begin{cases} x = 4 + 3\lambda' - \mu' \\ y = 1 - \lambda' - \mu' \\ z = 2 + 2\lambda' \end{cases},\ (\lambda', \mu') \in \mathbb{R}^2$.

1. aLis sur la représentation de $\mathcal{P}_1$ un point $A$ et deux vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$. Justifie que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dirigent bien un plan.
2. bInès écrit $\mathcal{P}_1$ avec un seul paramètre : $\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - t \\ z = 2t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$. Explique son erreur. Quel ensemble a-t-elle décrit ?
3. cDémontre que le point $B(4\,;\,1\,;\,2)$ de $\mathcal{P}_2$ appartient à $\mathcal{P}_1$.
4. dLis deux vecteurs $\vec{u}\,'$ et $\vec{v}\,'$ qui dirigent $\mathcal{P}_2$, puis démontre que $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont confondus.
5. eDétermine le réel $m$ tel que la droite $(\delta)$ passant par $B$ et dirigée par $\vec{w}(m\,;\,2\,;\,1)$ soit parallèle à $\mathcal{P}_1$. Donne alors la position de $(\delta)$ par rapport à $\mathcal{P}_1$.

Ex. 34★★★La charpente d'un abri cubique — Hugo dessine la charpente d'un abri : c'est le cube $ABCDEFGH$ d'arête 1 ci-dessous, dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. Ainsi $C(1\,;\,1\,;\,0)$, $F(1\,;\,0\,;\,1)$ et $H(0\,;\,1\,;\,1)$. Une plaque de renfort occupe le triangle $BDE$. $I$ est le milieu de $[DE]$.

1. aDonne les coordonnées de $B$, $D$, $E$. Démontre que $B$, $D$, $E$ ne sont pas alignés, puis écris une représentation paramétrique de $(BDE)$ avec $B$, $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BE}$.
2. bDécompose $\overrightarrow{CF}$ en fonction de $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BE}$. Qu'en déduis-tu pour $\overrightarrow{CF}$ et la direction de $(BDE)$ ?
3. cDémontre que la droite $(d)$ passant par $I$ et dirigée par $\overrightarrow{CF}$ est incluse dans $(BDE)$.
4. dTom affirme : « $\overrightarrow{CF}$ est dans la direction de $(BDE)$, donc la droite $(CF)$ est incluse dans $(BDE)$. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eÉcris une représentation paramétrique du plan $\mathcal{Q}$ passant par $C$ et parallèle à $(BDE)$. Démontre que $F$ et $H$ appartiennent à $\mathcal{Q}$, puis déduis-en la position de $(CFH)$ et $(BDE)$.

Ex. 35★★★La nappe de câbles d'un pont — Dans un repère orthonormé de l'espace, la nappe de câbles d'un pont à haubans est contenue dans le plan $(ABC)$, avec $A(2\,;\,0\,;\,1)$, $B(4\,;\,1\,;\,0)$ et $C(1\,;\,2\,;\,3)$. Un câble de secours suit la droite $(\Delta)$ passant par $E(0\,;\,1\,;\,-1)$ et dirigée par $\vec{w}(1\,;\,1\,;\,1)$.

1. aDémontre que $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, puis écris une représentation paramétrique du plan $(ABC)$.
2. bDétermine le réel $m$ tel que le point $D(m\,;\,5\,;\,2)$ soit dans le plan $(ABC)$.
3. cDémontre que $\vec{w}$ ne s'écrit pas $a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AC}$. Déduis-en que $(\Delta)$ est sécante à $(ABC)$.
4. dDétermine les coordonnées du point d'intersection $K$ de $(\Delta)$ et de $(ABC)$.
5. eMalo résout les deux premières équations pour $G(3\,;\,3\,;\,3)$ et conclut que $G \in (ABC)$. Corrige-le, puis donne la position de la droite passant par $G$ et dirigée par $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ par rapport à $(ABC)$.

Ex. 36★★★Câbles d'un pont : parallèles ou non ? — La maquette d'une travée de pont a la forme d'un pavé droit $ABCDEFGH$ : $ABCD$ est la face du bas et $E$, $F$, $G$, $H$ sont au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. Dans le repère orthonormé $(A\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$, on a $B(4\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,2\,;\,0)$ et $E(0\,;\,0\,;\,2)$. Des câbles sont tendus selon $(AG)$, $(EC)$ et $(BD)$. $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ le centre de la face $BCGF$.

