Cinquième / Géométrie dans l’espace

Ex. 1★★★Automatismes — Reconnaître un solide — Nomme le solide décrit et justifie en citant ce qui le caractérise.

1. aIl a deux bases hexagonales superposables et parallèles, et des faces latérales rectangulaires. Combien a-t-il de faces ?
2. bIl a une seule base carrée et $4$ faces triangulaires qui se rejoignent en un même point.
3. cIl a une seule face plane, un disque, et une surface courbe qui se termine en pointe.
4. dIl a deux disques superposables et parallèles reliés par une surface courbe.
5. eIl n’a aucune face plane : il est limité par une surface courbe qui ressemble à un ballon.

Ex. 2★★★Automatismes — Les éléments d’un cube — $RSTUVWXY$ est un cube d’arête $2{,}5$ cm dessiné en perspective cavalière.

1. aCombien de faces du cube voit-on sur le dessin ? Combien le cube en a-t-il en tout ?
2. bTom affirme : « Un cube a $6$ arêtes, une par face. » Corrige-le en comptant les arêtes par étages.
3. cNomme les trois arêtes dessinées en pointillés.
4. dSacha dit : « $[ST]$ est une face du cube. » Explique son erreur et nomme une face qui contient $[ST]$.
5. eCalcule la longueur totale des arêtes du cube.

Ex. 3★★★Une pile de cartons — Dans un entrepôt, des cartons cubiques identiques sont empilés. Voici la vue de dessus avec hauteurs : chaque case donne le nombre de cartons de la colonne (rangée du fond en haut, rangée de devant en bas).

1. aVue d’en haut, Inès ne voit que le carton du dessus de la colonne du fond à gauche. Combien de cartons contient cette colonne ?
2. bCompte colonne par colonne le nombre total de cartons.
3. cCompte maintenant étage par étage : combien de cartons y a-t-il à chaque étage ? Vérifie le total.
4. dCombien de cartons faut-il ajouter pour que les six colonnes aient toutes $4$ étages ?

Ex. 4★★★Vrai ou faux ? — Pour chaque phrase, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie.

1. a« Le cylindre dessiné a $2$ sommets : un au centre de chaque disque. »
2. b« Un cône a un sommet, mais il n’a aucune arête. »
3. c« Une pyramide à base pentagonale a $10$ arêtes et $10$ sommets. »
4. d« Un prisme droit à base triangulaire est une pyramide, puisqu’il a des faces triangulaires. »

Ex. 5★★★Les trois vues d’un empilement — Voici la vue de dessus avec hauteurs d’un empilement de cubes : chaque case donne le nombre de cubes de la colonne (rangée du fond en haut, rangée de devant en bas).

1. aQuelle vue de l’empilement est dessinée ci-dessous ? Justifie.
   
2. bDécris la vue de droite : donne la hauteur de chaque pile, de gauche à droite, puis son nombre de cases.
3. cCombien de cubes compte l’empilement ? Explique pourquoi on ne peut pas le trouver en comptant les cases d’une seule vue.

Ex. 6★★★Retrouver un empilement à partir de ses vues — Malik a construit un empilement avec des cubes en bois. Sa vue de dessus compte $2$ rangées de $3$ cases, toutes occupées. Ci-dessous, tu vois à gauche sa vue de face et à droite sa vue de droite (un carreau = un cube).

1. aExplique pourquoi la colonne du fond à gauche contient forcément $3$ cubes.
2. bHugo dessine la vue de gauche en recopiant la vue de droite : une pile de $2$, puis une pile de $3$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cPlusieurs empilements ont ces vues. Pour celui qui a le plus de cubes, donne la hauteur de chaque colonne. Compte ses cubes étage par étage, puis vérifie colonne par colonne.
4. dQuel est le plus petit nombre de cubes possible pour cet empilement ? Donne une construction qui convient et justifie.

Ex. 7★★★Des squelettes de solides en pailles — Pour l’atelier maquettes, Léa fabrique des squelettes de solides : elle utilise une paille par arête et une boule de pâte à modeler par sommet.

