Troisième / Équations

Ex. 1★★★Automatismes : tester un nombre — Pour tester, remplace $x$ par le nombre, calcule chaque membre séparément (les nombres négatifs entre parenthèses), puis compare.

1. a$-4$ est-il solution de $3x + 7 = -5$ ? Justifie.
2. bCalcule chaque membre de $x^2 + 3 = 4x - 1$ pour $x = -2$, puis conclus.
3. cParmi $1$, $2{,}5$ et $4$, lequel est solution de $4x - 3 = 2x + 2$ ? Justifie.
4. d$\frac{1}{3}$ est-il solution de $6x - 1 = 9x - 2$ ? Justifie.
5. eLéo teste $-1$ dans $5 - 2x = 3(x + 2)$. À gauche, il écrit $5 - 2 \times 1 = 3$. Corrige son calcul, calcule l'autre membre et conclus.
6. fÉcris une équation de la forme $ax + b = c$, avec $a$ et $b$ non nuls, dont $-3$ est solution.

Ex. 2★★★Automatismes : résoudre une équation du premier degré — Résous chaque équation en écrivant une étape par ligne. Donne la solution en valeur exacte (fraction irréductible si la division ne tombe pas juste).

1. a$8x = 26$
2. b$27 = 6x - 3$
3. c$4 - 7x = -6$
4. d$5x + 9 = 2x - 9$
5. e$1{,}5x - 2 = 0{,}5x + 3{,}4$
6. f$2x - 11 = 9x + 3$
7. g$\dfrac{2}{3}x = 8$

Ex. 3★★★Développer, réduire, puis résoudre — Développe et réduis chaque membre (s'il y a des quotients, multiplie d'abord chaque terme par un multiple commun des dénominateurs), puis résous l'équation. Si les $x$ disparaissent, conclus à l'aide de l'égalité qui reste.

1. a$4(x - 3) = 7x + 3$
2. b$6x - (2x - 5) = 4x + 5$
3. c$3(2x + 1) - 2 = 6x - 4$
4. d$\dfrac{x + 4}{3} = \dfrac{x}{2} + 1$
5. e$5(x + 1) - 3(x - 2) = 0$
   (donne la solution en écriture décimale)

Ex. 4★★★Repérer et corriger les erreurs — Pour résoudre $9x - 7 = 4x + 8$, Inès écrit : ligne 1 : $9x = 4x + 8 - 7$ ; ligne 2 : $5x = 1$ ; ligne 3 : $x = 5$.

1. aTeste le nombre $5$ dans l'équation de départ en calculant chaque membre. Que peux-tu dire du résultat d'Inès ?
2. bRepère les deux erreurs d'Inès et explique-les
   (ligne 1 et ligne 3).
3. cRésous correctement l'équation, puis vérifie ta solution dans l'équation de départ.
4. dPour résoudre $34 = 4x$, Hugo écrit : « $x = 34 - 4 = 30$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis résous l'équation.

Ex. 5★★★Tester n'est pas résoudre — On considère l'équation (E) : $3(x - 4) + 2x = 5x - 12$. Chloé teste le nombre $2$ et conclut : « $2$ est LA solution de (E) ».

1. aTeste le nombre $2$ dans (E) en calculant chaque membre séparément.
2. bTeste le nombre $-3$ dans (E), en écrivant les nombres négatifs entre parenthèses.
3. cChloé a-t-elle raison de parler de « la » solution ? Résous (E) pour justifier.
4. dRemplace le nombre $-12$ du membre de droite par un autre nombre, de sorte que la nouvelle équation n'ait aucune solution. Justifie.

Ex. 6★★★Deux programmes de calcul — Programme A : choisir un nombre ; le multiplier par $3$ ; soustraire le résultat à $8$. Programme B : choisir un nombre ; lui ajouter $5$ ; multiplier le résultat par $2$.

1. aApplique chaque programme au nombre $-2$.
2. bNoé affirme : « Si je choisis $x$, le coefficient de $x$ dans le résultat du programme A est $3$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cQuel nombre faut-il choisir pour que le programme A donne $-5$ ? Donne la valeur exacte, puis explique pourquoi $4{,}33$ n'est pas la solution.
4. dQuel nombre faut-il choisir pour que les deux programmes donnent le même résultat ? Vérifie avec les deux programmes.

Ex. 7★★★Salle d'escalade à Annecy — Une salle d'escalade d'Annecy propose deux tarifs. Tarif A : $9{,}50$ € par séance. Tarif B : un abonnement de $30$ € par an, plus $5{,}50$ € par séance. On note $x$ le nombre de séances dans l'année.

