Cinquième / Équations

Ex. 1★★★Automatismes : égalités à trou — Trouve le nombre caché avec l'opération inverse, puis vérifie en le remettant dans l'égalité.

Ex. 2★★★Automatismes : suites de nombres — Pour chaque suite, calcule les écarts, trouve comment on passe d'un nombre au suivant, puis écris les deux nombres suivants.

1. a$7$ ; $19$ ; $31$ ; $43$ ; …
2. b$120$ ; $111$ ; $102$ ; $93$ ; …
3. c$4$ ; $12$ ; $36$ ; $108$ ; …
4. d$1{,}5$ ; $3{,}25$ ; $5$ ; $6{,}75$ ; …
5. e$0{,}75$ ; $1{,}5$ ; $3$ ; $6$ ; …

Ex. 3★★★De la situation à l'égalité à trou — Pour chaque situation, écris une égalité à trou, trouve le nombre caché par l'opération inverse, vérifie, puis réponds par une phrase.

1. aNora achète $4$ cahiers identiques et paie $9{,}60$ €. Quel est le prix d'un cahier ?
2. bUn bus transporte $52$ passagers. À un arrêt, des passagers descendent : il en reste $37$. Combien sont descendus ?
3. cTrois amis se partagent une somme en parts égales : chacun reçoit $14{,}50$ €. Quelle était la somme ?
4. dLe grand-père de Théo a $72$ ans : c'est $6$ fois l'âge de Théo. Quel âge a Théo ?
5. eIlan coupe $3{,}5$ m d'une corde ; il reste $8{,}75$ m. Quelle était la longueur de la corde ?
6. fUne plante mesurait $18$ cm. Elle mesure maintenant $31{,}5$ cm. De combien a-t-elle grandi ?

Ex. 4★★★Un motif de jetons — Lina empile des jetons en suivant un motif évolutif :

1. aCalcule les écarts. Lucas propose la règle directe $6 \times n$ : teste-la à l'étape 1, puis corrige-la.
2. bCombien de jetons y a-t-il à l'étape 50 ? Et à l'étape 100 ?
3. cQuelle étape compte $245$ jetons ? Vérifie avec la règle directe.
4. dUne étape peut-elle compter $150$ jetons ? Justifie par un calcul.

Ex. 5★★★Repère l'erreur dans le motif — Une guirlande lumineuse suit ce motif :

1. aCamille : « On ajoute $7$ ampoules à chaque étape, donc à l'étape 60 il y a $60 + 7 = 67$ ampoules. »
2. bNoé : « L'étape 1 a $10$ ampoules, donc l'étape 20 en a $20 \times 10 = 200$. »
3. cZoé cherche l'étape qui a $213$ ampoules : « $213 \div 7$ ne tombe pas juste, donc aucune étape ne convient. »

Ex. 6★★★Je pense à un nombre

1. aElsa : « Je multiplie mon nombre par $5$, j'ajoute $8$ et j'obtiens $63$. » Teste $9$, puis $12$ : que conclus-tu ?
2. bRetrouve le nombre d'Elsa par opérations inverses, en défaisant la dernière opération en premier. Vérifie.
3. cHugo : « Je retire $6$ à mon nombre, puis je multiplie par $3$ : j'obtiens $45$. » Amel calcule $45 + 6 = 51$, puis $51 \div 3 = 17$. Vérifie, puis corrige.
4. dJe pense à un nombre, je le divise par $4$, puis j'ajoute $2{,}5$ : j'obtiens $9$. Quel est ce nombre ? Vérifie.

Ex. 7★★★« De plus » ou « fois plus » ? — Léo et Sacha ont $42$ billes à eux deux.

1. aSacha a $6$ billes de plus que Léo. Décris le schéma en barres, puis trouve le nombre de billes de chacun.
2. bCette fois, Sacha a $6$ fois plus de billes que Léo. Décris le schéma en barres, puis trouve le nombre de billes de chacun.
3. cDans le cas « $6$ de plus », Mina écrit : « $42 \div 2 = 21$ : Léo a $21$ billes et Sacha $27$. » Vérifie dans l'énoncé et explique l'erreur.