1. aDonne les coordonnées des points $C$, $G$, $M$ et $N$.
2. bLes vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{EC}$ sont-ils colinéaires ? Justifie.
3. cDémontre que $(MN) \parallel (AG)$. Ces droites sont-elles strictement parallèles ou confondues ? Justifie.
4. dLa droite $(d)$ passe par $P\left(1\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\right)$ et est dirigée par $\vec{v}(-6\,;\,-3\,;\,-3)$. Détermine la position relative de $(d)$ et $(AG)$.
5. eNora affirme : « $(AG)$ et $(BD)$ ne sont pas parallèles, donc elles sont sécantes. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 37★★★Une face de pièce dans un logiciel 3D — Dans un logiciel 3D, une face d'une pièce est portée par le plan $\mathcal{P}$ : $\begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = \mu \\ z = -1 + 2\lambda - \mu \end{cases},\ (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$. On note $\vec{u}(1\,;\,0\,;\,2)$ et $\vec{v}(0\,;\,1\,;\,-1)$. On donne $\vec{w_1}(2\,;\,3\,;\,1)$ et $\vec{w_2}(1\,;\,2\,;\,3)$.

1. aLe vecteur $\vec{w_1}$ s'écrit-il $a\vec{u} + b\vec{v}$ ? Justifie.
2. bLe vecteur $\vec{w_2}$ s'écrit-il $a\vec{u} + b\vec{v}$ ? Justifie.
3. cLa droite $(d_1)$ passe par $B(3\,;\,3\,;\,0)$ et est dirigée par $\vec{w_1}$. Est-elle incluse dans $\mathcal{P}$ ou strictement parallèle à $\mathcal{P}$ ? Justifie.
4. dLa droite $(d_2)$ passe par $E(3\,;\,-2\,;\,3)$ et est dirigée par $\vec{w_1}$. Est-elle incluse dans $\mathcal{P}$ ou strictement parallèle à $\mathcal{P}$ ? Justifie.
5. eLa droite $(d_3)$ passe par $C(3\,;\,1\,;\,-3)$ et est dirigée par $\vec{w_2}$. Calcule les coordonnées de son point d'intersection avec $\mathcal{P}$.

Ex. 38★★★Trajectoires de drones — Trois drones suivent des trajectoires rectilignes (les paramètres ne représentent pas le temps). $(d_1)$ : $\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$, $(d_2)$ : $\begin{cases} x = 4 + s \\ y = 2 + s \\ z = 1 - s \end{cases},\ s \in \mathbb{R}$, $(d_3)$ : $\begin{cases} x = r \\ y = 1 \\ z = 5 + 2r \end{cases},\ r \in \mathbb{R}$.

1. aLes droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont-elles parallèles ? Justifie.
2. bLéo écrit $-1 + 2t = 4 + t$ et $3 - t = 2 + t$. Il trouve $t = 5$, puis $-2 \neq 7$, et conclut que les trajectoires ne se coupent pas. Explique son erreur.
3. cDétermine la position relative de $(d_1)$ et $(d_2)$. Vérifie le point obtenu dans les deux représentations.
4. dDétermine la position relative de $(d_2)$ et $(d_3)$.

Ex. 39★★★Plans dans une verrière cubique — Une verrière a la forme d'un cube $ABCDEFGH$ d'arête 1. On se place dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$, où $B(1\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,1\,;\,0)$, $E(0\,;\,0\,;\,1)$ et $G(1\,;\,1\,;\,1)$. $K$ est le milieu de $[AH]$ et $M$ le centre de la face $BCGF$.

1. aDémontre que les plans $(BDE)$ et $(CFH)$ sont strictement parallèles.
2. bLe vecteur $\overrightarrow{AB}$ est-il dans la direction de $(BDE)$ ? Justifie, puis déduis-en la position relative de $(BDE)$ et $(ABG)$.
3. cDémontre que $K$ appartient aux plans $(BDE)$ et $(ABG)$. Déduis-en leur droite d'intersection.
4. dDémontre que $M$ appartient aux plans $(BDG)$ et $(CFH)$ et que $C \notin (BDG)$. Déduis-en que ces plans sont sécants.
5. eÀ l'aide du théorème du toit, détermine la droite $\Delta$ d'intersection de $(BDG)$ et $(CFH)$.

