1re tronc commun / Fonctions affines et lectures graphiques

Ex. 1★★★Reconnaître une fonction affine — Pour chaque fonction définie sur son ensemble de définition, réponds à la question posée.

1. a$f(x) = 7 - 3x$ : donne le coefficient directeur $m$ et l'ordonnée à l'origine $p$.
2. b$g(x) = -4$ : $g$ est-elle affine ? Justifie en donnant $m$ et $p$.
3. c$h(x) = x^2 - 1$ : $h$ est-elle affine ? Justifie à l'aide de $h(0)$, $h(1)$ et $h(2)$.
4. d$k(x) = \frac{6}{x}$ : vrai ou faux ? « $k$ est linéaire de coefficient $6$. » Justifie avec $k(1)$, $k(2)$ et $k(3)$.
5. e$\ell(x) = 1{,}5 + 0{,}2x$ : donne le sens de variation de $\ell$ sur $\mathbb{R}$. Justifie.
6. f$q(x) = \frac{x}{4}$ : $q$ est-elle linéaire ? Sa droite passe-t-elle par l'origine ? Justifie.

Ex. 2★★★Automatismes : images, antécédents, droites — Réponds en détaillant ton calcul sur une ligne.

1. aSoit $f(x) = -5x + 2$. Calcule $f(-4)$.
2. bSoit $g(x) = 4x + 7$. Détermine l'antécédent de $-5$ par $g$.
3. cCalcule le coefficient directeur de la droite $(AB)$, avec $A(1\,;-2)$ et $B(5\,;8)$.
4. dLe point $E(-2\,;11)$ appartient-il à la droite d'équation $y = -4x + 3$ ? Justifie par un calcul.
5. eUn prix $x$ augmente de $8$ %. Exprime le nouveau prix $N(x)$ en fonction de $x$ et donne la nature de $N$.
6. f$h$ est une fonction linéaire telle que $h(5) = 12$. Calcule $h(-2)$.

Ex. 3★★★Les erreurs d'Inès — On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 6 - 0{,}5x$. Inès a rédigé : « $m = 6$ et $p = -0{,}5$, donc $f$ est croissante. L'antécédent de $8$ par $f$ est $f(8) = 2$. »

1. aCorrige les valeurs de $m$ et de $p$ données par Inès.
2. bInès affirme que $f$ est croissante. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cExplique l'erreur d'Inès sur l'antécédent de $8$, puis calcule le bon antécédent.
4. dCalcule $f(-6)$ en écrivant les parenthèses.
5. eLe point $P(14\,;-1)$ appartient-il à $C_f$ ? Justifie par un calcul.

Ex. 4★★★Location de voiture — Zoé loue une voiture. Le loueur facture un forfait de $35$ € plus $0{,}25$ € par kilomètre parcouru. On note $P(x)$ le prix payé, en euros, pour $x$ kilomètres.

1. aExprime $P(x)$ en fonction de $x$, puis donne $m$ et $p$.
2. bCalcule le prix payé pour $180$ km.
3. cZoé a payé $97{,}50$ €. Combien de kilomètres a-t-elle parcourus ?
4. dLe prix est-il proportionnel au nombre de kilomètres ? Justifie avec $P(100)$ et $P(200)$.
5. eLe loueur augmente tous ses prix de $4$ %. Exprime le nouveau prix $Q(x)$ sous la forme $mx + p$.

Ex. 5★★★Trois formules de vélo électrique — Une ville propose trois formules de location de vélo électrique. Formule A : $0{,}40$ € par km. Formule B : abonnement de $12$ € plus $0{,}15$ € par km. Formule C : forfait de $30$ €, quelle que soit la distance. On note $A(x)$, $B(x)$ et $C(x)$ le prix payé, en euros, pour $x$ km parcourus.

1. aExprime $A(x)$, $B(x)$ et $C(x)$ en fonction de $x$. Pour chacune, dis si elle est linéaire, affine ou les deux. Justifie.
2. bJuliette a choisi la formule B et a payé $21$ €. Combien de kilomètres a-t-elle parcourus ? Justifie par un calcul.
3. cPour quelles distances la formule B est-elle moins chère que la formule A ? Résous une inéquation.
4. dPour quelles distances la formule B coûte-t-elle au plus autant que la formule C ? Résous une inéquation.
5. eL'an prochain, le prix de la formule A augmente de $5$ %. Exprime le nouveau prix $A_2(x)$. Est-ce encore une fonction linéaire ? Justifie.