Ex. 8★★★Une clôture de planches — Manon construit une clôture en bois en suivant un motif évolutif. Elle n'a noté que quelques étapes :

1. aLes étapes notées ne se suivent pas. Combien de planches ajoute-t-on d'une étape à la suivante ? Trouve l'étape 1, puis la règle directe.
2. bBastien affirme : « On ajoute $4$ planches à chaque étape, donc à l'étape $100$ il y a $4 \times 100 = 400$ planches. » Est-ce juste ? Justifie, puis corrige.
3. cAnis dit : « L'étape $50$ a deux fois moins de planches que l'étape $100$. » Vrai ou faux ? Justifie par un calcul.
4. dManon affirme : « De l'étape $30$ à l'étape $45$, il me faut $60$ planches de plus. » Vrai ou faux ? Justifie de deux façons.
5. eManon a $300$ planches. Une étape peut-elle utiliser exactement ses $300$ planches ? Sinon, quelle est la plus grande étape qu'elle peut construire ?

Ex. 9★★★Énigmes à rebours — Pour chaque énigme, défais les opérations en commençant par la dernière, puis vérifie en remettant le nombre trouvé dans l'énoncé.

1. aTom : « Je multiplie mon nombre par $4$, je retire $9$, puis je divise par $5$ : j'obtiens $11$. » Jade calcule $11 \times 5 = 55$, $55 - 9 = 46$, puis $46 \div 4 = 11{,}5$. Teste $11{,}5$, explique son erreur, puis corrige.
2. bRayan multiplie un nombre par $3$, puis ajoute $4$ : il obtient $31$. Inès part du même nombre, mais ajoute $4$ avant de multiplier par $3$. Quel résultat obtient Inès ?
3. cIlyes pense à un nombre entier, le multiplie par $8$, puis ajoute $3$ et annonce $47$. Prouve que son calcul est faux.
4. dBen : « Je multiplie mon nombre par $2{,}5$, puis je retire $4$ : j'obtiens $21$. » Trouve son nombre
   (pour diviser par $2{,}5$, multiplie d'abord les deux nombres par $10$).

Ex. 10★★★Une cagnotte à partager — Romane, Malo et Lou ont $85$ € à eux trois dans une cagnotte. Malo a $9$ € de plus que Romane, et Lou a $2$ fois plus que Romane.

1. aDécris le schéma en barres en mots (une barre pour Romane…), puis trouve la somme de chacun. Vérifie dans l'énoncé.
2. bEwan calcule $85 \div 3$, car il y a $3$ enfants. Explique ses deux erreurs.
3. cCette fois, Malo a toujours $9$ € de plus que Romane, mais Lou a $2$ fois plus que Malo (total : $85$ €). Décris les barres, puis trouve la somme de chacun.
4. dDans la cagnotte de départ, chacun des trois ajoute la même somme : il y a alors $106$ €. Combien chacun a-t-il ajouté ? La part de Lou est-elle encore le double de celle de Romane ? Justifie.

Ex. 11★★★Automatismes : calculer chaque membre — Pour chaque équation, remplace la lettre par le nombre donné. Calcule le membre de gauche, puis le membre de droite. Conclus : ce nombre est-il solution ?

1. a$x + 17 = 45$ pour $x = 28$
2. b$x - 9 = 34$ pour $x = 25$
3. c$26 + y = 61$ pour $y = 35$
4. d$52 - x = 19$ pour $x = 33$
5. e$x + 4{,}6 = 10$ pour $x = 6{,}4$
6. f$83 = a + 38$ pour $a = 45$

Ex. 12★★★Automatismes : le nombre devant la lettre — Rappel : $4x$ veut dire $4 \times x$. Justifie chaque réponse par un calcul.

1. aCalcule $5y$ pour $y = 6$.
2. bLe nombre $7$ est-il solution de $4x = 28$ ?
3. cInès affirme : « $9$ est solution de $6t = 45$ ». A-t-elle raison ?
4. dLe nombre $2{,}5$ est-il solution de $8x = 20$ ?
5. eVrai ou faux : « $0{,}4$ est solution de $x \times 15 = 6$ » ?
6. fLe nombre $3$ est-il solution de $2n = 23$ ?

