Troisième / Fractions

Ex. 1★★★Automatismes : additionner, soustraire, gérer les signes — Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.

Ex. 2★★★Automatismes : multiplier, inverser, diviser — Calcule ou réponds. Donne chaque résultat sous forme de fraction irréductible.

1. a$\dfrac{14}{15} \times \dfrac{25}{8}$
2. b$\left(-\dfrac{9}{16}\right) \times \dfrac{20}{27}$
3. cDonne l'inverse puis l'opposé de $-\frac{7}{5}$.
4. dLe nombre 0 a-t-il un inverse ? Justifie.
5. e$8 \div \dfrac{12}{5}$
6. f$\left(-\dfrac{6}{7}\right) \div 3$
7. g$\left(-\dfrac{3}{11}\right) \div \left(-\dfrac{9}{22}\right)$

Ex. 3★★★Repérer et corriger l'erreur — Chaque élève s'est trompé. Explique son erreur, puis donne le bon résultat sous forme de fraction irréductible.

1. aLéna écrit : $\frac{2}{5} + \frac{3}{4} = \frac{5}{9}$.
2. bMalik écrit : $\frac{10}{21} \div \frac{15}{14} = \frac{21}{10} \times \frac{15}{14}$.
3. cInès affirme : « L'inverse de $-\frac{4}{9}$ est $\frac{9}{4}$. »
4. dHugo écrit : $\frac{6}{35} \times \frac{14}{9} = \frac{3}{35} \times \frac{7}{9} = \frac{1}{15}$.

Ex. 4★★★Comparer, ranger, retrouver le nombre manquant — Justifie chaque réponse par un calcul. Donne les nombres trouvés sous forme de fraction irréductible.

1. aCompare $-\dfrac{3}{4}$ et $-\dfrac{7}{10}$.
2. bRange dans l'ordre croissant : $-\frac{2}{3}$ ; $\frac{1}{-2}$ ; $\frac{-5}{-6}$ ; $-\frac{7}{12}$.
3. cTrouve le nombre manquant : $\frac{5}{12} + \ldots = -\frac{3}{8}$.
4. dTrouve le nombre manquant : $\ldots \times \left(-\frac{3}{8}\right) = \frac{15}{28}$.

Ex. 5★★★Vrai ou faux type brevet — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie ta réponse par un calcul ou un contre-exemple. Donne les résultats sous forme de fraction irréductible.

1. aAffirmation 1 : « Pour calculer $\frac{8}{15} \times \frac{9}{4}$, il faut d'abord mettre les deux fractions au même dénominateur. »
2. bAffirmation 2 : « Les nombres $\frac{-12}{-18}$ et $-\frac{2}{3}$ sont égaux. »
3. cAffirmation 3 : « $\frac{7}{12} + \frac{5}{18} = \frac{12}{30}$. »
4. dAffirmation 4 : « Diviser un nombre positif non nul par $\frac{2}{7}$ donne toujours un résultat plus grand que ce nombre. »
5. eAffirmation 5 : « $-\frac{9}{11} < -\frac{5}{6}$. »

Ex. 6★★★Une randonnée en trois jours — Lou fait une randonnée en trois jours. Le premier jour, Lou parcourt $\frac{2}{5}$ du parcours. Le deuxième jour, Lou parcourt $\frac{5}{9}$ du reste. Le troisième jour, il reste 12 km à parcourir. Donne les fractions sous forme irréductible.

1. aQuelle fraction du parcours total représente l'étape du deuxième jour ?
2. bQuelle fraction du parcours total représente l'étape du troisième jour ?
3. cCalcule la longueur totale du parcours, en km.
4. dL'étape du deuxième jour est coupée en 3 tronçons de même longueur. Quelle fraction du parcours représente un tronçon ? Donne sa longueur en km.
5. eAffirmation : « Le premier jour, Lou a marché plus que les deux autres jours réunis. » Est-ce vrai ? Justifie.

