2nde / Fonctions

Ex. 1★★★Images et antécédents par le calcul — On donne $f(x) = x^2 + 2x - 7$ et $g(x) = 4x - 9$.

1. aCalcule l'image de $0{,}5$ par $f$.
2. bTom écrit : « $f(-3) = -3^2 + 2 \times (-3) - 7 = -22$ ». Trouve son erreur et calcule $f(-3)$.
3. cCalcule l'image de $2$ par $g$.
4. dCalcule l'antécédent de $2$ par $g$.
5. eDétermine l'antécédent de $7$ par $g$.

Ex. 2★★★Lire un tableau de valeurs — Voici un tableau de valeurs d'une fonction $h$.

1. aDonne l'image de $2$ par $h$.
2. bDonne un antécédent de $2$ par $h$ lu dans le tableau.
3. cDonne tous les antécédents de $4$ lus dans le tableau.
4. dLou dit : « $3$ n'apparaît pas sur la deuxième ligne, donc $3$ n'a aucun antécédent par $h$. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eVrai ou faux : la formule $h(x) = x + 1$ convient pour ce tableau. Justifie.

Ex. 3★★★Un programme de calcul et sa courbe — Programme : choisir un nombre ; l'élever au carré ; soustraire le triple du nombre de départ ; ajouter $2$. On note $f(x)$ le résultat obtenu avec le nombre $x$, et $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$.

1. aApplique le programme au nombre $-3$.
2. bExprime $f(x)$ en fonction de $x$.
3. cLe point $A(-2\,;12)$ appartient-il à $\mathcal{C}_f$ ? Justifie par un calcul.
4. dLe point $B(4\,;5)$ appartient-il à $\mathcal{C}_f$ ? Justifie par un calcul.
5. eMontre que $1$ et $2$ sont deux antécédents de $0$ par $f$.

Ex. 4★★★La hauteur d'un ballon — Inès lance un ballon. Le nuage donne sa hauteur (en m) toutes les secondes, de $t = 0$ à $t = 6$. La hauteur est donnée par $h(t) = -0{,}8t^2 + 5t + 1{,}5$.

1. aLis sur le nuage une valeur approchée de la hauteur au bout de $1$ s.
2. bD'après le nuage, à quels instants mesurés le ballon est-il à plus de $8$ m ?
3. cCalcule la valeur exacte de $h(1)$ et compare-la à ta lecture.
4. dNina dit : « Le point $(5\,;6{,}5)$ montre que $5$ est l'image de $6{,}5$. » Corrige sa phrase et vérifie ce point par le calcul.

Ex. 5★★★Un tableau, une formule et trois affirmations — Voici un tableau de valeurs d'une fonction $p$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. aNoé affirme : « $p(0) = -3$, donc l'antécédent de $0$ est $-3$. » A-t-il raison ? Justifie en lisant le tableau.
2. bLéa propose la formule $p(x) = x - 3$, car « elle marche pour $x = 0$ et $x = 3$ ». Cette formule convient-elle au tableau ? Justifie.
3. cOn admet que $p(x) = x^2 - 2x - 3$. Vérifie par un calcul détaillé que cette formule redonne la colonne $x = -2$.
4. dHugo affirme : « $12$ n'est pas sur la deuxième ligne, donc $12$ n'a pas d'antécédent par $p$. » Calcule $p(-3)$ et $p(5)$, puis conclus.
5. eMontre que $p(x) - 5 = (x - 4)(x + 2)$, puis détermine tous les antécédents de $5$ par $p$.

Ex. 6★★★Du programme de calcul aux points de la courbe — Programme : choisir un nombre ; calculer $3$ moins le double de ce nombre ; multiplier le résultat par le nombre de départ ; ajouter $4$. On note $g(x)$ le résultat obtenu avec le nombre $x$, et $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de $g$.

1. aExprime $g(x)$ en fonction de $x$, puis montre que $g(x) = -2x^2 + 3x + 4$.
2. bLe point $A(-2\,;-10)$ appartient-il à $\mathcal{C}_g$ ? Justifie par un calcul.
3. cSami affirme : « Comme $A$ est sur $\mathcal{C}_g$, le point $B(-10\,;-2)$ l'est aussi. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
4. dDétermine les coordonnées des points de $\mathcal{C}_g$ d'ordonnée $4$. Indice : pars de l'expression de $g(x)$ tirée du programme.

Ex. 7★★★Le bénéfice d'une céramiste — Maëlle fabrique $x$ dizaines de bols par mois, avec $x \in [0\,;12]$. Son bénéfice, en centaines d'euros, est $B(x) = -x^2 + 14x - 24$. Le nuage donne $B(x)$ pour $x$ entier de $0$ à $12$.

