1re tronc commun / Fonctions exponentielles

Ex. 1★★★Automatismes : puissances entières — Sans calculatrice.

1. aÉcris $7^3 \times 7^5$ sous la forme d'une seule puissance de $7$.
2. bÉcris $\frac{6^{11}}{6^4}$ sous la forme $6^n$, avec $n$ entier.
3. cUn élève écrit $(5^2)^3 = 5^5$. Corrige son erreur.
4. dÉcris $4^{-2}$ sous la forme d'une fraction.
5. eDonne la valeur de $2\,026^0$.
6. fCalcule $(-3)^4$, puis $-3^4$.
7. gCalcule $0{,}25^3 \times 4^3$ en regroupant les deux puissances.

Ex. 2★★★Automatismes : racines carrées et écriture scientifique — Sans calculatrice.

1. aCalcule $\sqrt{0{,}49}$.
2. bTrouve le nombre positif dont le carré vaut $2{,}25$.
3. cDonne la valeur de $\left(\sqrt{13}\right)^2$.
4. dCalcule $\sqrt{8} \times \sqrt{50}$.
5. eCalcule $\sqrt{9 + 16}$, puis $\sqrt{9} + \sqrt{16}$. Compare.
6. fVrai ou faux ? Justifie : $\sqrt{(-6)^2} = -6$.
7. gÉcris $(3{,}2 \times 10^5) \times (5 \times 10^{-2})$ en écriture scientifique.

Ex. 3★★★Vrai ou faux sur les puissances et les racines — Sans calculatrice.

1. aVrai ou faux ? Justifie : $(2 \times 5)^3 + (2 + 5)^2 = 2^3 \times 5^3 + 2^2 + 5^2$.
2. bVrai ou faux ? Justifie : $(2^3)^2 \times 2^{-4} = 4$.
3. cVrai ou faux ? Justifie : $\left(\sqrt{7}\right)^2 + \sqrt{25 - 9} = 7 + 5 - 3$.
4. dVrai ou faux ? Justifie : $\frac{6^4}{2^4} \times 3^{-2} = 9$.

Ex. 4★★★Un loyer qui augmente chaque année — Calculatrice autorisée. Les montants sont arrondis au centime. En 2026, Malik paie un loyer de $640$ € par mois à Rennes. Ce loyer augmente de $2\,\%$ chaque année.

1. aDonne le coefficient multiplicateur associé à une hausse de $2\,\%$.
2. bCalcule le loyer en 2027, puis en 2028.
3. cExprime le loyer $L$ au bout de $n$ années en fonction de $n$.
4. dCalcule le loyer en 2031.
5. eMalik affirme : « En $5$ ans, mon loyer augmente de $10\,\%$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 5★★★Bactéries et ordres de grandeur — Sans calculatrice. À 8 h, une culture contient $3 \times 10^4$ bactéries. Le nombre de bactéries double chaque heure.

1. aPar combien le nombre de bactéries est-il multiplié en $3$ heures ? Traduis ce résultat en pourcentage d'évolution.
2. bCalcule le nombre de bactéries à 13 h et donne-le en écriture scientifique.
3. cJustifie que $2^{20} = \left(2^{10}\right)^2$. Sachant que $2^{10} = 1\,024 \approx 10^3$, donne un ordre de grandeur de $2^{20}$.
4. dDonne un ordre de grandeur du nombre de bactéries le lendemain à 4 h.

Ex. 6★★★Cinq calculs à justifier, puis un classement — Sans calculatrice. Justifie chaque calcul par une propriété des puissances ou de la racine carrée.

1. aSoit $A = \frac{\left(2^3\right)^4 \times 2^{-5}}{2^4}$. Yanis trouve $A = 2^{-2}$ car il a écrit $\left(2^3\right)^4 = 2^7$. Explique son erreur, puis calcule $A$.
2. bCalcule $B = 5^{-2} \times (7 + 3)^2$ en écrivant d'abord $5^{-2}$ sous forme de fraction.
3. cCalcule $C = 2{,}5^3 \times 0{,}4^3 + 9^0$.
4. dCalcule $D = \left(\sqrt{11}\right)^2 - \sqrt{144 + 25}$. Yanis trouve $D = -6$ : quelle erreur a-t-il faite ?
5. eCalcule $E = -2^4 + (-5)^2$, puis range $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ dans l'ordre croissant.