Ex. 13★★★Un calcul dans chaque membre — Teste le nombre donné : calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite, puis conclus.

1. a$x + 6 = 3 \times 7$ pour $x = 15$
2. b$x - 8 = 40 \div 5$ pour $x = 16$
3. c$y + 12 = 50 - 14$ pour $y = 26$
4. d$4 \times 9 = z + 19$ pour $z = 17$
5. e$x - 7 = 2 \times 10$ pour $x = 13$

Ex. 14★★★Tableau de tests avec des relatifs — On cherche la solution de l'équation $x + 13 = 6$ parmi trois nombres.

1. aRecopie et complète le tableau en calculant chaque membre.
2. bLequel des trois nombres est solution de $x + 13 = 6$ ? Justifie.
3. cLe nombre $-3{,}5$ est-il solution de $x + 6{,}5 = 3$ ? Justifie par un calcul.

Ex. 15★★★Valeur approchée ou solution ? — Pour résoudre $6x = 11$, Elsa tape $11 \div 6$ sur sa calculatrice, qui affiche $1{,}833333333$.

1. aElsa affirme : « $1{,}83$ est solution de $6x = 11$ ». Calcule $6 \times 1{,}83$. A-t-elle raison ?
2. bLe nombre $1{,}84$ est-il solution de $6x = 11$ ? Justifie par un calcul.
3. cLe nombre $\frac{11}{6}$ est-il solution de $6x = 11$ ? Justifie.
4. dLe nombre $2{,}2$ est-il solution de $5x = 11$ ? Justifie par un calcul.

Ex. 16★★★Trois équations pour une situation — Noé avait des billes. À la récréation, il en gagne $15$ et il en a maintenant $27$. Trois élèves proposent une équation, où $x$ est le nombre de billes de départ : $x - 15 = 27$ ; $x + 15 = 27$ ; $15x = 27$.

1. aTeste le nombre $12$ dans chacune des trois équations en calculant chaque membre.
2. bLaquelle des trois équations traduit l'énoncé ? Explique pourquoi.
3. cJade affirme : « Noé avait $42$ billes, car $42 - 15 = 27$ ». Vérifie dans l'énoncé, puis réponds par une phrase : combien de billes Noé avait-il au départ ?

Ex. 17★★★Vrai ou faux, puis à toi — Pour les quatre premières questions, réponds par vrai ou faux et justifie par un calcul.

1. a« $14$ est solution de $30 - x = 16$. »
2. bLucas affirme : « $17$ est solution de $x - 12 = 29$, car $29 - 12 = 17$. »
3. c« $-6$ est solution de $2 = 8 + x$. »
4. d« $1{,}2$ est solution de $x + 0{,}9 = 2$. »
5. eÉcris une équation de la forme $x - b = c$ dont la solution est $8{,}5$, puis vérifie.

Ex. 18★★★Températures d'une journée d'hiver — À 7 h, un thermomètre indique $x$ °C. À midi, la température a augmenté de $9$ °C et il fait $4{,}5$ °C. On obtient l'équation $x + 9 = 4{,}5$.

1. aLéo calcule $4{,}5 + 9 = 13{,}5$ et affirme qu'il faisait $13{,}5$ °C à 7 h. Teste $13{,}5$ en calculant chaque membre. A-t-il raison ? Justifie.
2. bTeste le nombre $-4{,}5$ dans l'équation $x + 9 = 4{,}5$. Quelle température faisait-il à 7 h ?
3. cEntre midi et 22 h, la température baisse de $d$ °C. À 22 h, il fait $-3$ °C, donc $4{,}5 - d = -3$. Le nombre $1{,}5$ est-il solution ? Justifie par un calcul.
4. dDans $4{,}5 - d = -3$, $d$ est l'écart entre $4{,}5$ et $-3$. Calcule $d$, puis teste ta valeur dans l'équation et conclus par une phrase.

Ex. 19★★★Hugo à la papeterie — Hugo achète $6$ stylos identiques pour $16{,}5$ € et $4$ gommes identiques pour $3{,}4$ €. Le prix $y$ d'un stylo (en €) vérifie $6y = 16{,}5$ ; le prix $g$ d'une gomme (en €) vérifie $4g = 3{,}4$. Rappel : $6y$ veut dire $6 \times y$.

