Terminale maths complémentaires / Équations différentielles

Ex. 1★★★Automatismes : solution ou pas ? — Dans chaque item, $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. Dans les cinq premiers items, dis si $f$ est solution de l'équation (E). Justifie : calcule $f'(t)$, puis à part $af(t) + b$, et compare.

1. a$f(t) = 4e^{0{,}7t}$ et (E) : $y' = 0{,}7y$.
2. b$f(t) = 3e^{-2t} + 5$ et (E) : $y' = -2y + 10$.
3. c$f(t) = 8$ et (E) : $y' = -0{,}25y + 2$.
4. d$f(t) = 2e^{-0{,}2t} + 15$ et (E) : $5y' + y = 15$. Écris d'abord (E) sous la forme $y' = ay + b$.
5. e$f(t) = 5e^{1{,}2t} - 1$ et (E) : $y' = 1{,}2y$.
6. fDétermine le réel $b$ tel que $f(t) = 7e^{-t} + 3$ soit solution de (E) : $y' = -y + b$.

Ex. 2★★★Automatismes : vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse. Pour « faux », un contre-exemple suffit.

1. aLa dérivée de $t \mapsto 6e^{-0{,}4t}$ est $t \mapsto 6e^{-0{,}4t}$.
2. bPour $f(t) = t^2 + 1$, on a $f'(1) = 2f(1) - 2$ ;
   Donc $f$ est solution de $y' = 2y - 2$.
3. cLa fonction constante $t \mapsto 4$ est solution de $y' = 3y - 12$.
4. dLa fonction $t \mapsto 2t^3$ est la seule solution de $y' = 6t^2$ sur $\mathbb{R}$.
5. e$t \mapsto e^{1{,}5t}$ est solution de $y' = 1{,}5y$, donc $t \mapsto e^{1{,}5t} + 2$ l'est aussi.

Ex. 3★★★Équations $y' = f$ : les primitives — Rappel : les solutions de $y' = f$ sont les primitives de $f$.

1. aDonne toutes les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y' = -2{,}5$.
2. bVérifie que $t \mapsto 2t^2 - t + 7$ est solution de $y' = 4t - 1$ sur $\mathbb{R}$, puis donne toutes les solutions.
3. cZoé propose $t \mapsto 18e^{3t}$ comme solution de $y' = 6e^{3t}$. Corrige son erreur et donne toutes les solutions sur $\mathbb{R}$.
4. dDonne toutes les solutions sur $]0 ; +\infty[$ de $y' = \frac{1}{t}$.
5. eDonne la solution sur $\mathbb{R}$ de $y' = 8t$ qui vérifie $y(1) = 5$.

Ex. 4★★★Le thé de Malo : trouve l'erreur — À Lyon, la température d'un thé, en °C, $t$ minutes après le service est $f(t) = 20 + 60e^{-0{,}08t}$ pour $t \geqslant 0$. On veut vérifier que $f$ est solution de (E) : $y' = -0{,}08y + 1{,}6$. Malo écrit : « $f'(t) = 20 - 4{,}8e^{-0{,}08t}$, ce n'est pas égal à $-0{,}08f(t) + 1{,}6$, donc $f$ n'est pas solution. »

1. aRepère l'erreur de Malo et corrige le calcul de $f'(t)$.
2. bCalcule à part $-0{,}08f(t) + 1{,}6$, puis conclus : $f$ est-elle solution de (E) ? Justifie.
3. cCalcule $f(10)$, arrondi au dixième, et interprète le résultat.
4. dLou affirme : « $g(t) = 20 + 60e^{-0{,}8t}$ est aussi solution de (E), car $g(0) = f(0)$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 5★★★Les truites d'Annecy : un modèle logistique — Près d'Annecy, le nombre de truites d'un étang, en centaines, $t$ années après un alevinage, est modélisé par $f(t) = \frac{50}{1 + 4e^{-0{,}2t}}$ pour $t \geqslant 0$. On veut vérifier que $f$ est solution de (E) : $y' = 0{,}2y\left(1 - \frac{y}{50}\right)$.

1. aCalcule $f(0)$ et interprète le résultat dans le contexte.
2. bCalcule $f'(t)$. Tu peux utiliser $\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}$.
3. cCalcule à part $0{,}2f(t)\left(1 - \frac{f(t)}{50}\right)$, puis conclus.
4. dLes fonctions constantes $t \mapsto 50$ et $t \mapsto 100$ sont-elles solutions de (E) ? Justifie.
5. eDétermine $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)$ et interprète-la dans le contexte.

