Troisième / Fonctions affines

Ex. 1★★★Automatismes : coefficients multiplicateurs — Réponds à chaque question par un calcul court.

1. aDonne le coefficient multiplicateur d'une hausse de $8\,\%$.
2. bDonne le coefficient multiplicateur d'une baisse de $35\,\%$.
3. cDonne le coefficient multiplicateur d'une baisse de $7\,\%$.
4. dDonne le coefficient multiplicateur d'une hausse de $2{,}5\,\%$.
5. eMultiplier un prix par $0{,}72$ : à quelle évolution en pourcentage cela correspond-il ?
6. fMultiplier un prix par $1{,}3$ : à quelle évolution en pourcentage cela correspond-il ?
7. gHugo veut augmenter un prix de $80$ € de $5\,\%$ : « $80 \times 0{,}05 = 4$, le nouveau prix est $4$ € ». Corrige son erreur.

Ex. 2★★★Automatismes : tableau de proportionnalité ? — Pour chaque tableau de valeurs, calcule tous les quotients $y \div x$. Dis si $y$ est proportionnel à $x$ ; si oui, donne le coefficient.

1. a$x$ : $4$ ; $6$ ; $10$ et $y$ : $10$ ; $15$ ; $25$.
2. b$x$ : $3$ ; $5$ ; $8$ et $y$ : $12$ ; $20$ ; $30$.
3. c$x$ : $0{,}5$ ; $2$ ; $3$ et $y$ : $3{,}5$ ; $14$ ; $21$.
4. d$x$ : $10$ ; $2$ ; $6$ et $y$ : $-15$ ; $-3$ ; $-9$.
5. e$x$ : $2$ ; $4$ ; $6$ et $y$ : $7$ ; $11$ ; $15$.

Ex. 3★★★La plante qui pousse — Ines mesure chaque semaine une plante. Les points ci-dessous donnent la hauteur (en cm) en fonction du nombre $x$ de semaines.

1. aLis la hauteur de la plante au départ
   ($x = 0$).
2. bInes affirme : « Les points sont alignés, donc la hauteur est proportionnelle au nombre de semaines. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cDe combien la hauteur augmente-t-elle chaque semaine ?
4. dSon frère Yanis calcule : « Après $2$ semaines, elle mesure $5$ cm, donc après $6$ semaines, $3 \times 5 = 15$ cm. » Corrige son erreur et donne la bonne hauteur.

Ex. 4★★★Hausses successives et soldes — Le forfait mobile de Malik coûte $20$ € par mois. Il augmente de $10\,\%$, puis l'année suivante encore de $10\,\%$.

1. aDonne le coefficient multiplicateur d'une hausse de $10\,\%$, puis le prix après la première hausse.
2. bCalcule le prix du forfait après la deuxième hausse.
3. cMalik affirme : « Deux hausses de $10\,\%$ font une hausse de $20\,\%$. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dEn soldes à $-20\,\%$, un manteau coûte $68$ €. Nora retrouve le prix avant soldes : $68 \times 1{,}2 = 81{,}60$ €. Corrige son erreur.

Ex. 5★★★Deux bornes de recharge — Lou compare deux bornes de recharge pour sa voiture électrique. Le tableau donne le prix payé (en €) selon l'énergie rechargée (en kWh).

1. aCalcule tous les quotients prix $\div$ énergie pour la borne A. Le prix A est-il proportionnel à l'énergie ? Si oui, donne le coefficient.
2. bNoé affirme : « Pour la borne B, $8 \div 20 = 0{,}4$, comme pour A.
   Donc le prix B est proportionnel à l'énergie. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cDe combien augmente le prix B quand on recharge $10$ kWh de plus ? Déduis-en le prix B pour $0$ kWh. Que représente ce nombre ?
4. dLe prix du kWh de la borne A augmente de $15\,\%$. Calcule le nouveau prix d'un kWh, puis le prix d'une recharge de $40$ kWh.

Ex. 6★★★Deux vélos-taxis — En ville, Sacha hésite entre deux vélos-taxis. Pour la compagnie A, les points ci-dessous donnent le prix (en €) selon la distance $x$ (en km). Pour la compagnie B, on connaît trois points alignés : $(0\,;\,4)$, $(2\,;\,6)$ et $(4\,;\,8)$.

1. aLes points de la compagnie A sont-ils alignés avec l'origine du repère ? Que peux-tu en déduire pour le prix et la distance ?
2. bJade affirme : « Le coefficient de proportionnalité de A est $6$, l'ordonnée du dernier point. » Explique son erreur et donne le bon coefficient.
3. cSacha pense que, chez B, $4$ km coûtent deux fois plus cher que $2$ km. A-t-il raison ? Justifie, puis dis si le prix B est proportionnel à la distance.
4. dQuand la distance augmente de $2$ km, de combien augmente le prix B ? Calcule le prix B, puis le prix A, pour $12$ km. Quelle compagnie est la moins chère ?

Ex. 7★★★Soldes au magasin de sport — Dans un magasin de sport, les prix changent au fil de l'année : hausses, soldes, démarques successives.

