Troisième / Espace : boule, sections et sphère terrestre

Ex. 1★★★Automatismes : la bonne formule — Automatismes. Pour chaque solide, demande-toi d'abord s'il est « droit » ou « pointu ».

1. aCalcule le volume de cette pyramide à base rectangulaire de $6$ cm sur $4{,}5$ cm et de hauteur $8$ cm.
2. bUn cylindre de révolution a un diamètre de $14$ cm et une hauteur de $3$ cm. Donne la valeur exacte de son volume.
3. cUn prisme droit et une pyramide ont la même base, d'aire $18$ cm², et la même hauteur, $10$ cm. Donne le volume de chacun.
4. dPour un cône de révolution de rayon $3$ cm et de hauteur $7$ cm, Zoé écrit $V = 2 \times \pi \times 3 \times 7 \div 3$. Corrige son calcul et donne la valeur exacte.
5. eUn cube a un volume de $1\,331$ cm³. Quelle est la longueur de son arête ?

Ex. 2★★★Automatismes : volumes et contenances — Automatismes. Rappel : $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\,000$ cm³.

1. aConvertis $3{,}2$ m³ en litres.
2. bConvertis $450$ cm³ en centilitres.
3. cConvertis $12\,500$ cm³ en dm³.
4. dUn aquarium a un volume de $60$ dm³. Combien de carafes de $1\,500$ cm³ faut-il pour le remplir ?
5. eMattéo affirme que $1$ m³ $= 100$ L. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 3★★★L'entonnoir et sa génératrice — Un entonnoir a la forme d'un cône de révolution de sommet S. Le rayon de son ouverture est OA $= 8$ cm et sa génératrice est SA $= 17$ cm. Voici sa vue en coupe. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la hauteur SO de l'entonnoir.
2. bDonne la valeur exacte du volume de l'entonnoir.
3. cDonne une valeur approchée de ce volume en cm³.
4. dLou dit que l'entonnoir peut contenir plus d'un litre. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 4★★★Le silo à grain — Un silo est formé d'un cylindre de révolution de diamètre AB $= 3$ m et de hauteur BC $= 5$ m, surmonté d'un cône de révolution de même base et de hauteur IS $= 1{,}2$ m. Arrondis au dixième.

1. aDonne la valeur exacte du volume de la partie cylindrique.
2. bDonne la valeur exacte du volume de la partie conique.
3. cDonne la valeur exacte du volume du silo, puis une valeur approchée en m³.
4. dCombien de litres de grain le silo plein contient-il ?

Ex. 5★★★La tente pyramidale — Une tente a la forme d'une pyramide à base carrée de côté $240$ cm. Son volume est de $4{,}8$ m³. On cherche sa hauteur.

1. aCalcule l'aire $\mathcal{B}$ de la base, en m².
2. bHugo trouve une hauteur d'environ $0{,}83$ m. A-t-il raison ? Justifie et calcule la hauteur de la tente.
3. cLina affirme qu'une tente de même hauteur, dont la base carrée a un côté trois fois plus long, a un volume trois fois plus grand. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 6★★★La pyramide en verre du hall — Le hall d'un musée est surmonté d'une pyramide en verre SABCD à base carrée. Sa base ABCD est un carré de côté $8$ m et de centre H. Ses quatre arêtes latérales mesurent $9$ m : SA $= 9$ m. La hauteur est [SH]. Arrondis au dixième.

1. aCalcule $AC^2$, puis montre que $AH^2 = 32$.
2. bCalcule la hauteur SH de la pyramide.
3. cCalcule le volume de la pyramide : donne la valeur exacte, puis une valeur approchée.
4. dNoé a écrit : « $V = 8 \times 8 \times 9 = 576$ m³ ». Explique ses deux erreurs.

Ex. 7★★★La citerne d'eau de pluie — Chez Maëlle, à Angers, une citerne a la forme d'un cylindre de révolution de diamètre $1{,}2$ m et de hauteur $2{,}5$ m. Elle est pleine d'eau de pluie. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la valeur exacte du volume de la citerne, en m³.
2. bCalcule la contenance de la citerne, en litres.
3. cInès a écrit : « $V = 2 \times \pi \times 0{,}6 \times 2{,}5 \div 3$ ». Explique ses deux erreurs.
4. dOn vide la citerne dans une cuve en forme de pavé droit dont le fond mesure $150$ cm sur $120$ cm. Calcule la hauteur d'eau, en cm.
5. eLa cuve a une hauteur de $1{,}5$ m. L'eau déborde-t-elle ? Justifie.

