2nde / Équations

Ex. 1★★★Automatismes : équations en une ou deux étapes — Résous chaque équation et donne l'ensemble des solutions $S$. Si une solution n'est pas entière, laisse-la sous forme de fraction irréductible.

Ex. 2★★★Automatismes : tester un nombre — On considère l'équation (E) : $x^2 - 4 = 3x$. Pour tester un nombre, calcule séparément chaque membre, puis compare.

1. aLe nombre $-4$ est-il solution de (E) ? Justifie par un calcul.
2. bZoé écrit pour $x = -1$ : « $-1^2 - 4 = -5$ et $3 \times (-1) = -3$, donc $-1$ n'est pas solution ». A-t-elle raison ? Justifie.
3. cCalcule chaque membre de (E) pour $x = 4$. Que peux-tu en conclure ?
4. dLucas affirme : « J'ai trouvé une solution de (E), donc (E) n'a pas d'autre solution. » Vrai ou faux ? Justifie à l'aide des questions précédentes.

Ex. 3★★★Repérer l'erreur — Dans les trois premières questions, un élève s'est trompé dans sa suite d'équivalences. Trouve la ligne fausse, explique l'erreur, puis corrige la résolution et donne l'ensemble des solutions $S$.

1. aTom écrit : $4x + 7 = 1 - 2x \Longleftrightarrow 6x = -6 \Longleftrightarrow x = -12$.
2. bInès écrit : $5 - x = 9 \Longleftrightarrow -x = 4 \Longleftrightarrow x = 4$.
3. cHugo écrit : $\frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{3} \Longleftrightarrow 3x + 1 = 2x \Longleftrightarrow x = -1$.
4. dVérifie la solution corrigée de l'équation de Hugo : calcule séparément chaque membre de son équation de départ.

Ex. 4★★★Deux tarifs à la piscine — Une piscine propose deux tarifs. Tarif A : $4{,}50$ € l'entrée. Tarif B : une carte annuelle à $18$ €, puis $2{,}25$ € l'entrée.

1. aOn note $x$ le nombre d'entrées dans l'année. Exprime en fonction de $x$ le prix payé avec le tarif A, puis avec le tarif B.
2. bPour quel nombre d'entrées les deux tarifs coûtent-ils le même prix ? Écris une équation, puis résous-la.
3. cVérifie ta réponse dans l'équation de départ, puis conclus par une phrase.
4. dAvec le tarif B, Maëlle a payé $42{,}75$ € dans l'année. Combien d'entrées a-t-elle faites ? Justifie par une équation.

Ex. 5★★★Vrai ou faux ? Justifie — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie par un calcul ou un contre-exemple.

1. a« En ajoutant $x$ aux deux membres de $3 - x = 2x$, on obtient l'équation équivalente $3 = 3x$, donc $S = \{1\}$. »
2. b« $-\dfrac{x}{7} = 2 \Longleftrightarrow x = -\dfrac{2}{7}$. »
3. c« Si on multiplie les deux membres de l'équation $x = 4$ par $0$, on obtient une équation équivalente. »
4. d« La solution de l'équation $9x = 6$ est $0{,}67$. »
5. e« Les équations $2x - 7 = 5$ et $x + 4 = 10$ sont équivalentes. »

Ex. 6★★★Une équation, plusieurs solutions — On considère l'équation (E) : $x^2 - 2x = 3x - 6$.

1. aRecopie et complète le tableau en calculant chaque membre séparément. Quels nombres du tableau sont solutions de (E) ?
2. bLe nombre $\frac{5}{2}$ est-il solution de (E) ? Justifie par un calcul.
3. cNina affirme : « D'après le tableau, $S = \{2\,;\,3\}$. » Son raisonnement est-il suffisant ? Justifie.
4. dDéveloppe $(x - 2)(x - 3)$, puis justifie que (E) est équivalente à $(x - 2)(x - 3) = 0$.
5. eDéduis-en l'ensemble des solutions $S$ de (E). Rédige ta justification.