1. aComplète le tableau.
2. bÉcris une équation qui traduit « les deux tarifs coûtent le même prix ».
3. cPour résoudre, Max « passe $5{,}5x$ de l'autre côté » et obtient $15x = 30$. Corrige son erreur, puis résous l'équation et vérifie la solution.
4. dCette solution a-t-elle un sens ? Compare les deux tarifs pour $7$ séances, puis pour $8$ séances, et conclus.
5. eLe gérant garde les prix de $9{,}50$ € et $5{,}50$ € par séance. Il veut que les deux tarifs coûtent le même prix pour $6$ séances. Écris et résous une équation pour trouver le prix $a$ de l'abonnement.

Ex. 8★★★Automatismes : développer et réduire avant de résoudre — Développe et réduis chaque membre, puis résous l'équation. Vérifie ta solution.

1. a$11 - (5x - 8) = 3x + 3$
2. b$(x - 4)(x + 6) = x^2 - 2x + 1$
3. c$(x + 7)^2 = x^2 + 21$
4. d$2(3x - 1) - (x - 5) = 5x + 3$
5. e$(2x - 1)(x + 3) = 2x^2 - 7$
6. f$(x - 3)(x + 3) = x(x - 3) + 1$
7. g$5 - (2x + 3) = 4(1 - x) + 2x$

Ex. 9★★★Automatismes : équations avec des quotients — Multiplie chaque terme par le plus petit multiple commun des dénominateurs, puis résous l'équation. Vérifie ta solution.

Ex. 10★★★Repérer et corriger l'erreur d'un élève — Chaque élève a fait une erreur. Repère-la, explique-la, puis résous correctement l'équation.

1. aLéna : $(x + 6)^2 = x^2 + 3x$ → $x^2 + 36 = x^2 + 3x$ → $36 = 3x$ → $x = 12$.
2. bMalo : $\frac{x}{4} + 5 = \frac{x}{2}$ → $x + 5 = 2x$ → $x = 5$.
3. cInès : $x(x - 5) = 2x$ → $x^2 - 5x = 2x$ → je divise par $x$ : $x - 5 = 2$ → $x = 7$.
4. dThéo : $3 - (x - 4)(x + 2) = 1 - x^2$ → $3 - x^2 - 2x - 8 = 1 - x^2$ → $-2x - 5 = 1$ → $x = -3$.

Ex. 11★★★Deux potagers de même aire — Yanis a un potager carré de côté $(x + 3)$ m. Sofia a un potager rectangulaire de longueur $(x + 8)$ m et de largeur $(x - 1)$ m, avec $x > 1$.

1. aExprime l'aire du potager de Yanis en fonction de $x$, sous forme développée et réduite.
2. bExprime l'aire du potager de Sofia en fonction de $x$, sous forme développée et réduite.
3. cÉcris une équation traduisant « les deux potagers ont la même aire », puis résous-la. Vérifie.
4. dSofia affirme : « Pour cette valeur de $x$, nos potagers ont aussi le même périmètre. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 12★★★Deux programmes de calcul qui se croisent — Programme A : choisir un nombre ; lui ajouter $2$ ; élever le résultat au carré ; soustraire $4$. Programme B : choisir un nombre ; lui soustraire $3$ ; multiplier le résultat par le nombre de départ augmenté de $5$. On note $x$ le nombre de départ.

1. aMia choisit $3$ avec les deux programmes. Obtient-elle le même résultat ? Justifie.
2. bAlex affirme : « Le programme A revient toujours à calculer $x^2$. » A-t-il raison ? Justifie en développant $(x + 2)^2 - 4$.
3. cExprime le résultat du programme B en fonction de $x$, puis trouve le nombre de départ qui donne le même résultat avec les deux programmes. Vérifie.
4. dLou cherche le nombre que A transforme en son triple : il écrit $(x + 2)^2 - 4 = 3x$, développe, divise par $x$ et trouve $-1$. Teste $0$, puis résous correctement.

Ex. 13★★★L'argent d'anniversaire de Noé — Noé reçoit une somme d'argent pour son anniversaire. Il en dépense le tiers pour un billet de concert à Lille et le cinquième pour des livres. Il lui reste $28$ €. On note $x$ la somme reçue, en euros.