Ex. 8★★★Les bougies de Yanis — Yanis, à Besançon, fabrique des bougies. Chacune est un pavé droit à base carrée de côté $5$ cm et de hauteur $8$ cm, surmonté d'une pyramide de même base et de hauteur $6$ cm. Voici sa vue de face. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le volume de la partie en forme de pavé droit.
2. bCalcule le volume de la partie en forme de pyramide.
3. cYanis dispose de $2{,}2$ L de cire fondue. Combien de bougies entières peut-il fabriquer ? Justifie.
4. dIl veut aussi une bougie en forme de cône de révolution de diamètre $10$ cm, de même volume qu'une bougie. Calcule sa hauteur.

Ex. 9★★★Automatismes : aires et volumes directs — Donne la valeur exacte avec $\pi$, puis la valeur approchée. Arrondis au dixième.

1. aCalcule l'aire d'une sphère de rayon $4$ cm.
2. bCalcule le volume de la boule de rayon $3$ cm dessinée ci-contre.
3. cUne bille a un diamètre de $3$ cm. Calcule son volume.
4. dUne boule de pétanque a un diamètre de $7{,}6$ cm. Calcule l'aire de sa surface.

Ex. 10★★★Automatismes : sphère ou boule, et erreurs de formule — Réponds sans calculatrice. Donne les volumes et les aires en valeur exacte.

1. aPour savoir quelle surface de cuir recouvre un ballon, que calcule-t-on ? Dans quelle unité ?
2. bPour savoir combien d'air contient ce ballon, que calcule-t-on ? Dans quelle unité ?
3. cPour une boule de rayon $2$ cm, Inès calcule $\left(\frac{4}{3} \times \pi \times 2\right)^3$. Explique son erreur et donne le volume exact.
4. dPour l'aire d'une sphère de rayon $3$ cm, Tom écrit $4 \times \pi \times 2 \times 3 = 24\pi$ cm². Corrige-le.
5. eConvertis $3\,500$ cm³ en litres.

Ex. 11★★★Deux lampes boules : on double le rayon — Lucas compare deux lampes en verre en forme de boule : la petite a un rayon de $10$ cm, la grande un rayon de $20$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le volume de chaque lampe, en valeur exacte puis approchée.
2. bLucas affirme : « Le rayon est doublé, donc le volume est doublé. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cCalcule l'aire du verre de chaque lampe. Par combien l'aire est-elle multipliée ?
4. dConvertis en litres le volume de la grande lampe.

Ex. 12★★★Le bol d'Emma — Emma fabrique un bol en forme de demi-boule, de diamètre intérieur $16$ cm. Le bol est ouvert sur le dessus. Arrondis au dixième.

1. aPour la contenance du bol, Emma écrit $V = \frac{2}{3} \times \pi \times 16^3$. Explique son erreur.
2. bCalcule la contenance du bol en valeur exacte, puis en cm³ et en L.
3. cEmma veut vernir l'intérieur du bol. Calcule l'aire à vernir.

Ex. 13★★★La boule de Noé dans sa boîte (Archimède) — Noé a une boule décorative en béton de volume $4\,500\pi$ cm³. Elle tient exactement dans une boîte cylindrique : le rayon de la boîte est celui de la boule, sa hauteur est le diamètre. Arrondis au dixième.

1. aMontre que $R^3 = 3\,375$, puis trouve le rayon $R$ de la boule sachant que $\sqrt[3]{3\,375} = 15$.
2. bCalcule le volume de la boîte, en valeur exacte puis approchée.
3. cQuelle fraction du volume de la boîte la boule occupe-t-elle ?
4. dCalcule le volume vide dans la boîte, en cm³ puis en L.

Ex. 14★★★Le silo de la coopérative de Malik — Le silo à blé de la coopérative de Malik est formé d'un cylindre de diamètre $9$ m et de hauteur $11$ m. Il est surmonté d'un toit en forme de demi-boule de même diamètre. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le volume de la partie cylindrique du silo, en valeur exacte puis approchée.
2. bPour le volume du toit, Yanis écrit $V = \frac{4}{3} \times \pi \times 4{,}5^3$. Explique son erreur, puis calcule le volume du toit.
3. cLe silo peut-il contenir $900\,000$ L de blé ? Justifie.
4. dOn peint l'extérieur du toit. Un litre de peinture couvre $6$ m², et la peinture est vendue en pots de $5$ L. Combien de pots faut-il acheter ? Justifie.

