Quatrième / Équations

Ex. 1★★★Automatismes : une addition ou une soustraction — Résous chaque équation, puis vérifie.

Ex. 2★★★Automatismes : une multiplication — Résous chaque équation. Donne la solution exacte, en fraction si la division ne tombe pas juste.

Ex. 3★★★Tester plusieurs valeurs dans une équation avec x² — On considère l'équation $x^2 - 4 = 3x$.

1. aComplète le tableau : calcule chaque membre séparément.

   x	-1	0	2	4
   Membre de gauche
   Membre de droite

2. bQuels nombres du tableau sont solutions de l'équation ? Justifie.
3. c$-4$ est-il solution de l'équation ? Justifie par un calcul.
4. d$\frac{1}{2}$ est-il solution de l'équation ? Justifie par un calcul.

Ex. 4★★★Trouver et corriger l'erreur — Chaque élève a fait une erreur. Explique-la, puis corrige le travail.

1. aTom teste $2$ dans $5x^2 = 6x + 8$ : « À gauche $5 \times 2^2 = 10^2 = 100$, à droite $6 \times 2 + 8 = 20$, donc $2$ n'est pas solution. »
2. bMaëlle teste $-2$ dans $4x - 1 = x - 7$ : « À gauche $4 - 2 - 1 = 1$, à droite $-2 - 7 = -9$, donc $-2$ n'est pas solution. »
3. cHugo résout $6x = 9$ : « $x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. »
4. dSami résout $x - 5 = -12$ : « $x = -12 - 5 = -17$. »

Ex. 5★★★Retrouver le nombre manquant — Dans chaque cas, on connaît la solution de l'équation. Trouve ce qui manque et vérifie.

1. aDans l'équation $x + \ldots = -3$, la solution est $5$. Quel est le nombre manquant ?
2. bDans l'équation $\ldots \times y = 14$, la solution est $-2$. Quel est le nombre manquant ?
3. cDans l'équation $\ldots - n = 4$, la solution est $-6$. Quel est le nombre manquant ?
4. dÉcris une équation $ax = c$ de solution $\frac{3}{7}$. Écris-en une autre où le coefficient $a$ est négatif.

Ex. 6★★★Vrai ou faux sur les résolutions en une étape — Vrai ou faux ? Justifie par une résolution ou un calcul. Si c'est faux, donne la bonne solution.

1. a« La solution de $a - 9 = -2$ est $-11$. »
2. b« La solution de $13 - n = 4$ est $9$. »
3. c« La solution de $-10y = 4$ est $-\frac{10}{4}$. »
4. d« La solution de $-x = 8$ est $8$. »
5. e« La solution de $3x = 2$ est $0{,}67$. »

Ex. 7★★★Le budget fournitures d'Inès — Inès a $25$ € pour ses fournitures. Dans chaque question, choisis l'inconnue avec son unité, écris une équation, résous-la, vérifie dans l'énoncé et réponds par une phrase.

1. aElle achète $6$ cahiers identiques et paie $16{,}20$ € en tout. Quel est le prix d'un cahier ?
2. bUn autre jour, après ses achats, il lui reste $8{,}65$ € sur ses $25$ €. Combien a-t-elle dépensé ?
3. cSon amie Clara dit : « Avec $25$ €, je peux acheter des trousses à $7$ € pièce et dépenser tout mon argent. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dLa carte de cantine d'Inès affiche $-3{,}40$ € (elle doit de l'argent). Combien doit-elle ajouter pour que la carte affiche $15$ € ?

Ex. 8★★★Enquête sur une équation avec t² — On considère l'équation $2t^2 + 1 = 7t - 2$, d'inconnue $t$. On ne sait pas résoudre ce type d'équation en 4ᵉ : on teste des valeurs.

1. a$-1$ est-il solution ? Justifie par un calcul.
2. b$3$ est-il solution ? Justifie par un calcul.
3. cVrai ou faux : « Comme $3$ est solution, c'est la seule solution. » Teste $0{,}5$ pour justifier.
4. dLina teste $0$ et trouve que ce n'est pas solution. Elle conclut : « Cette équation n'a pas de solution. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eNoé affirme : « Cette équation a les mêmes solutions que $2t + 1 = 7t - 2$. » Teste $3$ dans cette autre équation pour lui répondre.