Ex. 7★★★Enchaîner signes, inverses et quotients — On considère les nombres $A = -\frac{3}{4} - \left(-\frac{11}{28}\right)$ et $B = \frac{-12}{35} \div \frac{-18}{25}$. Écris les étapes une par ligne et donne chaque résultat sous forme de fraction irréductible.

1. aCalcule $A$.
2. bCalcule $B$ en simplifiant avant d'effectuer les produits.
3. cDonne l'inverse de $A$, puis l'opposé de $A$.
4. dCalcule $C = A \div B$.
5. eAffirmation : « Le nombre $C + 0{,}75$ a un inverse. » Est-ce vrai ? Justifie.

Ex. 8★★★Automatismes : qui passe en premier ? — Calcule en respectant les priorités. Donne le résultat sous forme de fraction irréductible ou d'entier.

Ex. 9★★★Automatismes : carrés et grandes barres — Calcule. Donne le résultat sous forme de fraction irréductible ou d'entier.

Ex. 10★★★Le calcul de Maëlys — Pour calculer $B = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} \times \frac{9}{4}$, Maëlys écrit : $B = \frac{6}{6} \times \frac{9}{4} = \frac{9}{4}$.

1. aQuelle règle de priorité n'est pas respectée dans ce calcul ? Explique.
2. bCalcule $B$ correctement. Donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
3. cOù faut-il placer des parenthèses dans l'écriture de $B$ pour que le résultat $\frac{9}{4}$ soit juste ?
4. dCalcule $C = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} \div \frac{9}{4}$ sous forme de fraction irréductible.

Ex. 11★★★Un calcul de brevet, étape par étape — On donne $A = \left(\frac{3}{2} - \frac{1}{6}\right) \div \frac{8}{9} - \frac{1}{2}$. Écris une étape par ligne.

1. aCalcule $\frac{3}{2} - \frac{1}{6}$ et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
2. bCalcule $A$ et donne le résultat sous la forme la plus simple.
3. cOn enlève les parenthèses : $E = \frac{3}{2} - \frac{1}{6} \div \frac{8}{9} - \frac{1}{2}$. Calcule $E$ sous forme de fraction irréductible.
4. dCalcule $F = \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{6}}{\frac{8}{9} - \frac{1}{2}}$ sous forme de fraction irréductible.

Ex. 12★★★Vrai ou faux : quatre affirmations sur les priorités — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par un calcul écrit une étape par ligne.

1. aAffirmation 1 : $-\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \left(-\frac{3}{4}\right)^2$.
2. bAffirmation 2 : $\frac{4}{5} \div \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{8}{5}$.
3. cAffirmation 3 : $0{,}5 - \left(\frac{1}{4} - \frac{7}{12}\right) = \frac{5}{6}$.
4. dAffirmation 4 : $\frac{\frac{5}{3} - 1}{\frac{5}{3} + 1} = \frac{1}{4}$.

Ex. 13★★★Brevet : un entier et une fraction de fraction — On donne $A = \left(\frac{5}{4} - \frac{1}{3}\right) \div \frac{11}{18} + 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^2$ et $B = \frac{1 - \frac{5}{8}}{\frac{3}{4} + 1{,}5}$. Écris une étape par ligne et donne les résultats sous forme de fraction irréductible ou d'entier.

1. aCalcule $2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^2$. Explique pourquoi le résultat n'est pas égal à $\left(2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)\right)^2$.
2. bMontre que $A$ est un nombre entier.
3. cCalcule $B$ en calculant d'abord son numérateur, puis son dénominateur.
4. dCalcule $A - B$.

Ex. 14★★★L'erreur de Noé, puis le calcul à rebours — On donne $C = \frac{9}{10} - \frac{3}{5} \div \frac{4}{3} \times 2$. Noé calcule d'abord $\frac{4}{3} \times 2$ et trouve $C = \frac{27}{40}$.

1. aExplique l'erreur de Noé en citant la règle de priorité qu'il n'a pas respectée.
2. bCalcule $C$ correctement, en écrivant une étape par ligne.
3. cCalcule $D = \frac{9}{10} - \left(\frac{3}{5} - \frac{4}{3}\right)$ et donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
4. dPar quel nombre faut-il remplacer le 2 dans $C$ pour obtenir $\frac{9}{20}$ ? Justifie.

