Quatrième / Fractions

49 exercices en 7 parties, du plus simple au plus difficile : ★★★ facile · ★★★ moyen · ★★★ difficile. Le corrigé détaillé est sur benprofparticulier.fr.
1.Rappels de 5ᵉ : fractions égales, comparer, additionner
À retenir : Pour simplifier, je divise le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun. Pour comparer ou additionner, je réduis au plus petit dénominateur commun : $\frac{1}{6} + \frac{3}{4} = \frac{2}{12} + \frac{9}{12} = \frac{11}{12}$. On n'additionne jamais les dénominateurs.

Ex. 1★★★Automatismes : simplifier et compléter — Simplifie jusqu'à la fraction irréductible, ou complète l'égalité.

  1. aSimplifie $\dfrac{28}{63}$.
  2. bSimplifie $\dfrac{26}{39}$.
  3. cComplète : $\dfrac{5}{6} = \dfrac{\ldots}{42}$.
  4. dComplète : $\dfrac{7}{8} = \dfrac{63}{\ldots}$.
  5. eComplète : $6 = \dfrac{\ldots}{5}$.
  6. fComplète : $0{,}75 = \dfrac{\ldots}{20}$.

Ex. 2★★★Automatismes : additionner, soustraire, multiplier par un entier — Calcule et donne le résultat sous forme irréductible.

a$\dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10}$b$\dfrac{1}{6} + \dfrac{7}{18}$c$\dfrac{7}{16} + \dfrac{1}{12}$d$3 + \dfrac{2}{5}$e$\dfrac{11}{14} - \dfrac{2}{7}$f$7 \times \dfrac{4}{21}$g$\dfrac{7}{9} - \dfrac{1}{6}$

Ex. 3★★★Comparer, ranger, encadrer — Justifie chaque réponse.

  1. aCompare $\frac{5}{9}$ et $\frac{5}{11}$ sans réduire au même dénominateur.
  2. bCompare $\frac{7}{15}$ et $\frac{9}{20}$ en cherchant le plus petit dénominateur commun.
  3. cRange dans l'ordre croissant : $\frac{2}{3}$ ; $\frac{3}{4}$ ; $\frac{7}{12}$ ; $\frac{5}{6}$.
  4. dVrai ou faux : $\frac{4}{7} < 0{,}6$ ? Justifie.
  5. eEncadre $\frac{17}{6}$ entre deux nombres entiers consécutifs.

Ex. 4★★★Repère l'erreur et corrige — A-t-il ou a-t-elle raison ? Justifie, puis corrige. Donne chaque résultat de calcul sous forme irréductible.

  1. aHugo écrit : $\frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{3}{9}$.
  2. bInès écrit : $\frac{3}{7} = \frac{3}{28}$, « car $7 \times 4 = 28$ ».
  3. cMalik écrit : $6 \times \frac{7}{18} = \frac{42}{108}$.
  4. dZoé écrit : $\frac{5}{8} + \frac{1}{8} = \frac{6}{16}$.
  5. eNathan dit : « Pour trouver les $\frac{3}{8}$ d'un réservoir de 56 L, je calcule $56 \div 3$, puis je multiplie par 8. »

Ex. 5★★★Pyramides de fractions — Dans une pyramide, chaque brique est la somme des deux briques posées juste en dessous. Pyramide 1 : en bas, de gauche à droite, $\frac{3}{8}$, $\frac{1}{24}$ et $\frac{5}{6}$. Pyramide 2 : en bas, seule la brique du milieu est connue, $\frac{3}{20}$ ; au milieu, la brique de gauche vaut $\frac{2}{5}$ ; au sommet, $\frac{11}{10}$. Donne chaque résultat sous forme irréductible.

  1. aPyramide 1 : calcule la brique du milieu à gauche.
  2. bPyramide 1 : calcule la brique du milieu à droite.
  3. cPyramide 1 : calcule la brique du sommet. Explique pourquoi le dénominateur $24$ suffit, sans aller jusqu'à $96$.
  4. dPyramide 2 : calcule la brique du milieu à droite.
  5. ePyramide 2 : retrouve les deux briques manquantes de la rangée du bas.

Ex. 6★★★Le jardin partagé — Le jardin partagé d'un quartier de Rennes mesure $360$ m². Les $\frac{2}{9}$ de sa surface sont plantés de légumes, les $\frac{5}{12}$ de fleurs, et le reste est en pelouse.

  1. aCalcule la surface plantée de légumes.
  2. bCalcule la surface plantée de fleurs.
  3. cQuelle fraction du jardin les légumes et les fleurs occupent-ils ensemble ? Vérifie avec tes deux réponses précédentes.
  4. dQuelle fraction du jardin est en pelouse ? Déduis-en la surface de la pelouse.
  5. eÀ Brest, Maëlle a un potager qui couvre les $\frac{5}{7}$ de son jardin, soit $105$ m². Quelle est la surface de son jardin ?