Ex. 9★★★Automatismes : résoudre en deux étapes — Résous chaque équation en écrivant une étape par ligne. Donne la solution exacte, puis vérifie.

Ex. 10★★★Automatismes : vrai ou faux ? — Pour chaque affirmation, réponds vrai ou faux et justifie par un calcul.

1. aPour résoudre $5x + 8 = 3$, on écrit d'abord $5x = 3 + 8$.
2. bLa solution de $\frac{x}{3} = 8$ est $\frac{8}{3}$.
3. cLa solution de $-6x = 15$ est $-2{,}5$.
4. dSi on divise les deux membres de $3x + 9 = 21$ par $3$, on obtient $x + 3 = 7$.
5. eÉcrite sous forme irréductible, la solution de $8x = 6$ est $\frac{4}{3}$.
6. fDans $2 - 5x = 12$, le coefficient de $x$ est $5$.

Ex. 11★★★Corriger l'erreur d'un élève — Pour chaque élève, teste sa réponse dans l'équation de départ, explique son erreur, puis corrige sa résolution.

1. aLina résout $4x + 7 = -9$ : « Je passe le $7$ de l'autre côté : $4x = -9 + 7 = -2$, donc $x = -0{,}5$. »
2. bHugo résout $7x - 4 = 24$ : « $7x = 28$, donc $x = 28 - 7 = 21$. Je vérifie : $21 + 7 = 28$ ✓. »
3. cMaé résout $1 - 2x = 12$ : « $-2x = 11$, donc $x = 5{,}5$. »

Ex. 12★★★Retrouver l'équation — On connaît la solution : retrouve le nombre manquant ou invente une équation, puis vérifie.

1. a$b$ est un nombre et $2$ est la solution de $3x + b = 11$. Trouve $b$.
2. b$m$ est un nombre et $-7$ est la solution de $mx - 4 = 10$. Trouve $m$.
3. c$p$ est un nombre et $12$ est la solution de $\frac{x + p}{4} = 5$. Trouve $p$.
4. dÉcris une équation du type $ax + b = c$, avec $a$ négatif, dont la solution est $\frac{2}{3}$.

Ex. 13★★★La salle d'escalade — Dans une salle d'escalade, on paie une carte d'inscription de $12$ €, puis $6{,}50$ € par séance. Cette année, Inès a payé $70{,}50$ € au total.

1. aOn note $n$ le nombre de séances d'Inès. Exprime à l'aide de $n$ le prix total qu'elle a payé, en euros.
2. bÉcris une équation qui traduit la situation, puis résous-la.
3. cVérifie ta réponse dans l'énoncé, puis écris une phrase réponse.
4. dMalo, le frère d'Inès, affirme avoir payé $50$ € au total avec ce tarif. Est-ce possible ? Justifie.

Ex. 14★★★Trois programmes de calcul — Programme A : choisir un nombre, le multiplier par $-4$, puis ajouter $10$. Programme B : choisir un nombre, le diviser par $5$, puis soustraire $2$. Programme C : choisir un nombre, le multiplier par $0{,}2$, puis soustraire $1$. On note $x$ le nombre choisi.

1. aExprime en fonction de $x$ le résultat de chacun des trois programmes.
2. bQuel nombre faut-il choisir pour que le programme A donne $25$ ? Écris une équation, résous-la, puis vérifie.
3. cQuel nombre faut-il choisir pour que le programme B donne $-5$ ? Écris une équation, résous-la, puis vérifie.
4. dLou choisit $0$ avec le programme A. Quel nombre doit-elle choisir avec le programme C pour obtenir le même résultat ? Justifie.
5. eAli affirme : « Pour obtenir $4$, il faut choisir le même nombre avec le programme A et avec le programme B. » Vrai ou faux ? Justifie en résolvant deux équations.

Ex. 15★★★Trois entiers consécutifs — Des entiers consécutifs sont des nombres entiers qui se suivent, comme $7$, $8$ et $9$. On cherche trois entiers consécutifs dont on connaît la somme. On note $n$ le plus petit des trois.