1. aUn vélo à $450$ € augmente de $10\,\%$ en mars, puis baisse de $10\,\%$ en septembre. Calcule son prix après chaque évolution.
2. bKenza affirme : « Une hausse de $10\,\%$ puis une baisse de $10\,\%$ ramènent au prix de départ. » Vrai ou faux ? Justifie avec le coefficient global.
3. cEn soldes, une raquette baisse de $25\,\%$, puis encore de $20\,\%$. Le vendeur annonce « $-45\,\%$ ». Calcule le coefficient global et corrige l'annonce.
4. dAprès ces deux baisses, la raquette coûte $48$ €. Calcule son prix de départ et vérifie ton résultat.

Ex. 8★★★Automatismes : image et antécédent — On considère la fonction linéaire $f : x \mapsto -2{,}5x$.

1. aCalcule $f(4)$.
2. bCalcule $f(-1{,}2)$.
3. cSans calcul, donne $f(0)$ et explique pourquoi.
4. dDétermine l'antécédent de $15$ par $f$.
5. eDétermine l'antécédent de $-7$ par $f$.
6. fLina affirme : « l'antécédent de $20$ par $f$ est $-50$ ». A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 9★★★Automatismes : trouver le coefficient — Chaque fonction ci-dessous est linéaire. À partir de l'image donnée, détermine son coefficient $a$.

1. a$g(6) = 21$.
2. bL'image de $-8$ par $h$ est $6$.
3. c$k(3) = 2$
   (donne $a$ sous forme de fraction).
4. dLa représentation graphique de $m$ passe par le point $B(2{,}5\,;\,-15)$.
5. ePour $p(12) = 3$, Théo écrit : $a = 12 \div 3 = 4$. Corrige son erreur.
6. f$q(5) = 9$. Détermine le coefficient de $q$, puis calcule $q(20)$.

Ex. 10★★★Les soldes au magasin de sport — Pendant les soldes, un magasin de sport baisse tous ses prix de $30\,\%$. On note $p(x)$ le prix soldé, en €, d'un article qui coûtait $x$ €.

1. aExprime $p(x)$ en fonction de $x$. Quel est le coefficient multiplicateur ?
2. bCalcule le prix soldé d'un sac qui coûtait $64$ €.
3. cInès a payé une raquette $31{,}50$ € en solde. Son frère dit qu'elle coûtait $31{,}50 \times 1{,}3$ €. A-t-il raison ? Justifie.
4. dSur l'étiquette d'un maillot soldé, on lit : « Tu économises $19{,}50$ € ». Quel était son prix avant les soldes ? Quel est son prix soldé ?

Ex. 11★★★Le filament de l'imprimante 3D — La masse de filament utilisée par une imprimante 3D, en g, est une fonction linéaire $f$ de la durée d'impression $x$, en min. On sait que $f(15) = 48$ et $f(25) = 80$.

1. aSans calculer le coefficient, détermine $f(40)$. Justifie.
2. bSans calculer le coefficient, détermine $f(75)$. Justifie.
3. cQue vaut $f(0)$ ? Explique pourquoi.
4. dDétermine le coefficient de $f$ avec une seule des deux images, puis contrôle avec l'autre.
5. eUne bobine contient $200$ g de filament. Combien de temps d'impression permet-elle ?

Ex. 12★★★La copie de Yanis — Une fonction linéaire $f$ vérifie $f(-4) = 14$. Yanis a fait plusieurs calculs sur cette fonction. Vérifie son travail.

1. aYanis écrit : « $a = -4 \div 14$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis donne la valeur du coefficient $a$.
2. bCalcule $f(-2{,}6)$. Attention au signe.
3. cPour trouver l'antécédent de $-21$, Yanis multiplie $-21$ par le coefficient $a$. Explique son erreur, puis trouve le bon antécédent.
4. dLe point $A(-1{,}2\,;\,-4{,}2)$ appartient-il à la représentation graphique de $f$ ? Justifie par un calcul.

Ex. 13★★★Hausse puis soldes — En septembre, un magasin vend un vélo électrique $1\,200$ €. En novembre, il augmente tous ses prix de $15\,\%$. En janvier, pendant les soldes, il baisse tous les prix de novembre de $15\,\%$. On note $h(x)$ le prix, en €, d'un article à $x$ € après une hausse de $15\,\%$, et $s(x)$ son prix après une baisse de $15\,\%$.

1. aExprime $h(x)$ et $s(x)$ en fonction de $x$. Quels sont leurs coefficients ?
2. bCalcule le prix du vélo en novembre, puis en janvier.
3. cJade affirme : « Une hausse de $15\,\%$ suivie d'une baisse de $15\,\%$ ramène au prix de départ. » Vrai ou faux ? Justifie avec la fonction linéaire qui donne directement le prix de janvier.
4. dEn février, le magasin veut revendre le vélo à son prix de septembre. Par quel nombre doit-il multiplier le prix de janvier ? Arrondis au millième, puis donne le pourcentage de hausse.

