Troisième / Fonctions

Ex. 1★★★Automatismes : image, antécédent et vocabulaire — Un programme de calcul transforme le nombre choisi $x$ en le résultat $R = 3x - 7$.

1. aCalcule le résultat obtenu quand on choisit $-2$.
2. bCalcule le résultat obtenu quand on choisit $\frac{2}{3}$.
3. cQuel nombre faut-il choisir pour obtenir $8$ ?
4. dQuel nombre faut-il choisir pour obtenir $-8{,}5$ ?
5. eOn a $3 \times 6 - 7 = 11$. Complète : « $11$ est … de $6$ » et « $6$ est … de $11$ ».
6. fLéa calcule $3 \times 0 - 7 = -7$ et écrit : « $0$ est l'image de $-7$ ». Corrige sa phrase.

Ex. 2★★★Automatismes : lire un nuage de points — Un robinet remplit un bac. On relève la hauteur d'eau $h$ (en cm) à chaque minute ; $t$ est le temps écoulé (en min). La courbe qui relie ces deux grandeurs passe par ces points.

1. aQuelle grandeur se lit en abscisse ? Quelle grandeur dépend de l'autre ?
2. bQuelle est la hauteur d'eau au bout de $3$ min ?
3. cAu bout de combien de minutes la hauteur d'eau est-elle de $5$ cm ?
4. dNina dit : « Le point $(2\,;8)$ signifie qu'au bout de $8$ min, l'eau monte à $2$ cm. » Corrige sa phrase.
5. eVrai ou faux : « La hauteur d'eau est proportionnelle au temps. » Justifie.

Ex. 3★★★Du programme de calcul à la formule — Programme : « Choisir un nombre ; lui ajouter $3$ ; multiplier le résultat par $2$ ; soustraire $5$. »

1. aApplique le programme au nombre $4$.
2. bApplique le programme au nombre $-7$.
3. cOn note $x$ le nombre choisi. Écris le résultat $R$ en fonction de $x$, puis réduis cette expression.
4. dContrôle ta formule réduite : calcule le résultat pour $x = 0{,}5$ avec le programme, puis avec la formule.
5. eQuel nombre faut-il choisir pour obtenir $20$ ? Vérifie ta réponse.

Ex. 4★★★Location de paddle — Pour louer un paddle, on paie $5$ € de frais de dossier, puis $6$ € par heure. On note $d$ la durée (en heures) et $P$ le prix (en €).

1. aCalcule le prix d'une location de $3$ h.
2. bMalo écrit $P = 6(d + 5)$. Calcule avec sa formule le prix pour $3$ h, explique son erreur et donne la bonne formule.
3. cCombien d'heures peut-on louer le paddle avec $50$ € ? Vérifie ta réponse.
4. dLina a $40$ €. Peut-elle louer le paddle pendant $6$ h ? Justifie par un calcul.

Ex. 5★★★Deux tarifs pour la salle d'escalade — Une salle d'escalade propose deux tarifs. Tarif A : $7$ € par séance. Tarif B : une carte annuelle à $24$ €, puis $4$ € par séance. On note $n$ le nombre de séances, $P_A$ et $P_B$ les prix payés (en €) avec chaque tarif.

1. aCalcule le prix de $5$ séances avec chaque tarif, puis écris $P_A$ et $P_B$ en fonction de $n$.
2. bAu tableur, la cellule A2 contient un nombre de séances. Quelle formule saisir en B2 pour obtenir $P_B$ ? Qu'affiche B2 si A2 contient $12$ ?
3. cAvec le tarif B, Inès a payé $88$ €. Combien de séances a-t-elle faites ? Vérifie ta réponse.
4. dOn place dans un repère les points $(n\,;P_A)$ et $(n\,;P_B)$. Le point $(9\,;60)$ fait-il partie des points du tarif A ? Et de ceux du tarif B ? Justifie par des calculs.
5. ePour combien de séances les deux tarifs coûtent-ils le même prix ? Quel est alors ce prix ?

Ex. 6★★★Un programme de calcul surprenant — Programme : « Choisir un nombre ; lui ajouter $6$ ; multiplier le résultat par le nombre choisi ; soustraire le carré du nombre choisi. » On note $x$ le nombre choisi et $R$ le résultat.

1. aApplique le programme au nombre $3$, puis au nombre $-2$.
2. bTom affirme : « Par ce programme, $18$ est un antécédent de $3$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cÉcris $R$ en fonction de $x$, puis développe et réduis cette expression.
4. dQuel nombre faut-il choisir pour obtenir $-15$ ? Et pour obtenir $\frac{2}{3}$ ?
5. eLe résultat est-il proportionnel au nombre choisi ? Justifie.