Ex. 15★★★Automatismes : décomposer en facteurs premiers — Décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers. Si le nombre est premier, justifie-le. Vérifie en effectuant le produit.

Ex. 16★★★Automatismes : rendre irréductible — Rends chaque fraction irréductible en décomposant le numérateur et le dénominateur. Si elle l'est déjà, justifie-le.

1. a$\dfrac{54}{72}$
2. b$\dfrac{49}{120}$
3. c$-\dfrac{84}{126}$
4. d$\dfrac{2^4 \times 3 \times 7}{2^2 \times 3^2 \times 5}$
5. e$\dfrac{51}{85}$
6. f$\dfrac{165}{-231}$

Ex. 17★★★Repérer et corriger l'erreur — Pour chaque affirmation d'élève, dis si elle est correcte. Justifie, puis corrige si besoin.

1. aLéna écrit $\dfrac{-52}{-76} = -\dfrac{13}{19}$.
2. bMalik écrit $\dfrac{3 + 4}{3 + 8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$.
3. cInès écrit $\frac{2^3 \times 3 \times 7}{2 \times 3^2 \times 11} = \frac{7}{11}$ en barrant tous les $2$ et tous les $3$.
4. dNoé affirme : « $\frac{45}{77}$ n'est pas irréductible, car $45 = 1 \times 3^2 \times 5$ et $77 = 1 \times 7 \times 11$ ont le facteur premier $1$ en commun. »
5. eSacha affirme : « $\frac{357}{510}$ est irréductible, car $357$ est impair. »

Ex. 18★★★Grands nombres et décompositions — Ben a choisi trois grands nombres : $1\,050$, $1\,260$ et $1\,188$. Utilise les critères de divisibilité par $2$, $3$, $5$ et $9$.

1. aComplète le tableau avec la décomposition en produit de facteurs premiers de chaque nombre.
2. bRends $\frac{1\,050}{1\,260}$ irréductible en une seule étape.
3. cRends $\frac{1\,188}{1\,260}$ irréductible en une seule étape.
4. dCalcule $\frac{1\,050}{1\,188} \times 0{,}66$. Donne le résultat sous forme de fraction irréductible.

Ex. 19★★★Vrai ou faux type brevet — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par un calcul, une décomposition ou un contre-exemple.

1. a« $0{,}375 = \frac{375}{1\,000}$, et cette fraction est irréductible. »
2. b« Entre $90$ et $100$, il n'y a qu'un seul nombre premier. »
3. c« $-\frac{285}{418}$ est irréductible. »
4. d« $\frac{143}{210}$ est irréductible. »
5. e« $\frac{132}{297}$ et $\frac{4}{9}$ sont deux écritures du même nombre. »

Ex. 20★★★Simplifier jusqu'au bout — Yanis simplifie $\frac{720}{756}$ petit à petit : $\frac{720}{756} = \frac{360}{378} = \frac{180}{189}$. Il affirme : « $\frac{180}{189}$ est irréductible, car $180$ est pair et $189$ est impair. » Donne chaque résultat sous forme de fraction irréductible.

1. aYanis a-t-il raison ? Justifie avec le critère de divisibilité par $9$.
2. bDécompose $720$ et $756$ en produits de facteurs premiers.
3. cDéduis-en, en une seule étape, la forme irréductible de $\frac{720}{756}$.
4. dThéo cherche une fraction égale à $\frac{720}{756}$ dont le dénominateur est $105$. Trouve son numérateur.
5. eCalcule $\frac{720}{756} \div \left(-\frac{50}{63}\right)$ en simplifiant avant de multiplier.

Ex. 21★★★Problème de brevet : la billetterie d'un festival — Un festival a vendu $1\,755$ billets, dont $1\,053$ en prévente. Les autres ont été vendus sur place. Parmi les billets vendus sur place, $\frac{2}{9}$ sont à tarif réduit. Donne chaque fraction sous forme irréductible.