Ex. 40★★★Module de charpente : théorème du toit et section — Un module de charpente a la forme d'un cube $ABCDEFGH$ d'arête 1. $ABCD$ est la face du bas et $E$, $F$, $G$, $H$ sont au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On se place dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[AD]$.

1. aDonne les coordonnées de $I$, $J$ et $H$, puis démontre que les droites $(IJ)$ et $(BD)$ sont parallèles.
2. bDémontre que $I$ n'appartient pas au plan $(BDH)$, puis justifie que les plans $(HIJ)$ et $(BDH)$ sont sécants.
3. cÀ l'aide du théorème du toit, détermine la droite d'intersection $\Delta$ des plans $(HIJ)$ et $(BDH)$.
4. dConfirme ce résultat en décomposant un vecteur, puis donne la nature de la section du cube par le plan $(HIJ)$.
5. eDémontre que la droite $(CE)$ coupe le plan $(HIJ)$, puis calcule les coordonnées de leur point d'intersection.

Ex. 41★★★Tente pyramidale : plans, mât et intersection — Une tente a la forme d'une pyramide $SABCD$ à base carrée. Dans un repère orthonormé $(A\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$, on a $A(0\,;\,0\,;\,0)$, $B(4\,;\,0\,;\,0)$, $C(4\,;\,4\,;\,0)$, $D(0\,;\,4\,;\,0)$ et $S(2\,;\,2\,;\,4)$. $M$, $N$ et $Q$ sont les milieux respectifs de $[SA]$, $[SB]$ et $[SD]$.

1. aNina écrit pour le plan $(SBC)$ : $\begin{cases} x = 1 + 2\lambda + \mu \\ y = -1 + 2\lambda + \mu \\ z = -2 + 4\lambda - 2\mu \end{cases},\ (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$. A-t-elle raison ? Justifie, puis écris une représentation correcte.
2. bVrai ou faux : la droite $(MQ)$ est strictement parallèle au plan $(SBC)$. Justifie.
3. cUn mât part du milieu $K$ de $[AD]$ et il est dirigé par $\vec{w}(1\,;\,0\,;\,1)$. Démontre qu'il coupe le plan $(SBC)$, puis calcule le point d'intersection.
4. dLes plans $(MNQ)$ et $(SBC)$ sont-ils parallèles ? Justifie, puis détermine leur position relative précise.

Ex. 42★★★Faisceaux laser et paramètre m — Lors d'un spectacle, des faisceaux laser suivent des droites. Dans un repère $(O\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k})$ de l'espace et pour un réel $m$, on donne $(d_1)$ : $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases},\ t \in \mathbb{R}$ et $(\Delta_m)$ : $\begin{cases} x = m + 2s \\ y = 1 + s \\ z = -1 + s \end{cases},\ s \in \mathbb{R}$.

1. aOn donne $(d_2)$ : $\begin{cases} x = 3 - 2r \\ y = 2r \\ z = 7 - 4r \end{cases},\ r \in \mathbb{R}$. Détermine la position relative de $(d_1)$ et $(d_2)$.
2. bDémontre que $(d_1)$ et $(\Delta_m)$ ne sont jamais parallèles. Détermine ensuite $m$ pour qu'elles soient sécantes, ainsi que leur point commun.
3. cPour $m = 0$, Léa ne trouve aucun point commun à $(d_1)$ et $(\Delta_0)$. Elle conclut : « donc $(d_1) \parallel (\Delta_0)$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
4. dSoit $\mathcal{P}$ : $\begin{cases} x = 2 + \lambda + \mu \\ y = \lambda \\ z = 1 - \mu \end{cases},\ (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$. Détermine la position relative de $(d_1)$ et de $\mathcal{P}$.

Ex. 43★★★Lire un cube de bac : sommets, milieux et quarts — Nadia modélise une verrière cubique $ABCDEFGH$ d'arête 1. $ABCD$ est la face du bas et $E$, $F$, $G$, $H$ sont au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On se place dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. $I$ est le milieu de $[BF]$. $J$ est le point de $[EH]$ tel que $\overrightarrow{EJ} = \frac{1}{4}\overrightarrow{EH}$. $K$ est le centre de la face $ABCD$.