Ex. 6★★★Le condensateur de Noé — À Rennes, Noé charge un condensateur. La tension à ses bornes, en volts, $t$ millisecondes après la fermeture du circuit, est une solution $y$ de l'équation (E) : $4y' + y = 10$, avec $y(0) = 0$.

1. aÉcris (E) sous la forme $y' = ay + b$, en précisant $a$ et $b$.
2. bInès lit $a = -1$ dans $4y' + y = 10$ et propose $v(t) = 10 - 10e^{-t}$. $v$ est-elle solution de (E) ? Justifie.
3. cMontre que la fonction $u$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $u(t) = 10 - 10e^{-0{,}25t}$ est solution de (E) et vérifie $u(0) = 0$.
4. dNoé pense que la fonction constante égale à $2{,}5$ est solution de (E). A-t-il raison ? Justifie, puis trouve la seule solution constante de
   (E).
5. eOn admet que la tension est $u(t)$. À partir de quel instant dépasse-t-elle $9$ V ? Donne la valeur exacte, puis l'arrondi à $0{,}01$ ms.

Ex. 7★★★Cinq affirmations à trancher — On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(t) = 3e^{0{,}4t} - 5$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, et justifie. Pour « faux », un contre-exemple suffit.

1. a« $g$ est solution de l'équation $y' = y + 5$. »
2. b« $g$ est solution de l'équation (E) : $y' = 0{,}4y + 2$. »
3. c« $g$ est solution de $y' = 1{,}2e^{0{,}4t}$, et les solutions de cette équation sont les fonctions $t \mapsto 3e^{0{,}4t} + K$, avec $K \in \mathbb{R}$. »
4. d« Si une fonction $f$ est solution de (E), alors la fonction $2f$ l'est aussi. »
5. e« Les seules solutions constantes de l'équation $y' = 0{,}3y(12 - y)$ sont $t \mapsto 0$ et $t \mapsto 12$. »

Ex. 8★★★Automatismes : écrire toutes les solutions — Résous sur $\mathbb{R}$ chaque équation différentielle. Écris-la d'abord sous la forme $y' = ay$.

Ex. 9★★★Automatismes : la condition initiale fixe C — Détermine la solution sur $\mathbb{R}$ de chaque équation qui vérifie la condition donnée.

1. a$y' = 3y$ et $y(0) = -5$.
2. b$y' = -0{,}4y$ et $y(0) = 0$.
3. c$y' = 0{,}5y$ et $y(2) = 6$.
4. d$y' + y = 0$ et $y(1) = e$.
5. e$y' = -3y$ et $y(-1) = 2$.

Ex. 10★★★Vrai ou faux sur y′ = ay — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

1. aToute solution de $y' = -0{,}6y$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$.
2. bLa fonction $t \mapsto e^{3t + 2}$ est solution de $y' = 3y$.
3. cLa fonction $t \mapsto e^{3 + t}$ est solution de $y' = 3y$.
4. dToute solution de $y' = 1{,}2y$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$.
5. eUne grandeur qui vérifie $y' = -0{,}25y$ est divisée par 2 au bout de $\frac{\ln 2}{-0{,}25}$ unités de temps.

Ex. 11★★★La démonstration de Léa — Léa veut démontrer que toute solution $y$ de $(E) : y' = -1{,}5y$ sur $\mathbb{R}$ est de la forme $t \mapsto Ce^{-1{,}5t}$. Elle pose $g(t) = y(t)e^{-1{,}5t}$ et espère montrer que $g$ est constante.

1. aCalcule $g'(t)$ en utilisant $y'(t) = -1{,}5y(t)$.
2. bLéa affirme que $g$ est constante. A-t-elle raison ? Justifie avec la solution $y(t) = e^{-1{,}5t}$.
3. cQuelle fonction $h$ fallait-il poser ? Calcule $h'(t)$ et termine la démonstration.
4. dDétermine la solution de $(E)$ telle que $y(0{,}5) = 3$, puis donne $y(0)$ : valeur exacte, puis arrondi au centième.

Ex. 12★★★Les truites d'un étang des Vosges — Dans un étang des Vosges, on suit une population de truites. On note $N(t)$ le nombre de truites au bout de $t$ années. On admet que $N' = 0{,}12N$ et que $N(0) = 800$.

1. aExprime $N(t)$ en fonction de $t$.
2. bCalcule le temps de doublement de la population : valeur exacte, puis arrondi au centième.
3. cPar quel facteur la population est-elle multipliée sur toute période de 5 ans ? Arrondis au centième.
4. dAu bout de combien d'années entières la population dépasse-t-elle 3 000 truites pour la première fois ?

Ex. 13★★★Deux équations déguisées — On considère sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles $(E_1) : 5y' = 2y$ et $(E_2) : y' + 6y = 0$.