Ex. 7★★★Vrai ou faux : cinq affirmations — Vrai ou faux ? Justifie. Quand c'est faux, donne le bon résultat sous forme irréductible.

  1. a$\dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{20} = 1$
  2. bLe triple de $\frac{4}{15}$ est $\frac{12}{45}$.
  3. c$\frac{3}{7} = \frac{8}{12}$, car on a ajouté $5$ au numérateur et au dénominateur.
  4. d$\dfrac{6}{13} > \dfrac{3}{7}$
  5. e$4 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{19}{6}$
2.Signe d’une fraction, écritures égales, simplifier par la décomposition
À retenir : $\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}$ et $\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$. On multiplie ou on divise le haut ET le bas par un même nombre non nul, on n'ajoute jamais. Je décompose, puis je barre les facteurs premiers communs : $\frac{90}{84}=\frac{2\times3^2\times5}{2^2\times3\times7}=\frac{15}{14}$.

Ex. 8★★★Le signe devant, puis on simplifie — Écris chaque nombre avec le signe devant la fraction. Donne le résultat sous forme irréductible, ou sous forme d'entier.

a$\dfrac{-7}{-9}$b$\dfrac{14}{-21}$c$-\dfrac{-15}{35}$d$\dfrac{-48}{-36}$e$\dfrac{-56}{8}$f$\dfrac{0}{-13}$

Ex. 9★★★Le nombre qui manque — Complète les pointillés pour que les deux écritures soient égales.

a$\dfrac{4}{9}=\dfrac{\ldots}{63}$b$\dfrac{-5}{6}=\dfrac{\ldots}{-42}$c$-8=\dfrac{\ldots}{3}$d$\dfrac{32}{-56}=\dfrac{-4}{\ldots}$e$\dfrac{2{,}4}{1{,}5}=\dfrac{\ldots}{5}$f$\dfrac{-9}{-15}=\dfrac{\ldots}{25}$

Ex. 10★★★Décomposer pour simplifier — Décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers. Barre les facteurs communs, puis donne la fraction irréductible avec le signe devant.

  1. a$\dfrac{180}{378}$
  2. b$\dfrac{-264}{616}$
  3. c$\dfrac{490}{-693}$
  4. d$\dfrac{-325}{-546}$
  5. e$\frac{385}{624}$ : cette fraction peut-elle se simplifier ? Justifie.

Ex. 11★★★Les erreurs de la classe — Chaque élève a fait un calcul au tableau. Dis si l'élève a raison et justifie. Corrige si besoin.

  1. aInès écrit : $\frac{-11}{-12}=-\frac{11}{12}$. A-t-elle raison ?
  2. bMalik affirme : $-\frac{5}{9}=\frac{5}{-9}=\frac{-5}{-9}$. A-t-il raison ?
  3. cChloé ajoute 4 en haut et en bas et écrit : $\frac{3}{7}=\frac{7}{11}$. A-t-elle raison ?
  4. dYanis barre les deux 4 et écrit : $\frac{4+9}{4}=9$. A-t-il raison ?
  5. eLéa écrit $\frac{156}{240}=\frac{78}{120}=\frac{39}{60}$ et affirme que $\frac{39}{60}$ est irréductible. A-t-elle raison ?

Ex. 12★★★Qui est égal à qui ? — Voici huit nombres : $A=\frac{-14}{21}$ ; $B=\frac{10}{-15}$ ; $C=\frac{-22}{-33}$ ; $D=-\frac{-4}{6}$ ; $E=\frac{-36}{6}$ ; $F=-6$ ; $G=\frac{24}{-36}$ ; $H=\frac{-12}{-2}$.

  1. aSans calculer, donne le signe de chacun des huit nombres. Justifie avec la règle des signes.
  2. bÉcris $A$, $B$, $C$ et $G$ avec le signe devant la fraction, sous forme irréductible.
  3. cRange les huit nombres en groupes de nombres égaux. Justifie.
  4. dHugo affirme : « $F$ est un entier, donc ce n'est pas un nombre rationnel. » A-t-il raison ? Justifie.
  5. eÉcris $-\frac{2}{3}$ sous la forme d'une écriture fractionnaire de dénominateur $-45$.

Ex. 13★★★Vrai ou faux sur les fractions — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie, et corrige si elle est fausse.

  1. a« $-\frac{-5}{-8}$ est un nombre positif. »
  2. b« Si on multiplie le numérateur et le dénominateur de $\frac{4}{7}$ par $-3$, on obtient un nombre négatif. »
  3. c« $\frac{8+20}{8\times 5}=\frac{20}{5}=4$, car on barre les 8. »
  4. d« La décomposition de 126 en produit de facteurs premiers est $126=1\times 2\times 3^2\times 7$. »
  5. e« $\frac{-119}{187}$ est irréductible, car ni 119 ni 187 n'est divisible par 2, par 3 ou par 5. »

Ex. 14★★★Le tournoi d'échecs d'Annecy — Lors d'un tournoi d'échecs à Annecy, l'équipe de Margaux a gagné 168 parties sur 392 jouées. L'équipe de Sofiane a gagné 150 parties sur 350 jouées.