1. aExprime les deux autres entiers en fonction de $n$, puis montre que la somme des trois entiers s'écrit $3n + 3$.
2. bTrouve trois entiers consécutifs dont la somme est $141$. Vérifie dans l'énoncé.
3. cTrouve trois entiers consécutifs dont la somme est $-48$. Vérifie dans l'énoncé.
4. dZoé cherche trois entiers consécutifs dont la somme est $100$. Résous l'équation, donne la solution exacte, puis explique pourquoi Zoé ne trouvera pas.

Ex. 16★★★La balance et les boîtes de thé — Une balance est en équilibre. Sur le plateau de gauche, il y a une masse de $1{,}8$ kg. Sur le plateau de droite, il y a $5$ boîtes de thé identiques et une masse de $300$ g. On note $m$ la masse d'une boîte, en grammes.

1. aÉcris l'équation qui traduit l'équilibre, membre de gauche pour le plateau de gauche. Attention aux unités.
2. bTom trouve qu'une boîte pèse $60$ g. Teste sa réponse dans ton équation, puis retrouve et explique son erreur.
3. cRésous l'équation en enlevant d'abord $300$ g des deux plateaux. Vérifie, puis réponds par une phrase.
4. dBen place $2{,}15$ kg à gauche. À droite, il met un pot de $350$ g et des boîtes de ce thé. Combien de boîtes lui faut-il pour équilibrer ? Mets en équation et résous.

Ex. 17★★★Automatismes : l'inconnue dans les deux membres — Résous chaque équation, puis vérifie ta solution.

1. a$7x - 4 = 3x + 16$
2. b$2t + 11 = 6t - 5$
3. c$-x + 9 = 4x - 6$
4. d$5n + 3 - n = 2n - 7$
5. e$1{,}5x + 2 = 0{,}5x + 6{,}5$
6. f$8a - 1 = 5a + 3$

Ex. 18★★★Automatismes : quand les x disparaissent — Pour chaque équation, regroupe les termes en $x$. Dis ensuite si elle a une seule solution (donne-la), aucune solution, ou si tous les nombres sont solutions.

Ex. 19★★★Corrige les erreurs — Léa résout $9x - 4 = 2x + 17$. Elle écrit : « J'enlève $2x$ : $11x - 4 = 17$, donc $11x = 21$ et $x = \frac{21}{11}$. »

1. aExplique l'erreur de Léa.
2. bRésous correctement l'équation $9x - 4 = 2x + 17$.
3. cVérifie ta solution en calculant séparément les deux membres.
4. dTom résout $3x + 8 = 7x - 12$ : il soustrait $7x$, obtient $-4x = -20$, puis $x = -5$. Trouve son erreur et corrige-la.

Ex. 20★★★Deux programmes de calcul — Programme A : choisir un nombre, le multiplier par $5$, soustraire $9$.
Programme B : choisir un nombre, lui ajouter $4$, multiplier le résultat par $2$.

1. aCalcule le résultat de chaque programme quand on choisit $-1$.
2. bOn note $x$ le nombre choisi. Exprime à l'aide de $x$ le résultat de chaque programme, sous forme réduite.
3. cPour quel nombre les programmes A et B donnent-ils le même résultat ? Vérifie.
4. dProgramme C : choisir un nombre, le multiplier par $2$, ajouter $6$. Lucas affirme qu'un nombre donne le même résultat avec B et avec C. Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 21★★★Deux tarifs à la piscine — À la piscine de sa ville, Inès a le choix entre deux tarifs.
Tarif A : $4{,}50$ € par entrée.
Tarif B : un abonnement de $18$ € pour l'année, puis $2{,}25$ € par entrée.

1. aCalcule le prix payé avec chaque tarif pour $6$ entrées.
2. bOn note $n$ le nombre d'entrées. Exprime à l'aide de $n$ le prix payé avec chaque tarif.
3. cPour combien d'entrées les deux tarifs coûtent-ils le même prix ? Mets en équation, résous et vérifie.
4. dInès prévoit $10$ entrées. Quel tarif est le plus avantageux ? Justifie.

Ex. 22★★★Vrai ou faux sur des équations — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par une résolution ou par un calcul.