Ex. 6★★★Le réservoir du groupe électrogène — Le réservoir d'un groupe électrogène se vide régulièrement. Le volume de carburant restant, en litres, au bout de $t$ heures est donné par une fonction affine $V$. Au bout de $2$ h, il reste $48$ L ; au bout de $7$ h, il reste $33$ L.

1. aCalcule le coefficient directeur de $V$. Que signifie-t-il pour le réservoir ? Donne le sens de variation de $V$.
2. bDétermine l'ordonnée à l'origine, puis l'expression de $V(t)$. Que représente ce nombre pour le réservoir ?
3. cAu bout de combien de temps le réservoir est-il vide ? Justifie par un calcul.
4. dLe point $E(10\,;25)$ appartient-il à la droite représentant $V$ ? Justifie par un calcul.
5. eLéo affirme : « Au bout de $9$ h, il reste la moitié du volume de départ. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 7★★★Automatismes : lire un tableau de valeurs — Voici un tableau de valeurs d'une fonction $g$. Réponds à l'aide du tableau.

1. aLis l'image de $4$ par $g$.
2. bDonne le ou les antécédents de $4$ par $g$ lus dans le tableau.
3. cDonne tous les antécédents de $-2$ par $g$ lus dans le tableau.
4. dLis $g(5)$.
5. eMila affirme : « $0$ a deux images, $1$ et $4$ ». Corrige son erreur.

Ex. 8★★★Automatismes : point sur une courbe — Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = x^2 - 3x + 1$. On note $C_h$ sa courbe représentative.

1. aCalcule l'image de $-2$ par $h$.
2. bLe point $A(2\,;-1)$ appartient-il à $C_h$ ? Justifie par un calcul.
3. cLe point $B(-1\,;3)$ appartient-il à $C_h$ ? Justifie par un calcul.
4. dCalcule l'ordonnée du point de $C_h$ d'abscisse $0{,}5$.
5. eDétermine par le calcul tous les antécédents de $1$ par $h$.

Ex. 9★★★Exploiter un tableau de variations — Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur $[-5\,;6]$.

1. aDonne le maximum de $f$ sur $[-5\,;6]$ et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.
2. bDonne le minimum de $f$ sur $[-5\,;6]$ et la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.
3. cCompare $f(-4)$ et $f(-2)$. Justifie.
4. dDonne un encadrement de $f(x)$ pour $x \in [2\,;6]$.
5. eCombien de solutions l'équation $f(x) = -2$ a-t-elle sur $[-5\,;6]$ ? Justifie.

Ex. 10★★★Température relevée pendant la nuit — Inès relève la température $T(t)$, en °C, $t$ heures après minuit, de $t = 0$ à $t = 8$. Entre deux relevés, on suppose que la température varie régulièrement.

1. aLis $T(7)$.
2. bDonne toutes les heures du relevé où la température vaut $0$ °C.
3. cZoé dit : « $T(t)$ est positive, car $t$ est positif ». Corrige-la et donne le signe de $T(t)$ sur $[0\,;8]$.
4. dDonne la température minimale relevée et l'heure à laquelle elle est atteinte.
5. eDonne tous les instants où la température vaut $1$ °C, en valeur approchée si besoin.

Ex. 11★★★Juger des affirmations sur un tableau de variations — Voici le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur $[-2\,;8]$. Justifie chaque réponse à l'aide du tableau.

1. aBen affirme que $f(0) = 1$. Peut-on l'affirmer à partir du tableau ? Justifie.
2. bVrai ou faux : $f(-1) > f(2)$. Justifie.
3. cLina écrit : « $0 < 6$, donc $f(0) < f(6)$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
4. dTom affirme : « Le maximum de $f$ est $8$. » Corrige son erreur, puis donne le minimum de $f$ et la valeur de $x$ où il est atteint.
5. eCombien de solutions l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle sur $[-2\,;8]$ ? Justifie, puis donne le signe de $f(x)$ sur $[-2\,;8]$.

Ex. 12★★★Le vol d'un drone — Yanis fait voler un drone depuis une terrasse. On note $h(t)$ son altitude, en dizaines de mètres, $t$ minutes après le départ. Elle est relevée chaque minute, de $t = 0$ à $t = 7$. Entre deux relevés, on suppose que l'altitude varie régulièrement.

