Seconde / Équations de droites

Ex. 1★★★Lire un vecteur directeur, tester un vecteur ou un point — Calcule en ligne. Le repère est orthonormé.

1. aDonne un vecteur directeur de la droite $d_1 : 3x + 5y - 1 = 0$.
2. bÉcris $d_2 : 2y = 6 - 4x$ sous la forme $ax + by + c = 0$, puis donne un vecteur directeur de $d_2$.
3. cLe vecteur $(5\,;\,3)$ dirige-t-il la droite $d_3 : 5x + 3y - 2 = 0$ ? Justifie par un calcul.
4. dLe vecteur $\vec{w}\,(6\,;\,-10)$ dirige-t-il la droite $d_3 : 5x + 3y - 2 = 0$ ? Justifie par un calcul.
5. eLe point $E\left(-1\,;\,\frac{7}{3}\right)$ appartient-il à $d_3 : 5x + 3y - 2 = 0$ ? Justifie par un calcul.
6. fDonne un vecteur directeur de $d_4 : x - 7 = 0$, puis précise la position de $d_4$ par rapport aux axes.
7. gLe vecteur $(0\,;\,0)$ peut-il diriger la droite $d_1$ ? Justifie.
8. hLa droite $(AB)$ ci-dessous, avec $A(0\,;\,2)$ et $B(4\,;\,0)$, a pour équation $x + 2y - 4 = 0$. Donne un vecteur directeur lu dans l'équation et vérifie qu'il est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$.

Ex. 2★★★Coordonnées de $\overrightarrow{AM}$ et déterminants — Calcule en ligne. $M(x\,;\,y)$ désigne un point quelconque du plan.

1. aDonne les coordonnées de $\overrightarrow{AM}$ pour $A(2\,;\,-3)$.
2. bDonne les coordonnées de $\overrightarrow{AM}$ pour $A(-4\,;\,0{,}5)$.
3. cCalcule $\det(\vec{u}, \vec{v})$ pour $\vec{u}\,(3\,;\,-2)$ et $\vec{v}\,(5\,;\,4)$.
4. dAvec les mêmes vecteurs, calcule $\det(\vec{v}, \vec{u})$. Que remarques-tu ?
5. eOn donne $A(1\,;\,-2)$ et $\vec{u}\,(4\,;\,-1)$. Développe et réduis $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u})$.
6. fLes vecteurs $(-6\,;\,9)$ et $(4\,;\,-6)$ sont-ils colinéaires ? Justifie par un calcul.

Ex. 3★★★Équation cartésienne par le déterminant — La droite $d$ passe par $A(-2\,;\,-3)$ et elle est dirigée par $\vec{u}\,(5\,;\,2)$. On donne aussi $B(8\,;\,1)$ et $C(6\,;\,1)$.

1. aPour $M(x\,;\,y)$, donne les coordonnées de $\overrightarrow{AM}$.
2. bDéveloppe $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u})$ et déduis-en une équation cartésienne de $d$.
3. cContrôle ton équation avec le point $A$.
4. dLes points $B$ et $C$ appartiennent-ils à $d$ ? Justifie par un calcul.
5. eInès trouve $-4x + 10y + 22 = 0$ et Hugo trouve $5x - 2y - 4 = 0$. Qui a raison ? Justifie.

Ex. 4★★★L'erreur de Théo — Théo cherche une équation de la droite $d$ passant par $A(4\,;\,-1)$ et dirigée par $\vec{u}\,(-2\,;\,3)$. Il écrit : « $\overrightarrow{AM}\,(x - 4\,;\,y - 1)$, donc $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = (x - 4) \times 3 - (y - 1) \times (-2) = 3x + 2y - 14$. »

1. aTeste l'équation $3x + 2y - 14 = 0$ de Théo avec le point $A$. Repère son erreur.
2. bCorrige le calcul et donne une équation cartésienne de $d$, contrôlée avec $A$.
3. cLou lit $a$ et $b$ dans ton équation et propose $(3\,;\,2)$ comme vecteur directeur de $d$. A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.
4. dLe point $G$ d'abscisse $-2$ appartient à $d$. Calcule son ordonnée avec ton équation corrigée, puis contrôle avec un déterminant.

Ex. 5★★★Démontrer la réciproque du théorème — Ben te fait démontrer la réciproque du théorème du cours. Soit $a$, $b$, $c$ trois réels, avec $a$ et $b$ non tous les deux nuls, et $E$ l'ensemble des points $M(x\,;\,y)$ tels que $ax + by + c = 0$. On veut prouver que $E$ est une droite.

1. aSi $b \neq 0$, vérifie que $A\left(0\,;\,-\frac{c}{b}\right)$ appartient à $E$. Si $b = 0$, explique pourquoi $a \neq 0$, puis vérifie que $A\left(-\frac{c}{a}\,;\,0\right)$ appartient à $E$.
2. bDans les deux cas, on pose $\vec{u}\,(-b\,;\,a)$. Explique pourquoi $\vec{u} \neq \vec{0}$ et pourquoi c'est indispensable pour un vecteur directeur.
3. cPour $M(x\,;\,y)$, développe $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u})$ (formule $xy' - yx'$, dans cet ordre), montre qu'il vaut $ax + by + c$, puis conclus.
4. dApplication : $E : 3y = 2x + 12$. Écris l'équation sous la forme $ax + by + c = 0$, donne le point $A$ et le vecteur $\vec{u}$ fournis par la démonstration, puis contrôle avec $A$.
5. eApplication au cas $b = 0$ : $E' : 2x = 5$. Écris l'équation sous la forme $ax + by + c = 0$, donne le point $A$ et le vecteur $\vec{u}$ fournis par la démonstration, contrôle avec $A$ et précise la nature de $E'$.

Ex. 6★★★Trajectoire d'un drone — Sur la carte d'un parc (repère orthonormé), un drone part du point $A(-5\,;\,3)$ et avance en ligne droite dans la direction de $\vec{u}\,(4\,;\,-2)$. On note $d$ sa trajectoire. Une balise est placée en $B(7\,;\,-3)$ et un arbre en $C(3\,;\,-2)$.