1. aLis sur le nuage une valeur approchée de $B(3)$, puis calcule $B(3)$ et interprète le résultat.
2. bZoé lit sur le nuage : « Le seul antécédent de $16$ est $4$. » A-t-elle raison ? Justifie par une lecture, puis par un calcul.
3. cLe nuage ne permet pas de lire les antécédents de $12{,}75$. Montre que $B(x) - 12{,}75 = -(x - 3{,}5)(x - 10{,}5)$.
4. dDéduis-en par le calcul les antécédents de $12{,}75$ par $B$, puis interprète-les dans la situation.
5. eYanis calcule $B(15) = -39$ pour prévoir le bénéfice de $150$ bols. Vérifie son calcul, puis explique pourquoi ce résultat n'a pas de sens ici.

Ex. 8★★★Images et antécédents par le calcul — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 5$.

1. aCalcule l'image de $-3$ par $f$.
2. bCalcule $f(0{,}5)$.
3. cDétermine tous les antécédents de $11$ par $f$.
4. dDétermine les antécédents de $-5$ par $f$.
5. eLe nombre $-9$ a-t-il des antécédents par $f$ ? Justifie.

Ex. 9★★★Le point est-il sur la courbe ? — Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $h(x) = \frac{6}{x - 2}$. On note $\mathcal{C}_h$ sa courbe représentative.

1. aLes points $A(5\,;2)$ et $B(-1\,;-3)$ appartiennent-ils à $\mathcal{C}_h$ ? Justifie par un calcul.
2. bExplique pourquoi aucun point de $\mathcal{C}_h$ n'a pour abscisse $2$.
3. cCalcule l'ordonnée du point de $\mathcal{C}_h$ d'abscisse $8$.
4. dDonne les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}_h$ avec l'axe des ordonnées.
5. e$\mathcal{C}_h$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Justifie.
6. fLina voit le point $D(4\,;2{,}9)$ sur la courbe affichée par sa calculatrice. A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.
7. gVrai ou faux ? Un cercle peut être la courbe représentative d'une fonction. Justifie.

Ex. 10★★★Corriger des erreurs sur les antécédents — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x^2 + 5x$.

1. aNoah écrit : « $3x^2 + 5x = 0$, je divise par $x$ : $3x + 5 = 0$.
   Donc $0$ a un seul antécédent. » Repère son erreur, puis donne tous les antécédents de $0$.
2. bPour trouver les antécédents de $2$, Inès calcule $f(2) = 22$. Explique son erreur. Que signifie vraiment $f(2) = 22$ ?
3. cOn admet que $3x^2 + 5x - 2 = (3x - 1)(x + 2)$. Détermine tous les antécédents de $2$ par $f$.
4. dVrai ou faux ? « Le nombre $-1$ a deux images par $f$ : $-2$ et $-8$. » Justifie par un calcul.

Ex. 11★★★La hauteur d'un ballon — Chloé lance un ballon depuis le sol. Sa hauteur en mètres, $t$ secondes après le lancer, est $h(t) = -5t^2 + 15t$ pour $t \in [0\,;3]$. On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$.

1. aCalcule la hauteur du ballon au bout de $0{,}5$ seconde.
2. bLe point $A(4\,;-20)$ appartient-il à $\mathcal{C}_h$ ? Justifie.
3. cDétermine les points d'intersection de $\mathcal{C}_h$ avec l'axe des abscisses. Interprète-les.
4. dOn admet que $-5t^2 + 15t - 10 = -5(t - 1)(t - 2)$. À quels instants le ballon est-il à $10$ m de hauteur ?

Ex. 12★★★Combien d'antécédents ? — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x + 1)^2 - 9$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

1. aMontre que, pour tout réel $x$, $f(x) = x^2 + 2x - 8$.
2. bDonne les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des ordonnées.
3. cDétermine les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses.
4. dMia affirme : « $f(4) = 16$, donc $4$ est l'antécédent de $16$ par $f$. » Corrige sa phrase en donnant tous les antécédents de $16$.
5. eLe nombre $-10$ a-t-il des antécédents par $f$ ? Justifie. Puis, selon la valeur du réel $k$, donne le nombre d'antécédents de $k$.

Ex. 13★★★Points sur la courbe, points trompeurs — Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ par $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$. On note $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative.

1. aPaul affirme : « $A(3\,;7)$ appartient à $\mathcal{C}_g$, car $2 \times 3 + 1 = 7$ ». Explique ses deux erreurs.
2. bUne calculatrice affiche $g(6) \approx 4{,}33$. Le point $C(6\,;4{,}33)$ appartient-il à $\mathcal{C}_g$ ? Justifie par un calcul exact.
3. cLe point $P(-2\,;b)$ appartient à $\mathcal{C}_g$. Calcule $b$. Un autre point de $\mathcal{C}_g$ a-t-il pour ordonnée $b$ ? Justifie.
4. dDétermine, s'ils existent, les points de $\mathcal{C}_g$ d'ordonnée $3$, puis ceux d'ordonnée $2$.
5. eHugo affirme : « la droite d'équation $x = 1$ coupe $\mathcal{C}_g$ en deux points ». Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 14★★★Le bénéfice d'une fromagerie — Une fromagerie produit $x$ tonnes de fromage par mois, avec $x \in [0\,;10]$. Son bénéfice, en milliers d'euros, est $B(x) = -2x^2 + 16x - 24$.