Ex. 15★★★Le bac de glace de Léonie — Léonie tient un stand de glaces. Sa cuillère forme des boules de glace de diamètre $5$ cm. La glace est livrée dans un bac en forme de pavé droit de $24$ cm sur $15$ cm sur $10$ cm, rempli à ras bord. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le volume d'une boule de glace, en valeur exacte puis approchée.
2. bCalcule la contenance du bac en litres. Combien de boules Léonie peut-elle servir au plus avec un bac ?
   (On néglige les pertes.)
3. cLéonie veut maintenant des boules de $100$ cm³. Calcule le volume d'une boule de rayon $2{,}8$ cm, puis de rayon $2{,}9$ cm. Quel rayon au dixième convient le mieux ?
4. dSacha pose une boule de diamètre $5$ cm dans un gobelet en forme de cube d'arête $5$ cm. Il affirme : « La boule occupe plus de la moitié du gobelet. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 16★★★Le globe terrestre d'Amandine — Le globe terrestre d'Amandine est une sphère de diamètre $32$ cm. La Terre est assimilée à une boule de rayon $6\,371$ km. Arrondis au dixième, et au million de km² pour la Terre.

1. aPour l'aire du globe, Zoé écrit $(4 \times \pi \times 16)^2$. Explique son erreur, puis calcule l'aire correcte.
2. bSi le globe était une boule pleine, quel serait son volume ? Donne-le en cm³, puis en litres.
3. cCalcule l'aire de la surface de l'hémisphère Nord de la Terre.
4. dUn autre globe a une sphère d'aire $1\,764\pi$ cm². Calcule son diamètre. Le volume de sa boule est-il plus du double de celui du globe d'Amandine ? Justifie.

Ex. 17★★★Automatismes : nommer une section — Pour chaque solide, donne la nature de la section et ses dimensions.

1. aUn cube d'arête $7$ cm est coupé par un plan parallèle à une face.
2. bUn cylindre de rayon $4$ cm et de hauteur $9$ cm est coupé par un plan perpendiculaire à son axe.
3. cLe même cylindre est coupé par un plan qui contient son axe.
4. dUne sphère de rayon $4{,}5$ cm est coupée par un plan qui passe par son centre.
5. eUne boule de rayon $3$ cm est coupée par un plan situé à $3$ cm de son centre, puis par un plan situé à $3{,}5$ cm de son centre. Que peux-tu dire de chaque section ?

Ex. 18★★★Automatismes : rayon d'une section de sphère — Une sphère de centre $O$ et de rayon $R$ est coupée par un plan. On note $H$ le pied de la perpendiculaire au plan menée de $O$ et $M$ un point de la section. Calcule le rayon $r = HM$ du cercle de section.

1. a$R = 13$ cm et $OH = 5$ cm.
2. b$R = 6{,}1$ cm et $OH = 1{,}1$ cm.
3. c$R = 41$ cm et le plan passe à $1$ cm de la surface de la sphère.
4. dPour $R = 37$ cm et $OH = 12$ cm, Tom écrit $r^2 = 37^2 + 12^2$. Corrige son erreur, puis calcule $r$.

Ex. 19★★★Deux coupes dans un pavé droit — $ABCDEFGH$ est un pavé droit avec $AB = 12$ cm, $BF = 5$ cm et $BC = 7$ cm. Les points $I$, $J$, $K$, $M$ sont tels que $AI = DJ = HK = EM = 3$ cm.

1. aLe plan qui passe par $I$, $J$, $K$, $M$ est parallèle à la face $BCGF$. Donne la nature et les dimensions de la section $IJKM$.
2. bOn coupe maintenant le pavé par le plan qui contient les arêtes $[AD]$ et $[FG]$. Donne la nature de la section $AFGD$, puis calcule $AF$.
3. cCalcule l'aire de la section $AFGD$.

Ex. 20★★★La bûche sciée — Une bûche a la forme d'un cylindre de diamètre $17$ cm et de longueur $40$ cm. Arrondis à l'unité.

1. aLina scie la bûche perpendiculairement à son axe. Donne la nature de la section, puis son aire exacte et son aire arrondie.
2. bLina scie une deuxième bûche identique parallèlement à son axe, à $4$ cm de lui. Sam affirme : « La section est un rectangle de $17$ cm sur $40$ cm. » A-t-il raison ? Justifie en calculant la corde $[MN]$ (vue de la base, $H$ milieu de $[MN]$).
3. cCalcule l'aire de cette section rectangulaire.

Ex. 21★★★Le fromage en boule — Ben coupe un fromage en forme de boule de centre $O$ et de rayon $7{,}5$ cm par un plan situé à $4{,}5$ cm de $O$. Arrondis au dixième.

1. aSur un dessin en perspective, la section est tracée comme un ovale. Hugo en conclut que ce n'est pas un disque. A-t-il raison ? Justifie.
2. bCalcule le rayon de la section.
3. cCalcule l'aire de la section : valeur exacte, puis valeur arrondie.
4. dUne deuxième coupe, parallèle à la première, donne une section d'aire $20{,}25\pi$ cm². À quelle distance de $O$ se trouve ce plan ?

