Terminale spécialité / Équations différentielles

Ex. 1★★★Solution ou pas ? — Dans chaque cas, dis si la fonction $g$ est solution de l'équation sur $\mathbb{R}$. Justifie par deux calculs séparés et une phrase de conclusion.

1. a$g(x) = 2\mathrm{e}^{-3x} + 4$ et $y' = -3y + 12$.
2. b$g(x) = x^2 + 1$ et $y' = 2y - 2x^2$.
3. c$g(x) = 6\mathrm{e}^{-0{,}4x} + 2$ et $5y' + 2y = 4$
   (commence par isoler $y'$).
4. d$g(x) = 4x - 1$ et $y' = y - 4x + 5$.
5. e$g(x) = 3\mathrm{e}^{\frac{x}{2}} + x$ et $y' = 0{,}5y$.

Ex. 2★★★Toutes les solutions de y′ = f — Donne toutes les solutions de chaque équation sur l'intervalle indiqué. Isole d'abord $y'$ si besoin.

1. a$y' = 6x^2 - 4x + 1$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$3y' = 6\mathrm{e}^{-2x}$ sur $\mathbb{R}$.
3. c$y' - \dfrac{3}{x} = 0$ sur $]0\,;+\infty[$.
4. d$y' = 2x\mathrm{e}^{x^2}$ sur $\mathbb{R}$.
5. e$y' = \dfrac{1}{(x+1)^2}$ sur $]-1\,;+\infty[$.

Ex. 3★★★Le bon exposant — On considère l'équation $(E)$ : $y' + 4y = 8$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $m$, on pose $g(x) = 5\mathrm{e}^{mx} + 2$.

1. aÉcris $(E)$ sous la forme $y' = ay + b$ et donne $a$ et $b$.
2. bLéa écrit : « $g' = -4g + 8$, donc $g$ est solution. » Explique pourquoi cela ne prouve rien.
3. cOn prend $m = 1$. Prouve que $g$ n'est pas solution de $(E)$ en choisissant une valeur de $x$.
4. dDans le cas général, exprime $g'(x)$, puis $-4g(x) + 8$, en fonction de $x$ et de $m$.
5. eDétermine $m$ pour que $g$ soit solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.

Ex. 4★★★Noé et « la » solution — On considère $(E)$ : $y' = 3\mathrm{e}^{3x} - 2x$ sur $\mathbb{R}$. Noé écrit : « La solution de $(E)$ est $y = \mathrm{e}^{3x} - x^2$. »

1. aExplique l'erreur de Noé, puis donne toutes les solutions de $(E)$.
2. bDétermine la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 4$.
3. cDétermine la solution $g$ de $(E)$ telle que $g(1) = \mathrm{e}^3$, puis calcule $g(0)$.
4. dAmbre affirme : « $h(x) = \mathrm{e}^{3x} - x^2 + 3x$ est aussi solution de $(E)$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 5★★★Une famille de solutions et l'erreur d'Inès — On considère l'équation $(E)$ : $2y' + 3y = 3x + 8$ sur $\mathbb{R}$.

1. aÉcris $(E)$ sous la forme $y' = \ldots$ en isolant $y'$.
2. bMontre que la fonction $g : x \mapsto x + 2$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
3. cPour tout réel $C$, on pose $h_C(x) = C\mathrm{e}^{-1{,}5x} + x + 2$. Montre que $h_C$ est solution de $(E)$, quel que soit $C$.
4. dDétermine le réel $C$ tel que $h_C(0) = 5$, puis donne l'expression de cette fonction.
5. eInès écrit : « $k(x) = \mathrm{e}^{-1{,}5x} + x$ vérifie $k' = -1{,}5k + 1{,}5x + 4$, donc $k$ est solution. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 6★★★Une primitive cherchée sous une forme imposée — On considère l'équation $(E)$ : $y' = (x + 1)\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$. Pour tous réels $a$ et $b$, on pose $G(x) = (ax + b)\mathrm{e}^{x}$.

1. aDétermine les réels $a$ et $b$ tels que $G$ soit solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
2. bDéduis-en toutes les solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$. Justifie.
3. cDétermine la solution de $(E)$ dont la courbe passe par le point $A(1\,;2\mathrm{e})$.
4. dLucas affirme : « Il existe une solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 1$ et $f(1) = 3$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 7★★★Vrai ou faux sur une même équation — On considère l'équation $(E)$ : $y' = 2y - 4x + 2$ sur $\mathbb{R}$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, et justifie.

1. aAffirmation : « La fonction $f : x \mapsto \mathrm{e}^{2x} + 2x$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$. »
2. bAffirmation : « La fonction $g : x \mapsto \mathrm{e}^{2x} + 2x + 1$ est solution de $(E)$ sur $\mathbb{R}$. »
3. cAffirmation : « Si $u$ et $v$ sont deux solutions de $(E)$, alors $u + v$ est aussi solution de $(E)$. »
4. dAffirmation : « Si $u$ est solution de $(E)$, alors $x \mapsto u(x) - 2x$ est solution de $y' = 2y$. »

Ex. 8★★★Isoler $y'$ pour lire $a$ — Pour chaque équation différentielle, isole $y'$, donne le réel $a$, puis écris toutes les solutions sur $\mathbb{R}$.

Ex. 9★★★Une condition, une seule solution — Dans chaque cas, détermine la solution $f$ de l’équation différentielle qui vérifie la condition donnée.