1. aPour un squelette de pyramide à base carrée, Noé annonce : « Il faut $5$ pailles et $5$ boules. » Trouve son erreur et corrige-la.
2. bLéa coupe les pailles du squelette du pavé droit $KLMNPQRS$ dessiné ci-dessous. Quelle longueur totale de paille utilise-t-elle ?
3. cCombien de pailles et de boules faut-il pour une pyramide à base hexagonale ? Et pour un prisme droit à base hexagonale ?
4. dPour un autre squelette, Léa a utilisé exactement $15$ pailles et $10$ boules. C’est un prisme droit ou une pyramide. Lequel ? Quelle est sa base ? Justifie.
5. eLéa a $40$ pailles. Combien de squelettes de cubes complets peut-elle fabriquer ? Combien de pailles lui reste-t-il, et combien de boules utilise-t-elle ?

Ex. 8★★★Les vues d’un solide mystère — Ben pose plusieurs solides sur une table et dessine leurs vues pour Yanis. Sur chaque figure, tu vois à gauche la vue de dessus et à droite la vue de face. Un carreau mesure $1$ cm.

1. aNomme ce solide. Donne son rayon et sa hauteur.
2. bNomme ce solide. Explique pourquoi ce n’est pas un prisme droit.
3. cNomme ce solide. Combien a-t-il de faces, d’arêtes et de sommets ?
4. dEmma affirme : « Si la vue de face est un triangle, le solide est forcément une pyramide. » A-t-elle raison ? Justifie avec un autre solide de la fiche.

Ex. 9★★★Automatisme · Compter avec la base — Réponds à chaque question en commençant par trouver le nombre $n$ de côtés de la base.

1. aUn prisme droit a une base hexagonale. Combien a-t-il de faces, d'arêtes et de sommets ?
2. bLa base d'un prisme droit a 9 côtés. Combien a-t-il de faces latérales et d'arêtes latérales ?
3. cUn prisme droit a 33 arêtes. Combien sa base a-t-elle de côtés ? Combien a-t-il de sommets ?
4. dUn prisme droit a 20 sommets. Combien a-t-il de faces ?

Ex. 10★★★Automatisme · Prisme, cylindre ou aucun des deux ? — Pour chaque solide, dis si c'est un prisme droit (précise sa base), un cylindre de révolution ou aucun des deux. Justifie.

1. aLe pavé droit KLMNPQRS ci-dessous. Si c'est un prisme droit, nomme deux bases et ses arêtes latérales.
2. bUne boîte de chocolats a deux faces hexagonales superposables, face à face, reliées par 6 rectangles.
3. cUn presse-papier a une base carrée et quatre faces triangulaires qui se rejoignent en un même sommet.
4. dUn morceau de tuyau, fermé aux deux bouts par deux disques de même rayon situés dans des plans parallèles.
5. eUn solide a deux faces triangulaires parallèles : l'une a ses côtés de 3 cm, l'autre de 5 cm. Elles sont reliées par trois faces à quatre côtés.

Ex. 11★★★Un prisme couché — Ce prisme droit est posé sur sa face ABED. On a AB = 5 cm, AC = 3 cm et AD = 8 cm.

1. aNomme les deux bases de ce prisme et donne leur nature.
2. bCite ses trois faces latérales. Quelle est leur nature ?
3. cCite ses arêtes latérales.
4. dQuelle est la hauteur de ce prisme ?
5. eQuelles sont les dimensions de la face ACFD ?

Ex. 12★★★La boîte de conserve — Une boîte de conserve a la forme d'un cylindre de révolution de diamètre 8,4 cm et de hauteur 11 cm.

1. aInès affirme : « Le rayon de la boîte mesure 8,4 cm. » A-t-elle raison ? Justifie, puis donne le rayon.
2. bMalo affirme : « La boîte a 2 arêtes et 0 sommet. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cLes bases de la boîte sont-elles des cercles ou des disques ? Explique.
4. dBen couche la boîte sur la table. Quelle est alors la hauteur du cylindre ? Justifie.

Ex. 13★★★La maquette de Nora — Pour une maquette, Nora construit un prisme droit dont la base ABCDE est dessinée ci-dessous ; ses arêtes latérales mesurent 12,5 cm. Elle le couche sur la table : ABCDE est debout, face à elle, et [AB] touche la table. Vrai ou faux ? Justifie.

1. aNora : « Mon prisme a 10 arêtes. »
2. bNora : « La face sur laquelle mon prisme est posé est une de ses bases. »
3. cNora : « Un pavé droit est aussi un prisme droit : il a 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. »
4. dNora : « Ma maquette a 5 faces latérales : ce sont des rectangles dont un côté mesure 12,5 cm. »

Ex. 14★★★Vrai ou faux : l'enquête des prismes — Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse. Justifie avec ce que tu sais du prisme droit et du cylindre de révolution.