Ex. 22★★★Le bloc de mousse du tapissier — Un tapissier découpe un bloc de mousse en forme de pavé droit $ABCDEFGH$ avec $AB = 20$ cm, $BC = 15$ cm et $AE = 7$ cm. Le point $I$ est sur [AB] avec $AI = 12$ cm et le point $J$ est sur [BC] avec $BJ = 6$ cm.

1. aIl coupe le bloc par un plan qui passe par $I$ et qui est parallèle à la face $ADHE$. Donne la nature de la section et ses dimensions.
2. bIl coupe ensuite un autre bloc par le plan qui contient les arêtes [AE] et [CG]. Yanis affirme : « La section est un rectangle de $20$ cm sur $7$ cm. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cLa section $IJPN$ coloriée est obtenue avec un plan parallèle à l'arête [AE] qui passe par $I$ et $J$. Donne sa nature et calcule son aire.
4. dLe tapissier voudrait une section d'aire $140$ cm² avec un plan parallèle à [AE] qui passe par $I$ et par un point $K$ de [BC]. Est-ce possible ? Justifie.

Ex. 23★★★La citerne couchée — Une citerne a la forme d'un cylindre de diamètre $2{,}6$ m et de longueur $4$ m. Elle est couchée : son axe est horizontal. Le liquide monte à $0{,}8$ m au-dessus du point le plus bas $F$. La figure montre la coupe par un plan perpendiculaire à l'axe : $O$ est sur l'axe, [NM] est la surface du liquide. Arrondis au centième.

1. aQuand la citerne est vide, on la coupe par la pensée avec un plan perpendiculaire à son axe. Donne la nature de la section et son aire.
2. bLa surface du liquide est une section de la citerne par un plan horizontal. Quelle est sa nature ? Justifie.
3. cCalcule la distance $OH$ entre l'axe et la surface du liquide, puis montre que la largeur $NM$ de cette surface vaut $2{,}4$ m.
4. dCalcule l'aire de la surface du liquide.
5. eInès affirme : « Quand la citerne est à moitié pleine, la surface du liquide est un rectangle de $1{,}3$ m sur $4$ m. » A-t-elle raison ? Justifie et donne l'aire exacte de cette surface.

Ex. 24★★★La boule posée sur le vase — Maëlle pose une boule décorative de centre $O$ et de rayon $14{,}5$ cm sur un vase dont l'ouverture est un cercle de diamètre $20$ cm. La boule touche le bord de l'ouverture tout autour. La figure est une vue en coupe : [NM] représente l'ouverture et $H$ son centre. Arrondis au dixième.

1. aSur une photo prise de biais, le bord de l'ouverture paraît ovale. Quelle est la vraie nature de la section de la boule par le plan de l'ouverture ? Calcule son aire.
2. bCalcule la distance $OH$ entre le centre de la boule et le plan de l'ouverture.
3. cDe combien de centimètres la boule descend-elle sous le plan de l'ouverture ?
4. dMaëlle place une étagère horizontale à $25$ cm au-dessus du plan de l'ouverture. L'étagère touche-t-elle la boule ? Justifie.
5. eSami affirme : « Sur un vase dont l'ouverture a un diamètre de $32$ cm, cette boule tiendrait aussi, simplement plus enfoncée. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 25★★★Le rapport $k$ et la nature de la section — Chaque solide est coupé par un plan parallèle à sa base.

1. aUne pyramide de hauteur $SO = 12$ cm est coupée à $9$ cm du sommet. Donne $k$ en fraction irréductible, puis en écriture décimale.
2. bUn cône de hauteur $SO = 25$ cm est coupé à $OP = 10$ cm de sa base. Calcule $k$.
3. cPour une pyramide de hauteur $16$ cm coupée à $4$ cm du sommet, Tom écrit $k = 16 \div 4 = 4$. Explique son erreur et corrige-la.
4. dUne pyramide à base carrée de côté $9$ cm est coupée avec $k = \frac{2}{3}$. Donne la nature de la section et sa dimension.
5. eUn cône de révolution de rayon $4{,}5$ cm est coupé avec $k = 0{,}4$. Donne la nature de la section et sa dimension.

Ex. 26★★★Aires, volumes et rapport retrouvé — Chaque solide est coupé par un plan parallèle à sa base ; $k$ est le rapport de réduction.

1. aLa base d'une pyramide a une aire de $50$ cm² et $k = 0{,}3$. Calcule l'aire de la section.
2. bUn cône de $640$ cm³ est coupé à mi-hauteur. Nina affirme : « Le petit cône fait $320$ cm³. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cUne pyramide de $540$ cm³ est coupée avec $k = \frac{1}{3}$. Hugo calcule le volume du tronc : $540 \times \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 360$ cm³. Corrige son calcul.
4. dLa section d'un cône a une aire de $12$ cm² et sa base une aire de $75$ cm². Retrouve $k$.
5. eUne petite pyramide de $2$ cm³ est découpée dans une pyramide de $128$ cm³. Retrouve $k$.