Ex. 7★★★La cuve qui se vide — On vide une cuve à débit constant : chaque minute, il s'écoule toujours la même quantité d'eau. Le tableau donne le volume $V$ (en L) restant dans la cuve en fonction du temps $t$ (en min).

1. aNora place dans un repère le point $(390\,;5)$ pour la deuxième colonne. Explique son erreur et donne le bon point.
2. bCombien de litres s'écoulent par minute ? Écris $V$ en fonction de $t$, puis contrôle avec la dernière colonne.
3. cYanis propose la formule $V = 450 - 2t^2$. Montre avec une seule colonne du tableau qu'elle est fausse.
4. dAu bout de combien de minutes reste-t-il $102$ L dans la cuve ?
5. eMalik pense que la cuve sera vide au bout de $40$ min exactement. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 8★★★Automatismes : calculer des images — On considère la fonction $f : x \longmapsto 3x^2 - 4$. Calcule en écrivant le calcul en ligne.

Ex. 9★★★Automatismes : vocabulaire et pièges — Réponds à chaque question en une ou deux lignes.

1. aOn sait que $m(-5) = 8$. Donne l'image de $-5$ par $m$.
2. bOn sait que $m(7) = -1$. Donne un antécédent de $-1$ par $m$.
3. cOn donne $p(x) = x^2 - 2x$. Calcule $p(-3)$.
4. dVrai ou faux ? « $f(4)$ veut dire $f \times 4$. » Justifie.
5. eOn donne $r(x) = \frac{5}{x + 3}$. Quel nombre n'a pas d'image par $r$ ? Justifie.
6. fÀ $25$, on associe « un nombre dont le carré vaut $25$ ». Est-ce une fonction ? Justifie.

Ex. 10★★★Un programme de calcul — Voici un programme de calcul : « Choisir un nombre ; lui soustraire $3$ ; élever le résultat au carré ; ajouter $1$. » On note $h$ la fonction qui, au nombre choisi $x$, associe le résultat.

1. aÉcris $h(x)$ en fonction de $x$.
2. bCalcule $h(5)$ puis $h(1)$.
3. cTom affirme : « $h$ n'est pas une fonction, car on obtient $5$ en partant de deux nombres différents. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dCalcule l'image de $-2$ par $h$.
5. eCalcule $h\left(\frac{3}{2}\right)$ et donne le résultat sous forme décimale.

Ex. 11★★★La hauteur d'une balle — Nour lance une balle vers le haut. Sa hauteur (en m) au bout de $t$ secondes est $h(t) = -5t^2 + 20t$.

1. aCalcule $h(1)$ et dis ce que ce nombre représente.
2. bCalcule $h(0)$. Que signifie ce résultat pour la balle ?
3. cInès a écrit : $h(2) = (-5 \times 2)^2 + 20 \times 2 = 140$. Trouve son erreur et calcule $h(2)$ correctement.
4. dCalcule $h(4)$. Que se passe-t-il au bout de $4$ secondes ?

Ex. 12★★★Le programme de Lina — Lina propose ce programme de calcul : « Choisir un nombre ; lui ajouter $5$ ; multiplier le résultat par le nombre choisi au départ ; soustraire $6$. » On note $g$ la fonction qui, au nombre choisi $x$, associe le résultat du programme.

1. aApplique le programme au nombre $-2$. Quel résultat obtiens-tu ?
2. bCalcule $g(0)$, puis $g(-0{,}4)$.
3. cCalcule l'image de $\frac{1}{2}$ par $g$. Donne le résultat sous forme d'une fraction.
4. dSami écrit $g(x) = x^2 + 5x - 6$, puis $g(-4) = -4^2 + 5 \times (-4) - 6 = -42$. Vérifie sa formule, puis corrige son calcul.

Ex. 13★★★Une feuille de tableur — Ben écrit $x$ en A1, puis les nombres $-3$ ; $-1$ ; $0$ ; $1{,}5$ ; $3$ dans les cellules B1 à F1. En A2, il écrit $f(x)$. En B2, il tape la formule =2*B1*B1-7 et la recopie vers la droite jusqu'à F2. On note $f$ la fonction ainsi calculée.

1. aÉcris $f(x)$ en fonction de $x$.
2. bCalcule les nombres affichés dans les cellules C2, D2 et E2.
3. cLucas annonce que la cellule F2 affiche $29$. Explique son erreur, puis donne la bonne valeur.
4. dEmma écrit : « $f(-3) = 11$, donc $-3$ est l'image de $11$ ». Vérifie son calcul, corrige sa phrase et donne un autre antécédent de $11$ présent dans la feuille.
5. eEn B3, Ben tape =10/(B1-3) et la recopie jusqu'à F3. Quelle cellule affiche une erreur ? Pourquoi ? Que vaut C3 ?

