49 exercices en 7 parties, du plus simple au plus difficile : ★★★ facile · ★★★ moyen · ★★★ difficile. Le corrigé détaillé est sur benprofparticulier.fr.
1.Fonction carré : calculs, courbe, comparer et encadrer
À retenir : Positifs : même ordre ; négatifs : ordre inversé ($-6<-5$ donc $(-6)^2>(-5)^2$). Intervalle contenant 0 : je coupe en 0, le minimum de $x^2$ est 0. Attention : $-4^2=-16$ mais $(-4)^2=16$ ; $x^2=25$ a deux solutions, $5$ et $-5$.
Ex. 1★★★Images, antécédents et points de la parabole— $f$ est la fonction carré, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$.
aCalcule l'image de $-6$ par $f$.
bCalcule $-15^2$, puis $(-15)^2$.
cCalcule $0{,}4^2$, puis compare ce résultat à $0{,}4$.
dSachant que $13^2 = 169$, donne sans calcul l'image de $-13$ par $f$. Justifie.
eDétermine tous les antécédents de $49$ par $f$.
fLe nombre $-9$ a-t-il un antécédent par $f$ ? Justifie.
gLe point $A(-1{,}2\,;-1{,}44)$ appartient-il à la courbe représentative de $f$ ? Justifie.
Ex. 2★★★Comparer deux carrés sans calculatrice— Sans calculatrice, compare les deux nombres. Justifie avec les variations de la fonction carré.
a$4{,}15^2$ et $4{,}51^2$
b$(-6{,}3)^2$ et $(-6{,}03)^2$
c$\left(-\dfrac{7}{3}\right)^2$ et $\left(-\dfrac{9}{4}\right)^2$
d$(-1{,}9)^2$ et $2{,}1^2$
e$(-\pi)^2$ et $3{,}2^2$
Ex. 3★★★Encadrer $x^2$ à partir d'un encadrement de $x$— Sans calculatrice, réponds en justifiant avec les variations de la fonction carré.
aOn sait que $1{,}2 \leqslant x \leqslant 3$. Encadre $x^2$.
bOn sait que $-11 < x < -3$. Encadre $x^2$.
cOn sait que $-4 \leqslant x \leqslant 1$. Lina écrit : « donc $1 \leqslant x^2 \leqslant 16$ ». Corrige son erreur et donne l'encadrement correct de $x^2$.
dOn sait que $-0{,}7 \leqslant x \leqslant 0{,}5$. Encadre $x^2$.
Ex. 4★★★Démontrer la décroissance sur $]-\infty\,;0]$— Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b \leqslant 0$.
aFactorise $a^2 - b^2$.
bDétermine le signe de $a - b$, puis celui de $a + b$. Justifie.
cDéduis-en le signe de $a^2 - b^2$, puis compare $a^2$ et $b^2$.
dConclus sur le sens de variation de la fonction carré sur $]-\infty\,;0]$.
eNoé affirme : « $-8 < -7$, donc $(-8)^2 < (-7)^2$ ». A-t-il raison ? Justifie avec la question précédente.
Ex. 5★★★Vrai ou faux : la copie de Malik— Voici des affirmations écrites par Malik dans un DS. Dis si chacune est vraie ou fausse, et justifie sans calculatrice (contre-exemple ou variations de la fonction carré). Si elle est fausse, corrige-la.
a« Si $a < b$, alors $a^2 < b^2$. »
b« Deux réels qui ont le même carré sont égaux. »
c« Si $x \leqslant -3{,}5$, alors $x^2 \geqslant 12{,}25$. »
d« Pour tout réel $x$,$x^2 \geqslant x$. »
Ex. 6★★★Symétrie de la parabole et position de points— Dans un repère, $\mathcal{P}$ est la parabole qui représente la fonction carré $f : x \mapsto x^2$. Un point $M(x\,;y)$ appartient à $\mathcal{P}$ si $y = x^2$. Il est au-dessus de $\mathcal{P}$ si $y > x^2$, au-dessous si $y < x^2$.
aSoit $a$ un réel et $M(a\,;a^2)$ un point de $\mathcal{P}$. Démontre que $M'(-a\,;a^2)$ appartient aussi à $\mathcal{P}$. Déduis-en une symétrie de $\mathcal{P}$.
bLe point $B(2{,}5\,;6)$ est-il sur $\mathcal{P}$, au-dessus ou au-dessous ? Justifie.
cDéduis-en, sans nouveau calcul, la position du point $B'(-2{,}5\,;6)$ par rapport à $\mathcal{P}$.
dDeux points de $\mathcal{P}$ ont des abscisses opposées et sont distants de $3$. Détermine leurs coordonnées.