Ex. 14★★★La borne de recharge — Sur une borne de recharge électrique, le prix est proportionnel à l'énergie chargée. On note $c(x)$ le prix, en €, pour $x$ kWh chargés. Nora a chargé $12$ kWh et a payé $5{,}40$ €.

1. aLéo affirme : « Avec une seule recharge, on ne peut pas trouver le prix d'un kWh. » Vrai ou faux ? Justifie, puis exprime $c(x)$ en fonction de $x$.
2. bSans utiliser le coefficient, complète le tableau à partir de $c(12)$. Explique chaque calcul avec les propriétés de linéarité.
3. cMaëlle a payé $31{,}50$ € à cette borne. Combien de kWh a-t-elle chargés ?
4. dLa batterie de la voiture d'Hugo contient $60$ kWh quand elle est pleine. Il la recharge de $20\,\%$ à $80\,\%$. Combien paie-t-il ?

Ex. 15★★★Automatismes : lire $a$ et $b$ — Pour chaque fonction affine, donne son coefficient directeur $a$ et son ordonnée à l'origine $b$.

Ex. 16★★★Automatismes : image ou antécédent ? — On considère la fonction affine $f : x \mapsto 2{,}5x - 6$.

1. aCalcule l'image de $-4$ par $f$.
2. bCalcule $f(0)$. Quel nombre de l'expression de $f$ retrouves-tu ?
3. cCalcule $f\left(\dfrac{2}{5}\right)$.
4. dDétermine l'antécédent de $14$ par $f$.
5. eDétermine l'antécédent de $-11$ par $f$.
6. fNoé affirme : « L'antécédent de $0$ par $f$ est $-6$. » A-t-il raison ? Justifie et corrige.

Ex. 17★★★Développer avant de conclure — Pour chaque fonction, développe et réduis l'expression, puis dis si elle est linéaire, affine ou ni l'une ni l'autre. Donne $a$ et $b$ quand c'est possible.

1. a$f(x) = 3(2 - x) + 3x$
2. b$g(x) = x(3 - x) + x^2$
3. c$h(x) = x^2 - (x - 1)$
4. d$k(x) = \dfrac{5}{x} + 2$
5. e$m(x) = \dfrac{x - 8}{4}$

Ex. 18★★★Recharge à la borne — Une borne de recharge électrique facture $0{,}45$ € par kWh, plus $1{,}50$ € de frais de connexion à chaque recharge. On note $C(x)$ le prix, en euros, pour $x$ kWh rechargés.

1. aExprime $C(x)$ en fonction de $x$. Donne $a$ et $b$.
2. bCalcule le prix d'une recharge de $20$ kWh, puis de $40$ kWh.
3. cInès affirme : « Le prix est proportionnel à l'énergie rechargée. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dRayan a payé $28{,}50$ €. Combien de kWh a-t-il rechargés ?
5. eLou dispose de $15$ €. Cela suffit-il pour recharger $32$ kWh ? Justifie par un calcul.

Ex. 19★★★Vrai ou faux sur les fonctions affines — On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 6 - 1{,}5x$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par un calcul ou une explication.

1. a« $f$ et $g : x \mapsto 1{,}5(4 - x)$ n'ont pas le même coefficient directeur : $6$ pour $f$ et $1{,}5$ pour $g$. »
2. b« $f(-2) = 9$, donc $9$ est l'antécédent de $-2$ par $f$. »
3. c« La fonction $h : x \mapsto x(2x - 1) - 2x^2$ n'est pas affine, car $x^2$ apparaît dans son écriture. »
4. d« La fonction $w : x \mapsto x(x + 4) - 4x - 3$ est affine, car on y voit le terme $-4x$. »
5. e« La fonction $k : x \mapsto -2{,}5$ est affine, mais elle n'est pas linéaire. »

Ex. 20★★★La copie de Maëlys — On considère la fonction $f : x \mapsto \frac{2}{3}x - 4$. Maëlys cherche l'antécédent de $6$ par $f$. Sur sa copie, elle écrit : $x = 6 \div \frac{2}{3} - 4 = 9 - 4 = 5$.

1. aCalcule $f(5)$, puis explique l'erreur de Maëlys.
2. bDétermine le bon antécédent de $6$ par $f$ en résolvant une équation. Complète ensuite la phrase : « … est l'image de … par $f$ ».
3. cCalcule l'image de $-6$ par $f$.
4. dPour l'antécédent de $-10$, Maëlys écrit : $\frac{2}{3}x = -10 - 4$. Corrige son erreur, puis donne l'antécédent de $-10$ par $f$.

Ex. 21★★★Deux bougies — Une bougie A neuve mesure $24$ cm. Une fois allumée, elle perd $1{,}6$ cm par heure. On note $h(x)$ sa hauteur, en cm, après $x$ heures.

