Troisième / Factoriser

Ex. 1★★★Le bon facteur commun — Factorise au maximum.

Ex. 2★★★Factorisations à compléter — Recopie et complète chaque factorisation.

1. a$20x^2 - 15x = 5x(\ldots - \ldots)$
2. b$18t + 6 = 6(\ldots + \ldots)$
3. c$9a^2 + 12a = \ldots(3a + 4)$
4. d$0{,}5x^2 + 2{,}5x = 0{,}5x(\ldots + \ldots)$
5. e$-8x - 20 = -4(\ldots + \ldots)$
6. f$2x^3 - 10x^2 = \ldots(x - 5)$

Ex. 3★★★Trois termes, décimaux et fractions — Factorise au maximum. Vérifie chaque résultat en développant.

1. a$6x^2 - 9x + 15$
2. b$10t^3 + 4t^2 - 8t$
3. c$1{,}2a^2 - 0{,}4a$
4. d$\dfrac{1}{3}x^2 - \dfrac{2}{3}x$
5. e$-4x^2 - 6x + 2$, en mettant un nombre négatif en facteur

Ex. 4★★★Le cahier de Yanis — Yanis a factorisé ces expressions. Pour chacune, développe sa réponse puis dis si elle est juste et factorisée au maximum. Sinon, corrige-la.

1. a$9x^2 + 27x = 9x(x + 3)$
2. b$16x^2 + 24x = x(16x + 24)$
3. c$-10t + 25 = -5(2t + 5)$
4. d$15x^2 - 5x = 5x(3x - 5)$

Ex. 5★★★La terrasse de Mehdi — Mehdi construit une terrasse rectangulaire. Son aire, en m², est $A = 12x^2 + 18x$, où $x$ est un nombre positif. Un côté de la terrasse mesure $6x$ m.

1. aFactorise $A$ en mettant $6x$ en facteur. Déduis-en la mesure de l'autre côté.
2. bCalcule l'aire de la terrasse pour $x = 5$ en utilisant la forme factorisée.
3. cMehdi construit une autre terrasse, de même aire $A$, dont un côté mesure $3x$ m. Combien mesure l'autre côté ?

Ex. 6★★★Le programme de Nora — Nora propose ce programme de calcul : choisir un nombre ; le multiplier par $3$ ; soustraire $12$ au résultat ; multiplier le tout par le nombre choisi au départ. On note $x$ le nombre choisi.

1. aCalcule le résultat obtenu quand on choisit $5$, puis quand on choisit $-2$.
2. bMontre que le résultat du programme est égal à $3x^2 - 12x$.
3. cNora dit : « $3x^2 - 12x = 3(x^2 - 4x)$, c'est factorisé au maximum. » A-t-elle raison ? Justifie, puis factorise $3x^2 - 12x$ au maximum.
4. dHugo cherche les nombres qui donnent $0$. Il écrit $3x^2 = 12x$, divise par $x$ et trouve seulement $x = 4$. Trouve tous ces nombres et explique son oubli.

Ex. 7★★★Des multiples garantis — Dans cet exercice, $n$ désigne un nombre entier. Factoriser permet de prouver qu'un nombre est un multiple d'un autre.

1. aFactorise $12n + 18$ au maximum. Déduis-en que $12n + 18$ est toujours un multiple de $6$.
2. bLina affirme : « $15n^2 - 10n$ est toujours un multiple de $10$. » Factorise cette expression au maximum, puis dis si Lina a raison. Justifie.
3. cFactorise $-14n - 21$ en mettant en facteur un nombre négatif. Explique pourquoi on obtient toujours l'opposé d'un multiple de $7$.
4. dFactorise $n^2 + n$. Explique pourquoi ce nombre est toujours pair.
5. eSans calculatrice, déduis-en que $57^2 + 57$ est pair, puis calcule ce nombre à l'aide de la forme factorisée.