Ex. 7★★★Retrouver le côté d'une salle carrée— Une salle de danse carrée a pour côté $c$ (en m) et pour aire $A = c^2$ (en m²), avec $20{,}25 \leqslant A \leqslant 30{,}25$. Sans calculatrice, justifie avec les variations de la fonction carré.
aEncadre le côté $c$ de la salle.
bZoé affirme : « le côté de cette salle mesure forcément au moins 5 m ». A-t-elle raison ? Justifie.
cUne seconde salle carrée a un côté $d$ (en m) tel que $5{,}6 \leqslant d \leqslant 6$. Sans calculer d'aire, justifie que son aire est plus grande que celle de la première.
dOn mesure l'aire de la première salle : $A = 27{,}04$. Résous $x^2 = 27{,}04$ dans $\mathbb{R}$, puis donne le côté de la salle.
2.Résoudre x² = k, x² < k et x² > k
À retenir : J'isole $x^2$. Si $k>0$ : $x^2=k \iff x=-\sqrt{k}$ ou $x=\sqrt{k}$, et $x^2<k \iff -\sqrt{k}<x<\sqrt{k}$. Si $k=0$ : $x=0$. Si $k<0$ : $x^2=k$ n'a pas de solution. Ex. : $x^2\geqslant 16$,$S=]-\infty\,;-4]\cup[4\,;+\infty[$.
Ex. 8★★★Résoudre $x^2 = k$— Résous chaque équation. Donne les solutions sous forme exacte.
Ex. 9★★★Résoudre $x^2 < k$ et $x^2 > k$— Résous chaque inéquation. Donne l'ensemble $S$ des solutions sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.
Ex. 10★★★Corriger les erreurs d'élèves— Quatre élèves ont résolu une équation ou une inéquation. Pour chacun, dis si sa résolution est juste ou fausse, justifie, puis corrige si besoin.
aLéa : « $x^2 = 81$, donc $x = 9$. »
bNoah : « $x^2 < 121$, donc $x < 11$ et $S = ]-\infty\,;11[$. »
Ex. 11★★★Isoler $x^2$ d'abord— Pour les quatre premières questions, isole d'abord $x^2$, puis résous. Donne l'ensemble $S$ des solutions.
a$4x^2 - 1 = 8$
b$2x^2 + 7 \leqslant 7$
c$4 - x^2 > 3$
d$3x^2 + 1 < -5$
eOn trace la parabole $y = x^2$ et la droite $y = 6{,}25$. Donne les abscisses des points de la parabole strictement au-dessus de la droite, puis $S$ pour $x^2 > 6{,}25$.
Ex. 12★★★Discuter selon le signe de $k$— Soit $k$ un nombre réel. On note $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y = x^2$ et $D_k$ la droite horizontale d'équation $y = k$.
aRésous les équations $x^2 = -6$, $x^2 = 0$ et $x^2 = 7$. Donne les solutions sous forme exacte.
bDéduis-en, selon le signe de $k$, le nombre de points d'intersection de $\mathcal{P}$ et de $D_k$. Justifie.
cDétermine les valeurs de $k$ pour lesquelles l'inéquation $x^2 \leqslant k$ a exactement une solution. Justifie.
dDétermine le nombre $k$ pour lequel l'ensemble des solutions de $x^2 < k$ est $]-0{,}7\,;0{,}7[$. Justifie.
eDétermine toutes les valeurs de $k$ pour lesquelles l'ensemble des solutions de $x^2 \geqslant k$ est $\mathbb{R}$. Justifie.
Ex. 13★★★Problème : l'aire d'un cadre— Un cadre est un carré de côté $2x$ cm dont on a retiré, au centre, un carré de côté $x$ cm, avec $x > 0$. On peint tout le cadre sauf l'attache, qui occupe 2 cm² : l'aire peinte est égale à l'aire du cadre moins 2 cm².
aExprime l'aire du cadre en fonction de $x$, puis l'aire peinte.
bOn veut une aire peinte de 10 cm². Écris l'équation, résous-la dans $\mathbb{R}$, puis donne la valeur de $x$.
cOn veut une aire peinte d'au plus 73 cm². Écris l'inéquation, résous-la dans $\mathbb{R}$, puis donne les valeurs de $x$ possibles.
dOn veut une aire peinte strictement supérieure à 34 cm². Résous l'inéquation dans $\mathbb{R}$ (forme exacte), puis conclus pour $x$.
eBen veut une aire peinte comprise entre 10 cm² et 73 cm², bornes incluses. Déduis-en toutes les valeurs de $x$ possibles.