Ex. 14★★★Justifier avec la notation f(x) — On considère la fonction $f : x \longmapsto 4 - x^2$.

1. aCalcule $f(-1{,}2)$.
2. bVrai ou faux ? « $f(-5) = 29$ ». Justifie par un calcul.
3. cCalcule $f(0)$ et $f(2)$. Lequel des deux nombres $0$ et $2$ est un antécédent de $0$ par $f$ ? Justifie.
4. dCalcule $f\left(\frac{2}{3}\right)$ et donne le résultat sous forme d'une fraction.
5. eTrouve un nombre entier positif dont l'image par $f$ est $-32$. Justifie par un calcul.

Ex. 15★★★Automatismes : antécédents avec une formule du premier degré — On considère la fonction $f : x \longmapsto 7 - 3x$.

1. aCalcule l'antécédent de $19$ par $f$.
2. bCalcule $f(0)$, puis l'antécédent de $0$ par $f$.
3. cCalcule l'antécédent de $8{,}5$ par $f$.
4. dTrouve le nombre $a$ tel que $f(a) = a$.
5. eLina affirme : « L'antécédent de $4$ est $-5$, car $f(4) = -5$. » Corrige son erreur.

Ex. 16★★★Automatismes : antécédents avec un carré — On considère la fonction $h$ définie par $h(x) = x^2 - 12$. Donne tous les antécédents demandés, ou explique pourquoi il n'y en a aucun.

1. aCalcule l'image de $-4$ par $h$.
2. bTrouve les antécédents de $52$ par $h$.
3. cTrouve les antécédents de $-12$ par $h$.
4. dTrouve les antécédents de $-15$ par $h$.
5. eTrouve les antécédents de $-5$ par $h$ : donne les valeurs exactes, puis des valeurs approchées au centième.
6. fTom écrit : « L'antécédent de $37$ est $7$, car $7^2 - 12 = 37$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 17★★★Un produit et ses antécédents de 0 — On considère la fonction $p$ définie par $p(x) = (x + 3)(2x - 5)$.

1. aCalcule $p(0)$ et $p(-4)$.
2. bKenza annonce : « Les antécédents de $0$ sont $3$ et $-5$. » Corrige-la en résolvant $p(x) = 0$.
3. cVérifie tes deux résultats de la question précédente en calculant leurs images.
4. dLe point $A(1\,;-12)$ est-il sur la courbe représentative de $p$ ? Justifie par un calcul.

Ex. 18★★★Location de vélos : deux tarifs — Un loueur de vélos propose deux tarifs. Pour une durée de $x$ heures, le prix en € est $A(x) = 4x + 10$ avec le tarif A, et $B(x) = 6{,}5x$ avec le tarif B.

1. aCalcule $A(3)$ et $B(3)$, puis interprète ces résultats.
2. bInès a payé $37$ € avec le tarif A. Pour trouver sa durée, Mehdi calcule $A(37) = 158$ et répond « $158$ heures ». Explique son erreur et donne la bonne durée.
3. cPour quelle durée les deux tarifs donnent-ils le même prix ? Vérifie ta réponse.
4. dNoé dispose de $39$ €. Quel tarif lui permet de louer un vélo le plus longtemps ? Justifie.

Ex. 19★★★Un programme de calcul avec un carré — Voici un programme de calcul. « Choisis un nombre. Soustrais $3$. Élève le résultat au carré. Soustrais $16$. » On note $f(x)$ le résultat obtenu quand on choisit le nombre $x$.

1. aMontre que si l'on choisit $-2$, le résultat est $9$.
2. bExprime $f(x)$ en fonction de $x$, puis montre en développant que $f(x) = (x - 7)(x + 1)$.
3. cDéduis-en tous les nombres à choisir pour obtenir $0$.
4. dQuels nombres faut-il choisir pour obtenir $-16$ ? Justifie.
5. eYanis affirme : « Avec un nombre bien choisi, ce programme peut donner $-20$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 20★★★Une plaque carrée découpée — Dans une plaque carrée de côté $x$ cm, on découpe un carré de côté $3$ cm dans un coin. On note $g(x)$ l'aire, en cm², de la partie restante.

1. aExplique pourquoi $g(x) = x^2 - 9$.
2. bJade cherche le côté qui donne une aire restante de $72$ cm². Elle écrit : « $72$ a un seul antécédent par $g$ : $9$. » A-t-elle raison ? Justifie, puis donne le côté de la plaque.
3. cLe point $B(-4\,;7)$ est-il sur la courbe représentative de $g$ ? Justifie par un calcul, puis dis s'il correspond à une plaque.
4. dQuel côté donne une aire restante de $11$ cm² ? Donne la valeur exacte, puis une valeur approchée au centième.
5. eSans tenir compte de la situation, Léa affirme : « Par $g$, les nombres $-9$ et $-10$ ont chacun deux antécédents. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 21★★★Deux colonnes de tableur — Dans un tableur, la colonne A contient des nombres $x$. Maëlys tape en B2 la formule =3*A2-5 et en C2 la formule =7-2*A2, puis elle les recopie vers le bas. On note $f$ la fonction calculée en colonne B, et $g$ celle de la colonne C.