Ex. 8★★★Trois copies pour une même expression — Pour factoriser $E = 18t^3 - 12t^2 + 6t$, trois élèves ont écrit : Noé : $E = 6(3t^3 - 2t^2 + t)$ ; Lou : $E = 3t(6t^2 - 4t + 2)$ ; Maé : $E = 6t(3t^2 - 2t)$.

1. aDéveloppe chacune des trois réponses. Lesquelles sont justes ?
2. bExplique l'erreur de chaque réponse fausse.
3. cLes réponses justes sont-elles factorisées au maximum ? Justifie, puis donne la factorisation au maximum de $E$.
4. dFactorise au maximum $F = -18t^3 + 12t^2 - 6t$ en mettant en facteur un nombre négatif.
5. eFactorise au maximum $G = 9t^3 - 6t^2$, puis résous l'équation $G = 0$.

Ex. 9★★★Parenthèse commune : premiers réflexes — Automatismes. Factorise chaque expression, puis réduis le reste.

1. a$(x + 7)(3x - 2) + (x + 7)(x + 5)$
2. b$(2t - 1)(t + 6) - (2t - 1)(3t - 4)$
3. c$(a + 2)(5a - 1) - (4a + 3)(a + 2)$
4. d$7x(x - 9) + 2(x - 9)$
5. e$(x - 8)(3x + 1) - (3x + 1)(x + 2)$
6. f$0{,}5x(x + 3) + 1{,}5(x + 3)$

Ex. 10★★★Faire apparaître la parenthèse — Automatismes. Fais d'abord apparaître le facteur commun (carré, facteur $1$, nombre en facteur ou opposé), puis factorise et réduis.

1. a$(x - 6)^2 + (x - 6)(2x + 5)$
2. b$(4x + 3)(x - 1) + (4x + 3)$
3. c$(5t - 2) - (5t - 2)(t + 3)$
4. d$2x + 8 + (x + 4)(x - 9)$
5. e$(x - 3)(2x + 1) + (3 - x)(x + 5)$
6. f$(2a + 1)^2 - (2a + 1)(a - 3)$

Ex. 11★★★Les brouillons de Yanis — Yanis a factorisé trois expressions, mais chaque calcul contient une erreur.

1. aYanis écrit $(x + 5)(3x - 4) - (x + 5)(2x - 7) = (x + 5)(3x - 4 - 2x - 7) = (x + 5)(x - 11)$. Trouve son erreur, puis corrige.
2. bYanis écrit $(6x - 1)(x + 2) + (6x - 1) = (6x - 1)(x + 2)$. Trouve son erreur, puis corrige.
3. cYanis écrit $(x - 7)(2x + 3) + (7 - x)(x - 1) = (x - 7)[(2x + 3) + (x - 1)] = (x - 7)(3x + 2)$. Trouve son erreur, puis corrige.
4. dVérifie ta correction de la première factorisation : calcule l'expression de départ et ta forme factorisée pour $x = 1$.

Ex. 12★★★Factorisations à trous — Recopie et complète chaque égalité pour qu'elle soit vraie pour toute valeur de la lettre.

1. a$(x + 9)(2x - 3) - (x + 9)(x - 8) = (x + 9)[\ldots] = (x + 9)(\ldots)$
2. b$(3x - 2)(x + 1) + (\ldots)(3x - 2) = (3x - 2)(4x - 5)$
3. c$(2x + 1)(x + 4) - (x - 2)(\ldots) = \ldots(2x + 1)$
4. dÀ rebours : écris une somme de deux produits ayant $t + 2$ comme facteur commun et dont la forme factorisée est $(t + 2)(3t - 1)$.

Ex. 13★★★L'expression de Louna — Louna étudie l'expression $A = (x - 1)(5x + 7) - (x - 1)(2x + 1)$.

1. aSans développer $A$, factorise-la au maximum.
2. bVérifie ton résultat : calcule $A$ et ta forme factorisée pour $x = 2$.
3. cRésous l'équation $A = 0$.

Ex. 14★★★Une expression en cinq questions — On considère l'expression $E = (3x - 2)^2 - (x + 4)(3x - 2)$.