1. aCalcule $B(0)$ et interprète-le. Quelle autre production donne le même bénéfice ? Justifie.
2. bOn admet que $B(x) = -2(x - 2)(x - 6)$. Pour quelles productions le bénéfice est-il nul ?
3. cOn admet aussi que $B(x) = -2(x - 4)^2 + 8$. Le bénéfice peut-il atteindre $10\,000$ € ? Et $8\,000$ € ? Justifie.
4. dPour quelles productions la fromagerie perd-elle $64\,000$ € ?

Ex. 15★★★Automatismes : quotients et polynômes — Pour chaque fonction, cherche les valeurs interdites s'il y en a, puis écris son ensemble de définition.

1. a$f(x) = \frac{7}{x+6}$ : donne la valeur interdite, puis écris $D_f$.
2. b$g(x) = \frac{x}{2x-10}$ : écris $D_g$ de deux façons, avec $\setminus$ puis avec des intervalles.
3. c$h(x) = \frac{3x+1}{x^2-4}$ : combien y a-t-il de valeurs interdites ? Donne $D_h$.
4. d$k(x) = \frac{5}{x^2+1}$ : $k$ a-t-elle une valeur interdite ? Justifie, puis donne $D_k$.
5. e$p(x) = 2x^3 - 5x^2 + 8$ : donne $D_p$.
6. f$q(x) = \frac{1}{x(x+3)}$ : donne les valeurs interdites, puis $D_q$.

Ex. 16★★★Automatismes : avec une racine carrée — Écris la condition à respecter, résous-la, puis réponds.

1. aDonne l'ensemble de définition de $f(x) = \sqrt{x+5}$.
2. bDonne l'ensemble de définition de $g(x) = \sqrt{6-2x}$.
3. c$h(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}}$ : la borne $1$ appartient-elle à $D_h$ ? Justifie, puis donne $D_h$.
4. dQuel est le plus petit nombre qui a une image par $k(x) = \sqrt{2x-7}$ ? Donne ensuite $D_k$.
5. ePour $m(x) = \frac{4}{\sqrt{10-5x}}$, le nombre $2$ a-t-il une image ? Justifie, puis donne $D_m$.
6. fLe nombre $-3$ appartient-il à l'ensemble de définition de $r(x) = \sqrt{1-x}$ ? Justifie par un calcul.

Ex. 17★★★Repère l'erreur — Chaque élève donne un ensemble de définition. Vrai ou faux ? Justifie, et corrige si besoin.

1. aLina : pour $f(x) = \frac{x^2-25}{x+5}$, « $f(x) = x - 5$, donc $D_f = \mathbb{R}$ ».
2. bHugo : pour $g(x) = \sqrt{x+8}$, « $D_g = ]-8\,;+\infty]$ ».
3. cMaëlle : pour $h(x) = \frac{2}{\sqrt{x+4}}$, « $D_h = [-4\,;+\infty[$ ».
4. dNoé : pour $k(x) = \frac{4}{x^2-36}$, « $D_k = ]-\infty\,;-6[\,\cup\,]-6\,;6[\,\cup\,]6\,;+\infty[$ ».

Ex. 18★★★Réunir les conditions, penser à la situation — Dans chaque question, écris toutes les conditions avant de conclure.

1. a$f(x) = \sqrt{x+2} + \frac{1}{x}$ : écris les deux conditions, puis donne $D_f$ avec des intervalles.
2. b$g(x) = \frac{3}{x-4} + \sqrt{10-2x}$ : écris les deux conditions, puis donne $D_g$ avec des intervalles.
3. cJade lance un ballon depuis le sol. Sa hauteur, en m, après $x$ secondes est $h(x) = -5x^2 + 20x$, jusqu'à ce qu'il retombe. Résous $h(x) = 0$, puis donne l'ensemble de définition adapté à la situation.
4. dRayan découpe un carré de côté $x$ cm à chaque coin d'un carton de $30$ cm sur $20$ cm pour faire une boîte sans couvercle. Quelles valeurs $x$ peut-il prendre ? Justifie.

Ex. 19★★★Racine, quotient : le sens des inégalités — On considère $g(x) = \sqrt{8 - 2x}$, $h(x) = \frac{3}{\sqrt{8 - 2x}}$ et $k(x) = \sqrt{8 - 2x} + \frac{5}{x^2 - 49}$.

1. aÉcris la condition pour que $g(x)$ existe. Résous-la en justifiant chaque étape, puis donne $D_g$.
2. bExplique pourquoi $D_h$ n'est pas égal à $D_g$, puis donne $D_h$.
3. cÉcris toutes les conditions pour que $k(x)$ existe, résous-les, puis donne $D_k$ avec des intervalles.
4. dLe nombre $4$ a-t-il une image par $h$ ? Et par $k$ ? Justifie, puis calcule l'image quand elle existe.

