1re spécialité / Fonction exponentielle

Ex. 1★★★Valeurs et signes en un coup d’œil — Donne la valeur exacte, ou l’arrondi à 0{,}001 quand on le demande.

1. aCalcule $2e^{0}-5$.
2. bÉcris $e^{-1}$ sous forme de fraction, puis donne son arrondi à 0{,}001.
3. cDonne le signe de $-6e^{x}$ selon les valeurs du réel $x$.
4. dDonne le signe de $e^{-5x}$ selon les valeurs du réel $x$.
5. eRésous dans $\mathbb{R}$ l’équation $e^{3x-1}=0$.
6. fRésous dans $\mathbb{R}$ l’équation $4+e^{2x}=1$.

Ex. 2★★★Les erreurs de Malo — On admet que les fonctions $f$ dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que $f'=f$ sont les fonctions $x\mapsto C\,e^{x}$, où $C$ est un réel.

1. aMalo affirme : « $e^{1}=2{,}7$ exactement. » Explique son erreur et corrige.
2. bMalo affirme : « $e^{-2}<0$ car l’exposant est négatif. » Explique son erreur et corrige, avec l’arrondi à 0{,}001.
3. cMalo affirme : « $e^{2}=2\times e\approx 5{,}437$. » Explique son erreur et corrige, avec l’arrondi à 0{,}001.
4. dMalo affirme : « $g(x)=e^{x}-3$ vérifie $g'=g$ et $g(0)=-2$. » Explique son erreur et donne la fonction qui vérifie vraiment ces deux conditions.
5. eMalo affirme : « $e^{4}\times e^{-4}=0$, car $4+(-4)=0$. » Explique son erreur et corrige.

Ex. 3★★★Pourquoi l’exponentielle ne s’annule pas, et comment s’en servir — On admet que la fonction $x\mapsto \exp(-x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée $x\mapsto -\exp(-x)$.

1. aSoit $\varphi(x)=\exp(x)\times\exp(-x)$. Calcule $\varphi'(x)$, puis déduis-en la valeur de $\varphi(x)$ pour tout réel $x$.
2. bDéduis-en que $\exp(x)\neq 0$ pour tout réel $x$, puis exprime $\exp(-x)$ à l’aide de $\exp(x)$.
3. cDresse le tableau de signes de $f(x)=(x-2)e^{x}$ sur $\mathbb{R}$.
4. dRésous dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $(x^{2}-9)e^{-x}\leqslant 0$.
5. eRésous dans $\mathbb{R}$ l’inéquation $-e^{2x}(5-x)>0$.

Ex. 4★★★Approcher e par la méthode d’Euler — La fonction $f=\exp$ vérifie $f'=f$ et $f(0)=1$. Pour un pas $h$ petit, on admet que $f(x+h)\approx(1+h)\,f(x)$. Avec $h=0{,}25$, on part de $y_{0}=f(0)=1$ et on calcule $y_{k+1}=(1+h)\,y_{k}$.

1. aCalcule $y_{1}$, $y_{2}$, $y_{3}$ et $y_{4}$, valeurs approchées de $f(0{,}25)$, $f(0{,}5)$, $f(0{,}75)$ et $f(1)$.
2. bCompare $y_{4}$ à $e\approx 2{,}718$ : donne l’écart arrondi à 0{,}01.
3. cNora programme la méthode avec $n$ pas de longueur $\frac{1}{n}$ : def approx_e(n): h = 1 / n y = 1 for k in range(n): y = y + h return y Que renvoie approx_e(4) ? Explique son erreur et corrige la ligne 5.
4. dAvec ta correction, donne à 0{,}0001 près la valeur renvoyée par approx_e(100), puis compare-la à $e$.
5. eSi l’on partait de $f(0)=4$, c’est-à-dire de la fonction $x\mapsto 4e^{x}$, quelle valeur approchée de $f(1)$ obtiendrait-on avec $h=0{,}25$ ?

Ex. 5★★★Retrouver une fonction égale à sa dérivée — Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 3$. On cherche $f$ sans admettre le résultat du cours. Pour tout réel $x$, on pose $h(x) = \frac{f(x)}{e^{x}}$.

1. aExplique pourquoi $h$ est définie sur $\mathbb{R}$, puis calcule $h'(x)$ avec la formule de dérivée d'un quotient.
2. bDéduis-en l'expression de $f(x)$ pour tout réel $x$.
3. cRésous dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x) = 3e$, puis l'équation $f(x) = \frac{3}{e}$.
4. dLou affirme : « Toute fonction $g$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $g' = g$ ne s'annule jamais. » Vrai ou faux ? Justifie, puis dis ce qu'il en est pour $f$.