1. a$y' = 4y$ et $y(0) = 5$
2. b$y' = 2y$ et $y(1) = 3$
3. c$y' = -y$ et $y(5) = 0$
4. d$y' + 2y = 0$ et $y(-1) = 4$
5. e$3y' = y$ et $y(3) = -2$
6. f$y' = -4y$ et $y(\ln 2) = 1$

Ex. 10★★★Vrai ou faux sur les solutions — On considère l’équation différentielle $(E) : 5y' = 2y$ sur $\mathbb{R}$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie.

1. a« La fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{0{,}4x}$ est la seule solution de $(E)$. »
2. b« La solution de $(E)$ qui vaut $-3$ en $0$ est décroissante sur $\mathbb{R}$. »
3. c« Une solution de $(E)$ peut s’annuler en $2$ sans être la fonction nulle. »
4. d« Toute solution de $(E)$ tend vers $0$ en $-\infty$. »

Ex. 11★★★Un quotient constant — Une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ ne s’annule pas. Pour tout réel $x$, elle vérifie $\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{1}{4}$. De plus, $f(2) = 6$.

1. aJustifie que $f$ est solution d’une équation $y' = ay$ et précise la valeur de $a$.
2. bTom affirme : « comme $f(2) = 6$, la constante vaut $C = 6$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis donne $f(x)$.
3. cÉtudie le sens de variation de $f$ et sa limite en $+\infty$.
4. dRésous l’inéquation $f(x) \geqslant 3$.

Ex. 12★★★Démontrer le théorème, puis l’utiliser — On considère l’équation différentielle $(E) : 4y' - 3y = 0$ sur $\mathbb{R}$.

1. aIsole $y'$ et donne le réel $a$ tel que $(E)$ s’écrive $y' = ay$.
2. bSoit $f$ une solution de $(E)$ et $g(x) = f(x)\mathrm{e}^{-ax}$ sur $\mathbb{R}$. Montre que $g$ est constante.
3. cDéduis-en l’expression de toute solution de $(E)$, puis vérifie la réciproque.
4. dDétermine la solution $h$ de $(E)$ telle que $h(2) = -5$.
5. eDonne le signe de $h(x)$, le sens de variation de $h$ et ses limites en $-\infty$ et en $+\infty$. Justifie.

Ex. 13★★★Retrouver $a$ et $C$ à partir de deux points — Lina cherche une solution $f$ d’une équation $y' = ay$, où le réel $a$ est inconnu. La courbe de $f$ passe par les points $A(1\,;\,6)$ et $B(3\,;\,54)$. On note $f(x) = C\mathrm{e}^{ax}$.

1. aÉcris les deux égalités vérifiées par $C$ et $a$. Justifie que $C \neq 0$.
2. bDéduis-en que $\mathrm{e}^{2a} = 9$, puis la valeur exacte de $a$.
3. cCalcule $C$. Écris ensuite $f(x)$ sous la forme $k \times b^x$, avec $k$ et $b$ entiers.
4. dDétermine le plus petit entier $n$ tel que $f(n) \geqslant 10\,000$.
5. eMontre que $f(x+1) = 3f(x)$ pour tout réel $x$. Ben dit : « quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $3$ ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 14★★★Tangentes aux courbes des solutions — Soit $a$ un réel non nul. Soit $f$ une solution non nulle de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$. Soit $x_0$ un réel. On note $T$ la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $x_0$.

1. aJustifie que $f(x_0) \neq 0$. Donne ensuite une équation de $T$ en fonction de $a$, $x_0$ et $f(x_0)$.
2. bMontre que $T$ coupe l’axe des abscisses en un point dont tu donneras l’abscisse en fonction de $x_0$ et $a$.
3. cApplication : $f$ est une solution non nulle de $2y' + 5y = 0$. Où la tangente au point d’abscisse $1$ coupe-t-elle l’axe des abscisses ?
4. dDétermine $a$ et la solution $g$ de $y' = ay$ dont la courbe passe par $M(1\,;\,3)$ et dont la tangente en $M$ passe par $N(4\,;\,0)$.
5. eÉtudie les variations de $g$ et sa limite en $+\infty$. Sa courbe coupe-t-elle celle de la solution $k$ de la même équation telle que $k(0) = 4$ ? Justifie.

Ex. 15★★★Solution constante et forme générale — Pour chaque équation, isole $y'$ si besoin, puis donne la solution constante $c$ et toutes les solutions sur $\mathbb{R}$.

Ex. 16★★★Trouver l'unique solution — Pour chaque équation, détermine l'unique solution $f$ qui vérifie la condition donnée.

1. a$y' = -2y + 8$ et $f(0) = 10$
2. b$y' = 3y + 6$ et $f(0) = 0$
3. c$y' = 0{,}5y - 3$ et $f(0) = 6$
4. d$y' = -4y + 2$ et $f(0) = -1$
5. e$y' = 2y + 14$ et $f(1) = -4$
6. f$y' = -y + 3$ et $f(\ln 2) = 4$

Ex. 17★★★L'erreur de Léa — Léa doit résoudre $(E) : 4y' + 8y = 12$ avec la condition $y(0) = 5$. Elle écrit : « Les solutions sont les fonctions $x \mapsto C\mathrm{e}^{-2x} + 3$ ; comme $y(0) = 5$, on a $C = 5$. »

1. aIsole $y'$ dans $(E)$, puis donne les réels $a$ et $b$.
2. bRepère les deux erreurs de Léa et explique-les.
3. cDétermine la bonne solution $f$, puis vérifie qu'elle est solution de $(E)$ et que $f(0) = 5$.
4. dÉtudie le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$, puis donne sa limite en $+\infty$.