1. aExplique pourquoi la situation se traduit par l'équation $\frac{x}{3} + \frac{x}{5} + 28 = x$.
2. bQuel est le plus petit multiple commun de $3$ et de $5$ ? Bastien multiplie chaque terme par ce nombre et écrit $5x + 3x + 28 = 15x$. Corrige son erreur.
3. cRésous l'équation, vérifie ta solution dans l'énoncé et conclus par une phrase.
4. dSi Noé avait reçu une autre somme, pourrait-il lui rester exactement $30$ € avec les mêmes dépenses ? Justifie par une équation.

Ex. 14★★★Une, aucune ou une infinité de solutions ? — Développe et réduis chaque membre (ou supprime les dénominateurs) avant de conclure. Justifie chaque réponse.

1. aRésous $(2x - 3)(x + 4) - 2x^2 = 3(x - 1) - (x + 7)$.
2. bRésous $\frac{x + 2}{3} - \frac{2x - 1}{6} = \frac{5}{6}$. Que remarques-tu ?
3. cNora affirme que l'équation $(x - 5)^2 = (x + 1)(x - 11)$ a pour solution $-3{,}6$. Vrai ou faux ? Justifie.
4. dSoit l'équation $(2x + 1)^2 = 4x(x + 1) + c$, où $c$ est un nombre. Pour quelle valeur de $c$ a-t-elle une infinité de solutions ? Peut-on choisir $c$ pour que $4$ soit la seule solution ?

Ex. 15★★★Automatismes : résoudre une équation produit nul — Résous chaque équation. Écris la propriété du produit nul et donne toutes les solutions en valeur exacte.

1. a$(x + 6)(x - 9) = 0$
2. b$x(4x - 14) = 0$
3. c$(3x + 2)(7x - 5) = 0$
4. d$-5(x + 7) = 0$
5. e$(2x - 9)^2 = 0$
6. f$(x - 2)(x + 8)(5x + 4) = 0$
7. g$0 = (1 - 4x)(x + 0{,}5)$

Ex. 16★★★Automatismes : vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

1. aL'équation $(x - 4)(x + 2) = 5$ revient à « $x - 4 = 5$ ou $x + 2 = 5$ ».
2. bLes solutions de $(x + 10)(x - 1) = 0$ sont $10$ et $-1$.
3. cL'équation $8(x - 2{,}5) = 0$ a deux solutions.
4. d$0$ est une solution de l'équation $x(6x + 11) = 0$.
5. eL'équation $(5x + 3)^2 = 0$ a une seule solution.
6. fPour résoudre $(x - 3)(x + 7) = 0$, on écrit « $x - 3 = 0$ et $x + 7 = 0$ ».

Ex. 17★★★Corriger les erreurs — Ben a relevé les copies de quatre élèves. Pour chacun, explique l'erreur, puis réponds à la question.

1. aPour $(2x - 3)(x + 4) = 0$, Noé développe et obtient $2x^2 + 5x - 12 = 0$, puis il est bloqué. Résous correctement.
2. bPour $(x - 6)(x + 1) = 10$, Inès écrit « $x - 6 = 10$ ou $x + 1 = 10$ », donc $x = 16$ ou $x = 9$. Teste ses deux valeurs.
3. cPour $x(3x - 12) = 0$, Tom divise les deux membres par $x$ : $3x - 12 = 0$, donc $x = 4$. Quelle solution oublie-t-il ?
4. dPour $(x + 5)(4x - 3) = 0$, Zoé trouve « $x = 5$ ou $x = 0{,}75$ ». Corrige, puis vérifie la solution corrigée.

Ex. 18★★★Équations à construire

1. aÉcris une équation produit nul dont les solutions sont $-2$ et $7$. Justifie.
2. bÉcris une équation produit nul dont la seule solution est $\frac{2}{3}$. Justifie.
3. cComplète $x(2x + \ldots)(x - \ldots) = 0$ avec deux nombres pour que ses solutions soient $0$ ; $-1{,}5$ et $4$. Justifie.
4. dComplète l'équation $(x - 5)(\ldots x + 3) = 0$ avec un nombre pour que ses solutions soient $5$ et $-\frac{3}{4}$. Justifie.

Ex. 19★★★Une expression, trois équations — On considère l'expression $E = (3x + 2)^2 - (x + 4)^2$.