1. aExprime $h(x)$ en fonction de $x$. Donne $a$ et $b$, puis explique ce que représente $b = h(0)$.
2. bCalcule la hauteur de la bougie A après $2$ h $30$ min.
3. cAu bout de combien de temps la bougie A mesure-t-elle $10$ cm ? Donne la réponse en heures et minutes.
4. dUne bougie B de $18$ cm, allumée en même temps, perd $1$ cm par heure. Exprime sa hauteur $g(x)$, puis trouve quand les deux bougies ont la même hauteur.
5. eQuelle bougie s'éteint en premier ? Justifie par un calcul.

Ex. 22★★★Automatismes : lire une droite sans la tracer — Réponds sans tracer la droite, en utilisant seulement l'expression de la fonction.

1. aDonne les coordonnées du point où la droite représentant $f(x) = 4 - 3x$ coupe l'axe des ordonnées.
2. bLa droite représentant $g(x) = \frac{2}{3}x$ passe-t-elle par l'origine ? Justifie.
3. cLa droite représentant $h(x) = -5$ monte-t-elle, descend-elle ou est-elle horizontale ? Justifie.
4. dLa droite représentant $k(x) = 0{,}7x - 2$ monte-t-elle ou descend-elle ? Justifie.
5. eOn considère $p(x) = -4x + 1$ et $q(x) = 3x + 1$. Laquelle des deux droites est la plus raide ? Justifie.
6. fDéveloppe $r(x) = -2(x - 3)$, puis donne le point où sa droite coupe l'axe des ordonnées.

Ex. 23★★★Automatismes : points d'une droite — La droite $d$ représente la fonction $f : x \mapsto 7 - 2x$.

1. aLe point $A(3\,;\,1)$ appartient-il à $d$ ? Justifie par un calcul.
2. bLe point $B(1\,;\,3)$ appartient-il à $d$ ? Justifie par un calcul.
3. cLe point $C$ de $d$ a pour abscisse $-2$. Calcule son ordonnée.
4. dLe point $D$ de $d$ a pour ordonnée $0$. Calcule son abscisse.
5. eLéa affirme : « $E(7\,;\,0)$ est sur $d$, car $7$ est dans l'expression de $f$. » A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.
6. fLe point $F$ de $d$ a pour ordonnée $10$. Calcule son abscisse.

Ex. 24★★★Lire a et b sur un quadrillage de 2 en 2 — Les points ci-dessous, d'abscisses $0$, $1$, $2$, $3$ et $4$, sont alignés et représentent une fonction affine $f$. Attention : sur l'axe vertical, le quadrillage va de $2$ en $2$.

1. aLis l'ordonnée à l'origine $b$ de la fonction $f$.
2. bDe combien varie $f(x)$ quand $x$ augmente de $1$ ? Déduis-en le coefficient directeur $a$.
3. cÉcris l'expression de $f(x)$.
4. dCalcule l'abscisse du point où la droite coupe l'axe des abscisses.
5. eRayan affirme : « $b$ est positif, donc la droite monte. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 25★★★D'après deux points : a, b, droites parallèles ou non — La droite $d$ représente une fonction affine $f$. Elle passe par les points $A(0\,;\,-2)$ et $B(4\,;\,1)$.

1. aQuelle est l'ordonnée à l'origine $b$ de $f$ ? Justifie avec l'un des deux points.
2. bDe $A$ à $B$, de combien augmente $x$ ? De combien varie $f(x)$ ? Déduis-en le coefficient directeur $a$.
3. cÉcris $f(x)$, puis calcule $f(8)$ pour obtenir un troisième point de contrôle.
4. dLa droite $d'$ représente $g(x) = 0{,}75x + 5$. Les droites $d$ et $d'$ sont-elles parallèles ? Justifie.
5. eLa droite $d''$ représente $h(x) = -2 - x$. Noé dit : « $d$ et $d''$ sont parallèles, elles ont le même $-2$. » Corrige son erreur.

Ex. 26★★★Corriger le tracé d'Inès — Inès doit représenter la fonction $f : x \mapsto 5 - 1{,}5x$. Elle prépare des points pour tracer la droite $d$ et contrôler son tracé.

1. aInès affirme : « La droite $d$ coupe l'axe des ordonnées au point $A(5\,;\,0)$. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bPour contrôler, elle place le point $C(-1\,;\,3{,}5)$. Ce point est-il sur $d$ ? Justifie par un calcul, puis corrige son ordonnée si besoin.
3. cLa droite $d$ coupe l'axe des abscisses en un point $D$. Calcule les coordonnées de $D$.
4. dInès dit : « Quand $x$ augmente de $4$, $f(x)$ augmente de $6$. » Vrai ou faux ? Justifie, puis dis si la droite $d$ monte ou descend.

Ex. 27★★★Cinq droites à comparer — Ben a représenté cinq fonctions : $f(x) = -2 + 3x$, $g(x) = 3x$, $h(x) = -2 - 0{,}5x$, $k(x) = -2$ et $m(x) = 1 - 4x$. On note $d_f$, $d_g$, $d_h$, $d_k$ et $d_m$ leurs droites.