1. aDonne les coordonnées de $C$ et de $G$.
2. bDonne les coordonnées de $I$.
3. cDonne les coordonnées de $J$.
4. dDonne les coordonnées de $K$.
5. eCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{IJ}$.
6. fCalcule les coordonnées du milieu $M$ de $[GK]$.

Ex. 44★★★Une droite dans un pavé : sur la droite ou sur le segment ? — Tom dessine une pièce dans un logiciel 3D : un pavé $ABCDEFGH$. $ABCD$ est la face du bas et $E$, $F$, $G$, $H$ sont au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. Dans un repère orthonormé d'origine $A$, on a $B(2\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,4\,;\,0)$ et $E(0\,;\,0\,;\,2)$. $I$ est le milieu de $[AB]$.

1. aDonne les coordonnées de $G$ et de $I$.
2. bCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{IG}$.
3. cÉcris une représentation paramétrique de la droite $(IG)$, de paramètre $t$, passant par $I$.
4. dLe point $M\left(\frac{3}{2}\,;\,2\,;\,1\right)$ appartient-il à $(IG)$ ? Justifie.
5. ePour $N\left(\frac{5}{2}\,;\,6\,;\,2\right)$, Lou trouve $t = \frac{3}{2}$ avec $x$ et avec $y$. Lou en conclut que $N \in (IG)$. Ce raisonnement est-il juste ? Justifie.
6. fLe point $P(3\,;\,8\,;\,4)$ appartient-il au segment $[IG]$ ? Justifie.
7. gDonne les coordonnées du point de $(IG)$ obtenu pour $t = -\frac{1}{2}$.

Ex. 45★★★Section d'un cube par le plan (IJK), arête par arête — Inès conçoit une vitre plane qui traverse un atelier cubique $ABCDEFGH$ d'arête 1. $ABCD$ est la face du bas et $E$, $F$, $G$, $H$ sont au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On se place dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. $I$, $J$, $K$ sont les milieux de $[AB]$, $[BC]$ et $[GH]$. On cherche la section du cube par le plan $(IJK)$.

1. aDonne les coordonnées de $I$, $J$ et $K$, puis justifie que $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ ne sont pas colinéaires.
2. bDéduis-en une représentation paramétrique du plan $(IJK)$, de paramètres $\lambda$ et $\mu$.
3. cLa droite $(CG)$ a pour représentation paramétrique $x = 1$, $y = 1$, $z = t$, $t \in \mathbb{R}$. Détermine son point d'intersection $L$ avec $(IJK)$. Le point $L$ est-il sur l'arête $[CG]$ ?
4. dLa droite $(DH)$ a pour représentation paramétrique $x = 0$, $y = 1$, $z = t$, $t \in \mathbb{R}$. Le plan $(IJK)$ coupe-t-il l'arête $[DH]$ ? Justifie.
5. eOn admet que $(IJK)$ coupe $[EH]$ en son milieu $M$ et $[AE]$ en son milieu $N$. Démontre que $(IJ) \parallel (KM)$, puis donne la nature de la section.

Ex. 46★★★Maquette d'une tour : alignement, droites, plan et coplanarité — Malik construit la maquette d'une tour : un pavé $ABCDEFGH$. $ABCD$ est la face du bas et $E$, $F$, $G$, $H$ sont au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. Dans un repère orthonormé d'origine $A$, on a $B(2\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,2\,;\,0)$ et $E(0\,;\,0\,;\,4)$. $I$ est le milieu de $[EF]$. $J$ est le point de $[CG]$ tel que $\overrightarrow{CJ} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CG}$. $K$ est le milieu de $[DH]$. Enfin, $L\left(2\,;\,0\,;\,\frac{7}{2}\right)$.

1. aDonne les coordonnées de $G$, $I$, $J$ et $K$.
2. bLes points $A$, $I$ et $G$ sont-ils alignés ? Justifie.
3. cDétermine une représentation paramétrique de $(IJ)$ et une de $(AG)$, puis étudie leur position relative.
4. dLe plan $(ABC)$ passe par $A$ et est dirigé par $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$. Justifie que $(IJ)$ coupe ce plan, puis détermine leur point d'intersection $R$.
5. eDémontre que les points $I$, $J$, $K$ et $L$ sont coplanaires.