Ex. 27★★★Le pied de lampe de Malik — Le pied de la lampe de Malik est un tronc de pyramide. Il vient d'une pyramide à base carrée de sommet $S$, de côté $18$ cm et de hauteur $SO = 24$ cm, coupée par un plan parallèle à la base à $OP = 8$ cm de la base. Voici une vue en coupe passant par $S$ et par les milieux $I$ et $J$ de deux côtés opposés de la base.

1. aCalcule SP, puis le rapport $k$ en fraction irréductible.
2. bDonne la nature de la section, son côté et son aire.
3. cCalcule le volume de la grande pyramide, puis celui de la petite pyramide.
4. dCalcule le volume du pied de lampe en cm³, puis en litres.

Ex. 28★★★Le verre à pied de Lucas — Le récipient du verre à pied de Lucas est un cône de révolution, pointe en bas, de rayon $OB = 5$ cm et de hauteur $SO = 15$ cm. Lucas y verse du jus jusqu'à une hauteur $SP = 12$ cm. Arrondis au dixième.

1. aQuelle est la nature de la surface du jus ? Calcule le rapport $k$.
2. bCalcule le rayon $PQ$ de la surface du jus.
3. cCalcule le volume du verre puis le volume de jus, en valeur exacte puis approchée. Convertis le volume de jus en cL.
4. dLucas affirme : « Le jus monte aux $\frac{4}{5}$ de la hauteur, donc le verre est rempli aux $\frac{4}{5}$ de son volume. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 29★★★Le plot de sport d'Amina — Le plot de sport d'Amina est un tronc de cône plein. Il vient d'un cône de révolution de sommet $S$, de hauteur $SO = 27$ cm et de rayon $OB = 9$ cm, coupé par un plan parallèle à la base : la section est un disque de rayon $PQ = 3$ cm. Arrondis au dixième de litre.

1. aCalcule le rapport $k$ à l'aide des rayons, puis la hauteur SP du petit cône et la hauteur OP du plot.
2. bCalcule les volumes exacts du grand cône et du petit cône.
3. cCalcule le volume du plot en valeur exacte, puis en litres.
4. dQuelle fraction du volume du grand cône le plot représente-t-il ?

Ex. 30★★★Les affirmations de Malo sur le presse-papier — Le presse-papier de Clara est une pyramide en verre à base carrée de côté $12$ cm et de hauteur SO $= 16$ cm. Un plan parallèle à la base, situé à $4$ cm de la base, la coupe en une petite pyramide et un tronc de pyramide. La figure est une vue en coupe passant par S et par les milieux I et J de deux côtés opposés de la base. Pour chaque affirmation de Malo, dis si elle est vraie ou fausse, et justifie.

1. a« Le rapport de réduction est $k = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$. »
2. b« La section est un carré d'aire $108$ cm². »
3. c« Le volume de la petite pyramide est $576$ cm³. »
4. d« Le tronc de pyramide occupe plus de la moitié du volume de la pyramide entière. »

Ex. 31★★★Le silo à grain de Nathan — Le silo de la ferme de Nathan est formé d'un cylindre de rayon $3$ m et de hauteur $7$ m posé sur un cône de révolution, pointe S en bas, de même rayon OB $= 3$ m et de hauteur SO $= 6$ m (vue en coupe ci-dessous). Arrondis au dixième.

1. aCalcule le volume total du silo, en valeur exacte puis en valeur approchée.
2. bLe grain remplit le cône jusqu'à $3$ m au-dessus de la pointe S. Calcule le volume de grain, puis le volume de grain qu'il faut ajouter pour remplir le cône.
3. cUn autre jour, le grain occupe $\frac{8}{27}$ du volume du cône. Retrouve le rapport $k$, puis la hauteur de grain au-dessus de S.
4. dCe jour-là, quelle est la nature de la surface du grain ? Calcule son aire.

Ex. 32★★★La bougie pyramidale de Sofia — Sofia moule une bougie à partir d'une pyramide SABCD à base rectangulaire, de hauteur [SH] où H est le centre du rectangle ABCD, avec AB $= 8$ cm, BC $= 6$ cm et l'arête SA $= 13$ cm. Elle coupe la pointe par un plan parallèle à la base passant par le point H' de [SH] tel que SH' $= 3$ cm. La bougie est le tronc de pyramide restant.

1. aMontre que la hauteur SH mesure $12$ cm.
2. bCalcule le rapport $k$ de la réduction, en fraction irréductible puis en écriture décimale.
3. cQuelle est la nature de la section ? Donne ses dimensions et son aire.
4. dCalcule le volume de la pyramide SABCD, puis celui de la petite pyramide.
5. eSofia dispose de $0{,}2$ L de cire fondue. Est-ce suffisant pour remplir le moule de la bougie ? Justifie.