1. aPour $y = 3$, Hugo écrit « $6y = 63$ ». Explique son erreur, calcule $6y$ correctement, puis dis si $3$ est solution de $6y = 16{,}5$.
2. bTeste $2{,}5$, puis $2{,}75$ dans $6y = 16{,}5$. Lequel est le prix d'un stylo ? Justifie.
3. cHugo propose $g = 0{,}85$ ; sa sœur Maëlle propose $g = 8{,}5$. Teste les deux nombres dans $4g = 3{,}4$. Qui a raison ?
4. dHugo paie avec un billet de $20$ € et on lui rend $r$ € : $16{,}5 + 3{,}4 + r = 20$. Teste $r = 1$, puis $r = 0{,}1$, et conclus par une phrase avec l'unité.

Ex. 20★★★Le troisième côté du triangle — Un triangle a deux côtés de $8{,}5$ cm et $11$ cm ; le troisième mesure $c$ cm. Son périmètre est égal à celui d'un carré de $7$ cm de côté. Lina traduit la situation par l'équation $c + 19{,}5 = 4 \times 7$.

1. aExplique d'où viennent le nombre $19{,}5$ et le calcul $4 \times 7$ dans l'équation de Lina.
2. bSami propose $c = 47{,}5$. Teste ce nombre en calculant séparément le membre de gauche et le membre de droite, puis conclus.
3. cRésous l'équation de Lina par l'opération inverse, puis vérifie en remplaçant $c$ par ta solution.
4. dVérifie ton résultat dans l'énoncé. Ce triangle est-il isocèle ? Justifie et conclus par une phrase avec l'unité.

Ex. 21★★★Automatismes : le bon calcul — Pour chaque équation, écris le calcul qui donne la solution (opération inverse), calcule-la, puis vérifie en remplaçant.

Ex. 22★★★Automatismes : des solutions relatives — Résous chaque équation, puis vérifie en remplaçant la lettre par la solution trouvée.

Ex. 23★★★Avec des nombres décimaux — Résous chaque équation, puis vérifie.

Ex. 24★★★Quand l'inconnue est retirée — Dans ces équations, on retire l'inconnue : on cherche ce qu'il faut retirer pour obtenir le membre de droite.

1. aRésous $70 - x = 44$ en cherchant l'écart entre $70$ et $44$, puis vérifie.
2. bPour $35 - x = 12$, Lina écrit : « $x = 35 + 12 = 47$ ». Remplace $x$ par $47$ pour montrer son erreur, puis corrige.
3. cRésous $18{,}5 - t = 6{,}2$, puis vérifie.
4. dRésous $13 - x = 26$, puis vérifie.

Ex. 25★★★Tester avant de résoudre — On veut résoudre $x + 17 = 45$. Recopie ce tableau et complète-le.

1. aComplète la ligne de $62$. Le nombre $62$ est-il solution de $x + 17 = 45$ ? Justifie.
2. bComplète la ligne de $28$. Le nombre $28$ est-il solution ? Justifie.
3. cSacha a résolu l'équation en calculant $45 + 17$. Explique son erreur à l'aide du tableau.
4. dLe nombre $-3$ est-il solution de $n - 5 = -8$ ? Justifie en calculant chaque membre.

Ex. 26★★★Vrai ou faux ? — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie en résolvant et en vérifiant.

1. a« La solution de $x - 8{,}5 = 3$ est $-5{,}5$. »
2. b« Les équations $27 = x + 11$ et $x + 11 = 27$ ont la même solution. »
3. c« $y + 30 = 24$ n'a pas de solution, car on ne peut pas retirer $30$ à $24$. »
4. d« Pour résoudre $x - 12 = -20$, on calcule $-20 - 12$. »

Ex. 27★★★Mettre une situation en équation — Pour chaque situation, choisis l'inconnue, écris une équation, résous-la, vérifie dans l'énoncé et conclus par une phrase.