1. aDéveloppe et réduis $E$.
2. bSans partir de la forme développée, factorise $E$ au maximum.
3. cChoisis la forme la plus adaptée pour calculer $E$ pour $x = -1$, puis pour $x = \frac{2}{3}$.
4. dRésous l'équation $E = 0$.
5. eRésous l'équation $E = 12$ en te ramenant à une équation produit nul.

Ex. 15★★★Le programme d'Inès — Inès propose ce programme : « Choisis un nombre. Soustrais-lui $5$. Multiplie le résultat par la somme du double du nombre de départ et de $1$. Ajoute à ce produit le nombre de départ diminué de $5$. »

1. aApplique le programme au nombre $7$.
2. bOn note $x$ le nombre de départ. Écris le résultat du programme en fonction de $x$, sans développer.
3. cFactorise ce résultat au maximum, sans le développer.
4. dQuels nombres de départ donnent $0$ comme résultat ?
5. eInès affirme : « Si je choisis un nombre entier, le résultat est toujours pair. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 16★★★La serre de Soan — Le terrain rectangulaire de Soan mesure $(2x + 1)$ m sur $(3x - 12)$ m, avec $x > 5$. Il y installe une serre rectangulaire de $(x - 4)$ m sur $(x + 6)$ m. On note $A$ l'aire, en m², du terrain que la serre ne couvre pas.

1. aExprime $A$ en fonction de $x$, sans développer.
2. bFais apparaître le facteur $x - 4$ dans le premier produit, puis factorise $A$ et réduis le reste.
3. cVérifie ta factorisation en calculant $A$ pour $x = 10$ avec les deux écritures.
4. dLina affirme que $A = (4 - x)(3 - 5x)$. Vrai ou faux ? Justifie.
5. eSoan veut que $A$ soit égale à l'aire d'une allée de $27$ m sur $(x - 4)$ m. Ramène l'équation à un produit nul et trouve $x$.

Ex. 17★★★Des différences de deux carrés — Factorise chaque expression. Écris d'abord chaque terme comme un carré.

Ex. 18★★★Une différence de deux carrés ? — Dis si l'expression est une différence de deux carrés. Si c'est le cas, factorise-la. Sinon, explique pourquoi.

Ex. 19★★★Le cahier d'Inès — Inès a écrit ces factorisations. A-t-elle raison ? Justifie, puis corrige si besoin.

1. a$x^2 - 256 = (x - 16)^2$
2. b$49x^2 - 1 = (49x + 1)(49x - 1)$
3. c$x^2 + 64 = (x + 8)(x - 8)$
4. dInès teste sa première égalité avec $x = 0$. Que trouve-t-elle de chaque côté ? Conclus.

Ex. 20★★★Garder la parenthèse en bloc — Factorise, puis réduis dans chaque parenthèse.

1. a$(x - 4)^2 - 49$
2. b$(3x - 2)^2 - (x + 5)^2$
3. c$36 - (t + 1)^2$
4. d$(2a + 1)^2 - 9a^2$

Ex. 21★★★Facteur commun d'abord

1. aFactorise au maximum $5x^2 - 180$.
2. bDéduis-en les solutions de l'équation $5x^2 - 180 = 0$.
3. cFactorise au maximum $0{,}5x^2 - 8$.
4. dFactorise au maximum $-2t^2 + 200$.

Ex. 22★★★Les nombres de Zélie — Zélie affirme : « La différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale à leur somme. » Elle utilise $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ pour le prouver, puis pour résoudre.

1. aCalcule $15^2 - 14^2$, puis $15 + 14$. Que remarques-tu ?
2. bOn note $n$ le plus petit des deux nombres. Factorise $(n + 1)^2 - n^2$, puis prouve l'affirmation de Zélie.
3. cTrouve deux nombres entiers consécutifs dont la différence des carrés vaut $45$.
4. dComplète $\frac{1}{16}x^2 - 9 = (\ldots + \ldots)(\ldots - \ldots)$, puis résous l'équation $\frac{1}{16}x^2 - 9 = 0$.