Ex. 18★★★Vrai ou faux sur une même équation — On considère l'équation $(E) : y' = 0{,}4y - 2$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie.

1. a« La fonction constante égale à $-5$ est solution de $(E)$. »
2. b« La solution $f$ de $(E)$ telle que $f(5) = 7$ est $f(x) = 2\mathrm{e}^{0{,}4x} + 5$. »
3. c« Toutes les solutions de $(E)$ ont pour limite $5$ en $+\infty$. »
4. d« La solution $g$ de $(E)$ telle que $g(0) = 3$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. »

Ex. 19★★★Une condition loin de 0 — On considère l'équation différentielle $(E) : 2y' - y = 4$, où $y$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. aIsole $y'$ dans $(E)$, puis donne les réels $a$ et $b$ et la solution constante $c$ de $(E)$.
2. bDonne toutes les solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
3. cDétermine l'unique solution $f$ de $(E)$ telle que $f(2) = -1$, puis vérifie qu'elle est bien solution de $(E)$.
4. dRésous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x) \geqslant 0$. Donne la valeur exacte de la borne, puis son arrondi à $10^{-2}$.
5. eSoit $y_0$ un réel et $g$ la solution de $(E)$ telle que $g(2) = y_0$. Selon les valeurs de $y_0$, donne le sens de variation de $g$ et sa limite en $+\infty$.

Ex. 20★★★Perfusion à l'hôpital — Un patient reçoit par perfusion 6 mg de médicament par heure. On note $q(t)$ la quantité de médicament dans le sang (en mg) au bout de $t$ heures, avec $q(0) = 0$. L'organisme élimine le médicament à la vitesse $0{,}15\,q(t)$ (en mg/h). On admet que $q'(t)$ est la vitesse d'apport moins la vitesse d'élimination.

1. aTraduis l'énoncé par une équation différentielle vérifiée par $q$ sur $[0 \,;\, +\infty[$, puis donne $a$ et $b$.
2. bDonne la solution constante de cette équation, puis toutes ses solutions.
3. cHugo affirme : « Comme $q(0) = 0$, la constante $C$ vaut $0$. » A-t-il raison ? Justifie, puis donne $q(t)$.
4. dCalcule $\lim\limits_{t \to +\infty} q(t)$ et interprète ce résultat dans le contexte.
5. eLe médicament est efficace dès que $q(t) \geqslant 30$ mg. Au bout de combien de temps l'est-il ? Arrondis à la minute.

Ex. 21★★★Euler face à la solution exacte — On considère $(E) : y' = -0{,}5y + 3$ et la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 2$. On approche $f$ sur $[0 \,;\, 1]$ par la méthode d'Euler, avec un pas $h = 0{,}2$ : $x_0 = 0$, $y_0 = 2$ et $y_{k+1} = y_k + h f'(x_k)$, où $f'(x_k)$ est remplacé par $-0{,}5y_k + 3$.

1. aMontre que, pour tout entier $k$, $y_{k+1} = 0{,}9y_k + 0{,}6$.
2. bRecopie et complète le tableau.

   k	0	1	2	3
   x_k	0	0{,}2	0{,}4	0{,}6
   y_k	2

3. cComplète la ligne manquante du programme, puis indique ce qu'il affiche. def euler(h, n): y = 2 for k in range(n): y = ... return y print(round(euler(0.2, 5), 4))
4. dDétermine $f(x)$ en résolvant $(E)$, puis vérifie que $f$ est solution et que $f(0) = 2$.
5. eCalcule $f(1)$ arrondi à $10^{-4}$ et l'écart avec la valeur d'Euler. Donne enfin $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.

Ex. 22★★★Solution particulière donnée — Dans chaque cas, justifie par un calcul. Les fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$.

1. aVérifie que $g(x) = x$ est solution de $y' = 3y - 3x + 1$, puis donne toutes les solutions de cette équation.
2. bJustifie que $k(x) = \mathrm{e}^{x} + 4\mathrm{e}^{-x}$ est solution de $y' = -y + 2\mathrm{e}^{x}$.
3. cVérifie que $g(x) = -x - 2$ est solution de $2y' - y = x$, puis isole $y'$ et donne toutes les solutions.
4. dVrai ou faux ? $h(x) = x^2$ est solution de $y' = -y + x^2 + 2$. Justifie.
5. eNoé vérifie que $g(x) = x + 1$ est solution de $y' = 2y - 2x - 1$, puis il écrit : « les solutions sont les $C(x + 1)$ ». A-t-il raison ? Justifie et corrige.

Ex. 23★★★Forme imposée : identification — Les fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$. Pour chercher une solution de forme imposée : dérive, remplace dans l'équation, puis identifie les coefficients.

1. aDétermine les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $g(x) = \alpha x + \beta$ soit solution de $y' = -2y + 4x$.
2. bDéduis-en toutes les solutions de $y' = -2y + 4x$.
3. cVrai ou faux ? Il existe un réel $\alpha$ tel que $x \mapsto \alpha\mathrm{e}^{2x}$ soit solution de $y' = 2y + 3\mathrm{e}^{2x}$. Justifie.
4. dDétermine le réel $\alpha$ tel que $x \mapsto \alpha x\mathrm{e}^{2x}$ soit solution de $y' = 2y + 3\mathrm{e}^{2x}$.
5. eDétermine les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $g(x) = (\alpha x + \beta)\mathrm{e}^{-x}$ soit solution de $y' = 2y + 9x\mathrm{e}^{-x}$.