1. aLis $h(6)$, puis donne l'altitude du drone en mètres à cet instant.
2. bDonne tous les instants relevés où $h(t) = 5$, puis ceux où $h(t) = 7$.
3. cQuelle est l'altitude maximale du drone, en mètres ? À quel instant est-elle atteinte ?
4. dSur quel intervalle de temps a-t-on $h(t) \geqslant 3$ ? Justifie par un calcul, puis donne la borne de droite en minutes et secondes.
5. eDresse le tableau de variations de $h$ sur $[0\,;7]$, puis donne le minimum de $h$ et l'instant où il est atteint.

Ex. 13★★★Automatismes : lire $m$ et $p$ — Les fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$. Réponds en une ligne.

1. aPour $f(x) = 7 - 3x$, donne le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.
2. bLa fonction $g(x) = \frac{x}{4} - 6$ est-elle croissante, décroissante ou constante ? Justifie.
3. cLa fonction $h(x) = -9$ est-elle croissante, décroissante ou constante ? Justifie.
4. dDéveloppe $k(x) = 2(x - 5)$, puis donne son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.
5. eDonne l'expression de la fonction affine $v$ de coefficient directeur $-5$ et d'ordonnée à l'origine $\frac{1}{2}$.

Ex. 14★★★Automatismes : coefficient directeur à partir de deux points — Calcule, s'il existe, le coefficient directeur de la droite qui passe par les deux points.

1. a$A(1\,;4)$ et $B(3\,;10)$.
2. b$C(-2\,;5)$ et $D(1\,;-7)$.
3. c$E(-5\,;-1)$ et $F(-1\,;-7)$.
4. d$G(0\,;3)$ et $H(6\,;3)$.
5. e$K(4\,;1)$ et $L(4\,;9)$.
6. f$M(-6\,;-2)$ et $N(2\,;4)$.

Ex. 15★★★Trois élèves, une droite — On cherche le coefficient directeur $m$ de la droite $(PQ)$, avec $P(-3\,;2)$ et $Q(1\,;-6)$. Inès écrit : $m = \frac{-6 - 2}{1 - 3} = \frac{-8}{-2} = 4$.

1. aRepère l'erreur d'Inès, puis calcule la bonne valeur de $m$.
2. bHugo écrit $m = \frac{1 - (-3)}{-6 - 2}$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cLucas écrit $m = \frac{2 - (-6)}{1 - (-3)} = 2$. A-t-il raison ? Justifie.
4. dLa fonction affine représentée par $(PQ)$ est-elle croissante ou décroissante ? Justifie.

Ex. 16★★★Location de vélo — Nora loue un vélo. Le prix, en euros, pour $x$ heures de location est $f(x) = mx + p$. Une location de $3$ h coûte $13{,}20$ €, et une location de $8$ h coûte $25{,}20$ €.

1. aCalcule le coefficient directeur $m$ de $f$.
2. bExplique ce que représente $m$ pour la location, avec l'unité.
3. cCalcule $p$, puis explique ce qu'il représente.
4. dNora a payé $30$ €. Combien d'heures a duré sa location ?

Ex. 17★★★Le réservoir du camping-car — Le réservoir d'eau d'un camping-car se vide à débit constant. On note $f(t)$ le volume d'eau restant, en litres, au bout de $t$ minutes. La fonction $f$ est affine : $f(t) = mt + p$. Au bout de $4$ min, il reste $52$ L. Au bout de $10$ min, il reste $37$ L.

1. aCalcule le coefficient directeur $m$. Interprète-le dans le contexte, avec son unité.
2. bDéduis-en $p$, puis l'expression de $f(t)$. Que représente $p$ pour le réservoir ?
3. cDonne le sens de variation de $f$ et justifie-le.
4. dYanis affirme : « $f(t + 1) - f(t)$ dépend de $t$. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
5. eAu bout de combien de temps le réservoir est-il vide ? Donne la réponse en minutes et en secondes.

Ex. 18★★★Enquête sur cinq points — Dans un repère, on donne les points $A(-4\,;3)$, $B(2\,;6)$, $C(2\,;-1)$, $D(8\,;6)$ et $E(-10\,;1)$.

1. aCalcule le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
2. bSur la droite $(AB)$, de combien varie l'ordonnée $y$ quand $x$ augmente de $4$ ? Justifie.
3. cLila affirme : « La droite $(BC)$ a pour coefficient directeur $0$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dCalcule le coefficient directeur de $(BD)$. Que peux-tu dire de la fonction affine représentée par $(BD)$ ?
5. eCalcule le coefficient directeur de $(AE)$. Les points $A$, $B$ et $E$ sont-ils alignés ? Justifie.