1. aPour $M(x\,;\,y)$, donne les coordonnées de $\overrightarrow{AM}$, développe $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u})$ et déduis-en une équation cartésienne de $d$. Contrôle avec $A$.
2. bNour obtient $3x + 6y - 3 = 0$ comme équation de $d$. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cLa balise $B$ et l'arbre $C$ sont-ils sur la trajectoire $d$ ? Justifie par un calcul.
4. dUne station de recharge $S(t\,;\,4)$ doit être placée sur $d$. Trouve le réel $t$.
5. eEn $B$, le drone change de direction et suit le vecteur $\vec{w}\,(3\,;\,0)$. Trouve une équation de sa nouvelle trajectoire $d'$. Que remarques-tu ?

Ex. 7★★★Vrai ou faux autour d'une même droite — On considère la droite $d : -x + 3y + 1 = 0$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie par un calcul ou un contre-exemple.

1. a« Le vecteur $(-1\,;\,3)$ est un vecteur directeur de $d$. »
2. b« Le vecteur $(6\,;\,2)$ est un vecteur directeur de $d$. »
3. c« Le point $E\left(\frac{5}{2}\,;\,\frac{1}{2}\right)$ appartient à $d$. »
4. d« Pour tout réel $k$, le vecteur $(3k\,;\,k)$ est un vecteur directeur de $d$. »
5. ePour un réel $m$, on pose $d_m : mx + (m - 2)y + 4 = 0$. « $d_m$ est parallèle à l'axe des ordonnées pour une seule valeur de $m$. »

Ex. 8★★★Automatismes : pente et ordonnée à l’origine — Calcule de tête et écris le résultat. Le repère est orthonormé.

1. aPour la droite $y = 3{,}5 - 2x$, donne la pente $m$ et l’ordonnée à l’origine $p$.
2. bÉcris l’équation réduite de la droite d’équation $2y = 5 - 6x$.
3. cDonne, sous forme de fractions, la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite $-x + 3y + 2 = 0$.
4. dLa droite d’équation $5x - 15 = 0$ a-t-elle une pente ? Justifie.
5. eDonne la pente de la droite $4y + 8 = 0$ et décris sa position dans le repère.
6. fVrai ou faux ? « $y = 2x - 4$ et $2y = 4x - 8$ sont deux équations réduites de la même droite. » Justifie.

Ex. 9★★★Automatismes : pente et vecteur directeur — Le repère est orthonormé. Réponds en une ou deux lignes.

1. aDonne un vecteur directeur de la droite $y = -4x + 1$.
2. bDonne la pente d’une droite dirigée par $\vec{w}\,(4\,;\,-6)$.
3. cDonne un vecteur directeur à coordonnées entières d’une droite de pente $-\frac{3}{4}$.
4. dUne droite est dirigée par $\vec{t}\,(0\,;\,3)$. Quelle est sa pente ?
5. eLis les coordonnées du vecteur $\vec{u}$ tracé de $P$ vers $Q$, puis donne la pente des droites qu’il dirige.
6. fVrai ou faux ? « $\vec{u}\,(2\,;\,1)$ est un vecteur directeur de la droite $y = 2x + 3$. » Justifie.

Ex. 10★★★Une droite par un point et sa pente — Ben prépare des droites pour un contrôle. Les points utiles sont placés dans le repère orthonormé ci-dessous.

1. aÉcris l’équation réduite de la droite $d$ de pente $-2$ passant par $A(-3\,;\,5)$. Contrôle ton résultat avec $A$.
2. bÉcris l’équation réduite de la droite $d'$ de pente $\frac{2}{3}$ passant par $B(6\,;\,-1)$, en gardant la pente en fraction.
3. cPour la droite de pente $3$ passant par $C(-2\,;\,4)$, Léa écrit : « $p = 4 + 3 \times (-2) = -2$, donc $y = 3x - 2$. » Montre que c’est faux, puis corrige.
4. dÉcris une équation de la droite de pente nulle passant par $D(4\,;\,-3)$, puis une équation de la droite passant par $D$ parallèle à l’axe des ordonnées. Laquelle n’a pas d’équation réduite ?

Ex. 11★★★Carte d’un jeu vidéo : lire des équations réduites — Sur la carte d’un jeu vidéo, munie d’un repère orthonormé, trois routes rectilignes passent par des points du quadrillage : $(AB)$, $(CD)$ et $(EF)$.

1. aLis sur la figure l’équation réduite de la route $(AB)$. Explique comment tu lis la pente.
2. bLis sur la figure l’équation réduite de la route $(CD)$. Contrôle-la avec le point $C$.
3. cMax affirme : « La route $(EF)$ a pour équation réduite $y = 5$. » Corrige son erreur.
4. dUn trésor $T(a\,;\,6)$ est caché sur la route $(AB)$. Calcule $a$.

Ex. 12★★★Trajectoires de deux drones — Le repère est orthonormé (unité : 100 m). Un drone part de $A(-3\,;\,-1)$ et vole en ligne droite dans la direction du vecteur $\vec{w}\,(4\,;\,3)$. On note $d$ sa trajectoire. Un second drone suit la droite $d'$ d’équation $2y - 7 = 0$.

1. aDétermine la pente $m$ de la droite $d$. Justifie à l’aide du vecteur $\vec{w}$.
2. bÉcris l’équation réduite de $d$, en gardant les valeurs exactes en fraction. Contrôle ton résultat avec un point de $d$.
3. cCalcule les coordonnées des points où $d$ coupe l’axe des ordonnées, puis l’axe des abscisses.
4. dDonne la pente de $d'$ et décris sa position. Calcule ensuite les coordonnées exactes du point $I$ où les deux trajectoires se croisent.

