2nde / Fonctions affines

Ex. 1★★★Automatisme : reconnaître et lire m et p — Pour chaque fonction, développe et réduis si besoin. Donne ensuite $m$ et $p$ et dis si la fonction est linéaire, constante ou ni l'un ni l'autre. Si la fonction n'est pas affine, dis-le.

1. a$f(x) = 4 - 6x$
2. b$g(x) = \dfrac{2x}{5}$
3. c$h(x) = 3(x + 2) - 3x$
4. d$k(x) = (x + 1)(x + 3) - x^2$
5. e$u(x) = x(x - 4)$
6. f$v(x) = 7x - 2(x + 1{,}5)$

Ex. 2★★★Automatisme : image, antécédent, point de la courbe — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -4x + 9$. On note $C_f$ sa droite représentative.

1. aCalcule $f(-2)$.
2. bCalcule l'image de $-0{,}5$ par $f$.
3. cDétermine l'antécédent de $1$ par $f$.
4. dDétermine l'antécédent de $-3$ par $f$.
5. eDans l'égalité $f(1{,}5) = 3$, quel nombre est l'image et quel nombre est l'antécédent ? Vérifie cette égalité par un calcul.
6. fLe point $A(-1\,;\,12)$ appartient-il à $C_f$ ? Justifie par un calcul.

Ex. 3★★★Les cerises du marché — Au marché, le prix des cerises est proportionnel à leur masse : $2{,}5$ kg coûtent $15$ €. On note $P(x)$ le prix, en euros, de $x$ kg de cerises.

1. aExplique pourquoi $P$ est une fonction linéaire. Détermine son coefficient et donne sa signification.
2. bCalcule $P(0)$ et interprète le résultat.
3. cLe marchand augmente tous ses prix de $15\,\%$. Exprime le nouveau prix $Q(x)$ de $x$ kg en fonction de $x$.
4. dAvec ce nouveau tarif, quelle masse de cerises Noé peut-il acheter avec $20{,}70$ € ?

Ex. 4★★★Deux loueurs de trottinettes — Deux loueurs affichent leurs tarifs. Le prix est en euros et la durée $x$ en heures.
Loueur A :

1. aLequel des deux tableaux est un tableau de proportionnalité ? Justifie.
2. bPour le loueur B, calcule de combien augmente le prix pour chaque heure supplémentaire. Déduis-en la fonction affine $g$ qui donne le prix $g(x)$.
3. cÉcris $g(x)$ comme la somme d'une fonction linéaire et d'une fonction constante. Interprète chacun des deux termes.
4. dPour quelle durée les deux loueurs font-ils payer le même prix ? Donne-la en heures et minutes.

Ex. 5★★★Vrai ou faux : linéaire, affine, paramètre — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par un calcul ou par un contre-exemple.

1. a$f$ est une fonction linéaire telle que $f(6) = -9$. Affirmation : $f(-4) = 6$.
2. b$h$ est une fonction affine telle que $h(5) = 8$. Affirmation : on a forcément $h(10) = 16$.
3. cPour un réel $k$, on pose $w : x \mapsto (k + 1)x + k^2 - 9$. Affirmation : il existe une seule valeur de $k$ pour laquelle $w$ est linéaire.
4. d$v$ est une fonction affine telle que $v(3) = 7$ et $v(7) = 3$. Affirmation : $v(0) = 10$.

Ex. 6★★★Ramettes de papier et livraison — Un vendeur affiche une ramette de papier à $4{,}50$ € HT. Le prix TTC s'obtient en augmentant le prix HT de $20\,\%$. Chaque commande paie en plus une livraison de $6$ € TTC. On note $x$ le nombre de ramettes commandées.

1. aExplique pourquoi le prix TTC $T(x)$ des $x$ ramettes, sans la livraison, est une fonction linéaire de $x$. Donne son coefficient.
2. bExprime le coût total $C(x)$, livraison comprise. La fonction $C$ est-elle linéaire ? Est-elle affine ? Justifie.
3. cMia a payé $87$ € au total, livraison comprise. Combien de ramettes a-t-elle commandées ? Justifie par un calcul.
4. dLe prix moyen d'une ramette, livraison comprise, est-il le même pour $15$ et pour $30$ ramettes ? Justifie, puis explique le résultat.

Ex. 7★★★La bougie qui se consume — Léo allume une bougie et mesure sa hauteur $h(t)$, en cm, $t$ heures après l'allumage :

1. aCe tableau est-il un tableau de proportionnalité ? Justifie.
2. bCalcule le taux d'accroissement $\frac{h(3) - h(1)}{3 - 1}$, puis celui entre $t = 4$ et $t = 6$. Que peux-tu conjecturer ?
3. cOn admet que $h$ est affine. Détermine $m$ et $p$, puis donne le sens de chacun dans la situation, avec son unité.
4. dAu bout de combien de temps la bougie est-elle entièrement consumée ? Donne l'intervalle de $t$ sur lequel le modèle a un sens.
5. eÀ quel instant la bougie mesure-t-elle $13{,}5$ cm ? Donne la réponse en heures et minutes.