Ex. 6★★★Euler à reculons et seuil pour approcher e — La fonction $f = \exp$ vérifie $f' = f$ et $f(0) = 1$. Pour un pas $h$ proche de $0$ (positif ou négatif), on admet que $f(x+h) \approx (1+h)\,f(x)$. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $u_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n}$.

1. aAvec $h = -0{,}25$, on part de $y_{0} = 1$ et on pose $y_{k+1} = 0{,}75\,y_{k}$. Exprime $y_{k}$ en fonction de $k$, puis donne $y_{4}$. De quel nombre est-ce une valeur approchée ?
2. bAvec le pas $0{,}25$ vers la droite, on obtient $f(1) \approx 1{,}25^{4}$. Calcule $1{,}25^{4} \times y_{4}$ à 0{,}001 près, puis donne la valeur exacte de $e \times e^{-1}$. Conclus.
3. cSacha prend directement le pas $h = -2$ pour approcher $e^{-2}$. Calcule le $y_{1}$ obtenu et explique pourquoi cette valeur est absurde.
4. dOn donne le programme et le tableau ci-dessous, avec $e \approx 2{,}718$. On admet que $u_{n}$ augmente avec $n$. from math import exp n = 1 while exp(1) - (1 + 1/n)**n >= 0.1: n = n + 1 print(n)

   n	11	12	13	14
   u_n	2,604	2,613	2,621	2,627

   Quelle valeur affiche le programme ? Que représente-t-elle ? Justifie.

Ex. 7★★★Signes, équations et une inégalité, type DS — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x+3)(2-x)\,e^{-x}$.

1. aLina affirme : « Pour $x > 0$, $e^{-x}$ est négatif, donc $f(5) > 0$. » A-t-elle raison ? Justifie en calculant $f(5)$.
2. bRésous dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x) = 0$, puis l'équation $f(x) = 6e^{-x}$.
3. cDresse le tableau de signes de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$.
4. dMontre que, pour tout réel $x$, $e^{x} + e^{-x} - 2 = \frac{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}{e^{x}}$.
5. eDéduis-en que $e^{x} + e^{-x} \geqslant 2$ pour tout réel $x$, puis trouve les valeurs de $x$ pour lesquelles il y a égalité.

Ex. 8★★★Automatismes : un seul exposant — Écris chaque expression sous la forme $e^{\dots}$, avec un exposant réduit.

Ex. 9★★★Automatismes : factoriser, développer — Pour tout réel $x$, factorise ou développe comme demandé.

1. aFactorise $e^{2x} - 5e^{x}$.
2. bFactorise $e^{2x} - 9$.
3. cDéveloppe $\left(e^{2x} + e^{-2x}\right)^{2}$.
4. dDéveloppe $e^{x}\left(e^{-x} + 3e^{x}\right)$.
5. eFactorise $4e^{3x} + e^{x}$.
6. fDéveloppe $\left(e^{x} - 2\right)\left(e^{x} + 3\right)$.

Ex. 10★★★Les erreurs de Lina — Lina a écrit chacune des égalités ci-dessous pour tout réel $x$. Toutes sont fausses.

1. aLina écrit $e^{3x} \times e^{x} = e^{3x^{2}}$. Explique son erreur et donne l'écriture correcte.
2. bElle poursuit avec $\frac{e^{8x}}{e^{2x}} = e^{4x}$. Explique son erreur et donne l'écriture correcte.
3. cElle écrit $e^{x} + e^{2x} = e^{3x}$. Montre que c'est faux en prenant $x = 0$, puis factorise correctement $e^{x} + e^{2x}$.
4. dElle écrit $\left(e^{x}\right)^{3} = e^{x^{3}}$. Trouve un contre-exemple, puis donne l'écriture correcte.

Ex. 11★★★Vrai ou faux pour tout réel ? — Pour chaque égalité, dis si elle est vraie pour tout réel $x$. Justifie : par un calcul si elle est vraie, par un contre-exemple si elle est fausse.

1. a$e^{x} \times e^{x} = 2e^{x}$
2. b$\dfrac{e^{x}}{e^{-x}} = 1$
3. c$e^{2x+1} = e \times \left(e^{x}\right)^{2}$
4. d$\dfrac{e^{4x} + e^{x}}{e^{x}} = e^{3x} + 1$
5. e$e^{x} + e^{-x} = 1$

Ex. 12★★★Deux carrés à développer — Pour tout réel $x$, on pose $A(x) = \left(e^{x} + e^{-x}\right)^{2} - \left(e^{x} - e^{-x}\right)^{2}$.