  1. aNoé écrit $\frac{168}{392}=\frac{84}{196}$ et s'arrête. Explique pourquoi sa simplification n'est pas terminée.
  2. bDécompose 168 et 392 en produits de facteurs premiers, puis donne la fraction irréductible des parties gagnées par Margaux.
  3. cFais de même pour l'équipe de Sofiane avec 150 et 350.
  4. dLes deux équipes ont-elles gagné la même proportion de parties ? Justifie.
  5. eUne troisième équipe a joué 91 parties et a gagné la même proportion de parties. Combien en a-t-elle gagné ? Justifie.
3.Comparer et ranger des nombres rationnels
À retenir : Les signes d'abord : un négatif est plus petit qu'un positif. Avec un même dénominateur positif, je compare les numérateurs. Entre deux négatifs, le plus petit est le plus loin de zéro : $-\frac{7}{6} < -\frac{8}{9}$.

Ex. 15★★★Automatismes : comparer deux nombres — Compare avec $<$, $>$ ou $=$.

a$-\dfrac{3}{7}$ … $\dfrac{1}{9}$b$-\dfrac{8}{11}$ … $-\dfrac{5}{11}$c$-\dfrac{1}{5}$ … $-\dfrac{1}{6}$d$\dfrac{5}{6}$ … $\dfrac{7}{9}$e$-\dfrac{9}{8}$ … $-1$f$\dfrac{-12}{-13}$ … $1$g$\dfrac{4}{-10}$ … $-\dfrac{2}{5}$

Ex. 16★★★Automatismes : encadrer entre deux entiers — Encadre chaque nombre entre deux entiers consécutifs.

a$\dfrac{23}{6}$b$-\dfrac{11}{4}$c$-\dfrac{6}{7}$d$\dfrac{-29}{7}$e$\dfrac{31}{-10}$f$-\dfrac{50}{8}$

Ex. 17★★★Ranger et intercaler — Écris d'abord les nombres avec un même dénominateur positif.

  1. aRange dans l'ordre croissant : $-0{,}35$ ; $-\frac{2}{5}$ ; $\frac{1}{20}$ ; $-\frac{3}{10}$ ; $-\frac{9}{20}$.
  2. bRange dans l'ordre décroissant : $\frac{5}{-6}$ ; $-\frac{7}{9}$ ; $-\frac{13}{18}$ ; $-1$.
  3. cDonne un nombre rationnel compris entre $-\frac{5}{6}$ et $-\frac{4}{5}$.
  4. dÀ Marseille, trois plongeurs sont à $-2{,}3$ m, $-\frac{9}{4}$ m et $-\frac{12}{5}$ m par rapport à la surface. Lequel est le plus profond ?

Ex. 18★★★Sur une droite graduée en cinquièmes — On utilise la droite graduée ci-dessous.−201ABC

  1. aDonne les abscisses des points A, B et C sous forme de fractions irréductibles.
  2. bLe point D est trois graduations à droite de B. Donne son abscisse.
  3. cHugo affirme : « Le point d'abscisse $\frac{9}{-5}$ est à droite de A. » A-t-il raison ? Justifie.
  4. dVrai ou faux ? Justifie. Le point d'abscisse $-\frac{9}{10}$ est situé entre A et B.

Ex. 19★★★Vrai ou faux : les pièges des signes — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par un calcul.

  1. a$-\dfrac{4}{7} > -\dfrac{5}{9}$
  2. bInès écrit : « $\frac{-11}{12} > \frac{-7}{12}$, car $11 > 7$. »
  3. cLe nombre $\frac{13}{-12}$ est plus grand que $-1$.
  4. dTom affirme : « $-\frac{1}{40} > \frac{1}{900}$, car $\frac{1}{40} > \frac{1}{900}$. »
  5. eLe nombre $\frac{-20}{-24}$ est compris entre $\frac{4}{5}$ et $1$.

Ex. 20★★★Températures dans le massif de Briançon — Un matin d'hiver, on relève la température (en °C) dans cinq stations : A : $-0{,}6$ ; B : $-\frac{2}{3}$ ; C : $-\frac{5}{8}$ ; D : $\frac{3}{20}$ ; E : $-\frac{7}{10}$.