Ex. 7★★★Le père et le fils — Aujourd'hui, Rayan a $14$ ans et son père Karim a $41$ ans. On note $x$ un nombre d'années compté à partir d'aujourd'hui : $x > 0$ pour le futur, $x < 0$ pour le passé.

1. aExprime en fonction de $x$ l'âge de Rayan, puis celui de Karim, dans $x$ années.
2. bDans combien d'années Karim aura-t-il le double de l'âge de Rayan ? Mets en équation, résous, vérifie, puis conclus par une phrase.
3. cKarim a-t-il eu, ou aura-t-il, le quadruple de l'âge de Rayan ? Mets en équation, résous, puis interprète le signe de la solution.
4. dDans combien d'années la somme de leurs âges sera-t-elle égale à $100$ ans ? Donne la valeur exacte de la solution, puis interprète-la.

Ex. 8★★★Automatismes : résoudre en ligne — Résous chaque équation. Donne l'ensemble des solutions $S$ avec des accolades.

1. a$-4x = 18$
2. b$7x - 5 = 3x + 9$
3. c$\dfrac{2}{3}x = -8$
4. d$0{,}4x - 1 = 2{,}2$
5. e$6 - x = 2x + 15$
6. f$5x = 2$
   (donne la solution sous forme décimale)

Ex. 9★★★Automatismes : développer ou chasser les dénominateurs — Développe ou multiplie tous les termes par un même nombre non nul, puis résous. Donne $S$.

1. a$-3(x - 6) = 2x + 3$
2. b$4(2x + 1) - 3(x - 2) = 0$
3. c$(x + 3)(x - 2) = x^2 + 7$
4. d$(2x - 1)(x + 4) = 2x(x + 1)$
5. e$\dfrac{3x}{4} - 2 = \dfrac{x}{2}$
6. f$\dfrac{2x - 1}{3} = \dfrac{x + 3}{2}$

Ex. 10★★★Erreurs d'élèves à corriger — Chaque élève a fait une seule erreur. Trouve-la, explique-la, puis donne la bonne résolution et l'ensemble $S$.

1. aLina : $5x + 4 = 2x - 11 \Longleftrightarrow 5x + 2x = -11 - 4 \Longleftrightarrow 7x = -15 \Longleftrightarrow x = -\frac{15}{7}$.
2. bTom : $7 - 5x = 27 \Longleftrightarrow -5x = 20 \Longleftrightarrow x = \frac{20}{5} = 4$.
3. cInès : $3 - 2(x - 4) = 7 \Longleftrightarrow 3 - 2x - 8 = 7 \Longleftrightarrow -2x = 12 \Longleftrightarrow x = -6$.
4. dHugo : $\frac{x}{3} - 2 = \frac{x}{5}$ ; il multiplie par $15$ : $5x - 2 = 3x \Longleftrightarrow 2x = 2 \Longleftrightarrow x = 1$.

Ex. 11★★★Vrai ou faux sur les équations équivalentes — Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie par un calcul ou un argument.

1. a« Les équations $3x - 6 = 0$ et $0 \times (3x - 6) = 0$ sont équivalentes. »
2. b« Les équations $\frac{x}{2} = 5 - x$ et $x = 10 - 2x$ sont équivalentes. »
3. c« Le nombre $-\frac{3}{2}$ est solution de $4x + 9 = 3 - 2x$. » Si c'est faux, donne $S$.
4. d« La solution de $0{,}5x + 1{,}2 = 2{,}7$ est $0{,}75$. » Si c'est faux, donne $S$.

Ex. 12★★★Problème : deux formules de location de vélos — Un loueur de vélos propose deux formules. Formule A : $12$ € d'abonnement, puis $2{,}40$ € par heure. Formule B : $4$ € par heure, sans abonnement. On note $t$ la durée de la location, en heures.