1. aDéveloppe et réduis $E$.
2. bFactorise $E$ à l'aide de l'égalité $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
3. cRésous l'équation $E = 0$. Explique pourquoi tu choisis cette forme de $E$.
4. dRésous l'équation $E = -12$. Explique pourquoi tu choisis cette forme de $E$.
5. ePour résoudre $E = 4$, Maël prend la forme factorisée et écrit « premier facteur $= 4$ ou second facteur $= 4$ ». Calcule $E$ pour la valeur que donne son premier facteur. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 20★★★Deux programmes de calcul qui donnent 0 — Programme A : choisir un nombre ; lui ajouter $4$ ; multiplier le résultat par la différence entre le nombre de départ et $7$ ; multiplier le tout par $3$.
Programme B : choisir un nombre ; le multiplier par $5$ puis soustraire $2$ ; élever le résultat au carré ; multiplier par le nombre de départ.

1. aApplique le programme A au nombre $2$.
2. bOn note $x$ le nombre de départ. Écris le résultat du programme A sous la forme d'un produit.
3. cQuels nombres faut-il choisir pour que le programme A donne $0$ ? Résous une équation et donne toutes les solutions.
4. dJade dit : « Pour obtenir $0$ avec A, je cherche un nombre qui annule $x + 4$ et $x - 7$ en même temps. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eQuels nombres faut-il choisir pour que le programme B donne $0$ ? Résous une équation et donne toutes les solutions en valeur exacte.

Ex. 21★★★Les boîtes de Lou — À Annecy, Lou fabrique des boîtes en carton en forme de pavé droit. La boîte A a pour dimensions $x$ cm, $(x - 4)$ cm et $(2x - 11)$ cm. La boîte B a pour dimensions $x$ cm, $(x - 4)$ cm et $(x + 1)$ cm. Ici, $x$ est un nombre.

1. aRésous l'équation $x(x - 4)(2x - 11) = 0$. Donne toutes les solutions.
2. bPour chacune de ces solutions, la boîte A existe-t-elle ? Justifie avec ses dimensions.
3. cPour trouver quand les deux boîtes ont le même volume, Rayan divise les deux membres par $x(x - 4)$ et trouve $12$. A-t-il trouvé toutes les solutions ? Résous l'équation en factorisant.
4. dQuelle solution a un sens pour les boîtes ? Calcule alors le volume de chaque boîte et conclus par une phrase.

Ex. 22★★★Automatismes : factoriser par un facteur commun — Résous chaque équation : ramène tout dans un membre pour obtenir « $= 0$ », factorise, puis applique la propriété du produit nul.

Ex. 23★★★Automatismes : différence de deux carrés — Résous chaque équation. Quand c'est possible, factorise avec $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$, puis applique la propriété du produit nul.

Ex. 24★★★Une parenthèse commune — Repère la parenthèse commune, factorise, puis résous. Attention au signe $-$ devant une parenthèse.

1. aRésous $(x - 6)(4x + 1) - (x - 6)(x + 7) = 0$.
2. bRésous $(2x + 5)(x - 1) = (2x + 5)(3x + 7)$.
3. cRésous $(x + 3)^2 + (x + 3)(2x - 9) = 0$, puis contrôle ta factorisation en redéveloppant.
4. dRésous $(3x - 12)(x + 2) - (x - 4)(2x + 9) = 0$. Indice : écris d'abord $3x - 12$ sous la forme d'un produit.

Ex. 25★★★Vrai ou faux sur les produits nuls — Vrai ou faux ? Justifie.

1. a« L'équation $x^2 = 2{,}5x$ a une seule solution : $2{,}5$. »
2. b« Pour résoudre $x^2 + 9 = 0$, on écrit $(x + 3)(x - 3) = 0$. »
3. c« L'équation $(x - 2)(x + 5) = 3$ a pour solutions $2$ et $-5$. »
4. d« L'équation $x^2 - 5x = 36 - 5x$ a deux solutions opposées. »

Ex. 26★★★Les quatre erreurs de Malik — Malik a résolu quatre équations, et chaque résolution contient une erreur. Pour chacune, explique l'erreur, puis écris une résolution correcte avec toutes les solutions.

1. aMalik résout $5x^2 = 3x$. Il divise les deux membres par $x$ et obtient $5x = 3$, donc une seule solution : $\frac{3}{5}$.
2. bMalik résout $(3x - 4)(x + 6) = (3x - 4)(2x - 1)$. Il simplifie par $(3x - 4)$ et écrit $x + 6 = 2x - 1$, puis trouve une seule solution : $7$.
3. cMalik résout $(2x - 3)^2 - 16 = 0$. Il écrit $(2x - 3)^2 = 16$, puis $2x - 3 = 4$, et donne une seule solution : $3{,}5$.
4. dMalik résout $(x + 1)(x - 7) - (x + 1)(2x - 3) = 0$. Il écrit $(x + 1)(x - 7 - 2x - 3) = 0$, puis $(x + 1)(-x - 10) = 0$, et donne deux solutions : $-1$ et $-10$.