Ex. 13★★★Corriger la copie de Lina — Lina a rendu son devoir sur les équations réduites (repère orthonormé). Chacune de ses réponses contient une erreur. Pour chaque question, explique l’erreur de Lina, puis donne la bonne réponse en justifiant.

1. a« Pente et ordonnée à l’origine de $d_1 : 4y = 2 - 10x$. » Lina : « $y = \frac{1}{2} - \frac{5}{2}x$, donc $m = \frac{1}{2}$ et $p = -\frac{5}{2}$. »
2. b« Un vecteur directeur de $d_2 : y = \frac{2}{5}x - 1$. » Lina : « $\vec{u}\,\left(\frac{2}{5}\,;\,1\right)$. »
3. c« Pente de $d_3 : 3x + 12 = 0$. » Lina : « $3x = -12$, donc $x = -4$ : la pente est $-4$. »
4. d« Pente de $d_4 : -5y + 10 = 0$. » Lina : « Il n’y a pas de $x$, donc $d_4$ n’a pas de pente. »
5. e« Droite de pente $-\frac{3}{2}$ passant par $B(-4\,;\,1)$. » Lina : « $p = 1 - \left(-\frac{3}{2}\right) \times (-4) = 1 + 6 = 7$, donc $y = -\frac{3}{2}x + 7$. »

Ex. 14★★★Une famille de droites avec un paramètre — Dans un repère orthonormé, pour tout réel $a$, on note $d_a$ la droite d’équation cartésienne $3x + (a - 1)y + 6 = 0$.

1. aDétermine la valeur de $a$ pour laquelle $d_a$ est parallèle à l’axe des ordonnées. Donne son équation : a-t-elle une pente ?
2. bPour $a = -1$, écris l’équation réduite de $d_{-1}$, puis donne sa pente et son ordonnée à l’origine.
3. cDétermine le réel $a$ tel que $A(2\,;\,-3)$ appartienne à $d_a$. Écris alors l’équation réduite de cette droite et contrôle avec $A$.
4. dPour $a \neq 1$, exprime la pente de $d_a$ en fonction de $a$. Détermine ensuite $a$ pour que cette pente soit $-\frac{3}{5}$.
5. eOn suppose que $d_{-1}$ a aussi une équation $y = m'x + p'$. À l’aide de ses points d’abscisses $0$ et $1$, démontre que $m'$ et $p'$ sont égaux à la pente et à l’ordonnée à l’origine trouvées plus haut. Que conclus-tu ?

Ex. 15★★★Lire une équation sur un graphique — Chaque droite est tracée dans un repère orthonormé. Lis sur la figure ce qui est demandé.

1. aLis la pente et l'ordonnée à l'origine de cette droite, puis écris son équation réduite.
2. bCette droite descend : quel est le signe de sa pente ? Lis sa pente et son ordonnée à l'origine, puis écris son équation réduite.
3. cDonne une équation de cette droite. A-t-elle une pente ? Justifie.
4. dQuelle est la pente de cette droite ? Écris son équation réduite.
5. eLe quadrillage est gradué de 2 en 2. Lis l'équation réduite de cette droite.

Ex. 16★★★Tracer une droite à partir de son équation — Pour pouvoir tracer chaque droite, calcule les coordonnées de deux de ses points bien espacés, dont le point $(0\,;\,p)$ quand il existe.

1. a$d_1 : y = 2x - 5$.
2. bPour $d_2 : y = -\frac{2}{5}x + 1$, Noé place $(0\,;\,1)$ et $(1\,;\,0{,}6)$. Explique pourquoi ce choix est maladroit, puis propose un meilleur second point.
3. c$d_3 : 3y - x + 6 = 0$
   (commence par isoler $y$).
4. d$d_4 : y = 1{,}5 - 0{,}75x$.
5. e$d_5 : 4x - 10 = 0$.

Ex. 17★★★Associer équations et droites — On a tracé les droites $(AB)$, $(CD)$ et $(EF)$. On propose quatre équations : (1) $y = 1 - 2x$ ; (2) $2y = x + 4$ ; (3) $x - 2y - 2 = 0$ ; (4) $y = 2x + 1$.

1. aÀ l'aide des points tracés, donne la pente et l'ordonnée à l'origine de $(AB)$, de $(CD)$ et de $(EF)$.
2. bÉcris chacune des équations (1) à (4) sous forme réduite.
3. cAssocie chaque droite à son équation et trouve l'intrus. Malo associe (4) à $(CD)$ « car il y a un 2 devant $x$ » : corrige son erreur.
4. dLis sur la figure une valeur approchée des coordonnées du point $K$ d'intersection de $(CD)$ et $(EF)$, puis calcule-les exactement.

Ex. 18★★★Un laser qui sort du cadre — Sur la carte d'un jeu vidéo, munie d'un repère orthonormé, un laser suit la droite $(AB)$ tracée ci-dessous.

1. aLis les coordonnées de $A$ et de $B$, puis calcule la pente $m$ du laser. Yanis trouve $\frac{2}{5}$ : explique son erreur.
2. bExplique pourquoi on ne peut pas lire l'ordonnée à l'origine $p$ sur la figure, puis calcule-la.
3. cÉcris l'équation réduite du laser, puis contrôle-la avec le point $B$.
4. dLe laser touche-t-il la cible $C(-4\,;\,-23)$ ? Justifie par un calcul.
5. eLa cible $T(a\,;\,11)$ est sur le laser. Calcule $a$.

Ex. 19★★★Graduations de 2 en 2 — Sur cette figure, les graduations vont de 2 en 2 : un carreau représente 2 unités. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ se coupent au point $I$.

1. aLis les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$. Attention : compte des unités, pas des carreaux.
2. bCalcule la pente de $(AB)$ à partir de $A$ et $B$, puis lis son ordonnée à l'origine. Écris l'équation réduite de $(AB)$ et contrôle-la avec $B$.
3. cInès affirme : « $(AB)$ coupe l'axe des ordonnées un carreau sous $O$, donc $p = -1$. » Explique son erreur, puis contrôle ton équation avec le point $A$.
4. dDétermine l'équation réduite de $(CD)$ et contrôle-la avec $D$. Explique pourquoi sa pente est négative.
5. eDonne une valeur approchée des coordonnées de $I$ lues sur la figure, puis calcule ses coordonnées exactes. Pourquoi la lecture ne suffit-elle pas ?