1. aÉcris chaque équation sous la forme $y' = ay$, puis donne toutes ses solutions.
2. bSelon le signe de $C$, donne le sens de variation et la limite en $+\infty$ des solutions $t \mapsto Ce^{-6t}$ de $(E_2)$.
3. cRomain affirme : « Si $f$ et $g$ sont solutions de $(E_2)$, alors $f + g$ et $-3f$ le sont aussi. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dExiste-t-il une fonction solution à la fois de $(E_1)$ et de $(E_2)$ ? Justifie.
5. eDétermine la solution $g$ de $(E_1)$ telle que $g(5) = -3e$. Montre que $g(t + 2{,}5\ln 2) = 2g(t)$ pour tout réel $t$ et interprète.

Ex. 14★★★L'antibiotique d'Inès — Inès, pharmacienne à Nantes, étudie un antibiotique injecté à un patient. On note $Q(t)$ la quantité (en mg) présente dans le sang $t$ heures après l'injection. On admet que $Q' = aQ$ avec $a$ réel, $Q(0) = 400$, et que la demi-vie du médicament est de $6$ heures.

1. aExprime $Q(t)$ en fonction de $a$ et de $t$.
2. bDéduis de la demi-vie la valeur exacte de $a$, puis son arrondi à $10^{-4}$.
3. cSans calculatrice, détermine la quantité d'antibiotique restante au bout de $24$ heures. Justifie.
4. dDétermine, par le calcul, au bout de combien de temps la quantité devient inférieure à $10$ mg. Donne la valeur exacte, puis un arrondi au dixième d'heure.
5. eBen a écrit ce programme : from math import exp, log def seuil(s): t = 0 while 400 * exp(-log(2) / 6 * t) >= s: t = t + 1 return t Que renvoie seuil(10) ? Interprète ce résultat dans le contexte.

Ex. 15★★★Automatismes : la solution constante — Pour chaque équation, d'inconnue $y$ fonction de $t$, détermine la solution constante.

Ex. 16★★★Automatismes : la solution générale en une ligne — Donne en une ligne les solutions sur $\mathbb{R}$ de chaque équation, avec $C \in \mathbb{R}$.

Ex. 17★★★Solution ou pas ? — On considère l'équation $(E) : y' = 0{,}4y - 2$. Pour chaque fonction définie sur $\mathbb{R}$, dis si elle est solution de $(E)$. Justifie.

Ex. 18★★★La copie d'Inès — Inès doit résoudre $(E) : 5y' + 2y = 6$, avec $y(0) = 7$. Elle écrit : « $a = 2$ et $b = 6$, donc $k = -\frac{b}{a} = -3$ et $y(t) = e^{2t} - 3$. »

1. aÉcris $(E)$ sous la forme $y' = ay + b$ et donne $a$ et $b$.
2. bCalcule la bonne solution constante de $(E)$.
3. cQuelle autre erreur Inès commet-elle dans l'écriture de $y(t)$ ? Donne la solution générale correcte.
4. dDétermine la solution $f$ telle que $f(0) = 7$, puis donne $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)$.

Ex. 19★★★Démonstration guidée et condition en t = 5 — On considère l'équation $(E) : y' = 0{,}2y - 3$, où $y$ est une fonction dérivable de $t$ sur $\mathbb{R}$.

1. aDétermine la solution constante $k$ de $(E)$.
2. bSoit $y$ une solution de $(E)$ et $z = y - k$. Montre que $z' = 0{,}2z$.
3. cDéduis-en toutes les solutions de $(E)$.
4. dDétermine la solution $f$ telle que $f(5) = 12$, puis donne $f(10)$
   (valeur exacte, puis arrondi au centième).
5. eÉtudie le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$, puis détermine $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)$.

Ex. 20★★★Vrai ou faux : cinq pièges sur y' = ay + b — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie ta réponse par un calcul ou un contre-exemple.

1. aAffirmation : l'équation $y' = 4$ admet une solution constante, donnée par la formule $-\frac{b}{a}$.
2. bAffirmation : la solution constante de $y' = 2{,}1 - 0{,}3y$ est $-7$.
3. cAffirmation : la fonction $t \mapsto e^{-3t + 6} + 2$ est solution sur $\mathbb{R}$ de $y' = -3y + 6$.
4. dPour $y' = 0{,}6y - 2{,}4$ avec $y(1) = 1$, Malo écrit : « $C + 4 = 1$, donc $y(t) = -3e^{0{,}6t} + 4$ ». Affirmation : Malo a raison.
5. eAffirmation : toute solution de $y' = -0{,}8y + 2$ tend vers $2{,}5$ en $+\infty$, et celle qui vaut $1$ en $t = 0$ est croissante sur $[0 ; +\infty[$.