1. aLaquelle de ces droites passe par l'origine du repère ? Justifie.
2. bLucas affirme : « $d_f$, $d_h$ et $d_k$ n'ont aucun point commun, car leurs coefficients directeurs sont différents. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cQuelle droite est parallèle à $d_f$ ? Ces deux droites sont-elles confondues ? Justifie.
4. dRange les droites de la plus raide à la moins raide. Pour chacune, dis si elle monte, descend ou est horizontale.
5. eSur quelle(s) droite(s) se trouve le point $E(-2\,;\,-6)$ ? Justifie par des calculs.

Ex. 28★★★Un réservoir qui se vide, lu sur un graphique — Le graphique donne le volume $V(t)$, en litres, d'eau dans un réservoir, $t$ heures après l'ouverture du robinet (de $t = 0$ à $t = 4$). Les points sont alignés : $V$ est une fonction affine. Attention : un carreau vertical vaut $2$ L.

1. aLis l'ordonnée à l'origine $b$ de la fonction $V$. Que représente-t-elle pour le réservoir ?
2. bMehdi dit : « Entre $t = 1$ et $t = 4$, la droite descend de $6$ carreaux, donc $a = -6$. » Corrige son raisonnement et calcule le coefficient directeur $a$.
3. cAu bout de combien d'heures le réservoir sera-t-il vide ? Justifie par un calcul.
4. dUn second réservoir contient $36$ L au départ et se vide au même rythme. Sa droite est-elle parallèle à celle de $V$ ? Tant que le premier n'est pas vide, peuvent-ils contenir le même volume ? Justifie.

Ex. 29★★★Automatismes : calculer le coefficient directeur — Dans chaque cas, $f$ est une fonction affine. Calcule son coefficient directeur $a$ (sans calculer $b$).

1. a$f(1) = 5$ et $f(4) = 17$.
2. b$f(-1) = 7$ et $f(3) = -5$.
3. cLa droite représentant $f$ passe par $A(2\,;\,3)$ et $B(7\,;\,5)$.
4. d$f(-3) = -4$ et $f(-1) = 1$.
5. e$f(6) = 1$ et $f(2) = -5$.
6. fUn réservoir se vide régulièrement : il contient $4$ L après $3$ min et $2$ L après $9$ min ; $f(x)$ est le volume en L après $x$ minutes.

Ex. 30★★★Automatismes : trouver l'ordonnée à l'origine — Dans chaque cas, $f(x) = ax + b$. On connaît $a$ et une image. Calcule $b$.

1. a$a = 3$ et $f(2) = 1$.
2. b$a = -2$ et $f(-4) = 5$.
3. c$f(x) = 0{,}5x + b$ et la droite représentant $f$ passe par $M(6\,;\,-1)$.
4. d$a = -4$ et la droite représentant $f$ passe par le point $(0\,;\,7)$.
5. e$a = -1{,}5$ et $f(-2) = 8$. Lou trouve $b = 11$. Explique son erreur, puis calcule $b$.
6. fUne plante pousse de $\frac{2}{3}$ cm par jour et mesure $10$ cm au jour $9$ ; $f(x)$ est sa hauteur en cm au jour $x$.

Ex. 31★★★Une droite par deux points — La droite $(AB)$ représente une fonction affine $f$, avec $A(-2\,;\,11)$ et $B(4\,;\,-1)$.

1. aCalcule le coefficient directeur $a$ de la droite $(AB)$.
2. bCalcule l'ordonnée à l'origine $b$, puis écris $f(x)$.
3. cContrôle ton résultat avec le point $B$.
4. dNoé affirme que la droite $(AB)$ passe aussi par $C(5\,;\,-4)$. A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
5. eInès veut une fonction affine dont la droite passe par $E(3\,;\,1)$ et $F(3\,;\,6)$. Est-ce possible ? Justifie.

Ex. 32★★★Location de kayaks — Un club loue des kayaks avec un tarif affine. Maëlle paie $17$ € pour $2$ h, Sacha paie $29{,}50$ € pour $7$ h. On note $f(x)$ le prix en euros pour $x$ heures.

1. aHugo écrit $a = \frac{29{,}5 - 17}{2 - 7} = -2{,}5$. Explique son erreur, puis calcule le bon coefficient $a$.
2. bCalcule $b$ et dis ce qu'il représente, puis contrôle avec la location de Sacha.
3. cLe club affiche aussi $22$ € pour $4$ h. Ce prix suit-il le même tarif ? Justifie en comparant les coefficients.
4. dUn groupe a payé $32$ €. Combien d'heures a-t-il loué le kayak ?

Ex. 33★★★Trois points alignés ? — La droite $(AB)$ représente une fonction affine $f$, avec $A(-3\,;\,4)$ et $B(3\,;\,8)$.