1. aÉcris $f(x)$ et $g(x)$, puis donne le nombre affiché en C2 si A2 contient $-2{,}5$.
2. bHugo veut lire $3$ en colonne B. Il tape $2{,}67$ en colonne A, lit $3{,}01$ et conclut que l'antécédent de $3$ par $f$ est $2{,}67$. A-t-il raison ? Donne la valeur exacte et vérifie-la.
3. cTrouve le nombre $a$ tel que $f(a) = a$, puis vérifie.
4. dPour quel nombre $x$ les colonnes B et C affichent-elles le même résultat ? Justifie par un calcul et vérifie.
5. eVrai ou faux ? « Le nombre $10$ a deux antécédents par $g$. » Justifie.

Ex. 22★★★Lire un tableau dans les deux sens — Voici un tableau de valeurs d'une fonction $g$ :

1. aLis $g(0)$.
2. bDonne tous les antécédents de $1$ lus dans le tableau.
3. cDonne les coordonnées des quatre points de la courbe de $g$ donnés par ce tableau.
4. dLina affirme : « $3$ n'a aucun antécédent par $g$, car $3$ n'est pas sur la deuxième ligne. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eNoé lit la colonne de $2$ et écrit « $g(1) = 2$ ». Corrige son erreur.

Ex. 23★★★Points de la courbe : on calcule — On considère la fonction $f : x \longmapsto 3 - 2x^2$.

1. aLe point $A(2\,;-5)$ est-il sur la courbe de $f$ ? Justifie par un calcul.
2. bLe point $B(-3\,;15)$ est-il sur la courbe de $f$ ? Justifie par un calcul.
3. cDonne l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $\frac{1}{2}$.
4. dSam affirme : « Le point $E(3\,;0)$ est sur la courbe, car $f(0) = 3$. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eTrouve par le calcul les deux points de la courbe qui ont pour ordonnée $1$.

Ex. 24★★★Au tableur — On étudie $h(x) = 2x^2 - 3x$ au tableur. La cellule A1 contient « x » et les cellules B1 à E1 contiennent $-2$, $-1$, $0$ et $3$. La cellule A2 contient « h(x) ». On écrit une formule en B2, puis on la recopie vers la droite.

1. aInès écrit en B2 : =2*A1*A1-3*A1. Explique son erreur, puis écris la bonne formule.
2. bQuelle formule contient la cellule E2 après la recopie ?
3. cCalcule, avec la bonne formule, les nombres affichés de B2 à E2.
4. dTrouve par le calcul tous les antécédents de $0$ par $h$.

Ex. 25★★★L'enclos de Basile — Basile construit un enclos rectangulaire contre un mur, avec 20 m de grillage pour les trois autres côtés. Les deux côtés perpendiculaires au mur mesurent $x$ m. On note $A(x)$ l'aire de l'enclos, en m².

1. aExplique pourquoi $A(x) = x(20 - 2x)$.
2. bCalcule $A(5)$ et $A(8)$ pour compléter le tableau.
3. cMila dit : « $A(x) = 8x + 16$ convient pour $x = 2$ et $x = 4$, donc c'est la bonne formule. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dLis dans le tableau complété toutes les largeurs qui donnent une aire de $32$ m².
5. eCalcule $A(6)$. Que peux-tu en déduire sur les antécédents de $48$ ?

Ex. 26★★★Le programme de calcul de Maëlle — Maëlle utilise ce programme de calcul : « Choisis un nombre. Calcule son carré. Ajoute le triple du nombre choisi. » On note $p(x)$ le résultat obtenu quand on choisit $x$. Au tableur, la cellule A1 contient « x », les cellules B1 à E1 contiennent $-4$, $-3$, $-1$ et $2$, et A2 contient « p(x) ».

1. aQuel résultat obtient-on en choisissant $-4$ ? Détaille le calcul.
2. bExprime $p(x)$ en fonction de $x$.
3. cQuelle formule Maëlle doit-elle écrire dans la cellule B2 pour pouvoir la recopier vers la droite ?
4. dQuels nombres le tableur affiche-t-il dans les cellules C2, D2 et E2 ? Détaille les calculs.
5. eTrouve par le calcul les nombres qu'il faut choisir pour que le résultat soit égal au nombre choisi.