Ex. 21★★★Perfusion à Rennes : démonstration et seuil — À l'hôpital de Rennes, un patient reçoit un médicament par perfusion. On note $y(t)$ la quantité de médicament dans son sang, en mg, $t$ heures après le début de la perfusion, avec $y(0) = 0$. On admet que $y$ est solution sur $[0 ; +\infty[$ de l'équation $(E) : 3y' + 0{,}45y = 5{,}4$.

1. aÉcris $(E)$ sous la forme $y' = ay + b$, puis détermine la solution constante $k$ de $(E)$.
2. bDonne les solutions de $(E)$, avec $C \in \mathbb{R}$, puis l'expression de $y(t)$.
3. cDétermine $\lim\limits_{t \to +\infty} y(t)$ et interprète ce résultat. La quantité peut-elle atteindre cette valeur ? Justifie.
4. dLe médicament est efficace dès que la quantité dépasse $9$ mg. Détermine à partir de quand, en valeur exacte puis arrondi à la minute.

Ex. 22★★★Automatismes : trouver C avec une condition en 0 — Pour chaque équation, donne la solution constante $k$, puis la solution générale avec $C \in \mathbb{R}$. Détermine ensuite la solution $f$ qui vérifie la condition donnée.

1. a$y' = 3y$ et $f(0) = -2$.
2. b$y' = -2y + 6$ et $f(0) = 1$.
3. c$y' = 0{,}5y - 4$ et $f(0) = 5$.
4. d$y' = -0{,}25y - 2$ et $f(0) = 0$.
5. e$y' = 4y + 10$ et $f(0) = -2{,}5$.
6. f$y' = -y + 1{,}5$ et $f(0) = 4$.

Ex. 23★★★Automatismes : lire l'allure d'une solution — Chaque fonction $f$ est définie sur $[0\,;+\infty[$. Donne le signe de $f'(t)$ et le sens de variation de $f$, puis $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)$. S'il y a une asymptote horizontale, précise si la courbe est au-dessus ou au-dessous.

1. a$f(t) = 3e^{-0{,}2t} + 5$.
2. b$f(t) = -4e^{-1{,}5t} + 2$.
3. c$f(t) = 2e^{0{,}3t} - 7$.
4. d$f(t) = -0{,}5e^{0{,}8t} + 1$.
5. e$f(t) = 5 - 2e^{-0{,}4t}$.

Ex. 24★★★La copie d'Inès — On considère l'équation (E) : $y' = -0{,}8y + 2$. On cherche la solution $f$ de (E) telle que $f(0) = 6$. Inès écrit : « Les solutions sont les $t \mapsto Ce^{-0{,}8t} + 2$. Comme $f(0) = 6$, $C = 6$. Donc $f(t) = 6e^{-0{,}8t} + 2$. »

1. aDétermine la solution constante de
   (E).
2. bInès a fait deux erreurs. Trouve-les et explique-les.
3. cDétermine la bonne fonction $f$, puis vérifie la condition $f(0) = 6$.
4. dDonne le sens de variation de $f$ et sa limite en $+\infty$. Précise la position de sa courbe par rapport à l'asymptote.

Ex. 25★★★Les carpes d'un étang près d'Annecy — Dans un étang, on pêche des carpes chaque année. Leur nombre, en centaines, est modélisé par une fonction $N$ solution de (E) : $y' = 0{,}4y - 6$. Le temps $t$ est en années. Au bout de 5 ans, l'étang compte 2 000 carpes : $N(5) = 20$.

1. aDétermine la solution constante de (E), puis toutes les solutions de
   (E).
2. bDétermine l'expression de $N(t)$, en valeur exacte.
3. cCalcule $N(0)$, arrondi au centième. Combien y avait-il de carpes au départ ?
4. dJustifie que $N$ est croissante et donne sa limite en $+\infty$.
5. eDans un autre étang qui suit (E), il y a 1 500 carpes au départ. Comment évolue leur nombre ? Justifie.

Ex. 26★★★Vrai ou faux sur une même équation — On considère l'équation (E) : $y' = -0{,}6y + 9$, sur $[0\,;+\infty[$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie.

1. aLa solution de (E) qui vaut 20 en $t = 5$ est $t \mapsto 5e^{-0{,}6t} + 15$.
2. bToutes les solutions de (E) ont pour limite 15 en $+\infty$.
3. cLa solution de (E) qui vaut 10 en 0 est croissante sur $[0\,;+\infty[$.
4. dUne solution non constante de (E) peut prendre la valeur 15.
5. eLa fonction constante égale à 9 est solution de
   (E).