1. aJustifie avec un critère de divisibilité que $1\,053$ et $1\,755$ sont divisibles par $9$.
2. bKenza écrit $1\,755 = 3^3 \times 65$. Est-ce une décomposition en produit de facteurs premiers ? Justifie, puis décompose $1\,053$ et $1\,755$.
3. cQuelle fraction des billets a été vendue en prévente ?
4. dQuelle fraction du total des billets correspond aux billets à tarif réduit vendus sur place ? Vérifie avec le nombre de billets.
5. eLéo affirme : « Les billets vendus sur place à plein tarif représentent $1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ du total. » Trouve son erreur et corrige-le.

Ex. 22★★★Automatismes : exposants négatifs et exposant 0 — Calcule. Donne le résultat sous forme d'un entier ou d'une fraction irréductible.

1. a$6^{-2}$
2. b$(-2)^{-3}$
3. c$\left(\dfrac{4}{7}\right)^{-1}$
4. d$\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-3}$
5. e$\left(-\dfrac{11}{8}\right)^{0}$
6. f$10^{-5}$
   (donne aussi son écriture décimale)
7. g$\left(-\dfrac{2}{5}\right)^{-2}$

Ex. 23★★★Automatismes : puissance d'une fraction et signe — Calcule. Donne le résultat sous forme d'une fraction irréductible, sauf pour la dernière question.

1. a$\left(\dfrac{3}{7}\right)^{2}$
2. b$\dfrac{3^{2}}{7}$
3. c$\left(-\dfrac{5}{6}\right)^{2}$
4. d$\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{3}$
5. e$\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{4}$
6. f$\dfrac{(-2)^{5}}{3^{2}}$
7. gTrouve l'entier positif $n$ tel que $\left(-\frac{1}{2}\right)^{n} = \frac{1}{16}$.

Ex. 24★★★Quotients de produits de puissances — Écris chaque nombre sous forme d'un entier ou d'une fraction irréductible. Détaille les calculs sur les exposants.

1. a$A = \dfrac{2^{6} \times 5^{2}}{2^{4} \times 5^{3}}$
2. b$B = \dfrac{3^{4} \times 2^{-2}}{3^{-1} \times 2^{3}}$
3. c$C = \frac{10^{-3} \times 10^{5}}{10^{4}}$
   (donne aussi son écriture décimale)
4. d$D = \frac{6^{3}}{2^{2} \times 3^{4}}$
   (commence par décomposer $6^{3}$ en produit de facteurs premiers)

Ex. 25★★★Repérer et corriger l'erreur — Pour chaque élève, dis s'il a raison. Justifie, puis corrige le résultat si besoin.

1. aNoé écrit : $3^{-2} = -9$. A-t-il raison ? Justifie.
2. bInès écrit : $2^{4} + 2^{3} = 2^{7}$. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cMalik écrit : $\frac{5^{2}}{3} = \frac{25}{9}$. A-t-il raison ? Justifie.
4. dSacha écrit : $\left(-\frac{3}{4}\right)^{-3} = \frac{64}{27}$. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 26★★★Vrai ou faux type brevet : puissances et fractions — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie : un calcul ou un contre-exemple suffit.

1. aAffirmation 1 : « Pour tout nombre $a$ non nul, $a^{-2}$ est un nombre négatif. »
2. bAffirmation 2 : « La moitié de $2^{10}$ est égale à $2^{5}$. »
3. cAffirmation 3 : « $3^{2} + 3^{2} + 3^{2} = 3^{3}$ »
4. dAffirmation 4 : « $\left(-\frac{2}{3}\right)^{4}$ est plus grand que $\left(-\frac{2}{3}\right)^{3}$. »
5. eAffirmation 5 : « $\frac{3}{2^{-3}} = \frac{3}{8}$ »

Ex. 27★★★Enchaînements de puissances, étape par étape — Écris chaque nombre sous la forme d'un entier ou d'une fraction irréductible. Écris une étape par ligne et détaille les calculs sur les exposants.