Ex. 7★★★Abonnés et vues d'une chaîne vidéo — Calculatrice autorisée. Début 2026, la chaîne vidéo d'un club d'escalade de Grenoble compte $2{,}4 \times 10^4$ abonnés. Inès, qui gère la chaîne, prévoit une hausse de $3\,\%$ par an du nombre d'abonnés. En 2026, chaque abonné regarde en moyenne $50$ vidéos de la chaîne dans l'année.

1. aDonne le coefficient multiplicateur global du nombre d'abonnés sur $5$ ans, arrondi à $0{,}001$, puis le pourcentage d'évolution correspondant.
2. bEstime le nombre d'abonnés début 2031, arrondi à l'unité.
3. cCalcule le nombre total de vidéos vues en 2026 et donne-le en écriture scientifique.
4. dLe nombre moyen de vidéos vues par abonné augmente de $5\,\%$ par an. Justifie qu'en $5$ ans, le nombre total de vues est multiplié par $(1{,}03 \times 1{,}05)^5$. Arrondis ce coefficient à $0{,}001$.
5. eEstime le nombre total de vues en 2031, puis donne son ordre de grandeur.

Ex. 8★★★Images d'une fonction exponentielle — Sans calculatrice.

1. aCalcule $16^{0{,}5}$.
2. bCalcule $7^0$.
3. cÉcris $3^{1{,}3}\times 3^{0{,}7}$ sous la forme d'un nombre entier.
4. dOn pose $f(x)=3\times 4^x$. Calcule $f(2)$.
5. eOn pose $f(x)=3\times 4^x$. Calcule $f(0{,}5)$.
6. fCalcule $1^{3{,}7}$.

Ex. 9★★★Taux et coefficient multiplicateur — Sans calculatrice. Pour les quatre premières questions, précise aussi s'il s'agit d'une croissance ou d'une décroissance exponentielle.

1. aUne population augmente de $6\,\%$ par an. Quel est le coefficient multiplicateur annuel $a$ ?
2. bLe prix d'une trottinette baisse de $15\,\%$ par an. Quel est le coefficient multiplicateur annuel $a$ ?
3. cLe nombre d'abonnés d'un compte augmente de $120\,\%$ par mois. Léo en déduit $a=1{,}2$. Vrai ou faux ? Justifie.
4. dLa masse d'un glaçon diminue de $2{,}5\,\%$ par minute. Quel est le coefficient multiplicateur par minute $a$ ?
5. eUne grandeur est modélisée par $V(x)=500\times 1{,}18^x$. Quelle est son évolution en pourcentage par unité de temps ?
6. fUne grandeur est modélisée par $W(x)=80\times 0{,}93^x$. Quelle est son évolution en pourcentage par unité de temps ?

Ex. 10★★★Deux cultures de bactéries : affine ou exponentiel ? — On compte deux cultures de bactéries (en milliers) toutes les heures. $x$ est le temps en heures. Calculatrice autorisée.

1. aCalcule les quotients successifs des valeurs de la culture A. Quel type de modèle convient ?
2. bCalcule les différences successives des valeurs de la culture B. Quel type de modèle convient ?
3. cÉcris le nombre de bactéries de la culture A sous la forme $A(x)=k\times a^x$. Donne son taux d'évolution horaire.
4. dNoé affirme : « La culture B augmente de $30\,\%$ par heure. » Est-ce juste ? Justifie.

Ex. 11★★★Le placement d'Inès — Le 1er janvier 2022, Inès place $3\,200$ € à intérêts composés de $4\,\%$ par an. On note $x$ le nombre d'années écoulées depuis le 1er janvier 2022. Calculatrice autorisée ; arrondis au centime.

1. aExprime le capital $C(x)$ d'Inès en fonction de $x$.
2. bQuelle valeur de $x$ correspond au 1er janvier 2027 ? Calcule le capital à cette date.
3. cCalcule le capital d'Inès au 1er juillet 2022.
4. dInès pensait avoir $3\,264$ € au 1er juillet 2022, « la moitié des intérêts d'une année ». Explique son calcul et pourquoi il est faux.

Ex. 12★★★Concentration d'un médicament : corrige les erreurs — On injecte un médicament à une patiente. Sa concentration dans le sang (en mg/L) est modélisée par $f(x)=k\times a^x$, avec $x$ en heures après l'injection. On mesure $f(1)=27$ et $f(2)=24{,}3$. Calculatrice autorisée ; arrondis au centième.

1. aCalcule $\frac{f(2)}{f(1)}$ et déduis-en $a$. Traduis-le par un pourcentage d'évolution par heure.
2. bJade écrit : « La concentration au moment de l'injection est $f(1)=27$ mg/L. » Est-ce correct ? Corrige si besoin.
3. cPour calculer $f(3)$, Tom élève $k\times a$ au cube. Repère l'erreur, puis calcule $f(3)$.
4. dSans calculer, compare $f(4)$ et $f(6)$. Justifie.