Ex. 8★★★Affine ou pas ? Lire $m$ et $p$ — Pour chaque fonction définie sur $\mathbb{R}$ (ou sur $\mathbb{R}^*$ s'il y a une division par $x$), dis si elle est affine. Si oui, donne $m$ et $p$, et précise si elle est linéaire ou constante.

1. a$f_1(x) = 4 - 3x$
2. b$f_2(x) = \dfrac{x}{5}$
3. c$f_3(x) = -7$
4. d$f_4(x) = 3(x - 2) + 2x$
5. e$f_5(x) = x(x + 3)$
6. f$f_6(x) = \dfrac{2}{x} + 1$
7. g$f_7(x) = (x + 2)^2 - x^2$

Ex. 9★★★Image, antécédent, point de la courbe — On considère la fonction affine $f(x) = -4x + 9$ et sa droite représentative $C_f$.

1. aCalcule l'image de $-3$ par $f$.
2. bCalcule $f\left(\dfrac{3}{4}\right)$.
3. cDétermine l'antécédent de $1$ par $f$.
4. dDétermine l'antécédent de $15$ par $f$.
5. eLe point $A(2{,}5\,;\,-1)$ appartient-il à $C_f$ ? Justifie par un calcul.
6. fLe point $B(-1\,;\,12)$ appartient-il à $C_f$ ? Justifie par un calcul.

Ex. 10★★★Vrai ou faux sur les fonctions affines — Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie.

1. aLa fonction $x \mapsto 2x(x - 1) - 2x^2$ n'est pas affine, car on y voit $x^2$.
2. bPour $h(x) = 2 - 5x$, le coefficient directeur vaut $2$ et l'ordonnée à l'origine vaut $-5$.
3. cPour $v(x) = \frac{x - 8}{4}$, on a $m = \frac{1}{4}$ et $p = -8$.
4. dPour la fonction constante $c(x) = 4$, le nombre $4$ a un seul antécédent.
5. ePour $g(x) = 0{,}5x - 3$, tout réel a exactement un antécédent par $g$ ; par exemple, l'antécédent de $1$ est $8$.

Ex. 11★★★L'erreur de Lina — Lina doit écrire $f(x) = 3(1 - 2x) + 8x$ sous la forme $mx + p$. Elle écrit : « $f(x) = 3 - 2x + 8x = 3 + 6x$, donc $m = 3$ et $p = 6$ ».

1. aRepère les deux erreurs de Lina.
2. bÉcris correctement $f(x)$ sous la forme $mx + p$ et donne $m$ et $p$.
3. cDétermine l'antécédent de $-4$ par $f$.
4. dLina affirme : « $f(4) = 2 \times f(2)$, car doubler $x$ double $f(x)$ ». A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.

Ex. 12★★★Degrés Celsius et degrés Fahrenheit — Pour convertir une température $x$ en degrés Celsius (°C) en degrés Fahrenheit (°F), on utilise la fonction $f$ définie par $f(x) = 1{,}8x + 32$. On note $C_f$ sa droite représentative.

1. aClara affirme : « Quand la température double en °C, elle double aussi en °F. » A-t-elle raison ? Justifie avec $f(10)$ et $f(20)$.
2. bTon thermomètre indique $37$ °C. Calcule la température correspondante en °F.
3. cL'eau bout à $212$ °F. Détermine cette température en °C par un calcul d'antécédent.
4. dLe point $A(-15\,;\,5)$ appartient-il à $C_f$ ? Justifie par un calcul, puis traduis le résultat par une phrase.
5. eExiste-t-il une température qui s'écrit avec le même nombre en °C et en °F ? Justifie par un calcul.

Ex. 13★★★Une famille de fonctions affines — Pour tout réel $k$, on considère la fonction $f_k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x) = (2 - k)x + 2k - 10$. On note $C_k$ sa droite représentative.

1. aDétermine la valeur de $k$ pour laquelle $f_k$ est constante, puis donne $f_k(x)$ pour cette valeur.
2. bDétermine la valeur de $k$ pour laquelle $f_k$ est linéaire, puis donne $f_k(x)$ pour cette valeur.
3. cExiste-t-il une valeur de $k$ telle que le point $A(2\,;\,4)$ soit sur $C_k$ ? Justifie par un calcul.
4. dDétermine la valeur de $k$ pour laquelle le point $B(3\,;\,1)$ appartient à $C_k$, puis donne $f_k(x)$ pour cette valeur.
5. ePour $k = 7$, écris $f_7(x)$ sous la forme $mx + p$, puis calcule l'antécédent de $0$ par $f_7$.