Ex. 47★★★Une plaque dans un abri cubique : section construite pas à pas — Yanis modélise la charpente d'un abri cubique $ABCDEFGH$ d'arête 1. $ABCD$ est la face du bas et $E$, $F$, $G$, $H$ sont au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. On se place dans le repère $(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE})$. $I$ est le milieu de $[EF]$ et $J$ celui de $[FG]$. Une plaque plane suit le plan $(DIJ)$.

1. aDonne les coordonnées de $D$, $I$ et $J$, puis justifie que les points $D$, $I$, $J$ définissent un plan.
2. bDémontre que $\begin{cases} x = \frac{1}{2} + \lambda - \mu \\ y = \lambda + 2\mu \\ z = 1 - 2\mu \end{cases},\ (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$ est une représentation paramétrique du plan $(DIJ)$.
3. cÀ l'aide d'une représentation paramétrique de $(AE)$ puis de $(CG)$, détermine les points $M$ et $N$ où ces droites coupent le plan $(DIJ)$. Sont-ils sur les arêtes $[AE]$ et $[CG]$ ? Justifie.
4. dLina affirme : « La droite $(BF)$ coupe le plan $(DIJ)$, donc la plaque traverse l'arête $[BF]$. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eConstruis la section du cube par le plan $(DIJ)$ : donne ses sommets et sa nature, puis justifie que $(MI) \parallel (DN)$ et que $(MD) \parallel (JN)$.

Ex. 48★★★Trois drones dans un hangar : croisement ou pas ? — Léa programme trois drones dans un hangar en forme de pavé $ABCDEFGH$. $ABCD$ est le sol et $E$, $F$, $G$, $H$ sont au-dessus de $A$, $B$, $C$, $D$. Dans un repère orthonormé d'origine $A$, on a $B(4\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,2\,;\,0)$ et $E(0\,;\,0\,;\,2)$. $K$ est le milieu de $[FG]$, $N \in [EH]$ vérifie $\overrightarrow{EN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{EH}$ et $P \in [AB]$ vérifie $\overrightarrow{AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$. Le drone 1 suit $(AK)$, le drone 2 suit $(PH)$ et le drone 3 suit la droite $(d)$ passant par $N$, de vecteur directeur $\vec{w}(2\,;\,0\,;\,-1)$.

1. aDonne les coordonnées de $F$, $G$ et $H$, puis celles de $K$, $N$ et $P$.
2. bÉcris une représentation paramétrique de $(AK)$, de paramètre $t$, et une représentation paramétrique de $(PH)$, de paramètre $s$.
3. cDétermine la position relative de $(AK)$ et $(PH)$. Les trajectoires des drones 1 et 2 se coupent-elles ? Justifie.
4. dHugo écrit $(d)$ avec le même paramètre $t$ que $(AK)$. Il obtient $4t = 2t$, donc $t = 0$, puis $0 = \frac{1}{2}$. Il conclut que les trajectoires 1 et 3 ne se coupent pas. A-t-il raison ? Justifie.
5. eDémontre que la droite $(d)$ est incluse dans le plan $(BCH)$.

Ex. 49★★★Une bâche dans une tente pyramidale : intersection et théorème du toit — Rayan monte une tente en forme de pyramide $SABCD$ à base carrée. Dans un repère orthonormé d'origine $A$, on a $B(4\,;\,0\,;\,0)$, $C(4\,;\,4\,;\,0)$, $D(0\,;\,4\,;\,0)$ et $S(2\,;\,2\,;\,4)$. $I$ et $J$ sont les milieux de $[SA]$ et $[SB]$. $K$ est le point de $[SC]$ tel que $\overrightarrow{SK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{SC}$. Une bâche plane suit le plan $(IJK)$.

1. aDonne les coordonnées de $I$, $J$ et $K$. Justifie que $(IJ) \parallel (AB)$ et que les points $I$, $J$, $K$ définissent un plan.
2. bÉcris une représentation paramétrique du plan $(IJK)$, puis une représentation paramétrique de la droite $(SD)$, de paramètre $s$.
3. cDétermine le point d'intersection $L$ de la droite $(SD)$ et du plan $(IJK)$. Justifie que $L$ appartient au segment $[SD]$.
4. dDémontre que $(KL) \parallel (CD)$ à l'aide du théorème du toit.
5. eDéduis-en la nature de la section $IJKL$ de la pyramide par le plan $(IJK)$. Justifie en comparant $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{LK}$.