1. a$A = \dfrac{2^{-1} + 2^{-2}}{2^{-3}}$
2. b$B = 4^{2} + 4^{-1} - 4^{0}$
3. c$C = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{3} \times 9^{2}$
4. d$D = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} \times 10^{-3}$. Donne aussi l'écriture décimale de $D$.

Ex. 28★★★Problème : les rebonds d'une balle — Au gymnase, Yanis lâche une balle d'une hauteur de 243 cm. À chaque rebond, la balle remonte aux $\frac{2}{3}$ de la hauteur d'où elle vient de tomber. Les hauteurs sont en centimètres.

1. aCalcule la hauteur atteinte par la balle après le premier rebond.
2. bExplique pourquoi la hauteur après 4 rebonds est $243 \times \left(\frac{2}{3}\right)^{4}$, puis calcule-la.
3. cPour la hauteur après 5 rebonds, Zoé calcule $243 \times \frac{2^{5}}{3}$. A-t-elle raison ? Justifie, puis corrige.
4. dAprès combien de rebonds la hauteur devient-elle pour la première fois inférieure à 10 cm ? Justifie par des calculs.
5. eUne autre balle suit la même règle et remonte à 50 cm après son premier rebond. Calcule $\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$, puis la hauteur d'où elle a été lâchée.

Ex. 29★★★Automatismes : développer avec une fraction — Développe et réduis chaque expression. Écris les coefficients sous forme de fraction irréductible.

Ex. 30★★★Automatismes : réduire avec des fractions — Réduis chaque expression. Écris les coefficients sous forme de fraction irréductible.

1. a$G = \dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{3}$
2. b$H = \dfrac{3x}{5} - x$
3. c$K = \dfrac{x}{6} - \dfrac{3x}{4}$
4. d$L = 1{,}5x - \dfrac{x}{4} + \dfrac{2}{3}$
5. e$M = \dfrac{x^2}{3} + 2x - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x}{5}$
6. f$N = \dfrac{2x}{3} \times \dfrac{9x}{4}$

Ex. 31★★★Double distributivité et identités remarquables — Écris les coefficients sous forme de fraction irréductible.

1. aLina écrit : $\left(\frac{x}{3} + \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{9} + \frac{2}{4}$. Trouve ses deux erreurs, puis écris le bon développement.
2. bDéveloppe $P = \left(x - \dfrac{2}{5}\right)\left(x + \dfrac{2}{5}\right)$.
3. cDéveloppe et réduis $Q = \left(\frac{x}{2} - 3\right)\left(4x + \frac{2}{3}\right)$.
4. dDéveloppe et réduis $R = \left(2x - \frac{3}{4}\right)^2$.

Ex. 32★★★Le programme de calcul de Bastien — Voici le programme de Bastien : « Choisis un nombre. Prends son tiers. Soustrais 1 au résultat. Multiplie ce résultat par le nombre de départ. »

1. aApplique le programme au nombre $-\frac{3}{4}$. Donne le résultat sous forme de fraction irréductible.
2. bOn note $x$ le nombre de départ. Écris le résultat du programme en fonction de $x$, puis développe-le.
3. cFactorise l'expression trouvée à la question précédente par $\frac{x}{3}$.
4. dInès affirme : « Ce programme revient à prendre le carré du nombre, à lui soustraire le nombre, puis à prendre le tiers. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 33★★★Vrai ou faux : égalités avec des fractions — Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse. Si elle est vraie, justifie par un calcul valable pour tout $x$. Si elle est fausse, donne un contre-exemple ou le bon résultat.

1. aAffirmation 1 : pour tout nombre $x$, $\frac{x^2}{16} - \frac{4}{9} = \left(\frac{x}{4} - \frac{2}{3}\right)\left(\frac{x}{4} + \frac{2}{3}\right)$.
2. bAffirmation 2 : pour tout nombre $x$, $\frac{3x}{4} - x = \frac{x}{4}$.
3. cAffirmation 3 : pour tout nombre $x$, $1 - \left(\frac{x}{2} - \frac{3}{4}\right) = \frac{1}{4} - \frac{x}{2}$.
4. dAffirmation 4 : pour $x = -\frac{3}{5}$, l'expression $-x^2 + 3x$ vaut $-\frac{54}{25}$.