1. aCalcule le coefficient directeur $a$ de la droite $(AB)$ et donne-le sous forme de fraction irréductible.
2. bCalcule l'ordonnée à l'origine $b$ et écris $f(x)$. Contrôle ton résultat avec le point $B$.
3. cOn donne $C(6\,;\,10)$. Calcule le coefficient directeur de la droite $(BC)$. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifie.
4. dLa droite $(AB)$ coupe l'axe des abscisses au point $K$. Calcule les coordonnées de $K$.
5. eLa droite $(d)$ est parallèle à $(AB)$ et passe par $E(-6\,;\,-1)$. Elle représente une fonction affine $g$. Détermine $g(x)$.

Ex. 34★★★Deux bougies qui se consument — Une bougie se consume régulièrement : sa hauteur, en cm, est une fonction affine $h$ du temps. Au bout de $2$ h, elle mesure $15{,}6$ cm. Au bout de $5$ h, il en reste $12$ cm. On note $h(x)$ sa hauteur après $x$ heures.

1. aCalcule le coefficient directeur $a$ de la fonction $h$. Explique pourquoi il est négatif.
2. bCalcule $b$, contrôle avec l'autre donnée, puis écris $h(x)$ en commençant par $b$. Que représente $b$ ?
3. cAu bout de combien de temps la bougie mesure-t-elle $9$ cm ? Donne le résultat en heures et minutes.
4. dAu bout de combien de temps la bougie est-elle entièrement consumée ?
5. eUne seconde bougie mesure $15$ cm au départ et perd $0{,}9$ cm par heure. Au bout de combien de temps les deux bougies ont-elles la même hauteur ? Laquelle s'éteint en premier ?

Ex. 35★★★Choisir sa formule d'escalade — Une salle d'escalade propose trois formules. On note $x$ le nombre de mois. Formule A, au tarif affine : $69$ € pour $3$ mois et $154$ € pour $8$ mois. Formule B : $25$ € par mois, sans frais. Formule C : son tarif affine est donné par le tableau.

1. aDétermine la fonction affine $A$ qui donne le prix de la formule A pour $x$ mois. Contrôle ton résultat.
2. bÀ l'aide du tableau, donne directement l'ordonnée à l'origine de $C$, puis calcule son coefficient directeur et écris $C(x)$.
3. cQuelle est la formule la moins chère pour $10$ mois ? Justifie par des calculs.
4. dRésous $A(x) = C(x)$. À partir de combien de mois entiers la formule C est-elle moins chère que la formule A ?
5. eLéon a un budget de $200$ €. Avec la formule C, combien de mois peut-il payer au maximum ?

Ex. 36★★★Partie fixe, partie proportionnelle — Pour chaque situation, exprime la fonction demandée en fonction de $x$, puis dis si elle est linéaire ou affine.

1. aUne salle d'escalade demande $12$ € d'inscription, puis $7$ € par séance. Exprime le prix $P(x)$ en euros pour $x$ séances.
2. bUne bougie mesure $25$ cm et perd $1{,}2$ cm par heure. Exprime sa hauteur $h(x)$ en cm après $x$ heures.
3. cUn appel coûte $8$ centimes par minute, sans frais. Exprime le prix $C(x)$ en euros pour $x$ minutes.
4. dUn taxi facture $2{,}60$ € par kilomètre, plus une prise en charge de $4$ €. Exprime le prix $T(x)$ en euros pour $x$ km.
5. eUne plante mesure $9$ cm et grandit de $0{,}8$ cm par semaine. Exprime sa hauteur $H(x)$ en cm après $x$ semaines.
6. fÀ 6 h, il fait $-4$ °C ; la température monte de $2$ °C par heure. Exprime la température $\theta(x)$ en °C, $x$ heures après 6 h.

Ex. 37★★★Le réservoir du bateau — Le réservoir d'un bateau à moteur contient $60$ L. Après $x$ heures de navigation, le volume restant, en litres, est $V(x) = 60 - 7{,}5x$.

1. aDonne le coefficient directeur de $V$. Pourquoi est-il négatif ?
2. bCalcule $V(0)$. Que représente ce nombre ?
3. cCalcule $V(3)$.
4. dCalcule le volume restant après $1$ h $30$ min
   (attention : $x$ est en heures).
5. eAu bout de combien de temps le réservoir est-il vide ?
6. fAu bout de combien de temps restera-t-il $41{,}25$ L ? Donne la réponse en heures et minutes.

Ex. 38★★★Piscine : à l'entrée ou avec la carte ? — À la piscine, Inès hésite entre deux offres. Offre A : $4{,}50$ € l'entrée. Offre B : une carte annuelle à $30$ €, puis $2{,}10$ € l'entrée. On note $x$ le nombre d'entrées dans l'année.

1. aExprime $A(x)$ et $B(x)$, le prix en euros de $x$ entrées avec chaque offre. Laquelle est une fonction linéaire ?
2. bCalcule le prix de $10$ entrées avec chaque offre. Quelle offre est la moins chère pour $10$ entrées ?
3. cRésous l'équation $A(x) = B(x)$.
4. dCe nombre est-il un nombre d'entrées possible ? À partir de combien d'entrées l'offre B est-elle la moins chère ? Justifie par un calcul.