Ex. 14★★★Démontrer la résolution de $x^2 < 9$— On veut résoudre $x^2 < 9$ et $x^2 \geqslant 9$ en s'appuyant uniquement sur les variations de la fonction carré.
aRappelle le sens de variation de la fonction carré sur $[0\,;+\infty[$. En écrivant $9 = 3^2$, détermine les solutions positives de $x^2 < 9$.
bRappelle le sens de variation de la fonction carré sur $]-\infty\,;0]$. En écrivant $9 = (-3)^2$, détermine les solutions négatives de $x^2 < 9$.
cDéduis-en l'ensemble $S$ des solutions de $x^2 < 9$. Donne ensuite un contre-exemple qui montre que « $x < 3$ » ne convient pas.
dPar la même méthode, en séparant $x \geqslant 0$ et $x \leqslant 0$, résous $x^2 \geqslant 9$.
eTraduis les résultats des questions 3 et 4 à l'aide de la parabole d'équation $y = x^2$ et de la droite d'équation $y = 9$.
3.Fonction inverse : calculs, courbe, comparer et encadrer
À retenir :$\frac{1}{x}$ a le signe de $x$, et $0$ n'a pas d'image. Pour deux nombres de même signe, l'ordre s'inverse : $3 \leqslant x \leqslant 6$ donne $\frac{1}{6} \leqslant \frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{3}$. S'ils sont de signes contraires, c'est le négatif qui a le plus petit inverse.
Ex. 15★★★Images et antécédent par la fonction inverse— On note $g$ la fonction inverse, définie sur $\mathbb{R}^*$ par $g(x) = \frac{1}{x}$.
aCalcule $g(-8)$.
bInès affirme : « l'image de $\frac{2}{7}$ par $g$ est $-\frac{2}{7}$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
cSans calcul, dis si $g(0{,}04)$ est plus grand ou plus petit que $1$. Calcule-le ensuite.
dDonne le signe de $g\left(-\frac{1}{3}\right)$, puis calcule cette image.
eCalcule $g(0)$ si c'est possible. Justifie.
fDétermine l'antécédent de $1{,}6$ par $g$.
Ex. 16★★★Comparer des inverses sans calculatrice— Sans calculatrice, compare les deux nombres. Justifie avec le signe des nombres ou les variations de la fonction inverse.
a$\dfrac{1}{3{,}7}$ et $\dfrac{1}{3{,}07}$
b$\dfrac{1}{-0{,}6}$ et $\dfrac{1}{-0{,}9}$
c$\dfrac{1}{-7}$ et $\dfrac{1}{0{,}2}$
d$\dfrac{1}{\pi}$ et $0{,}25$
eRange dans l'ordre croissant : $\frac{1}{-3}$, $\frac{1}{6}$ et $\frac{1}{-1{,}5}$.
Ex. 17★★★Encadrer l'inverse d'un nombre— Dans chaque question, on donne un encadrement du réel $x$. Utilise les variations de la fonction inverse, sans calculatrice.
aOn sait que $2 \leqslant x \leqslant 12{,}5$. Encadre $\frac{1}{x}$.
bOn sait que $-20 \leqslant x \leqslant -0{,}5$. Encadre $\frac{1}{x}$.
cLou sait que $-2 \leqslant x \leqslant 3$. Il écrit : « donc $\frac{1}{3} \leqslant \frac{1}{x} \leqslant -\frac{1}{2}$ ». A-t-il raison ? Justifie.
dOn sait que $0 < x < 1$. Démontre que $\frac{1}{x} > 1$.
Ex. 18★★★Démontrer les variations de la fonction inverse— Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls.
aDémontre que $\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b - a}{ab}$.
bOn suppose $a < b < 0$. Donne le signe de $b - a$ et celui de $ab$. Déduis-en que la fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0[$.
cOn admet qu'elle est aussi strictement décroissante sur $]0\,;+\infty[$. Complète son tableau de variations :
x
-∞
0
+∞
$\frac{1}{x}$
dVrai ou faux : « la fonction inverse est strictement décroissante sur $\mathbb{R}^*$ ». Justifie.