Ex. 13★★★Montval contre Brécourt : 3 % par an ou 1 500 habitants par an ? — Au 1er janvier 2020, la ville de Montval compte $40\,000$ habitants. Sa population augmente de $3\,\%$ par an. À la même date, Brécourt compte $46\,000$ habitants et gagne $1\,500$ habitants par an. On note $x$ le nombre d'années écoulées depuis le 1er janvier 2020. $M(x)$ et $B(x)$ sont les populations des deux villes. Calculatrice autorisée.

1. aExprime $M(x)$ et $B(x)$ en fonction de $x$.
2. bNoa affirme : « Montval gagne $1\,200$ habitants par an, car $3\,\%$ de $40\,000$ font $1\,200$. » A-t-il raison ? Justifie en calculant les gains de 2020 à 2021, puis de 2021 à 2022.
3. cPour la population de Montval au 1er janvier 2024, Malo prend $x=5$, car « 2020, 2021, 2022, 2023, 2024, cela fait $5$ années ». Explique son erreur, puis donne la bonne valeur à l'unité près.
4. dCompare les populations des deux villes au 1er janvier 2030.
5. eMontre que Montval dépasse Brécourt pour la première fois au 1er janvier 2045. Justifie en calculant des valeurs.

Ex. 14★★★La cote de la voiture de Yanis — Le 1er janvier 2023, Yanis achète une voiture électrique neuve $30\,000$ €. Sa cote (en euros) est modélisée par $V(x)=k\times a^x$, avec $x$ le nombre d'années écoulées depuis l'achat. Au 1er janvier 2025, la voiture ne vaut plus que $19\,200$ €. Calculatrice autorisée.

1. aQuelle valeur de $x$ correspond au 1er janvier 2025 ? Donne $k$, puis écris une égalité vérifiée par $a$ et calcule $a$.
2. bLéna affirme : « En deux ans, la voiture a perdu $36\,\%$ de sa valeur, donc elle perd $18\,\%$ par an. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cExprime $V(x)$, justifie qu'il s'agit d'une décroissance exponentielle et donne la cote au 1er janvier 2024.
4. dÉcris $a^{1{,}5}$ comme le produit de deux puissances de $a$, dont l'une s'écrit avec une racine carrée. Calcule alors la cote au 1er juillet 2024, à l'euro près.
5. eÀ partir de quel 1er janvier la cote devient-elle pour la première fois inférieure à la moitié du prix d'achat ? Justifie en calculant deux valeurs.

Ex. 15★★★Calculer de tête avec les propriétés — Sans calculatrice, écris chaque nombre sous la forme d'une seule puissance, puis donne sa valeur.

1. aCalcule $2^{1{,}3} \times 2^{2{,}7}$.
2. bCalcule $\dfrac{10^{4{,}2}}{10^{2{,}2}}$.
3. cCalcule $\left(6^{0{,}25}\right)^{8}$.
4. dCalcule $1{,}25^{0{,}5} \times 20^{0{,}5}$.
5. eCalcule $25^{1{,}5}$.
6. fCalcule $\dfrac{3^{2{,}6} \times 3^{1{,}4}}{3^{2}}$.

Ex. 16★★★Une seule puissance de 2 ou de 3 — Sans calculatrice. Pour tout réel $x \geqslant 0$, écris chaque expression sous la forme d'une seule puissance de 2 ou de 3.

1. aÉcris $\left(3^{x}\right)^{3}$ sous la forme d'une puissance de 3.
2. bÉcris $4^{x}$ sous la forme d'une puissance de 2.
3. cÉcris $2^{x} + 2^{x}$ sous la forme d'une puissance de 2.
4. dÉcris $\frac{3^{x+5}}{3^{x+2}}$ sous la forme d'une puissance de 3, puis donne sa valeur.
5. eÉcris $9^{x} \times 3^{x}$ sous la forme d'une puissance de 3.
6. fÉcris $0{,}5^{x} \times 32^{x}$ sous la forme d'une puissance de 2.

Ex. 17★★★Les simplifications d'Élise — Élise a simplifié des expressions, pour tout réel $x \geqslant 0$. Pour chaque égalité, cite la propriété en jeu. Si l'égalité est fausse, trouve un contre-exemple et corrige-la.