1. aExprime en fonction de $t$ le prix $P_A$ payé avec la formule A, puis le prix $P_B$ payé avec la formule B.
2. bPour quelle durée les deux formules coûtent-elles le même prix ? Mets le problème en équation, résous-la, donne $S$ et vérifie.
3. cAvec la formule A, Malik a payé $33{,}60$ €. Combien de temps a duré sa location ? Justifie par une équation.
4. dAvec la formule B, Chloé a payé $27$ €. Combien de temps a duré sa location ? Donne le résultat en heures et minutes.

Ex. 13★★★Aires de rectangles : quand les $x^2$ s'éliminent — Un carré a pour côté $x$ cm, avec $x > 3$. On construit un rectangle $R_1$ en allongeant un côté du carré de $5$ cm et en raccourcissant l'autre de $3$ cm.

1. aExprime l'aire de $R_1$ en fonction de $x$, sous forme développée et réduite.
2. bPour quelle valeur de $x$ le rectangle $R_1$ et le carré ont-ils la même aire ? Résous une équation et donne $S$.
3. cPour quelle valeur de $x$ l'aire de $R_1$ est-elle égale à l'aire du carré augmentée de $9$ cm$^2$ ? Justifie, puis vérifie.
4. dUn rectangle $R_2$ a pour côtés $x + 1$ et $x - 2$ (en cm). Pour quelle valeur de $x$ les rectangles $R_1$ et $R_2$ ont-ils la même aire ?
5. eLa valeur trouvée à la question précédente convient-elle à la situation ? Justifie, puis vérifie l'égalité des aires par un calcul.

Ex. 14★★★Problème : la randonnée de Sacha — Sacha fait un aller-retour sur un sentier de longueur $d$ km : l'aller à $4$ km/h, le retour à $6$ km/h, avec une pause de $30$ min au sommet. La sortie a duré $6$ h en tout. Rappel : durée $=$ distance $\div$ vitesse.

1. aExprime en fonction de $d$ la durée de l'aller, puis celle du retour, en heures.
2. bTraduis l'énoncé par une équation d'inconnue $d$
   (toutes les durées en heures).
3. cRésous cette équation en multipliant tous ses termes par un même nombre non nul bien choisi. Donne $S$.
4. dVérifie ta solution dans l'équation de départ, puis conclus par une phrase.
5. eNora a multiplié par $12$ seulement les fractions et obtenu $3d + 2d + \frac{1}{2} = 6$. Quelle solution trouve-t-elle ? Explique son erreur.

Ex. 15★★★Automatismes : une solution, aucune ou toutes — Résous chaque équation et donne l'ensemble des solutions $S$.

1. a$0 \times x = 7$
2. b$4(x - 3) = 4x - 12$
3. c$5x + 2 = 5x - 9$
4. d$3(x + 2) - x = 2(x + 3)$
5. e$7x - 3 = 2(x + 1) + 5x$
6. f$2x + 9 = 9 - 4x$

Ex. 16★★★Automatismes : les x² s'éliminent — Développe, puis résous chaque équation. Donne l'ensemble des solutions $S$.

1. a$(x + 6)^2 = x^2 + 9x$
2. b$(x - 5)^2 = x^2 - 15$
3. c$x(x + 4) = x^2 + 4x + 1$
4. d$(x + 2)(x - 2) + 8 = x^2 + 4$
5. e$(2x + 1)(x - 3) = 2x^2 + x$

Ex. 17★★★Deux élèves, deux conclusions fausses — Léa résout $3(2x - 1) + 4 = 6x + 1$. Elle obtient $6x + 1 = 6x + 1$, puis $0 = 0$, et elle conclut : « $S = \{0\}$ ».
Tom résout $2(4x + 1) = 8x - 5$. Il obtient $2 = -5$ et il conclut : « $x = 0$ ».

1. aLe nombre 5 est-il solution de l'équation de Léa ? Justifie par un calcul.
2. bExplique l'erreur de Léa et donne le bon ensemble des solutions.
3. cLe nombre 0 est-il solution de l'équation de Tom ? Justifie par un calcul.
4. dCorrige la conclusion de Tom en justifiant.

Ex. 18★★★Discuter selon un paramètre — $k$ est un nombre réel fixé. On considère l'équation (E) : $(k + 4)x = 6$, d'inconnue $x$.