  1. aNoé affirme : « La station B est plus chaude que la station C, car $\frac{2}{3} > \frac{5}{8}$. » A-t-il raison ? Justifie.
  2. bÉcris les cinq températures sous forme de fractions de dénominateur $120$.
  3. cRange les cinq stations de la plus froide à la plus chaude.
  4. dUne station F a une température strictement comprise entre celles de C et de A. Propose une écriture fractionnaire possible pour cette température.

Ex. 21★★★Droite graduée en quarts et points cachés — On utilise la droite graduée ci-dessous.−202RST

  1. aLis les abscisses de R, S et T (fractions irréductibles), puis range-les dans l'ordre croissant avec le nombre $\frac{7}{5}$.
  2. bLe point V a pour abscisse $-\frac{11}{9}$. Sans le placer, dis entre quels points de la figure il se trouve et s'il est à gauche ou à droite de $-1$. Justifie.
  3. cLe point M a pour abscisse $\frac{-3}{-4}$. Lucas le place entre R et S. A-t-il raison ? Justifie.
  4. dLéa veut placer le point W d'abscisse $-\frac{13}{5}$. Elle dit qu'il est entre $-2$ et $-1$. Encadre $-\frac{13}{5}$ entre deux entiers consécutifs, puis corrige Léa.
4.Additionner et soustraire des fractions relatives
À retenir : Signe moins au numérateur, dénominateur commun positif (le plus petit), numérateurs calculés comme des relatifs : $-\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{-9+2}{12} = -\frac{7}{12}$. Soustraire, c'est ajouter l'opposé ; $-5 = \frac{-15}{3}$.

Ex. 22★★★Automatismes : même dénominateur — Calcule et donne le résultat sous forme irréductible, avec le signe devant la fraction.

a$-\dfrac{4}{9} + \dfrac{7}{9}$b$\dfrac{2}{11} - \dfrac{9}{11}$c$-\dfrac{5}{13} - \dfrac{6}{13}$d$\dfrac{3}{8} - \left(-\dfrac{7}{8}\right)$e$-\left(-\dfrac{5}{12}\right) + \left(-\dfrac{11}{12}\right)$f$\dfrac{7}{-10} + \dfrac{3}{10}$

Ex. 23★★★Automatismes : dénominateurs différents — Calcule avec le plus petit dénominateur commun possible et donne le résultat sous forme irréductible.

a$-\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$b$\dfrac{1}{6} - \left(-\dfrac{4}{9}\right)$c$-3 + \dfrac{5}{7}$d$0{,}6 - \dfrac{7}{4}$e$-\dfrac{7}{15} - \dfrac{1}{6}$f$\dfrac{5}{-8} + 2$

Ex. 24★★★Repère l'erreur et corrige — Chaque élève a fait une erreur. Explique-la, puis donne le bon résultat sous forme irréductible.

  1. aLéa écrit $-\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{2}{7}$.
  2. bHugo écrit $\dfrac{5}{12} - \left(-\dfrac{2}{9}\right) = \dfrac{15}{36} - \dfrac{8}{36} = \dfrac{7}{36}$.
  3. cInès écrit $-2 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{-2}{9} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{9}$.
  4. dMalo écrit $\dfrac{7}{12} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{12} - \dfrac{9}{12} = \dfrac{1}{6}$.

Ex. 25★★★Le niveau de l'étang — Ben relève chaque semaine la variation du niveau d'un étang près de Vierzon, en mètres : $-\frac{3}{10}$ la semaine 1, $\frac{1}{4}$ la semaine 2, puis $-0{,}15$ la semaine 3. Une variation négative signifie que le niveau a baissé.

  1. aÉcris $0{,}15$ sous forme de fraction irréductible, puis calcule la variation totale sur les trois semaines. Le niveau a-t-il monté ou baissé ?
  2. bQuel nombre faut-il ajouter à la variation de la semaine 1 pour obtenir celle de la semaine 2 ?
  3. cAprès la semaine 4, la variation totale sur les quatre semaines vaut $\frac{1}{12}$ m. Quelle a été la variation de la semaine 4 ?

Ex. 26★★★Le carré magique relatif — Dans ce tableau, la somme des trois nombres de chaque ligne et de chaque colonne est la même : on l'appelle $S$. Donne chaque résultat sous forme irréductible.

CarréCol. 1Col. 2Col. 3
Ligne 1$-\dfrac{1}{3}$$\dfrac{1}{12}$ 
Ligne 2$0{,}25$$-\dfrac{1}{12}$$\dfrac{5}{-12}$
Ligne 3  $\dfrac{1}{6}$

  1. aÉcris $0{,}25$ en fraction et $\frac{5}{-12}$ avec un dénominateur positif, puis calcule la somme de la ligne 2 pour trouver $S$.
  2. bCalcule le nombre qui manque dans la ligne 1.
  3. cCalcule le nombre qui manque dans la colonne 1, puis celui qui reste dans la ligne 3.
  4. dCalcule la somme de chaque diagonale. Les diagonales ont-elles aussi la somme $S$ ? Le tableau est-il un carré magique ? Justifie.