Ex. 23★★★La terrasse de Sacha — Sacha carrèle une terrasse carrée de côté $2x + 3$ mètres, avec $x > 1$. Au centre, un massif de fleurs carré de côté $x - 1$ mètres n'est pas carrelé. On note $A$ l'aire carrelée, en m².

1. aExplique pourquoi $A = (2x + 3)^2 - (x - 1)^2$.
2. bDéveloppe et réduis $A$.
3. cFactorise $A$, puis réduis dans chaque facteur.
4. dChoisis la forme de $A$ la plus pratique pour calculer l'aire carrelée quand $x = 6$, puis calcule-la.
5. eSacha voudrait une aire carrelée de $8$ m². Est-ce possible ? Justifie.

Ex. 24★★★Le programme de Noé — Voici le programme de calcul de Noé : choisis un nombre ; ajoute $3$ ; élève le résultat au carré ; soustrais $4$ fois le carré du nombre de départ.

1. aApplique le programme au nombre $2$.
2. bOn note $x$ le nombre de départ et $R$ le résultat. Écris $R$ en fonction de $x$, puis développe et réduis $R$.
3. cÉcris $4x^2$ comme un carré, puis factorise $R$ au maximum.
4. dQuels nombres de départ donnent $0$ ? Justifie.
5. eNoé cherche les nombres de départ qui donnent $9$. Il divise par $x$ et ne trouve que $2$. Explique son erreur, puis trouve tous ces nombres.

Ex. 25★★★La dernière opération décide — Pour chaque expression, donne la dernière opération effectuée. Dis ensuite si l'expression est une forme développée réduite, une forme factorisée ou ni l'une ni l'autre.

Ex. 26★★★Deux formes au choix — On a $B = (3x - 2)(x + 4)$, et sa forme développée réduite est $B = 3x^2 + 10x - 8$. Calcule $B$ en choisissant la forme la plus pratique, et indique laquelle tu prends.

1. a$B$ pour $x = 0$
2. b$B$ pour $x = -4$
3. c$B$ pour $x = \dfrac{1}{3}$
4. d$B$ pour $x = -\dfrac{1}{2}$
5. eSans développer, trouve toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $B = 0$.

Ex. 27★★★Yanis et Lina ne trouvent pas pareil — On a $C = (x + 5)^2 - (2x - 1)^2$. Yanis développe : $C = x^2 + 10x + 25 - 4x^2 - 4x + 1 = -3x^2 + 6x + 26$. Lina factorise et obtient $C = (3x + 4)(6 - x)$.

1. aCalcule $C$ pour $x = 0$ avec la forme de Yanis, puis avec celle de Lina. Que peux-tu en conclure ?
2. bTrouve l'erreur de Yanis, puis corrige son développement.
3. cRetrouve la factorisation de Lina en détaillant le calcul avec des crochets.
4. dChoisis la forme adaptée pour résoudre l'équation $C = 0$.

Ex. 28★★★Un essai ne suffit pas — Inès affirme : « Pour tout nombre $x$, $(x + 2)(x - 6) = x^2 - 12$. J'ai vérifié avec $x = 0$. »

1. aTeste l'égalité d'Inès avec $x = 1$. A-t-elle raison ? Justifie.
2. bDéveloppe $(x + 2)(x - 6)$ et explique pourquoi l'essai avec $x = 0$ marchait quand même.
3. cProuve que, pour tout nombre $a$, $(2a - 1)(a + 3) + 4 = 2a^2 + 5a + 1$.
4. dProuve que, pour tout nombre $a$, $(a + 4)(a - 2) - 1 = (a + 3)(a - 1) - 6$.

Ex. 29★★★Le jeu des étiquettes — Étiquettes : $x^2 - 4$ ; $(2x - 3)(x - 5)$ ; $x^2 - 8x + 7$ ; $(7x - 1)(x - 1)$ ; $2x^2 - 13x + 15$ ; $(x + 2)(x - 2)$ ; $7x^2 - 8x + 1$ ; $(x - 1)(x - 7)$.