Ex. 19★★★Vrai ou faux sur la fonction inverse— Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie avec le signe de $\frac{1}{x}$ ou les variations de la fonction inverse. Si elle est fausse, donne un contre-exemple ou corrige-la.
a« Il existe un réel $x$ tel que $\frac{1}{x} = 0$. »
b« Si $a$ et $b$ sont deux réels strictement positifs tels que $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$, alors $a > b$. »
c« Si $x < -1$, alors $-1 < \frac{1}{x} < 0$. »
d« Si $x$ est un réel non nul tel que $x < 2$, alors $\frac{1}{x} > \frac{1}{2}$. »
e« Si $a$ et $b$ sont deux réels non nuls tels que $a < b$, alors $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0$. »
Ex. 20★★★Trajet à vélo et fonction inverse— Malo parcourt $24$ km à vélo, à la vitesse constante de $v$ km/h, avec $v > 0$. La durée de son trajet, en heures, est $t(v) = \frac{24}{v} = 24 \times \frac{1}{v}$.
aCalcule $t(16)$ et $t(20)$, en heures puis en minutes.
bDémontre que plus Malo roule vite, plus son trajet est court. Utilise les variations de la fonction inverse.
cSa vitesse est comprise entre $12$ et $18$ km/h. Sans calculatrice, encadre la durée du trajet, en heures puis en minutes.
dMalo veut mettre strictement moins de $1$ h $15$ min, soit $1{,}25$ h. Résous $\frac{24}{v} < 1{,}25$ pour $v > 0$, puis conclus.
Ex. 21★★★La copie de Soraya— Soraya a rendu les réponses ci-dessous dans un contrôle sur la fonction inverse. Pour chacune, dis si elle a raison et justifie. Si elle se trompe, corrige.
a« $-0{,}4 < 2{,}5$, donc $\frac{1}{-0{,}4} > \frac{1}{2{,}5}$, car la fonction inverse est décroissante. »
b« On sait que $4 \leqslant x \leqslant 9$, donc $\frac{1}{4} \leqslant \frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{9}$. »
c« On sait que $-5 \leqslant x \leqslant -0{,}25$, donc $0{,}2 \leqslant \frac{1}{x} \leqslant 4$. »
d« Le point $A(-6{,}25\,;-0{,}16)$ est sur la courbe de la fonction inverse. Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, donc $B(6{,}25\,;-0{,}16)$ y est aussi. »
e« Le point $E(-3{,}2\,;0{,}3125)$ est sur la courbe de la fonction inverse, car $3{,}2 \times 0{,}3125 = 1$. »
4.Résoudre 1/x = k et 1/x < k
À retenir :$\frac{1}{x} = k$ : $x = \frac{1}{k}$ si $k \neq 0$, aucune solution si $k = 0$. Pour $\frac{1}{x} < k$ : j'isole $\frac{1}{x}$, je sépare $x < 0$ et $x > 0$, sans multiplier par $x$.$0 \notin S$. Ex. : $\frac{1}{x} > 10$, $S = ]0\,;0{,}1[$.
Ex. 22★★★Résoudre $\dfrac{1}{x} = k$— Résous chaque équation dans $\mathbb{R}^*$. Donne la solution sous forme exacte.
Ex. 24★★★L'erreur de Lina— Pour résoudre $\frac{1}{x} < 2$, Lina écrit : « je multiplie par $x$ : $1 < 2x$, donc $x > \frac{1}{2}$. $S = \left]\frac{1}{2}\,;+\infty\right[$. »
aCalcule $\frac{1}{x}$ pour $x = -1$. Ce nombre est-il solution de $\frac{1}{x} < 2$ ? Déduis-en que Lina se trompe.
bExplique pourquoi le passage de $\frac{1}{x} < 2$ à $1 < 2x$ n'est pas justifié.
cRésous correctement $\frac{1}{x} < 2$ en séparant les cas $x < 0$ et $x > 0$.
dMalik affirme : « $\frac{1}{x} \geqslant 2$ a pour ensemble de solutions $\left]-\infty\,;\frac{1}{2}\right]$. » Vrai ou faux ? Justifie.
Ex. 25★★★Isoler $\dfrac{1}{x}$, puis résoudre— Pour chaque équation ou inéquation, commence par isoler $\frac{1}{x}$, puis résous-la dans $\mathbb{R}^*$.
Ex. 26★★★Démontrer la règle, puis l'appliquer— Dans cet exercice, $k$ est un réel et on étudie l'inéquation $\frac{1}{x} < k$ dans $\mathbb{R}^*$. On ne multiplie jamais par $x$ sans connaître son signe.
aOn suppose $k > 0$. Explique pourquoi tout réel $x < 0$ est solution de $\frac{1}{x} < k$.
bOn suppose $k > 0$ et $x > 0$. Montre que $\frac{1}{x} - k = \frac{1 - kx}{x}$, puis déduis-en une condition sur $x$ équivalente à $\frac{1}{x} < k$.
cRésous $\dfrac{1}{x} < 0{,}625$ dans $\mathbb{R}^*$.
dOn suppose $k < 0$. Justifie qu'aucun $x > 0$ n'est solution. Pour $x < 0$, déduis de l'égalité précédente une condition sur $x$ équivalente à $\frac{1}{x} < k$.
eRésous $\dfrac{1}{x} < -\dfrac{4}{7}$ dans $\mathbb{R}^*$.