Ex. 14★★★Des carrés… et pourtant affine ? — On considère les fonctions $g$ et $t$ définies sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (x + 3)^2 - (x - 1)^2$ et $t(x) = x(x + 5)$. On note $C_g$ la courbe de $g$.

1. aDémontre que $g$ est une fonction affine et donne son coefficient directeur $m$ et son ordonnée à l'origine $p$.
2. bBen affirme : « $g$ est linéaire, car $g(-1) = 0$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cCalcule l'antécédent de $-10$ par $g$.
4. dLe point $B(-1{,}25\,;\,-2)$ appartient-il à $C_g$ ? Justifie par un calcul.
5. eCalcule $t(0)$, $t(1)$ et $t(2)$, puis utilise ces trois valeurs pour justifier que $t$ n'est pas affine.

Ex. 15★★★Trouver le coefficient directeur — Chaque fonction est affine. Écris les fractions sans arrondir.

1. a$f(1) = 5$ et $f(4) = 17$. Calcule le coefficient directeur $m$ de $f$.
2. b$f(-2) = 7$ et $f(3) = -8$. Calcule le coefficient directeur $m$ de $f$.
3. c$g(9) - g(1) = 20$. Calcule le coefficient directeur de $g$.
4. dPour tout réel $x$, $h(x + 1) - h(x) = -6$. Donne le coefficient directeur de $h$.
5. eQuand $x$ augmente de $6$, $k(x)$ diminue de $10$. Donne le coefficient directeur de $k$.
6. fLe taux d'accroissement de $q$ entre $2$ et $5$ vaut $3$. Calcule $q(5) - q(2)$.

Ex. 16★★★Retrouver f avec m et une image — Chaque fonction est affine. Donne son expression sous la forme $mx + p$.

1. a$f$ a pour coefficient directeur $4$, et $f(2) = 3$.
2. b$g$ a pour coefficient directeur $-2$, et $C_g$ passe par le point $A(-3\,;\,11)$.
3. cQuand $x$ augmente de $1$, $h(x)$ diminue de $5$, et $h(1) = -5$.
4. d$k$ a pour coefficient directeur $\frac{3}{4}$, et $k(8) = 2$.
5. eLe taux d'accroissement de $r$ entre deux réels quelconques vaut $0$, et $r(4) = 7$.
6. f$s(5) - s(1) = -2$ et $s(1) = 3$.

Ex. 17★★★Repérer l'erreur et retrouver f — $f$ est une fonction affine telle que $f(-1) = 6$ et $f(3) = -2$.

1. aInès écrit $m = \frac{-2 - 6}{-1 - 3} = 2$. A-t-elle raison ? Justifie, puis calcule le bon coefficient directeur.
2. bThéo écrit $m = \frac{3 - (-1)}{-2 - 6} = -\frac{1}{2}$. Explique son erreur.
3. cCalcule l'ordonnée à l'origine $p$ à l'aide de $f(-1)$, puis donne $f(x)$.
4. dContrôle ton expression avec la seconde image.
5. eQuand $x$ augmente de $3$, comment varie $f(x)$ ? Justifie.

Ex. 18★★★Taux d'accroissement : affine ou pas ? — On donne quelques valeurs de deux fonctions $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$.

1. aComplète la démonstration du cours : si $f(x) = mx + p$, alors $f(u) - f(v) = (mu + p) - (\ldots) = \ldots = m(\ldots)$.
2. bCalcule les taux d'accroissement de $g$ entre $0$ et $2$, entre $2$ et $5$, puis entre $5$ et $9$.
3. cCes valeurs de $g$ peuvent-elles être celles d'une fonction affine ? Si oui, donne son expression et vérifie-la avec $g(9)$.
4. dKenza affirme : « Le taux de $h$ vaut $-2$ entre $0$ et $2$, donc $h$ est affine. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 19★★★Accroissements proportionnels : démontrer puis exploiter — $f$ est une fonction affine : $f(x) = mx + p$. Au départ, on sait seulement que $f(7) - f(2) = -4$.

1. aComplète la démonstration : pour tout réel $x$, $f(x + 1) - f(x) = (m(x + 1) + p) - (mx + p) = \dots$. Que signifie ce résultat ?
2. bEn utilisant $f(7) - f(2)$, calcule $m$. Donne-le en fraction, sans arrondir.
3. cSans connaître $p$, de combien varie $f(x)$ quand $x$ augmente de $10$ ? Justifie.
4. dOn apprend que $f(2) = 1$. Détermine $p$, écris $f(x)$, puis contrôle avec $f(7) - f(2) = -4$.