1. aNoé affirme que $\left(e^{x} + e^{-x}\right)^{2} = e^{2x} + e^{-2x}$ pour tout réel $x$. A-t-il raison ? Justifie avec $x = 0$.
2. bDéveloppe correctement $\left(e^{x} + e^{-x}\right)^{2}$. Simplifie le double produit.
3. cDéveloppe $\left(e^{x} - e^{-x}\right)^{2}$.
4. dDéduis-en que $A(x)$ ne dépend pas de $x$ et donne sa valeur.
5. eEn utilisant $\left(e^{x} - e^{-x}\right)^{2} \geqslant 0$, montre que $e^{2x} + e^{-2x} \geqslant 2$ pour tout réel $x$. Pour quel $x$ a-t-on l'égalité ?

Ex. 13★★★Une fraction qui se simplifie — Pour tout réel $x$, on pose $h(x) = \frac{e^{2x+1} - e}{e^{x} + 1}$, où $e = \exp(1)$.

1. aMalik simplifie le numérateur : « $e^{2x+1} - e = e^{2x+1-1} = e^{2x}$ ». Montre avec $x = 0$ qu'il a tort et explique son erreur.
2. bMontre que $e^{2x+1} - e = e \times \left(e^{2x} - 1\right)$ pour tout réel $x$.
3. cFactorise $e^{2x} - 1$, justifie que $e^{x} + 1 \neq 0$, puis écris $h(x)$ sans quotient.
4. dRésous l'équation $h(x) = 0$.
5. eDresse le tableau de signes de $h(x)$ sur $\mathbb{R}$. Justifie.

Ex. 14★★★Comparer deux expressions — Pour tout réel $x$, on pose $Q(x) = \frac{e^{x+1}}{e^{2x-3}}$ et $R(x) = \frac{\left(e^{x}\right)^{2}}{e^{-x}}$.

1. aYanis écrit : « $Q(x) = e^{x+1-2x-3} = e^{-x-2}$ ». Explique son erreur et donne l'écriture correcte de $Q(x)$ avec un seul exposant.
2. bÉcris $R(x)$ avec un seul exposant réduit.
3. cRésous l'équation $Q(x) = R(x)$, puis l'inéquation $Q(x) < R(x)$.
4. dÉcris $Q(x) \times R(x)$ avec un seul exposant réduit, puis résous l'équation $Q(x) \times R(x) = 1$.

Ex. 15★★★Équations : tout sous la forme e^… — Résous dans $\mathbb{R}$ chaque équation.

Ex. 16★★★Inéquations en ligne — Résous dans $\mathbb{R}$ chaque inéquation.

1. a$e^{2x-6} > 1$
2. b$e^{1-3x} \leqslant e^{7}$
3. c$e^{x+2} < e$
4. d$e^{-x} \geqslant \dfrac{1}{e^{3}}$
5. e$e^{4x} > \sqrt{e}$, en admettant que $\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}$
6. f$e^{x} > -5$
7. g$e^{5x} \times e^{-2x} \leqslant e^{x-3}$

Ex. 17★★★Changement d'inconnue X = e^x — On considère l'équation $(E) : e^{2x} - (e+1)e^{x} + e = 0$.

1. aOn pose $X = e^{x}$. Écris l'équation du second degré vérifiée par $X$ et précise le signe de $X$.
2. bRésous cette équation du second degré : calcule son discriminant sous la forme d'un carré.
3. cDéduis-en l'ensemble des solutions de $(E)$.
4. dRésous de même $e^{2x} + 3e^{x} = 0$.
5. eRésous $e^{2x} + e^{x+1} - 2e^{2} = 0$, en écrivant d'abord $e^{x+1}$ à l'aide de $e^{x}$.

Ex. 18★★★Corrige les élèves — Quatre élèves ont résolu une équation ou une inéquation dans $\mathbb{R}$. Pour chacun, réponds à la question posée.

1. aInès résout $e^{x^{2}} = e^{4x+5}$ : « $x^{2} = 4x + 5$, donc $x = 5$, et $S = \{5\}$ ». A-t-elle raison ? Justifie et corrige si besoin.
2. bMalo résout $e \times e^{3x} = e^{2}$ : « je simplifie par $e$ : $3x = 2$, donc $x = \frac{2}{3}$ ». A-t-il raison ? Justifie et corrige si besoin.
3. cLou résout $e^{3-2x} < \frac{1}{e}$ : « $3 - 2x < -1$, soit $-2x < -4$, d'où $x < 2$ ». A-t-elle raison ? Justifie et corrige si besoin.
4. dSacha résout $(x+6)e^{x} = 0$ : « $x + 6 = 0$ ou $e^{x} = 0$, donc $S = \{-6\,;0\}$ ». A-t-il raison ? Justifie et corrige si besoin.

Ex. 19★★★Inéquation du second degré en eˣ — Pour tout réel $x$, on pose $P(x) = e^{2x} + (1-e)e^{x} - e$.