Ex. 27★★★Choisir la bonne forme d'une expression — On considère l'expression $E = (3x + 2)^2 - 49$.

1. aDéveloppe et réduis $E$.
2. bFactorise $E$ en reconnaissant une différence de deux carrés, puis contrôle ta factorisation en la redéveloppant.
3. cRésous l'équation $E = 0$ en choisissant la forme de $E$ la plus adaptée.
4. dRésous l'équation $E = -45$. Justifie le choix de la forme de $E$ que tu utilises.

Ex. 28★★★Deux programmes de calcul — Programme A : choisir un nombre ; ajouter $3$ ; mettre le résultat au carré ; soustraire $64$.
Programme B : choisir un nombre ; lui soustraire $5$ ; multiplier le résultat par le nombre choisi au départ.

1. aApplique les deux programmes au nombre $-2$. Ensuite, note $x$ le nombre choisi et exprime le résultat de chaque programme à l'aide de $x$.
2. bQuels nombres faut-il choisir pour que le programme A donne $0$ ? Justifie par une factorisation.
3. cLéo affirme : « Le programme B ne donne $0$ que si l'on choisit $5$. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dTrouve tous les nombres pour lesquels les deux programmes donnent le même résultat. Indice : cherche un facteur commun.

Ex. 29★★★Résoudre directement — Résous chaque équation. Donne les solutions en valeur exacte. Si une solution s'écrit avec le symbole $\sqrt{\phantom{a}}$, donne aussi une valeur approchée au centième.

Ex. 30★★★Carrés et racines : vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

1. aL'équation $x^2 = 100$ a pour solutions $50$ et $-50$.
2. b$\sqrt{36 + 64} = \sqrt{36} + \sqrt{64} = 14$.
3. c$-3^2 = 9$.
4. d$-13$ est une solution de l'équation $x^2 = -169$.
5. eL'équation $(x - 3)^2 = 121$ a pour seule solution $14$.
6. f$\sqrt{11} = 3{,}32$.
7. g$\sqrt{60}$ est compris entre $6$ et $7$.

Ex. 31★★★Lire un graphique, puis confirmer par le calcul — Nina a tracé la parabole d'équation $y = x^2$ et deux droites horizontales. La droite d'équation $y = 6$ coupe la parabole en deux points d'abscisses environ $-2{,}4$ et $2{,}4$. La droite d'équation $y = -3$ ne coupe pas la parabole.

1. aQue représentent les nombres $-2{,}4$ et $2{,}4$ pour l'équation $x^2 = 6$ ? Sont-ils des valeurs exactes ? Justifie.
2. bRésous $x^2 = 6$ par le calcul. Donne les valeurs exactes, puis des valeurs approchées au centième.
3. cQue peux-tu en déduire pour l'équation $x^2 = -3$ ? Confirme par le calcul.
4. dNina veut résoudre $5x^2 - 8 = 72$ avec son graphique. Quelle droite horizontale doit-elle tracer ? Résous ensuite cette équation par le calcul.

Ex. 32★★★Le potager et le bassin d'Inès — À Rodez, Inès a un potager carré de côté $x$ mètres. Elle allonge chaque côté de $2$ m : le nouveau potager est encore un carré, et son aire vaut $56{,}25$ m². Elle veut aussi creuser un bassin en forme de disque, d'aire $12$ m².

1. aExplique pourquoi $x$ vérifie l'équation $(x + 2)^2 = 56{,}25$.
2. bRésous l'équation $(x + 2)^2 = 56{,}25$ en gardant toutes ses solutions.
3. cQuel est le côté du potager de départ ? Justifie ton choix.
4. dLe rayon $r$ du bassin, en mètres, vérifie $\pi \times r^2 = 12$. Donne $r$ en valeur exacte, puis une valeur approchée au centimètre.

Ex. 33★★★La copie de Malo — Malo a résolu quatre équations. Pour chacune, dis si sa réponse est juste et justifie. S'il y a une erreur, explique-la et écris la bonne résolution.