1. a« La solution de $-3a + 2 = a + 18$ est $4$. »
2. b« L'équation $7n - 4 - 2n = 5(n - 1) + 1$ a une seule solution : $1$. »
3. c« Le nombre $3{,}5$ est la solution de $2{,}5t - 1 = 0{,}5t + 6$. »
4. dYanis affirme : « $7x + 2 = 3x + 5$ n'a pas de solution, car $3$ ne tombe pas juste quand on le divise par $4$. »

Ex. 23★★★Carré et rectangle de même périmètre — Ben dessine un carré de côté $x + 3$ et un rectangle de longueur $2x + 1$ et de largeur $x - 1$. Toutes les longueurs sont en cm, et $x$ est un nombre plus grand que $1$.

1. aExprime le périmètre du carré en fonction de $x$, puis celui du rectangle. Donne-les sous forme développée et réduite.
2. bÉcris l'équation qui traduit « le carré et le rectangle ont le même périmètre », puis résous-la.
3. cDonne les dimensions des deux figures pour cette valeur de $x$. Vérifie que leurs périmètres sont égaux.
4. dLina veut que le périmètre du rectangle soit inférieur de $10$ cm exactement à celui du carré. Est-ce possible ? Justifie.

Ex. 24★★★Équations à compléter — Dans les trois premières équations, $\square$ remplace un nombre que tu dois trouver.

1. aQuel nombre faut-il mettre à la place de $\square$ pour que $-2$ soit solution de $5x + \square = 2x - 1$ ? Justifie.
2. bQuel nombre faut-il mettre à la place de $\square$ pour que l'équation $\square\, x + 4 = 6x - 3$ n'ait aucune solution ? Justifie.
3. cQuel nombre faut-il mettre à la place de $\square$ pour que tous les nombres soient solutions de $4(x - 2) + x = 5x + \square$ ? Justifie.
4. dÉcris une équation de la forme $ax + b = cx + d$, avec $a$, $b$, $c$ et $d$ des entiers non nuls, dont la solution est $-\frac{2}{3}$. Vérifie-la en la résolvant.

Ex. 25★★★Automatismes : développer avant de résoudre — Développe et réduis chaque expression.

Ex. 26★★★Automatismes : une parenthèse dans un membre — Résous chaque équation, puis vérifie ta solution.

Ex. 27★★★Des parenthèses dans les deux membres — Résous chaque équation.

1. a$2(x + 5) = 3(x - 1)$
2. b$-(3t - 4) = 2(t + 7)$
3. c$6(x - 1) - 2x = 3(x + 1)$
4. d$-5(x + 2) = 3(1 - x)$
5. e$3(2x + 1) = 2(3x - 4)$

Ex. 28★★★L’erreur de Léa — Léa résout l’équation $8 - 4(x - 3) = 2x - 10$.
Ligne 1 : $8 - 4x - 12 = 2x - 10$
Ligne 2 : $-4 - 4x = 2x - 10$
Ligne 3 : $-4 = 6x - 10$
Ligne 4 : $6 = 6x$, donc $x = 1$.

1. a$1$ est-il solution de l’équation de départ ? Justifie par un calcul.
2. bTrouve la ligne où Léa s’est trompée et explique son erreur.
3. cRésous correctement l’équation, puis vérifie ta solution.

Ex. 29★★★Deux programmes de calcul — Programme A : choisir un nombre, lui ajouter $3$, multiplier le résultat par $4$.
Programme B : choisir un nombre, lui soustraire $2$, multiplier le résultat par $6$.

1. aCalcule le résultat de chaque programme quand on choisit $-1$.
2. bOn choisit le nombre $x$. Écris le résultat de chaque programme sous forme développée.
3. cPour quel nombre les deux programmes donnent-ils le même résultat ? Vérifie.
4. dTom change B en : soustraire $2$, multiplier par $4$, ajouter $20$. Il affirme : « Maintenant, A et B donnent toujours le même résultat. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 30★★★Deux périmètres égaux — Un rectangle a pour longueur $2x + 1$ et pour largeur $x - 3$ (en cm, avec $x > 3$). Un carré a pour côté $x + 3$ (en cm).