1. aCe matin à 7 h, il faisait une certaine température. À midi, elle a gagné $13$ °C et il fait $9$ °C. Quelle température faisait-il à 7 h ?
2. bInès achète un livre à $23{,}60$ €. Il lui reste alors $41{,}50$ €. Combien avait-elle avant l'achat ?
3. cDans $14$ ans, Hugo aura $31$ ans. Quel âge a-t-il aujourd'hui ?
4. dNora coupe un morceau d'un ruban de $12$ m. Il reste $7{,}4$ m. Quelle longueur a-t-elle coupée ?

Ex. 28★★★La copie de Noé — Noé a résolu quatre équations, mais chaque résolution contient une erreur. Pour chacune, explique l'erreur, corrige la résolution, puis vérifie en remplaçant la lettre par ta solution.

1. aNoé a écrit : « $t + 9{,}5 = 20$, donc $t = 20 + 9{,}5 = 29{,}5$. »
2. bNoé a écrit : « $n - 7 = -19$, donc $n = -19 - 7 = -26$. »
3. cNoé a écrit : « $63 - y = 38$, donc $y = 63 + 38 = 101$. »
4. dNoé a écrit : « $52 = 18 + a$, donc $a = 52 + 18 = 70$. »

Ex. 29★★★Le compte de Yanis — Le 1er mars, le solde du compte de Yanis est de $s$ € (un solde peut être négatif). Le 2 mars, il dépose $45{,}50$ € : son solde devient $32{,}80$ €. Le 10 mars, il paie une facture de $f$ € : son solde devient $-8{,}45$ €. Le 1er avril, il reçoit $a$ € d'argent de poche : son solde revient à $0$ €.

1. aYanis pense que son solde du 1er mars était de $78{,}30$ €. Teste ce nombre dans $s + 45{,}5 = 32{,}8$ en calculant chaque membre. A-t-il raison ? Justifie.
2. bRésous $s + 45{,}5 = 32{,}8$, vérifie dans l'énoncé, puis conclus par une phrase.
3. cÉcris l'équation que vérifie $f$, résous-la, vérifie dans l'énoncé, puis conclus par une phrase.
4. dÉcris l'équation que vérifie $a$, résous-la, vérifie dans l'énoncé, puis conclus par une phrase.

Ex. 30★★★Fabriquer des équations à rebours — Dans chaque question, la solution est connue et c'est un nombre de l'équation qu'il faut trouver. Justifie ta réponse par un calcul, puis vérifie en résolvant l'équation obtenue.

1. aÉcris une équation de la forme $x + b = c$, avec $b$ et $c$ positifs, dont la solution est $-9$. Explique comment tu as choisi $b$ et $c$.
2. bTrouve le nombre $c$ pour que l'équation $30 - x = c$ ait pour solution $4{,}75$.
3. cTrouve le nombre $b$ pour que l'équation $t - b = -3$ ait pour solution $t = 5$.
4. dTrouve le nombre $c$ pour que l'équation $c = n + 6{,}8$ ait pour solution $n = -2{,}3$.

Ex. 31★★★Automatismes : $3x$, c'est $3 \times x$ — Réponds à chaque question.

1. aQue veut dire $4x$ ? Calcule $4x$ pour $x = 7$.
2. bÉcris $y \times 6$ sans le signe $\times$, puis calcule cette expression pour $y = 1{,}5$.
3. cComplète : $8 \times \square = 72$.
4. dComplète : $\square \times 6 = 5{,}4$.
5. eQuel nombre, multiplié par $5$, donne $3$ ?

Ex. 32★★★Automatismes : résoudre en divisant — Résous chaque équation, puis vérifie en remplaçant la lettre par la solution trouvée.

Ex. 33★★★Le nombre devant la lettre est décimal — Résous chaque équation. Pour diviser par un décimal, multiplie d'abord les deux nombres par $10$ ou par $100$. Vérifie ensuite.

Ex. 34★★★Solution exacte ou valeur approchée ? — Quand la division ne tombe pas juste, la solution exacte s'écrit avec une fraction.

1. aRésous $6x = 13$ et donne la solution exacte. Vérifie.
2. bHugo propose $x = 2{,}17$ pour l'équation $6x = 13$. Calcule $6 \times 2{,}17$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cRésous $7t = 10$ et donne la solution exacte. Vérifie.
4. dRésous $8x = 6$. La division tombe-t-elle juste ? Justifie et vérifie.