Ex. 24★★★La condition initiale porte sur la somme — On considère l'équation $(E)$ : $y' = -3y + (2x + 5)\mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$. On admet que $g(x) = (x + 2)\mathrm{e}^{-x}$ est solution de $(E)$. On cherche la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 5$.

1. aDonne toutes les solutions de $(E)$.
2. bLéa écrit : « $f(0) = 5$, donc $C\mathrm{e}^{0} = 5$, soit $C = 5$ ». A-t-elle raison ? Justifie et donne $f(x)$.
3. cDétermine $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.
4. dSans dériver $f$, calcule $f'(0)$ à l'aide de l'équation $(E)$.

Ex. 25★★★Forme trigonométrique imposée — On considère l'équation $(E)$ : $y' = -y + 2\cos x$ sur $\mathbb{R}$. On cherche une solution particulière $g$ de la forme $g(x) = a\cos x + b\sin x$, avec $a$ et $b$ réels.

1. aDétermine les réels $a$ et $b$ tels que $g$ soit solution de $(E)$.
2. bGabin écrit : « les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x \mapsto g(x) + C\mathrm{e}^{x}$, $C \in \mathbb{R}$ ». A-t-il raison ? Justifie et corrige.
3. cDétermine la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 0$.
4. dPour cette fonction $f$, justifie que $f(x) < g(x)$ pour tout réel $x$.
5. eVrai ou faux ? Pour toute solution $h$ de $(E)$, $\lim\limits_{x \to +\infty} (h(x) - g(x)) = 0$. Justifie et interprète.

Ex. 26★★★De l'équation à une inégalité — On considère l'équation $(E)$ : $y' = -y - x$ sur $\mathbb{R}$.

1. aDémontre qu'aucune fonction constante n'est solution de $(E)$.
2. bDétermine les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $g(x) = \alpha x + \beta$ soit solution de $(E)$.
3. cDémontre qu'une fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f - g$ est solution de $y' = -y$. Déduis-en toutes les solutions de $(E)$.
4. dDétermine la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 0$.
5. eÉtudie les variations de $f$ et déduis-en que, pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x} \geqslant 1 - x$.

Ex. 27★★★Une forme qui échoue, une tangente imposée — On considère l'équation $(E)$ : $y' = y + (4x - 6)\mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$. Malo cherche une solution particulière de $(E)$.

1. aMalo essaie $h(x) = \alpha\mathrm{e}^{-x}$. Démontre qu'aucun réel $\alpha$ ne convient.
2. bDétermine les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $g(x) = (\alpha x + \beta)\mathrm{e}^{-x}$ soit solution de $(E)$.
3. cDonne toutes les solutions de $(E)$.
4. dDétermine la solution $f$ de $(E)$ dont la courbe admet, au point d'abscisse $0$, une tangente de coefficient directeur $-1$.
5. eDémontre que $(E)$ admet une seule solution ayant une limite finie en $+\infty$. Donne cette solution et sa limite.

Ex. 28★★★Un comprimé dans le sang — Un patient avale un comprimé à $t = 0$ ($t$ en h). On note $q(t)$ la quantité de principe actif dans le sang, en mg, avec $q(0) = 0$. Le principe actif entre dans le sang au débit de $3\mathrm{e}^{-t}$ mg par heure, et l'organisme l'élimine à une vitesse égale à $50\,\%$ de la quantité présente, en mg par heure.

1. aJustifie que $q$ est solution d'une équation $(E)$ : $y' = ay + 3\mathrm{e}^{-t}$, en précisant la valeur de $a$.
2. bDétermine le réel $\alpha$ tel que $g(t) = \alpha\mathrm{e}^{-t}$ soit solution de $(E)$.
3. cDéduis-en l'expression de $q(t)$ pour $t \geqslant 0$.
4. dÉtudie les variations de $q$. Au bout de combien de temps la quantité est-elle maximale, et quelle est cette quantité ?
5. eCalcule $\lim\limits_{t \to +\infty} q(t)$ et interprète ce résultat.

Ex. 29★★★Traduire une phrase en équation — Traduis chaque phrase par une équation différentielle. Écris-la ensuite sous la forme $y' = ay + b$ et donne $a$ et $b$. Le temps $t$ est la variable.

1. aUn glaçon fond : sa masse $m(t)$ (en g, $t$ en min) diminue avec une vitesse proportionnelle à $m$, de coefficient $0{,}2$.
2. bUne culture de bactéries $N(t)$ ($t$ en h) augmente avec une vitesse de variation égale à 3 % de $N$.
3. cUn café refroidit dans une pièce à 22 °C : la vitesse de refroidissement de sa température $\theta(t)$ (en °C, $t$ en min) est proportionnelle à l'écart avec 22, de coefficient $0{,}08$.
4. dLa tension $u(t)$ (en V, $t$ en s) d'un condensateur vérifie $u' = \frac{E - u}{RC}$ avec $E = 12$ V et $RC = 0{,}5$ s.
5. eOn ajoute 4 g de chlore par heure dans une piscine. Le chlore disparaît à raison de 10 % de la quantité $Q(t)$ présente par heure.
6. fLa vitesse $v(t)$ (en m/s) d'un parachutiste augmente sous l'effet de $g = 9{,}8$. Elle est freinée par un frottement proportionnel à $v$, de coefficient $0{,}4$.

Ex. 30★★★Demi-vie et seuils avec ln — Rappel : si $N' = -\lambda N$ avec $\lambda > 0$, la demi-vie vaut $\frac{\ln 2}{\lambda}$. Arrondis au dixième, sauf si un entier est demandé.