1. aExprime le périmètre du rectangle en fonction de $x$, puis développe et réduis.
2. bExprime le périmètre du carré en fonction de $x$, puis développe.
3. cÉcris une équation qui traduit « les deux figures ont le même périmètre », puis résous-la.
4. dDonne alors les dimensions des deux figures et vérifie dans l’énoncé que leurs périmètres sont égaux.
5. eOn remplace le carré par un triangle équilatéral de côté $2x - 2$. Peut-on trouver $x$ pour que le rectangle et le triangle aient le même périmètre ? Justifie.

Ex. 31★★★Une équation pleine de signes − — On étudie l’équation $5 - 2(t + 1) = 3 - (4t - 7)$, d’inconnue $t$.

1. aNoé affirme : « $5 - 2(t + 1)$ est égal à $3(t + 1)$ pour tout nombre $t$. » Vrai ou faux ? Justifie en testant $t = 1$.
2. bDéveloppe et réduis le membre de droite $3 - (4t - 7)$.
3. cRésous l’équation, puis vérifie ta solution dans l’équation de départ.
4. dOn remplace le nombre $7$ par un nombre $k$ : $5 - 2(t + 1) = 3 - (4t - k)$. Trouve $k$ pour que $-2$ soit solution.
5. ePeut-on choisir $k$ pour que l’équation $5 - 2(t + 1) = 3 - (4t - k)$ n’ait aucune solution ? Justifie.

Ex. 32★★★Trois agences de car — Une classe de $n$ élèves part en sortie avec $3$ adultes. Agence A : forfait de $120$ €, plus $5$ € par personne. Agence B : $8$ € par personne, mais $2$ personnes du groupe voyagent gratuitement. Agence C : forfait de $50$ €, plus $6$ € par personne.

1. aCalcule le prix payé à l’agence A, puis à l’agence B, pour une classe de $25$ élèves.
2. bExprime en fonction de $n$ le prix payé à l’agence A, puis à l’agence B, sous forme développée et réduite.
3. cMila affirme : « Il existe un nombre d’élèves pour lequel les agences A et B coûtent le même prix. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dPour combien d’élèves les agences B et C coûtent-elles le même prix ? Vérifie dans l’énoncé, puis réponds par une phrase.

Ex. 33★★★Automatismes — Un seul dénominateur — Résous chaque équation, puis vérifie ta solution.

Ex. 34★★★Automatismes — Chasser les dénominateurs — Multiplie les deux membres par le nombre indiqué. Écris l’équation équivalente obtenue, sans fraction ni parenthèses. Ne la résous pas.

1. a$\dfrac{x - 6}{4} = 3$ : par $4$.
2. b$\dfrac{2x + 1}{3} = x - 2$ : par $3$.
3. c$\dfrac{x}{2} + 1 = \dfrac{x}{3}$ : par $6$.
4. d$7 = \dfrac{x}{4} - \dfrac{x}{6}$ : par $12$.
5. e$5 - \dfrac{x - 3}{2} = 1$ : par $2$.

Ex. 35★★★Résoudre avec un ou deux dénominateurs — Résous chaque équation. Commence par multiplier par un dénominateur ou par un multiple commun. Vérifie ta solution dans l’équation de départ.

Ex. 36★★★L’erreur de Lucas — Lucas résout $\frac{x}{3} - 2 = \frac{x}{4} + 1$. Il écrit : « Je multiplie par $12$ : $4x - 2 = 3x + 1$. Je soustrais $3x$ puis j’ajoute $2$ : $x = 3$. »

1. aTeste si $3$ est solution de l’équation de départ. Justifie par un calcul.
2. bExplique l’erreur de Lucas à la première ligne.
3. cRésous correctement l’équation, puis vérifie ta solution.

Ex. 37★★★L’argent d’anniversaire de Zoé — Zoé reçoit une somme d’argent pour son anniversaire. Elle dépense le tiers de cette somme pour un livre et le quart de cette somme pour une place de concert. Il lui reste $15$ €. On note $x$ la somme reçue, en euros.

1. aExprime en fonction de $x$ le prix du livre, puis celui de la place de concert.
2. bÉcris en fonction de $x$ la somme qui lui reste, puis mets le problème en équation.
3. cRésous cette équation.
4. dVérifie ta solution dans l’énoncé, puis réponds par une phrase.