Ex. 27★★★Le tour de piste de Noé— Noé fait des tours d'une piste cyclable de $1$ km. S'il roule à la vitesse constante $v$ (en km/h, avec $v > 0$), un tour dure $t = \frac{1}{v}$ heure.
aCalcule la durée d'un tour lorsque Noé roule à $16$ km/h. Donne-la en heure, puis en minutes et secondes.
bRésous l'inéquation $\frac{1}{x} \leqslant 0{,}04$ dans $\mathbb{R}^*$.
cNoé veut boucler un tour en $0{,}04$ heure au plus. Déduis-en les vitesses qui conviennent. Explique pourquoi on ne garde qu'une partie de l'ensemble trouvé à la question précédente.
dNoé affirme qu'en roulant assez vite, il pourra faire un tour en une durée nulle. A-t-il raison ? Justifie en résolvant une équation.
eNoé fait deux tours, puis une pause de $0{,}02$ h. L'ensemble dure $0{,}12$ h, donc $\frac{2}{v} + 0{,}02 = 0{,}12$. Détermine $v$.
Ex. 28★★★Les deux branches de l'hyperbole— On note $\mathcal{H}$ l'hyperbole qui représente la fonction inverse. Voici son tableau de variations. Pour un réel $k$, on trace la droite $D_k$ d'équation $y = k$.
x
-∞
0
+∞
$\frac{1}{x}$
↘
‖
↘
aSelon le signe de $k$, combien de points d'intersection $D_k$ a-t-elle avec $\mathcal{H}$ ? Justifie à l'aide des deux branches de $\mathcal{H}$.
bPour $k = \frac{2}{3}$, donne les coordonnées du point commun à $D_k$ et $\mathcal{H}$, puis les abscisses des points de $\mathcal{H}$ strictement sous $D_k$.
cÉlise affirme : « $0$ est solution de $\frac{1}{x} \geqslant -2{,}5$, car $0 \geqslant -2{,}5$. » A-t-elle raison ? Justifie.
dRésous $\frac{1}{x} \geqslant -2{,}5$ dans $\mathbb{R}^*$. Décris les parties de $\mathcal{H}$ situées sur ou au-dessus de $D_{-2{,}5}$.
5.Fonction valeur absolue
À retenir : $|x| = x$ si $x \geqslant 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$ (alors $-x > 0$). $|x - a|$ est la distance entre $x$ et $a$. $|x| < k \iff -k < x < k$ si $k > 0$. Piège : $\sqrt{(-2)^2} = 2$, pas $-2$.
Ex. 29★★★Enlever les barres— Sans calculatrice, écris chaque nombre sans barres de valeur absolue. Simplifie la racine carrée lorsque c'est possible.
a$|-7{,}2|$
b$|4 - 9{,}6|$
c$|\pi - 4|$
d$|\sqrt{2} - 1{,}5|$
e$\sqrt{(-6)^2}$
fPour $x = -11$, écris $|x|$ sous la forme $-x$, puis calcule-le.
Ex. 30★★★Équations et inéquations avec $|x|$— Résous dans $\mathbb{R}$. Donne l'ensemble $S$ des solutions.
Ex. 31★★★Distances sur une droite graduée— Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour abscisses respectives $-4$ ; $1{,}5$ et $5$.
aCalcule la distance $AC$ à l'aide d'une valeur absolue.
bLéo affirme : « $|x + 2|$ est la distance entre $x$ et $2$. » A-t-il raison ? Justifie.
cRésous $|x - 1{,}5| = 3{,}5$. Interprète ce résultat à l'aide des points $B$ et $C$.
dRésous $|x + 2| < 3$ en interprétant $|x + 2|$ comme une distance.
Ex. 32★★★Vrai ou faux sur la valeur absolue— Vrai ou faux ? Justifie. Pour « faux », un contre-exemple suffit.
aPour tout réel $x$,$\sqrt{x^2} = x$.
bPour tous réels $a$ et $b$,$|a + b| = |a| + |b|$.
cSur $]-\infty\,;0]$, la courbe représentative de la fonction valeur absolue est la demi-droite d'équation $y = x$.
dLa fonction valeur absolue est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
eSi $-5 \leqslant x \leqslant -2$, alors $2 \leqslant |x| \leqslant 5$.