Ex. 20★★★La bougie qui se consume — Une bougie se consume régulièrement. Sa hauteur (en cm) est une fonction affine $h$ du temps $t$ (en min) écoulé depuis l'allumage : $h(t) = mt + p$. Après $40$ min, elle mesure $19$ cm. Après $90$ min, elle mesure $14$ cm.

1. aLou calcule $m = \frac{90 - 40}{14 - 19} = -10$. Ce calcul est-il juste ? Justifie, puis donne $m$ avec son unité.
2. bCalcule $p$, écris $h(t)$, puis contrôle avec la seconde mesure. Que représente $p$ ?
3. cAu bout de combien de temps la bougie est-elle entièrement consumée ? Donne le domaine de validité du modèle.
4. dRésous l'inéquation $h(t) < 5$ sur ce domaine, puis interprète le résultat.

Ex. 21★★★Images négatives et coefficient fractionnaire — $f$ est une fonction affine telle que $f(-3) = -7$ et $f(6) = -1$. On donne aussi quelques valeurs d'une fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ :

1. aCalcule le coefficient directeur $m$ de $f$. Donne-le en fraction irréductible, sans arrondir.
2. bDéduis-en $p$, puis écris $f(x)$. Contrôle ton résultat avec $f(6)$.
3. cSans calculer $f(x)$ autrement, de combien doit augmenter $x$, à partir de $6$, pour que $f(x)$ augmente de $10$ ? Déduis-en l'antécédent de $9$ par $f$.
4. dZoé affirme : « $g$ a les mêmes images que $f$ en $-3$ et en $6$, donc $g$ est égale à $f$. » Vrai ou faux ? Justifie avec des taux d'accroissement.

Ex. 22★★★Lire m et p avec deux points — La droite représentative d'une fonction affine $f$ passe par les deux points donnés. Lis $p$, calcule $m$, puis écris $f(x)$.

Ex. 23★★★Où la droite coupe-t-elle les axes ? — Pour chaque fonction, donne les coordonnées du point où sa droite représentative coupe l'axe des ordonnées, puis de celui où elle coupe l'axe des abscisses.

Ex. 24★★★Lire une droite sur un nuage de points — Les points ci-dessous, d'abscisses $0$ à $4$, sont alignés : ils sont sur la droite représentative d'une fonction affine $f$.

1. aLis l'ordonnée à l'origine $p$ de $f$.
2. bChoisis deux points aux coordonnées entières, pas forcément voisins, et calcule le coefficient directeur $m$.
3. cÉcris $f(x)$.
4. dCalcule les coordonnées du point où la droite coupe l'axe des abscisses.
5. eLe point $A(10\,;\,22)$ appartient-il à la droite ? Justifie par un calcul.

Ex. 25★★★Quatre séries de points — Ben a relevé quatre séries de points $(x\,;\,y)$. Sur chaque ligne A, B, C, D, on lit l'ordonnée $y$ du point d'abscisse $x$.

1. aQuelle ligne donne des points de la droite d'une fonction constante ? Justifie et donne cette fonction.
2. bJustifie que les points de la ligne A sont sur la droite d'une fonction linéaire, puis donne son expression.
3. cLes points de la ligne C sont-ils alignés ? Justifie avec les écarts verticaux.
4. dDonne la fonction affine $f$ dont la droite passe par les points de la ligne D.
5. eHugo affirme : « La droite de la ligne D coupe l'axe des abscisses en $x = 5$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 26★★★Corriger la lecture de Malik — Malik a placé six points $(x\,;\,y)$ d'abscisses $0$ à $5$.

1. aCalcule l'écart vertical entre deux points consécutifs. Justifie que ces points sont sur la droite représentative d'une fonction affine $f$.
2. bMalik calcule $m = \frac{4 - 0}{-1 - 5}$ et lit $p \approx 3{,}3$ là où la droite coupe l'axe des abscisses. Corrige ses deux erreurs, puis écris $f(x)$.
3. cCalcule les coordonnées exactes du point où la droite coupe l'axe des abscisses.
4. dLe point $B(-7\,;\,15{,}4)$ est-il sur la droite ? Justifie par un calcul.

Ex. 27★★★La bougie d'Inès — Inès allume une bougie. Sa hauteur, en cm, $t$ heures après l'allumage, est donnée par une fonction affine $h$. Au bout de $2$ h, la bougie mesure $21$ cm. Au bout de $5$ h, elle mesure $15$ cm.

1. aCalcule le coefficient directeur $m$ de $h$, avec son unité, puis interprète son signe.
2. bDétermine l'ordonnée à l'origine $p$, écris $h(t)$, puis interprète $p$ dans la situation.
3. cCalcule les coordonnées du point où la droite représentative de $h$ coupe l'axe des abscisses. Déduis-en le domaine de validité du modèle.
4. dPour tracer la droite, Inès calcule $h(0)$ et $h(0{,}5)$. Pourquoi ce choix est-il maladroit ? Propose une meilleure seconde image et donne le point obtenu.
5. eLe point $(8\,;\,9{,}5)$ est-il sur la droite de $h$ ? Justifie par un calcul et interprète.