Ex. 38★★★Vrai ou faux avec des fractions — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par une résolution ou par un calcul.

1. a« La solution de l’équation $\frac{2x}{5} = 6$ est $\frac{12}{5}$. »
2. b« La solution de l’équation $\frac{3}{5}x = 6$ est $\frac{18}{5}$. »
3. c« Si on multiplie les deux membres de $\frac{x - 1}{4} = \frac{x}{6} + 2$ par $12$, on obtient $3x - 1 = 2x + 24$. »
4. d« L’équation $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{5x}{6} + 1$ n’a aucune solution. »

Ex. 39★★★Les programmes d’Inès et de Malik — Inès propose le programme A : « Choisis un nombre, multiplie-le par $3$, ajoute $1$, puis divise le résultat par $2$. » Malik propose le programme B : « Choisis un nombre, soustrais-lui $4$, puis divise le résultat par $3$. »

1. aComplète le tableau en appliquant les deux programmes.

   Nombre choisi	-2	1	7
   Programme A
   Programme B

2. bOn note $x$ le nombre choisi. Exprime en fonction de $x$ le résultat de chaque programme.
3. cÉcris l’équation qui traduit « les deux programmes donnent le même résultat », puis résous-la.
4. dVérifie ta solution en appliquant les deux programmes à ce nombre, avec des fractions.

Ex. 40★★★Les âges de Léna et de son père — Aujourd’hui, Léna a $x$ ans et son père a $28$ ans de plus qu’elle. Les âges sont comptés en années entières.

1. aExprime en fonction de $x$ l’âge du père aujourd’hui, puis l’âge de chacun dans $4$ ans.
2. bDans $4$ ans, l’âge de Léna sera le tiers de celui de son père. Mets ce problème en équation, résous-la, puis donne l’âge de chacun aujourd’hui.
3. cDans combien d’années l’âge de Léna sera-t-il la moitié de celui de son père ? Note $n$ ce nombre d’années et résous une équation.
4. dLéna dit : « Dans un nombre entier d’années, mon âge sera les $\frac{2}{5}$ de celui de mon père. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 41★★★Automatismes : traduire une phrase par une équation — Traduis chaque phrase par une équation d’inconnue $x$, puis résous-la.

1. aLe triple de la somme de $x$ et de $4$ vaut $18$.
2. bLe double de $x$, diminué de $5$, est égal à $-11$.
3. cLa moitié de $x$, augmentée de $4$, vaut $10$.
4. dL’opposé de $x$, augmenté de $6$, vaut $11$.
5. eLe quadruple de $x$ est égal à $x$ augmenté de $7$.
6. f$x$ diminué de $9$ est égal au triple de $x$.

Ex. 42★★★Automatismes : exprimer une grandeur en fonction de l’inconnue — Exprime la grandeur demandée en fonction de l’inconnue, puis réduis l’expression.

1. aSoit $x$ l’âge de Noé aujourd’hui, en années. Sa sœur a $4$ ans de plus que lui. Quel âge aura-t-elle dans $6$ ans ?
2. bSoit $n$ un nombre pair. Exprime le nombre pair qui suit $n$, puis la somme de ces deux nombres pairs.
3. cUn rectangle a une largeur de $x$ cm et une longueur de $3$ cm de plus. Exprime son périmètre, en cm.
4. dUne salle d’escalade demande $25$ € d’abonnement puis $3$ € par séance. Soit $t$ le nombre de séances. Exprime le prix payé, en euros.
5. eSoit $a$ le prix d’un kilo de pommes, en euros. Le kilo de poires coûte $1{,}50$ € de moins. Exprime le prix de $2$ kg de poires.
6. fSoit $x$ la masse d’un colis, en kg. Un deuxième colis pèse le double du premier, et un troisième pèse $5$ kg de moins que le deuxième. Exprime la masse totale des trois colis.

Ex. 43★★★L’erreur de Sacha sur les âges — Lina a $12$ ans et sa mère a $40$ ans. Dans combien d’années la mère aura-t-elle le double de l’âge de Lina ? Sacha écrit : « Soit $x$ le nombre d’années. » Puis il pose l’équation $40 + x = 2 \times 12 + x$.