1. aRésous (E) pour $k = -1$.
2. bRésous (E) pour $k = -4$.
3. cOn suppose $k \neq -4$. Exprime la solution de (E) en fonction de $k$.
4. dDétermine la valeur de $k$ pour laquelle 3 est solution de
   (E).
5. eOn remplace le second membre de (E) par $k + 4$ : $(k + 4)x = k + 4$. Résous cette équation pour $k = -4$, puis pour $k \neq -4$.

Ex. 19★★★Trois formules d'escalade — Un club d'escalade propose plusieurs formules pour $x$ séances ($x$ entier naturel). A : 20 € d'adhésion, puis 4 € la séance. B : prix en euros $4(x + 5)$. C : prix $2(2x + 7) + 3$. D : prix $2(3x + 1)$.

1. aExprime en fonction de $x$ le prix, en euros, de la formule A.
2. bNina affirme : « A et B n'ont jamais le même prix, car leurs écritures sont différentes. » A-t-elle raison ? Justifie en résolvant une équation.
3. cÉcris et résous l'équation qui traduit « A et C coûtent le même prix », puis interprète le résultat.
4. dPour combien de séances les formules A et D coûtent-elles le même prix ? Vérifie ton résultat.
5. eLes formules C et D peuvent-elles coûter le même prix ? Justifie.

Ex. 20★★★Un paramètre des deux côtés — $m$ est un nombre réel fixé. On considère l'équation (E) : $mx - 5 = 4x + m$, d'inconnue $x$.

1. aTransforme (E) en une équation équivalente de la forme $a \times x = b$, où $a$ et $b$ dépendent de $m$.
2. bPour $m = 4$, Sami conclut : « $S = \{0\}$ ». A-t-il raison ? Résous (E) dans ce cas et justifie.
3. cOn suppose $m \neq 4$. Résous (E) et donne son ensemble des solutions en fonction de $m$.
4. dDétermine la valeur de $m$ pour laquelle 2 est solution de (E). Vérifie.
5. eVrai ou faux : « Il existe une valeur de $m$ pour laquelle 1 est solution de (E). » Justifie.

Ex. 21★★★Un carré et deux rectangles — $x$ est un nombre strictement positif (longueurs en cm). Un carré a pour côté $x + 3$. Le rectangle $R_1$ a pour dimensions $x + 1$ et $x + 5$, le rectangle $R_2$ a pour dimensions $x$ et $x + 8$.

1. aDéveloppe l'aire du carré et celle du rectangle $R_1$.
2. bMia affirme : « Pour une bonne valeur de $x$, le carré et $R_1$ ont la même aire. » Vrai ou faux ? Justifie par une équation.
3. cÉcris l'équation qui traduit « le carré et $R_1$ ont le même périmètre », résous-la et conclus.
4. dDétermine $x$ pour que le carré et $R_2$ aient la même aire. Vérifie en calculant les deux aires.

Ex. 22★★★Produits déjà factorisés — Résous chaque équation sans développer. Donne $S$ rangé dans l'ordre croissant.

1. a$(2x + 7)(x - 5) = 0$
2. b$x(3x + 4) = 0$
3. c$-4(x + 3)(2x - 9) = 0$
4. d$(5x - 2)^2 = 0$
5. e$(6 - x)(3x + 12) = 0$
6. f$\left(\dfrac{x}{2} + 1\right)(7 - 2x) = 0$

Ex. 23★★★Factoriser puis résoudre — Mets tout dans un membre si besoin, factorise, puis résous. Donne $S$ rangé dans l'ordre croissant.

1. a$5x^2 = -8x$
2. b$49x^2 - 25 = 0$
3. c$x^2 + 10x + 25 = 0$
4. d$(x - 4)^2 - 81 = 0$
5. e$3x(x + 2) + 7(x + 2) = 0$
6. f$16x^2 - 24x + 9 = 0$

Ex. 24★★★Vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par un calcul ou un contre-exemple.