1. aL'iode 131 vérifie $N' = -0{,}086N$, avec $t$ en jours. Calcule sa demi-vie.
2. bUn noyau vérifie $N' = -0{,}0012N$, avec $t$ en années. Lina affirme qu'un échantillon de 500 g a une demi-vie plus longue qu'un échantillon de 2 g. Vrai ou faux ? Justifie.
3. cUn échantillon contient $N(t) = 800\mathrm{e}^{-0{,}04t}$ noyaux, avec $t$ en années. À partir de combien d'années entières a-t-on $N(t) < 50$ ?
4. dUne ville compte $P(t) = 2000\mathrm{e}^{0{,}015t}$ habitants, avec $t$ en années. À partir de combien d'années entières a-t-on $P(t) \geqslant 3000$ ?
5. eUn isotope vérifie $N' = -0{,}3N$, avec $t$ en heures. Donne sa demi-vie en minutes.

Ex. 31★★★La tarte qui refroidit — Une tarte sort du four à 180 °C. La cuisine est à 20 °C. Sa température $\theta(t)$ (en °C, $t$ en min) vérifie $\theta' = -k(\theta - 20)$ avec $k > 0$. Au bout de 15 min, la tarte est à 100 °C.

1. aÉcris l'équation sous la forme $\theta' = a\theta + b$, puis donne sa solution constante.
2. bExprime $\theta(t)$ en fonction de $k$ et de $t$.
3. cUtilise la mesure faite à 15 min pour trouver la valeur exacte de $k$, puis un arrondi au millième.
4. dCalcule $\lim\limits_{t \to +\infty} \theta(t)$ et interprète-la. Ilyes affirme que la tarte sera à 20 °C au bout d'une heure. A-t-il raison ? Justifie.
5. eÀ partir de quel instant la tarte est-elle à 40 °C ou moins ?

Ex. 32★★★Charge d'un condensateur : Euler et solution exacte — La tension $u(t)$ (en V, $t$ en s) d'un condensateur qui se charge vérifie $u' = \frac{E - u}{RC}$ avec $E = 6$ V et $RC = 0{,}2$ s. Au départ, $u(0) = 0$.

1. aÉcris l'équation sous la forme $u' = au + b$, puis donne sa solution constante.
2. bDétermine $u(t)$. Que représente la constante d'intégration dans ce contexte ?
3. cUtilise la méthode d'Euler avec le pas $h = 0{,}05$ pour compléter le tableau.

   k	0	1	2	3	4
   t_k	0	0,05	0,1	0,15	0,2
   u_k	0

4. dCalcule la valeur exacte $u(0{,}2)$ au millième. Euler donne-t-il une valeur trop grande ou trop petite ? Explique pourquoi avec la convexité.
5. eCalcule $\lim\limits_{t \to +\infty} u(t)$ et interprète-la.

Ex. 33★★★Perfusion d'un médicament — Un patient reçoit un médicament par perfusion, au débit constant de 6 mg par heure. Son organisme élimine le médicament avec une vitesse proportionnelle à la quantité présente, de coefficient $0{,}3$. On note $Q(t)$ la quantité de médicament dans le sang (en mg), $t$ en heures, avec $Q(0) = 0$.

1. aTraduis la situation par une équation différentielle de la forme $Q' = aQ + b$. Justifie le signe de $a$ et celui de $b$.
2. bDétermine $Q(t)$ pour tout $t \geqslant 0$.
3. cÉtudie le sens de variation de $Q$ et calcule $\lim\limits_{t \to +\infty} Q(t)$. Interprète ce résultat pour le patient.
4. dLe médicament est efficace dès que $Q(t) \geqslant 15$ mg. À partir de quel instant l'est-il ? Donne la réponse en heures et minutes, arrondie à la minute supérieure.
5. eLe médecin veut que la quantité se stabilise à 25 mg. Quel débit (en mg/h) doit-il choisir ? Justifie.

Ex. 34★★★Des truites et des pêcheurs — Dans un lac sans pêche, l'effectif de truites augmente avec une vitesse proportionnelle à cet effectif, de coefficient $0{,}08$ ($t$ en années). Avec la pêche, on retire en plus 240 truites par an. On note $P(t)$ l'effectif à l'instant $t$, avec $P(0) = 2500$.

1. aTraduis la situation par une équation différentielle vérifiée par $P$. Donne sa solution constante et interprète-la.
2. bDonne la forme générale des solutions. Selon le signe de la constante $C$, donne la limite de la solution en $+\infty$.
3. cDétermine $P(t)$, puis étudie le sens de variation de $P$.
4. dQue va-t-il arriver aux truites du lac ? Justifie par un calcul et précise l'année concernée.
5. eLa mairie fixe un quota de $q$ truites pêchées par an, toujours avec $P(0) = 2500$. Quel quota maximal empêche l'effectif de diminuer ? Justifie.

Ex. 35★★★Une bille qui tombe dans l'huile — On lâche une bille dans un tube d'huile. Sa vitesse $v(t)$ (en m/s, $t$ en s) vérifie $v' = 10 - kv$, avec $k > 0$ et $v(0) = 0$. On mesure une vitesse limite de $0{,}5$ m/s.