Ex. 27★★★Retrouver la formule de k — Voici un tableau de valeurs d'une fonction $k$ :

1. aDonne l'image de $-1$ par $k$, puis tous les antécédents de $7$ que l'on peut lire dans le tableau.
2. bHugo remarque que la formule $k(x) = 6x - 5$ convient pour $x = 1$ et pour $x = 2$. Est-ce la formule de $k$ ? Justifie.
3. cZoé propose $k(x) = 2x^2 - 1$ et vérifie les quatre colonnes. Le tableau prouve-t-il que c'est la formule de $k$ ? Justifie.
4. dOn admet maintenant que $k(x) = 2x^2 - 1$. Alix affirme : « $17$ n'est pas dans le tableau, donc $17$ n'a pas d'antécédent. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eAvec $k(x) = 2x^2 - 1$, les points $R\left(\frac{1}{2}\,;-\frac{1}{2}\right)$ et $S\left(-\frac{1}{2}\,;0\right)$ sont-ils sur la courbe de $k$ ? Justifie par un calcul.

Ex. 28★★★L'arche du jardin — Une arche de jardin a la forme d'une parabole. À $x$ dm de son axe ($x$ négatif à gauche, positif à droite), sa hauteur est $h(x) = 16 - x^2$ (en dm). La courbe de $h$ passe par ces points, d'abscisses $0$ à $4$ :

1. aLis sur le nuage la hauteur de l'arche à $3$ dm à droite de l'axe. Écris le résultat avec la notation $h$.
2. bThéo écrit : $h(-3) = 16 - (-3)^2 = 16 + 9 = 25$. Trouve son erreur, puis donne $h(-3)$.
3. cJustifie par un calcul que la hauteur de l'arche ne dépasse jamais $16$ dm. Où cette hauteur maximale est-elle atteinte ?
4. dLe point $M(-1{,}5\,;13{,}75)$ est-il sur la courbe de $h$ ? Justifie par un calcul.
5. eLis sur le nuage à quelle distance de l'axe, à droite, la hauteur est nulle. Déduis-en la largeur de l'arche au sol.

Ex. 29★★★Lire sur des points de la courbe — La courbe d'une fonction $f$ passe par les points ci-dessous.

1. aLis l'image de $5$ par $f$.
2. bLis $f(2)$.
3. cParmi les points tracés, lis tous les antécédents de $3$.
4. dInès affirme : « $f(1) = 0$, donc l'antécédent de $1$ est $0$ ». Corrige sa phrase.

Ex. 30★★★Une courbe décrite par une phrase — La courbe de $f$ passe par $A(-5\,;7)$, $B(-3\,;0)$, $C(-1\,;-3)$, $D(0\,;-3)$, $E(2\,;0)$ et $F(4\,;7)$. Elle coupe l'axe des abscisses seulement en $B$ et $E$, et la droite d'équation $y = 7$ seulement en $A$ et $F$. Son point le plus bas a pour coordonnées environ $(-0{,}5\,;-3{,}1)$.

1. aDonne $f(-1)$.
2. bDonne $f(0)$.
3. cRésous graphiquement l'équation $f(x) = 0$.
4. dDonne tous les antécédents de $7$ par $f$.
5. eCombien d'antécédents le nombre $-4$ a-t-il ? Justifie.
6. fDonne une valeur approchée du minimum de $f$, et la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.

Ex. 31★★★Lecture approchée, calcul exact — La courbe de $g : x \longmapsto x^2 - 3$ coupe la droite d'équation $y = 2$ en deux points. Ilan lit sur la courbe le point $(2\,;1)$ et affirme : « l'antécédent de $2$ par $g$ est $1$ ».

1. aCalcule $g(2)$ et $g(1)$.
2. bIlan a-t-il raison ? Justifie.
3. cMaëlle lit sur la courbe que les antécédents de $2$ sont $-2{,}2$ et $2{,}2$. Calcule $g(2{,}2)$ : sa lecture est-elle exacte ?
4. dTrouve par le calcul les valeurs exactes des antécédents de $2$, puis donne-en des valeurs approchées au centième.

Ex. 32★★★Température d'une journée — Les points ci-dessous sont sur la courbe de la température extérieure $T(x)$, en °C, $x$ heures après 9 h. Observe bien la graduation de l'axe des ordonnées.

1. aQuelle température fait-il à 10 h ?
2. bRésous graphiquement $T(x) = 20$, puis donne les heures correspondantes.
3. cQuelle est la température maximale relevée ? À quelle heure ?
4. dLa courbe de la température $S(x)$ d'une serre coupe celle de $T$ aux points d'abscisses $1$ et $5$. Résous $T(x) = S(x)$ et interprète.
5. eNoé compte les carreaux et lit $T(6) = 2$. Explique son erreur, puis donne la température à 15 h.