Ex. 27★★★Des courbes qui ne se croisent jamais — On considère l'équation différentielle (E) : $y' = -0{,}25y + 3$, d'inconnue $y$, fonction de $t$ définie et dérivable sur $[0\,;+\infty[$. Arrondis à 0,01 si besoin.

1. aDétermine la solution constante de (E), puis toutes les solutions de
   (E).
2. bDétermine la solution $g$ de (E) telle que $g(0) = 20$, puis la solution $f$ de (E) telle que $f(4) = 4$.
3. cÉtudie le sens de variation de $f$ et de $g$ et leur limite en $+\infty$. Donne la position de chaque courbe par rapport à la droite d'équation $y = 12$.
4. dLucas affirme : « Une solution de (E) a une courbe qui passe par $A(4\,;4)$ et par $B(0\,;0)$. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eOn considère maintenant (F) : $y' = 0{,}25y - 3$. Donne la limite en $+\infty$ de la solution de (F) telle que $y(0) = y_0$, selon la valeur du réel $y_0$.

Ex. 28★★★Le gâteau d'une pâtisserie de Dijon — Dans une pâtisserie de Dijon, la cuisine est à 20 °C. Un gâteau sort du four à l'instant $t = 0$ ($t$ en minutes). Sa température, en °C, est une fonction $f$ solution de (E) : $y' = -0{,}05(y - 20)$. À $t = 10$, on mesure 100 °C. Arrondis à 0,1.

1. aÉcris (E) sous la forme $y' = ay + b$, puis détermine sa solution constante et toutes ses solutions.
2. bDétermine $f(t)$. Donne ensuite la valeur exacte, puis l'arrondi, de la température du gâteau à sa sortie du four.
3. cÉtudie le sens de variation de $f$ et sa limite en $+\infty$. Interprète le résultat dans le contexte.
4. dOn peut démouler le gâteau quand sa température est inférieure ou égale à 40 °C. Au bout de combien de minutes peut-on le démouler ? Donne la valeur exacte avec $\ln$.
5. eBen sort au même instant un second gâteau à 180 °C. Il refroidit selon la même équation. Mattéo affirme : « À un moment, les deux gâteaux auront la même température. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 29★★★Automatismes — Traduire un énoncé en équation — Dans chaque cas, écris l'équation différentielle vérifiée par la grandeur sous la forme $y' = ay + b$, puis précise l'unité de $a$.

1. aLe nombre $N(t)$ de bactéries d'une culture augmente à une vitesse proportionnelle à $N(t)$, de coefficient $0{,}12$ par heure
   ($t$ en heures).
2. bLa masse $m(t)$, en g, d'un isotope radioactif diminue à une vitesse proportionnelle à $m(t)$, de coefficient $0{,}0866$ par jour
   ($t$ en jours).
3. cUne soupe refroidit dans une cuisine à $22$ °C. La vitesse de refroidissement de sa température $\theta(t)$ est proportionnelle à l'écart avec la température ambiante, de coefficient $0{,}05$ par minute.
4. dLa population $P(t)$ de cerfs d'une forêt diminue de $4\,\%$ par an, et on y relâche $250$ cerfs par an
   ($t$ en années).
5. eUn patient sous perfusion reçoit $6$ mg de médicament par heure. La quantité $Q(t)$, en mg, est éliminée proportionnellement à $Q(t)$, avec un coefficient de $0{,}2$ par heure.
6. fLa tension $u(t)$, en V, aux bornes d'un condensateur en charge varie à une vitesse proportionnelle à l'écart $12 - u(t)$, de coefficient $0{,}5$ par milliseconde.

Ex. 30★★★Automatismes — Valeur d'équilibre et limite — Dans chaque cas, $t \geqslant 0$. Justifie ta réponse avec la solution constante et le signe de $a$.

1. a$y$ est une solution de $y' = -0{,}4y + 10$. Détermine $\lim\limits_{t \to +\infty} y(t)$.
2. bLa température $\theta(t)$ d'un café, en °C, après $t$ minutes, vérifie $\theta' = -0{,}06\theta + 1{,}26$. Quelle est la température de la pièce ?
3. cSous perfusion, la quantité $Q(t)$ de médicament, en mg, après $t$ heures, vérifie $Q' = -0{,}15Q + 4{,}5$. Vers quel palier tend $Q(t)$ ?
4. dSans perfusion, la quantité $Q(t)$ de médicament, en mg, après $t$ heures, vérifie $Q' = -0{,}3Q$ et $Q(0) = 80$. Détermine $\lim\limits_{t \to +\infty} Q(t)$.
5. eInès étudie deux solutions de $y' = -2y + 7$, avec $y(0) = 1$ pour l'une et $y(0) = 9$ pour l'autre. Elle pense que leurs limites sont différentes. A-t-elle raison ? Justifie.
6. f$y$ est la solution de $y' = 0{,}5y - 4$ telle que $y(0) = 10$. Détermine $\lim\limits_{t \to +\infty} y(t)$.

