Quatrième / Fonctions

Ex. 1★★★Automatismes : je remplace la lettre — Calcule la grandeur demandée en remplaçant la lettre par la valeur donnée. Respecte les priorités.

1. aAire d'un rectangle de longueur $9$ cm : $A = 9 \times \ell$. Calcule $A$ pour $\ell = 4$ cm.
2. bPérimètre d'un carré : $P = 4 \times c$. Calcule $P$ pour $c = 2{,}5$ cm.
3. cPrix d'une location de vélo : $P = 6 + 3 \times n$ (en €). Calcule $P$ pour $n = 7$ heures.
4. dTempérature d'une bouteille d'eau plongée dans un seau de glace : $T = 20 - 2 \times h$ (en °C). Calcule $T$ pour $h = 3$ min.
5. eProgramme de calcul : $N = 5 \times x - 8$. Calcule le nombre obtenu $N$ pour $x = -2$.
6. fProgramme de calcul : $N = (x + 3) \times 2$. Calcule $N$ pour $x = 1{,}5$.

Ex. 2★★★Automatismes : la question inverse — Retrouve la valeur de départ en défaisant les opérations à l'envers, puis vérifie.

1. aJe multiplie un nombre par $4$, puis j'ajoute $7$ : j'obtiens $43$. Quel est le nombre de départ ?
2. bAvec la formule $P = 9 + 5 \times n$, on obtient $P = 64$. Quelle est la valeur de $n$ ?
3. cLe nombre obtenu est $N = (x + 5) \times 2$. Quel nombre de départ $x$ donne $34$ ?
4. dUn taxi demande $4$ € de prise en charge, puis $2$ € par km. La course coûte $19$ €. Combien de km a-t-on parcourus ?
5. eProgramme : « × 2 puis + 9 ». On obtient $21$. Lina dit que le nombre de départ est $1{,}5$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 3★★★Une salle de répétition avec forfait — Une salle de répétition de musique fait payer un forfait de $40$ €, puis $10$ € par heure. On note $h$ la durée (en h) et $P$ le prix à payer (en €).

1. aLaquelle des deux grandeurs dépend de l'autre ? Écris une formule qui donne $P$ en fonction de $h$.
2. bComplète le tableau de valeurs :

   Durée h (h)	3	0	1,5	5
   Prix P (€)

3. cKenza place dans un repère le point qui correspond à $4$ h de répétition : elle place $(80 ; 4)$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dNathan dit : « Les points sont alignés, donc le prix est proportionnel à la durée. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eUn groupe a payé $125$ €. Combien de temps a-t-il répété ? Vérifie ta réponse.

Ex. 4★★★La température au cours d'une journée — Romane a relevé la température dehors toutes les heures, à partir de 8 h. En abscisse : le nombre d'heures passées depuis 8 h. En ordonnée : la température (en °C).

1. aQuelle température faisait-il à 11 h ?
2. bÀ quelle(s) heure(s) a-t-il fait $13$ °C ?
3. cQuelle est la température maximale ? À quelle heure est-elle atteinte ?
4. dDe combien de degrés la température a-t-elle monté entre 8 h et l'heure du maximum ?

Ex. 5★★★Deux loueurs de kayaks — Au bord d'une rivière, deux loueurs proposent des kayaks. Chez « Rivière », on paie $7$ € par heure. Chez « Cascade », on paie un forfait de $15$ €, puis $4$ € par heure. On note $h$ la durée de location (en heures entières) et $P$ le prix à payer (en €).

1. aÉcris, pour chaque loueur, une formule qui donne $P$ en fonction de $h$. Calcule ensuite le prix de $3$ h chez chacun.
2. bSacha a payé $47$ € chez « Cascade ». Combien d'heures a-t-il loué son kayak ? Vérifie ta réponse.
3. cTom affirme : « Chez les deux loueurs, $4$ h coûtent deux fois plus cher que $2$ h. » Vrai ou faux ? Justifie par des calculs.
4. dÀ partir de quelle durée (en heures entières) « Cascade » devient-il moins cher que « Rivière » ? Justifie par des calculs.

Ex. 6★★★Une bougie qui se consume — On allume une bougie et on mesure sa hauteur (en cm) toutes les heures. Sur la représentation graphique ci-dessous, l'abscisse est le temps écoulé (en h) et l'ordonnée la hauteur de la bougie (en cm).

1. aLaquelle des deux grandeurs est en fonction de l'autre ? Explique pourquoi c'est elle qui est placée en ordonnée.
2. bLis sur le graphique la hauteur de la bougie au bout de $1$ h. Explique comment tu fais.
3. cInès écrit : « La bougie mesure $8$ cm au bout de $4$ h, donc l'antécédent de $4$ est $8$. » Corrige sa phrase.
4. dBen propose la formule $H = 18 - 2{,}5 \times t$, avec $t$ le temps (en h) et $H$ la hauteur (en cm). Contrôle-la avec deux points du graphique.
5. eAvec la formule de Ben, au bout de combien d'heures la bougie mesure-t-elle $0{,}5$ cm ? Vérifie ta réponse.