Ex. 33★★★La fusée à eau — Lou lance une fusée à eau depuis un balcon. Sa hauteur, en mètres, au bout de $x$ secondes, est $h(x)$. Les points ci-dessous sont sur la courbe de $h$, pour $x$ compris entre $0$ et $7$. Sur l'axe des ordonnées, un carreau vaut $2$ m.

1. aLis $h(0)$, puis résous graphiquement $h(x) = 0$. Que représente chacun de ces deux résultats pour la fusée ?
2. bÀ quels instants la fusée est-elle à $12$ m de haut ? Écris l'équation que tu résous graphiquement.
3. cCombien d'antécédents ont $16$ et $17$ par $h$ ? Justifie.
4. dCombien d'antécédents le nombre $2$ a-t-il par $h$ ? Donne un encadrement de chacun entre deux entiers consécutifs.
5. eOn admet que $h(x) = -x^2 + 6x + 7$. Zoé pense que le point $E(0{,}5\,;10)$ est sur la courbe. A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.

Ex. 34★★★Une courbe à décrypter — La courbe de $f$ va de $A(-3\,;-2)$ à $D(5\,;1)$ en passant par $B(-1\,;4)$, son point le plus haut, et par $C(2\,;-5)$, son point le plus bas. Elle monte de $A$ à $B$, descend de $B$ à $C$, puis remonte jusqu'à $D$. Elle coupe l'axe des abscisses seulement en $-2{,}5$, $0{,}5$ et $4$, et la droite d'équation $y = 1$ seulement en $-2$, $0$ et $5$.

1. aDonne $f(0)$, puis toutes les solutions de l'équation $f(x) = 0$.
2. bLéo affirme : « $1$ a un seul antécédent, $5$, car $D(5\,;1)$ est sur la courbe. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cDonne le maximum et le minimum de $f$. Combien d'antécédents a le nombre $6$ ? Justifie.
4. dCombien de solutions a l'équation $f(x) = -3$ ? Et l'équation $f(x) = -2$ ? Justifie avec les points de la courbe.

Ex. 35★★★Deux cuves — La cuve A contient $120$ L et perd $8$ L par minute. La cuve B contient $20$ L et reçoit $12$ L par minute. Au bout de $x$ minutes, elles contiennent $A(x) = 120 - 8x$ et $B(x) = 20 + 12x$ litres. Sur le graphique, les courbes de $A$ et de $B$ se coupent en un point.

1. aRésous par le calcul l'équation $A(x) = B(x)$, puis donne les coordonnées du point d'intersection des deux courbes. Interprète.
2. bSur la courbe de $B$, Maé lit que l'antécédent de $60$ est « environ $3{,}3$ ». Calcule sa valeur exacte, sous forme de fraction.
3. cAu bout de combien de temps la cuve A est-elle vide ? Écris l'équation utilisée avec $A$.
4. dCalcule $A(16)$. Ce résultat a-t-il un sens pour la cuve A ? Explique.

Ex. 36★★★Automatismes : lire un maximum et un minimum — La courbe d'une fonction $f$ est tracée pour $x$ compris entre $-4$ et $4$. Elle part de $A(-4\,;-3)$, monte jusqu'à $B(-1\,;5)$, descend jusqu'à $C(1{,}5\,;1)$, remonte jusqu'à $D(3\,;5)$, puis redescend jusqu'à $E(4\,;2)$.

1. aLina regarde le point $D$ et écrit : « Le maximum de $f$ est $3$. » Corrige son erreur.
2. bPour quelles valeurs de $x$ le maximum de $f$ est-il atteint ?
3. cQuel est le minimum de $f$ ? Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
4. dLe nombre $6$ a-t-il un antécédent par $f$ ? Justifie.
5. eCombien d'antécédents le nombre $4$ a-t-il par $f$ ?

Ex. 37★★★Automatismes : le plus grand nombre du tableau n'est pas forcément le maximum — On donne $f(x) = 6x - x^2$. Paul a relevé ce tableau de valeurs :

1. aCalcule $f(-2)$.
2. bCalcule $f\left(\frac{1}{2}\right)$ et donne le résultat sous forme de fraction.
3. cLe point $M(4\,;8)$ est-il sur la courbe de $f$ ? Justifie par un calcul.
4. dLis dans le tableau deux antécédents de $5$ par $f$.
5. ePaul conclut : « Le maximum de $f$ est $8$, le plus grand nombre de mon tableau. » Vrai ou faux ? Justifie par un calcul.

Ex. 38★★★Deux tarifs de location de vélo — Pour louer un vélo pendant $x$ heures, le tarif A coûte $f(x) = 3x + 12$ euros et le tarif B coûte $g(x) = 5x + 4$ euros. On a tracé les courbes de $f$ et de $g$ : elles se coupent en un seul point.