Ex. 31★★★Seuil : inéquations avec ln — Résous chaque inéquation sur $[0 ; +\infty[$. Donne la borne exacte avec $\ln$, puis un arrondi à $0{,}01$ près, et réponds à la question sur les entiers.

1. a$40e^{-0{,}2t} \leqslant 30$. Quel est le plus petit entier $t$ solution ?
2. b$15 + 60e^{-0{,}1t} \leqslant 30$. Quel est le plus petit entier $t$ solution ?
3. c$5e^{0{,}4t} \geqslant 100$. Quel est le plus petit entier $t$ solution ?
4. d$120 - 90e^{-0{,}5t} \geqslant 100$. Quel est le plus petit entier $t$ solution ?
5. e$200e^{-0{,}05t} > 36$. Quel est le plus grand entier $t$ solution ?

Ex. 32★★★Le café de Malo — Un café à $80$ °C est posé à $t = 0$ dans un bureau à $19$ °C. On note $\theta(t)$ sa température, en °C, après $t$ minutes. La vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart avec la température ambiante, de coefficient $k > 0$ (en $\mathrm{min}^{-1}$). Au bout de $10$ minutes, le café est à $50$ °C.

1. aTraduis l'énoncé par une équation de la forme $\theta' = a\theta + b$, puis donne sa solution générale.
2. bUtilise la température initiale pour exprimer $\theta(t)$ en fonction de $k$ et de $t$.
3. cDétermine la valeur exacte de $k$, puis un arrondi à $10^{-3}$ près.
4. dLe café se boit sous $40$ °C. Au bout de combien de minutes est-il buvable ? Donne la valeur exacte, puis un arrondi à la minute.
5. eMalo affirme : « Après une heure, le café sera à la température du bureau. » A-t-il raison ? Justifie avec un arrondi à $0{,}01$ °C.

Ex. 33★★★Élimination d'un médicament et demi-vie — À $t = 0$, on injecte à un patient une dose de $150$ mg d'un médicament. On note $Q(t)$ la quantité, en mg, présente dans le sang après $t$ heures. Elle diminue à une vitesse proportionnelle à $Q(t)$, avec un coefficient de $0{,}14$ par heure.

1. aÉcris l'équation différentielle vérifiée par $Q$, puis exprime $Q(t)$ en fonction de $t$.
2. bCalcule la demi-vie du médicament : donne la valeur exacte en heures, puis un arrondi à la minute.
3. cLe médicament n'agit plus quand $Q(t) < 20$ mg. À partir de combien d'heures entières n'agit-il plus ?
4. dLéa affirme : « Après deux demi-vies, il ne reste plus de médicament. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 34★★★Les truites du lac de Gérardmer — On note $P(t)$ le nombre de truites d'un lac au bout de $t$ années. La pêche fait diminuer la population de $3\,\%$ par an. Chaque année, une association en introduit $400$ dans le lac. Au départ, $P(0) = 20\,000$. On admet que $P'(t)$ traduit ces deux phénomènes.

1. aÉcris l'équation différentielle vérifiée par $P$ sous la forme $P' = aP + b$. Précise l'unité de $a$ et celle de $b$.
2. bDétermine la solution constante, puis exprime $P(t)$ en fonction de $t$.
3. cDonne le sens de variation de $P$ sur $[0 ; +\infty[$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} P(t)$. Interprète ces résultats dans le contexte.
4. dRésous $P(t) \leqslant 15\,000$ (valeur exacte, puis arrondi à $0{,}01$). Au bout de combien d'années entières reste-t-il au plus $15\,000$ truites ?
5. eNoé affirme : « En partant de $18\,000$ truites, l'équilibre serait $18\,000$. » A-t-il raison ? Quel apport annuel donnerait un équilibre de $18\,000$ ?

Ex. 35★★★Perfusion à l'hôpital de Rennes : demi-vie et palier — Sans apport, un médicament est éliminé à une vitesse proportionnelle à la quantité présente, de coefficient $k > 0$ (en $\mathrm{h}^{-1}$). Sa demi-vie est de $4$ h. À $t = 0$, un patient qui n'a pas encore de médicament dans le sang reçoit une perfusion qui en apporte $12$ mg par heure. On note $Q(t)$ la quantité, en mg, présente après $t$ heures.