1. aComplète le tableau en plaçant chaque étiquette dans une case.
2. bJustifie la ligne de $A$ par le calcul : développe $A$, puis factorise $A$.
3. cContrôle la ligne de $D$ : calcule ses trois écritures pour $x = 2$.
4. dAvec la forme adaptée, trouve les expressions qui valent $0$ pour $x = 1$.

Ex. 30★★★Une expression, cinq missions — On considère l'expression $D = (3x - 1)^2 - (x + 3)^2$.

1. aDéveloppe et réduis $D$.
2. bFactorise $D$ au maximum.
3. cCalcule $D$ pour $x = \frac{1}{4}$ en choisissant la forme la plus pratique.
4. dRésous l'équation $D = 0$.
5. eRésous l'équation $D = -8$, sans diviser par $x$.

Ex. 31★★★Deux programmes jumeaux — Programme A : « Choisir un nombre, lui ajouter $5$, élever le résultat au carré, puis soustraire $25$. » Programme B : « Choisir un nombre, puis le multiplier par la somme de ce nombre et de $10$. »

1. aTeste les deux programmes avec $3$, puis avec $-2$.
2. bSacha affirme : « Les deux programmes donnent le même résultat pour $3$ et pour $-2$, donc ils donnent toujours le même résultat. » Son raisonnement est-il valable ? Justifie.
3. cOn choisit un nombre $t$. Écris le résultat $A$ du programme A et le résultat $B$ du programme B en fonction de $t$.
4. dProuve que $A = B$ pour tout nombre $t$ : d'abord en développant $A$ et $B$, puis en ne transformant que $A$.
5. eTrouve tous les nombres de départ pour lesquels le programme A donne $0$.

Ex. 32★★★La place et son bassin — Une place carrée a pour côté $(2a + 1)$ m, avec $a \geqslant 1$. On y creuse un bassin carré de côté $(a + 2)$ m. On note $S$ l'aire, en m², de la partie de la place qui reste. Pour $S$, Noé propose $3(a + 1)(a + 3)$ et Maëlys propose $3a^2 - 3$.

1. aExplique pourquoi $S = (2a + 1)^2 - (a + 2)^2$.
2. bComplète le tableau.

   Écriture de $S$	Forme	Valeur pour $a = 2$
   $(2a + 1)^2 - (a + 2)^2$
   $3(a + 1)(a + 3)$
   $3a^2 - 3$

3. cL'écriture de Noé est-elle égale à $S$ ? Et celle de Maëlys ? Justifie par un calcul littéral et corrige l'erreur de Noé.
4. dRésous l'équation $S = 0$ avec la forme la plus adaptée, puis interprète le résultat dans la situation.
5. eBen affirme : « Si $a$ est un nombre entier, l'aire qui reste est un multiple de $3$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 33★★★Le produit nul en direct — Résous chaque équation.

1. a$(t + 6)(2t - 5) = 0$
2. b$x(4x + 3) = 0$
3. c$-5(a - 9) = 0$
4. d$(5x - 2)^2 = 0$
5. e$(0{,}5x + 3)(x - 1{,}5) = 0$
6. f$(x^2 + 4)(x - 8) = 0$

Ex. 34★★★Un membre nul, je factorise — Factorise le membre de gauche, puis résous l'équation.

1. a$t^2 - 13t = 0$
2. b$(x - 2)(3x + 1) + 4(x - 2) = 0$
3. c$10a^2 - 25a = 0$
4. d$x^2 - 64 = 0$
5. e$\dfrac{1}{9}x^2 - 1 = 0$
6. f$(x - 4)^2 - 25 = 0$

Ex. 35★★★Les quatre erreurs de Yanis — Chaque résolution de Yanis contient au moins une erreur. Explique-la, puis résous correctement l'équation.