Ex. 27★★★Vrai ou faux sur les signes — Vrai ou faux ? Justifie par un calcul. Si l'affirmation est fausse, donne le bon résultat sous forme irréductible.

  1. a$\dfrac{2}{7} - \left(-\dfrac{4}{21}\right) = -\dfrac{2}{21}$
  2. b$\dfrac{3}{-8} - 4 = -\dfrac{7}{8}$
  3. cLe nombre $\frac{7}{10} + \left(-\frac{11}{15}\right)$ est négatif.
  4. d$-\left(-\dfrac{5}{14}\right) - \dfrac{3}{7} = -\dfrac{11}{14}$
  5. e$0{,}35 - \dfrac{9}{10} - \left(-\dfrac{1}{4}\right) = -\dfrac{3}{10}$

Ex. 28★★★Le relais de Lille — À Lille, Maëlle note l'écart en minutes entre le temps de chacun de ses quatre relayeurs et le temps prévu. Un écart négatif veut dire que le coureur est en avance. Écarts des trois premiers : $-\frac{5}{4}$, $\frac{2}{3}$ et $-1{,}2$. Donne les résultats sous forme irréductible.

  1. aCalcule l'écart total des trois premiers relayeurs. L'équipe est-elle alors en avance ou en retard ?
  2. bMaëlle vise un écart total de $-2$ minutes pour les quatre relayeurs. Quel écart doit faire le 4ᵉ relayeur ?
  3. cEn fait, le 4ᵉ relayeur a un écart de $\frac{1}{4}$. Calcule l'écart total réel de l'équipe.
  4. dL'objectif de $-2$ minutes est-il atteint ? Calcule la différence « écart réel − objectif » et justifie.
5.Multiplier, inverse, diviser par une fraction
À retenir : Produit : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux, sans dénominateur commun : $\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$. L'inverse de $-\frac{4}{9}$ est $-\frac{9}{4}$ ; 0 n'a pas d'inverse. Diviser, c'est multiplier par l'inverse du diviseur seulement.

Ex. 29★★★Automatismes : multiplier des fractions — Calcule et donne le résultat sous forme irréductible. Simplifie avant de multiplier.

a$\dfrac{3}{7} \times \dfrac{2}{7}$b$-\dfrac{5}{6} \times \dfrac{9}{10}$c$\left(-\dfrac{14}{9}\right) \times \left(-\dfrac{3}{8}\right)$d$4 \times \dfrac{5}{12}$e$\dfrac{6}{25} \times \dfrac{-15}{4}$f$\dfrac{8}{-21} \times \dfrac{7}{12}$gCalcule les $\dfrac{3}{5}$ de $\dfrac{10}{9}$.h$-3 \times \dfrac{2}{11} \times \left(-\dfrac{11}{6}\right)$

Ex. 30★★★Automatismes : inverse ou opposé ? — Deux nombres sont inverses l'un de l'autre quand leur produit vaut 1. Donne les résultats sous forme irréductible.

  1. aComplète le tableau.
    Nombre$\dfrac{9}{4}$$-\dfrac{2}{11}$$-8$$0{,}6$
    Inverse    
    Opposé    
  2. bLeïla affirme : « L'inverse de $-\frac{3}{7}$ est $\frac{7}{3}$. » A-t-elle raison ? Justifie.
  3. cHugo cherche l'inverse de $0$. Que peux-tu lui répondre ? Justifie.
  4. dCalcule $-\frac{5}{4} \times (-0{,}8)$. Que peux-tu en déduire pour ces deux nombres ?

Ex. 31★★★Quotients sous toutes les formes — Calcule et donne le résultat sous forme irréductible.

  1. a$\dfrac{14}{15} \div \left(-\dfrac{21}{20}\right)$
  2. b$-\dfrac{12}{7} \div 18$
  3. c$\dfrac{\dfrac{-20}{27}}{\dfrac{-8}{45}}$
  4. d$-0{,}75 \div \dfrac{9}{16}$
  5. eSans calculer, dis si $\frac{7}{3} \div \frac{2}{9}$ est plus grand ou plus petit que $\frac{7}{3}$. Vérifie ensuite par le calcul.

Ex. 32★★★Erreurs, fraction manquante et ruban — Rédige chaque réponse et donne les résultats sous forme irréductible.

  1. aNoé écrit : $\frac{6}{35} \div \frac{9}{14} = \frac{35}{6} \times \frac{9}{14}$. Explique son erreur, puis calcule le bon quotient.
  2. bInès écrit : $\frac{4}{9} \times \frac{6}{7} = \frac{2}{9} \times \frac{3}{7} = \frac{2}{21}$. Trouve son erreur et corrige le calcul.
  3. cTrouve la fraction manquante : $\ldots \times \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{10}{21}$.
  4. dMaël a déjà utilisé les $\frac{2}{7}$ d'un ruban, soit $\frac{4}{5}$ m. Quelle est la longueur du ruban entier ?