1. aÉlise écrit $5^{x} \times 5^{2} = 25^{x+2}$. Ce calcul est-il juste ? Justifie et corrige si besoin.
2. bÉlise écrit $\frac{7^{6x}}{7^{2x}} = 7^{3x}$. Ce calcul est-il juste ? Justifie et corrige si besoin.
3. cÉlise écrit $3^{x} + 3^{2} = 3^{x+2}$. Ce calcul est-il juste ? Justifie à l'aide de $x = 1$.
4. dÉlise écrit $\left(2^{x}\right)^{4} = 2^{x+4}$. Ce calcul est-il juste ? Justifie et corrige si besoin.
5. eÉlise écrit $2^{x} \times 5^{x} = 10^{x}$. Ce calcul est-il juste ? Justifie.

Ex. 18★★★Les intérêts du livret de Noé — Calculatrice autorisée. Noé, à Rennes, place un capital. Après $x$ années ($x \geqslant 0$), ce capital vaut $f(x) = 3\,000 \times 1{,}04^{x}$ euros.

1. aJustifie que $f(x+1) = 1{,}04 \times f(x)$ en citant la propriété utilisée.
2. bFactorise $f(x+1) - f(x)$ pour l'écrire sous la forme $c \times 1{,}04^{x}$, avec $c$ un nombre à trouver.
3. cDéduis-en les intérêts gagnés pendant la 6e année, c'est-à-dire entre $x = 5$ et $x = 6$, à 0,01 € près.
4. dÉcris $f(x+2)$ en fonction de $f(x)$. Le capital augmente-t-il de 8 % tous les deux ans ? Justifie.

Ex. 19★★★Une culture de levures — Sans calculatrice. Dans un laboratoire, le nombre de levures d'une culture après $x$ jours ($x \geqslant 0$) est modélisé par $N(x) = 200 \times 9^{x}$.

1. aÉcris $9^{x}$ sous la forme d'une puissance de 3. Justifie.
2. bCalcule $N(0{,}5)$ puis $N(1{,}5)$.
3. cJustifie que chaque demi-journée, le nombre de levures est multiplié par un même coefficient, que tu donneras.
4. dHugo affirme que $N(x) = 1\,800^{x}$ pour tout $x \geqslant 0$. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 20★★★Les abonnés de la chaîne de Lina — Calculatrice autorisée. Lina, à Dijon, anime une chaîne vidéo. Après $x$ mois ($x \geqslant 0$), son nombre d'abonnés est modélisé par $A(x) = 1\,500 \times 1{,}2^{x}$.

1. aSimplifie $\frac{A(2x)}{A(x)}$ en citant la propriété utilisée.
2. bTom pense que si la durée double, le nombre d'abonnés double : $A(2x) = 2 \times A(x)$. Utilise la question précédente avec $x = 1$, puis conclus.
3. cChaque abonné rapporte $R(x) = 0{,}5 \times 1{,}1^{x}$ euro par mois. Écris le revenu mensuel $A(x) \times R(x)$ sous la forme $k \times b^{x}$.
4. dLina pense que son revenu mensuel augmente de $20 + 10 = 30\,\%$ par mois. A-t-elle raison ? Justifie.
5. eSami, à Brest, a une chaîne modélisée par $B(x) = 1\,500 \times 1{,}44^{0{,}5x}$. Montre que les deux chaînes ont toujours le même nombre d'abonnés.

Ex. 21★★★Deux cultures de bactéries à Lille — Sans calculatrice. Dans un laboratoire de Lille, on suit deux cultures de bactéries. Après $x$ heures ($x \geqslant 0$), leurs effectifs, en milliers, sont $U(x) = 2 \times 4^{x}$ et $W(x) = \left(2^{x}\right)^{3} \times 0{,}5^{x}$.

1. aÉcris $U(x)$ sous la forme d'une seule puissance de 2. Justifie chaque étape.
2. bMontre que $W(x) = 4^{x}$ en citant les propriétés utilisées.
3. cAu bout de combien d'heures la culture $U$ atteint-elle $128$ milliers de bactéries ? Justifie.
4. dOn réunit deux cultures identiques à $W$. Montre que l'effectif obtenu, $W(x) + W(x)$, est égal à $U(x)$.
5. eLéo affirme que la culture $W$ atteint l'effectif de $U$ avec une demi-heure de retard : $W(x + 0{,}5) = U(x)$. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 22★★★Racines n-ièmes de tête — Sans calculatrice.