Ex. 28★★★Une famille de droites — Pour tout réel $k$, on note $f_k(x) = (k - 3)x + 2k - 4$. On note $D_k$ la droite représentative de $f_k$.

1. aPour quelle valeur de $k$ la droite $D_k$ est-elle horizontale ? Donne alors $f_k(x)$ et la nature de $f_k$.
2. bPour quelle valeur de $k$ la droite $D_k$ passe-t-elle par l'origine ? Justifie et donne alors $f_k(x)$.
3. cDétermine $k$ pour que $D_k$ passe par $A(1\,;\,5)$, puis écris $f_k(x)$.
4. dCalcule $f_k(-2)$ en fonction de $k$. Que peux-tu en déduire pour toutes les droites $D_k$ ?
5. eZoé affirme : « Pour $k = 1$, la droite $D_1$ monte, car $k$ est positif. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 29★★★Le signe de m d'abord — Chaque fonction est définie sur $\mathbb{R}$. Écris-la sous la forme $mx + p$ si besoin. Donne ensuite son sens de variation en citant le théorème.

1. a$f(x) = 11 - 6x$
2. b$g(x) = 0{,}4x - 9$
3. c$h(x) = -7$
4. d$j(x) = (x + 5)^2 - x^2$
5. e$q(x) = 4(x - 1) - 6x$
6. f$r(x) = -\dfrac{x}{3} + 8$

Ex. 30★★★Comparer sans calculer — Sans calculer les images, compare les deux nombres proposés. Justifie avec le sens de variation de la fonction.

1. a$f(2{,}6)$ et $f(3{,}1)$, où $f(x) = -4x + 1$.
2. b$g(-3)$ et $g(-1)$, où $g(x) = 2{,}5x - 6$.
3. c$h(-0{,}5)$ et $h(-2)$, où $h(x) = 9 - x$.
4. d$j(1{,}41)$ et $j(1{,}4)$, où $j(x) = 0{,}1x + 3$.
5. e$q(-100)$ et $q(100)$, où $q(x) = -6$.
6. f$r(0)$ et $r(3)$, où $r(x) = -\frac{2}{5}x - 1$.

Ex. 31★★★Vrai ou faux ? — Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux. Justifie par un calcul, par un contre-exemple ou en citant le théorème.

1. a« $f(x) = -3x + 12$ est décroissante sur $\mathbb{R}$, donc $f(x) < 0$ pour tout réel $x$. »
2. b« L'ordonnée à l'origine de $g(x) = 7x - 20$ est négative, donc $g$ est décroissante. »
3. c« Pour tout réel $k > 3$, la fonction $x \mapsto (3 - k)x + 4$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. »
4. d« Si $j$ est affine avec $j(2) = 5$ et $j(6) = -3$, alors $j$ est strictement décroissante. »

Ex. 32★★★La bougie qui se consume — Une bougie se consume régulièrement. Après $t$ heures, sa hauteur en cm est $h(t) = 18 - 0{,}75t$, pour $t \in [0\,;\,24]$.

1. aDonne le sens de variation de $h$ sur $[0\,;\,24]$ en citant le théorème.
2. bComplète le tableau de variations de $h$ :

   t	0		24
   h(t)	…	↘	…

3. cDonne la hauteur maximale et la hauteur minimale de la bougie, et précise à quel moment chacune est atteinte.
4. dAu bout de combien d'heures la bougie mesure-t-elle $6$ cm ? Justifie par un calcul.

Ex. 33★★★Développer, puis démontrer — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x - 4)^2 - x^2$.

1. aDéveloppe et réduis $f(x)$. Déduis-en que $f$ est affine et donne son coefficient directeur $m$ et son ordonnée à l'origine $p$.
2. bSoient $u$ et $v$ deux réels avec $u < v$. Calcule $f(v) - f(u)$ et écris le résultat sous forme factorisée.
3. cDéduis-en le signe de $f(v) - f(u)$, puis rédige la conclusion : quel est le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?
4. dRésous $f(x) = 0$. Déduis-en, à l'aide du sens de variation de $f$, le tableau de signes de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.
5. eDresse le tableau de variations de $f$ sur $[-1\,;\,5]$. Donne le minimum et le maximum de $f$ sur cet intervalle.

Ex. 34★★★Une fonction qui dépend d'un paramètre — Soit $k$ un réel fixé. On note $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (6 - 2k)x - 1$.