Ex. 19★★★Lire un tableau de variations — Une fonction $f$ est définie sur $[-3\,;4]$. Voici son tableau de variations.

1. aCombien de solutions l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle sur $[-3\,;4]$ ?
2. bCombien de solutions l'équation $f(x) = 3$ a-t-elle sur $[-3\,;4]$ ?
3. cRésous l'équation $f(x) = -1$.
4. dRésous l'inéquation $f(x) \leqslant 5$.
5. eEncadre $f(x)$ pour tout $x$ de $[-3\,;4]$.
6. fRésous l'inéquation $f(x) < -1$.

Ex. 20★★★Avec la fonction carré — Résous chaque équation ou inéquation en t'aidant de la parabole d'équation $y = x^2$ et de la droite horizontale qui convient.

1. a$x^2 = 16$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$x^2 = 16$ sur l'intervalle $[-1\,;6]$.
3. c$x^2 \leqslant 9$ sur $\mathbb{R}$.
4. d$x^2 > 2{,}25$ sur $\mathbb{R}$.
5. e$x^2 < -4$ sur $\mathbb{R}$.
6. f$x^2 \leqslant 0$ sur $\mathbb{R}$.

Ex. 21★★★Le réservoir d'eau — Le nuage donne la hauteur d'eau $h(t)$, en mètres, dans un réservoir $t$ heures après midi, pour $t$ dans $[0\,;6]$. On relie les points voisins par des segments.

1. aRésous l'équation $h(t) = 3$.
2. bRésous l'inéquation $h(t) < 1$.
3. cRésous l'inéquation $h(t) \geqslant 2$.
4. dLina dit : « La solution de $h(t) = 4$, c'est $4$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 22★★★Deux tarifs de location de vélo — Une location de vélo coûte $f(x) = 2x + 6$ euros avec le tarif A, et $g(x) = 3{,}5x$ euros avec le tarif B, pour $x$ heures, avec $x$ dans $[0\,;10]$.

1. aComplète ce tableau de valeurs.

   x	0	2	6	10
   f(x)	…	…	…	…
   g(x)	…	…	…	…

2. bRésous $f(x) = g(x)$ par le calcul, puis donne le prix commun aux deux tarifs.
3. cRésous $f(x) < g(x)$ sur $[0\,;10]$. Interprète le résultat.
4. dHugo a $20$ euros. Résous $f(x) \leqslant 20$ pour trouver les durées possibles avec le tarif A.

Ex. 23★★★Tout ce que dit un tableau de variations — Une fonction $f$ est définie sur $[-5\,;6]$. Voici son tableau de variations.

1. aRésous l'équation $f(x) = -2$. Justifie qu'il n'y a pas d'autre solution que celles que tu donnes.
2. bRésous l'inéquation $f(x) < -2$. Donne la réponse sous forme d'intervalle.
3. cLéa affirme : « Pour tout $x$ de $[-5\,;6]$, on a $-3 < f(x) \leqslant 4$. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dCombien de solutions l'équation $f(x) = 4$ a-t-elle ? Et l'équation $f(x) = -2{,}5$ ? Justifie flèche par flèche.
5. ePour quelles valeurs de $k$ l'équation $f(x) = k$ a-t-elle exactement trois solutions ? Justifie.

Ex. 24★★★La serre d'Inès — Inès relève la température $T(t)$, en °C, dans sa serre, $t$ heures après 6 h, pour $t$ dans $[0\,;8]$. Entre deux relevés voisins, la température varie de façon affine : on relie les points par des segments. Dehors, la température est $E(t) = 2t + 2$.

1. aRésous l'équation $T(t) = 10$.
2. bRésous l'inéquation $T(t) \geqslant 14$.
3. cRésous l'inéquation $T(t) < 6$.
4. dSur $[5\,;6]$, $T$ est affine et passe par $(5\,;14)$ et $(6\,;10)$. Détermine $T(t)$ sur cet intervalle.
5. eRésous $T(t) = E(t)$, puis $T(t) > E(t)$ sur $[0\,;8]$. Justifie à l'aide de quelques valeurs.

Ex. 25★★★Automatismes : lire et utiliser une équation réduite — Réponds à chaque question par un calcul court ou une phrase.