1. aZoé : « Un prisme droit qui a 24 sommets a aussi 24 arêtes. »
2. bThéo : « On peut fabriquer un prisme droit qui a exactement 26 arêtes. »
3. cRayan : « Dans un prisme droit, toutes les faces sont des rectangles. »
4. dLina : « Une bougie en forme de cylindre de révolution est un prisme droit, car elle a deux bases superposables face à face. »
5. eSacha : « Un solide qui a un grand hexagone en bas et un petit hexagone en haut, dans des plans parallèles, est un prisme droit. »

Ex. 15★★★La tente de Malik — Malik monte une tente en forme de prisme droit, posée sur son tapis de sol ABED. On a AB = $2{,}4$ m, AC = BC = $2$ m et AD = $3{,}5$ m. Le sommet C est à $1{,}6$ m du sol.

1. aNomme les deux bases de ce prisme et donne leur nature. Explique pourquoi le tapis de sol ABED n'est pas une base.
2. bNomme les faces latérales et donne leur nature. Combien la tente a-t-elle de faces, d'arêtes et de sommets ?
3. cMalik affirme : « La hauteur de ce prisme droit est $1{,}6$ m. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dL'armature suit toutes les arêtes de la tente, sauf les 4 côtés du tapis de sol. Combien de tubes faut-il, et quelle est leur longueur totale ?

Ex. 16★★★Les boîtes de macarons de Yasmine — Yasmine, pâtissière, a deux emballages. Le tube A est un cylindre de révolution de diamètre $5{,}2$ cm et de hauteur $9$ cm. La boîte B est un prisme droit dont la base est un octogone (8 côtés de $2{,}5$ cm). Ses arêtes latérales mesurent $6$ cm, et elle est couchée sur une face latérale. Prends $3{,}14$ pour $\pi$ et arrondis au dixième.

1. aHugo calcule la longueur du cercle qui borde une base du tube A ainsi : $2 \times 3{,}14 \times 5{,}2$. Explique son erreur.
2. bYasmine colle un ruban tout autour d'une base du tube A, sans chevauchement. Quelle longueur de ruban lui faut-il ?
3. cCombien la boîte B a-t-elle de faces, d'arêtes et de sommets ?
4. dLéo : « Couchée, la boîte B a pour bases sa face du dessous et sa face du dessus, et sa hauteur est $2{,}5$ cm. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eYasmine colle aussi un ruban sur tout le contour d'une base de la boîte B. Quelle boîte demande le ruban le plus long ? Justifie.

Ex. 17★★★Automatismes — Lire le dessin d'un pavé droit — Ce pavé droit représente une boîte de chocolats : AB = 8 cm, AD = 5 cm et AE = 7 cm. Il est dessiné en perspective cavalière avec un coefficient de réduction de 0,5 et la face avant ABCD de face.

1. aQuel sommet est situé juste derrière le sommet C ?
2. bNomme la face arrière du pavé.
3. cQuelle longueur mesure [AB] sur le dessin ?
4. dQuelle longueur mesure la fuyante [AE] sur le dessin ?
5. eQuelles arêtes sont tracées en pointillés ? Combien y en a-t-il ?

Ex. 18★★★Automatismes — Fuyantes et vraie grandeur — Tous les dessins sont en perspective cavalière, avec un coefficient de réduction de 0,5.

1. aUne arête de 15 cm est dessinée en fuyante. Quelle est sa longueur sur le dessin ?
2. bUne fuyante mesure 3,2 cm sur le dessin. Quelle est la longueur réelle de l'arête ?
3. cInès mesure 2,7 cm sur une fuyante et annonce que l'arête mesure 2,7 cm. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dUne arête de 7,6 cm est sur la face avant. Quelle est sa longueur sur le dessin ?
5. eNathan dessine un cube de 5 cm d'arête et trace sa face du dessus en carré de 5 cm de côté. Qu'a-t-il mal fait ?

Ex. 19★★★Les erreurs de Hugo sur la maquette d'aquarium — Hugo étudie ce dessin d'une maquette d'aquarium en forme de pavé droit, en perspective cavalière (coefficient 0,5, face avant MNPQ). Sur le dessin, il mesure MN = 9 cm, MQ = 5 cm et MR = 3 cm.