Ex. 20★★★Problème : le coût moyen d'un atelier — Un atelier fabrique $x$ centaines de lampes par jour, avec $0 \leqslant x \leqslant 10$. Le coût total, en centaines d'euros, est $C(x) = x^2 + 2x + 16$. Le coût moyen d'une centaine de lampes est $M(x) = \frac{x^2 + 2x + 16}{x}$, en centaines d'euros.

1. aSur quel ensemble la formule $x^2 + 2x + 16$ est-elle définie ? Quel est l'ensemble de définition de $C$ dans cette situation ? Justifie.
2. bDonne l'ensemble de définition de $M$ dans cette situation. Justifie chaque crochet.
3. cCalcule $M(4)$ et $M(10)$. Interprète $M(4)$ par une phrase, en euros par lampe.
4. dMontre que, pour tout $x$ de $D_M$, $M(x) - 10 = \frac{(x - 4)^2}{x}$.
5. eDéduis-en le coût moyen minimum et la production correspondante. Où utilises-tu $x > 0$ ?

Ex. 21★★★Simplifier n'efface pas une valeur interdite — On pose $p(x) = \frac{3x - 6}{x^2 + 2x + 2}$, $q(x) = \frac{x + 4}{x^2 - 16}$ et $r(x) = \frac{1}{x - 4}$. On note $\mathcal{C}_q$ la courbe représentative de $q$.

1. aVérifie que $x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1$. Déduis-en que le dénominateur de $p$ ne s'annule jamais, puis donne $D_p$.
2. bDétermine les valeurs interdites de $q$, puis donne $D_q$.
3. cFactorise $x^2 - 16$, puis montre que $q(x) = r(x)$ pour tout $x$ de $D_q$.
4. dLe point $A(-4\,;-0{,}125)$ appartient-il à $\mathcal{C}_q$ ? Et le point $B(5\,;1)$ ? Justifie par un calcul.
5. eInès affirme : « $q$ et $r$ sont la même fonction. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 22★★★Lire les solutions de f(x) = k et f(x) < k — La fonction $f$ est définie sur $[-3\,;5]$ :

Ex. 23★★★Vrai ou faux : deux courbes qui se coupent — Les fonctions $f$ et $g$ sont définies sur $[-4\,;4]$. $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent en deux points seulement : $A(-2\,;5)$ et $B(3\,;0)$. $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $]-2\,;3[$ et au-dessous sur le reste de l'intervalle. $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $-3$ et $3$. Vrai ou faux ? Justifie.

1. a« Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont $5$ et $0$. »
2. b« Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont $-3$ et $3$. »
3. c« L'ensemble des solutions de $f(x) < g(x)$ est $]-2\,;3[$. »
4. d« L'ensemble des solutions de $f(x) \geqslant g(x)$ est $[-2\,;3]$. »
5. e« $0$ est solution de $f(x) < g(x)$. »

Ex. 24★★★Confirmer par le calcul ce que montre l'écran — Sur $[-3\,;5]$, on pose $f(x) = x^2 - 2x - 3$ et $g(x) = x + 1$. Sur l'écran de sa calculatrice, Lina voit $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se couper en deux points, d'abscisses environ $-1$ et $4$. Entre ces deux points, $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$.

1. aCalcule $f(4)$ et $g(4)$. Que peux-tu en déduire pour $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ?
2. bDémontre que $f(x) - g(x) = (x + 1)(x - 4)$.
3. cRésous $f(x) = g(x)$ par le calcul.
4. dDonne l'ensemble des solutions de $f(x) < g(x)$ sur $[-3\,;5]$, puis vérifie avec $x = 0$.

Ex. 25★★★Température sur une journée — La fonction $T$ donne la température (en °C) à Ambert en fonction de l'heure $x$, pour $x \in [0\,;24]$ :

1. aCombien de solutions l'équation $T(x) = 12$ a-t-elle sur $[0\,;24]$ ? Justifie avec le tableau.
2. bMême question pour l'équation $T(x) = 8$.
3. cRésous $T(x) \geqslant 18$. Interprète le résultat.
4. dBen lit sur l'écran de sa calculatrice que $T(x) = 15$ pour $x \approx 7$ et $x \approx 19$. Donne les heures où il fait au moins 15 °C. Pourquoi ta réponse est-elle approchée ?

Ex. 26★★★Hauteur d'un ballon — Sur la plage, Noah lance un ballon verticalement depuis le sol. Sa hauteur (en m) après $t$ secondes est $h(t) = -5t^2 + 20t$, pour $t \in [0\,;4]$. Voici son tableau de variations :

1. aDémontre que $h(t) - 15 = -5(t - 1)(t - 3)$ pour tout $t \in [0\,;4]$.
2. bRésous par le calcul l'équation $h(t) = 15$, puis interprète le résultat dans la situation.
3. cÀ l'aide du tableau de variations, résous $h(t) \geqslant 15$. Pendant combien de secondes le ballon est-il à 15 m ou plus ?
4. dRésous $h(t) < 15$. Justifie le choix du crochet aux bornes $0$ et $4$.
5. eRésous l'équation $h(t) = 20$, puis l'inéquation $h(t) > 20$.