Ex. 20★★★Corriger une copie, puis compléter la figure — On a tracé les droites $(EF)$ et $(GH)$ et placé le point $K(-5\,;\,-4)$. Sacha a écrit : « $(EF)$ coupe l'axe en 2, donc $p = 2$. De $E$ à $F$, on avance de 4 et on descend de 6, donc $m = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ et $(EF) : y = -\frac{2}{3}x + 2$. Tous les points de $(GH)$ ont pour abscisse $-4$, donc $(GH) : y = -4$, de pente $0$. »

1. aLis les coordonnées de $E$ et de $F$, puis teste l'équation de $(EF)$ écrite par Sacha avec le point $E$. Que conclus-tu ?
2. bSacha a fait deux erreurs sur $(EF)$. Nomme-les, puis donne l'équation réduite correcte de $(EF)$ et contrôle-la avec $F$.
3. cCorrige l'équation de $(GH)$. Explique pourquoi cette droite n'a ni pente ni équation réduite.
4. dLa droite $d$ passe par $K$ et a pour pente $\frac{2}{5}$. Calcule son ordonnée à l'origine, puis un second point de $d$ bien espacé, pour pouvoir la tracer.
5. eCalcule les coordonnées exactes du point d'intersection de $d$ et de $(GH)$. Aurait-on pu les lire exactement sur la figure ?

Ex. 21★★★Le plan d'un parc — Sur le plan d'un parc (unité : 100 m), l'allée principale suit la droite $(AB)$ tracée ci-dessous. Une piste cyclable suit la droite $\Delta$ d'équation $4y = 20 - 3x$, qui n'est pas tracée.

1. aLis les coordonnées de $A$ et de $B$, puis calcule la pente de l'allée $(AB)$.
2. bExplique pourquoi on ne peut pas lire exactement l'ordonnée à l'origine de $(AB)$. Calcule-la, puis écris l'équation réduite de $(AB)$ et contrôle-la avec $A$.
3. cÉcris l'équation réduite de $\Delta$, puis calcule deux points de $\Delta$ bien espacés, dont $(0\,;\,p)$, pour la tracer.
4. dLina regarde son tracé et affirme : « Les deux chemins se croisent au point $B$. » Teste $B$ sur $\Delta$, puis calcule les coordonnées exactes du croisement.
5. eLe kiosque $K(a\,;\,5)$ se trouve sur l'allée principale. Calcule $a$.

Ex. 22★★★Automatismes — pente de la droite (AB) — Dans chaque cas, calcule la pente de la droite $(AB)$ si elle existe. Donne la valeur exacte : une fraction irréductible si besoin. Sinon, donne une équation de $(AB)$.

Ex. 23★★★Automatismes — équation de la droite (AB) — Dans chaque cas, détermine l'équation de la droite $(AB)$. Si les abscisses sont différentes, calcule $m$, puis $p$ avec $A$, et contrôle avec $B$.

1. a$A(1\,;\,-4)$ et $B(3\,;\,6)$
2. b$A(-4\,;\,5)$ et $B(1\,;\,1)$
3. c$A(-1\,;\,-7)$ et $B(3\,;\,1)$
4. d$A(-2\,;\,6)$ et $B(-2\,;\,-1)$
5. e$A(1\,;\,-3)$ et $B(7\,;\,-3)$
6. f$A(0\,;\,4)$ et $B(3\,;\,-5)$

Ex. 24★★★Par le déterminant, et l'erreur de Lina — Dans un repère orthonormé, on donne $A(-3\,;\,1)$ et $B(3\,;\,-3)$.

1. aCalcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
2. bSoit $M(x\,;\,y)$. Développe $\det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB})$, puis déduis-en une équation cartésienne de $(AB)$.
3. cDéduis-en l'équation réduite de $(AB)$. Contrôle-la avec $A$ et avec $B$.
4. dLina écrit : $m = \frac{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \frac{3 - (-3)}{-3 - 1} = -\frac{3}{2}$. Trouve son erreur et corrige son calcul.
5. eLes points $A$, $B$ et $C(-6\,;\,2)$ sont-ils alignés ? Justifie par un calcul.

Ex. 25★★★Python : pente et ordonnée à l'origine — Hugo a écrit cette fonction pour obtenir la droite passant par deux points. On donne $A(-1\,;\,4)$, $B(3\,;\,-4)$, $C(2\,;\,1)$ et $D(2\,;\,5)$. def droite(xa, ya, xb, yb): m = (yb - ya) / (xb - xa) p = ya - m * xa return m, p

1. aCalcule à la main ce qu'affiche print(droite(-1, 4, 3, -4)). Écris l'équation réduite de $(AB)$ et contrôle-la avec $B$.
2. bprint(droite(0, 1, 3, 3)) affiche (0.6666666666666666, 1.0). Donne l'équation réduite exacte de cette droite.
3. cExplique ce qui se passe avec droite(2, 1, 2, 5). Donne une équation de la droite $(CD)$.
4. dComplète le programme pour qu'il traite aussi ce cas. def droite(xa, ya, xb, yb): if ...: return "x = " + str(xa) m = ... p = ... return m, p

Ex. 26★★★Démontrer la formule de la pente, puis l'appliquer — Dans un repère orthonormé, $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ sont deux points distincts. Tu complètes la démonstration du cours, puis tu l'appliques.