1. aHugo annonce : « La maquette mesure 9 cm de long, 5 cm de haut et 3 cm de profondeur. » Corrige son erreur.
2. bSur le dessin, la face du dessus QPTU n'a pas d'angle droit. Hugo en déduit que le couvercle n'est pas rectangulaire. A-t-il raison ? Justifie.
3. cHugo voudrait tracer [NS] et [PT] dans deux directions différentes pour faire « plus réaliste ». Est-ce permis ? Justifie.

Ex. 20★★★Une barre chocolatée en prisme — Une barre chocolatée a la forme d'un prisme droit de 13 cm de long. Sa base RST est un triangle rectangle en R avec RS = 5 cm et RT = 4 cm. Ce prisme est dessiné en perspective cavalière (coefficient 0,5), base RST de face.

1. aNomme la base arrière et les trois arêtes latérales.
2. bSur le dessin, l'angle SRT est-il droit ? Et l'angle URS ? Justifie.
3. cQuelle longueur mesure chaque arête latérale sur le dessin ?
4. dCombien ce prisme a-t-il de faces, d'arêtes et de sommets ?

Ex. 21★★★Dessiner une boîte de conserve — Une boîte de conserve est un cylindre de révolution de rayon 3,5 cm et de hauteur 11 cm, posé sur une base. Elle est dessinée en perspective cavalière.

1. aSur le dessin, les deux disques sont-ils tracés en cercles ? Justifie.
2. bSur le dessin, quelle longueur mesure le diamètre horizontal (de gauche à droite) de l'ovale du haut ?
3. cEmma pense que les segments verticaux doivent mesurer $11 \times 0{,}5$ cm sur le dessin. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dQuelle partie du dessin est tracée en pointillés ?

Ex. 22★★★Le dé géant de Maëlys — Maëlys fabrique un dé géant : un cube de $5{,}4$ cm d'arête. Elle le dessine en perspective cavalière, face avant RSTU, coefficient de réduction $0{,}5$. V est derrière R, W derrière S, X derrière T et Y derrière U.

1. aSur le dessin, quelles sont les longueurs RS et SW ? Justifie chaque réponse.
2. bMaëlys affirme : « Sur mon dessin, la face STXW est un carré, puisque toutes les faces d'un cube sont des carrés. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cMaëlys trace en pointillés les quatre arêtes de la face arrière VWXY, « puisqu'elle est derrière ». A-t-elle raison ? Justifie, puis nomme les arêtes à tracer en pointillés.
4. dNomme les trois autres arêtes parallèles à [SW]. Comment sont-elles tracées sur le dessin, et quelle est leur longueur ?
5. eMaëlys redessine le même dé avec un autre coefficient de réduction. Chaque fuyante mesure alors $3{,}78$ cm. Quel est ce nouveau coefficient ?

Ex. 23★★★La tente miniature — Un jouet représente une tente miniature : c'est un prisme droit couché sur une face latérale. Sa base KLM est un triangle isocèle en M avec KL = 6 cm et KM = LM = 5 cm. Les arêtes latérales mesurent 9 cm. Le prisme est dessiné en perspective cavalière (coefficient de réduction $0{,}5$), base KLM placée de face.

1. aSur le dessin, quelle est la nature du triangle KLM ? Donne les longueurs de ses côtés et justifie.
2. bSur le dessin, quelle est la longueur de l'arête [LP] ? Justifie.
3. cYanis dessine le sol KLPN de la tente comme un rectangle, avec quatre angles droits. Explique son erreur.
4. dYanis trace ensuite le faîte [MQ] de la tente : un segment horizontal qui part de M vers la droite. Explique son erreur.
5. eLe sol et les deux pans de la tente sont taillés dans une seule toile : c'est le rectangle obtenu en dépliant les trois faces latérales. Donne ses dimensions réelles.

Ex. 24★★★L'étiquette de la boîte à thé — Zoé fabrique une étiquette qui fait exactement le tour d'une boîte à thé. La boîte est un cylindre de révolution de 8 cm de diamètre et de 12 cm de hauteur, posé sur une base. Ben la dessine en perspective cavalière (coefficient de réduction $0{,}5$). Prends $3{,}14$ pour $\pi$.

1. aSur le dessin de Ben, le diamètre du disque du bas qui part vers l'arrière mesure 4 cm. Explique pourquoi il ne mesure pas 8 cm.
2. bPour la longueur de l'étiquette, Zoé calcule $2 \times \pi \times 8$. Explique son erreur, puis calcule la bonne longueur.
3. cVoici le patron de la boîte. Lucas affirme : « C'est le côté [BC] qui s'enroule autour d'un disque. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dPour une autre boîte cylindrique, l'étiquette mesure $37{,}68$ cm de long. Retrouve le rayon puis le diamètre de cette boîte.