Ex. 34★★★Le potager de Maëlle — Le potager de Maëlle est un rectangle de longueur $\left(x + \frac{3}{4}\right)$ m et de largeur $\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{3}\right)$ m, où $x$ est un nombre plus grand que 1. Écris les coefficients sous forme de fraction irréductible.

1. aExprime le périmètre $P$ du potager en fonction de $x$, puis développe et réduis.
2. bDéveloppe et réduis l'aire $A = \left(x + \frac{3}{4}\right)\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{3}\right)$, en m².
3. cCalcule $A$ pour $x = \frac{4}{3}$ avec la forme développée, puis contrôle en calculant d'abord la longueur et la largeur.
4. dSon voisin Hugo retire d'un carré de côté $\frac{x}{3}$ m, avec $x > 6$, une bande de $\frac{x}{3}$ m sur 2 m. Écris l'aire restante $B$, puis factorise-la par $\frac{x}{3}$.

Ex. 35★★★Une différence de deux carrés — On considère l'expression $D = \left(\frac{x}{5} + \frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{x}{5} - \frac{3}{2}\right)^2$. Écris les coefficients sous forme de fraction irréductible.

1. aDéveloppe et réduis $\left(\frac{x}{5} + \frac{3}{2}\right)^2$.
2. bDéveloppe et réduis $\left(\frac{x}{5} - \frac{3}{2}\right)^2$.
3. cDéduis-en l'expression développée et réduite de $D$.
4. dCalcule $D$ pour $x = -\dfrac{25}{12}$.
5. eSacha affirme : « Quand $x$ est un nombre entier, $D$ est aussi un nombre entier. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 36★★★Automatismes : équations du premier degré avec des fractions — Résous chaque équation. Donne la solution sous forme de fraction irréductible ou d'entier.

Ex. 37★★★Automatismes : produit nul et équation $x^2 = a$ — Résous chaque équation. Donne toutes les solutions sous forme de fraction irréductible ou d'entier.

Ex. 38★★★L'erreur d'Inès — Pour résoudre $\frac{x + 2}{3} - \frac{2x - 1}{4} = 1$, Inès multiplie par 12 et écrit : $4(x + 2) - 3 \times 2x - 1 = 12$, puis $4x + 8 - 6x - 1 = 12$, donc $-2x = 5$ et $x = -\frac{5}{2}$.

1. aRemplace $x$ par $-\frac{5}{2}$ dans l'équation de départ. Inès a-t-elle trouvé la solution ? Justifie.
2. bExplique l'erreur d'Inès sur sa première ligne.
3. cRésous correctement l'équation.
4. dVérifie ta solution en la remplaçant dans l'équation de départ.

Ex. 39★★★Développer et réduire avant de résoudre — Développe et réduis chaque membre, puis résous l'équation. Donne les solutions sous forme de fraction irréductible.

1. a$\left(x + \dfrac{1}{2}\right)^2 = x^2 + \dfrac{3}{4}$
2. b$(2x - 3)(2x + 3) = 4x^2 - 5x$
3. c$\dfrac{x}{2} - (x - 4) = 3 - \dfrac{x}{2}$
4. d$x\left(x - \frac{5}{3}\right) = 2x$ : ramène-toi à une équation produit nul.

Ex. 40★★★Vrai ou faux : les pièges des équations — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie ta réponse.