Ex. 33★★★Lire et écrire des coordonnées — La figure montre la Terre en coupe dans le plan du méridien de $M$ : $O$ est le centre, $[OE]$ est dans le plan de l'équateur et $N$ est le pôle Nord.

1. aLis sur la figure la latitude du point $M$.
2. b$M$ est sur le méridien $140^\circ$ E. Inès écrit les coordonnées de $M$ en commençant par la longitude. Explique son erreur, puis écris les coordonnées de $M$.
3. cLe point $B$ est sur le même parallèle que $M$ et sur le méridien de Greenwich. Donne les coordonnées de $B$.
4. dLe point $C$ est sur le même méridien que $M$ et sur l'équateur. Donne les coordonnées de $C$.
5. eExplique pourquoi un point noté $(97^\circ\text{ N} ; 20^\circ\text{ E})$ ne peut pas exister.

Ex. 34★★★Écarts angulaires et antipode — Réponds à chaque question en degrés.

1. aCalcule l'écart angulaire entre $A\,(18^\circ\text{ N} ; 27^\circ\text{ E})$ et $B\,(27^\circ\text{ S} ; 27^\circ\text{ E})$, situés sur le même méridien.
2. bCalcule l'écart angulaire entre les points $C\,(0^\circ ; 74^\circ\text{ O})$ et $D\,(0^\circ ; 12^\circ\text{ O})$ de l'équateur.
3. c$F$ est sur l'équateur, à $86^\circ$ à l'est de $E\,(0^\circ ; 34^\circ\text{ O})$. Donne la longitude de $F$.
4. dL'antipode de $P\,(24^\circ\text{ N} ; 110^\circ\text{ E})$ est le point $P'$ tel que $[PP']$ est un diamètre de la Terre. Donne les coordonnées de $P'$.

Ex. 35★★★Du Caire à Durban le long d'un méridien — Le Caire $(30^\circ\text{ N} ; 31^\circ\text{ E})$ et Durban $(30^\circ\text{ S} ; 31^\circ\text{ E})$ sont sur le même méridien (coordonnées approchées). La Terre est une sphère de centre $O$ et de rayon $6\,371$ km. Arrondis les longueurs au km et les angles au dixième.

1. aCalcule l'écart angulaire entre Le Caire ($C$) et Durban
   ($D$).
2. bCalcule la longueur de l'arc de méridien qui va du Caire à Durban : valeur exacte, puis valeur approchée.
3. cUn avion part du Caire et parcourt $2\,000$ km vers le nord, le long de ce méridien. Calcule la latitude du point d'arrivée.

Ex. 36★★★D'Amsterdam à Saskatoon le long du parallèle — Amsterdam $(52^\circ\text{ N} ; 5^\circ\text{ E})$ et Saskatoon, au Canada, $(52^\circ\text{ N} ; 107^\circ\text{ O})$ sont sur le même parallèle. La Terre est une sphère de centre $O$ et de rayon $OM = 6\,371$ km. Arrondis au km, à la fin seulement.

1. aExplique pourquoi $\widehat{OMH} = 52^\circ$, puis calcule $HM$, le rayon du parallèle $52^\circ$ N.
2. bCalcule l'écart entre les longitudes des deux villes.
3. cCalcule la longueur de l'arc de parallèle qui relie Amsterdam à Saskatoon.

Ex. 37★★★Vrai ou faux sur les distances terrestres — La Terre est une sphère de rayon $6\,371$ km. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie par un calcul. Arrondis au km.

1. a« Sur l'équateur, les points $(0^\circ ; 15^\circ\text{ O})$ et $(0^\circ ; 85^\circ\text{ O})$ sont à environ $11\,120$ km l'un de l'autre. »
2. b« Sur le parallèle $63^\circ$ N, deux points de longitudes $10^\circ$ E et $40^\circ$ E sont à environ $3\,336$ km l'un de l'autre, le long du parallèle. »
3. c« Les points $A\,(12^\circ\text{ S} ; 20^\circ\text{ E})$ et $B\,(12^\circ\text{ N} ; 20^\circ\text{ E})$ sont sur le même méridien, à environ $2\,669$ km l'un de l'autre. »

Ex. 38★★★La copie de Malo sur l'équateur — Quito $Q\,(0^\circ ; 78^\circ\text{ O})$ et Libreville $L\,(0^\circ ; 9^\circ\text{ E})$ sont sur l'équateur (coordonnées approchées). La Terre est une sphère de centre $O$ et de rayon $6\,371$ km. La figure montre l'équateur vu depuis le pôle Nord ; $G$ est sur le méridien de Greenwich. Arrondis les distances au km et les angles au degré.