1. aÉcris l'équation sous la forme $v' = av + b$. Exprime la vitesse limite en fonction de $k$, puis déduis-en $k$.
2. bRésous l'équation avec la condition $v(0) = 0$.
3. cÀ partir de quel instant la vitesse dépasse-t-elle 99 % de la vitesse limite ? Donne la réponse en ms, arrondie à l'unité supérieure.
4. dLa méthode d'Euler de pas $h = 0{,}01$ donne $v_0 = 0$ et $v_{n+1} = v_n + 0{,}01(10 - 20v_n)$. Montre que $w_n = v_n - 0{,}5$ définit une suite géométrique, puis exprime $v_n$ en fonction de $n$.
5. eQue renvoie seuil(0.01) ? Justifie à l'aide de $v_n$, traduis ce résultat en instant et compare-le à l'instant exact trouvé plus haut. def seuil(h): v = 0 n = 0 while v < 0.495: v = v + h * (10 - 20 * v) n = n + 1 return n

Ex. 36★★★Automatismes : un pas d'Euler — Dans chaque cas, on applique la méthode d'Euler de pas $h$ ; $f$ désigne la solution exacte et $y_n$ la valeur approchée de $f(x_n)$.

1. aOn donne $2y' - 6y = 4$. Isole $y'$, puis exprime $y_{n+1}$ en fonction de $y_n$ pour $h = 0{,}1$.
2. bOn part de $x_0 = 2$ avec $h = 0{,}05$. Calcule $x_6$.
3. cOn part de $x_0 = 0{,}5$ avec $h = 0{,}1$. Combien d'étapes faut-il pour obtenir une valeur approchée de $f(2)$ ?
4. dPour $y' = -4y$, $y(0) = 5$ et $h = 0{,}05$ : exprime $y_{n+1}$ en fonction de $y_n$, puis $y_n$ en fonction de $n$.
5. ePour $y' = 0{,}5y + 1$, $y(0) = 2$ et $h = 0{,}2$ : calcule $y_1$ puis $y_2$.
6. fPour $y' = -y + 5$, $y(1) = 2$ et $h = 0{,}1$ : de quel nombre $y_3$ est-il une valeur approchée ?

Ex. 37★★★Vrai ou faux sur la méthode d'Euler — Vrai ou faux ? Justifie. Dans chaque cas, $y_n$ est la valeur obtenue par la méthode d'Euler de pas $h$, en partant de $x_0 = 0$.

1. aPour $y' = -2y + 4$, $y(0) = 0$ et $h = 0{,}1$, on obtient $y_1 = 0{,}4$.
2. bPour $y' = 5y$, $y(0) = 1$ et $h = 0{,}1$, on obtient $y_2 = \mathrm{e}$.
3. cPour $y' = -3y + 6$ et $h = 0{,}1$, on a $y_{n+1} = 0{,}7y_n + 0{,}6$.
4. dPour $y' = y - 3$ et $y(0) = 3$, toutes les valeurs $y_n$ sont égales à $3$, quel que soit le pas $h$.
5. ePour $h = 0{,}5$, on a $x_4 = 4$.
6. fPour $y' = 4y + 1$ et $h = 0{,}1$, on a $y_{n+1} = y_n + 0{,}4y_n + 1$.

Ex. 38★★★Un thé qui refroidit — Un thé est posé dans une pièce à 20 °C. Sa température $T(t)$, en °C, $t$ en min, vérifie $T' = -0{,}2(T - 20)$ et $T(0) = 80$. On applique la méthode d'Euler avec un pas $h = 1$ min.

1. aMets l'équation sous la forme $T' = aT + b$, puis exprime $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$.
2. bComplète le tableau :

   n	0	1	2	3	4
   t_n	0	1	2	3	4
   T_n	80

3. cRésous l'équation avec la condition $T(0) = 80$, puis calcule $T(4)$ arrondi à $0{,}01$.
4. dLa méthode d'Euler donne-t-elle une valeur trop grande ou trop petite de $T(4)$ ? Calcule l'écart.

Ex. 39★★★Perfusion : corriger le programme de Lou — Une perfusion apporte un médicament. La quantité $Q(t)$ dans le sang, en mg, $t$ en h, vérifie $(E)$ : $Q' = -0{,}5Q + 3$ et $Q(0) = 0$. Lou a écrit ce programme pour appliquer la méthode d'Euler : def euler(h, n): t = 0 q = 0 for k in range(n): q = q + (-0.5 * q + 3) t = t + h return q

1. aLe programme contient une erreur. Explique-la et corrige la ligne fautive.
2. bLou appelle euler(0.25, 2) pour approcher $Q(2)$. Est-ce le bon appel ? Justifie, puis donne la valeur obtenue avec le programme corrigé.
3. cLe nuage représente les points $(k ; Q_k)$ obtenus avec $h = 0{,}5$. Vers quelle valeur les $Q_k$ semblent-ils tendre ? Justifie avec $(E)$.
4. dAvec $h = 0{,}5$, exprime $Q_{n+1}$ en fonction de $Q_n$. On pose $u_n = Q_n - \ell$, où $\ell$ est la valeur trouvée à la question précédente. Exprime $Q_n$ en fonction de $n$.

Ex. 40★★★Parachutiste : Euler et suite géométrique — La vitesse $v(t)$ d'un parachutiste, en m/s, $t$ en s, vérifie $(E)$ : $v' = 10 - 0{,}5v$ et $v(0) = 0$. On applique la méthode d'Euler de pas $h > 0$ à partir de $t_0 = 0$ : $v_n$ est la valeur approchée de $v(t_n)$.