Ex. 27★★★Lecture approchée, solution exacte — Sur $[0\,;4]$, on pose $f(x) = 3x^2 - 8x + 4$ et $g(x) = 2x + 1$. Sur l'écran de sa calculatrice, Yanis voit $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se couper en deux points, d'abscisses environ $0{,}3$ et $3$.

1. aCalcule $f(0{,}3)$ et $g(0{,}3)$. Le nombre $0{,}3$ est-il une solution exacte de $f(x) = g(x)$ ? Justifie.
2. bDémontre que $f(x) - g(x) = (3x - 1)(x - 3)$.
3. cRésous par le calcul l'équation $f(x) = g(x)$ sur $[0\,;4]$.
4. dPour résoudre $f(x) = g(x)$, Inès résout $f(x) = 0$ et trouve $\frac{2}{3}$ et $2$. Vérifie que ce sont des zéros de $f$, puis explique son erreur.
5. eCalcule $f(1)$ et $g(1)$. Déduis-en la position des courbes, puis résous $f(x) < g(x)$.

Ex. 28★★★Tout lire sur un tableau de variations — La fonction $f$ est définie sur $[-4\,;5]$ par son tableau de variations :

1. aCombien de solutions l'équation $f(x) = 3$ a-t-elle sur $[-4\,;5]$ ? Justifie avec le tableau.
2. bPour l'équation $f(x) = 1$, Tom écrit $S = \{1\}$. Corrige son erreur.
3. cRésous l'inéquation $f(x) < 1$. Justifie avec les variations de $f$.
4. dRésous $f(x) \geqslant 1$, puis $f(x) > 1$. Explique pourquoi la borne $5$ change de statut.
5. eJustifie que l'équation $f(x) = 0$ a exactement deux solutions sur $[-4\,;5]$.

Ex. 29★★★Lire un tableau de variations — Une fonction $f$ définie sur $[-2\,;7]$ a le tableau de variations suivant. Sur chaque flèche, $f$ est strictement monotone.

1. aSur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?
2. bQuel est le minimum de $f$ sur $[-2\,;7]$ ? En quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
3. cQuel est le maximum de $f$ sur $[-2\,;7]$ ?
4. dTom lit : « $f$ est croissante sur $[-5\,;1]$ ». Repère son erreur et corrige-la.
5. eEncadre $f(x)$ pour $x \in [3\,;7]$.
6. fEncadre $f(x)$ pour $x \in [-2\,;3]$.
7. gCombien de solutions l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle sur $[-2\,;7]$ ?
8. hCombien de solutions l'équation $f(x) = 2$ a-t-elle sur $[-2\,;7]$ ?

Ex. 30★★★Comparer deux images sans calcul — On rappelle : $x \mapsto x^2$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$ ; $x \mapsto \frac{1}{x}$ est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ ; $x \mapsto mx + p$ est croissante si $m > 0$, décroissante si $m < 0$. Réponds sans calculer les images.

1. aCompare $(-2{,}7)^2$ et $(-3{,}1)^2$.
2. bCompare $\dfrac{1}{0{,}7}$ et $\dfrac{1}{0{,}9}$.
3. cSoit $g(x) = -4x + 1$. Range dans l'ordre croissant $g(2{,}53)$, $g(2{,}35)$ et $g(-1{,}6)$.
4. dComplète par $<$ ou $>$ sans calculer : $\frac{1}{-4{,}5} \ldots \frac{1}{-3{,}8}$.
5. eCompare $(-1{,}2)^2$ et $0{,}9^2$.

Ex. 31★★★Température sur une journée — Lou relève la température $T(h)$, en °C, à l'heure $h$, entre 6 h et 22 h. La température monte de 6 h à 15 h, puis descend de 15 h à 22 h. On a $T(6) = 4$, $T(15) = 17$ et $T(22) = 9$.

1. aDresse le tableau de variations de $T$ sur $[6\,;22]$.
2. bQuelle est la température maximale ? À quelle heure est-elle atteinte ?
3. cEncadre $T(h)$ pour $h \in [15\,;22]$.
4. dCombien de fois la température vaut-elle exactement 12 °C entre 6 h et 22 h ? Justifie.
5. ePeut-on comparer $T(10)$ et $T(20)$ à l'aide du tableau ? Justifie.

Ex. 32★★★Vrai ou faux sur le sens de variation — On rappelle : la fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$ est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$.