1. a$4x^2 + 11 = 47$. Malo : « $4x^2 = 36$, donc $x^2 = 9$. Comme $\sqrt{9} = 3$, la solution est $3$. »
2. b$x^2 = 36$. Malo : « $x = 36 \div 2$, donc la solution est $18$. »
3. c$x^2 + 31 = 6$. Malo : « $x^2 = -25$. Or $-5^2 = -25$, donc la solution est $-5$. »
4. d$7x^2 = 0$. Malo : « $x^2 = 0$. Il faut un nombre positif pour trouver des solutions, donc il n'y a aucune solution. »

Ex. 34★★★La terrasse de Lou à Annecy — À Annecy, Lou ouvre un restaurant. Sa terrasse est un carré de $42$ m² d'aire. Dans un coin, entre deux murs perpendiculaires, Lou tend une guirlande en ligne droite d'un point situé à $2{,}4$ m du coin à un point situé à $3{,}2$ m du coin. D'après le théorème de Pythagore, sa longueur $d$, en mètres, vérifie $d^2 = 2{,}4^2 + 3{,}2^2$.

1. aSans calculatrice, encadre $\sqrt{42}$ entre deux nombres entiers consécutifs. Justifie.
2. bÉcris l'équation vérifiée par le côté $c$ de la terrasse, en mètres, puis résous-la. Donne le côté en valeur exacte, puis au centième.
3. cLou écrit « $c = 6{,}48$ m ». Est-ce exact ? Justifie par un calcul.
4. dLou veut une terrasse carrée deux fois plus grande, d'aire $84$ m². Résous l'équation vérifiée par son côté $C$, puis dis si le côté a doublé. Justifie.
5. eLou affirme : « donc $d = 2{,}4 + 3{,}2 = 5{,}6$ m ». Ce raisonnement est-il juste ? Justifie, puis calcule $d$.

Ex. 35★★★Le programme de calcul de Yanis — À Toulouse, Yanis propose ce programme de calcul : « Choisis un nombre. Soustrais $4$. Élève le résultat au carré. Multiplie par $3$. » Sur sa calculatrice graphique, Yanis observe que la droite d'équation $y = 7$ coupe la parabole d'équation $y = x^2$ en deux points d'abscisses environ $-2{,}6$ et $2{,}6$.

1. aOn note $x$ le nombre choisi. Écris le résultat du programme à l'aide de $x$.
2. bQuels nombres faut-il choisir pour obtenir $75$ ? Résous une équation.
3. cCombien de nombres permettent d'obtenir $0$ ? Justifie.
4. dPeut-on obtenir $-12$ ? Justifie.
5. ePour obtenir $21$, Yanis dit qu'il faut choisir $-2{,}6$ ou $2{,}6$. Corrige, en donnant les nombres en valeur exacte, puis au centième.

Ex. 36★★★Automatismes : résoudre une inéquation — Complément hors programme (étudié en seconde). Résous chaque inéquation. Donne les solutions sous la forme $x < \dots$, $x \leqslant \dots$, $x > \dots$ ou $x \geqslant \dots$.

Ex. 37★★★Automatismes : la borne et la droite graduée — Complément hors programme. Pour les représentations, utilise la droite graduée : Décris la partie coloriée et le sens du crochet.

1. a$-3$ est-il solution de l'inéquation $2x + 5 \geqslant -1$ ? Justifie.
2. b$-3$ est-il solution de l'inéquation $2x + 5 > -1$ ? Justifie.
3. cLina dit : « L'inéquation $x - 2 < 5$ a pour solution 7. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dRésous $3x - 4 \leqslant 2$, puis décris la représentation de ses solutions sur la droite graduée.
5. eRésous $-x + 1 < 2$, puis décris la représentation de ses solutions sur la droite graduée.
6. fSur une droite, on a colorié la partie à gauche de 1, et le crochet en 1 est tourné vers la droite. Quelle inéquation convient : $x \leqslant 1$, $x < 1$ ou $x > 1$ ? Justifie.

Ex. 38★★★Erreurs d'élèves sur les inéquations — Complément hors programme : les inéquations sont étudiées en seconde. Lis chaque résolution avec attention.

1. aHugo résout $7 - 4x \geqslant 35$ : « $-4x \geqslant 28$, donc $x \geqslant -7$ ». Trouve son erreur et corrige-la.
2. bChloé résout $x + 6 < -4$ : « je soustrais 6 et je change le sens : $x > -10$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
3. cRésous $5x - 2 > 8x + 13$ en regroupant les $x$ à droite, du côté du coefficient positif, pour ne pas changer le sens.
4. dNora résout $2(3 - x) < 10$ : « $6 - x < 10$, donc $x > -4$ ». Trouve son erreur et corrige-la.