Ex. 33★★★Démontrer les variations de la valeur absolue— On étudie la fonction valeur absolue $x \mapsto |x|$, définie sur $\mathbb{R}$. Justifie chaque réponse avec soin.
aSoient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \leqslant a < b$. Écris $|a|$ et $|b|$ sans barres, puis démontre que $|a| < |b|$.
bSoient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b \leqslant 0$. Démontre que $|a| > |b|$. Déduis-en le tableau de variations de la fonction valeur absolue et son minimum.
cSans calculatrice, compare $|-3{,}4|$ et $|-2{,}9|$ en utilisant les variations de la fonction valeur absolue.
dOn sait que $-2{,}5 \leqslant x \leqslant 1{,}8$. Encadre $|x|$ le plus précisément possible.
eLa courbe de la fonction valeur absolue passe-t-elle par $A(-2{,}6\,;-2{,}6)$ ? Par $B(-2{,}6\,;2{,}6)$ ? Sur quelle demi-droite se trouve chaque point de la courbe ?
Ex. 34★★★Un robot sur une piste graduée— Une piste droite est graduée en mètres. Une borne de recharge $R$ se trouve à l'abscisse $2$ et une caméra $C$ à l'abscisse $-1$. Un robot se trouve à l'abscisse $x$.
aÉcris, avec une valeur absolue, la distance $d_1$ entre le robot et la borne, puis la distance $d_2$ entre le robot et la caméra.
bLe robot est à l'abscisse $x = -3{,}5$. Calcule $d_1$ et $d_2$, en écrivant les résultats sans barres.
cLa borne détecte le robot quand $d_1 < 4$. Trouve l'ensemble $S$ des abscisses $x$ pour lesquelles le robot est détecté.
dTrouve l'abscisse $x$ pour laquelle le robot est à égale distance de la borne et de la caméra.
eTom écrit : « $d_1 + d_2 = |x - 2 + x + 1| = |2x - 1|$ pour tout réel $x$ ». A-t-il raison ? Justifie.
Ex. 35★★★Étude de $f(x) = 2\sqrt{x^2} - 5$— Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2\sqrt{x^2} - 5$.
aJustifie que $f(x) = 2|x| - 5$ pour tout réel $x$. Élise écrit : « $f(-4) = 2 \times (-4) - 5 = -13$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
bCalcule $f(3 - \pi)$ et donne le résultat sous forme exacte, sans barres.
cÀ l'aide des variations de la fonction valeur absolue, dresse le tableau de variations de $f$. Quel est son minimum ?
dRésous dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x) = 6$, puis l'équation $f(x) = -7$.
eRésous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x) < 1$, puis l'inéquation $f(x) \geqslant -1$.
6.Approfondissement : fonctions racine carrée et cube
À retenir : $\sqrt{x}$ n'existe que si $x \geqslant 0$ et vaut toujours au moins $0$ : $\sqrt{x} \leqslant 3 \iff 0 \leqslant x \leqslant 9$, et $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$. $x^3$ a le signe de $x$,$(-x)^3 = -x^3$, et le cube conserve l'ordre sur $\mathbb{R}$ : $x^3 = -8 \iff x = -2$.
Ex. 36★★★Racines carrées sans calculatrice— Calcule sans calculatrice. Si le calcul est impossible, explique pourquoi.
a$\sqrt{121}$
b$\left(\sqrt{13}\right)^2$
c$\sqrt{\dfrac{25}{81}}$
d$\sqrt{-16}$
e$\sqrt{36+64}$, puis $\sqrt{36}+\sqrt{64}$. Ces deux nombres sont-ils égaux ?
f$\sqrt{(-5)^2}$
Ex. 37★★★Cubes et symétrie par rapport à O— Calcule sans calculatrice et justifie quand on te le demande.
a$(-3)^3$
b$(-7)^3$ et $-7^3$, puis $(-7)^2$ et $-7^2$
c$0{,}3^3$
d$\left(-\dfrac{2}{5}\right)^3$
eOn sait que $1{,}2^3 = 1{,}728$. Déduis-en $(-1{,}2)^3$ sans calcul.
fLe point $A(-0{,}5\,;0{,}125)$ est-il sur la courbe de la fonction cube ? Justifie.
Ex. 38★★★Équations et inéquations avec racine et cube— Résous dans $[0\,;+\infty[$ les équations et l'inéquation avec $\sqrt{x}$, et dans $\mathbb{R}$ celles avec $x^3$. Isole d'abord $\sqrt{x}$ ou $x^3$. Donne l'ensemble $S$ des solutions.