1. aAffirmation 1 : la solution de l'équation $\frac{5x}{4} = 15$ est $x = \frac{75}{4}$.
2. bAffirmation 2 : les solutions de l'équation $(10x - 4)\left(x + \frac{5}{3}\right) = 0$ sont $\frac{2}{5}$ et $\frac{5}{3}$.
3. cAffirmation 3 : l'équation $\frac{x}{2} - \frac{x - 3}{6} = \frac{x}{3} + \frac{1}{2}$ n'a aucune solution.
4. dAffirmation 4 : pour résoudre $x^2 = \frac{7}{6}x$, on divise les deux membres par $x$. La seule solution est donc $\frac{7}{6}$.

Ex. 41★★★La cagnotte de Lina — Lina a une cagnotte de $x$ euros. Elle dépense $\frac{1}{4}$ de sa cagnotte pour un livre, puis $\frac{2}{5}$ de ce qui reste pour une place de concert. À la fin, il lui reste 54 €.

1. aExprime en fonction de $x$ la somme qui reste après l'achat du livre, puis le prix de la place de concert.
2. bÉcris une équation qui traduit « il reste 54 € », puis résous-la. Quel est le montant de la cagnotte ?
3. cVérifie ta réponse en calculant chaque dépense et ce qui reste à la fin.
4. dNoé affirme : « Lina a dépensé $\frac{1}{4} + \frac{2}{5} = \frac{13}{20}$ de sa cagnotte. » Cette affirmation est-elle vraie ? Justifie.

Ex. 42★★★Deux programmes de calcul — Programme A : choisir un nombre ; lui ajouter $\frac{2}{3}$ ; élever le résultat au carré.
Programme B : choisir un nombre ; lui soustraire 1 ; multiplier le résultat par le nombre choisi ; ajouter 3.

1. aSacha choisit $-\frac{1}{3}$. Calcule le résultat de chaque programme.
2. bOn choisit $x$. Écris le résultat de chaque programme en fonction de $x$, puis développe et réduis.
3. cQuel nombre faut-il choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes ? Donne-le sous forme de fraction irréductible.
4. dSacha affirme : « Avec le programme A, je peux obtenir $-\frac{1}{9}$. » Cette affirmation est-elle vraie ? Justifie.
5. eQuels nombres faut-il choisir pour que le programme A donne $\frac{1}{16}$ ?

Ex. 43★★★Automatismes : une fraction d'une quantité, ou le tout — Calcule en ligne. Donne les fractions sous forme irréductible.

1. aCalcule les $\frac{3}{8}$ de 56 €.
2. bLes $\frac{2}{7}$ d'un nombre valent 18. Quel est ce nombre ?
3. cCalcule les $\frac{5}{6}$ de 4{,}2 kg.
4. dQuelle fraction de 32 L représentent 12 L ?
5. eLéo dit : « 15 élèves représentent les $\frac{3}{5}$ de ma classe, donc elle compte $\frac{3}{5} \times 15 = 9$ élèves. » Corrige son erreur.
6. fLina a dépensé les $\frac{5}{8}$ de ses économies. Il lui reste 45 €. Combien avait-elle au départ ?
7. gCombien de minutes font les $\frac{3}{4}$ de $\frac{2}{9}$ h ?

Ex. 44★★★Automatismes : une fraction du reste — Donne chaque fraction sous forme irréductible.

1. aMia mange $\frac{1}{4}$ d'une tarte, puis $\frac{1}{3}$ du reste. Quelle fraction de la tarte a-t-elle mangée en tout ?
2. bUne citerne est pleine. On utilise $\frac{2}{5}$ de l'eau le matin, puis la moitié du reste l'après-midi. Quelle fraction de l'eau reste-t-il ?
3. cTom dépense $\frac{2}{9}$ de son argent, puis $\frac{3}{7}$ du reste. Il dit : « J'ai dépensé $\frac{2}{9} + \frac{3}{7} = \frac{41}{63}$ de mon argent. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dUn terrain est en potager pour $\frac{3}{8}$, et $\frac{2}{5}$ du reste est en pelouse. Quelle fraction du terrain est en pelouse ?
5. eUne bibliothèque a 360 livres : $\frac{5}{12}$ sont des romans et $\frac{2}{7}$ du reste sont des BD. Combien y a-t-il de BD ?