Ex. 7★★★Un programme de calcul à défaire — Voici un programme de calcul. Choisis un nombre. Ajoute $5$. Multiplie le résultat par $3$. Soustrais $6$.

1. aApplique ce programme au nombre $-7$, puis au nombre $2{,}5$.
2. bOn note $x$ le nombre de départ et $R$ le nombre obtenu. Écris une formule qui donne $R$ en fonction de $x$. Contrôle-la avec $x = 4$.
3. cMaël veut obtenir $48$. Il calcule $48 \div 3 = 16$, puis $16 - 5 = 11$, et il annonce $11$. Vérifie sa réponse, puis trouve le bon nombre de départ.
4. dZoé affirme : « Ce programme revient à multiplier par $3$, puis à ajouter $9$. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eQuel nombre de départ faut-il choisir pour obtenir $0$ ? Vérifie avec le programme.

Ex. 8★★★Traduire une phrase par une formule — $x$ désigne un nombre. Écris en fonction de $x$ le nombre obtenu, le plus simplement possible. Astuce : fais d'abord le calcul avec $4$.

1. aLe double de $x$.
2. bLe carré de $x$.
3. cLe cube de $x$.
4. dChoisir $x$, lui ajouter $6$, puis multiplier le résultat par $3$.
5. eChoisir $x$, le multiplier par $3$, puis ajouter $6$.
6. fLe triple du carré de $x$.
7. gLe carré du triple de $x$.

Ex. 9★★★Périmètre, aire ou volume ? — Les longueurs sont en cm. Écris chaque formule en fonction de $x$, puis donne l'unité de la grandeur obtenue.

1. aLe périmètre $P$ d'un carré de côté $x$ cm.
2. bL'aire $A$ du même carré.
3. cLe périmètre $P$ d'un rectangle de longueur $x$ cm et de largeur $7$ cm.
4. dL'aire $A$ du même rectangle.
5. eLe périmètre $P$ d'un triangle équilatéral de côté $(x + 2)$ cm.
6. fLe volume $V$ d'un pavé droit de longueur $x$ cm, de largeur $x$ cm et de hauteur $4$ cm.

Ex. 10★★★Au bowling — Au bowling, Inès loue des chaussures pour $8$ € (une seule fois), puis elle paie $4{,}50$ € par partie jouée.

1. aCalcule le prix payé pour $3$ parties.
2. bQuelle grandeur choisis-tu comme variable ? Écris le prix $p$ (en €) en fonction de cette variable.
3. cMalo propose $p = (8 + 4{,}5) \times n$. Il l'a contrôlée avec $n = 1$ et trouve le bon prix. Contrôle-la avec $n = 2$. A-t-il raison ? Justifie.
4. dInès a payé $30{,}50$ €. Combien de parties a-t-elle jouées ?

Ex. 11★★★La boîte en carton — Dans un carton rectangulaire de $24$ cm sur $18$ cm, on découpe un carré de $x$ cm de côté à chacun des quatre coins. On replie les bords pour obtenir une boîte sans couvercle, de hauteur $x$ cm.

1. aOn prend $x = 2$. Calcule la longueur, la largeur et la hauteur de la boîte, puis son volume.
2. bLéa écrit : « longueur de la boîte $= 24 - x$ ». A-t-elle raison ? Justifie et corrige.
3. cÉcris le volume $V$ de la boîte (en cm³) en fonction de $x$.
4. dContrôle ta formule avec $x = 3$ : calcule le volume à la main, puis avec la formule.
5. eSam affirme que l'aire du fond (en cm²) est $A = 4x^2 - 84x + 432$. Développe le produit longueur × largeur du fond trouvé plus haut. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 12★★★Deux programmes, une seule formule ? — Lina et Hugo inventent chacun un programme de calcul. Lina : « Choisir un nombre ; lui ajouter $3$ ; multiplier le résultat par $2$ ; soustraire $6$. » Hugo : « Choisir un nombre ; le multiplier par lui-même. »

1. aCalcule le résultat de chaque programme quand on choisit $2$.
2. bNoé en déduit : « Les deux programmes donnent toujours le même résultat. » Vrai ou faux ? Justifie avec un autre nombre.
3. cYanis appelle $x$ le nombre choisi et écrit pour Lina : $R = x + 3 \times 2 - 6$. Explique son erreur, puis écris la bonne formule et réduis-la.
4. dHugo écrit le résultat de son programme $2x$, « car on prend le nombre deux fois ». A-t-il raison ? Justifie avec $x = -1{,}5$, puis donne la bonne formule.
5. eComplète le tableau, puis cite le ou les nombres du tableau pour lesquels les deux programmes donnent le même résultat.

   Nombre choisi	3	-1	0	0,5
   Résultat de Lina
   Résultat de Hugo

Ex. 13★★★Deux salles d'escalade — Salle Vertige : une carte d'inscription à $18$ € (payée une seule fois), puis $6$ € par séance. Salle Prise : $9$ € par séance, sans carte.