Ex. 25★★★Automatismes : patron de cube ou pas ? — Voici six assemblages de carrés. Justifie chaque réponse.

1. aCompte les carrés. Cet assemblage peut-il être un patron de cube ?
2. bCet assemblage a 6 carrés. Est-ce un patron de cube ?
3. cEst-ce un patron de cube ?
4. dInès affirme que cet assemblage est un patron de cube. A-t-elle raison ?
5. eCet assemblage est-il un patron de cube ?
6. fPlie en pensée : cet assemblage est-il un patron de cube ?

Ex. 26★★★Automatismes : faces opposées — Voici un patron de cube. Une lettre est écrite sur chaque face.

1. aQuelle face sera opposée à la face C une fois le cube plié ?
2. bLéa affirme : « Les faces A et B seront opposées. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cQuelle face sera opposée à la face D ? Justifie en pliant en pensée.
4. dUne fois le cube plié, combien de faces ont une arête commune avec la face D ? Nomme-les.

Ex. 27★★★Le sixième carré de Gaspard — Pour fabriquer un lampion en forme de cube, Gaspard a dessiné 5 carrés sur un quadrillage. Il hésite entre les carrés en pointillés P, Q, R, S et T pour le sixième.

1. aParmi P, Q, R, S et T, lesquels peut-on ajouter pour obtenir un patron de cube ? Justifie chaque refus.
2. bUne fois le cube plié, avec quel côté le côté [FG] se recolle-t-il ? Justifie.
3. cAvec quel côté le côté [KL] se recolle-t-il ? Justifie.

Ex. 28★★★La boîte de chocolats de Malik — Malik veut une boîte de chocolats en forme de pavé droit de 7 cm de long, 4 cm de large et 3 cm de haut. Il dessine ce patron à main levée : V et X ont 7 cm de long, W et Y 4 cm, la bande fait 3 cm de haut ; U a 3 cm de large, Z 4 cm.

1. aQuelles sont les trois paires de rectangles qui forment ce pavé droit ? Donne leurs dimensions.
2. bQuel rectangle du patron de Malik est faux ? Justifie.
3. cQuelles dimensions ce rectangle doit-il avoir ?
4. dCalcule la longueur de la bande V, W, X, Y, puis le tour du rectangle Z. Que remarques-tu ?

Ex. 29★★★La boîte à thé de Sofia — Sofia fabrique une boîte à thé en forme de pavé droit. Voici son patron, à l’échelle. On sait que AB = 4,5 cm, BC = 2 cm et CE = 1,5 cm.

1. aSans mesurer, donne les longueurs EG et GI. Justifie.
2. bPlie en pensée : avec quel côté le côté [CN] se recolle-t-il ? Déduis-en la longueur BM.
3. cNathan écrit : « BI = $4{,}5 + 2 + 4{,}5 + 2 = 13$ cm. » Corrige son erreur.

Ex. 30★★★Le dé de Yanis — Yanis veut fabriquer un dé. Il dessine cet assemblage de carrés et écrit une lettre sur chaque face. Sur un dé, la somme de deux faces opposées vaut toujours $7$.

1. aYanis affirme : « Il y a $6$ carrés, sans bloc de $2 \times 2$ ni $5$ carrés alignés, donc c’est un patron de cube. » A-t-il raison ? Justifie.
2. bBen lui conseille de détacher la face F et de l’accrocher sous la face C. Dans ce nouveau patron, quelle face est opposée à A ? à B ? à E ? Justifie.
3. cDans le patron corrigé, Yanis écrit $1$ sur A, $2$ sur B et $3$ sur E. Quels nombres doit-il écrire sur C, D et F ?
4. dSa sœur Lina part du dessin de départ. Elle propose plutôt d’accrocher la face F à droite de la face D. Obtient-elle un patron de cube ? Justifie.

Ex. 31★★★L’emballage de gâteau de Clémence — Clémence fabrique l’emballage d’un gâteau. C’est un pavé droit de $9$ cm de long, $6$ cm de large et $3{,}5$ cm de haut. Elle dessine ce patron à main levée. Le rectangle ABCD sera le dessous de la boîte. Elle note AB = $9$ cm, BC = $6$ cm, CE = $3{,}5$ cm, KA = $3{,}5$ cm et BM = $3$ cm.