1. aOn suppose $x_A \neq x_B$. Explique pourquoi $(AB)$ a une équation réduite $y = mx + p$. Écris ensuite les deux égalités qui traduisent $A \in (AB)$ et $B \in (AB)$.
2. bSoustrais ces deux égalités membre à membre. Déduis-en $m$ en justifiant la division, puis exprime $p$.
3. cOn suppose $x_A = x_B$. Explique pourquoi $y_A \neq y_B$. Pour $M(x\,;\,y)$, développe $\det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB})$ et donne une équation de $(AB)$.
4. dApplique la formule avec $A(-3\,;\,4)$ et $B(1\,;\,-6)$ : donne $m$ sous forme de fraction irréductible, puis $p$, et fais le contrôle avec $B$.
5. ePour $E(2{,}5\,;\,-3)$ et $F(2{,}5\,;\,4)$, Sami écrit $m = \frac{4 - (-3)}{2{,}5 - 2{,}5} = \frac{7}{0}$. Explique son erreur et donne une équation de $(EF)$.

Ex. 27★★★Le laser de la tour : erreur de Théo et alignements — La carte d'un jeu vidéo est munie d'un repère orthonormé. Un laser part de la tour $A(-3\,;\,-5)$ et passe par $B(5\,;\,1)$. Théo calcule la pente de $(AB)$ : $m = \frac{1 - (-5)}{-3 - 5} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$.

1. aTrouve l'erreur de Théo et calcule la bonne pente de $(AB)$.
2. bCalcule l'ordonnée à l'origine $p$ et écris l'équation réduite de $(AB)$. Fais le contrôle avec $B$.
3. cUn robot se trouve en $C(-7\,;\,-8)$. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifie avec l'équation de $(AB)$.
4. dUn coffre se trouve en $D(1\,;\,-1)$. Avec les pentes, détermine si $A$, $B$ et $D$ sont alignés. Cite le critère utilisé.
5. eTrouve le réel $b$ pour que le point $E(3\,;\,b)$ soit touché par le laser.

Ex. 28★★★Le robot tondeuse et la clôture — Le plan d'un parc est muni d'un repère orthonormé ; le chemin principal suit l'axe des abscisses. Un robot tondeuse roule en ligne droite et passe par $P(-2\,;\,6{,}5)$ et $Q(4\,;\,-2{,}5)$. Une clôture droite passe par $R(3\,;\,0)$ et $S(3\,;\,5)$.

1. aDétermine l'équation réduite de la droite $(PQ)$. Fais le contrôle avec $Q$.
2. bMia affirme : « $(PQ)$ a aussi pour équation $3x + 2y - 7 = 0$. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cDonne une équation de la droite $(RS)$ de la clôture. Explique pourquoi elle n'a pas de pente.
4. dCalcule les coordonnées du point où le robot rencontre la clôture.
5. eCalcule la valeur exacte de l'abscisse du point où le robot traverse le chemin principal.

Ex. 29★★★Le point est-il sur la droite ? — On considère la droite $d$ d'équation $3y = 2x - 9$. Pour chaque point, calcule séparément $3y$ et $2x - 9$, compare, puis conclus : le point appartient-il à $d$ ?

1. a$A(3\,;\,-1)$.
2. b$D(4{,}5\,;\,0)$.
3. cPour $B(-1\,;\,3)$, Lucas calcule $3 \times (-1) = -3$ et $2 \times 3 - 9 = -3$, puis conclut que $B \in d$. Trouve son erreur et conclus.
4. d$G\left(1\,;\,-\dfrac{7}{3}\right)$.
5. e$H(-3\,;\,-4)$.
6. fSur un dessin à main levée, le point $E(6\,;\,1{,}1)$ semble être sur $d$. Est-ce vrai ? Justifie par un calcul.

Ex. 30★★★À rebours : la coordonnée manquante — Dans chaque cas, trouve le réel demandé pour que le point soit sur la droite. Écris l'équation obtenue en remplaçant $x$ par l'abscisse et $y$ par l'ordonnée.

1. aLa droite $(AB)$ ci-dessous a pour équation $y = -3x + 2$. Trouve $a$ pour que $C(a\,;\,4) \in (AB)$.
2. bDroite $y = 0{,}4x - 2$ et point $E(a\,;\,0)$ : trouve $a$.
3. cDroite $y = 4$ et point $F(-7\,;\,b)$ : trouve $b$.
4. dDroite $x = -2$ et point $K(a\,;\,9)$ : trouve $a$.
5. eDroite $-2x + 5y - 4 = 0$ et point $L(a\,;\,2)$ : trouve $a$.
6. fDroite $4y = 2 - 3x$ et point $N(-2\,;\,b)$ : trouve $b$.

Ex. 31★★★Alignés ou non ? Plusieurs méthodes — On donne les points $A(-2\,;\,-1)$, $B(2\,;\,5)$, $C(4\,;\,8)$ et $D(-2\,;\,4)$.

1. aDétermine l'équation réduite de la droite $(AB)$, puis contrôle avec $B$.
2. bLe point $C$ appartient-il à $(AB)$ ? Justifie par un calcul et conclus pour $A$, $B$, $C$.
3. cRetrouve cette conclusion en calculant les pentes des droites $(AB)$ et $(AC)$.
4. dRetrouve encore cette conclusion en calculant $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$.
5. ePeux-tu calculer la pente de $(AD)$ ? Justifie. Décide ensuite avec $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$ si $A$, $B$, $D$ sont alignés.

Ex. 32★★★Python : tester un alignement — Pour $A(x_A\,;\,y_A)$, $B(x_B\,;\,y_B)$ et $C(x_C\,;\,y_C)$, on a $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = (x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)$. Ben commence ce programme : def alignes(xa, ya, xb, yb, xc, yc): d = ... return d == 0

1. aComplète la ligne de d pour que alignes renvoie True exactement quand $A$, $B$, $C$ sont alignés.
2. bCalcule à la main d pour l'appel alignes(-4, 2, 0, 4, 6, 7). Que renvoie-t-il ?
3. cMême question pour alignes(1, 1, 3, 4, 1, 6), c'est-à-dire $A(1\,;\,1)$, $B(3\,;\,4)$, $C(1\,;\,6)$.
4. dInès écrit plutôt return (yb - ya) / (xb - xa) == (yc - ya) / (xc - xa). Que se passe-t-il pour l'appel de la question précédente ? Pourquoi le test d == 0 est-il plus sûr ?