Ex. 39★★★Deux tarifs à la piscine — Complément hors programme. À la piscine de Rennes, le tarif A coûte 8 € la séance. Le tarif B coûte 40 € d'abonnement, puis 3,50 € la séance. On note $x$ le nombre de séances.

1. aExprime en fonction de $x$ le prix payé avec le tarif A, puis avec le tarif B. Calcule chaque prix pour 5 séances.
2. bAvec un budget de 100 € et le tarif A, combien de séances peut-on faire au plus ?
3. cAvec un budget de 100 € et le tarif B, combien de séances peut-on faire au plus ? Donne aussi la valeur approchée au centième de la borne.
4. dÀ partir de combien de séances le tarif B est-il strictement moins cher que le tarif A ?

Ex. 40★★★Deux programmes de calcul à comparer — Complément hors programme (étudié en seconde). Programme A : choisis un nombre, ajoute 3, élève le résultat au carré, puis soustrais le carré du nombre choisi. Programme B : choisis un nombre, multiplie-le par $-4$, puis ajoute 29. On note $x$ le nombre choisi.

1. aTeste le nombre $-1$ avec le programme A, puis avec le programme B.
2. bMontre que le programme A donne $6x + 9$ quand on choisit le nombre $x$.
3. cPour quels nombres le résultat du programme B est-il strictement supérieur à 15 ? Représente ces solutions sur la droite graduée.
4. dPour quels nombres le résultat de A est-il au moins égal à celui de B ? Regroupe les $x$ du côté où leur coefficient est positif.
5. eLéa affirme : « À la question précédente, un seul nombre convient. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 41★★★Inès économise, Noah dépense — Complément hors programme. Inès a 85 € et économise 12 € chaque semaine. Son frère Noah a 260 € et dépense 15 € chaque semaine. On note $x$ le nombre de semaines écoulées ($x$ est un nombre entier).

1. aExprime en fonction de $x$ la somme d'Inès, puis celle de Noah, après $x$ semaines.
2. bInès veut s'acheter une trottinette à 300 €. À partir de combien de semaines aura-t-elle assez d'argent ? Écris et résous une inéquation.
3. cNoah veut garder au moins 45 €. Pendant combien de semaines au plus peut-il dépenser ainsi ? Écris et résous une inéquation.
4. dPour savoir quand Noah aura moins de 100 €, Mathis écrit : « $-15x < -160$, donc $x < 10{,}67$ : au plus 10 semaines. » Trouve son erreur et corrige-la.
5. eÀ partir de combien de semaines Inès aura-t-elle strictement plus d'argent que Noah ? Regroupe les $x$ du côté où leur coefficient est positif.

Ex. 42★★★Vrai ou faux : cinq inéquations piégées — Complément hors programme (étudié en seconde). Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie par une résolution ou un contre-exemple.

1. a« Les solutions de $x - 2{,}5 \geqslant -6$ sont les nombres inférieurs ou égaux à $-3{,}5$. » Vrai ou faux ? Justifie.
2. b« $-5$ est solution de l'inéquation $3 - 2x < 13$. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. c« Les solutions de $\frac{x}{3} - \frac{x - 1}{2} > 2$ sont les nombres strictement supérieurs à $-9$. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. d« L'inéquation $2(x + 5) \leqslant 2x + 7$ n'a aucune solution. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. e« L'inéquation $(x - 3)^2 \geqslant x^2 - 6x$ est vraie pour tous les nombres $x$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 43★★★Traduire une phrase par une équation — Automatismes. Choisis l'inconnue et écris-la avec son unité s'il y en a une : « Soit $x$… ». Écris une équation, résous-la, vérifie dans l'énoncé et conclus par une phrase.

1. aLa somme de trois nombres entiers consécutifs est égale à $87$. Trouve ces trois nombres.
2. b$51$ est égal au triple de la somme d'un nombre et de $4$. Trouve ce nombre.
3. cLe quart d'un nombre, augmenté de $3$, est égal au tiers de ce nombre. Trouve ce nombre.
4. dInès court un certain temps, puis elle marche $20$ minutes. Sa sortie dure $1{,}5$ h en tout. Combien de minutes a-t-elle couru ?
5. eTrois cahiers et un stylo à $1{,}50$ € coûtent autant que deux cahiers et un classeur à $4{,}20$ €. Quel est le prix d'un cahier ?

Ex. 44★★★La solution a-t-elle un sens ? — Automatismes. Pour chaque situation, écris une équation et résous-la. Dis ensuite si la solution a un sens dans le problème, et justifie.