1. aSans perfusion, $y' = -ky$. Montre que la demi-vie $T$ vérifie $e^{-kT} = \frac{1}{2}$, puis donne $k$
   (valeur exacte, puis arrondi à $10^{-3}$).
2. bÉcris l'équation vérifiée par $Q$ pendant la perfusion sous la forme $Q' = aQ + b$, puis exprime $Q(t)$ en fonction de $t$
   (valeurs exactes).
3. cÉtudie le sens de variation de $Q$ et détermine $\lim\limits_{t \to +\infty} Q(t)$ (valeur exacte, puis arrondi à $0{,}01$). Interprète dans le contexte.
4. dLe traitement est efficace dès que $Q(t) \geqslant 60$ mg. Résous cette inéquation (valeur exacte, puis arrondi à $0{,}01$). Au bout de combien d'heures entières est-il efficace ?
5. eLa perfusion s'arrête à $t = 24$. Yanis affirme que $Q$ restera au palier. A-t-il raison ? Combien d'heures entières après l'arrêt reste-t-il moins de $10$ mg ?

Ex. 36★★★Automatismes : écrire la relation d'Euler — Dans chaque item, la méthode d'Euler pour $y' = ay + b$ avec le pas $h$ s'écrit $y_{n+1} = y_n + h(ay_n + b)$, que l'on simplifie sous la forme $y_{n+1} = (1 + ah)y_n + hb$.

1. aÉcris et simplifie la relation d'Euler pour $y' = 2y - 6$ et $h = 0{,}1$.
2. bÉcris et simplifie la relation d'Euler pour $y' = -0{,}3y + 9$ et $h = 0{,}5$.
3. cÉcris et simplifie la relation d'Euler pour $y' = -4y$ et $h = 0{,}2$. Précise la nature de la suite $(y_n)$.
4. dAvec $h = 0{,}1$, la relation d'Euler d'une équation $y' = ay + b$ est $y_{n+1} = 0{,}7y_n + 1{,}2$. Retrouve $a$ et $b$.
5. eÉcris et simplifie la relation d'Euler pour $y' = 5 - y$ et $h = 0{,}4$.
6. fChloé traite $y' = 0{,}5y + 3$ avec $h = 0{,}2$. Elle écrit $y_{n+1} = 1{,}1y_n + 3$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 37★★★Automatismes : pas, étapes et premier pas — Dans chaque item, on applique la méthode d'Euler à partir de l'instant $t_0$ avec un pas $h$. À chaque étape, $t$ avance de $h$.

1. a$t_0 = 0$ et $h = 0{,}2$ : combien d'étapes faut-il pour obtenir une valeur approchée de $y(3)$ ?
2. b$t_0 = 1$ et $h = 0{,}25$ : combien d'étapes faut-il pour atteindre $t = 4$ ?
3. c$t_0 = 0$ et $h = 0{,}1$ : quelle est la valeur de $t_7$ ?
4. d$t_0 = 2$ et $h = 0{,}5$ : $y_6$ est une valeur approchée de $y(t)$ pour quelle valeur de $t$ ?
5. e$y' = -0{,}5y + 4$, $y(0) = 10$ et $h = 0{,}2$ : calcule $y_1$. De quel nombre est-ce une valeur approchée ?
6. fNathan traite $y' = 0{,}2y + 1$, $y(0) = 5$, $h = 0{,}5$. Il écrit $y_1 = 5 + 0{,}5(0{,}2 \times 0 + 1) = 5{,}5$, donc $y(0{,}5) = 5{,}5$. Corrige ses deux erreurs.

Ex. 38★★★Perfusion à Brest : le tableau d'Euler — À l'hôpital de Brest, un patient reçoit un médicament en perfusion. La quantité de médicament dans son sang, en mg, est la solution $y$ de $(E) : y' = -0{,}4y + 6$ telle que $y(0) = 5$, avec $t$ en heures. On applique la méthode d'Euler avec le pas $h = 0{,}5$.

1. aMontre que $y_{k+1} = 0{,}8y_k + 3$.
2. bComplète le tableau des étapes :

   k	t_k	y_k
   0	0	5
   1	0,5	…
   2	…	…
   3	…	…
   4	…	…

3. cRésous $(E)$, puis détermine la solution telle que $y(0) = 5$.
4. dDonne la valeur exacte de $y(2)$, puis son arrondi à $10^{-3}$. Calcule l'écart avec $y_4$ et conclus dans le contexte.