1. aVérifie que, pour tout réel $X$, $X^{2} + (1-e)X - e = (X - e)(X + 1)$.
2. bDéduis-en une factorisation de $P(x)$. Justifie ensuite que $e^{x} + 1 > 0$ pour tout réel $x$.
3. cRésous dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x) = 0$.
4. dRésous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $P(x) \leqslant 0$ à l'aide d'un tableau de signes.
5. ePour $P(x) \geqslant 0$, Sami écrit : « $X \leqslant -1$ ou $X \geqslant e$, donc $S = ]-\infty\,;-1] \cup [1\,;+\infty[$ ». Explique son erreur et corrige-le.

Ex. 20★★★Deux courbes exponentielles face à face — Pour tout réel $x$, on pose $f(x) = e^{2x-1}$ et $g(x) = e^{x^{2}-4}$. On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leurs courbes dans un repère.

1. aRésous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x) \leqslant \frac{1}{e^{2}}$.
2. bDétermine les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
3. cÉtudie la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $\mathbb{R}$.
4. dÉcris $f(x) \times g(x)$ avec un seul exposant, puis résous $f(x) \times g(x) = e^{-5}$.
5. ePour résoudre $(x+5)\,g(x) = (x+5)\,f(x)$, Lina divise par $x + 5$. Explique son erreur, puis résous cette équation.

Ex. 21★★★Deux cultures de bactéries — On observe deux cultures de bactéries pendant 12 heures. À l'instant $t$ (en heures, $t \in [0\,;12]$), elles comptent $A(t) = 2e^{0{,}2t+1}$ et $B(t) = 2e^{0{,}6t-1}$ milliers de bactéries. On rappelle que $\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}$.

1. aÉcris $\frac{B(t)}{A(t)}$ sous la forme $e^{\ldots}$.
2. bÀ quel instant les deux cultures ont-elles le même effectif ? Justifie.
3. cSur quel intervalle de temps la culture B est-elle la plus nombreuse ? Justifie.
4. dÀ partir de quel instant a-t-on $B(t) \geqslant \sqrt{e} \times A(t)$ ? Donne la réponse en heures et minutes.
5. eRésous dans $[0\,;12]$ l'équation $A(t) \times B(t) = 4e^{8}$.

Ex. 22★★★Inéquations express — Résous chaque inéquation dans $\mathbb{R}$. Donne l'ensemble $S$ des solutions sous forme d'intervalle (ou $S = \mathbb{R}$, $S = \emptyset$).

Ex. 23★★★Le signe d'un coup d'œil — Étudie le signe de chaque expression selon les valeurs du réel $x$.

Ex. 24★★★L'erreur de Léna — Pour résoudre $e^{4-3x} \geqslant e^{-2}$, Léna écrit : « $4 - 3x \geqslant -2 \iff -3x \geqslant -6 \iff x \geqslant 2$, donc $S = [2\,;+\infty[$. »

1. aTrouve l'erreur de Léna, puis donne le bon ensemble $S$ des solutions.
2. bLéna teste $x = 0$ dans l'inéquation de départ. Ce test confirme-t-il sa réponse ? Justifie.
3. cRésous $e^{-2x} < e^{x+6}$ et donne $S$ sous forme d'intervalle.
4. dRésous $e^{x^{2}} \leqslant e^{4x}$ et donne $S$ sous forme d'intervalle.

Ex. 25★★★Tableaux de signes avec exponentielle — Pour chaque question, appuie-toi sur un tableau de signes.

1. aDresse le tableau de signes de $(2-x)e^{x}$ sur $\mathbb{R}$.
2. bRésous $(x+3)\left(e^{x} - e\right) \leqslant 0$ et donne $S$ sous forme d'intervalle.
3. cRésous $\frac{e^{2x} - 1}{x - 4} < 0$ et donne $S$ sous forme d'intervalle.

Ex. 26★★★Inéquations du second degré déguisées — On rappelle que $e^{x} > 0$ pour tout réel $x$. Donne chaque ensemble $S$ de solutions sous forme d'intervalle.

1. aDéveloppe $(X - e)(X + 2)$, où $X$ désigne un réel.
2. bEn posant $X = e^{x}$, résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} + (2-e)e^{x} - 2e > 0$.
3. cRésous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{x} + e^{1-x} \leqslant e + 1$. Commence par multiplier chaque membre par $e^{x}$.
4. dPour résoudre $e^{2x} + 3e^{x} - 4 < 0$, Mathis pose $X = e^{x}$, trouve $-4 < X < 1$ et conclut $S = ]-4\,;0[$. Trouve ses erreurs et donne le bon ensemble $S$.

Ex. 27★★★Signes croisés de deux expressions — On pose, pour tout réel $x$, $A(x) = (x^{2} - 2x - 3)e^{-x}$ et $B(x) = e^{x} - e^{3-x}$. Donne chaque ensemble $S$ de solutions sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.