1. aPlie le patron en pensée. Avec quel côté du patron le côté [IJ] se recolle-t-il ?
2. bAvec quel côté le côté [CN] se recolle-t-il ? Déduis-en l’erreur de Clémence et corrige-la.
3. cLe patron est corrigé. Quelles sont les dimensions du plus petit rectangle de carton dans lequel Clémence peut le découper ?
4. dElle colle un ruban sur les quatre faces latérales, tout autour de la boîte. Quelle longueur de ruban lui faut-il, sans compter le nœud ?

Ex. 32★★★La maquette de Timéo — Timéo construit la maquette du cube ABCDEFGH dessiné ci-dessous. Il dessine ce patron, où le carré ABCD sera la face avant.

1. aUne fois le cube plié, quel sommet du cube vient sur le point N ? sur le point L ?
2. bPlie le patron en pensée. Avec quel côté du patron le côté [PK] se recolle-t-il ?
3. cAvec quel côté du patron le côté [LT] se recolle-t-il ?
4. dLou détache le carré PKSR. Elle l’accroche au-dessus du carré BRUC. Obtient-elle encore un patron de cube ? Justifie.

Ex. 33★★★Automatisme — Lire un patron de prisme droit — Voici le patron d'un prisme droit, réduit : les longueurs écrites sont les vraies longueurs. Les triangles HGK et ABL sont rectangles en G et en B.

1. aCombien ce prisme a-t-il de faces latérales ? Quelle est leur forme ?
2. bQuelles sont les deux bases du prisme ? Quelle est leur forme ?
3. cQuelle longueur écrite sur le patron donne la hauteur du prisme ?
4. dUne fois le patron plié, quel segment vient se coller sur [AH] ?
5. eCombien d'arêtes et combien de sommets aura le prisme ?

Ex. 34★★★Automatisme — Un prisme couché — Ce prisme droit est posé sur sa face MNRQ. Sa base MNP est un triangle rectangle en M : MN = $2{,}4$ cm, MP = $1{,}8$ cm et NP = $3$ cm. Ses arêtes latérales mesurent $7$ cm.

1. aNomme les deux bases de ce prisme.
2. bNomme ses trois arêtes latérales.
3. cQuelle est la hauteur de ce prisme ?
4. dSur le dessin, la face MPSQ ne ressemble pas à un rectangle. Quelle est sa vraie forme ? Justifie.
5. eDans le patron, quelles sont les dimensions de la face NPSR ?

Ex. 35★★★Les dimensions du rectangle latéral — Dans chaque cas, raisonne sur le grand rectangle que forment les faces latérales dans le patron du prisme droit.

1. aUn prisme droit de hauteur $4{,}5$ cm a pour base un rectangle de $3{,}2$ cm sur $1{,}8$ cm. Donne les dimensions de son rectangle latéral.
2. bPour ce même prisme, Jade colle ses quatre faces latérales dans cet ordre : $3{,}2$ cm, $3{,}2$ cm, $1{,}8$ cm, $1{,}8$ cm. Son patron se referme-t-il ? Justifie.
3. cUn prisme droit a $8$ cm de hauteur et une base triangulaire de côtés $3{,}5$ cm, $4$ cm et $5{,}5$ cm. Tom trace un rectangle latéral de $8$ cm (le bord qui fait le tour de la base) sur $13$ cm. A-t-il raison ? Justifie.
4. dUn prisme droit de $9$ cm de haut a pour base un pentagone (5 côtés) dont quatre côtés mesurent $3$ cm. Son rectangle latéral mesure $14{,}5$ cm sur $9$ cm. Combien mesure le cinquième côté ?

Ex. 36★★★Patron ou pas ? — On veut construire le patron d'un prisme droit de hauteur $4$ cm dont la base est un triangle isocèle de côtés $5$ cm, $5$ cm et $8$ cm. Trois élèves proposent un patron (les longueurs écrites sont les vraies longueurs).

1. aVoici le patron de Margot. Est-ce un patron de ce prisme ? Justifie.
2. bIlyès pense que son patron convient. A-t-il raison ? Justifie.
3. cVoici le patron de Sacha, dessiné à main levée. Quelle erreur contient ce patron ? Comment la corriger ?