Ex. 33★★★Les gourdes de Lina — Avant une randonnée près de Gap, Lina remplit des gourdes de $\frac{3}{8}$ L avec un bidon qui contient $\frac{15}{4}$ L d'eau. Rédige chaque réponse et donne les résultats sous forme irréductible.

  1. aCombien de gourdes Lina peut-elle remplir avec le bidon plein ?
  2. bSon frère propose de calculer $\frac{4}{15} \times \frac{3}{8}$. A-t-il raison ? Justifie.
  3. cLe lendemain, le bidon n'est rempli qu'aux $\frac{5}{9}$. Quelle quantité d'eau contient-il ?
  4. dAvec cette quantité, combien de gourdes pleines Lina remplit-elle ? Quelle quantité d'eau reste-t-il dans le bidon ?

Ex. 34★★★Vrai ou faux : inverses et quotients — Pour chaque affirmation, réponds « vrai » ou « faux » et justifie par un calcul ou un contre-exemple. Donne les résultats sous forme irréductible.

  1. a« L'inverse de l'opposé de $\frac{5}{-12}$ est égal à l'opposé de l'inverse de $\frac{5}{-12}$. »
  2. b« Diviser un nombre par $\frac{2}{3}$, puis diviser le résultat par $\frac{3}{2}$, ne change pas ce nombre. »
  3. c« $-\dfrac{3}{4} \div \dfrac{1}{2} \times \left(-\dfrac{2}{9}\right) = \dfrac{27}{4}$. »
  4. d« Le produit $\frac{-2}{3} \times \frac{9}{-4} \times \left(-\frac{10}{3}\right)$ est positif. »
  5. e« $\left(-\frac{3}{4}\right)^2 \div \left(-\frac{9}{2}\right)$ est positif, car un carré est positif. »

Ex. 35★★★Le terrain de Figeac — La mairie de Figeac possède un terrain de $\frac{9}{4}$ ha. Elle consacre $\frac{2}{3}$ du terrain à des jardins partagés et le reste à un parking. Les jardins sont découpés en 16 parcelles de même aire. Rédige chaque réponse et donne les résultats sous forme irréductible.

  1. aCalcule l'aire des jardins partagés.
  2. bCalcule l'aire du parking.
  3. cCalcule l'aire d'une parcelle.
  4. dLes $\frac{5}{8}$ des parcelles sont confiées à des écoles. Combien de parcelles et quelle aire totale cela représente-t-il ?
  5. ePar quel nombre faut-il multiplier l'aire du parking pour obtenir celle des jardins ? Écris ce calcul sous forme d'un quotient en étage.
6.Priorités, calculs enchaînés et carré d’une fraction
À retenir : Ordre des calculs : parenthèses, puis puissances, puis $\times$ et $\div$ de gauche à droite, puis $+$ et $-$. Une grande barre de fraction joue le rôle de parenthèses. $\left(-\frac{3}{7}\right)^2 = \frac{9}{49}$ mais $-\left(\frac{3}{7}\right)^2 = -\frac{9}{49}$ ; $a^0 = 1$ si $a \neq 0$.

Ex. 36★★★Automatismes : les priorités en ligne — Calcule en respectant les priorités. Donne le résultat sous forme irréductible.

a$\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5} \times 3$b$\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5}\right) \times 3$c$\dfrac{5}{6} \div 5 \div \dfrac{1}{3}$d$\dfrac{3}{7} - \dfrac{4}{7} \div 2$e$2 - \dfrac{9}{4} \times \dfrac{2}{3}$f$\dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{6} \times \dfrac{4}{5}$

Ex. 37★★★Automatismes : carrés, cubes et puissance 0 — Calcule. Donne le résultat sous forme irréductible (ou entier).

a$\left(\dfrac{2}{7}\right)^2$b$\left(-\dfrac{4}{5}\right)^2$c$-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2$d$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3$e$\left(\dfrac{3}{2}\right)^3$f$\left(-\dfrac{5}{9}\right)^0$g$\dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2$

Ex. 38★★★Repère l'erreur et corrige — Chaque élève s'est trompé. Explique l'erreur, puis écris le calcul correct. Donne le résultat sous forme irréductible.

  1. aInès écrit : $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} \times \frac{2}{9} = 1 \times \frac{2}{9} = \frac{2}{9}$.
  2. bHugo écrit : $\frac{8}{9} \div \frac{2}{3} \div 2 = \frac{8}{9} \div \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$.
  3. cLina écrit : $\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
  4. dMalo écrit : $\left(-\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$, car « une puissance est toujours positive ».