1. aMalo écrit : « Libreville est à $9^\circ$ de latitude Est. » Corrige sa phrase et explique son erreur.
2. bMalo calcule l'écart angulaire $\widehat{QOL} = 78^\circ - 9^\circ = 69^\circ$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cCalcule la distance de Quito à Libreville le long de l'équateur.
4. dUn navire part de Libreville, suit l'équateur vers l'ouest et parcourt $3\,000$ km. Donne les coordonnées de son point d'arrivée.

Ex. 39★★★De Lisbonne à Athènes le long du parallèle 38° N — Lisbonne $(38^\circ\text{ N} ; 9^\circ\text{ O})$ et Athènes $(38^\circ\text{ N} ; 24^\circ\text{ E})$ sont sur le parallèle $38^\circ$ N (coordonnées approchées). La Terre est une sphère de centre $O$ et de rayon $6\,371$ km. Sur la coupe ci-dessous, $M$ est un point du parallèle $38^\circ$ N et $H$ le centre de ce parallèle. Le segment $[OE]$ est dans le plan de l'équateur. Arrondis au km.

1. aSofiane écrit : $HM = 6\,371 \times \sin 38^\circ \approx 3\,922$ km. Explique son erreur, puis calcule le rayon $HM$ du parallèle $38^\circ$ N.
2. bCalcule la longueur du parallèle $38^\circ$ N.
3. cCalcule l'écart angulaire entre Lisbonne et Athènes, puis la distance qui les sépare le long du parallèle.
4. dJade trouve $3\,669$ km pour la distance Lisbonne-Athènes, car elle a pris $6\,371$ km comme rayon. Explique son erreur et pourquoi son résultat est trop grand.

Ex. 40★★★Un vol plein sud depuis Tromsø — Un avion de recherche part de Tromsø, en Norvège, $T\,(70^\circ\text{ N} ; 19^\circ\text{ E})$. Il vole plein sud le long de son méridien jusqu'au point $C\,(34^\circ\text{ S} ; 19^\circ\text{ E})$, près du Cap. La Terre est une sphère de centre $O$ et de rayon $6\,371$ km. La figure est une coupe par le grand cercle qui contient ce méridien ; $N$ et $S$ sont les pôles. Arrondis au km et au degré.

1. aLéo affirme : « Pendant tout le vol, la latitude de l'avion reste égale à $19^\circ$. » Corrige son affirmation et justifie.
2. bCalcule l'angle $\widehat{TOC}$, puis la longueur du trajet de $T$ à $C$.
3. cCalcule la latitude de l'avion après $9\,000$ km de vol depuis $T$, puis donne ses coordonnées.
4. dUn second avion va de $C$ au pôle Sud par ce méridien, puis remonte par le méridien opposé jusqu'à l'antipode $C'$ de $C$. Donne les coordonnées de $C'$ et la longueur de ce trajet.

Ex. 41★★★Automatismes : le rapport de réduction — Chaque solide est coupé par un plan parallèle à sa base. Justifie chaque réponse.

1. aUne pyramide de hauteur $SO = 14$ cm est coupée à $3{,}5$ cm de son sommet. Calcule le rapport $k$ de la réduction.
2. bUn cône de révolution de hauteur $20$ cm est coupé à $4$ cm de sa base. Calcule le rapport $k$ de la réduction.
3. cLa base d'une pyramide a une aire de $72$ cm². La pyramide est coupée avec un rapport $k = 0{,}5$. Calcule l'aire de la section.
4. dUne pyramide de $405$ cm³ est coupée avec un rapport $k = \frac{1}{3}$. Léo écrit : « petite pyramide : $405 \times \frac{1}{3} = 135$ cm³ ». A-t-il raison ? Justifie.
5. eOn découpe un petit cône de $54$ cm³ dans un cône de $2\,000$ cm³. Retrouve le rapport $k$ de la réduction.

Ex. 42★★★Automatismes : boule, sphère et section — Donne la valeur exacte, puis une valeur approchée si elle est utile. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le volume d'une bille de diamètre $10$ cm.
2. bCalcule l'aire d'une sphère de rayon $3{,}5$ cm.
3. cUn bol a la forme d'une demi-boule de rayon $12$ cm. Calcule sa contenance en litres.
4. dUne boule a pour volume $\frac{2\,048\pi}{3}$ cm³. Retrouve son rayon. On donne $\sqrt[3]{512} = 8$.
5. eUne sphère de centre O et de rayon $26$ cm est coupée par un plan situé à $10$ cm de O. Calcule le rayon HM de la section.

Ex. 43★★★Le cornet de glace — Chez un glacier de Nice, un cornet est un cône de révolution de diamètre $5$ cm et de génératrice $6{,}5$ cm. Il est rempli de glace, et surmonté d'une demi-boule de glace de même rayon. Arrondis au dixième.