1. aDonne le coefficient directeur $m$ et l'ordonnée à l'origine $p$ de la droite d'équation $y = 4 - 3x$.
2. bDonne une équation de la droite parallèle à l'axe des abscisses qui passe par $A(5\,;-2)$.
3. cDonne une équation de la droite parallèle à l'axe des ordonnées qui passe par $B(-3\,;7)$, puis explique pourquoi elle n'a pas d'équation réduite.
4. dLes droites $d_1 : y = 6 - 0{,}4x$ et $d_2 : y = -0{,}4x - 1$ sont-elles parallèles ? Justifie.
5. ePour tracer la droite d'équation $y = -2x + 1$, donne les coordonnées de deux de ses points.
6. fLe point $C(-4\,;9)$ appartient-il à la droite d'équation $y = -2{,}5x - 1$ ? Justifie par un calcul.

Ex. 26★★★Automatismes : calculer m et p — Donne le résultat en détaillant le calcul. Attention aux parenthèses autour des coordonnées négatives.

1. aDonne l'équation réduite de la droite qui passe par $A(2\,;-1)$ et dont le coefficient directeur vaut $4$.
2. bCalcule l'ordonnée à l'origine de la droite qui passe par $B(-4\,;5)$ et dont le coefficient directeur vaut $-0{,}75$.
3. cCalcule le coefficient directeur de la droite qui passe par $C(-1\,;-6)$ et $D(3\,;2)$.
4. dUne droite passe par $G(3\,;0)$ et $H(0\,;-6)$. Donne son ordonnée à l'origine.
5. eDonne l'équation réduite de la droite parallèle à $y = 5x + 2$ qui passe par $F(1\,;4)$.

Ex. 27★★★Repère les erreurs de Lina — Lina cherche l'équation réduite de la droite $(AB)$, avec $A(-3\,;8)$ et $B(5\,;-4)$. Elle écrit : $m = \frac{-4 - 8}{5 + 3} = -1{,}5$, puis $p = 8 - (-1{,}5) \times 3 = 12{,}5$, donc $f(x) = -1{,}5x + 12{,}5$.

1. aLe coefficient directeur trouvé par Lina est-il juste ? Justifie par un calcul.
2. bVérifie le calcul de $p$ fait par Lina et corrige-le si besoin.
3. cContrôle ta valeur de $p$ avec le point $B$.
4. dLina conclut par « $f(x) = \ldots$ ». Écris correctement l'équation réduite de la droite $(AB)$.

Ex. 28★★★Deux droites sécantes — Dans un repère, la droite $d_1$ passe par $A(-1\,;-5)$ et $B(3\,;3)$. La droite $d_2$ a pour équation $y = -0{,}5x + 7$.

1. aDétermine l'équation réduite de $d_1$ et contrôle-la avec le point $B$.
2. bJustifie que les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes.
3. cCalcule les coordonnées du point d'intersection $I$ de $d_1$ et $d_2$.
4. dDonne l'équation réduite de la droite $d_3$, parallèle à $d_2$, qui passe par $C(-2\,;1)$.

Ex. 29★★★Un quadrilatère dans un repère — Dans un repère, on considère les points $A(0\,;2)$, $B(4\,;4)$, $C(6\,;-1)$, $D(-4\,;-6)$ et $E(4\,;-3)$. Justifie chaque réponse par un calcul.

1. aCalcule le coefficient directeur de la droite $(AB)$, puis celui de la droite $(DC)$. Que peux-tu en déduire pour ces deux droites ?
2. bCalcule le coefficient directeur de $(AD)$, puis celui de $(BC)$. Le quadrilatère $ABCD$ est-il un parallélogramme ? Justifie.
3. cDétermine l'équation réduite de la droite $(DC)$ en utilisant le point $C$, puis contrôle-la avec le point $D$.
4. dLe point $M(-8\,;-9)$ appartient-il à la droite $(DC)$ ? Justifie par un calcul.
5. eDonne une équation de la droite $(BE)$. A-t-elle une équation réduite ? Calcule ensuite les coordonnées du point d'intersection de $(BE)$ et $(DC)$.

Ex. 30★★★Trois cuves — Le temps $x$ est en heures et le volume $y$ en litres, avec $x$ entre $0$ et $11$. La cuve A se vide régulièrement : elle contient $900$ L à $x = 2$ et $600$ L à $x = 5$. La cuve B contient $200$ L à $x = 0$ et gagne $50$ L par heure. La cuve C contient toujours $700$ L.