1. aJustifie que $A(x)$ a le même signe que $x^{2} - 2x - 3$, puis résous $A(x) < 0$.
2. bRésous $B(x) \geqslant 0$, puis donne le signe de $B(x)$ selon les valeurs de $x$.
3. cRésous dans $]-\infty\,;-1[\,\cup\,]-1\,;+\infty[$ l'inéquation $\frac{B(x)}{x+1} > 0$ à l'aide d'un tableau de signes.
4. dAffirmation de Noah : « Aucun réel $x$ ne vérifie à la fois $A(x) < 0$ et $B(x) < 0$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 28★★★Vrai ou faux sur les inéquations — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par une preuve ou par un contre-exemple.

1. aAffirmation : « Pour tous réels $a$ et $b$, si $a < b$, alors $e^{-a} < e^{-b}$. » Vrai ou faux ? Justifie.
2. bAffirmation : « L'ensemble des solutions de $e^{2x} + 1 > 2e^{x}$ est $\mathbb{R}$. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cAffirmation : « L'ensemble des solutions de $\left(e^{x}\right)^{3} \geqslant e^{5-x}$ est $]-\infty\,;\frac{5}{4}]$. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dAffirmation : « Pour tout réel $x$, $e^{x} - 1$ et $x$ ont le même signe. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eAffirmation : « Pour tout réel $x$, $e^{2x} - e^{x} \geqslant 0$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 29★★★Automatismes : dériver une exponentielle — Toutes les fonctions sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. Calcule leur dérivée.

1. a$f(x) = 2e^{-x} + e^{2}$ : calcule $f'(x)$.
2. b$g(t) = 10e^{-0{,}1t}$ : calcule $g'(t)$ et simplifie.
3. c$h(x) = e^{5x+2}$ : calcule $h'(x)$.
4. d$k(x) = 3e^{-2x+4}$ : calcule $k'(x)$.
5. e$m(x) = 4e^{0{,}5x}$ : calcule $m'(x)$.
6. f$p(x) = x + e^{-3x}$ : calcule $p'(x)$.

Ex. 30★★★Automatismes : sens de variation et comparaisons — Justifie chaque réponse, sans calculatrice. Pour les deux dernières questions, utilise ce tableau de valeurs :

1. aDonne le sens de variation de $t \mapsto e^{0{,}7t}$ sur $\mathbb{R}$.
2. bDonne le sens de variation de $t \mapsto 2e^{-1{,}5t}$ sur $\mathbb{R}$.
3. cCompare $e^{0{,}5}$ et $e^{0{,}3}$.
4. dCompare $e^{-1{,}2}$ et $e^{-0{,}8}$.
5. eOn admet qu'il existe un réel $x$ tel que $e^{x} = 3$. Encadre-le entre deux valeurs du tableau.
6. fLis dans le tableau une valeur approchée de $\frac{e^{2}}{e^{0{,}5}}$.

Ex. 31★★★L'erreur d'Inès et la tangente à e^(2x) — Soit $f(x) = e^{2x}$ sur $\mathbb{R}$, et $\mathcal{C}_f$ sa courbe. Inès écrit : « $f'(x) = 2x\,e^{2x-1}$ ». On admet que pour tout réel $X$, $e^{X} \geqslant X + 1$.

1. aExplique l'erreur d'Inès et donne la bonne expression de $f'(x)$.
2. bDétermine une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.
3. cDonne une équation de la tangente à la courbe de exp au point d'abscisse 0. Explique pourquoi ce n'est pas $T$.
4. dEn prenant $X = 2x$ dans l'inégalité admise, étudie la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$.
5. eDétermine une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.

Ex. 32★★★Étude de (2x + 1)e^(−x) — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x + 1)e^{-x}$. Donne les valeurs exactes.

1. aCalcule $f'(x)$ et écris-la sous la forme d'un produit par $e^{-x}$.
2. bÉtudie le signe de $f'(x)$, puis dresse le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
3. cDonne l'extremum de $f$ et la valeur de $x$ où il est atteint.
4. dLéo affirme : « $f$ est positive exactement là où elle est croissante. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 33★★★Concentration d'un antibiotique — Maëlys reçoit une injection d'antibiotique. $t$ heures après l'injection, la concentration dans son sang, en mg/L, est $C(t) = 5t\,e^{-0{,}2t}$ pour $t \in [0\,;24]$. Valeurs arrondies :

1. aCalcule $C'(t)$ et écris-la sous la forme d'un produit par $e^{-0{,}2t}$.
2. bDresse le tableau de variations de $C$ sur $[0\,;24]$. Donne la concentration maximale en valeur exacte, puis arrondie à 0{,}01.
3. cL'antibiotique agit quand $C(t) \geqslant 6$. Encadre entre deux entiers consécutifs l'instant où il commence à agir, puis celui où il s'arrête. Justifie.
4. dDéduis-en un encadrement de la durée d'action de l'antibiotique.
5. eDétermine une équation de la tangente à la courbe de $C$ au point d'abscisse 0. Que représente son coefficient directeur dans ce contexte ?