Ex. 39★★★Condensateur à Lorient : corriger un programme — À Lorient, Malo étudie la charge d'un condensateur. La tension, en volts, est la solution $y$ de $y' = -2{,}5y + 15$ avec $y(0) = 0$ ($t$ en secondes). Il veut approcher $y(0{,}5)$ par la méthode d'Euler avec $h = 0{,}1$. Il écrit : def euler(n): h = 0.1 t = 0 y = 0 d = 0 for k in range(n): y = y + h * d d = -2.5 * y + 15 return t, y

1. aMontre que $y_{k+1} = 0{,}75y_k + 1{,}5$, puis calcule $y_1$ et $y_2$ à la main.
2. bQuelle valeur de n faut-il passer à la fonction pour approcher $y(0{,}5)$ ? Justifie.
3. cLa boucle de Malo contient deux erreurs. Repère-les, puis écris la boucle corrigée.
4. dQue renvoie le programme corrigé avec la valeur de n trouvée plus haut ? Arrondis à $10^{-3}$.
5. eOn admet que $y(t) = 6 - 6e^{-2{,}5t}$. Calcule $y(0{,}5)$ à $10^{-3}$ près, puis l'écart avec la valeur d'Euler.

Ex. 40★★★Truites près de Gérardmer : l'effet du pas — On introduit 200 truites dans un lac près de Gérardmer. Le nombre de truites $t$ années plus tard est modélisé par la solution $y$ de $y' = 0{,}3y$ telle que $y(0) = 200$. On veut estimer $y(2)$.

1. aAvec $h = 1$, montre que la suite $(y_n)$ de la méthode d'Euler est géométrique, puis calcule $y_2$.
2. bAvec $h = 0{,}5$, combien d'étapes faut-il pour atteindre $t = 2$ ? Calcule la valeur approchée obtenue, arrondie à l'unité.
3. cRésous $y' = 0{,}3y$ avec $y(0) = 200$. Donne la valeur exacte de $y(2)$, puis son arrondi à l'unité.
4. dCalcule l'écart entre la valeur exacte et chaque valeur d'Euler, arrondi au dixième. Quel pas donne la meilleure estimation ?

Ex. 41★★★Thé à Colmar : Euler, seuil et programme — À Colmar, Lina sert un thé à 90 °C dans une pièce à 20 °C. La température du thé, en °C, est la solution $f$ de $(E) : y' = -0{,}2y + 4$ telle que $f(0) = 90$, avec $t$ en minutes. On applique la méthode d'Euler avec le pas $h = 0{,}5$ : $t_k = 0{,}5k$ et $y_0 = 90$.

1. aMontre que $y_{k+1} = 0{,}9y_k + 2$, puis complète le tableau

   k	t_k	y_k
   0	0	90
   1	0,5	…
   2	1	…

   et donne une valeur approchée de la température à 1 min.
2. bRésous $(E)$, puis détermine $f$. Calcule $f(1)$ arrondi au centième et l'écart avec la valeur d'Euler de la question précédente.
3. cPour savoir quand le thé passe sous 50 °C, Lina écrit le programme ci-dessous. Qu'affiche-t-il ? Justifie avec les valeurs de $y_k$. t = 0 y = 90 while y > 50: y = 0.9 * y + 2 t = t + 0.5 print(t)
4. dInès a oublié la ligne t = t + 0.5. Hugo a écrit cette ligne avant celle qui calcule y. Qu'affiche chacun des deux programmes ? Justifie.
5. eDétermine par le calcul l'instant exact où le thé atteint 50 °C, en valeur exacte puis arrondi au centième. Compare avec le résultat du programme de Lina.

Ex. 42★★★Désintégration à Grenoble : nombre d'étapes et précision — Au laboratoire de Grenoble, Zoé étudie un échantillon de 400 mg d'une substance radioactive. La masse restante, en mg, au bout de $t$ années est la solution $f$ de $(E) : y' = -0{,}04y$ telle que $f(0) = 400$.

1. aRésous $(E)$, puis détermine $f$. Calcule la demi-vie de la substance, en valeur exacte puis arrondie au centième.
2. bOn applique la méthode d'Euler avec $h = 2$ et $y_0 = 400$. Montre que $(y_n)$ est géométrique, puis exprime $y_n$ en fonction de $n$.
3. cAvec $h = 2$, combien d'étapes faut-il pour estimer $f(14)$ ? Calcule cette estimation, arrondie au centième.
4. dZoé programme la fonction ci-dessous. Pour estimer $f(14)$ avec $h = 0{,}5$, Yanis tape euler(0.5, 14). A-t-il raison ? Justifie et donne le bon appel. def euler(h, n): y = 400 for k in range(n): y = y + h * (-0.04 * y) return y
5. ePour $f(14)$, Python affiche :

   h	0,5	0,1
   valeur affichée	227,19	228,23

   Calcule $f(14)$ arrondi au centième, puis compare les écarts obtenus pour $h = 2$, $h = 0{,}5$ et $h = 0{,}1$. Conclus.