Ex. 33★★★Démontrer puis utiliser le critère des pentes — Soit $A$, $B$, $C$ trois points distincts avec $x_A \neq x_B$ et $x_A \neq x_C$. On admet que $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $C \in (AB)$. On veut démontrer que $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si les droites $(AB)$ et $(AC)$ ont la même pente.

1. aComplète : « Supposons que $(AB)$ et $(AC)$ aient la même pente $m$. Elles passent toutes deux par $A$, donc leur ordonnée à l'origine vaut $p = \ldots$ dans les deux cas. Elles ont la même …, elles sont … et donc $C \ldots$ »
2. bComplète la réciproque : « Si $A$, $B$, $C$ sont alignés, alors $C \in (AB)$. La droite $(AC)$ passe par $A$ et $C$, qui sont sur $(AB)$, donc $(AC) = \ldots$ et … »
3. cOn prend $A(-3\,;\,2)$, $B(1\,;\,4)$ et $C\left(-6\,;\,\frac{1}{2}\right)$. Calcule les pentes $m_{AB}$ et $m_{AC}$. Conclus en citant le critère.
4. dOn prend $D(-3\,;\,-1)$. Explique pourquoi on ne peut pas utiliser le critère des pentes avec $A$ et $D$. Puis décide par une autre méthode si $A$, $B$, $D$ sont alignés.

Ex. 34★★★Jeu vidéo : le laser touche-t-il les cibles ? — Sur la carte d'un jeu vidéo, munie d'un repère orthonormé, un laser part de $L(-4\,;\,-3)$ et passe par $M(2\,;\,1)$. Il suit la droite $(LM)$. Une cible est touchée si et seulement si elle est sur $(LM)$.

1. aDétermine l'équation réduite de la droite $(LM)$. Contrôle ton résultat avec $M$.
2. bLa cible $T(5\,;\,3)$ est-elle touchée ? Justifie par un calcul.
3. cÀ l'écran, la cible $T_2(-1\,;\,-0{,}9)$ semble touchée. Calcule séparément les deux membres de l'équation pour $T_2$, puis conclus.
4. dYanis teste la cible $P(1\,;\,2)$. Il écrit : « $\frac{2}{3} \times 2 - \frac{1}{3} = 1$, c'est bien l'autre coordonnée, donc $P$ est touchée. » Trouve son erreur, puis conclus.
5. eLe jeu place une cible $K(a\,;\,2a)$, où $a$ est un réel. Trouve $a$ pour que le laser touche $K$, puis donne les coordonnées de $K$.

Ex. 35★★★Plan d'une ville : la ligne de tram — Sur le plan d'une ville, muni d'un repère orthonormé (unité : $100$ m), une ligne de tram droite passe par les stations $A(-2\,;\,5)$ et $B(4\,;\,-4)$. La rivière suit l'axe des abscisses.

1. aSoit $M(x\,;\,y)$. Calcule $\det(\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AB})$ et montre que $(AB)$ a pour équation $-9x - 6y + 12 = 0$.
2. bHugo trouve $6x + 4y - 8 = 0$ et Lina trouve $y = -1{,}5x + 2$. Hugo dit : « L'un de nous deux s'est trompé. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cOn veut ajouter la station $C(0{,}8\,;\,0{,}8)$. Calcule $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$. Les points $A$, $B$, $C$ sont-ils alignés ? Conclus en citant le critère.
4. dLe tram franchit la rivière sur un pont. Calcule les coordonnées exactes de ce pont, puis sa distance à l'origine en mètres
   (arrondie au mètre).

Ex. 36★★★Comparer pentes et ordonnées à l'origine — Pour chaque couple de droites, dis si elles sont strictement parallèles, confondues ou sécantes. Justifie.

1. a$d_1 : y = 3x - 4$ et $d_2 : y = 3x + 1$.
2. b$d_1 : y = \dfrac{4}{7}x + 3$ et $d_2 : y = 0{,}57x + 3$.
3. c$d_1 : y = 2x - 6$ et $d_2 : y = 2(x - 3)$.
4. d$d_1 : y = 5$ et $d_2 : y = -2$.
5. e$d_1 : x = -3$ et $d_2 : x = 4$.
6. f$d_1 : x = 2$ et $d_2 : y = -x + 2$.
7. g$d_1 : y = -4x + 1$ et $d_2 : y = 4x + 1$.

Ex. 37★★★Critère avec des équations cartésiennes — Pour chaque couple, calcule $ab' - a'b$, puis conclus : sécantes, strictement parallèles ou confondues. S'il le faut, teste un point.

1. a$d : 3x - 6y + 3 = 0$ et $d' : -x + 2y + 5 = 0$.
2. b$d : 2x + 5y - 1 = 0$ et $d' : 5x + 2y - 1 = 0$. Tom calcule $2 \times 5 - 5 \times 2 = 0$ et conclut « parallèles ». Corrige.
3. c$d : 4x - y + 3 = 0$ et $d' : 2y = 8x + 6$.
4. d$d : x - 3 = 0$ et $d' : 2x - 7 = 0$.
5. e$d : y + 4 = 0$ et $d' : 3x + 0{,}5y - 2 = 0$.

Ex. 38★★★Rues parallèles sur un plan — Sur le plan d'une ville (repère orthonormé, unité : 100 m), l'avenue est la droite $d : y = -\frac{2}{3}x + 4$. La fontaine est en $F(3\,;\,-1)$.

1. aUne rue parallèle à $d$ passe par $F$. Donne son équation réduite.
2. bÉcris une équation cartésienne de $d$ à coefficients entiers.
3. cUn autre plan note une rue $d_k : 4x + ky - 24 = 0$. Trouve le réel $k$ pour que $d_k \parallel d$.
4. dPour cette valeur de $k$, $d_k$ et $d$ sont-elles strictement parallèles ou confondues ? Justifie en testant un point.
5. eLa voie verte suit la droite $x = 3$. Coupe-t-elle $d$ ? Justifie, puis donne le point commun s'il existe.