1. a« L'équation $(x - 2)(x + 3) = 6$ équivaut à : $x - 2 = 6$ ou $x + 3 = 6$. »
2. b« En divisant les deux membres de $x^2 = -3x$ par $x$, on trouve $S = \{-3\}$. »
3. c« Un nombre est solution de $(x + 6)(5x - 4) = 0$ s'il vérifie $x + 6 = 0$ et $5x - 4 = 0$. »
4. d« L'équation $(2x + 1)^2 = 0$ a deux solutions : $\frac{1}{2}$ et $-\frac{1}{2}$. »

Ex. 25★★★L'erreur d'Inès — Pour résoudre $(3x - 1)(x + 4) - (3x - 1)(2x - 5) = 0$, Inès écrit : $(3x - 1)(x + 4 - 2x - 5) = 0 \Longleftrightarrow (3x - 1)(-x - 1) = 0$, donc $S = \left\{-1\,;\,\frac{1}{3}\right\}$.

1. aRepère l'erreur d'Inès et explique-la.
2. bRésous correctement l'équation d'Inès.
3. cRésous $(2x + 3)^2 - (x - 5)^2 = 0$ en factorisant.
4. dRésous $(x + 2)(4x - 1) = 3(x + 2)$ sans diviser par $x + 2$.

Ex. 26★★★Le carré agrandi — Maëlle dessine un carré de côté $x$ cm, avec $x > 0$. Elle augmente le côté de $3$ cm. L'aire du nouveau carré est alors égale à $4$ fois l'aire du carré de départ.

1. aExprime en fonction de $x$ l'aire du nouveau carré, puis traduis l'énoncé par une équation.
2. bMets tout dans le membre de gauche, puis écris ce membre sous la forme $A^2 - B^2$, en précisant $A$ et $B$.
3. cFactorise le membre de gauche de l'équation obtenue, puis résous cette équation dans $\mathbb{R}$.
4. dQuel est le côté du carré de départ ? Vérifie ta réponse avec les aires, puis conclus par une phrase.
5. eNoé résout $(x + 3)^2 = 9x^2$ ainsi : « donc $x + 3 = 3x$, donc $x = \frac{3}{2}$. » Son raisonnement est-il complet ? Justifie.

Ex. 27★★★Choisir la bonne forme — Pour tout réel $x$, on pose $E(x) = (2x - 1)^2 - (x + 4)(2x - 1)$.

1. aDéveloppe et réduis $E(x)$.
2. bFactorise $E(x)$. Attention au signe $-$ devant le produit.
3. cRésous l'équation $E(x) = 0$.
4. dRésous l'équation $E(x) = 5$ en choisissant la forme de $E(x)$ la mieux adaptée. Justifie ton choix.
5. eRésous l'équation $E(x) = 2x^2$.

Ex. 28★★★Une équation avec un paramètre — $k$ désigne un nombre réel. On considère l'équation $(E)$ : $(x + 2)(kx - 6) = 0$, d'inconnue $x$.

1. aRésous $(E)$ lorsque $k = 3$.
2. bRésous $(E)$ lorsque $k = 0$. Justifie avec soin.
3. cDétermine la valeur de $k$ pour laquelle $4$ est solution de $(E)$.
4. dDétermine toutes les valeurs de $k$ pour lesquelles $(E)$ a une seule solution. Justifie.

Ex. 29★★★Valeurs interdites et ensemble de définition — Pour chaque expression, donne les valeurs interdites, puis son ensemble de définition.

Ex. 30★★★Quotient nul — Résous chaque équation. Donne d'abord les valeurs interdites, puis l'ensemble des solutions $S$.

Ex. 31★★★Quotient égal à un nombre — Pour chaque équation, donne la valeur interdite, puis écris $A = k \times B$ avec des parenthèses autour de $B$. Résous et vérifie dans l'équation de départ.

Ex. 32★★★Erreurs d'élèves et vrai ou faux — Deux élèves ont résolu des équations quotients. Analyse leur travail, juge une affirmation, puis termine par une résolution complète.