1. aYanis divise les deux membres de $x^2 = 6x$ par $x$ et trouve une seule solution : $x = 6$.
2. bPour $(x - 3)(x + 2) = -6$, Yanis écrit : $x - 3 = -6$ ou $x + 2 = -6$, donc $x = -3$ ou $x = -8$.
3. cYanis écrit : « $(2x + 1)(x^2 + 9) = 0$ donne $x = -\frac{1}{2}$ et $x = -3$ ».
4. dPour $(x + 7)(3x - 2) = 0$, Yanis développe, obtient $3x^2 + 19x - 14 = 0$ et reste bloqué.

Ex. 36★★★Ramener à zéro avant tout — Ramène chaque équation à un produit nul, puis résous-la.

1. a$(x + 5)(4x - 1) = (x + 5)(x + 8)$
2. b$(2t - 3)(t + 4) - (2t - 3)(3t - 2) = 0$
3. c$(a - 6)^2 = 4(a - 6)$
4. d$(3x + 2)^2 - (x - 4)^2 = 0$

Ex. 37★★★Le programme de Nora — Nora utilise ce programme de calcul : choisir un nombre ; lui soustraire $3$ ; élever le résultat au carré ; soustraire $49$.

1. aCalcule le résultat obtenu avec le nombre $5$.
2. bOn choisit le nombre $x$. Écris le résultat $R$ en fonction de $x$.
3. cFactorise $R$.
4. dNora veut obtenir $0$. Quels nombres peut-elle choisir ?
5. eVérifie chacune de ces solutions en appliquant le programme.

Ex. 38★★★Quatre questions sur F — On considère l'expression $F = (2x - 3)^2 - (x + 2)(2x - 3)$.

1. aDéveloppe et réduis $F$.
2. bFactorise $F$.
3. cRésous l'équation $F = 0$.
4. dRésous l'équation $F = 15$. Choisis la forme de $F$ la plus adaptée.
5. ePour résoudre $F = 2$, Hugo part de la forme factorisée. Il écrit que chaque facteur est égal à $2$. A-t-il raison ? Justifie en testant une des valeurs qu'il obtient.

Ex. 39★★★Vrai ou faux sur les solutions — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie.

1. a« L'équation $x^3 = 16x$ a trois solutions. »
2. b« La seule solution de l'équation $(a + 3)^2 = 36$ est $3$. »
3. c« Les solutions de l'équation $(2x - 1)(x + 4) = 2x - 1$ sont $\frac{1}{2}$ et $-4$. »
4. d« Dire que $t(5t + 2) = 0$, c'est dire que $t = 0$ et $5t + 2 = 0$. »

Ex. 40★★★La plaque découpée — Une plaque carrée a pour côté $(2x + 5)$ cm, où $x$ est un nombre positif. Dans un coin de la plaque, on découpe un carré de côté $(x + 1)$ cm. On note $A$ l'aire, en cm², de ce qui reste de la plaque.

1. aCalcule $A$ pour $x = 3$.
2. bExprime $A$ en fonction de $x$, puis factorise $A$ au maximum.
3. cRésous l'équation $A = 0$. Explique pourquoi on ne peut pas obtenir une aire restante nulle avec cette plaque.
4. dTrouve les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire restante est égale à l'aire d'un rectangle de $8$ cm sur $(3x + 3)$ cm.
5. eVérifie chaque valeur trouvée en calculant les deux aires.

Ex. 41★★★Automatismes : factoriser en une ligne — Factorise au maximum.

1. a$25t^2 - 10t$
2. b$\dfrac{1}{4}x^2 - 9$
3. c$-12x^2 - 18x$
4. d$(x + 5)^2 - 3(x + 5)$
5. e$(3x - 2)(x + 4) - (x + 4)$
6. f$(2a + 1)^2 - a^2$

Ex. 42★★★Automatismes : vrai ou faux de brevet — Vrai ou faux ? Justifie.

1. a$x^2 + 64 = (x + 8)(x - 8)$
2. b$x^2 - 100 = (x - 10)^2$
3. cPour $x = -2$, l'expression $(x + 2)(5x - 1) + 7$ vaut $0$.
4. d$(t - 1)^2 - 4 = (t - 3)(t + 1)$
5. e$5x^2 - 20 = 5(x - 2)(x + 2)$

Ex. 43★★★Le tableur de Yanis — Yanis écrit des nombres dans la colonne A d'un tableur. Dans la cellule B2, il tape la formule « =(A2+2)^2-9 », puis il l'étire vers le bas. On note $F = (x + 2)^2 - 9$.