Ex. 45★★★L'âge de Nolan — Nolan, le neveu de Ben, a un âge entier en années. Si on ajoute 9 ans au quart de son âge, on obtient son âge diminué de 6 ans.

1. aSoit $x$ l'âge de Nolan, en années. Écris une équation qui traduit l'énoncé.
2. bRésous cette équation : commence par multiplier les deux membres par 4.
3. cVérifie ta solution dans l'énoncé, puis conclus par une phrase.
4. dSami remplace « 9 ans » par « 10 ans » dans l'énoncé. Il dit : « On trouve encore un âge possible pour Nolan. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 46★★★Des équipes au club de sport — Un club de sport compte 288 adhérents, dont 168 font de la natation. Le club veut répartir tous ses adhérents en équipes identiques : chaque équipe a le même nombre de nageurs et le même nombre de non-nageurs.

1. aDécompose 168 et 288 en produit de facteurs premiers.
2. bGrâce à ces décompositions, écris sous forme irréductible la fraction des adhérents qui nagent.
3. cCombien d'adhérents ne nagent pas ? Décompose ce nombre en produit de facteurs premiers.
4. dLe club peut-il former 16 équipes ? Justifie.
5. eQuel est le plus grand nombre d'équipes possible ? Donne la composition d'une équipe et conclus par une phrase.

Ex. 47★★★Le budget vacances d'Inès — Inès part en vacances. Elle dépense $\frac{1}{6}$ de ses économies pour le train, puis les $\frac{3}{5}$ du reste pour l'hôtel. Il lui reste alors 230 €. Donne les fractions sous forme irréductible.

1. aQuelle fraction de ses économies Inès dépense-t-elle pour l'hôtel ?
2. bSon frère calcule $\frac{1}{6} + \frac{3}{5} = \frac{23}{30}$ et dit qu'elle a dépensé les $\frac{23}{30}$ de ses économies. Explique son erreur, puis donne la bonne fraction dépensée.
3. cSoit $x$ le montant de ses économies, en euros. Écris une équation qui traduit l'énoncé, puis résous-la.
4. dCombien Inès a-t-elle payé le train et l'hôtel ? Vérifie tes résultats dans l'énoncé et conclus par une phrase.

Ex. 48★★★Vrai ou faux et QCM type brevet — Pour les quatre premières affirmations, dis si chacune est vraie ou fausse et justifie. Pour la dernière question, choisis la bonne réponse et justifie.

1. a« Si on additionne deux fractions irréductibles de même dénominateur, on obtient toujours une fraction irréductible. »
2. b« Pour tous nombres strictement positifs $a$ et $b$, l'inverse de $a + b$ est égal à $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$. »
3. c« $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = -\dfrac{9}{4}$ »
4. d« Le nombre $-\frac{3}{4}$ est une solution de l'équation $16x^2 = 9$. »
5. e$E = 1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$ vaut : réponse A : $\frac{1}{3}$ ; réponse B : $\frac{1}{2}$ ; réponse C : $-\frac{1}{2}$.

Ex. 49★★★Trois tarifs à la piscine — Une piscine propose trois tarifs. Tarif A : 4,80 € l'entrée. Tarif B : une carte à 36 € par an, puis chaque entrée coûte les $\frac{3}{4}$ du prix du tarif A. Tarif C : une carte à 50 € par an, puis chaque entrée coûte les $\frac{5}{8}$ du prix du tarif A.

1. aCalcule le prix d'une entrée avec le tarif B, puis avec le tarif C.
2. bSoit $x$ le nombre d'entrées dans l'année. Exprime en fonction de $x$ le prix payé avec chacun des trois tarifs.
3. cPour combien d'entrées les tarifs A et B coûtent-ils le même prix ? Vérifie, puis conclus par une phrase.
4. dMargot affirme : « Il existe un nombre d'entrées pour lequel les tarifs B et C coûtent exactement le même prix. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eIlan prévoit 40 entrées dans l'année. Quel tarif doit-il choisir pour payer le moins cher ? Justifie.