1. aCalcule le prix payé dans chaque salle pour $4$ séances.
2. bQuelle est la grandeur de départ ? Choisis une lettre pour elle, puis écris le prix $p$ dans chaque salle en fonction de cette lettre.
3. cComplète le tableau avec tes formules. Quelle salle est la moins chère pour $2$ séances ? et pour $8$ séances ?

   Nombre de séances	8	2	5
   Prix à Vertige (€)
   Prix à Prise (€)

4. dPour combien de séances les deux salles coûtent-elles le même prix ? Résous une équation, puis vérifie.
5. eSofia a un budget de $90$ €. Dans quelle salle peut-elle faire le plus de séances ? Justifie par le calcul.

Ex. 14★★★Le cadre photo — Ambre encadre une photo rectangulaire de $15$ cm sur $10$ cm. Elle colle tout autour, sur les quatre côtés, une bordure de même largeur $x$ cm. Le cadre obtenu forme un grand rectangle.

1. aOn prend $x = 2$. Calcule la longueur et la largeur extérieures du cadre.
2. bJade écrit la longueur extérieure ainsi : $L = 15 + x$. Explique son erreur, puis écris $L$ et la largeur $l$ en fonction de $x$.
3. cÉcris le périmètre extérieur $P$ en fonction de $x$, réduis-le et donne son unité. Contrôle ta formule avec $x = 1$.
4. dBen propose pour l'aire de la bordure la formule $A = 4x^2 + 50x$. Contrôle-la avec $x = 2$ en calculant à la main l'aire du grand rectangle moins celle de la photo. Donne l'unité.
5. eAmbre a $54$ cm² de papier pour la bordure. Complète le tableau avec la formule de Ben, puis donne la largeur $x$ à choisir.

   x (cm)	0,5	3	1	1,5
   Aire A (cm²)

Ex. 15★★★Automatismes : calculer des images — Calcule chaque image. Si le nombre de départ est négatif, écris-le entre parenthèses.

1. aAvec la formule $y = 6 - 4x$, calcule l'image de $-3$.
2. bAvec la formule $y = x^2 - 7$, calcule l'image de $-4$.
3. cAvec la formule $y = 3x - 1$, calcule l'image de $2{,}5$.
4. dProgramme de calcul : « multiplier par $6$, puis ajouter $1$ ». Calcule l'image de $\frac{2}{3}$.
5. eAvec la formule $y = 10 - x^2$, calcule l'image de $-2$.
6. fAvec la formule $y = 2x^2$, calcule le nombre obtenu quand le nombre de départ est $-0{,}5$.

Ex. 16★★★Automatismes : le vocabulaire image et antécédent — Réponds en utilisant correctement les mots « image » et « antécédent ».

1. aAvec un programme de calcul, le nombre $4$ donne $19$. Écris deux phrases : une avec « image », une avec « antécédent ».
2. bOn sait que l'image de $-2$ est $7$. Quel est le nombre de départ ? Quel est le nombre obtenu ?
3. cOn sait que $-6$ est un antécédent de $0$. Écris la même information avec le mot « image ».
4. dLéna écrit : « $15$ est un antécédent de $3$, car le nombre $3$ donne $15$. » Corrige sa phrase.
5. eAvec la formule $y = x^2$, Tom écrit : « l'antécédent de $64$ est $8$. » Pourquoi « l' » est-il faux ? Justifie par un calcul.
6. fAvec une même formule, Inès trouve que l'image de $4$ est $11$, et Hugo trouve $13$. Peuvent-ils avoir raison tous les deux ? Justifie.

Ex. 17★★★Antécédent : je résous, puis je vérifie — Programme de calcul : « Choisir un nombre, le multiplier par $4$, puis ajouter $7$ au résultat. »

1. aOn appelle $x$ le nombre de départ et $y$ le nombre obtenu. Écris $y$ en fonction de $x$.
2. bCalcule l'image de $-2{,}5$.
3. cTrouve l'antécédent de $31$ en résolvant une équation, puis vérifie.
4. dTrouve l'antécédent de $0$, puis vérifie.
5. ePour « l'antécédent de $15$ », Sami calcule $4 \times 15 + 7 = 67$. Explique son erreur, puis donne la bonne réponse avec une vérification.

Ex. 18★★★Avec un carré : aucun, un ou plusieurs antécédents — On utilise la formule $y = x^2 - 5$, où $x$ est le nombre de départ et $y$ le nombre obtenu.

1. aComplète le tableau de valeurs.
2. bCalcule l'image de $3$. Que peux-tu dire des antécédents du nombre $4$ ?
3. cPour l'image de $-4$, Noé écrit : « $-4^2 - 5 = -16 - 5 = -21$ ». Trouve son erreur, puis corrige.
4. dCombien le nombre $-5$ a-t-il d'antécédents ? Justifie.
5. eLe nombre $-8$ a-t-il un antécédent ? Justifie.

Ex. 19★★★Les erreurs de Malo — Malo utilise la formule $y = 8 - 3x$, où $x$ est le nombre de départ et $y$ le nombre obtenu. Il a fait plusieurs erreurs.