1. aCalcule $27^{\frac{1}{3}}$, puis contrôle ton résultat en l'élevant au cube.
2. bÉcris $\sqrt{36}$ comme une puissance de $36$, puis donne sa valeur.
3. cÉcris avec un exposant fractionnaire le nombre positif dont la puissance quatrième vaut $625$, puis donne sa valeur.
4. dCalcule $0{,}09^{0{,}5}$.
5. eVrai ou faux : $1\,000^{\frac{1}{3}} \approx 333{,}3$. Justifie.
6. fTrouve le nombre positif $a$ tel que $a^{\frac{1}{3}} = 0{,}2$.

Ex. 23★★★Exposants fractionnaires — Sans calculatrice.

1. aCalcule $16^{\frac{3}{4}}$.
2. bÉcris $25^{1{,}5}$ avec un exposant fractionnaire, puis calcule-le.
3. cSimplifie $\left(7^{\frac{1}{3}}\right)^3$.
4. dSimplifie $5^{\frac{1}{2}} \times 5^{\frac{1}{2}}$.
5. eVrai ou faux : $216^{\frac{2}{3}} = 144$. Justifie.
6. fÉcris $\frac{3^{\frac{5}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}$ sous la forme d'une seule puissance de $3$, puis calcule-le.
7. gCalcule $50^{0{,}5} \times 2^{0{,}5}$.

Ex. 24★★★Coefficient sur une fraction de période — Sans calculatrice. Chaque grandeur évolue de façon exponentielle.

1. aLa population d'une ville est multipliée par $1{,}69$ en deux ans. Par quel coefficient est-elle multipliée chaque année ?
2. bLa masse d'un échantillon radioactif est multipliée par $0{,}64$ en deux heures. Donne le coefficient horaire et le taux d'évolution horaire.
3. cUn prix est multiplié par $1{,}331$ en trois ans. Par quel coefficient est-il multiplié en deux ans ?
4. dVrai ou faux : « Une hausse de $44\,\%$ en deux ans, c'est une hausse de $22\,\%$ par an. » Justifie.
5. eLe nombre de visiteurs d'un musée est multiplié par $0{,}729$ en trois mois. Montre que le coefficient mensuel est $0{,}9$.
6. fDans le sang, la quantité d'un médicament est multipliée par $0{,}062\,5$ en $4$ h. Trouve le coefficient horaire, puis déduis-en la demi-vie.

Ex. 25★★★Taux mensuel d'un livret — Calculatrice autorisée. Marwa place $2\,500$ € sur un livret à $4{,}8\,\%$ par an (intérêts composés). Le capital évolue de façon exponentielle, y compris en cours d'année.

1. aDonne le coefficient multiplicateur annuel $C$ de ce placement.
2. bCalcule le coefficient mensuel $C^{\frac{1}{12}}$ arrondi à $10^{-5}$, puis le taux mensuel équivalent.
3. cMarwa pense que le taux mensuel est $4{,}8 \div 12 = 0{,}4\,\%$. A-t-elle raison ? Justifie en calculant $1{,}004^{12}$.
4. dCalcule le capital au bout de $7$ mois, au centime près, en n'arrondissant qu'à la fin.
5. eSon frère reprend le coefficient mensuel arrondi à $10^{-5}$ et l'élève à la puissance $7$. Quel capital obtient-il ? Explique l'écart.

Ex. 26★★★Bactéries à la demi-heure — Calculatrice autorisée. À $8$ h, une culture contient $1\,500$ bactéries. Leur nombre double chaque heure (croissance exponentielle).

1. aPar quel coefficient le nombre de bactéries est-il multiplié en une demi-heure ? Donne la valeur exacte, puis l'arrondi au millième.
2. bPar quel coefficient est-il multiplié en $20$ minutes ? Arrondis au millième.
3. cCombien de bactéries la culture contient-elle à $9$ h $40$ ? Arrondis à l'unité.
4. dLéo affirme : « En $15$ minutes, le nombre de bactéries augmente de $25\,\%$, car $100\,\% \div 4 = 25\,\%$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 27★★★Deux offres pour un placement — Calculatrice autorisée. Yanis veut placer $3\,200$ € à intérêts composés. Offre A : $+6\,\%$ par an. Offre B : $+0{,}5\,\%$ par mois. Le capital évolue de façon exponentielle, y compris sur une fraction d'année. Sa sœur Inès affirme : « C'est pareil, car $6 \div 12 = 0{,}5$. »

1. aCalcule le coefficient mensuel de l'offre A, arrondi à $10^{-6}$, et contrôle-le. Déduis-en le taux mensuel, arrondi à $0{,}001\,\%$.
2. bCalcule le coefficient multiplicateur annuel de l'offre B, arrondi à $10^{-6}$. À quel taux annuel correspond-il ?
3. cInès a-t-elle raison ? Justifie à l'aide des questions précédentes.
4. dÉcris la durée de $2$ ans et $9$ mois en années, sous forme de fraction. Calcule le capital obtenu avec l'offre A au bout de cette durée, arrondi au centime.
5. eCalcule le capital obtenu avec l'offre B au bout de $2$ ans et $9$ mois, arrondi au centime. Quelle offre Yanis doit-il choisir, et pour quel écart environ ?