Ex. 39★★★Calculs enchaînés pas à pas — Calcule chaque expression en écrivant une étape par ligne. Donne le résultat sous forme irréductible.

a$A = \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3}\right) \times \dfrac{6}{5}$b$B = \dfrac{\dfrac{1}{2} - 2}{\dfrac{3}{4} + 1}$c$C = \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} \div \left(-\dfrac{3}{4}\right)$d$D = \left(\dfrac{1}{3} - 1\right)^2 \times \dfrac{9}{8}$

Ex. 40★★★Le grand défi des priorités — Calcule chaque expression en écrivant une étape par ligne. Avant de calculer, indique ce que tu fais en premier et pourquoi. Donne le résultat sous forme irréductible.

  1. a$A = 0{,}6 + \dfrac{7}{10} \div \dfrac{7}{-5} \div 2$
  2. b$B = \dfrac{\dfrac{3}{4} - 2}{\dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{3}}$
  3. c$C = \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{6}\right)^2 - \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 \times \dfrac{15}{8}$
  4. d$D = -\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 \times \left(\dfrac{7}{5}\right)^0$

Ex. 41★★★Le terrain partagé d'Annecy — À Annecy, la mairie partage un terrain carré de $\frac{5}{6}$ hm de côté. Elle réserve $\frac{2}{5}$ du terrain au potager, puis les $\frac{3}{4}$ du reste à une aire de jeux. Le reste est une pelouse. Donne les résultats sous forme irréductible.

  1. aCalcule l'aire du terrain, en hm².
  2. bQuelle fraction du terrain occupe l'aire de jeux ?
  3. cQuelle fraction du terrain occupe la pelouse ?
  4. dCalcule l'aire de la pelouse, en hm².
  5. ePour la pelouse, Timéo écrit $1 - \frac{2}{5} - \frac{3}{4} \times \frac{3}{5}$ et calcule de gauche à droite. Quel nombre trouve-t-il ? Pourquoi est-ce absurde ?

Ex. 42★★★Une expression, plusieurs parenthèses — On pose $E = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \times \frac{4}{9} - \frac{1}{3}$. Justifie chaque réponse par un calcul. Donne les résultats sous forme irréductible.

  1. aCalcule $E$ en respectant les priorités.
  2. bZoé calcule $E$ de gauche à droite, sans regarder les priorités. Quel résultat trouve-t-elle ? Quelles parenthèses a-t-elle ajoutées sans le voir ?
  3. cPlace une seule paire de parenthèses dans l'écriture de $E$ pour obtenir $\frac{2}{3}$.
  4. dPar quelle fraction faut-il remplacer $\frac{4}{9}$ dans l'écriture de $E$ (sans parenthèses) pour obtenir $0$ ?
  5. eVrai ou faux ? Justifie. « $(-E)^2$ et $-E^2$ sont égaux. »
7.Problèmes avec des fractions
À retenir : Les $\frac{a}{b}$ d'une quantité : je multiplie. « Du reste » : je calcule d'abord le reste. Part restante $= 1 -$ somme des parts. Retrouver le total : part $\div$ fraction, par exemple $15 \div \frac{3}{4} = 20$.

Ex. 43★★★Prendre une fraction d'une quantité — Calcule. Donne le résultat sous forme irréductible ou entière, dans l'unité demandée.

  1. aLes $\dfrac{3}{7}$ de $84$ kg.
  2. bLes $\dfrac{5}{6}$ de $\dfrac{9}{10}$.
  3. cLes $\frac{3}{4}$ d'une heure, exprimés en minutes.
  4. d$\frac{3}{5} \times 0{,}8$, en écrivant d'abord $0{,}8$ sous forme de fraction.
  5. eLes $\frac{4}{9}$ de $4{,}5$ km, exprimés en mètres.
  6. fMaëlle prépare les $\frac{3}{5}$ d'une recette qui demande $\frac{5}{6}$ de litre de lait. Quelle quantité de lait utilise-t-elle, en centilitres ?
  7. gDans un collège, les $\frac{3}{10}$ des élèves sont en 4ᵉ, et les $\frac{2}{9}$ de ces élèves de 4ᵉ font du latin. Quelle fraction des élèves du collège est en 4ᵉ et fait du latin ?

Ex. 44★★★Calculer la part restante — Donne chaque résultat sous forme irréductible.

  1. aInès dépense $\frac{1}{3}$ de son argent de poche en livres et $\frac{1}{4}$ au cinéma. Quelle fraction de son argent lui reste-t-il ?
  2. bUne affiche est peinte aux $\frac{2}{5}$ en rouge, aux $\frac{3}{10}$ en bleu et le reste en blanc. Quelle fraction de l'affiche est blanche ?
  3. cSacha passe $\frac{5}{8}$ de son temps d'écran en jeux, $0{,}25$ de ce temps en vidéos et le reste en messages. Quelle fraction va aux messages ?
  4. dTrois amis mangent $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{3}$ d'une pizza. Lou écrit : $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{13}$, donc il reste $\frac{10}{13}$. Corrige son calcul.
  5. eUn club annonce : $\frac{1}{2}$ de juniors, $\frac{1}{3}$ de seniors et $\frac{1}{5}$ de vétérans. Est-ce possible ? Justifie.
  6. fUne somme est partagée en trois parts. La première vaut $\frac{7}{15}$ de la somme et la troisième $\frac{2}{9}$. Quelle fraction de la somme vaut la deuxième part ?