Ex. 39★★★Corriger, comparer, encadrer— Réponds sans calculatrice, en t'appuyant sur les variations des fonctions racine carrée et cube.
aInès écrit : « $x^3 = 216$ a deux solutions, $6$ et $-6$. » A-t-elle raison ? Justifie.
bCompare $\sqrt{3{,}7}$ et $\sqrt{3{,}07}$.
cCompare $(-2{,}3)^3$ et $(-2{,}03)^3$.
dOn note $a$ le nombre tel que $a^3 = 50$. Encadre $a$ par deux entiers consécutifs.
eVrai ou faux ? « Si $x^3 < 1$, alors $0 \leqslant x < 1$. » Justifie.
Ex. 40★★★Démontrer et ranger : racine carrée et puissances— Approfondissement (préparation à la 1re spécialité). On admet que la fonction carré est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ et que $(\sqrt{x})^2 = x$ pour tout $x \geqslant 0$.
aSoit $a$ et $b$ deux réels tels que $0 \leqslant a < b$. Suppose que $\sqrt{a} \geqslant \sqrt{b}$, élève au carré et aboutis à une contradiction. Que démontres-tu ?
bSoit $a$ et $b$ deux réels positifs. Développe $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$, puis déduis-en, avec le résultat précédent, que $\sqrt{a + b} \leqslant \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
cPour $x = 0{,}25$, calcule $x^2$, $x^3$ et $\sqrt{x}$, puis range $x$,$x^2$, $x^3$ et $\sqrt{x}$ dans l'ordre croissant.
dDémontre que si $0 < x < 1$, alors $x^3 < x^2 < x < \sqrt{x}$. Utilise la croissance de la racine carrée pour situer $\sqrt{x}$.
eSans calculatrice, range $x$,$x^2$, $x^3$ et $\sqrt{x}$ pour $x = 1{,}21$, en adaptant la démonstration précédente.
Ex. 41★★★Les boîtes cubiques de Noé— Approfondissement. Noé fabrique des boîtes cubiques. Une boîte de côté $c$ dm ($c > 0$) a un volume de $c^3$ dm³, et 1 dm³ = 1 L. Réponds sans calculatrice (les calculs posés à la main sont autorisés).
aUne boîte contient exactement 2,197 L. Détermine son côté et justifie qu'il n'y a qu'une seule possibilité.
bNoé veut une boîte de 20 L. Encadre son côté $c$ entre deux entiers consécutifs.
cAffine : encadre ce côté $c$ entre deux nombres décimaux consécutifs ayant un chiffre après la virgule.
dRésous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^3 < 8$, puis déduis-en les côtés possibles d'une boîte de moins de 8 L.
eUne boîte de 160 L a un volume 8 fois plus grand que la boîte de 20 L. Exprime son côté en fonction de $c$, puis encadre-le.
Ex. 42★★★Vrai ou faux : racine carrée et cube— Approfondissement. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie par un calcul, une propriété du cours ou un contre-exemple.
a« L'inéquation $\sqrt{x} > -2$ a pour ensemble de solutions $\mathbb{R}$. »
b« Pour tous réels positifs $a$ et $b$, si $\sqrt{a} < \sqrt{b}$, alors $a < b$. »
c« Si $-1{,}5 \leqslant x \leqslant 4$, alors $-3{,}375 \leqslant x^3 \leqslant 64$ et $2{,}25 \leqslant x^2 \leqslant 16$. »
d« Pour tous réels $a$ et $b$, si $a^2 = b^2$, alors $a = b$ ; de même, si $a^3 = b^3$, alors $a = b$. »
e« Les seules solutions de l'équation $\sqrt{x} = x$ sont $0$ et $1$. »
7.Comparer x, x², x³, √x et 1/x
À retenir : Pour $x>0$, je compare $x$ à $1$ : si $0<x<1$, $x^3<x^2<x<\sqrt{x}$ et $\frac{1}{x}>1$ ; si $x>1$, l'ordre s'inverse. Pour démontrer : signe de $x^2-x=x(x-1)$. Piège : $0{,}3^2=0{,}09<0{,}3$.
Ex. 43★★★Le carré agrandit-il toujours ?— Sans calculatrice, compare les deux nombres. Justifie en comparant d'abord le nombre de départ à $0$ et à $1$.
a$0{,}4^2$ et $0{,}4$
b$1{,}7^2$ et $1{,}7$
c$(-2{,}5)^2$ et $-2{,}5$
d$\dfrac{1}{0{,}75}$ et $0{,}75$
e$\dfrac{1}{1{,}6}$ et $1{,}6$
fApprofondissement : $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3$ et $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$
Ex. 44★★★Un tableau pour voir l'ordre changer— Sans calculatrice, complète le tableau en valeurs exactes. Les lignes $x^3$ et $\sqrt{x}$ sont un approfondissement (préparation à la 1re spécialité).