Ex. 39★★★Trois offres de trottinette — Noé loue une trottinette électrique pour $x$ minutes ($x$ entre $0$ et $60$). Offre A : $25$ centimes par minute, sans frais. Offre B : $1$ € de déblocage, puis $20$ centimes par minute. Offre C : $9$ € pour une heure au maximum, quelle que soit la durée.

1. aExprime $A(x)$, $B(x)$ et $C(x)$, le prix en euros de chaque offre. De quel type est la fonction $C$ ?
2. bRésous $A(x) = B(x)$, puis $B(x) = C(x)$.
3. cNoé roule $25$ minutes. Quelle offre est la moins chère ? Justifie par des calculs.
4. dSelon la durée du trajet, quelle offre est la moins chère ? Rédige une phrase de conclusion.
5. eAvec $6{,}60$ €, combien de minutes Noé peut-il rouler au plus avec l'offre B ?

Ex. 40★★★Kayak : au forfait ou à l'heure ? — Une base nautique loue des kayaks. Offre A : $8$ € pour le gilet et la pagaie, puis $15$ centimes par minute. Offre B : $12$ € de l'heure, sans frais, facturés à la minute. On note $x$ la durée de location, en minutes.

1. aExprime $A(x)$ et $B(x)$, le prix en euros pour $x$ minutes. Pour chacune, dis si la fonction est linéaire ou affine.
2. bLucas loue un kayak pendant $1$ h $30$ min. Quelle offre est la moins chère pour lui ? Justifie par un calcul.
3. cPour quelle durée les deux offres coûtent-elles le même prix ? Donne cette durée en heures et minutes, et ce prix.
4. dSelon la durée, quelle offre est la moins chère ? Justifie en disant quelle droite est en dessous, avant puis après.
5. eEmma a choisi l'offre A et a payé $26$ €. Combien de temps a-t-elle loué le kayak ? A-t-elle fait le bon choix ? Justifie.

Ex. 41★★★Les deux bougies — On allume deux bougies en même temps. La bougie 1 mesure $18$ cm et perd $1{,}5$ cm par heure. La bougie 2 se consume aussi régulièrement : au bout de $6$ h, elle mesure $8$ cm ; au bout de $2$ h, elle mesurait $16$ cm. On note $h_1(x)$ et $h_2(x)$ leurs hauteurs, en cm, après $x$ heures.

1. aExprime $h_1(x)$ en fonction de $x$.
2. bOn admet que $h_2$ est une fonction affine. Détermine $h_2(x)$, puis contrôle avec l'autre mesure. Quelle était la hauteur de la bougie 2 au départ ?
3. cAu bout de combien de temps la bougie 1 est-elle entièrement consumée ? Justifie par un calcul.
4. dAu bout de combien de temps les deux bougies ont-elles la même hauteur ? Laquelle est la plus haute avant ce moment, puis après ?
5. eJade affirme : « La bougie 2 est la plus haute au départ, donc c'est elle qui s'éteindra en dernier. » A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.

Ex. 42★★★Trois formules au club de tennis — Un club de tennis propose trois formules pour l'année. Formule A : $11$ € la séance. Formule B : une adhésion de $48$ €, puis $6$ € la séance. Formule C : un forfait illimité à $190$ €. On note $x$ le nombre de séances dans l'année.

1. aExprime $A(x)$, $B(x)$ et $C(x)$, le prix en euros. Pour chacune, dis si la fonction est linéaire, affine ou constante.
2. bChloé résout $A(x) = B(x)$ et trouve $x = 9{,}6$. Elle conclut : « Avec $9$ séances, B est déjà la moins chère. » A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.
3. cÀ partir de combien de séances la formule C est-elle moins chère que la formule B ? Justifie.
4. dMalik a un budget de $150$ €. Combien de séances peut-il faire au plus avec la formule A ? Et avec la formule B ?
5. eRédige une conclusion : selon le nombre de séances, quelle formule est la moins chère ?

Ex. 43★★★Vrai ou faux express — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par un calcul ou une phrase.

1. a« La fonction $x \mapsto 3 - x$ est linéaire. »
2. b« Le point $A(2\,;\,5)$ est sur la droite qui représente $f(x) = 4x - 3$. »
3. c« Le point $B(-1\,;\,2)$ appartient à la représentation graphique de $g(x) = 6 + 3x$. »
4. d« La fonction $h(x) = (x + 2)^2 - x^2$ est une fonction affine. »
5. e« Augmenter un prix de $15\,\%$ revient à appliquer la fonction linéaire $x \mapsto 1{,}15x$. »
6. f« Les droites qui représentent $u(x) = \frac{x}{4} + 3$ et $v(x) = 0{,}25x - 1$ sont parallèles. »
7. g« La fonction affine $k$ telle que $k(1) = 7$ et $k(5) = -1$ a pour coefficient directeur $2$. »

Ex. 44★★★Une formule de tableur — Dans une feuille de calcul, la ligne 1 contient des nombres $x$. En B2, on a saisi la formule =3*B1+2, puis on l'a recopiée vers la droite. La ligne 2 calcule ainsi $f(x)$.