1. aDans le cas $k = 1$, écris $f(x)$ sous la forme $mx + p$ et donne le sens de variation de $f$ en citant le théorème.
2. bDétermine toutes les valeurs de $k$ pour lesquelles $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. Résous l'inéquation avec soin.
3. cPour quelle valeur de $k$ la fonction $f$ est-elle constante ? Donne alors la valeur de $f(x)$.
4. dOn prend $k = 5$. Dresse le tableau de variations de $f$ sur $[-2\,;\,3]$.
5. eDétermine $k$ pour que $f(2) = 3$, puis donne le sens de variation de $f$ dans ce cas.

Ex. 35★★★La cuve qui se vide — Une cuve se vide à débit constant. Au départ ($t = 0$), elle contient $840$ L ; au bout de $15$ minutes, elle contient $615$ L. On note $V(t)$ le volume d'eau, en litres, au bout de $t$ minutes : $V$ est une fonction affine.

1. aCalcule le coefficient directeur $m$ de $V$ avec son unité, puis donne l'ordonnée à l'origine $p$. Écris $V(t)$.
2. bAu bout de combien de minutes la cuve est-elle vide ? Déduis-en le domaine de validité du modèle.
3. cDonne le sens de variation de $V$ en citant le théorème, puis dresse son tableau de variations sur le domaine de validité.
4. dSans calculer les volumes, compare $V(23{,}5)$ et $V(32{,}5)$. Justifie, puis interprète la réponse dans le contexte.
5. eBen veut qu'il reste au moins $300$ L dans la cuve. Jusqu'à quel instant est-ce le cas ? Justifie.

Ex. 36★★★Racine et signe en ligne — Réponds à chaque question par un calcul court ou une phrase de justification.

1. aDonne la valeur de $x$ qui annule $4x - 10$.
2. bYanis affirme : « $-5x + 15$ s'annule en $x = -3$ ». A-t-il raison ? Justifie et corrige.
3. cDonne le signe de $-3x + 12$ pour $x > 4$.
4. dDonne le signe de $2x + 9$ pour $x < -\frac{9}{2}$.
5. eDonne le signe de la fonction constante $h(x) = -7$ selon les valeurs de $x$.
6. fVrai ou faux ? Justifie : « $-x + 1$ est négatif puis positif ».
7. gSur la droite graduée , $A$ marque la racine de $-2x + p$. Trouve $p$, puis le signe de l'expression à gauche de $A$.

Ex. 37★★★Inéquations en ligne — Donne chaque ensemble de solutions $S$ sous forme d'intervalle.

1. aRésous $3x - 15 > 0$.
2. bRésous $-4x + 6 \geqslant 0$.
3. cLéa écrit : « $7 - 2x < 0 \iff -2x < -7 \iff x < \frac{7}{2}$ ». Repère son erreur et corrige.
4. dPour quelles valeurs de $x$ l'expression $\frac{1}{3}x + 2$ est-elle négative ou nulle ?
5. eTom trouve $S = \left[-\frac{3}{2}\,;\,+\infty\right[$ pour $-6x - 9 > 0$. Repère ses deux erreurs et corrige.
6. fAvec $f(x) = 2x + 11$, résous $f(x) < 5$.

Ex. 38★★★Tableau de signes et position de la droite — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -\frac{2}{3}x + 4$ et $C_f$ sa droite représentative.

1. aCalcule la valeur de $x$ qui annule $f(x)$.
2. bComplète le tableau de signes de $f(x)$ :

   x	$-\infty$		…		$+\infty$
   $f(x)$		…	0	…

3. cChoisis une valeur test pour contrôler ton tableau.
4. dSur quel intervalle $C_f$ est-elle strictement au-dessus de l'axe des abscisses ?
5. eRésous l'inéquation $f(x) \geqslant -2$.

Ex. 39★★★Deux tarifs de location de vélo — Malik loue un vélo électrique pour une durée $x$ (en heures), avec $0 \leqslant x \leqslant 10$. Tarif A : $f(x) = 1{,}5x + 12$ ; tarif B : $g(x) = 2{,}5x + 5$ (prix en euros).

1. aÉcris $f(x) - g(x)$ sous la forme $mx + p$.
2. bDresse le tableau de signes de $f(x) - g(x)$ sur $[0\,;\,10]$.
3. cPour quelles durées le tarif A est-il strictement moins cher que le tarif B ?
4. dMalik loue le vélo 4 h. Sans calculer les prix, dis quel tarif il doit choisir, puis vérifie par un calcul.

Ex. 40★★★Démontrer la règle des signes — Soit $m$ et $p$ deux réels avec $m \neq 0$, $f(x) = mx + p$ et $x_0 = -\frac{p}{m}$. On considère aussi $h(x) = -5x + 3$ et la fonction constante $c(x) = -6$.