1. aLe volume de la cuve A est représenté par une droite $d_A$. Détermine son équation réduite, puis contrôle-la avec le second point.
2. bQue représentent le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de $d_A$ pour la cuve A ?
3. cDonne l'équation réduite de la droite $d_B$ qui représente le volume de la cuve B, puis les coordonnées de deux de ses points pour la tracer.
4. dAu bout de combien de temps les cuves A et B contiennent-elles le même volume ? Quel est ce volume ?
5. eDonne l'équation de la droite $d_C$ associée à la cuve C. Pendant quelle période la cuve A contient-elle moins d'eau que la cuve C ? Justifie.

Ex. 31★★★Automatismes : signe d'un facteur du premier degré — Réponds en une ligne, sans calculatrice.

1. aPour quelle valeur de $x$ l'expression $4x - 10$ s'annule-t-elle ?
2. bLéa affirme que $x + 7$ s'annule en $7$. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cPour quelle valeur de $x$ l'expression $-3x + 12$ s'annule-t-elle ? Quel est son signe à droite de cette valeur ?
4. dSur quel intervalle l'expression $9 - 2x$ est-elle positive ou nulle ?
5. eSur quel intervalle l'expression $3(x - 5)$ est-elle strictement négative ?
6. fRésous l'inéquation $-x - 8 > 0$.

Ex. 32★★★Automatismes : règle des signes — Réponds sans développer, en comptant les facteurs négatifs.

1. aDonne le signe de $(x - 4)(x + 2)$ pour $x = 1$.
2. bRange dans l'ordre croissant les deux valeurs qui annulent $(x - 6)(2x + 3)$.
3. cPour $x = -10$, combien de facteurs de $(x + 4)(x - 1)(x + 12)$ sont négatifs ? Donne le signe du produit.
4. dDonne le signe de $-5(x - 2)(x - 7)$ pour $x$ compris strictement entre $2$ et $7$.
5. eVrai ou faux ? Pour $x = 3$, l'expression $(1 - x)(x + 6)$ est positive. Justifie.

Ex. 33★★★Tableau de signes à compléter — On considère $A(x) = (-2x + 5)(x + 4)$ et le tableau de signes ci-dessous, à compléter.

1. aDonne la valeur qui annule chaque facteur de $A(x)$.
2. bComplète le tableau : les valeurs dans l'ordre croissant, une ligne par facteur, puis la ligne de $A(x)$.
3. cRésous l'inéquation $A(x) \leqslant 0$.
4. dSans développer, donne le signe de $A(100)$ en utilisant ton tableau. Contrôle par un calcul.

Ex. 34★★★L'erreur de Lucas — Lucas étudie le signe de $B(x) = -3(x - 2)(x + 5)$. Il écrit : « Les racines sont $-2$ et $5$, et $B(x)$ est positif à l'extérieur des racines. »

1. aQuelles sont les deux valeurs qui annulent réellement $B(x)$ ?
2. bQuel est le signe de $B(x)$ à l'extérieur des racines ? Justifie avec le signe du facteur constant.
3. cRésous l'inéquation $B(x) > 0$.
4. dCalcule $B(3)$ et explique si ce résultat est cohérent avec ta réponse précédente.

Ex. 35★★★Le bénéfice de l'atelier de bougies — Un atelier fabrique et vend $x$ centaines de bougies par mois, avec $x \in [0\,;16]$. Son bénéfice, en centaines d'euros, est $B(x) = -0{,}5(x - 2)(x - 14)$. Ne développe pas $B(x)$.

1. aCalcule $B(0)$ et $B(6)$. Interprète $B(0)$ pour l'atelier.
2. bRésous $B(x) = 0$. Que représentent ces valeurs pour l'atelier ?
3. cDresse le tableau de signes de $B(x)$ sur $[0\,;16]$, avec une ligne par facteur, $-0{,}5$ compris.
4. dPour quelles quantités l'atelier fait-il un bénéfice strictement positif ? Donne l'ensemble des solutions de $B(x) > 0$.
5. eInès affirme : « Avec 15 centaines de bougies, l'atelier gagne de l'argent. » Vrai ou faux ? Justifie par le tableau puis par un calcul.

Ex. 36★★★Un facteur à l'envers — On considère $E(x) = (9 - 3x)(7 - 2x)$ et $F(x) = 5(x - 3)(7 - 2x)$. Ne développe aucune expression.