1. aExprime $t_n$ en fonction de $n$ et de $h$, puis montre que $v_{n+1} = (1 - 0{,}5h)v_n + 10h$.
2. bOn pose $w_n = v_n - 20$. Montre que $(w_n)$ est géométrique, puis exprime $v_n$ en fonction de $n$ et de $h$.
3. cOn prend $h = 0{,}5$. Combien d'étapes faut-il pour atteindre $t = 2$ ? Donne la valeur approchée de $v(2)$ obtenue, arrondie à $0{,}01$.
4. dRésous $(E)$ avec la condition $v(0) = 0$. Calcule $v(2)$ arrondie à $0{,}01$ et l'écart avec la question précédente.
5. eCalcule l'écart obtenu avec $h = 0{,}25$ et commente. Détermine $\lim\limits_{t \to +\infty} v(t)$ et interprète-la.

Ex. 41★★★Charge d'un condensateur : seuil et programme — Lors de la charge d'un condensateur, la tension $u(t)$, en V, $t$ en s, est nulle à $t = 0$. Sa vitesse de variation est égale au double de l'écart entre 6 V et $u(t)$. On note $u_n$ la valeur approchée de $u(t_n)$ donnée par la méthode d'Euler de pas $h$, avec $t_0 = 0$. Alba écrit ce programme : def seuil(h): t = 0 u = 0 while u < 5: u = u + h * (-2 * u + 12) t = t + h return t

1. aTraduis la phrase de l'énoncé par une équation différentielle de la forme $u' = au + b$. Donne sa solution constante.
2. bPour $h = 0{,}1$, recopie et complète le tableau (valeurs exactes) :

   n	0	1	2	3	4
   t_n	0
   u_n	0

3. cMontre que, pour $h = 0{,}1$, $u_{n+1} = 0{,}8u_n + 1{,}2$. En admettant que $u_n = 6 - 6 \times 0{,}8^n$, détermine la valeur renvoyée par seuil(0.1) et ce qu'elle représente.
4. dRésous l'équation avec $u(0) = 0$. Détermine l'instant exact où la tension atteint 5 V, puis la limite de $u$ en $+\infty$ et son sens.
5. eRayan a oublié la ligne 6 (t = t + h). Que renvoie alors seuil(0.1) ? Explique pourquoi ce résultat est faux.

Ex. 42★★★Poissons d'un étang : retrouver le pas — Dans un étang, le nombre de poissons $P(t)$, en milliers, $t$ en années, vérifie $(E)$ : $P' = 0{,}2P - 1$ et $P(0) = 8$. Léon applique la méthode d'Euler à partir de $t_0 = 0$, mais il a oublié de noter son pas $h$. Voici le nuage des points $(k ; P_k)$ qu'il a obtenus ; on lit $P_1 = 8{,}3$.

1. aExprime $P_1$ en fonction de $h$, puis déduis-en le pas utilisé par Léon.
2. bExprime $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$, puis montre que la suite $(P_n - 5)$ est géométrique. Exprime $P_n$ en fonction de $n$.
3. cQuel point du nuage approche $P(2)$ ? Résous $(E)$, puis compare $P(2)$ à cette valeur approchée
   (à $10^{-3}$ près).
4. dOn admet que $\mathrm{e}^u \geqslant 1 + u$ pour tout réel $u$. Montre que $P_n \leqslant P(t_n)$ pour tout entier naturel $n$ et interprète.
5. eNinon code la méthode dans une fonction pop(h, n) censée renvoyer $P_n$, avec la boucle for k in range(1, n):. Que renvoie pop(0.5, 4) ? Corrige la boucle.

Ex. 43★★★Automatismes : solution particulière et condition initiale — Dans chaque question, $(E)$ désigne l'équation différentielle indiquée, posée sur $\mathbb{R}$.

1. aVérifie que la fonction $g$ définie par $g(x) = 2x$ est solution de $(E)$ : $y' = 3y - 6x + 2$.
2. bLa fonction $g$ définie par $g(x) = \cos x + \sin x$ est solution de $(E)$ : $y' = -y + 2\cos x$. Écris toutes les solutions de $(E)$.
3. cLa fonction $g$ définie par $g(x) = \mathrm{e}^{-x}$ est solution de $(E)$ : $y' = 2y - 3\mathrm{e}^{-x}$. Détermine la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 4$.
4. dPour $(E)$ : $y' = -4y + 8x$, de solution particulière $g(x) = 2x - \frac{1}{2}$, Sacha cherche $f$ avec $f(0) = 1$. Il écrit $C\mathrm{e}^{0} = 1$, donc $f(x) = 2x - \frac{1}{2} + \mathrm{e}^{-4x}$. Corrige son erreur.
5. e$f$ et $g$ sont deux solutions de $(E)$ : $y' = 5y + x^2$. Montre que $f - g$ est solution de $y' = 5y$, puis donne la forme de $f - g$.

Ex. 44★★★Automatismes : trouver une solution particulière — Dans chaque question, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ désignent des réels à déterminer.

1. aDétermine $\alpha$ et $\beta$ tels que $x \mapsto \alpha x + \beta$ soit solution de $y' = 2y + 4x$.
2. bDétermine $\alpha$ tel que la fonction $x \mapsto 2\mathrm{e}^{-x}$ soit solution de $y' = \alpha y + 4\mathrm{e}^{-x}$.
3. cJustifie qu'aucune fonction $x \mapsto \alpha\mathrm{e}^{3x}$ n'est solution de $y' = 3y + 6\mathrm{e}^{3x}$, puis trouve $\alpha$ tel que $x \mapsto \alpha x\mathrm{e}^{3x}$ le soit.
4. dDétermine $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ tels que $x \mapsto \alpha x^2 + \beta x + \gamma$ soit solution de $y' = -2y + 4x^2$.
5. e$g(x) = x + 1$ est solution de $y' = y - x$. Hugo affirme que les solutions sont les fonctions $x \mapsto C(x + 1)$. Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 45★★★Extrait de bac : de l'équation à l'étude de fonction — Partie A. On considère l'équation $(E)$ : $y' = -y + 2x + 1$ sur $\mathbb{R}$. Partie B. On étudie la solution $f$ de $(E)$ qui vérifie $f(0) = 2$.