1. aIl y a $16$ élèves dans une classe. Chaque table accueille $4$ élèves et $6$ élèves restent debout. On cherche le nombre de tables.
2. bDans $5$ ans, Zoé aura le double de l'âge qu'elle avait il y a $3$ ans. On cherche l'âge de Zoé.
3. cUn rectangle a pour longueur $3x$ et pour largeur $x - 2$ (en cm). Sa longueur dépasse sa largeur de $4$ cm. On cherche $x$.
4. dUn carré a pour côté $x - 3$ (en cm) et son périmètre mesure $10$ cm. On cherche $x$.

Ex. 45★★★Deux programmes de calcul — Programme A : « Choisir un nombre ; ajouter $4$ ; élever le résultat au carré. »
Programme B : « Choisir un nombre ; l'élever au carré ; ajouter $30$. »
On note $x$ le nombre choisi.

1. aCalcule le résultat de chaque programme quand on choisit $-1$.
2. bSami veut obtenir $49$ avec le programme A. Il dit : « Il faut choisir $3$. » A-t-il trouvé tous les nombres possibles ? Justifie.
3. cQuel nombre faut-il choisir pour que les deux programmes donnent le même résultat ? Vérifie avec les programmes.

Ex. 46★★★Choisir un tarif à la piscine — La piscine d'Annecy propose deux tarifs.
Tarif A : $6{,}50$ € par séance.
Tarif B : un abonnement de $30$ € pour l'année, puis $4$ € par séance.

1. aComplète le tableau.
2. bSoit $x$ le nombre de séances. Écris le prix payé, en euros, avec chaque tarif.
3. cPour combien de séances les deux tarifs coûtent-ils le même prix ? Vérifie, puis conclus par une phrase.
4. dJade dispose de $100$ €. Avec quel tarif peut-elle faire le plus de séances ? Combien de séances ? Justifie.

Ex. 47★★★Le double et le triple de l'âge — Aujourd'hui, à Rennes, Malik a $11$ ans et son père Karim a $38$ ans. Pour chaque mise en équation, écris l'inconnue avec son unité, résous, vérifie dans l'énoncé et conclus par une phrase.

1. aCalcule l'âge de chacun dans $4$ ans, puis il y a $2$ ans. Il y a $2$ ans, Karim avait-il le quadruple de l'âge de Malik ? Justifie.
2. bSoit $x$ un nombre d'années. Exprime avec $x$ l'âge de Malik et celui de Karim dans $x$ ans.
3. cDans combien d'années Karim aura-t-il le double de l'âge de Malik ?
4. dMalik affirme : « Il y a quelques années, mon père avait le triple de mon âge. » Soit $y$ le nombre d'années écoulées depuis. Écris une équation et résous-la. Malik a-t-il raison ? Justifie.

Ex. 48★★★Un carré et un rectangle — Le carré $ABCD$ a pour côté $x$ cm. Le rectangle $EFGH$ a pour longueur $(x + 5)$ cm et pour largeur $(x - 3)$ cm.

1. aPour $x = 4$, calcule l'aire de chaque figure. Laquelle a la plus grande aire ?
2. bExplique pourquoi le problème n'a de sens que si $x > 3$.
3. cPour trouver quand les deux aires sont égales, Tom écrit : « $x^2 = (x + 5)(x - 3)$ donne $x^2 = x^2 - 15$, donc pas de solution. » Corrige son erreur, puis résous le problème.
4. dLes deux figures peuvent-elles avoir le même périmètre ? Justifie à l'aide d'une équation.
5. ePour quelle valeur de $x$ l'aire du rectangle est-elle inférieure de $11$ cm² à celle du carré ? Cette solution a-t-elle un sens ? Justifie.

Ex. 49★★★Un programme de calcul à démasquer — Programme : « Choisir un nombre ; lui ajouter $3$ ; élever le résultat au carré ; soustraire le carré du nombre choisi. »

1. aTeste le programme avec $2$, puis avec $-5$.
2. bLéna applique le programme à $2$. Elle calcule $2^2 + 3 = 7$, puis $7 - 4 = 3$. Quelle erreur a-t-elle faite ?
3. cSoit $x$ le nombre choisi. Hugo affirme : « Le résultat vaut toujours $9$, car $(x + 3)^2 - x^2 = x^2 + 9 - x^2 = 9$. » A-t-il raison ? Justifie et donne l'expression réduite du résultat.
4. dQuel nombre faut-il choisir pour obtenir $20$ ? Donne la valeur exacte.
5. eExiste-t-il un nombre pour lequel le programme redonne le nombre choisi ? Justifie.