1. aVérifie par le calcul que $f(x_0) = 0$.
2. bOn suppose $m < 0$. Cite le sens de variation de $f$, puis déduis-en le signe de $f(x)$ pour $x > x_0$ et pour $x < x_0$.
3. cLucas affirme : « une expression affine est toujours négative puis positive ». Dresse le tableau de signes de $h(x)$ et dis s'il a raison. Contrôle avec un point test.
4. dZoé affirme : « la droite représentative de $c$ coupe l'axe des abscisses, comme toutes les droites des fonctions affines ». A-t-elle raison ? Justifie et donne le signe de $c(x)$.
5. eRésous $h(x) > -7$ à la main. Indique l'étape où le sens de l'inégalité change et pourquoi.

Ex. 41★★★Deux bougies qui se consument — Nora allume en même temps deux bougies. La bougie A mesure 30 cm et perd 1,5 cm par heure. La bougie B mesure 24 cm et perd 0,9 cm par heure. On note $t$ le temps écoulé, en heures, depuis l'allumage.

1. aExprime la hauteur $a(t)$ de la bougie A et la hauteur $b(t)$ de la bougie B en fonction de $t$. Donne $m$ (avec son unité) et $p$ pour chacune.
2. bDétermine le domaine de validité de chaque modèle, c'est-à-dire l'intervalle de temps pendant lequel la bougie n'est pas entièrement consumée.
3. cSur le domaine de validité du modèle A, étudie le signe de $a(t) - b(t)$. Déduis-en à quel moment chaque bougie est la plus haute.
4. dNora veut que la bougie A mesure au moins 12 cm. Résous $a(t) \geqslant 12$ par le calcul et conclus.
5. ePendant combien de temps les deux bougies mesurent-elles toutes les deux plus de 18 cm ? Donne la réponse en heures et minutes.

Ex. 42★★★Une fonction affine à paramètre — Soit $k$ un nombre réel et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3 - k)x + 6$. On considère aussi $g(x) = x - 6$.

1. aPour quelle valeur de $k$ la fonction $f$ est-elle constante ? Donne alors le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.
2. bDétermine les valeurs de $k$ pour lesquelles $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. Justifie en citant le théorème du cours.
3. cDétermine $k$ pour que $f(x)$ s'annule en $x = 2$.
4. dPour la valeur de $k$ trouvée à la question précédente, dresse le tableau de signes de $f(x)$. Contrôle avec un point test.
5. ePour cette même valeur de $k$, résous $f(x) \leqslant g(x)$ en étudiant le signe de $f(x) - g(x)$, puis représente $S$ sur la droite graduée .

Ex. 43★★★Écrire et utiliser un modèle affine — Réponds à chaque question par un calcul court, sans oublier l'unité.

1. aUn abonnement de vélo en libre-service coûte $8$ € à l'inscription, puis $1{,}5$ € par trajet. Écris le prix $P(x)$, en €, pour $x$ trajets.
2. bUne bougie mesure $18$ cm et raccourcit de $1{,}2$ cm par heure. Sa hauteur après $t$ heures est $h(t) = mt + p$. Donne $m$ et $p$ avec leurs unités.
3. cUn réservoir contient $60$ L et se vide de $4$ L par minute : $V(t) = -4t + 60$. Sur quel intervalle de temps ce modèle a-t-il un sens ?
4. dAu pied d'une montagne, il fait $14$ °C, et la température baisse de $6{,}5$ °C par km d'altitude. Calcule la température à $2{,}4$ km d'altitude.
5. eUn taxi facture $P(d) = 1{,}8d + 3{,}2$ euros pour $d$ km. Quelle distance a-t-on parcourue pour $25{,}70$ € ?
6. fUn cybercafé facture $0{,}15$ € par page imprimée, sans frais fixes. Écris le prix $P(x)$ pour $x$ pages. Est-ce une fonction linéaire ? Justifie.

Ex. 44★★★Vrai ou faux sur les modèles — Vrai ou faux ? Justifie par un calcul ou un argument.

1. aOn place $2\,500$ € sur un livret qui rapporte $4$ % par an. Le capital est une fonction affine du nombre d'années.
2. bUne trottinette se loue $1$ € pour le déverrouillage, puis $0{,}25$ € par minute. $20$ minutes coûtent le double de $10$ minutes.
3. cSi $y = -3x + 40$, alors $y$ diminue de $3$ chaque fois que $x$ augmente de $1$.
4. dUn forfait téléphonique coûte $15$ € par mois, plus $0{,}05$ € par SMS. Le coefficient directeur du prix mensuel est $m = 15$.
5. eUn plombier facture $45$ € de déplacement, puis $38$ € par heure. Pour $2$ h $30$ de travail, il demande $132{,}40$ €.
6. fUne plante pousse à vitesse constante. Elle mesure $12$ cm le premier jour et $15{,}5$ cm cinq jours plus tard. Elle pousse donc de $0{,}7$ cm par jour.