Ex. 35★★★Repère et corrige l'erreur — Pour chaque élève, explique l'erreur, puis résous correctement et vérifie en remplaçant.

1. aSami résout $8x = 48$ et écrit : $x = 48 - 8 = 40$.
2. bMaëlle résout $4x = 3$ et écrit : $x = 4 \div 3$.
3. cNoah résout $x \div 5 = 2{,}4$ et écrit : $x = 2{,}4 \div 5 = 0{,}48$.
4. dClara résout $0{,}2x = 7$ et écrit : $x = 7 \div 2 = 3{,}5$.

Ex. 36★★★Addition ou multiplication ? — Repère l'opération faite sur l'inconnue, puis choisis la bonne opération inverse.

1. aRésous $x + 6 = 18$, puis $6x = 18$. Vérifie chaque solution.
2. bMila dit : « $x + 10 = 4$ et $10x = 4$ n'ont pas de solution, car $4$ est plus petit que $10$. » A-t-elle raison ? Résous les deux et vérifie.
3. cRésous $t \times 3 = 15$, puis $t - 3 = 15$. Vérifie chaque solution.
4. dQuelles équations ont la même solution : $x + 5 = 45$, $5x = 45$, $45 = x + 5$, $x \times 5 = 45$ ? Justifie en les résolvant.

Ex. 37★★★Mettre en équation : situations du quotidien — Pour chaque situation : choisis et écris l'inconnue, écris une équation, résous-la, vérifie dans l'énoncé et conclus par une phrase.

1. aÉlise achète $6$ cahiers identiques et paie $16{,}20$ €. Quel est le prix d'un cahier ?
2. bUn carré a un périmètre de $31$ cm. Quelle est la longueur de son côté ?
3. cYanis met de côté la même somme chaque semaine. En $12$ semaines, il a économisé $105$ €. Combien met-il de côté par semaine ?
4. dUne ficelle de $5$ m est coupée en $8$ morceaux de même longueur. Quelle est la longueur d'un morceau ?

Ex. 38★★★Vrai ou faux ? Justifie — Pour chaque affirmation, réponds vrai ou faux et justifie par un calcul. Si elle est fausse, donne la bonne solution et vérifie en remplaçant la lettre.

1. a« La solution de l'équation $40z = 6$ est $\frac{40}{6}$. »
2. b« L'équation $9y = 23$ n'a pas de solution, car $23 \div 9$ ne tombe pas juste. »
3. c« Dans $0{,}4k = 10$, la solution est plus petite que $10$, car on divise. »
4. d« Les équations $51 = 1{,}2t$ et $t \times 1{,}2 = 51$ ont la même solution. »

Ex. 39★★★Problème : la citronnade de la fête — Inès prépare $27$ L de citronnade pour la fête du collège. Pour chaque question : choisis et écris l'inconnue, écris une équation, résous-la, vérifie dans l'énoncé et conclus par une phrase avec l'unité.

1. aLa citronnade est vendue en bouteilles de $1{,}5$ L. Combien de bouteilles faut-il pour avoir exactement $27$ L ?
2. bCes bouteilles coûtent $23{,}40$ € en tout. Quel est le prix d'une bouteille ?
3. cInès sert des verres de $0{,}25$ L. Combien de verres remplit-elle avec les $27$ L ?
4. dElle répartit les $27$ L dans $7$ carafes, à parts égales. Quelle quantité dans chaque carafe ? Pourquoi $3{,}86$ L n'est-il pas la solution ?

Ex. 40★★★Fabriquer une équation — Réponds à chaque question en justifiant par un calcul, puis vérifie en remplaçant la lettre par la solution.

1. aÉcris une équation de la forme $6x = c$ dont la solution est $1{,}5$.
2. bRésous $0{,}8m = 36$, puis $1{,}6m = 36$. Ben dit : « En doublant le nombre devant $m$, la solution est divisée par $2$. » Est-ce vrai ici ? Justifie.
3. cTrouve le nombre $a$ pour que l'équation $a \times k = 3$ ait pour solution $k = 12$.
4. dLina affirme : « Une équation $ax = c$ de solution $\frac{5}{9}$, c'est forcément $9x = 5$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 41★★★Automatismes : traduire puis résoudre — Dans chaque énoncé, $x$ désigne le nombre cherché. Traduis l'énoncé par une équation, résous-la, vérifie et réponds par une phrase avec l'unité.