1. aSoit $u(x) = x^2 - 3x + 1$ sur $[0\,;5]$. Kenza calcule $u(0) = 1$, $u(4) = 5$ et $u(5) = 11$, puis conclut : « $u$ est croissante sur $[0\,;5]$ ». Vrai ou faux ? Justifie.
2. b« Si $f(1) < f(2)$, alors $f$ ne peut pas être décroissante sur $[0\,;3]$. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. c« Une fonction constante sur $[1\,;4]$ est croissante sur $[1\,;4]$. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dDresse le tableau de variations de la fonction inverse sur $[-2\,;0[ \cup ]0\,;3]$.

Ex. 33★★★Démontrer un sens de variation — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 8x + 5$.

1. aMontre que, pour tous réels $a$ et $b$, $f(b) - f(a) = (b - a)(b + a - 8)$.
2. bSoit $a$ et $b$ deux réels de $[4\,;+\infty[$ avec $a < b$. Étudie le signe de $f(b) - f(a)$, puis conclus sur le sens de variation de $f$ sur $[4\,;+\infty[$.
3. cÉtudie de même le sens de variation de $f$ sur $]-\infty\,;4]$.
4. dDresse le tableau de variations de $f$ sur $[1\,;9]$.
5. ePeut-on comparer $f(3{,}3)$ et $f(4{,}7)$ à l'aide du sens de variation ? Compare-les en utilisant la question 1.

Ex. 34★★★Une valeur interdite dans le tableau — Soit $f(x) = \frac{6}{x}$ sur $D_f = [-3\,;0[ \cup ]0\,;3]$. On admet le tableau de variations ci-dessous. La double barre marque la valeur interdite $0$.

1. aMax affirme : « $f$ est décroissante sur $D_f$ et $-0{,}5 < 0{,}5$, donc $f(-0{,}5) > f(0{,}5)$ ». A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
2. bCompare $f(-2{,}5)$ et $f(-0{,}4)$ sans les calculer. Justifie.
3. cEncadre $f(x)$ pour $x \in [1\,;3]$.
4. dMontre que l'équation $f(x) = 4$ n'a aucune solution sur $[-3\,;0[$.
5. eRésous l'équation $f(x) = 4$ par le calcul sur $]0\,;3]$.

Ex. 35★★★Altitude d'un randonneur — Pendant une randonnée, Ilyes est à l'altitude $A(t)$, en mètres, $t$ heures après le départ, avec $t \in [0\,;6]$. Sur chaque flèche, $A$ est strictement monotone.

1. aNoé affirme : « Ilyes passe plus de temps à monter qu'à descendre ». Vrai ou faux ? Justifie.
2. bCompare $A(3)$ et $A(4{,}5)$ sans calcul. Justifie.
3. cEncadre $A(t)$ pour $t \in [2\,;6]$. Justifie.
4. dCombien de fois Ilyes est-il à $850$ m d'altitude ? Justifie flèche par flèche.
5. eLina affirme : « À 1 h, Ilyes est plus haut qu'à 5 h ». Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 36★★★Lire un extrémum dans un tableau de variations — Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur $[-3\,;5]$.

1. aQuel est le maximum de $f$ sur $[-3\,;5]$ ? En quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
2. bLina affirme : « Sur $[-3\,;1]$, le maximum de $f$ est $-3$. » Corrige son erreur.
3. cComplète : « Sur $[-3\,;5]$, $f$ admet un minimum égal à … , atteint en … ».
4. dEncadre $f(x)$ pour tout $x$ de $[-3\,;5]$.

Ex. 37★★★Extrémum d'une forme « carré + nombre » — On donne quatre fonctions définies sur $\mathbb{R}$ : $f(x) = (x - 4)^2 + 3$, $g(x) = 5 - (x + 2)^2$, $h(x) = -2(x - 1)^2 - 6$ et $k(x) = 3(x + 0{,}5)^2$.

1. aDonne le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ et la valeur de $x$ où il est atteint.
2. bVrai ou faux : « $g$ admet sur $\mathbb{R}$ un maximum égal à $-2$ ». Justifie.
3. cComplète : « $h$ admet sur $\mathbb{R}$ un … égal à … , atteint en … ».
4. dInès écrit : « $k(x) \geqslant -1$ pour tout $x$, donc le minimum de $k$ est $-1$. » Corrige son erreur.
5. eTraduis par une égalité et une inégalité : « $m$ admet sur $\mathbb{R}$ un maximum égal à $9$, atteint en $-1$ ».

Ex. 38★★★Le bénéfice maximal d'une entreprise — Une entreprise fabrique $x$ centaines d'objets, avec $x \in [2\,;12]$. Son bénéfice, en milliers d'euros, est $B(x) = -x^2 + 14x - 33$.

1. aDéveloppe $-(x - 7)^2 + 16$ et vérifie que tu obtiens $B(x)$.
2. bCalcule $B(7)$.
3. cDémontre que $B(x) - B(7) \leqslant 0$ pour tout $x$ de $[2\,;12]$.
4. dConclus : quel est le bénéfice maximal, et pour combien d'objets est-il atteint ?
5. eYanis remarque que $B(x) \leqslant 20$ pour tout $x$ de $[2\,;12]$. Peut-il dire que le maximum de $B$ est $20$ ? Justifie.