Ex. 39★★★L'enclos du jeu vidéo — Sur la carte d'un jeu vidéo (repère orthonormé), Inès construit l'enclos $ABCD$ avec $A(-5\,;\,2)$, $B(1\,;\,-1)$, $C(4\,;\,2)$ et $D(-2\,;\,5)$.

1. aCalcule les pentes des droites $(AB)$ et $(DC)$.
2. bCalcule les pentes de $(AD)$ et de $(BC)$, vérifie que $A \notin (DC)$, puis déduis la nature de $ABCD$.
3. cInès déplace $D$ en $D'(2\,;\,3)$. Montre que $ABCD'$ est un trapèze et précise ses côtés parallèles.
4. dLe portail est le point où la droite $(AD')$ coupe l'axe des ordonnées. Calcule ses coordonnées.

Ex. 40★★★Du critère au réel k — On note $d : ax + by + c = 0$ et $d' : a'x + b'y + c' = 0$, avec $(a\,;\,b) \neq (0\,;\,0)$ et $(a'\,;\,b') \neq (0\,;\,0)$. Pour un réel $k$, on pose $d_k : 3x + ky - 1 = 0$ et $\Delta : -6x + 4y + 5 = 0$.

1. aComplète la démonstration : $d$ est dirigée par $\vec{u}\,(\ldots\,;\,\ldots)$ et $d'$ par $\vec{u'}\,(\ldots\,;\,\ldots)$, donc $d \parallel d' \iff \det(\vec{u}, \vec{u'}) = \ldots = 0$.
2. bLou écrit : « $d_k \parallel \Delta \iff 3 \times 4 - 6 \times k = 0$, donc $k = 2$. » Trouve son erreur, puis donne le bon réel $k$.
3. cPour cette valeur de $k$, les droites $d_k$ et $\Delta$ sont-elles strictement parallèles ou confondues ? Justifie en testant un point.
4. dPour la valeur de $k$ trouvée, détermine le réel $c$ tel que la droite $-6x + 4y + c = 0$ soit confondue avec $d_k$.
5. eVrai ou faux ? « Pour toute autre valeur de $k$, $d_k$ et $\Delta$ sont sécantes, même pour $k = 0$ où $d_k$ est verticale. » Justifie.

Ex. 41★★★La pelouse du parc — Sur le plan d'un parc (repère orthonormé, unité : 10 m), la pelouse est le quadrilatère $ABCD$ avec $A(-3\,;\,-2)$, $B(6\,;\,1)$, $C(3\,;\,4)$ et $D(-3\,;\,2)$.

1. aDémontre que les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles.
2. bLes droites $(AD)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifie, puis donne la nature de $ABCD$.
3. cDétermine l'équation réduite de $(AB)$, puis contrôle-la avec le point $B$.
4. dNoé arrondit la pente de $(AB)$ et trace la clôture $\Delta : y = 0{,}33x + 3$, qu'il croit parallèle à $(AB)$. A-t-il raison ? Justifie.
5. eCalcule les coordonnées exactes du point d'intersection de $(AB)$ et de $\Delta$.

Ex. 42★★★Les rails de l'entrepôt — Dans un entrepôt (repère orthonormé, unité : 1 m), un robot roule sur le rail $d_1 : 2y = 6 - 4x$. Deux autres rails sont $d_2 : -6x - 3y + 9 = 0$ et $d_3 : 2x + y + 5 = 0$. On donne $E(1\,;\,1)$ et la borne $B(-2\,;\,3)$.

1. aÉcris $d_1$ sous la forme $ax + by + c = 0$ avec $a = 4$, puis vérifie par un calcul que $E \in d_1$.
2. bLa fonction reçoit $d : ax + by + c = 0$, $d' : a2\,x + b2\,y + c2 = 0$ et un point $(x0\,;\,y0)$ de $d$. Complète les « ... ». def position(a, b, c, a2, b2, c2, x0, y0): # (x0 ; y0) est un point de d if ... != 0: return "secantes" if ... == 0: return "confondues" return "strictement paralleles"
3. cQue renvoie position(4, 2, -6, -6, -3, 9, 1, 1) ? Justifie par le calcul, puis conclus pour $d_1$ et $d_2$.
4. dIlyes affirme : « $d_1$ et $d_3$ sont confondues, car $4 \times 1 - 2 \times 2 = 0$. » Corrige-le en testant un point.
5. eUn rail parallèle à $d_1$ doit passer par la borne $B$. Donne une équation cartésienne de ce rail.

Ex. 43★★★Point d'intersection exact — Pour chaque couple de droites, compare d'abord les pentes. Donne ensuite le point d'intersection s'il existe : calcule $y$ avec une équation et contrôle avec l'autre.

1. a$d : y = 3x - 4$ et $d' : y = -x + 8$.
2. b$d : y = -2x + 1$ et $d' : y = 0{,}5x - 4$.
3. c$d : y = 5$ et $d' : y = -3x + 2$.
4. d$d : y = 2x + 7$ et $d' : y = 2x - 1$.
5. eSur la figure, $(AB) : y = x + 2$ avec $A(-2\,;\,0)$ et $B(1\,;\,3)$, et $(CD) : y = 4x - 3$ avec $C(0\,;\,-3)$ et $D(2\,;\,5)$. Lis une valeur approchée de leur point d'intersection, puis calcule ses coordonnées exactes.

Ex. 44★★★Avec une droite verticale ou avec les axes — Donne les coordonnées exactes des points demandés, en justifiant par un calcul.