$x$
$\frac{1}{4}$
$1$
$9$
$x^2$
$x^3$
$\sqrt{x}$
$\frac{1}{x}$
aComplète les lignes $x^2$ et $x^3$.
bComplète les lignes $\sqrt{x}$ et $\frac{1}{x}$.
cRange dans l'ordre croissant les cinq nombres de la colonne $x=\frac{1}{4}$ (ligne $x$ comprise).
dFais de même pour la colonne $x=9$. Qu'est-ce qui a changé par rapport à la question précédente ?
eQue remarques-tu dans la colonne $x=1$ ?
Ex. 45★★★Parabole ou droite : qui est au-dessus ?— On note $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y=x^2$ et $d$ la droite d'équation $y=x$.
aFactorise $x^2-x$.
bÉtudie le signe de $x^2-x$ lorsque $0<x<1$, puis lorsque $x>1$.
cDéduis-en la position de $\mathcal{P}$ par rapport à $d$ sur $]0\,;1[$ et sur $]1\,;+\infty[$.
dDétermine par le calcul les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{P}$ et de $d$.
eLe point $B(1{,}1\,;1{,}21)$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ? Est-il au-dessus ou au-dessous de $d$ ? Justifie.
Ex. 46★★★Un nombre ou son inverse ?— Dans cet exercice, $x$ désigne un réel non nul.
aÉcris $x-\frac{1}{x}$ sous la forme d'un seul quotient, puis factorise son numérateur.
bOn suppose $x>0$. Déduis-en le signe de $x-\frac{1}{x}$ selon que $0<x<1$, $x=1$ ou $x>1$.
cDéduis-en l'ensemble $S$ des réels $x>0$ tels que $\frac{1}{x}\leqslant x$.
dSans calculatrice, range dans l'ordre croissant $0{,}7$, $0{,}7^2$ et $\frac{1}{0{,}7}$.
eSans calculatrice, range dans l'ordre croissant $1{,}3$, $1{,}3^2$ et $\frac{1}{1{,}3}$.
Ex. 47★★★Démontrer le rangement des cinq nombres— Dans cet exercice, $x$ désigne un réel positif. Les questions sur $x^3$ et $\sqrt{x}$ sont un approfondissement (préparation à la 1re spécialité). Aucune calculatrice n'est autorisée.
aFactorise $x^3-x^2$, puis détermine les réels $x$ tels que $x^3=x^2$.
bOn suppose $0<x<1$. Démontre que $x^3<x^2<x$.
cOn suppose $0<x<1$ et on pose $t=\sqrt{x}$. Justifie que $0<t<1$, puis démontre que $x<\sqrt{x}$.
dDéduis-en le rangement dans l'ordre croissant de $0{,}6^3$,$0{,}6^2$,$0{,}6$, $\sqrt{0{,}6}$ et $\frac{1}{0{,}6}$.
eEn adaptant les raisonnements, range dans l'ordre croissant $2{,}4^3$,$2{,}4^2$,$2{,}4$, $\sqrt{2{,}4}$ et $\frac{1}{2{,}4}$.
Ex. 48★★★Vrai ou faux : gare aux négatifs— En révisant pour le contrôle, les élèves de la classe de Yanis ont écrit des affirmations. Pour chacune, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie : par une démonstration si elle est vraie, par un contre-exemple si elle est fausse.
a« Pour tout réel $x$,$x^2\geqslant x$. »
b« Pour tout réel $x<0$,$x^2>x$. »
c« Si $x>0$ et $x^2<x$, alors $\frac{1}{x}>1$. »
d« Pour tout réel $x$ non nul, si $x>\frac{1}{x}$, alors $x>1$. »
Ex. 49★★★Trois courbes et un encadrement— Inès sait seulement que $0{,}8\leqslant x\leqslant 0{,}9$. On note $M$, $N$ et $P$ les points d'abscisse $x$ situés respectivement sur la parabole d'équation $y=x^2$, sur la droite d'équation $y=x$ et sur l'hyperbole d'équation $y=\frac{1}{x}$.
aEncadre $x^2$ en justifiant.
bEncadre $\frac{1}{x}$ en justifiant. Donne les bornes sous forme de fractions.
cInès dit : « Mes encadrements de $x$ et de $x^2$ se chevauchent, donc je ne peux pas savoir lequel est le plus grand. » A-t-elle raison ? Justifie.
dRange les ordonnées de $M$, $N$ et $P$, puis déduis-en l'ordre des trois points de bas en haut.
eOn suppose maintenant $1{,}2\leqslant x\leqslant 1{,}5$. Sans nouvel encadrement, donne l'ordre des points $M$, $N$ et $P$ de bas en haut. Justifie.