1. aNoé simplifie $\frac{x^2 + 3x}{x} = 3$ par $x$ : il obtient $x + 3 = 3$, donc $S = \{0\}$. A-t-il raison ? Justifie.
2. bInès écrit $\frac{x - 4}{x + 1} = 3 \Longleftrightarrow x - 4 = 3x + 1$. Trouve son erreur, puis résous l'équation correctement.
3. cVrai ou faux ? « L'équation $\frac{x + 2}{x^2 + 4} = 0$ a pour valeur interdite $-2$. » Justifie, puis donne $S$.
4. dRésous $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = -2$ en donnant d'abord la valeur interdite. Pense à une identité remarquable.

Ex. 33★★★Factoriser, rejeter, justifier — On considère $Q(x) = \frac{x^2 - 49}{x^2 + 7x}$. Commence toujours par les valeurs interdites et rédige avec des équations équivalentes.

1. aFactorise $x^2 - 49$ et $x^2 + 7x$. Donne les valeurs interdites de $Q(x)$, puis son ensemble de définition.
2. bRésous $Q(x) = 0$. Justifie chaque valeur que tu rejettes.
3. cTom écrit : « $Q(x) = \frac{x - 7}{x}$, donc $Q$ n'a qu'une valeur interdite : $0$ ». Vrai ou faux ? Justifie.
4. dRésous $Q(x) = 2$.
5. eRésous $Q(x) = -6$, puis vérifie ta solution dans l'équation de départ.

Ex. 34★★★Le prix moyen d'une séance d'escalade — Yanis s'inscrit dans une salle d'escalade : 60 € d'adhésion pour l'année, puis 4 € par séance. Pour $x$ séances ($x$ entier, $x \geq 1$), le prix moyen d'une séance, en euros, est $M(x) = \frac{60 + 4x}{x}$.

1. aQuelle est la valeur interdite de l'expression $M(x)$ ? Calcule $M(5)$ et $M(15)$.
2. bCombien de séances faut-il faire pour que le prix moyen soit de 6{,}50 € ? Résous, vérifie et conclus.
3. cClara affirme : « Avec assez de séances, le prix moyen tombera à 4 € ». Vrai ou faux ? Justifie en résolvant une équation.
4. dUne formule sans adhésion coûte 9 € la séance. Pour combien de séances les deux formules ont-elles le même prix moyen ?
5. eRésous $M(x) = 3$. La solution convient-elle à la situation ? Justifie.

Ex. 35★★★Une équation quotient avec un paramètre — $k$ est un nombre réel. On note $(E_k)$ l'équation $\frac{x + 4}{x - 1} = k$, d'inconnue $x$.

1. aDonne la valeur interdite de $(E_k)$. Résous ensuite $(E_3)$, puis vérifie ta solution dans l'équation de départ.
2. bRésous $(E_1)$. Justifie ta réponse.
3. cMontre que, pour $x \neq 1$, l'équation $(E_k)$ équivaut à $(k - 1)x = k + 4$.
4. dPour $k \neq 1$, exprime la solution en fonction de $k$. Lina affirme : « Pour un certain $k$, cette solution vaut $1$ ». Vrai ou faux ? Justifie.
5. eTrouve la valeur de $k$ pour laquelle $6$ est solution de $(E_k)$, puis vérifie.

Ex. 36★★★Carré égal à un nombre — Résous chaque équation. Donne les valeurs exactes, avec la racine carrée simplifiée.

Ex. 37★★★Carré d'une expression — Résous chaque équation. Donne les valeurs exactes, avec la racine carrée simplifiée.

Ex. 38★★★Repérer l'erreur — Chaque élève a écrit une affirmation. Est-elle juste ? Justifie par un calcul, puis donne l'ensemble des solutions de l'équation.

1. aLéa écrit : « $x^2 = 81 \Longleftrightarrow x = 9$ ».
2. bHugo écrit : « $x^2 = 36$, donc $x = 36 \div 2 = 18$ ».
3. cInès divise les deux membres par $x$ : « $x^2 = 3x \Longleftrightarrow x = 3$, donc $S = \{3\}$ ».
4. dNathan écrit : « L'équation $x^2 = -25$ a pour solution $-5$ ».