1. aDonne la valeur qui annule chaque facteur de $E(x)$, puis range ces valeurs dans l'ordre croissant.
2. bDresse le tableau de signes de $E(x)$. Justifie le signe de chaque facteur de part et d'autre de sa racine.
3. cRésous $E(x) \leqslant 0$ à l'aide de ton tableau.
4. dNoé affirme : « $E(x)$ et $F(x)$ ont le même tableau de signes, car le facteur 5 ne change rien. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. ePropose une expression $G(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ dont le tableau de signes est :

   x	−∞		−1		4		+∞
   G(x)		−	0	+	0	−

Ex. 37★★★Automatismes : équations du premier degré et quotient — Résous chaque équation et donne l'ensemble des solutions $S$.

Ex. 38★★★Automatismes : carrés, produits nuls et inéquations — Résous chaque équation ou inéquation. Donne $S$ sous forme d'ensemble ou d'intervalle.

1. a$x^2 = 36$
2. b$x^2 = 7$ (valeurs exactes)
3. c$(x - 4)(x + 4) = 0$
4. d$(3x - 6)(5x + 2) = 0$
5. e$-4x + 1 < 21$
6. f$2x - 5 \geqslant 6x + 3$

Ex. 39★★★Repérer et corriger l'erreur d'un élève — Chaque élève s'est trompé. Repère son erreur, puis écris la bonne réponse.

1. aNoé résout $-6x \geqslant 24$ et écrit : « $x \geqslant -4$ ».
2. bInès affirme : « $x^2 = -9$ a deux solutions, $3$ et $-3$, et $x^2 = 0$ n'en a aucune. »
3. cPour résoudre $(2x - 1)(x + 3) = 0$, Malik développe, obtient $2x^2 + 5x - 3 = 0$ et reste bloqué. Résous correctement.
4. dSofia résout $3x - 2 < 10$ et écrit : « $S = ]-\infty\,;4]$ ».

Ex. 40★★★Deux compagnies de taxi — Pour un trajet de $x$ km, la compagnie A facture une prise en charge de 2 €, puis $1{,}60$ € par km. La compagnie B facture une prise en charge de 8 €, puis $1{,}10$ € par km.

1. aCalcule le prix d'un trajet de 10 km avec chaque compagnie.
2. bExprime en fonction de $x$ le prix $A(x)$ payé avec la compagnie A et le prix $B(x)$ payé avec la compagnie B.
3. cRésous l'équation $A(x) = B(x)$.
4. dRésous $B(x) < A(x)$. À partir de quelle distance la compagnie B est-elle plus avantageuse ?

Ex. 41★★★Le bénéfice d'un atelier de confitures — Un atelier fabrique et vend $x$ centaines de pots de confiture, avec $0 \leqslant x \leqslant 20$. Son bénéfice, en euros, est donné par $B(x) = -20(x - 3)(x - 15)$.

1. aCalcule $B(5)$ et interprète le résultat.
2. bRésous $B(x) = 0$ sans développer. Interprète les solutions.
3. cComplète le tableau de signes de $B(x)$ sur $[0\,;20]$.

   x	0		…		…		20
   −20		…	…	…	…	…
   x − 3		…	…	…	…	…
   x − 15		…	…	…	…	…
   B(x)		…	…	…	…	…

4. dPour quelles quantités l'atelier réalise-t-il un bénéfice strictement positif ? Donne $S$ sous forme d'intervalle.
5. eCalcule $B(0)$. Montre que $B(x) = B(0)$ équivaut à $x(x - 18) = 0$, puis résous cette équation.

Ex. 42★★★Le potager d'Ilyès — Ilyès a un potager carré de $x$ mètres de côté. Il le transforme en rectangle : il allonge un côté de 3 m et raccourcit l'autre de 3 m. On suppose $x > 3$.

1. aExprime l'aire du rectangle en fonction de $x$, sous forme développée.
2. bPour quelle valeur de $x$ l'aire du rectangle vaut-elle 16 m² ? Justifie.
3. cMila affirme : « Le rectangle a toujours le même périmètre que le carré. » Vrai ou faux ? Justifie par un calcul.
4. dIlyès voudrait que le rectangle ait la même aire que le carré. Est-ce possible ? Justifie par une équation.
5. eQuel côté exact donne un carré de 8 m² ? Arrondis au centimètre. Ilyès peut-il alors faire son rectangle ? Justifie.