Ex. 34★★★Une courbe au-dessus de ses tangentes — Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x) = e^{x} - x - 1$. On note $\mathcal{C}$ la courbe de la fonction exponentielle.

1. aDresse le tableau de variations de $\varphi$ sur $\mathbb{R}$, puis déduis-en que pour tout réel $x$, $e^{x} \geqslant x + 1$.
2. bJustifie que $\mathcal{C}$ est au-dessus de sa tangente $T$ au point d'abscisse 0, d'équation $y = x + 1$, et qu'elles n'ont qu'un point commun.
3. cDétermine une équation de la tangente $T'$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1, puis montre que $\mathcal{C}$ est au-dessus de $T'$ en écrivant $e^{x} = e \times e^{x-1}$.
4. dMontre que pour tout $x < 1$, $e^{x} \leqslant \frac{1}{1 - x}$, puis encadre $e^{0{,}1}$ par deux fractions.

Ex. 35★★★Étude de (x − 1)²e^(−x), type DS — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x - 1)^{2}e^{-x}$. On rappelle que $e \approx 2{,}718$. Donne les valeurs exactes.

1. aHugo écrit : « $f'(x) = 2(x - 1)e^{-x} + (x - 1)^{2}e^{-x}$ ». Explique son erreur, puis écris $f'(x)$ comme le produit de $e^{-x}$ par deux facteurs affines.
2. bDresse le tableau de signes de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$, avec les valeurs exactes des extremums locaux.
3. cDétermine une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 0.
4. dMontre que $f(x) \geqslant 0$ pour tout réel $x$. Le minimum local $f(1)$ est-il le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ ? Justifie.
5. eJustifie que pour tout réel $x \geqslant 0$, $f(x) \leqslant 1$.

Ex. 36★★★Dériver et factoriser par l'exponentielle — Dérive chaque fonction (définie sur $\mathbb{R}$ sauf mention contraire) et écris la dérivée sous forme factorisée par l'exponentielle.

1. a$f(x) = (x^{2} - 5)e^{x}$
2. b$g(x) = (3x + 2)e^{-x}$
3. c$h(x) = (x - 4)e^{2x}$
4. d$k(t) = 6e^{-0{,}3t}$
5. e$m(x) = \dfrac{e^{x}}{x + 3}$ sur $]-3\,;+\infty[$
6. f$p(x) = (x^{2} + 1)e^{-2x+1}$

Ex. 37★★★Du signe de f′ aux variations — Dans chaque cas, on donne la dérivée $f'$ d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$. Réponds en justifiant par le signe de $f'(x)$.

1. a$f'(x) = (4 - x)e^{x}$. Sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?
2. b$f'(x) = (2x + 5)e^{-3x}$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?
3. c$f'(x) = (x^{2} - x - 6)e^{x}$. Donne les intervalles où $f$ est croissante.
4. d$f'(x) = -(x^{2} + 4)e^{x+1}$. Donne les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
5. e$f(x) = (x - 3)e^{x}$ et $f'(x) = (x - 2)e^{x}$. Donne l'intervalle où $f$ est négative, puis celui où $f$ est décroissante.

Ex. 38★★★Étude complète avec $e^{-x}$ — On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x + 4)e^{-x}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe. Valeurs approchées à 0{,}01 près.

1. aCalcule $f'(x)$ et écris-la sous forme factorisée par $e^{-x}$.
2. bÉtudie le signe de $f'(x)$ et dresse le tableau de variations de $f$
   (sans limites).
3. cDonne l'extremum de $f$ en valeur exacte, puis une valeur approchée.
4. dDétermine une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

Ex. 39★★★Concentration d'un antidouleur — La concentration d'un antidouleur dans le sang, en mg/L, $t$ heures après la prise, est $c(t) = 8t\,e^{-0{,}25t}$ pour $t \in [0\,;12]$. Arrondis à 0{,}01 près.

1. aCalcule $c'(t)$ et factorise-la par $e^{-0{,}25t}$.
2. bDresse le tableau de variations de $c$ sur $[0\,;12]$, avec les valeurs exactes.
3. cAu bout de combien de temps la concentration est-elle maximale ? Donne ce maximum en valeur exacte, puis arrondi.
4. dInès affirme : « 8 h après la prise, la concentration dépasse encore 10 mg/L. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 40★★★Un trinôme devant $e^{x}$ : minimum sur tout $\mathbb{R}$ — On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^{2} - x - 1)e^{x}$. Donne les valeurs exactes, puis des valeurs approchées à 0{,}01 près.