1. aMontre que la hauteur SO du cône mesure $6$ cm.
2. bCalcule le volume total de glace d'un cornet : la valeur exacte, puis la valeur approchée.
3. cLe bac de glace est un pavé droit de $25$ cm sur $18$ cm, rempli sur $10$ cm de hauteur. Donne son volume en litres, puis le nombre de cornets complets qu'il permet de servir.
4. dAprès $40$ cornets servis, à quelle hauteur la glace arrive-t-elle encore dans le bac ?

Ex. 44★★★La lampe en verre — Ben fabrique une lampe à partir d'une pyramide en verre à base carrée de côté $16$ cm et de hauteur $SO = 24$ cm. Il la coupe par un plan parallèle à la base, à $6$ cm de la base. Le socle est le tronc de pyramide. La vue en coupe passe par S et par les milieux I et J de deux côtés opposés de la base. Arrondis le pourcentage au dixième.

1. aCalcule SP, puis le rapport $k$ de la réduction.
2. bDans la coupe, calcule PQ. Déduis-en le côté et l'aire de la section carrée.
3. cCalcule le volume de la pyramide entière, puis celui de la petite pyramide.
4. dDéduis-en le volume du socle en litres, puis le pourcentage qu'il représente par rapport au volume de la pyramide.

Ex. 45★★★De Saint-Pétersbourg à Durban — La Terre est une sphère de centre O et de rayon $6\,371$ km. Saint-Pétersbourg est à $60^\circ$ au nord de l'équateur et à $30^\circ$ à l'est du méridien de Greenwich. Durban est à $30^\circ$ au sud de l'équateur, sur le même méridien (valeurs approchées). Arrondis au dixième.

1. aMila écrit les coordonnées de Saint-Pétersbourg : $(30^\circ\text{ N} ; 60^\circ\text{ E})$. A-t-elle raison ? Justifie.
2. bUn avion va de Saint-Pétersbourg à Durban en suivant le méridien. Calcule l'écart angulaire entre les deux villes, puis la longueur de ce trajet.
3. cSur la figure, M représente Durban. Dans le triangle OHM rectangle en H, calcule le rayon HM du parallèle de Durban.
4. dCalcule la longueur de ce parallèle. Ensuite, calcule de quel pourcentage il est plus court que l'équateur.

Ex. 46★★★Le silo à grains — Un silo à grains est formé d'un cylindre de révolution de diamètre $4{,}8$ m, posé sur un cône de révolution de même base, pointe en bas. Le cylindre mesure $6$ m de haut. La génératrice [SC] du cône mesure $2{,}6$ m (voir la coupe). Arrondis au dixième.

1. aMontre que la hauteur SO du cône mesure $1$ m.
2. bCalcule le volume du silo, en valeur exacte, puis en valeur approchée.
3. cQuel pourcentage du volume du silo le cône représente-t-il ?
4. dL'agricultrice Manon verse $100\,000$ L de blé dans le silo vide. Le blé déborde-t-il ? Si ce n'est pas le cas, à quelle hauteur au-dessus de [DC] arrive-t-il ?

Ex. 47★★★Le coffret de boules de pétanque — Inès range des boules de pétanque dans un coffret en forme de pavé droit ABCDEFGH. Ses dimensions intérieures sont $24$ cm, $8$ cm et $8$ cm. Une boule a un volume d'environ $195{,}4$ cm³. On donne $\sqrt[3]{46{,}65} \approx 3{,}6$. Arrondis au dixième.

1. aMontre que le rayon d'une boule mesure environ $3{,}6$ cm.
2. bCombien de boules Inès peut-elle ranger au maximum dans le coffret ? Justifie.
3. cInès comble l'espace vide du coffret, autour des boules rangées, avec de la mousse. Quel volume de mousse lui faut-il, en litres ?
4. dInès repeint les boules rangées. Un flacon de peinture couvre $400$ cm². Un seul flacon suffit-il ? Justifie.

Ex. 48★★★Le verre à pied — Le récipient d'un verre à pied est un cône de révolution de sommet S et de hauteur SO = $12$ cm. Son bord est un cercle de diamètre $9$ cm. Zoé verse du jus jusqu'à $4$ cm sous le bord : la surface du jus est un disque de centre P (voir la coupe). On donne $\sqrt[3]{0{,}5} \approx 0{,}794$. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la contenance du verre, en valeur exacte en cm³, puis en centilitres.
2. bÀ l'aide du théorème de Thalès, calcule le rayon PQ de la surface du jus.
3. cTom affirme : « Le jus atteint les deux tiers de la hauteur, donc le verre est rempli aux deux tiers. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dÀ quelle hauteur, mesurée depuis le sommet S, faut-il arrêter le jus pour remplir exactement la moitié du verre ?