Ex. 39★★★La terrasse de Mila — Mila a une terrasse carrée de côté $x$ mètres. Si elle allonge chaque côté de $3$ m, la terrasse reste carrée et son aire devient $50$ m$^2$.

1. aTraduis la situation par une équation d'inconnue $x$.
2. bLe côté initial peut-il mesurer $5$ m ? Justifie par un calcul.
3. cRésous l'équation obtenue. Donne les valeurs exactes.
4. dQuelle solution convient ? Donne le côté initial arrondi au centimètre.

Ex. 40★★★Discussion selon un paramètre — Soit $k$ un nombre réel. On considère l'équation (E) : $x^2 + 5 = k$, d'inconnue $x$. Donne les valeurs exactes, avec la racine carrée simplifiée.

1. aRésous (E) pour $k = 53$.
2. bPour $k = 21$, Sacha écrit : « (E) équivaut à $x^2 = 26$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis résous
   (E).
3. cRésous (E) pour $k = 5$, puis pour $k = -2$.
4. dSelon les valeurs de $k$, combien de solutions l'équation (E) a-t-elle ? Justifie.
5. eDétermine la valeur de $k$ pour laquelle $7$ est solution de (E). Donne alors l'autre solution.

Ex. 41★★★Choisir la bonne méthode — Résous chaque équation en justifiant chaque étape. Donne les valeurs exactes, avec la racine carrée simplifiée.

1. aRésous $(x - 1)^2 = (2x + 3)^2$.
2. bRésous $3(x - 2)^2 + 1 = 37$.
3. cRésous $2x^2 + 5 = 2(x^2 + 1)$.
4. dRésous $5x^2 - 3 = 2x^2 - 3$.

Ex. 42★★★Le jardin de Yanis — Le jardin de Yanis est un rectangle de largeur $x$ m et de longueur $2x$ m. Dans un coin, il creuse un bassin carré de $3$ m de côté. La pelouse restante mesure $135$ m$^2$.

1. aExprime l'aire de la pelouse en fonction de $x$, puis traduis la situation par une équation.
2. bRésous cette équation. Donne les valeurs exactes, avec la racine carrée simplifiée.
3. cQuelle solution convient au problème ? Justifie.
4. dDonne les dimensions du jardin, arrondies au centimètre, puis rédige une phrase de conclusion.
5. eBen affirme qu'avec ce bassin, la pelouse ne peut pas mesurer $5$ m$^2$. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 43★★★Traduire une phrase par une équation — Traduis chaque phrase par une équation d'inconnue $x$ (le nombre cherché), puis résous-la.

1. aLe double d'un nombre, augmenté de $7$, vaut $31$.
2. bUn nombre augmenté de $3$ est deux fois moins grand que $40$.
3. cLe triple d'un nombre est égal à ce nombre augmenté de $18$.
4. dLa somme de trois entiers consécutifs vaut $87$. On note $x$ le plus petit des trois.
5. e$15\,\%$ d'un nombre valent $12$.
6. fLe quadruple d'un nombre, diminué de $5$, vaut $3$ de plus que le double de ce nombre.

Ex. 44★★★Nommer l'inconnue et écrire l'équation — Dans chaque situation, nomme l'inconnue avec son unité, puis écris une équation qui traduit l'énoncé. Tu n'as pas à la résoudre.

1. aUn rectangle a une longueur égale au double de sa largeur. Son périmètre mesure $54$ cm.
2. bUn pull soldé à $-30\,\%$ coûte $42$ €. On cherche son prix avant les soldes.
3. cTom a $5$ ans de plus qu'Inès. À eux deux, ils ont $31$ ans.
4. dUn carré a une aire de $49$ cm². On cherche son côté.
5. eUn gâteau de $960$ g est partagé entre Sam et Noé. Noé reçoit deux fois moins que Sam.
6. fUn cycliste roule pendant $2$ h $30$ min à vitesse constante et parcourt $55$ km.