1. aCalcule $f'(x)$ et écris-la sous la forme $(x^{2} + bx + c)e^{x}$. Étudie le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
2. bDresse le tableau de variations de $f$. Donne ses extremums locaux.
3. cRésous l'inéquation $f(x) < 0$ sur $\mathbb{R}$.
4. dDémontre que, pour tout réel $x$, $f(x) \geqslant -e$. Pense à séparer $]-\infty\,;-2]$, $[-2\,;1]$ et $[1\,;+\infty[$.
5. eDétermine une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 0.

Ex. 41★★★Bénéfice d'un atelier de céramique — Un atelier fabrique entre 0 et 500 bols par semaine. Pour $x$ centaines de bols, avec $x \in [0\,;5]$, le bénéfice hebdomadaire, en milliers d'euros, est $B(x) = (4x - 2)e^{-0{,}5x}$. Donne les valeurs exactes, puis les montants arrondis à l'euro.

1. aThéo trouve $B'(x) = (4x + 2)e^{-0{,}5x}$ et en conclut que $B$ est croissante. Trouve son erreur, puis calcule $B'(x)$ sous forme factorisée.
2. bÉtudie le signe de $B'(x)$ et dresse le tableau de variations de $B$ sur $[0\,;5]$.
3. cCombien de bols l'atelier doit-il fabriquer pour un bénéfice maximal ? Donne ce bénéfice en euros.
4. dCombien de bols l'atelier doit-il fabriquer au minimum pour ne pas perdre d'argent ? Justifie.
5. eLe gérant affirme : « Au-delà de 250 bols, le bénéfice baisse, donc à 500 bols l'atelier perd de l'argent. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 42★★★Un quotient avec $e^{2x}$ et une inégalité — On considère la fonction $g$ définie sur $I = ]-1\,;+\infty[$ par $g(x) = \frac{e^{2x}}{x + 1}$. Donne les valeurs exactes, puis des valeurs approchées à 0{,}01 près.

1. aExplique pourquoi $g$ est dérivable sur $I$. Calcule $g'(x)$ et factorise le numérateur par $e^{2x}$.
2. bÉtudie le signe de $g'(x)$ sur $I$ et dresse le tableau de variations de $g$. Donne son minimum.
3. cDéduis-en que, pour tout $x > -1$, on a $e^{2x+1} \geqslant 2x + 2$.
4. dOn exécute ce programme : from math import exp def g(x): return exp(2*x) / (x + 1) n = 0 while g(n) <= 100: n = n + 1 print(n) Qu'affiche-t-il ? Justifie avec les variations de $g$, puis interprète le résultat.

Ex. 43★★★Raison, taux et sens de variation — Arrondis les raisons au millième et les taux à $0{,}1\,\%$.

1. aDonne la raison de la suite $u_n = 5e^{0{,}2n}$, puis son taux d'évolution d'un rang au suivant.
2. bLéo affirme que $v_n = 3e^{-0{,}1n}$ baisse de $10\,\%$ à chaque rang. Corrige son affirmation.
3. cDonne le premier terme et la raison de la suite $p_n = 2e^{1-0{,}3n}$.
4. dJustifie par sa raison le sens de variation de $w_n = 0{,}4e^{0{,}05n}$.
5. eLa suite $r_n = -6e^{0{,}3n}$ a une raison supérieure à $1$. Est-elle croissante ? Justifie.
6. fÉcris $s_n = \frac{e^{2n}}{e^{n+1}}$ sous la forme $Ke^{an}$, puis donne sa raison.

Ex. 44★★★Vrai ou faux sur les suites $Ke^{an}$ — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

1. a« La suite $u_n = 4e^{0{,}7n}$ a pour raison $0{,}7$. »
2. b« Pour tout entier $n$, $e^{-1{,}5(n+1)} = e^{-1{,}5}\times e^{-1{,}5n}$. »
3. c« La suite $u_n = 12e^{-0{,}02n}$ perd environ $2\,\%$ par rang, donc elle a perdu $100\,\%$ de sa valeur au rang $50$. »
4. d« La grandeur $g(t) = 50e^{-0{,}4t}$ finit par valoir $0$. »
5. e« La suite $u_n = e^{n}+1$ est géométrique. »

Ex. 45★★★Médicament : baisse horaire et réinjection — Inès reçoit une injection. $t$ heures plus tard, la concentration du médicament dans son sang est $c(t) = 18e^{-0{,}15t}$ (en mg/L). On pose $u_n = c(n)$.

1. aDémontre que $(u_n)$ est géométrique. Donne sa raison (arrondie au millième) et son premier terme.
2. bDonne le sens de variation de $(u_n)$ et le pourcentage de baisse par heure, à $0{,}1\,\%$ près.
3. cInès affirme que la concentration baisse de la même quantité chaque heure. A-t-elle raison ? Justifie avec le tableau.
4. dLe médecin refait une injection dès que $c<5$. À la calculatrice, trouve cette heure entière, en vérifiant le rang précédent.