Ex. 28★★★Abonnés : du jour à la demi-journée — Calculatrice autorisée. Le jour $0$, la chaîne de Salomé compte $1\,250$ abonnés. Ce nombre est multiplié par $8$ tous les $3$ jours (croissance exponentielle, y compris sur une fraction de jour). On note $f(x)$ le nombre d'abonnés au bout de $x$ jours, avec $x \geqslant 0$ réel.

1. aThéo affirme : « Chaque jour, le nombre d'abonnés est multiplié par $\frac{8}{3}$. » Corrige son erreur et donne le vrai coefficient multiplicateur journalier.
2. bExprime $f(x)$ en fonction de $x$. Calcule ensuite le nombre d'abonnés au bout de $5$ jours.
3. cPar quel coefficient le nombre d'abonnés est-il multiplié en $18$ heures ? Écris-le sous la forme $2^{\frac{p}{q}}$, puis arrondis-le à $0{,}001$.
4. dCalcule $f(4{,}5)$ et arrondis à l'unité.
5. ePar essais successifs, trouve au bout de combien de demi-journées la chaîne dépasse $100\,000$ abonnés pour la première fois.

Ex. 29★★★Sens de variation en un coup d’œil — Sans calculatrice. Les fonctions sont étudiées sur $[0\,;+\infty[$.

1. aDonne le sens de variation de $x \mapsto \left(\frac{9}{5}\right)^x$.
2. bDonne le sens de variation de $x \mapsto \left(\frac{2}{3}\right)^x$.
3. cQue vaut $1^x$ pour tout $x \geqslant 0$ ? Quel est alors le sens de variation de $x \mapsto 1^x$ ?
4. dSoit $f(x) = 5 \times 0{,}9^x$. Calcule $f(0)$ et donne le sens de variation de $f$.
5. eLina affirme : « $x \mapsto 0{,}95^x$ est croissante, car $0{,}95$ est proche de $1$. » A-t-elle raison ? Justifie.
6. fDresse le tableau de variations de $g(x) = 2 \times 1{,}1^x$ sur $[0\,;+\infty[$.

Ex. 30★★★Comparer sans calculer — Sans calculatrice. Justifie chaque réponse par le sens de variation.

1. aCompare $1{,}5^3$ et $1{,}5^5$.
2. bCompare $0{,}75^2$ et $0{,}75^4$.
3. cCompare $3 \times 0{,}8^{4}$ et $3 \times 0{,}8^{1{,}5}$.
4. dCompare $2^{0{,}5}$ et $4^{0{,}2}$
   (écris $4$ comme une puissance de $2$).
5. eCompare $0{,}85^2$ et $1$
   (pense à écrire $1$ comme une puissance de $0{,}85$).
6. fVrai ou faux : « $0{,}4^x$ devient nul quand $x$ est assez grand. » Justifie.

Ex. 31★★★Résoudre une équation avec une même base — Sans calculatrice. Résous chaque équation sur $[0\,;+\infty[$ en écrivant les deux membres avec la même base.

Ex. 32★★★Inéquations : garder ou inverser le sens — Sans calculatrice. Résous sur $[0\,;+\infty[$ et donne l’ensemble des solutions $S$.

1. aRésous $4^x \leqslant 64$.
2. bRésous $0{,}3^x \leqslant 0{,}09$.
3. cMalo résout $0{,}1^x > 0{,}001$ : « $0{,}001 = 0{,}1^3$, donc $x > 3$. » Trouve son erreur et corrige-la.
4. dRésous $0{,}9^x \leqslant 1$.

Ex. 33★★★Un médicament qui s’élimine — Calculatrice autorisée. La quantité de médicament dans le sang de Yanis est modélisée par $Q(x) = 120 \times 0{,}6^x$ (en mg), où $x \geqslant 0$ est le temps en heures après la prise.