1. aDans 9 ans, Inès aura 21 ans. Quel âge a-t-elle ?
2. bIl y a 5 ans, Noé avait 10 ans. Quel âge a-t-il ?
3. c5 cahiers identiques coûtent 11 €. Quel est le prix d'un cahier ?
4. dHugo avait 43 €. Il dépense une somme et il lui reste 26 €. Combien a-t-il dépensé ?
5. eUn nombre augmenté de 12 donne 5. Quel est ce nombre ?
6. f7 bouteilles identiques contiennent en tout 10 L d'eau. Combien contient une bouteille ?

Ex. 42★★★Automatismes : la bonne équation parmi trois — Dans chaque énoncé, $x$ désigne le nombre cherché. Choisis la bonne équation parmi les trois, puis résous-la et vérifie.

1. aLe triple de l'âge de Jade est 48 ans. Quel âge a Jade ? $x + 3 = 48$ ; $3x = 48$ ; $x - 3 = 48$
2. bLou coupe 2,5 m d'un ruban et il en reste 9 m. Quelle longueur avait le ruban ? $x + 2{,}5 = 9$ ; $2{,}5x = 9$ ; $x - 2{,}5 = 9$
3. cOn distribue 72 cartes à 8 joueurs : chacun en reçoit le même nombre. Combien de cartes reçoit chaque joueur ? $x + 8 = 72$ ; $72x = 8$ ; $8x = 72$
4. dLa température monte de 7 °C et atteint alors 4 °C. Quelle était la température de départ ? $7x = 4$ ; $x - 7 = 4$ ; $x + 7 = 4$
5. eLe colis rouge pèse 1,2 kg de plus que le colis bleu et il pèse 3 kg. Combien pèse le colis bleu ? $x - 1{,}2 = 3$ ; $x + 1{,}2 = 3$ ; $1{,}2x = 3$

Ex. 43★★★Des données en trop — Sarah achète 3 billets de zoo identiques pour 38,70 €. Le zoo ouvre à 9 h et compte 350 animaux. Le trajet en bus dure 45 min. On cherche le prix d'un billet.

1. aQuelles données de l'énoncé sont inutiles pour trouver le prix d'un billet ?
2. bÉcris la phrase « Soit … » en précisant l'unité, puis écris l'équation.
3. cRésous l'équation.
4. dVérifie dans l'énoncé, puis réponds par une phrase en donnant le prix au centime.

Ex. 44★★★Vérifier dans l'énoncé — Énoncé : « 4 gourdes identiques coûtent 30 €. Quel est le prix d'une gourde ? » Paul écrit : $x + 4 = 30$, donc $x = 26$. Vérification : $26 + 4 = 30$ ✓. « Une gourde coûte 26 €. »

1. aRelis l'énoncé avec la réponse de Paul : combien coûteraient 4 gourdes à 26 € ? Conclus.
2. bQuelle erreur Paul a-t-il faite en écrivant son équation ?
3. cÉcris la bonne équation, résous-la, vérifie dans l'énoncé et réponds par une phrase.

Ex. 45★★★Une solution impossible — A : « Dans 12 ans, Nora aura 19 ans. Quel âge a-t-elle ? » Rayan écrit $x + 19 = 12$ et trouve $x = -7$.
B : « 96 élèves partent dans des cars identiques de 32 élèves. Combien de cars ? » Emma écrit $96x = 32$ et trouve $x = \frac{1}{3}$.

1. aPourquoi le résultat de Rayan montre-t-il une erreur ?
2. bÉcris la bonne équation de l'énoncé A, résous-la, vérifie dans l'énoncé et conclus.
3. cPourquoi le résultat d'Emma montre-t-il une erreur ?
4. dÉcris la phrase « Soit … » et la bonne équation de l'énoncé B, résous-la, vérifie et conclus.