Ex. 46★★★Bactéries : un programme de seuil à corriger — Dans un laboratoire, une culture compte $N(t) = 2\,500e^{0{,}12t}$ bactéries au bout de $t$ heures. Chloé cherche au bout de combien d'heures entières la population a doublé. Elle écrit ce programme : from math import exp n = 0 u = 2500 while u >= 5000: u = u * exp(0.12) n = n + 1 print(n)

1. aOn pose $u_n = N(n)$. Montre que $u_{n+1} = e^{0{,}12}u_n$, puis donne le taux d'évolution horaire à $0{,}1\,\%$ près.
2. bQu'affiche le programme de Chloé ? Explique son erreur et corrige la ligne 4.
3. cQuel nombre affiche le programme corrigé ? Vérifie-le à la calculatrice avec le rang précédent.
4. dQuelle ligne faut-il modifier pour trouver au bout de combien d'heures la population a triplé ? Quel nombre s'affiche alors ?

Ex. 47★★★Deux chaînes vidéo : qui passe devant ? — Au bout de $t$ mois, la chaîne de Maëlys compte $A(t) = 12e^{0{,}05t}$ milliers d'abonnés. Celle de Hugo en compte $B(t) = 18e^{0{,}02t}$ milliers. Arrondis les raisons au millième et les taux à $0{,}1\,\%$.

1. aOn pose $a_n = A(n)$ et $b_n = B(n)$. Démontre que ces deux suites sont géométriques. Donne la raison de chacune et son taux d'évolution mensuel.
2. bMontre que, pour tout entier naturel $n$, $A(n) > B(n) \iff e^{0{,}03n} > 1{,}5$.
3. cOn donne ce tableau :

   n	12	13	14	15
   $e^{0{,}03n}$	1,433	1,477	1,522	1,568

   Qu'affiche le programme ci-dessous ? Justifie, puis interprète le résultat. from math import exp n = 0 while 12*exp(0.05*n) <= 18*exp(0.02*n): n = n + 1 print(n)
4. dOn pose $q_n = \frac{a_n}{b_n}$. Démontre que $(q_n)$ est géométrique et croissante. Une fois devant, Maëlys peut-elle être rattrapée ? Justifie.

Ex. 48★★★Échantillon radioactif : demi-vie et disparition — Un échantillon radioactif a une masse de $m(t) = 80e^{-0{,}05t}$ grammes au bout de $t$ jours. On pose $u_n = m(n)$. Arrondis la raison au millième et le taux à $0{,}1\,\%$.

1. aDémontre que $(u_n)$ est une suite géométrique. Donne sa raison et son premier terme, puis déduis-en son sens de variation.
2. bNoah affirme : « La masse diminue de $5\,\%$ par jour. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cOn donne ce tableau :

   n	12	13	14	15
   m(n)	43,90	41,76	39,73	37,79

   Détermine la demi-vie de l'échantillon en jours entiers. Justifie avec le rang précédent.
4. dMontre que, pour tout réel $t \geqslant 0$, $m(t+14) = e^{-0{,}7}\,m(t)$. Déduis-en $m(28) = \frac{m(14)^{2}}{80}$, puis une valeur approchée de $m(28)$.
5. eYanis affirme que la masse vaut exactement $40$ g au bout de $13{,}5$ jours. Calcule $m(13{,}5)$ à $0{,}01$ près. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 49★★★Le café de Lucas refroidit — Lucas se sert un café dans une pièce à 20 °C. Au bout de $t$ minutes, sa température est $T(t) = 20 + 70e^{-0{,}08t}$ (en °C). On pose $d_n = T(n) - 20$. Arrondis la raison au millième, le taux à $0{,}1\,\%$ et les températures à $0{,}01$ près.

1. aDémontre que $(d_n)$ est géométrique. Donne sa raison, son premier terme et son taux d'évolution par minute.
2. bLucas affirme : « La suite $(T(n))$ est géométrique de raison $e^{-0{,}08}$. » A-t-il raison ? Justifie en comparant $T(1)$ à $T(0)\times e^{-0{,}08}$.
3. cDétermine le sens de variation de la suite $(T(n))$. Le café atteindra-t-il un jour 20 °C ? Justifie.
4. dComplète la condition de ce programme pour qu'il affiche le premier entier $n$ tel que $T(n) < 50$. from math import exp n = 0 T = 90 while ... : n = n + 1 T = 20 + 70*exp(-0.08*n) print(n)
5. eCalcule $T(10)$ et $T(11)$. Déduis-en ce qu'affiche le programme, puis interprète le résultat.