1. aEmma affirme : « La solution de $f(x) = g(x)$ est $12$, car la courbe de $f$ coupe l'axe des ordonnées en $12$. » Explique son erreur.
2. bRésous l'équation $f(x) = g(x)$ par le calcul.
3. cQuel prix paie-t-on alors avec chacun des deux tarifs ?
4. dNoé loue un vélo pendant $6$ heures. Calcule $f(6)$ et $g(6)$. Quelle courbe est au-dessus de l'autre pour $x = 6$ ? Quel tarif doit-il choisir ?

Ex. 39★★★Une courbe et une droite — La fonction $f : x \longmapsto x^2 - 4x + 6$ est représentée pour $x$ compris entre $0$ et $5$. Sa courbe passe par les points ci-dessous, et son point le plus bas est l'un d'eux. On trace aussi la droite qui représente $g : x \longmapsto x + 2$.

1. aLis le minimum de $f$. Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
2. bLis $f(1)$ et $f(4)$ sur le nuage, puis calcule $g(1)$ et $g(4)$.
3. cDéduis-en deux solutions de l'équation $f(x) = g(x)$. Vérifie-les avec la formule de $f$.
4. dLe point $P(3\,;5)$ est-il sur la courbe de $f$ ? Est-il sur la droite de $g$ ? Justifie par des calculs.

Ex. 40★★★La balle de Yanis — Yanis lance une balle vers le haut. Sa hauteur, en mètres, au bout de $t$ secondes est $h(t) = -5t^2 + 15t + 2$. Il a relevé ce tableau :

1. aInès lit le tableau et affirme : « La hauteur maximale de la balle est $12$ m. » Calcule $h(1{,}5)$, puis explique son erreur.
2. bTom écrit : « Le maximum de la fonction $h$ est $1{,}5$. » Corrige sa phrase.
3. cDéveloppe $5t(3 - t)$, puis résous l'équation $h(t) = 2$. La balle est-elle à $2$ m du sol à d'autres instants que ceux du tableau ?
4. dUn drone est immobile à $12$ m. Lis dans le tableau les abscisses des points où la droite d'équation $y = 12$ coupe la courbe de $h$. Pour $t = 2{,}5$, laquelle est au-dessus ? Justifie.

Ex. 41★★★Une courbe, une droite, trois points communs — La courbe de $f$, tracée pour $x$ compris entre $-4$ et $4$, part de $A(-4\,;0)$, monte jusqu'à $B(-2\,;3)$, descend jusqu'à $C(0\,;-1)$, monte jusqu'à $D(3\,;4)$ puis descend jusqu'à $E(4\,;-2)$. La droite qui représente $g : x \longmapsto x - 1$ coupe cette courbe en trois points exactement, d'ordonnées $-1$, $1{,}5$ et $2{,}5$.

1. aDonne le maximum de $f$ et toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles il est atteint.
2. bSacha affirme : « Le minimum de $f$ est $-1$, atteint au point $C$. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cCalcule l'abscisse de chacun des trois points d'intersection. Déduis-en les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$.
4. dPour $x = -2$, puis pour $x = 4$, laquelle des deux courbes est au-dessus de l'autre ? Compare $f(x)$ et $g(x)$ dans chaque cas.

Ex. 42★★★Dans la serre, il fait plus chaud ? — Dans une serre, la température (en °C) $h$ heures après 8 h est $T(h) = -0{,}5h^2 + 4h + 2$, pour $h$ compris entre $0$ et $8$. La courbe de $T$ passe par ces points ; on admet que son point le plus haut est l'un d'eux. Dehors, la température est $E(h) = h + 2$.

1. aLis le maximum de $T$. À quelle heure de la journée est-il atteint ?
2. bLis le minimum de $T$. Pour quelles valeurs de $h$ est-il atteint ?
3. cLes courbes de $T$ et de $E$ se coupent en deux points. Trouve leurs abscisses avec le nuage, en calculant des valeurs de $E$. À quelles heures fait-il la même température dedans et dehors ?
4. dLa colonne A d'un tableur contient les valeurs de $h$, à partir de la cellule A2. Écris la formule à saisir en B2 pour obtenir $T(h)$, puis à recopier vers le bas.
5. ePour $h = 7$, laquelle des deux courbes est au-dessus de l'autre ? Où fait-il le plus chaud à 15 h ?

Ex. 43★★★Automatismes : deux tarifs au tableur — Au cinéma, la formule A coûte 3 € de carte plus 6 € par entrée. La formule B coûte 21 € d'abonnement plus 3 € par entrée. Dans un tableur, le nombre d'entrées est écrit dans les cellules B1 à E1. La ligne 2 donne le prix avec A, la ligne 3 le prix avec B.