Ex. 39★★★L'extrémum dépend de l'intervalle — Rappel : la fonction carré $x \mapsto x^2$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$. La fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$.

1. aDonne le maximum et le minimum de la fonction carré sur $[-3\,;2]$, et dis où chacun est atteint.
2. bHugo affirme : « Sur $[-4\,;-1]$, le maximum de la fonction inverse est $-1$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cLa fonction carré admet-elle un maximum sur $]0\,;1[$ ? Justifie.
4. dKenza affirme : « Le minimum de la fonction carré est toujours $0$. » Donne le minimum de la fonction carré sur $[1\,;4]$ et corrige sa phrase.

Ex. 40★★★Démontrer un maximum, puis changer d'intervalle — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^2 + 8x - 10$.

1. aCalcule $f(4)$.
2. bMontre que, pour tout réel $x$, $f(x) - f(4) = -(x - 4)^2$.
3. cDéduis-en que $f$ admet un maximum sur $\mathbb{R}$. Donne sa valeur et la valeur de $x$ où il est atteint.
4. dSoit $a$ et $b$ deux réels avec $4 \leqslant a < b$. Montre que $f(b) - f(a) = (b - a)(8 - a - b)$, puis déduis-en que $f$ est décroissante sur $[4\,;+\infty[$.
5. eTom affirme : « Sur $[5\,;8]$, le maximum de $f$ est $6$, comme sur $\mathbb{R}$. » Corrige-le en donnant le maximum et le minimum de $f$ sur $[5\,;8]$.

Ex. 41★★★Le tableau de valeurs ne dit pas tout — Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 2x^2 - 6x + 7$. Malik a calculé ce tableau de valeurs :

1. aCalcule $g(1{,}5)$.
2. bMontre que, pour tout réel $x$, $g(x) - g(1{,}5) = 2(x - 1{,}5)^2$.
3. cDémontre que $g$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$. Donne sa valeur et la valeur de $x$ où il est atteint.
4. dL'affirmation de Malik est-elle juste ? Justifie et explique l'erreur.
5. eOn admet que $g$ est croissante sur $[2\,;4]$. Donne le minimum et le maximum de $g$ sur $[2\,;4]$, en précisant où chacun est atteint.

Ex. 42★★★L'enclos de Noa contre un mur — Noa a $40$ m de grillage pour faire un enclos rectangulaire contre un mur. Le grillage forme trois côtés : deux côtés perpendiculaires au mur, de longueur $x$ m chacun, et un côté parallèle au mur. On a $x \in ]0\,;20[$.

1. aExprime en fonction de $x$ la longueur du côté parallèle au mur, puis l'aire $A(x)$ de l'enclos, en m².
2. bVérifie que, pour tout réel $x$, $A(x) = 200 - 2(x - 10)^2$.
3. cDémontre que l'aire admet un maximum sur $]0\,;20[$. Conclus : dimensions de l'enclos et aire maximale, avec l'unité.
4. dEn fait, le mur ne mesure que $16$ m. Il faut donc $40 - 2x \leqslant 16$. Montre qu'alors $x \in [12\,;20[$.
5. eOn admet que $A$ est strictement décroissante sur $[12\,;20[$. Donne l'aire maximale dans ce cas, puis justifie que $A$ n'a pas de minimum sur cet intervalle.

Ex. 43★★★Poser le problème : variable, intervalle, grandeur — Pour chaque situation, réponds à la question posée, sans chercher d'extrémum.

1. aUn point $M$ se déplace sur un segment $[AB]$ de longueur 8 cm et on note $x = AM$. Donne l'unité et l'intervalle de $x$.
2. bUn club compte 200 adhérents à 30 € l'année. Chaque euro de baisse du prix attire 10 adhérents de plus. On note $x$ la baisse du prix, en euros. Exprime la recette $R(x)$ du club.
3. cPour ce club, dans quel intervalle varie $x$ ? Justifie.
4. dDans une feuille carrée de 14 cm de côté, on découpe un carré de côté $x$ cm à chacun des quatre coins, puis on plie pour obtenir une boîte sans couvercle. Exprime son volume $V(x)$ en fonction de $x$.
5. ePour cette boîte, dans quel intervalle varie $x$ ?
6. fUne entreprise vend $x$ objets à 12 € pièce. Le coût de production, en euros, est $C(x) = x^2 + 2x + 9$. Exprime le bénéfice $B(x)$ en fonction de $x$.