1. aMalo calcule l'image de $-2$ : « $8 - 3 \times (-2) = 5 \times (-2) = -10$ ». Explique son erreur, puis calcule correctement l'image de $-2$.
2. bPour l'image de $-1{,}2$, Malo écrit : « $8 - 3 \times (-1{,}2) = 8 - 3{,}6 = 4{,}4$ ». Trouve son erreur, puis corrige.
3. cPour chercher un antécédent de $-13$, Malo écrit : « $8 - 3x = -13$, donc $3x = -21$, donc $x = -7$. » Vérifie son résultat, puis corrige-le.
4. dMalo affirme : « $8$ est l'image de $0$, et $8$ est aussi un antécédent de $0$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 20★★★Un programme avec un carré : formule, calcul, graphique — Programme de calcul : « Choisir un nombre, lui soustraire $2$, puis mettre le résultat au carré. » On appelle $x$ le nombre de départ et $y$ le nombre obtenu. Sur le graphique, chaque point a pour abscisse un nombre de départ et pour ordonnée le nombre obtenu.

1. aÉcris $y$ en fonction de $x$. Ilyes propose $y = x^2 - 2$ : contrôle sa formule en calculant l'image de $6$ avec le programme, puis avec sa formule.
2. bCalcule l'image de $-3$, puis celle de $2{,}4$.
3. cSur le graphique, lis deux antécédents de $4$, puis vérifie-les par le calcul.
4. dTrouve un nombre de départ, différent de $2{,}4$, qui a la même image que $2{,}4$. Vérifie par le calcul.

Ex. 21★★★Louer un kayak : deux tarifs — Une base nautique propose deux tarifs pour louer un kayak. Tarif A : forfait de $7$ € plus $2{,}5$ € par heure. Tarif B : $1$ € de frais plus $4$ € par heure. On note $x$ la durée en heures et $y$ le prix en euros.

1. aÉcris le prix $y$ en fonction de $x$ pour le tarif A, puis pour le tarif B.
2. bCalcule l'image de $1{,}5$ avec chaque formule. Que représentent ces deux nombres ?
3. cAvec le tarif A, Yanis a payé $27$ €. Cherche un antécédent de $27$ en résolvant une équation, puis vérifie. Conclus pour Yanis.
4. dPour quelle durée les deux tarifs donnent-ils le même prix ? Résous une équation, puis vérifie.
5. eLéa loue un kayak $2$ h $30$ min avec le tarif B. Elle remplace $x$ par $2{,}30$ dans la formule. Explique son erreur, puis calcule le bon prix.

Ex. 22★★★Lire un tableau dans les deux sens — Voici un tableau de valeurs. La formule n'est pas donnée. Réponds à chaque question en lisant le tableau.

1. aQuelle est l'image de $-1$ ?
2. bDonne le ou les antécédents de $7$ lus dans le tableau.
3. cMalo lit : « L'image de $1$ est $2$. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dIris dit : « $0$ n'est pas sur la deuxième ligne, donc $0$ n'a pas d'antécédent. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 23★★★Compléter un tableau avec des négatifs — On utilise la formule $y = 5 - 2x^2$. Calcule le nombre obtenu dans chaque colonne pour compléter le tableau.

1. aCalcule $y$ pour $x = -3$.
2. bQuelle est l'image de $0{,}5$ ?
3. cQuel nombre écris-tu dans la colonne de $-1$ ?
4. dCalcule $y$ pour $x = 1$. Compare avec la colonne de $-1$ et explique.
5. eLina a écrit pour $x = -3$ : $5 - 2 \times (-3^2) = 23$. Trouve son erreur.

Ex. 24★★★Le programme de Noé au tableur — Noé teste ce programme de calcul : « multiplier le nombre de départ par $5$, puis soustraire $8$ ». Dans un tableur, il écrit les nombres de départ en ligne 1 et veut les nombres obtenus en ligne 2.

1. aNoé tape en B2 : =5*x-8. Le tableur affiche une erreur. Explique pourquoi et écris la bonne formule.
2. bIl recopie la bonne formule vers la droite. Quelle formule le tableur utilise-t-il en D2 ?
3. cCalcule les nombres affichés en B2, C2 et D2.
4. dQuel nombre de départ faut-il écrire en ligne 1 pour obtenir $37$ ? Justifie par un calcul.

Ex. 25★★★Retrouver la formule d'un tableau — Voici un tableau de valeurs. Sami pense qu'il vient de la formule $y = x^2 + x + 1$. Jade pense qu'il vient de la formule $y = 3x + 1$.

1. aTeste la formule de Sami sur chaque colonne. Sami a-t-il raison ? Justifie.
2. bTeste la formule de Jade sur toutes les colonnes. Jade a-t-elle raison ? Justifie.
3. cLe nombre $10$ n'est pas dans le tableau. Calcule son image avec la bonne formule.
4. dTrouve l'antécédent de $-11$ par un calcul, puis vérifie-le.

Ex. 26★★★La boîte d'Inès au tableur — Inès a une feuille carrée de $20$ cm de côté. Dans chaque coin, elle découpe un carré de côté $x$ cm. Puis elle plie les bords pour obtenir une boîte sans couvercle. Elle calcule le volume $V$ de la boîte (en cm³) avec un tableur. Les valeurs de $x$ sont en ligne 1.