Ex. 46★★★La tirelire de Yanis — Yanis a une somme dans sa tirelire. Sa grand-mère lui donne 25 € : il a alors 82,40 €. Ensuite, il achète un jeu et il lui reste 47,90 €.

1. aSoit $x$ la somme de départ, en euros. Écris une équation, puis trouve $x$.
2. bSoit $p$ le prix du jeu, en euros. Écris une équation, puis trouve $p$.
3. cVérifie tes deux réponses dans l'énoncé en partant de la somme de départ, puis conclus par une phrase.

Ex. 47★★★Côtés et périmètres — Un carré a un périmètre de 50 cm. Un triangle équilatéral (3 côtés de même longueur) a un périmètre de 20 cm.

1. aSoit $c$ la longueur du côté du carré, en cm. Écris l'équation, résous-la, vérifie et réponds par une phrase.
2. bSoit $t$ la longueur du côté du triangle, en cm. Écris l'équation et donne sa solution exacte.
3. cLina affirme : « $t = 6{,}67$ est la solution. » Vrai ou faux ? Justifie par un calcul.

Ex. 48★★★La sortie au musée — La 5ᵉB part au musée. Le car coûte $377$ € et les $26$ élèves paient chacun la même part. Avec le billet du musée, chaque élève paie $31{,}20$ € en tout. Les élèves versent tout cet argent dans une cagnotte : après avoir payé le car, il en reste $434{,}20$ €.

1. aChoisis l'inconnue et écris-la avec son unité (« Soit … »). Écris l'équation qui donne la part du car d'un élève, résous-la, vérifie dans l'énoncé et conclus.
2. bSoit $m$ le prix du billet du musée, en euros. Écris l'équation, trouve $m$, vérifie et réponds par une phrase.
3. cQuelle était la somme dans la cagnotte avant de payer le car ? Écris l'équation, résous-la, vérifie dans l'énoncé et conclus.
4. dPour la 5ᵉC, le car coûte $390$ € et chaque élève paie $16{,}25$ €. Tom trouve $23{,}5$ élèves. Pourquoi est-ce impossible ? Trouve le bon nombre d'élèves.

Ex. 49★★★L'âge de la grand-mère — La grand-mère de Timéo lui dit : « Il y a $7$ ans, j'avais $57$ ans. Aujourd'hui, j'ai le quadruple de ton âge. Dans quelques années, j'aurai $75$ ans. »

1. aMaëlys appelle $g$ l'âge actuel de la grand-mère. Elle écrit $g + 7 = 57$ et trouve $g = 50$. Relis l'énoncé avec sa réponse, puis explique son erreur.
2. bÉcris la bonne équation, résous-la, vérifie dans l'énoncé et donne l'âge actuel de la grand-mère.
3. cSoit $t$ l'âge de Timéo, en années. Écris l'équation, résous-la, vérifie et réponds par une phrase.
4. dDans combien d'années la grand-mère aura-t-elle $75$ ans ? Appelle $d$ ce nombre d'années, écris l'équation, résous-la et vérifie.
5. eTiméo affirme : « Quand j'aurai $18$ ans, ma grand-mère aura le triple de mon âge. » Vrai ou faux ? Justifie par des calculs.

Ex. 50★★★Une journée au refuge — Au refuge, la température gagne $11$ °C entre $6$ h et midi et atteint $5$ °C. Le soir, il fait $-4$ °C. Le refuge est à $2\,150$ m d'altitude, $870$ m plus haut que le parking. Le gardien coupe un tronc de $5$ m en $6$ bûches identiques. Pour chaque question : équation, résolution, vérification dans l'énoncé, phrase avec l'unité.

1. aSoit $t$ la température à $6$ h, en °C. Trouve $t$. Une solution négative est-elle acceptable ici ? Justifie.
2. bDe combien de degrés la température a-t-elle baissé entre midi et le soir ? Appelle $b$ cette baisse, en °C.
3. cSoit $p$ l'altitude du parking, en m. Écris une équation qui commence par $2\,150 = \ldots$ et trouve $p$.
4. dSoit $\ell$ la longueur d'une bûche, en m. Donne la solution exacte. Léon répond $0{,}83$ m : est-ce la solution ? Justifie par un calcul.