1. aÉcris la formule à saisir en B2 pour le prix avec la formule A.
2. bÉcris la formule à saisir en B3 pour le prix avec la formule B.
3. cLa cellule B1 contient 4. Quelle valeur s'affiche en B3 ?
4. dCalcule le prix de 10 entrées avec la formule A. Donne l'unité.
5. ePour quel nombre d'entrées les deux formules coûtent-elles autant ? Donne ce prix.

Ex. 44★★★Automatismes : vrai ou faux sur un tableau — Voici un tableau de valeurs d'une fonction $k$. Pour chaque affirmation, réponds vrai ou faux et justifie.

1. a« L'image de 5 par $k$ est $-3$. »
2. b« Le tableau montre que l'antécédent de 0 est $-4$. »
3. c« 1 n'a aucun antécédent par $k$, car 1 n'est pas sur la deuxième ligne. »
4. d« La formule $k(x) = x^2 - 4$ correspond à ce tableau. »
5. e« Le point $(2\,;0)$ est sur la courbe représentative de $k$. »

Ex. 45★★★Deux programmes de calcul — Programme A : choisis un nombre ; ajoute 5 ; élève le résultat au carré ; soustrais le carré du nombre de départ.
Programme B : choisis un nombre ; multiplie-le par 3 ; ajoute 10.
On note $f(x)$ le résultat du programme A et $g(x)$ celui du programme B.

1. aApplique le programme A au nombre $-7$.
2. bMontre que $f(x) = 10x + 25$.
3. cQuel nombre faut-il choisir pour que le programme A donne 0 ?
4. dQuel nombre faut-il choisir pour que les deux programmes donnent le même résultat ? Donne ce résultat sous forme de fraction.

Ex. 46★★★La hauteur d'une balle — Léna lance une balle. Sa hauteur, en mètres, au bout de $t$ secondes est $h(t) = 6t - t^2$. La courbe de $h$ passe par les points ci-dessous (temps en s, hauteur en m).

1. aLis la hauteur de la balle au bout de 2 s.
2. bLis la hauteur maximale de la balle et l'instant où elle est atteinte.
3. cLis les instants où la balle est à 5 m de hauteur.
4. dVérifie par le calcul ta lecture de la hauteur maximale.
5. eLe point $(4{,}5\,;6{,}75)$ est-il sur la courbe de $h$ ? Justifie par un calcul.

Ex. 47★★★L'enclos de Gaspard — Gaspard a 20 m de grillage pour un enclos rectangulaire contre un mur (le mur forme un côté, sans grillage). Pour une largeur de $x$ m, l'aire de l'enclos, en m², est $A(x) = x(20 - 2x)$. Dans un tableur, il écrit les largeurs 2, 4, 5, 6 et 8 dans les cellules B1 à F1.

1. aCalcule $A(3)$. Donne le résultat avec son unité.
2. bÉcris la formule à saisir dans la cellule B2, puis à recopier vers la droite, pour calculer l'aire.
3. cQuelle valeur le tableur affiche-t-il dans la cellule F2 ? Justifie par un calcul.
4. dVrai ou faux ? « Par $A$, le nombre 0 a un seul antécédent : 0. » Justifie.
5. eVrai ou faux ? « Parmi les largeurs du tableur, la plus grande aire est 48 m², obtenue pour 4 m et pour 6 m. » Justifie.

Ex. 48★★★La température dans une serre — Dans une serre, Nadia relève la température, en °C, $x$ heures après 8 h. Elle la modélise par la fonction $T(x) = 8x - x^2 + 2$. La courbe de $T$ passe par les points ci-dessous (en abscisse : heures après 8 h ; en ordonnée : température en °C).

1. aLis sur le graphique la température dans la serre à 11 h.
2. bLis sur le graphique les antécédents de 14 par $T$. Donne les heures qui leur correspondent.
3. cLis sur le graphique la température maximale et l'heure à laquelle elle est atteinte.
4. dVérifie par le calcul tes lectures de la question 2.
5. eNadia affirme : « Il fait 2 °C à 8 h et à 16 h, donc les antécédents de 2 par $T$ sont 8 et 16. » Corrige son erreur.

Ex. 49★★★Le défi de Yanis — Programme A : choisis un nombre ; ajoute 3 ; élève le résultat au carré. Programme B : choisis un nombre ; élève-le au carré ; ajoute 15. On note $x$ le nombre de départ, $f(x)$ le résultat du programme A et $g(x)$ celui du programme B.

1. aApplique le programme A au nombre $-8$.
2. bÉcris $f(x)$ et $g(x)$ en fonction de $x$.
3. cTrouve tous les antécédents de 49 par $f$.
4. dYanis affirme : « Le nombre 10 a un antécédent par $g$. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eQuel nombre de départ faut-il choisir pour que les deux programmes donnent le même résultat ? Justifie par un calcul.