1. aExplique pourquoi le volume de la boîte est donné par la formule $V = x \times (20 - 2x) \times (20 - 2x)$.
2. bEn B2, Inès tape =B1*(20-2*B1)*(20-2*B1), puis elle recopie vers la droite. Écris la formule qui apparaît dans D2.
3. cCalcule les nombres affichés en B2, C2 et D2.
4. dInès affirme : « Le plus grand volume possible est $588$ cm³. » Calcule le volume pour $x = 3{,}5$. A-t-elle raison ? Justifie.
5. eLe nombre $500$ n'apparaît pas sur la ligne 2. Montre que $5$ est un antécédent de $500$.

Ex. 27★★★Les températures relevées par Hugo — Hugo a relevé la température dans son jardin à certaines heures de la journée. Il a noté ses relevés dans le désordre. La température est donnée en fonction de l'heure.

1. aQuelle est l'image de $14$ ? Que représente-t-elle ici ?
2. bTom écrit : « L'antécédent de $9$ est $10$. » Corrige sa phrase et justifie.
3. cPeut-on connaître exactement la température à $12$ h ? Justifie, puis donne une estimation.
4. dLéa propose la formule $T = 2x - 8$, où $x$ est l'heure. Elle l'a vérifiée pour $6$ h. Cette formule convient-elle au tableau ? Justifie.

Ex. 28★★★Deux tarifs de location de vélos — Un loueur de vélos propose deux tarifs. Tarif A : un forfait de $8$ € plus $2$ € par heure. Tarif B : $4$ € par heure. Rayan compare les prix (en €) avec un tableur. Les durées (en h) sont en ligne 1, dans le désordre.

1. aÉcris la formule à taper en B2 et celle à taper en B3, pour les recopier ensuite vers la droite.
2. bCalcule les nombres affichés dans les six cases vides.
3. cLa durée qui donne le même prix avec les deux tarifs n'est pas dans le tableau. Trouve-la par une équation, puis vérifie.
4. dMaëlle a $22$ €. Pour chaque tarif, combien d'heures entières peut-elle louer au maximum ? Justifie.

Ex. 29★★★Du tableau aux points — Le nombre obtenu est donné par la formule $y = 3 - 2x$, où $x$ est le nombre de départ. Le nombre de départ peut être n'importe quel nombre. La représentation graphique est formée des points (nombre de départ ; nombre obtenu).

1. aÉcris les coordonnées du point d'abscisse $-2$.
2. bInès place le point $(3 ; 0)$ pour la colonne du nombre de départ $0$. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cSur l'axe des ordonnées, Léo prend 1 carreau pour $10$ unités. Explique pourquoi ce choix n'est pas adapté à ce tableau.
4. dSami affirme que le point d'abscisse $4$ se place au-dessus de l'axe des abscisses. A-t-il raison ? Justifie.
5. eÉcris les coordonnées du point qui se trouve sur l'axe des abscisses.
6. fLe point $(-1 ; 4)$ appartient-il à la représentation graphique ? Justifie par un calcul avec la formule.
7. gExplique pourquoi on peut relier ces points par une courbe régulière, alors qu'on ne relierait pas des points donnant un prix en fonction d'un nombre de cahiers.

Ex. 30★★★Le point est-il sur la représentation ? — La représentation graphique de la formule $y = x^2 - 3x$ est formée des points $(x ; y)$. Pour chaque point, calcule l'image de son abscisse puis réponds en justifiant.

1. aLe point $A(4 ; 4)$ appartient-il à la représentation ?
2. bLe point $B(-2 ; -2)$ appartient-il à la représentation ?
3. cLe point $C(0{,}5 ; -1{,}25)$ appartient-il à la représentation ?
4. dLéo a calculé que l'image de $5$ est $10$ et il a placé le point $D(10 ; 5)$. Ce point appartient-il à la représentation ?
5. eLe point $E(-1 ; \ldots)$ appartient à la représentation. Quelle est son ordonnée ?
6. fLequel des deux points $G(1{,}5 ; 2{,}25)$ et $H(1{,}5 ; -2{,}25)$ appartient à la représentation ?

Ex. 31★★★Une nuit en montagne — En montagne, Inès relève la température pendant une nuit. Au bout de $h$ heures après 2 h du matin, la température en °C vaut environ $T = 0{,}5 \times h^2 - 4h + 3$.

1. aCalcule les images de $2$, $4$ et $6$, puis complète le premier tableau.
2. bPourquoi l'axe des ordonnées doit-il descendre sous $0$ ? Jusqu'à quelle valeur au moins ?
3. cConstruis la représentation graphique : $h$ en abscisse, $T$ en ordonnée. Peut-on relier les points ? Justifie.
4. dLis sur ta représentation la température minimale. À quelle heure de la nuit est-elle atteinte ?

Ex. 32★★★Parties de bowling — Au bowling, Lina loue des chaussures pour 4 € et paie 6 € par partie. Pour $n$ parties, elle paie $P = 6n + 4$ euros. Pour 3 parties, elle paie 22 €.