1. aPartie A. Montre que la fonction $g$ définie par $g(x) = 2x - 1$ est solution de $(E)$.
2. bPartie A. Déduis-en toutes les solutions de $(E)$, puis l'expression de $f$.
3. cPartie B. Étudie le signe de $f'(x)$ et dresse le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$. Donne la valeur exacte du minimum.
4. dPartie B. Calcule $\lim\limits_{x \to +\infty} \big(f(x) - (2x - 1)\big)$ et interprète graphiquement le résultat.

Ex. 46★★★Le saut d'Inès : vitesse limite et méthode d'Euler — Inès saute en parachute. Sa vitesse $v(t)$, en m/s, à l'instant $t$ en secondes, vérifie $v' = 10 - 0{,}5v$ et $v(0) = 0$.

1. aDétermine l'expression de $v(t)$ pour $t \geqslant 0$.
2. bCalcule $\lim\limits_{t \to +\infty} v(t)$ et interprète ce résultat dans le contexte.
3. cÀ partir de quel instant la vitesse d'Inès atteint-elle $19$ m/s ? Donne la valeur exacte, puis un arrondi au centième.
4. dAvec un pas de $0{,}5$ s, Euler donne $v_{k+1} = v_k + 0{,}5 \times (10 - 0{,}5v_k)$. Complète le tableau, puis compare $v_3$ à $v(1{,}5)$.

   k	0	1	2	3
   t_k	0	0{,}5	1	1{,}5
   v_k	0

Ex. 47★★★Le comprimé de Malik : de l'équation au pic de concentration — Malik avale un comprimé à l'instant $t = 0$ ($t$ en heures). La quantité de principe actif dans son sang, en mg, est $q(t)$, avec $q(0) = 0$. Le passage depuis l'estomac et l'élimination conduisent à l'équation $(E)$ : $y' = -0{,}2y + 6\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ sur $[0 ; +\infty[$.

1. aPartie A. Détermine le réel $\alpha$ tel que la fonction $g$ définie par $g(t) = \alpha\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ soit solution de $(E)$.
2. bPartie A. Démontre qu'une fonction $h$ dérivable est solution de $(E)$ si et seulement si $h - g$ est solution de $(E_0)$ : $y' = -0{,}2y$. Déduis-en les solutions de $(E)$.
3. cPartie A. Détermine l'expression de $q(t)$ pour $t \geqslant 0$.
4. dPartie B. Étudie les variations de $q$ sur $[0 ; +\infty[$. Au bout de combien de temps la quantité est-elle maximale ? Donne ce temps et ce maximum arrondis au dixième.
5. ePartie B. Détermine $\lim\limits_{t \to +\infty} q(t)$ et interprète ce résultat pour Malik.

Ex. 48★★★Le café de Lina : seuil exact et méthode d'Euler — Lina se sert un café à 80 °C dans une pièce à 20 °C. Sa température $\theta(t)$, en °C, $t$ minutes plus tard, vérifie $\theta' = -0{,}1\theta + 2$. Elle le boit dès qu'il atteint 50 °C. On admet que pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x} \geqslant 1 + x$.

1. aDétermine $\theta(t)$ pour $t \geqslant 0$, puis $\lim\limits_{t \to +\infty} \theta(t)$. Interprète cette limite.
2. bDétermine par le calcul au bout de combien de temps Lina peut boire son café. Donne le résultat en minutes et secondes.
3. cAvec la méthode d'Euler de pas $h = 1$, on note $\theta_n$ l'approximation de $\theta(n)$, avec $\theta_0 = 80$. Montre que $\theta_{n+1} = 0{,}9\theta_n + 2$.
4. dComplète la ligne 4 du programme pour qu'il affiche le premier $n$ tel que $\theta_n \leqslant 50$, puis donne la valeur affichée. theta = 80 n = 0 while theta > 50: theta = ... n = n + 1 print(n)
5. eMontre que $\theta_n = 20 + 60 \times 0{,}9^n$, puis compare $\theta_n$ et $\theta(n)$ : la méthode d'Euler sous-estime-t-elle ou surestime-t-elle la température ?

Ex. 49★★★Les poissons du lac : pêche intensive et extinction — Dans un lac, on note $P(t)$ le nombre de poissons, en milliers, $t$ années après 2026. Avec une pêche qui s'intensifie chaque année, on admet que $P$ est solution de $(E)$ : $y' = 0{,}2y - 0{,}4t - 1$ sur $[0 ; +\infty[$, et que $P(0) = 10$.

1. aVrai ou faux ? « L'équation $(E)$ admet une unique solution affine. » Justifie.
2. bDéduis-en toutes les solutions de $(E)$.
3. cDétermine $P(t)$ pour $t \geqslant 0$, puis le nombre de poissons dans le lac en 2028, arrondi à la centaine.
4. dÉtudie les variations de $P$ sur $[0 ; +\infty[$. En quelle année la population est-elle maximale, et environ combien de poissons compte-t-elle alors ?
5. eDétermine $\lim\limits_{t \to +\infty} P(t)$ et interprète. Quelle population initiale minimale aurait évité ce scénario ?