1. aDéveloppe et réduis $F$.
2. bFactorise $F$.
3. cSans tableur, calcule $F$ pour $x = 0$, puis pour $x = -2$. À chaque fois, choisis la forme la plus pratique.
4. dQuels nombres Yanis doit-il écrire dans la colonne A pour que le tableur affiche $0$ ? Justifie.

Ex. 44★★★Le programme de Lina — Programme : « Choisis un nombre. Calcule son carré. Soustrais au résultat le triple du nombre de départ. »

1. aApplique le programme à $7$, puis à $-2$.
2. bAppelle $x$ le nombre de départ. Écris le résultat en fonction de $x$, puis factorise-le.
3. cLina cherche les nombres dont le carré est égal à leur triple. Elle divise $x^2 = 3x$ par $x$ et trouve seulement $3$. Corrige-la.
4. dMontre que, si le nombre de départ est un entier, le résultat est toujours un nombre pair.

Ex. 45★★★La terrasse de Sacha — Sacha a une terrasse carrée de côté $(x + 3)$ m, avec $x > 2$. Au milieu, il creuse un bassin carré de $5$ m de côté. Il recouvre de dalles le reste de la terrasse.

1. aExprime l'aire $A$ de la partie dallée en fonction de $x$, puis factorise $A$.
2. bCalcule $A$ pour $x = 2$ avec la forme la plus pratique. Explique alors pourquoi l'énoncé impose $x > 2$.
3. cSacha veut exactement $39$ m² de dalles. Écris l'équation correspondante, puis ramène-la à une équation produit nul.
4. dRésous cette équation et donne le côté de la terrasse.

Ex. 46★★★L'expression du brevet blanc — On considère l'expression $E = (3x - 1)^2 - (x + 5)^2$.

1. aDéveloppe et réduis $E$.
2. bFactorise $E$ au maximum.
3. cCalcule $E$ pour $x = 0$, puis pour $x = \frac{1}{2}$, en choisissant à chaque fois la forme la plus pratique.
4. dRésous l'équation $E = 0$.
5. eVrai ou faux ? « Si $x$ est un nombre entier, alors $E$ est un multiple de $8$. » Justifie.

Ex. 47★★★Le potager agrandi de Noé — Noé a un potager carré de côté $x$ m, avec $x > 0$. Il l'agrandit en allongeant chaque côté de $6$ m : le nouveau potager est encore un carré.

1. aExprime en fonction de $x$ l'aire ajoutée $A$, en m², puis factorise $A$ au maximum.
2. bCalcule l'aire ajoutée pour $x = 4{,}5$ avec la forme de ton choix.
3. cNoé veut que l'aire du nouveau potager soit égale à $4$ fois celle du potager de départ. Montre que $x$ vérifie alors $(x + 6)^2 - (2x)^2 = 0$.
4. dRésous l'équation $(x + 6)^2 - (2x)^2 = 0$.
5. eQuel côté doit avoir le potager de départ ? Justifie.

Ex. 48★★★Les deux programmes de Timéo et Rose — Programme A : « Choisis un nombre. Ajoute-lui $5$. Élève le résultat au carré. Soustrais $25$. » Programme B : « Choisis un nombre. Multiplie-le par le nombre qui vaut $10$ de plus. » On note $t$ le nombre choisi.

1. aApplique les deux programmes au nombre $-4$.
2. bTiméo affirme : « Les deux programmes donnent toujours le même résultat. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cQuels nombres de départ donnent $0$ avec le programme A ?
4. dRose cherche les nombres pour lesquels le programme A donne $7$ fois le nombre de départ. Elle écrit : $t^2 + 10t = 7t$, puis, en divisant par $t$ : $t + 10 = 7$, donc $t = -3$. Explique son erreur, puis trouve toutes les solutions.