1. aCalcule les images de $4$, $1$ et $5$, puis complète le tableau.
2. bPour 2 parties, Tom a placé le point $(16 ; 2)$. Explique son erreur et corrige-la.
3. cSur l'axe des ordonnées, quel pas choisis-tu parmi 1, 5 ou 10 ? Justifie.
4. dConstruis la représentation graphique pour $n$ allant de $1$ à $5$. Faut-il relier les points ? Justifie.

Ex. 33★★★Les axes de Malo — On étudie la formule $y = x^2 + x - 2$ pour des nombres de départ compris entre $-3$ et $2$. Malo a calculé les images de $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$ et $2$. Il a trouvé dans l'ordre $4$, $0$, $-2$, $-2$, $0$ et $4$. Pour le nombre $-3$, il a placé le point $(4 ; -3)$.

1. aVérifie par le calcul les images de $-3$ et de $-1$ trouvées par Malo.
2. bExplique l'erreur de Malo quand il place le point $(4 ; -3)$. Donne ensuite les bonnes coordonnées des points d'abscisses $-3$ et $2$.
3. cConstruis la représentation graphique point par point, avec un pas de 1 sur chaque axe. Où places-tu les points d'ordonnée $-2$ ?
4. dLe point $B(-0{,}5 ; -2)$ appartient-il à la représentation ? Justifie par le calcul. Faut-il relier les points d'abscisses $-1$ et $0$ par un segment horizontal ?
5. eLis sur ta représentation graphique les antécédents de $2$. Donne des valeurs approchées.

Ex. 34★★★Les bracelets de Noé — Noé fabrique des bracelets pour une brocante. Il a acheté le matériel pour 15 € et vend chaque bracelet 4 €. Son bénéfice $B$ (en €) dépend du nombre $n$ de bracelets vendus : c'est ce qu'il gagne avec les ventes, moins les 15 € du matériel.

1. aÉcris une formule qui donne le bénéfice $B$ en fonction de $n$. Contrôle-la avec $n = 2$.
2. bComplète le tableau de valeurs :

   Nombre de bracelets n	5	0	8	3
   Bénéfice B (€)

3. cSur l'axe des ordonnées, prends-tu un pas de 1, de 5 ou de 10 ? Justifie à l'aide de ton tableau. Place ensuite les points pour $n = 0, 1, 2, …, 8$.
4. dSon frère Yanis relie les points par une courbe. Il dit : « Avec $3{,}75$ bracelets, le bénéfice est nul. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eCombien de bracelets Noé doit-il vendre pour gagner 25 € ? Résous une équation.

Ex. 35★★★La fusée à eau de Hugo — Hugo lance une fusée à eau dans le parc. On note $t$ le temps écoulé depuis le lancement (en s). La hauteur de la fusée (en m) vaut environ $h = 12t - 2t^2$, et la fusée retombe au sol au bout de 6 s.

1. aComplète le tableau de valeurs :

   Temps t (s)	4	1	6	3
   Hauteur h (m)

2. bCalcule aussi les images de $0$, $2$ et $5$. Construis la représentation graphique avec un pas de 2 sur l'axe des ordonnées.
3. cLe point $P(2{,}5 ; 17)$ appartient-il à la représentation ? Justifie par le calcul.
4. dLis sur la représentation graphique les antécédents de $10$. Explique ce qu'ils signifient pour la fusée.
5. eD'après la représentation graphique, quelle est la hauteur maximale de la fusée ? À quel instant l'atteint-elle ?

Ex. 36★★★Lire sur des points — Ben a placé les points de la représentation graphique d'une fonction, pour les nombres de départ entiers de $-3$ à $3$. L'abscisse est le nombre de départ et l'ordonnée est son image. Attention : sur l'axe des ordonnées, les graduations vont de $2$ en $2$.

1. aLis l'image de $-2$.
2. bLis l'image de $3$.
3. cLis tous les antécédents de $5$.
4. dZoé dit : « L'image de $6$ est $0$. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eLe nombre $8$ a-t-il un antécédent sur ce graphique ? Justifie.

Ex. 37★★★La température d'une journée — Les points donnent la température relevée par Maëlle sur son balcon, de 8 h à 16 h. L'abscisse est l'heure et l'ordonnée est la température en °C (graduations de $2$ en $2$).

1. aQuelle température fait-il environ à 9 h ?
2. bQuelle est la température maximale, et à quelle heure est-elle atteinte ?
3. cHugo dit : « La température minimale est $8$ °C, à 16 h. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dÀ quelle(s) heure(s) Maëlle a-t-elle relevé environ $11$ °C ?