1. aRésous l’équation de Sacha. Que constates-tu ?
2. bExplique l’erreur de Sacha dans sa mise en équation.
3. cÉcris la bonne équation, puis résous-la.
4. dVérifie dans l’énoncé, puis réponds à la question par une phrase.

Ex. 44★★★Deux tarifs à la piscine — À la piscine de son quartier, Idriss a le choix entre deux tarifs. Tarif A : $6{,}50$ € l’entrée. Tarif B : une carte annuelle à $30$ €, puis $4$ € l’entrée.

1. aChoisis l’inconnue avec son unité, puis exprime le prix payé avec chaque tarif.
2. bMets en équation, puis trouve le nombre d’entrées pour lequel les deux tarifs coûtent la même somme.
3. cVérifie dans l’énoncé, puis conclus par une phrase.
4. dIdriss pense aller $20$ fois à la piscine cette année. Quel tarif lui coûte le moins cher ? Justifie par un calcul.

Ex. 45★★★Une chorale impossible ? — Une chorale compte $28$ choristes. Il y a $5$ filles de plus que de garçons. On cherche le nombre de filles de la chorale.

1. aChoisis l’inconnue avec son unité. Exprime le nombre de filles, puis écris une équation.
2. bRésous l’équation. Peux-tu répondre au problème ? Justifie.
3. cBen corrige l’énoncé : la chorale compte en fait $31$ choristes. Écris la nouvelle équation, puis résous-la.
4. dVérifie dans l’énoncé corrigé, puis réponds par une phrase à la question posée.

Ex. 46★★★Trois entiers qui se suivent — Des entiers consécutifs sont des nombres entiers qui se suivent, comme $11$, $12$ et $13$. Dans cet exercice, on note $n$ le plus petit des trois entiers.

1. aExprime les deux autres entiers en fonction de $n$. Montre ensuite que la somme des trois entiers vaut $3n + 3$.
2. bLa somme de trois entiers consécutifs vaut $147$. Écris une équation et résous-la. Quel est le plus grand des trois entiers ?
3. cExiste-t-il trois entiers consécutifs dont la somme vaut $100$ ? Justifie avec une équation.
4. dTom affirme : « La somme de trois entiers consécutifs est toujours égale au triple de l’entier du milieu. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eLa somme de trois entiers consécutifs vaut $-57$. Trouve ces trois entiers, puis vérifie.

Ex. 47★★★Le rectangle et le carré — La longueur d’un rectangle mesure $7$ cm de plus que sa largeur. Le côté d’un carré mesure $3$ cm de moins que le double de la largeur du rectangle. Le rectangle et le carré ont le même périmètre. On cherche les dimensions du rectangle.

1. aChoisis l’inconnue avec son unité. Exprime la longueur du rectangle et le côté du carré en fonction de l’inconnue.
2. bExprime le périmètre du rectangle, puis celui du carré. Développe et réduis chaque expression.
3. cÉcris une équation qui traduit l’énoncé, puis résous-la.
4. dVérifie dans l’énoncé. Réponds ensuite à la question posée par une phrase.
5. eInès remplace le carré par un carré dont le côté mesure $4$ cm de plus que la largeur du rectangle. Montre que le problème n’a alors aucune solution.

Ex. 48★★★Le cadeau du prof de judo — Trois élèves offrent un cadeau à leur prof de judo. Maëlys paie la moitié du prix, Ilan en paie le tiers et Yanis paie les $9$ € qui restent. On veut savoir combien Ilan a payé.

1. aChoisis l’inconnue avec son unité. Exprime en fonction de l’inconnue la somme payée par Maëlys et celle payée par Ilan.
2. bYanis appelle $x$ le prix du cadeau et écrit l’équation $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 9$. Explique pourquoi elle ne traduit pas l’énoncé.
3. cÉcris le prix du cadeau de deux façons pour obtenir une équation. Résous-la en multipliant les deux membres par un multiple commun.
4. dVérifie dans l’énoncé. Réponds ensuite à la question posée par une phrase.
5. eUne autre fois, Maëlys et Ilan paient chacun la moitié du prix et Yanis paie $9$ €. Montre que c’est impossible.