Ex. 37★★★Compléter le patron d'une maquette — Noé fabrique la maquette d'un prisme droit RSTUVW. Sa base RST est un triangle rectangle en R : RS = $2$ cm, RT = $1{,}5$ cm et ST = $2{,}5$ cm. Ses arêtes latérales mesurent $3$ cm. Noé a commencé son patron sur un quadrillage de 1 cm :

1. aIl manque une face latérale. Nomme-la avec les sommets du prisme, puis donne ses dimensions et le bord du patron où l'accrocher.
2. bNoé accroche la deuxième base sous [AB]. Par quel côté du triangle l'accroche-t-il ? Où est l'angle droit et combien mesure l'autre côté de cet angle ?
3. cUne fois le patron complété, quelle est la longueur totale du rectangle latéral ? Compare-la au périmètre du triangle RST.

Ex. 38★★★La toile d'une tente — Une tente a la forme d'un prisme droit couché, posé sur sa face rectangulaire ABED, qui est le sol. Sa base ABC est un triangle isocèle : AB = $2$ m et AC = BC = $2{,}6$ m. Ses arêtes latérales mesurent $3{,}5$ m. Le sommet C est à $2{,}4$ m du sol.

1. aLéna affirme : « La hauteur de ce prisme est $2{,}4$ m, c'est la hauteur de la tente. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bDonne la longueur et la largeur du grand rectangle latéral du patron de la tente.
3. cCe grand rectangle est découpé en trois rectangles. Donne les dimensions de chacun et dis lequel est le sol.
4. dHugo place les trois rectangles dans l'ordre pan, pan, sol ; Zoé dans l'ordre pan, sol, pan. Lesquels de ces deux ordres conviennent ? Justifie.

Ex. 39★★★L'étui à crayons hexagonal — Inès fabrique un étui à crayons en forme de prisme droit. Sa base est un hexagone : un polygone à six côtés, tous de même longueur. Elle a commencé le patron ci-dessous. Le grand rectangle latéral mesure $21$ cm sur $12$ cm, et une base est déjà accrochée en haut.

1. aCombien de faces latérales a cet étui ? Explique pourquoi le grand rectangle est découpé en rectangles tous identiques.
2. bQuelle est la hauteur de l'étui ? Justifie à l'aide du patron.
3. cLucas calcule $12 \div 6 = 2$ et dit que l'hexagone a des côtés de $2$ cm. Explique son erreur, puis calcule la longueur d'un côté de l'hexagone.
4. dOù Inès peut-elle accrocher la deuxième base ? Combien de positions différentes a-t-elle au choix ?
5. eInès veut un étui de $15$ cm de haut avec la même base. Donne les nouvelles dimensions du grand rectangle latéral.

Ex. 40★★★La boîte d'une part de gâteau — Une part de gâteau est vendue dans une boîte en forme de prisme droit, posée debout sur une base. Cette base est un triangle rectangle de côtés $6$ cm, $8$ cm et $10$ cm. La boîte a $5$ cm de haut. Clément a dessiné le patron ci-dessous à main levée.

1. aLe grand rectangle latéral de Clément a-t-il les bonnes dimensions ? Justifie par un calcul.
2. bRegarde le triangle accroché en haut. Sur quel rectangle est-il accroché, et par quel côté ? Explique pourquoi le patron ne se referme pas.
3. cExplique comment corriger ce triangle sans rien changer au reste du patron.
4. dClément se demande s'il peut accrocher un triangle de base sur le petit bord gauche du grand rectangle. Est-ce possible ? Justifie.

Ex. 41★★★Automatismes : la longueur du rectangle — Calcule la longueur du rectangle du patron de chaque cylindre de révolution. Prends 3,14 pour π.

1. aUn cylindre a un rayon de $6$ cm. Quelle est la longueur du rectangle de son patron ?
2. bUn cylindre a un diamètre de $11$ cm. Quelle est la longueur du rectangle de son patron ?
3. cUn cylindre a un rayon de $45$ mm. Quelle est la longueur du rectangle de son patron, en cm ?
4. dUn cylindre a un rayon de $7{,}5$ cm et une hauteur de $20$ cm. Quelles sont la longueur et la largeur du rectangle de son patron ?

Ex. 42★★★Automatismes : lire un patron de cylindre — Voici le patron d'un cylindre de révolution. Pour chaque phrase, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie. Prends 3,14 pour π.