Ex. 38★★★Deux bougies — La bougie rouge de Lina mesure $24$ cm et perd $3$ cm par heure. Sa bougie bleue mesure $16$ cm et perd $1$ cm par heure. Les points donnent la hauteur (ordonnée, en cm, graduations de $4$ en $4$) en fonction du temps (abscisse, en h).
Bougie rouge :
Bougie bleue :

1. aAu bout de combien d'heures les deux bougies ont-elles la même hauteur ? Quelle est cette hauteur ? Vérifie par le calcul.
2. bD'après les points, pendant quelle période la bougie rouge est-elle plus haute que la bleue ?
3. cAu bout de combien d'heures la bougie rouge mesure-t-elle $9$ cm ? Vérifie par le calcul.
4. dTom dit : « Avec le programme de Léna, le nombre $6$ a deux antécédents. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 39★★★Formule et graphique — On a placé les points de la représentation graphique de la formule $y = x^2 - 4x + 5$, pour les nombres de départ $x$ entiers de $-1$ à $5$ (graduations de $2$ en $2$ sur l'axe des ordonnées).

1. aSami lit le point d'abscisse $4$ et écrit : « L'image de $5$ est $4$. » Corrige son erreur, puis vérifie avec la formule.
2. bLis le minimum sur ce graphique et le nombre pour lequel il est atteint. Vérifie avec la formule.
3. cLis tous les antécédents de $10$ sur le graphique. Vérifie celui qui est négatif avec la formule.
4. dCalcule l'image de $2{,}5$ avec la formule. Pourquoi ne pouvait-on pas la lire exactement sur le graphique ?

Ex. 40★★★La fusée à eau — Au club de sciences, Nina lance une fusée à eau. Sa hauteur, en m, au bout de $t$ secondes, est donnée par la formule $h = 30t - 5t^2$. Les points donnent la hauteur (ordonnée, graduations de $5$ en $5$) en fonction du temps en s (abscisse).

1. aLis l'image de $4$ sur le graphique. Traduis ta réponse par une phrase sur la fusée.
2. bNina affirme : « La hauteur maximale de la fusée est $3$ m. » Corrige son erreur en donnant le maximum et le moment où il est atteint.
3. cÀ quels instants la fusée est-elle à $25$ m de haut ? Donne tous les antécédents de $25$ lus sur le graphique.
4. dBen dit : « La fusée met autant de temps à monter qu'à redescendre au sol. » Vrai ou faux ? Justifie avec les points.

Ex. 41★★★Deux formules, deux représentations — Ben a placé les points de deux formules, $y = x^2 - 3$ et $y = 2x$, pour les nombres de départ entiers de $-2$ à $4$. L'abscisse est le nombre de départ et l'ordonnée le nombre obtenu (graduations de $2$ en $2$).
Représentation 1 :
Représentation 2 :

1. aAssocie chaque formule à sa représentation. Justifie en calculant l'image de $4$ avec chaque formule.
2. bPour la formule $y = x^2 - 3$, Léo lit les antécédents de $1$ et répond : « $-2$ ». Sa réponse est-elle complète ? Justifie.
3. cPour la formule $y = 2x$, le nombre $5$ a-t-il un antécédent parmi les points placés ? Trouve son antécédent par le calcul.
4. dPour quels nombres de départ les deux formules donnent-elles le même nombre ? Vérifie par le calcul.
5. ePour quels nombres de départ placés le point de la formule $y = 2x$ est-il au-dessus de celui de $y = x^2 - 3$ ?

Ex. 42★★★L'enclos de Mehdi — Mehdi a $20$ m de grillage pour faire un enclos rectangulaire pour ses poules. Il note $x$ la longueur d'un côté, en m. Les points donnent l'aire de l'enclos en m² (ordonnée, graduations de $5$ en $5$) en fonction de $x$ (abscisse).

1. aExplique pourquoi l'autre côté mesure $10 - x$ m. Écris la formule qui donne l'aire $A$ en fonction de $x$.
2. bLis sur le graphique les antécédents de $16$, puis vérifie avec ta formule. Quelles dimensions donnent une aire de $16$ m² ?
3. cMehdi veut une aire de $20$ m². Lis des valeurs approchées des antécédents de $20$, puis contrôle l'une d'elles avec ta formule.
4. dMehdi affirme : « Avec mes $20$ m de grillage, je peux faire un enclos de $30$ m². » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 43★★★Location de kayak : image ou antécédent ? — Une base nautique loue des kayaks. Le prix $P$ (en €) dépend de la durée $t$ (en h) de la location : $P = 6t + 4$.

1. aQuelle est la grandeur de départ ? Quelle est la grandeur obtenue ? Donne leurs unités.
2. bPour 3 h, on paie 22 €. Écris cette information avec le mot « antécédent ».
3. cTraduis par une phrase sur la location : « $5$ est un antécédent de $34$ ».
4. dQuelle phrase est juste : « $10$ est l'image de $1$ » ou « $1$ est l'image de $10$ » ? Justifie par un calcul.
5. eSami écrit : « L'image de $40$ est $6$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 44★★★Une image dans son contexte — Calcule, puis réponds par une phrase avec l'unité.