1. aÉcris l'expression de $f(x)$.
2. bLa fonction $f$ est-elle linéaire, affine ou constante ? Justifie.
3. cComplète le tableau de valeurs.
4. dQuel nombre faut-il écrire en ligne 1 pour obtenir $20$ en ligne 2 ?
5. eTom affirme : « l'image de $11$ par $f$ est $3$ ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 45★★★Les soldes — Pendant les soldes, un magasin baisse tous ses prix de $30\,\%$. On note $p(x)$ le prix soldé, en €, d'un article qui coûtait $x$ € avant les soldes.

1. aDonne le coefficient multiplicateur, puis exprime $p(x)$. Quelle est la nature de la fonction $p$ ?
2. bCalcule le prix soldé d'un manteau qui coûtait $85$ €.
3. cUne paire de baskets soldée coûte $44{,}80$ €. Quel était son prix avant les soldes ?
4. dLe prix soldé est-il proportionnel au prix initial ? Justifie, puis déduis-en, sans utiliser $0{,}7$, le prix soldé d'un manteau qui coûtait $170$ €.
5. eHugo pense qu'il suffit d'ajouter $30\,\%$ au prix soldé pour retrouver le prix initial. Teste son idée avec les baskets.

Ex. 46★★★Location de kayaks — Une base nautique propose deux tarifs pour louer un kayak. Tarif A : le nuage donne le prix $A(x)$, en €, pour $x$ heures de location ; les points sont alignés. Tarif B : $7$ € par heure, sans frais.

1. aMalo dit : « L'ordonnée à l'origine est $10$, c'est le premier point. » A-t-il raison ? Justifie, puis donne $A(x)$.
2. bExprime $B(x)$. Lequel des deux tarifs est proportionnel à la durée ? Justifie.
3. cAvec $30$ €, combien d'heures peut-on louer au tarif A ?
4. dPour quelle durée les deux tarifs coûtent-ils le même prix ? Donne ce prix.
5. eZoé veut louer un kayak $5$ heures. Quel tarif lui conseilles-tu ? Justifie par un calcul.

Ex. 47★★★La bougie qui se consume — Une bougie se consume régulièrement. Le nuage donne sa hauteur $h(x)$, en cm, $x$ heures après l'allumage. Les points sont alignés.

1. aLis sur le nuage la hauteur de la bougie à l'allumage, puis de combien elle varie en une heure. Déduis-en l'expression de $h(x)$.
2. bLina affirme : « La fonction $h$ est croissante, car $21$ est positif. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cCalcule la hauteur de la bougie au bout de 4 h 30 min.
4. dAu bout de combien de temps la bougie est-elle entièrement consumée ? Justifie par une équation.
5. eUne seconde bougie, allumée en même temps, mesure $15$ cm et perd $1{,}8$ cm par heure. Quand les deux bougies ont-elles la même hauteur ? Laquelle s'éteint en premier ?

Ex. 48★★★Trois formules pour une salle d'escalade — Une salle d'escalade propose trois formules. Formule A : $9$ € la séance. Formule B : une carte à $40$ €, puis $5$ € la séance. Formule C : un pass annuel à $180$ €, séances illimitées. On note $x$ le nombre de séances dans l'année.

1. aExprime $A(x)$, $B(x)$ et $C(x)$, le prix payé en € avec chaque formule. Donne la nature de chaque fonction.
2. bComplète le tableau de la formule B. Justifie chaque case par un calcul.
   

   Séances	6	15	?
   Prix B (€)	?	?	125

3. cInès dit : « Avec $75$ € à la formule B, je peux faire $415$ séances. » Explique son erreur et corrige sa réponse.
4. dPour combien de séances les formules A et B coûtent-elles le même prix ? Quel est ce prix ?
5. eNoé prévoit $30$ séances dans l'année. Quelle formule lui conseilles-tu ? Justifie par des calculs.

Ex. 49★★★Le tarif du taxi — Dans une ville, le prix d'une course de taxi, en €, est une fonction affine $f$ de la distance $x$, en km : une prise en charge fixe, plus un prix par kilomètre. Une course de $12$ km coûte $21{,}60$ € ; une course de $5$ km coûte $11{,}10$ €.

1. aSacha calcule $a = \frac{21{,}60 - 11{,}10}{5 - 12}$ et trouve $-1{,}5$. Explique son erreur, puis calcule le bon coefficient directeur.
2. bCalcule l'ordonnée à l'origine de $f$, contrôle avec l'autre course, puis écris $f(x)$. Que représente ce nombre pour le client ?
3. cLe point $M(20\,;\,34{,}60)$ appartient-il à la représentation graphique de $f$ ? Justifie par un calcul.
4. dVrai ou faux ? « Une course de $24$ km coûte le double d'une course de $12$ km. » Justifie.
5. eAprès une hausse de $5\,\%$ de tous les prix, une course coûte $26{,}46$ €. Combien coûtait-elle avant la hausse ? Quelle était sa distance ?