1. aLes points d'intersection de $d : y = -2x + 5$ avec l'axe des ordonnées, puis avec l'axe des abscisses.
2. bLe point d'intersection de $d : y = 3x + 2$ et de la droite $x = -1{,}5$.
3. cSur la figure, $(AB) : y = \frac{2}{3}x - 1$ avec $A(0\,;\,-1)$ et $B(3\,;\,1)$, et $(CD) : x = 2$ avec $C(2\,;\,-2)$ et $D(2\,;\,5)$. Calcule le point d'intersection de $(AB)$ et $(CD)$.
4. dLes points d'intersection de $d : 2x - 3y + 6 = 0$ avec les deux axes.
5. eAna affirme : « La droite $y = 4$ coupe l'axe des abscisses en $(4\,;\,0)$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 45★★★Deux équations cartésiennes en désordre — On considère $d_1 : 2y = 6 - 4x$ et $d_2 : -x + 3y + 1 = 0$. Sur la figure, $d_1 = (AB)$ avec $A(0\,;\,3)$ et $B(1\,;\,1)$, et $d_2 = (CD)$ avec $C(1\,;\,0)$ et $D(4\,;\,1)$.

1. aÉcris l'équation réduite de $d_1$, puis celle de $d_2$.
2. bJustifie que $d_1$ et $d_2$ sont sécantes.
3. cCalcule les coordonnées exactes de leur point d'intersection $I$, puis contrôle avec l'équation cartésienne de $d_2$.
4. dNoé écrit : « $-2x + 3 = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} \iff -\frac{7}{3}x = \frac{8}{3}$, donc l'intersection est $x = -\frac{8}{7}$. » Repère ses deux erreurs.

Ex. 46★★★Deux robots dans un entrepôt — Sur le plan d'un entrepôt (repère orthonormé, unité : 1 m), le robot R1 suit la droite $(AB)$ avec $A(-3\,;\,-4)$ et $B(1\,;\,4)$. Le robot R2 suit la droite $(CD)$ avec $C(-4\,;\,3)$ et $D(4\,;\,-1)$.

1. aDétermine l'équation réduite de $(AB)$, puis celle de $(CD)$, en contrôlant chacune avec le second point.
2. bJustifie que les deux trajectoires se croisent.
3. cCalcule les coordonnées exactes du point de croisement $I$.
4. dYanis lit $I(0\,;\,1)$ sur la figure. Montre par un calcul que ce point ne convient pas.
5. eLe mur de l'entrepôt est l'axe des abscisses. En quel point la trajectoire de R2 le coupe-t-elle ?

Ex. 47★★★Un triangle découpé par trois droites — On considère $d_1 : 4x - 2y + 6 = 0$, $d_2 : 2x + 2y - 10 = 0$ et la droite $d_3 : x = -2$, parallèle à l'axe des ordonnées. Les trois droites sont tracées ci-dessous.

1. aÉcris l'équation réduite de $d_1$, puis celle de $d_2$. Justifie ensuite, en citant le critère, que $d_1$ et $d_2$ sont sécantes.
2. bCalcule les coordonnées exactes de leur point d'intersection $I$, puis contrôle dans l'équation cartésienne de $d_2$. Pourquoi la figure ne suffit-elle pas ?
3. cLa droite $d_3$ coupe $d_1$ en $J$ et $d_2$ en $K$. Calcule les coordonnées de $J$ et celles de $K$.
4. dOn donne $d_4 : -6x + 3y - 9 = 0$. Écris l'équation qui donnerait le point d'intersection de $d_1$ et $d_4$, résous-la, puis conclus en citant le critère.
5. eOn donne $d_5 : x - 4y + 16 = 0$. Calcule les coordonnées exactes du point d'intersection de $d_2$ et $d_5$, puis contrôle dans l'équation cartésienne de $d_5$.

Ex. 48★★★Une erreur, puis trois droites concourantes — On considère $d : y = -3x + 2$ et $d' : y = 1{,}5x - 4$, tracées ci-dessous. Pour tout réel $a$, on note $\Delta_a$ la droite d'équation $y = ax + 6$.

1. aInès écrit : « $-3x + 2 = 1{,}5x - 4 \iff -3x + 1{,}5x = -4 - 2 \iff -1{,}5x = -6 \iff x = 4$. Le point d'intersection est $4$. » Repère ses deux erreurs et l'étape qu'elle a oubliée au début.
2. bDonne les coordonnées exactes du point d'intersection $I$ de $d$ et $d'$ : calcule $y$ avec une équation, puis contrôle avec l'autre.
3. cDétermine le réel $a$ pour que $\Delta_a$ passe par $I$. Les trois droites $d$, $d'$ et $\Delta_a$ sont alors concourantes.
4. dPour quelle valeur de $a$ les droites $\Delta_a$ et $d$ n'ont-elles pas un unique point d'intersection ? Sont-elles alors strictement parallèles ou confondues ? Justifie.
5. ePour $a = 2$, calcule les coordonnées du point d'intersection de $\Delta_2$ et $d'$. Pourquoi ne pouvait-on pas le lire sur la figure ?

Ex. 49★★★Lasers sur la carte d'un jeu vidéo — Sur la carte d'un jeu vidéo (repère orthonormé, unité : 1 case), le laser $L_1$ suit la droite d'équation $2y = 3x + 4$. Le laser $L_2$ suit la droite $(EF)$ avec $E(-4\,;\,6)$ et $F(2\,;\,3)$.

1. aÉcris l'équation réduite de $L_1$. Écris ensuite celle de $(EF)$, en la contrôlant avec le second point.
2. bUn bonus est placé là où les deux lasers se croisent. Justifie qu'ils se croisent, puis donne les coordonnées exactes du bonus, avec un contrôle.
3. cLina avance sur l'axe des abscisses. En quels points traverse-t-elle chacun des deux lasers ? Donne leurs coordonnées exactes.
4. dLe laser $L_3$ passe par $G(0\,;\,-3)$ et est parallèle à $L_1$. Écris son équation réduite. « $L_3$ finira par croiser $L_1$ hors de la carte. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eCalcule les coordonnées exactes du point où $L_3$ croise $L_2$, en contrôlant avec l'autre équation.