1. aCalcule $Q(0)$ et interprète ce résultat.
2. bDonne le sens de variation de $Q$ en justifiant, puis dresse son tableau de variations.
3. cSans calcul, compare $Q(2{,}5)$ et $Q(4)$.
4. dRésous $Q(x) = 43{,}2$ et interprète.
5. eYanis affirme : « Au bout d’un temps assez long, il ne restera plus du tout de médicament. » D’après le modèle, a-t-il raison ? Justifie.

Ex. 34★★★Le thé de Noam refroidit — Sans calculatrice. Noam sert un thé à Brest. L’écart entre la température du thé et celle de la pièce (en °C) est modélisé par $E(x) = 80 \times 0{,}5^x$, où $x \geqslant 0$ est le temps en dizaines de minutes.

1. aCalcule $E(0)$ et interprète. Justifie le sens de variation de $E$, puis dresse son tableau de variations.
2. bRésous $E(x) \leqslant 5$ sur $[0\,;+\infty[$ et interprète le résultat dans le contexte.
3. cRange dans l’ordre croissant $E(0{,}5)$, $E(3)$ et $E(1{,}5)$ sans les calculer. Justifie.
4. dMontre que, pour tout $x \geqslant 0$, $E(x+1) = \frac{E(x)}{2}$. Interprète ce résultat dans le contexte.

Ex. 35★★★Trois comptes, trois évolutions — Sans calculatrice. Le nombre d’abonnés (en milliers) de trois comptes est modélisé, pour $x \geqslant 0$ en mois, par : Maëlle $M(x) = 2 \times 3^x$, Tom $T(x) = 2 \times 1{,}2^x$, Inès $I(x) = 50 \times 1^x$.

1. aDonne le sens de variation de $M$ et de $T$ sur $[0\,;+\infty[$ en justifiant.
2. bRésous $M(x) \geqslant 54$ sur $[0\,;+\infty[$ et interprète le résultat.
3. cMontre que, pour $x \geqslant 0$, $\frac{M(x)}{T(x)} = 2{,}5^x$. Déduis-en lequel des deux comptes a le plus d’abonnés pour $x > 0$.
4. dRésous $M(x) = 6{,}25 \times T(x)$ et interprète.
5. eInès affirme que son compte connaît une croissance exponentielle, car $I(x)$ est de la forme $k \times a^x$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 36★★★Seuils par le calcul — Sans calculatrice. Dans tout l'exercice, $x \geqslant 0$. Utilise une puissance connue et le sens de variation de $x \mapsto a^x$.

1. aRésous l'équation $4^x = 8$.
2. bDonne l'ensemble des $x$ tels que $5 \times 16^x \geqslant 10$.
3. cRésous l'inéquation $7 \times 0{,}125^x \leqslant 3{,}5$.
4. dUne vidéo a $300$ vues, et son nombre de vues triple chaque jour. Au bout de combien de jours entiers dépasse-t-elle $5\,000$ vues ?
5. ePour quelles valeurs de $x$ a-t-on $27^x \leqslant 9$ ?
6. fUn élève écrit : « $3 \times 4^x \geqslant 12 \iff 4^x \geqslant 36$ ». Corrige son erreur, puis résous l'inéquation.

Ex. 37★★★Doublement et demi-vie : réflexes — Sans calculatrice. Justifie chaque réponse en une phrase.

1. aUne culture de levures double toutes les $3$ heures. Par combien est-elle multipliée en $12$ heures ?
2. bUn isotope a une demi-vie de $6$ jours. Un échantillon en contient $80$ mg. Quelle masse en reste-t-il au bout de $18$ jours ?
3. cLina place $500$ € et Hugo $4\,000$ €, au même taux annuel. Le capital de Lina double en $12$ ans. En combien de temps celui d'Hugo double-t-il ?
4. dVrai ou faux ? Justifie : « avec une hausse de $50\,\%$ par an, une quantité double en $100 \div 50 = 2$ ans ».
5. eUne quantité est multipliée par $0{,}25$ chaque jour. Quelle est sa demi-vie, en heures ?
6. fDes bactéries doublent toutes les $30$ minutes. Donne l'ordre de grandeur du coefficient multiplicateur sur $10$ heures.

Ex. 38★★★Population : seuil et année — Calculatrice autorisée. En 2025, une commune compte $12\,500$ habitants. On suppose que sa population augmente de $3\,\%$ par an. On note $P(x)$ le nombre d'habitants $x$ années après 2025.