Ex. 45★★★La cuve de récupération d'eau — Lucas ouvre le robinet d'une cuve d'eau de pluie et relève le volume restant $V(t)$, en litres, après $t$ minutes.

1. aCalcule le quotient $\frac{\text{variation de } V}{\text{variation de } t}$ entre les colonnes successives. Que peux-tu conclure ?
2. bDonne $m$ et $p$ avec leurs unités, puis l'expression de $V(t)$.
3. cCalcule le volume d'eau restant au bout de $25$ minutes.
4. dAu bout de combien de temps la cuve est-elle vide ? Donne l'intervalle sur lequel le modèle a un sens.
5. eLucas referme le robinet quand il reste $101{,}5$ L dans la cuve. Au bout de combien de temps l'a-t-il refermé ? Donne la réponse en minutes et secondes.

Ex. 46★★★Deux tarifs de vélo électrique — Nora veut louer un vélo électrique pour $t$ heures, avec $t \geqslant 0$.
Tarif A : $6$ € par heure.
Tarif B : $15$ € d'adhésion, puis $3{,}50$ € par heure.

1. aExprime le prix $A(t)$ du tarif A et le prix $B(t)$ du tarif B, en euros. Lequel est proportionnel à la durée ?
2. bCalcule le prix de chaque tarif pour une location de $4$ h $30$.
3. cRésous l'inéquation $B(t) < A(t)$. Conclus : à partir de quelle durée le tarif B est-il plus avantageux ?
4. dMila dispose de $40$ €. Avec quel tarif peut-elle rouler le plus longtemps ? Justifie.

Ex. 47★★★Deux bougies allumées ensemble — Ben allume deux bougies à $19$ h $00$. Elles se consument à vitesse constante. La bougie A mesure $24$ cm et perd $2$ cm par heure. La bougie B mesure $18$ cm à $19$ h $00$ et $15{,}8$ cm à $21$ h $45$. On note $h_A(t)$ et $h_B(t)$ les hauteurs, en cm, des bougies après $t$ heures.

1. aDétermine l'expression de $h_B(t)$. Donne $m$ avec son unité.
2. bExprime $h_A(t)$. Pour chaque bougie, donne l'intervalle de $t$ sur lequel le modèle a un sens.
3. cAu bout de combien de temps les deux bougies ont-elles la même hauteur ? Quelle est cette hauteur ?
4. dRésous l'inéquation $h_A(t) < h_B(t)$ sur l'intervalle où les deux modèles ont un sens. Conclus par une phrase.
5. eÀ quelle heure la bougie B mesure-t-elle $3$ cm de plus que la bougie A ? Donne l'heure en heures et minutes.

Ex. 48★★★Taxi, VTC : quel tarif choisir ? — Pour un trajet de $x$ km, avec $x \in [0\,;\,15]$, Inès compare trois offres. Taxi Alpha : $4{,}50$ € de prise en charge, puis $1{,}20$ € par km. Taxi Bêta : $2{,}10$ € par km, sans prise en charge. VTC : forfait de $18$ € pour tout trajet de $15$ km au plus. On note $A(x)$, $B(x)$ et $C(x)$ les prix, en euros.

1. aExprime $A(x)$, $B(x)$ et $C(x)$. Laquelle de ces fonctions est linéaire ? Laquelle est constante ?
2. bInès affirme : « Avec Alpha comme avec Bêta, $10$ km coûtent deux fois plus cher que $5$ km. » A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.
3. cRésous l'inéquation $A(x) < B(x)$ sur $[0\,;\,15]$. Conclus par une phrase.
4. dÀ partir de quelle distance le VTC est-il moins cher que le taxi Alpha ? Justifie par une inéquation.
5. eRésume en une phrase l'offre la moins chère selon la distance $x$. Vérifie avec $x = 3$ et $x = 12$.

Ex. 49★★★La pousse de deux plantes — Yanis mesure deux jeunes plantes, en cm, $j$ jours après leur mise en terre. Plante Q :

1. aCalcule le quotient $\frac{\text{variation de } h_Q}{\text{variation de } j}$ entre les colonnes successives. Qu'en déduis-tu ? Donne $m$ avec son unité.
2. bDétermine l'ordonnée à l'origine $p$, puis $h_Q(j)$. Que représente $p$ pour la plante ?
3. cLa hauteur de la plante R est-elle une fonction affine de $j$ ? Justifie.
4. dMontre que, pour tout $j$, $h_Q(j + 10) - h_Q(j) = 6$. Déduis-en, sans calculer d'image, de combien la plante Q pousse entre le jour $15$ et le jour $35$.
5. eLe modèle reste valable tant que la plante Q mesure au plus $35$ cm. Donne l'intervalle de validité de $j$, puis la hauteur de la plante au bout de $4$ semaines.