Ex. 45★★★Un carré agrandi — Un carré a pour côté $x$ cm. Si on augmente son côté de $4$ cm, on obtient un carré d'aire $81$ cm².

1. aJustifie que $x$ vérifie l'équation $(x + 4)^2 = 81$.
2. bRésous l'équation $(x + 4)^2 = 81$ dans $\mathbb{R}$.
3. cQuel est le côté du carré de départ ? Justifie le choix de la solution.
4. dVérifie ta réponse dans l'énoncé, puis conclus par une phrase.

Ex. 46★★★Deux tarifs égaux : l'erreur de Maëlle — Une salle de sport propose deux tarifs. Tarif A : $25$ € par mois, plus $4$ € par séance. Tarif B : $9$ € par séance, sans abonnement. Pour savoir quand les deux tarifs sont égaux sur un mois, Maëlle écrit $25x + 4 = 9x$.

1. aQuelle erreur Maëlle a-t-elle commise ? Nomme l'inconnue avec son unité et écris l'équation correcte.
2. bRésous l'équation de Maëlle. Explique pourquoi son résultat n'a pas de sens ici.
3. cRésous l'équation correcte et conclus par une phrase.
4. dVérifie ta réponse dans l'énoncé en calculant le prix payé avec chaque tarif.

Ex. 47★★★Le cadre d'une photo — Une photo rectangulaire mesure $12$ cm sur $8$ cm. On l'entoure d'un cadre en bois de largeur constante. Le grand rectangle (photo et cadre) a une aire de $140$ cm². On cherche la largeur du cadre.

1. aOn note $x$ la largeur du cadre. Précise son unité et les valeurs qu'elle peut prendre. Exprime en fonction de $x$ la longueur et la largeur du grand rectangle.
2. bÉcris l'équation que vérifie $x$, puis montre qu'elle est équivalente à $x^2 + 10x - 11 = 0$.
3. cDéveloppe $(x - 1)(x + 11)$. Déduis-en l'ensemble des solutions de l'équation $x^2 + 10x - 11 = 0$.
4. dQuelle solution faut-il rejeter ? Justifie. Vérifie la réponse dans l'énoncé et conclus par une phrase.

Ex. 48★★★Le prix de la sortie scolaire — Pour une sortie, le car coûte $600$ € en tout. L'entrée au musée coûte $12$ € par élève. On partage le prix total à égalité entre les $n$ élèves qui participent.

1. aQue représente l'inconnue $n$ ? Quelles valeurs peut-elle prendre ? Justifie que chaque élève paie $\frac{600}{n} + 12$ euros.
2. bChaque élève a payé $27$ €. Donne la valeur interdite, puis résous l'équation $\frac{600}{n} + 12 = 27$.
3. cVérifie ton résultat dans l'énoncé (prix total, puis prix par élève), et conclus par une phrase.
4. dKenza affirme : « On peut choisir le nombre d'élèves pour que chacun paie exactement $25$ €. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eLa mairie paie $25\,\%$ du prix du car. Combien d'élèves faut-il pour que chacun paie $21$ € ? Justifie.

Ex. 49★★★Les âges d'une famille — Rose a $3$ ans de plus que son frère Hugo. Hugo a quatre fois moins d'années que leur père Karim. La somme des âges des trois membres de la famille vaut $63$ ans.

1. aNomme l'inconnue avec son unité. Exprime en fonction de cette inconnue l'âge de Rose et l'âge de Karim.
2. bÉcris une équation qui traduit l'énoncé, puis résous-la. Donne les trois âges et vérifie-les dans l'énoncé.
3. cPour trouver dans combien d'années $t$ Karim aura le double de l'âge de Rose, Léon écrit : $2 \times (\text{âge de Karim} + t) = \text{âge de Rose} + t$. Explique son erreur.
4. dÉcris l'équation correcte avec les âges trouvés, résous-la, vérifie, puis conclus par une phrase.
5. eRésous l'équation de Léon avec les âges trouvés. En quoi le résultat confirme-t-il qu'il s'est trompé ?