1. a« Le cylindre obtenu a une hauteur de $3$ cm. »
2. b« La longueur AB vaut environ $3{,}14$ cm. »
3. c« On pourrait accrocher les deux disques sur le côté [DC]. »
4. d« Un disque de $2$ cm de diamètre convient pour fermer ce cylindre. »
5. e« Le rectangle ABCD et les deux disques suffisent : il ne manque aucune partie. »

Ex. 43★★★L'étiquette de la boîte de conserve — Lina décolle l'étiquette d'une boîte de conserve cylindrique et la met à plat. C'est un rectangle de $314$ mm sur $110$ mm. L'étiquette fait exactement le tour de la boîte et couvre toute sa hauteur. Prends 3,14 pour π.

1. aQuelle est la hauteur de la boîte, en cm ?
2. bCalcule le rayon de la base de la boîte, en cm.
3. cLina veut fermer la boîte avec un disque en carton de $12$ cm de diamètre. Ce disque a-t-il la bonne taille ? Justifie.

Ex. 44★★★L'erreur de Noah — Noah fabrique une boîte à thé cylindrique de $50$ mm de diamètre et de $12$ cm de hauteur. Il calcule $2 \times 3{,}14 \times 50 = 314$ et dessine ce patron (pas à l'échelle). Prends 3,14 pour π.

1. aQuelle erreur Noah a-t-il faite ? Justifie.
2. bCalcule la bonne longueur du rectangle, en cm.
3. cNoah a une feuille de $21$ cm sur $29{,}7$ cm. Le patron corrigé (rectangle et deux disques) tient-il sur la feuille ? Justifie.

Ex. 45★★★Les tours de la maquette — Jade et Tom ont dessiné des patrons de tours cylindriques pour une maquette. Prends 3,14 pour π.

1. aPatron de Jade (pas à l'échelle) : un rectangle de $10$ cm sur $4$ cm et deux disques de $2$ cm de rayon. Est-ce un patron de cylindre ? Justifie.
2. bJade garde ses deux disques. Quelle doit être la longueur de son rectangle ? Compare-la avec $10$ cm.
3. cPatron de Tom : un rectangle ABCD de $9{,}42$ cm sur $2$ cm et deux disques de $1{,}5$ cm de rayon, tous les deux contre [DC]. Est-ce un patron de cylindre ? Justifie.

Ex. 46★★★La boîte à gâteau d'Inès — Inès veut fabriquer une boîte à gâteau en forme de cylindre de révolution. La base a un diamètre de $180$ mm et la boîte a une hauteur de $7$ cm. Elle dessine le patron d'un seul tenant (rectangle et deux disques). Prends 3,14 pour π.

1. aQuel est le rayon de la base, en cm ?
2. bCalcule la longueur et la largeur du rectangle du patron.
3. cContre quels côtés du rectangle Inès doit-elle placer les deux disques ? Quelle hauteur totale le patron occupe-t-il alors ?
4. dInès a une feuille de $60$ cm sur $40$ cm. Peut-elle y découper le patron ? Justifie.

Ex. 47★★★Le tube à affiches de Léo — Léo a une bande de carton rectangulaire de $50$ cm sur $320$ mm. Il l'enroule pour que la longueur de $50$ cm fasse exactement le tour de la base, puis ferme le tube avec deux disques. Prends 3,14 pour π et arrondis au dixième.

1. aQuelle est la hauteur du tube, en cm ?
2. bCalcule le rayon des deux disques.
3. cLéo dit : « Pour trouver le rayon, je divise $50$ par $3{,}14$. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dLéo n'a que deux couvercles de $7$ cm de rayon. De combien doit-il raccourcir la longueur de sa bande pour qu'ils ferment le tube ?

Ex. 48★★★Un rectangle, deux porte-crayons — Maëlle a découpé ce rectangle de $25{,}12$ cm sur $15$ cm. En l'enroulant bord à bord, elle peut fabriquer deux porte-crayons cylindriques différents. Un porte-crayons a un fond mais pas de couvercle. Prends 3,14 pour π et arrondis au dixième.

1. aSi le côté de $25{,}12$ cm fait le tour de la base, quels sont le rayon et la hauteur du porte-crayons ?
2. bSi c'est le côté de $15$ cm qui fait le tour de la base, quels sont le rayon et la hauteur du porte-crayons ?
3. cMaëlle a déjà découpé un disque de $3{,}5$ cm de rayon. Peut-il servir de fond à l'un des deux porte-crayons ? Justifie.
4. dElle choisit le premier porte-crayons. Combien de disques faut-il à son patron, et contre quel côté du rectangle doit-elle les placer ?