Ex. 44★★★Lire un tableau de variations : la valeur de x ou le maximum ? — Une coopérative produit chaque semaine $x$ tonnes de compote, avec $x \in [0\,;8]$. Son bénéfice, en centaines d'euros, vaut $B(x) = -x^2 + 6x - 2$. Voici le tableau de variations de $B$ :

1. aQuelle production faut-il prévoir pour obtenir le bénéfice maximal ?
2. bQuel est ce bénéfice maximal, en euros ?
3. cLéa affirme : « Plus la coopérative produit, plus son bénéfice augmente. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dQuel est le bénéfice minimal sur $[0\,;8]$, et pour quelle production est-il atteint ?
5. eLa production est maintenant limitée à l'intervalle $[4\,;8]$. Quel est alors le bénéfice maximal ? Justifie à l'aide du tableau.

Ex. 45★★★L'enclos d'Inès : périmètre fixé — Inès a 28 m de grillage pour clôturer les quatre côtés d'un enclos rectangulaire. On note $x$ la longueur d'un côté de l'enclos et $\mathcal{A}(x)$ son aire.

1. aDonne l'unité de $x$. Exprime la longueur du côté voisin en fonction de $x$, puis précise l'intervalle de $x$.
2. bMontre que $\mathcal{A}(x) = 14x - x^2$.
3. cComplète le tableau de valeurs ci-dessous, puis conjecture le maximum de $\mathcal{A}$.
   

   x	5	6	7	8	9
   A(x)

4. dMontre que $\mathcal{A}(7) - \mathcal{A}(x) = (x - 7)^2$. Quelles dimensions donnent l'aire maximale ? Quelle est cette aire ?

Ex. 46★★★Bénéfice d'un atelier : attention à l'intervalle — Un atelier fabrique chaque jour $x$ lampes, avec $x \in [0\,;10]$. Chaque lampe est vendue 40 €. Le coût de fabrication, en euros, vaut $C(x) = x^2 + 10x + 50$. On note $B(x)$ le bénéfice, en euros.

1. aCalcule le bénéfice réalisé pour 4 lampes fabriquées et vendues.
2. bExprime $B(x)$ en fonction de $x$, sous forme développée.
3. cThéo calcule $B(15) = 175$ et conclut : « Le bénéfice maximal est de 175 €. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dOn admet que $B$ est croissante sur $[0\,;10]$. Combien de lampes faut-il fabriquer pour un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice ?

Ex. 47★★★La boîte sans couvercle de Maëlys — Maëlys découpe un carré de côté $x$ à chaque coin d'une feuille carrée de 18 cm de côté. Elle replie les bords pour obtenir une boîte sans couvercle, de hauteur $x$. On note $V(x)$ le volume de la boîte.

1. aDonne l'unité de $x$ et justifie que $x \in \,]0\,;9[$. Exprime le côté du fond de la boîte, puis $V(x)$, en fonction de $x$.
2. bComplète le tableau de valeurs :

   x	1	2	3	4	5
   V(x)

   Quelle valeur de $x$ semble donner le volume maximal ?
3. cVérifie que $V(x) - 432 = 4(x - 3)^2(x - 12)$ pour tout réel $x$.
4. dDéduis-en que $V(x) \leqslant 432$ pour tout $x$ de $]0\,;9[$. Donne les dimensions de la boîte de volume maximal et ce volume.

Ex. 48★★★Le ballon filmé par un drone — Noé lance un ballon. Sa hauteur, en mètres, $t$ secondes après le lancer, vaut $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$, avec $t \in [0\,;4]$. Un drone ne filme le ballon que pendant la première seconde et demie, c'est-à-dire pour $t \in [0\,;1{,}5]$.

1. aVérifie que $h(t) = -5(t - 2)^2 + 21$ pour tout réel $t$. Déduis-en la hauteur maximale du ballon sur $[0\,;4]$ et l'instant où elle est atteinte.
2. bSoit $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \leqslant a < b \leqslant 2$. Montre que $h(b) - h(a) = 5(b - a)(4 - a - b)$, puis déduis-en le sens de variation de $h$ sur $[0\,;2]$.
3. cÉlise affirme : « Sur la vidéo, la hauteur maximale du ballon est 21 m. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dDétermine la hauteur maximale du ballon sur la vidéo et l'instant où elle est atteinte.

Ex. 49★★★Le potager de Sacha contre un mur — Sacha veut un potager rectangulaire adossé à un mur. Il dispose de 40 m de grillage pour les trois autres côtés (rien le long du mur). On note $x$ la longueur, en mètres, de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur, et $\mathcal{A}(x)$ l'aire du potager.

1. aExprime la longueur du côté parallèle au mur en fonction de $x$. Précise l'intervalle des valeurs possibles de $x$, puis exprime $\mathcal{A}(x)$.
2. bComplète le tableau de valeurs :

   x	8	9	10	11	12
   A(x)

   Ce tableau prouve-t-il que l'aire maximale vaut 200 m² ? Explique.
3. cDémontre que $200 - \mathcal{A}(x) = 2(x - 10)^2$, puis conclus sur l'aire maximale du potager.
4. dTom affirme : « Avec une longueur de grillage fixée, l'aire est maximale pour un carré. » A-t-il raison ici ? Justifie, puis donne les dimensions du potager optimal.