1. aLa température (en °C) $h$ heures après 20 h est $T = 8 - 1{,}5h$. Quelle température fait-il à 2 h du matin ?
2. bUn rectangle mesure $x$ cm de large et $x + 3$ cm de long. Son périmètre est $P = 4x + 6$. Calcule ce périmètre pour $x = 7$.
3. cUn aquarium a un fond carré de $x$ dm de côté et une hauteur de 5 dm. Son volume (en dm³) est $V = 5x^2$. Calcule $V$ pour $x = 2{,}4$.
4. dUne cuve contient déjà 40 L. Un robinet la remplit : au bout de $t$ h, elle contient $Q = 40 + 120t$ litres. Combien contient-elle au bout de $\frac{3}{4}$ h ?
5. ePour passer d'une température $C$ en °C à une température $F$ en degrés Fahrenheit (°F), on utilise $F = 1{,}8C + 32$. Combien de °F correspondent à $-15$ °C ?

Ex. 45★★★Piscine : quel tarif choisir ? — Une piscine propose deux tarifs. Tarif A : 4,50 € par entrée. Tarif B : un abonnement de 30 € pour l'année, puis 2 € par entrée. On note $n$ le nombre d'entrées dans l'année.

1. aÉcris le prix $A$ du tarif A et le prix $B$ du tarif B en fonction de $n$
   (en €).
2. bComplète le tableau de valeurs (prix en €).

   n	10	4	15
   Tarif A
   Tarif B

3. cPour combien d'entrées les deux tarifs coûtent-ils le même prix ? Résous une équation, puis donne ce prix.
4. dLéo prévoit 20 entrées dans l'année. Quel tarif doit-il choisir ? Combien économise-t-il ?

Ex. 46★★★L'enclos le plus grand — Avec 20 m de grillage, Maëlle clôture un potager rectangulaire. On note $x$ sa largeur, en m.

1. aExprime la longueur en fonction de $x$, puis montre que l'aire (en m²) est $A = 10x - x^2$.
2. bQuelles valeurs le nombre $x$ peut-il prendre ? Justifie.
3. cComplète le tableau de valeurs.

   x	4	1	5	2,5
   Aire en m²

4. dD'après le tableau, quelle largeur semble donner l'aire maximale ? Donne cette aire.
5. eTrouve un nombre entier, absent du tableau, qui a la même image que $4$. Vérifie-le par un calcul.

Ex. 47★★★La boîte en carton la plus grande — Ben fabrique une boîte sans couvercle à partir d'un carré de carton de 20 cm de côté. On découpe un carré de côté $x$ cm dans chaque coin, puis on relève les bords. Le volume $V$ de la boîte (en cm³) dépend de $x$.

1. aExprime le côté du fond de la boîte en fonction de $x$. Exprime ensuite le volume $V$ en fonction de $x$.
2. bExplique pourquoi $x$ doit être plus grand que $0$ et plus petit que $10$. Que vaudrait le volume pour $x = 10$ ?
3. cComplète le tableau de valeurs :

   x (cm)	4	1	2,5	3
   V (cm³)		324

4. dBen a aussi calculé :

   x (cm)	6	2	5	7
   V (cm³)	384	512	500	252

   Parmi les valeurs de $x$ des deux tableaux, laquelle donne le plus grand volume ? Donne ce volume avec son unité.
5. eLina lit le deuxième tableau de Ben et conclut : « Le plus grand volume de ce tableau est 2 cm³, car $2$ est l'image de $512$. » Repère son erreur, puis écris une conclusion correcte.

Ex. 48★★★Trottinettes : Libre ou Pass ? — Une ville loue des trottinettes électriques. Avec le tarif Libre, le prix $L$ (en €) dépend de la durée $t$ (en min) du trajet :

1. aPour le tarif Libre, quelle est la grandeur de départ ? Quelle est la grandeur obtenue ? Ben propose $L = 0{,}25t + 1$ : contrôle cette formule avec deux colonnes du tableau.
2. bÉcris le prix $M$ (en €) du tarif Pass en fonction de $t$. Calcule l'image de $45$ par cette formule, puis réponds par une phrase.
3. cPour quelle durée les deux tarifs coûtent-ils le même prix ? Résous une équation, puis vérifie.
4. dNoa dispose de 7 €. Cherche l'antécédent de $7$ avec chaque tarif, puis dis quel tarif permet de rouler le plus longtemps.
5. eVrai ou faux ? « Pour un trajet de 10 min, le tarif Pass est le plus avantageux. » Justifie.

Ex. 49★★★La balle lancée vers le haut — Lou lance une balle vers le haut, la main à 1 m du sol. La hauteur $h$ de la balle (en m) dépend du temps $t$ (en s) écoulé depuis le lancer : $h = 1 + 8t - 2t^2$. La balle touche le sol un peu après 4 s.

1. aCalcule l'image de $0{,}5$, puis l'image de $2{,}5$. Réponds par une phrase avec l'unité.
2. bVoici des points de la représentation graphique (abscisse : $t$ en s ; ordonnée : $h$ en m) : Lis les antécédents de $7$. Que signifient-ils pour la balle ?
3. cOn admet que la balle n'est jamais plus haute qu'à l'instant $t = 2$. Quelle est sa hauteur maximale ? Combien d'antécédents ont $9$ et $10$ ? Justifie.
4. dElio calcule l'image de $-1$ : $1 + 8 \times (-1) - 2 \times -1^2 = 1 - 8 + 2 = -5$. Corrige son calcul, puis explique pourquoi ce résultat n'a pas de sens pour la balle.