1. aExprime $P(x)$ en fonction de $x$.
2. bExplique pourquoi $P(x) \geqslant 20\,000$ revient à comparer $1{,}03^x$ à un nombre que tu préciseras.
3. cAvec le tableau de valeurs de ta calculatrice (pas de $1$), donne deux entiers consécutifs qui encadrent la solution.
4. dNoé veut arrondir à l'entier inférieur, car « on ne compte que les années complètes ». A-t-il raison ? En quelle année la population dépassera-t-elle $20\,000$ habitants ?

Ex. 39★★★Demi-vie d'un médicament — Calculatrice autorisée. Après une prise de $40$ mg d'un médicament, la quantité dans le sang baisse de $18\,\%$ par heure. On note $Q(x) = 40 \times 0{,}82^x$ cette quantité, en mg, au bout de $x$ heures.

1. aÉcris l'équation que vérifie la demi-vie $T$ de ce médicament.
2. bAvec le tableau de valeurs de ta calculatrice, au pas de $1$ puis au pas de $0{,}1$, donne la demi-vie au dixième d'heure près.
3. cUne nouvelle prise est conseillée dès qu'il reste moins de $10$ mg. Au bout de combien d'heures entières ? Justifie.
4. dLéo dit : « $-18\,\%$ par heure, c'est $-9\,\%$ par demi-heure. » Calcule le coefficient multiplicateur par demi-heure, à $0{,}001$ près, et corrige-le.

Ex. 40★★★Abonnés : lire un programme de seuil — Calculatrice autorisée. Le compte de Yasmine a $1\,500$ abonnés, et ce nombre augmente de $12\,\%$ par semaine. Elle cherche au bout de combien de semaines elle dépassera $10\,000$ abonnés. Elle écrit ce programme : a = 1500 n = 0 while a < 10000: a = a * 1.12 n = n + 1 print(n)

1. aQue représentent les variables a et n ? Pourquoi multiplie-t-on par $1{,}12$ ?
2. bTom remplace la condition par while a >= 10000:. Qu'affiche alors le programme ? Explique.
3. cCalcule $1{,}12^{16}$ et $1{,}12^{17}$, puis donne ce qu'affiche le programme de Yasmine. Conclus.
4. dYasmine ajoute print(round(a)) à la fin. Qu'affiche cette ligne ? Que représente ce nombre ?

Ex. 41★★★Deux placements, un seul temps de doublement — Calculatrice autorisée. Le 1er janvier 2026, à Rennes, Léonie place $3\,000$ € et Mathis $7\,000$ €, tous deux à $4{,}5\,\%$ par an. On note $L(x)$ et $M(x)$ leurs capitaux, en euros, au bout de $x$ années ($x \geqslant 0$). Arrondis les puissances de $1{,}045$ à $10^{-4}$.

1. aExprime $L(x)$ et $M(x)$ en fonction de $x$.
2. bMathis affirme : « J'ai placé plus d'argent, donc mon capital doublera plus vite. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cLéonie prévoit un doublement en $100 \div 4{,}5 \approx 22$ ans. Avec le tableau de valeurs (pas $1$), trouve le nombre d'années entières nécessaire et corrige-la.
4. dAu pas de $0{,}1$, encadre le temps de doublement $T$. Au bout de combien d'années, au dixième près, le capital a-t-il doublé ? Compare à $70 \div 4{,}5$.
5. eSans nouveau tableau, estime quand le capital de Léonie atteindra $12\,000$ €. Vérifie à la calculatrice et donne l'année.

Ex. 42★★★Échantillon radioactif : jamais zéro — Calculatrice autorisée sauf mention contraire. Un laboratoire de Grenoble reçoit $640$ mg d'un isotope radioactif de demi-vie $8$ jours. On note $M(x) = 640 \times a^x$ la masse restante, en mg, au bout de $x$ jours ($x \geqslant 0$), où $a$ est le coefficient multiplicateur journalier.

1. aSans calculatrice, calcule $M(16)$ et $M(24)$. Quelle fraction de la masse de départ reste-t-il au bout de $24$ jours ?
2. bSacha affirme : « Chaque demi-vie enlève $320$ mg, donc au bout de $16$ jours il ne reste rien. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cÉcris l'égalité vérifiée par $a$, puis donne $a$ sous forme d'une puissance de $0{,}5$ et arrondi à $0{,}001$. Quelle est la baisse par jour, en % ?
4. dL'échantillon est sans danger quand $M(x) \leqslant 1$. Sans calculatrice, encadre la durée cherchée entre deux multiples consécutifs de $8$ jours.
5. eAvec la valeur exacte de $a$ et un tableau de valeurs au pas adapté, trouve au bout de combien de jours entiers l'échantillon est sans danger.