Ex. 45★★★Retrouver le total à partir d'une part — Rédige chaque calcul et termine par une phrase de conclusion.

  1. aLucas a lu $72$ pages, soit les $\frac{3}{8}$ de son roman. Tom calcule $72 \times \frac{3}{8} = 27$ pages. Corrige son erreur et donne le nombre de pages du roman.
  2. bUn aquarium contient $18$ L d'eau ; il est alors rempli aux $\frac{2}{7}$. Combien de litres faut-il ajouter pour le remplir ?
  3. cAprès avoir dépensé les $\frac{5}{12}$ de ses économies, Lina a encore $49$ €. Combien avait-elle d'économies ?
  4. dZoé a roulé $40$ minutes, soit les $\frac{4}{7}$ de son trajet. Donne la durée totale du trajet en heures et minutes.

Ex. 46★★★Du reste ou du total ? — Hugo plante des pommiers sur les $\frac{2}{5}$ de son verger, puis des poiriers sur les $\frac{3}{4}$ du reste. Le reste du verger est en pelouse. Le verger mesure $800$ m². Donne les fractions sous forme irréductible.

  1. aQuelle fraction du verger reste-t-il après la plantation des pommiers ?
  2. bRomain affirme que les poiriers occupent $\frac{3}{4}$ du verger. A-t-il raison ? Justifie.
  3. cLes pommiers occupent-ils une plus grande partie du verger que les poiriers ? Justifie.
  4. dCalcule l'aire de la pelouse, en m², puis vérifie que la somme des trois parts vaut $1$.

Ex. 47★★★Le réservoir de Nadia — Le réservoir de la voiture de Nadia contient $48$ L quand il est plein. Au départ de Rennes, il est rempli aux $\frac{5}{6}$. Pendant le trajet, Nadia consomme les $\frac{3}{8}$ du carburant présent au départ. Donne les fractions sous forme irréductible et termine chaque réponse par une phrase.

  1. aQuelle fraction du réservoir plein Nadia a-t-elle consommée pendant le trajet ?
  2. bNadia affirme : « J'ai consommé les $\frac{3}{8}$ de $48$ L, soit $18$ L. » A-t-elle raison ? Justifie.
  3. cQuelle fraction du réservoir plein reste-t-il à l'arrivée ?
  4. dCombien de litres reste-t-il dans le réservoir à l'arrivée ? Combien de litres faut-il ajouter pour refaire le plein ?

Ex. 48★★★Deux terrains près d'Angers — Élodie cultive un terrain de $1\,200$ m² : $\frac{3}{8}$ en tournesols, $\frac{1}{3}$ en légumes, $\frac{7}{24}$ en prairie. Karim cultive un terrain de $720$ m² : $\frac{5}{9}$ en tournesols, $\frac{1}{6}$ en fraises, $\frac{1}{4}$ en vigne, le reste en allée. Donne les fractions irréductibles et les aires en m².

  1. aVérifie que les trois parts d'Élodie couvrent bien tout son terrain.
  2. bQuelle fraction du terrain de Karim l'allée occupe-t-elle ? Calcule son aire.
  3. cKarim affirme : « $\frac{5}{9} > \frac{3}{8}$, donc j'ai plus de tournesols qu'Élodie. » A-t-il raison ? Justifie.
  4. dQuelle fraction de son terrain Karim devrait-il planter en tournesols pour en avoir la même aire qu'Élodie ?

Ex. 49★★★La randonnée de Yanis — Yanis fait une randonnée de trois jours dans les Pyrénées. Le premier jour, il parcourt les $\frac{2}{7}$ du trajet. Le deuxième jour, il parcourt les $\frac{3}{5}$ du reste. Le troisième jour, il termine avec les $12$ km restants. Rédige chaque calcul et termine par une phrase.

  1. aQuelle fraction du trajet total Yanis parcourt-il le deuxième jour ?
  2. bPour les deux premiers jours, Clara écrit : $\frac{2}{7} + \frac{3}{5} = \frac{5}{12}$ du trajet. Repère ses deux erreurs, puis corrige.
  3. cQuelle fraction du trajet total reste-t-il pour le troisième jour ?
  4. dCalcule la longueur totale du trajet, en km.
  5. eCalcule la distance parcourue chaque jour, puis vérifie que leur somme redonne le trajet total.