2nde / Ensembles de nombres

Ex. 1★★★Automatismes — Le plus petit ensemble — Simplifie le nombre si besoin. Donne ensuite le plus petit ensemble parmi $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ qui le contient.

Ex. 2★★★Automatismes — Le bon symbole — Complète par le symbole qui convient : $\in$, $\notin$ ou $\subset$.

Ex. 3★★★Tableau d'appartenance et cardinal — On considère le tableau suivant.

1. aSimplifie chaque nombre, puis complète le tableau par « oui » ou « non ».
2. bSur une ligne, la case $\mathbb{N}$ contient « oui ». Explique pourquoi toutes les cases suivantes de cette ligne sont « oui ».
3. cOn pose $F=\left\{\frac{35}{7}\,;\,5\,;\,-\sqrt{81}\right\}$. Donne $\mathrm{Card}(F)$.
4. dMattéo affirme : « $F\subset\mathbb{N}$ ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 4★★★Les erreurs de Lina — Lina a écrit les phrases suivantes. Pour chacune, dis si elle a raison, justifie, et corrige si besoin.

1. a« $6\subset\mathbb{N}$ »
2. b« $\frac{45}{36}$ n'est pas décimal, car la division par $36$ ne tombe pas juste. »
3. c« $\varnothing=\{0\}$ »
4. d« $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$, donc $\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}$. »
5. e« $\sqrt{2}$ et $\sqrt{18}$ sont irrationnels, donc leur produit est irrationnel. »

Ex. 5★★★Irrationnels : des opérations surprenantes — Maëlle affirme : « En faisant des calculs avec des irrationnels, on obtient toujours un irrationnel. » On admet que $\sqrt{3}$ est irrationnel.

1. aOn suppose que $1+\sqrt{3}$ est rationnel, c'est-à-dire $1+\sqrt{3}=r$ avec $r\in\mathbb{Q}$. Exprime $\sqrt{3}$ en fonction de $r$, puis conclus.
2. bAvec la même méthode, démontre que $2\sqrt{3}$ est irrationnel.
3. cCalcule $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$. « Le quotient de deux irrationnels est toujours irrationnel. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dCalcule $(1+\sqrt{3})-\sqrt{3}$. Maëlle a-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 6★★★Un ensemble écrit de façon trompeuse — Yanis écrit l'ensemble $E=\left\{\frac{-28}{7}\,;\,0\,;\,\sqrt{121}\,;\,\frac{39}{24}\,;\,\frac{7}{30}\,;\,\frac{\pi}{5\pi}\,;\,\frac{33}{3}\right\}$. Il affirme que $\mathrm{Card}(E)=7$. On admet qu'une fraction irréductible est décimale si et seulement si son dénominateur n'a que $2$ et $5$ comme facteurs premiers.

1. aSimplifie chaque écriture de $E$. Yanis a-t-il raison pour $\mathrm{Card}(E)$ ? Justifie.
2. bÉcris en extension l'ensemble $A$ des éléments de $E$ qui appartiennent à $\mathbb{N}$, puis l'ensemble $B$ de ceux qui sont dans $\mathbb{D}$ mais pas dans $\mathbb{Z}$.
3. cVrai ou faux ? Justifie : « $E\subset\mathbb{Q}$ » ; « $E\subset\mathbb{D}$ ».
4. dOn note $C$ l'ensemble des éléments de $E$ qui sont irrationnels. Écris $C$. Est-ce l'ensemble $\{0\}$ ? Justifie.

Ex. 7★★★Les fractions de douzième — Inès étudie les nombres $\frac{n}{12}$, où $n$ est un entier de $1$ à $24$. On admet qu'une fraction irréductible est décimale si et seulement si son dénominateur n'a que $2$ et $5$ comme facteurs premiers.

1. aÉcris en extension l'ensemble $N$ des entiers $n$ de $1$ à $24$ tels que $\frac{n}{12}\in\mathbb{N}$.
2. bDémontre que $\frac{9}{12}\in\mathbb{D}$, mais que $\frac{10}{12}\notin\mathbb{D}$.
3. cOn note $D$ l'ensemble des entiers $n$ de $1$ à $24$ tels que $\frac{n}{12}\in\mathbb{D}$. Détermine $D$ et $\mathrm{Card}(D)$ en justifiant.
4. dA-t-on $N\subset D$ ? A-t-on $D\subset N$ ? Justifie chaque réponse.

Ex. 8★★★Décimal ou pas ? — Dis si le nombre est décimal. Justifie : rends d'abord la fraction irréductible, puis décompose son dénominateur en facteurs premiers.

Ex. 9★★★Le plus petit ensemble — Donne le plus petit ensemble parmi $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ auquel appartient le nombre. Rappel : si l'entier naturel $n$ n'est pas un carré parfait, $\sqrt{n}$ est irrationnel.

Ex. 10★★★Erreurs d'élèves sur les écritures décimales — Chaque élève a fait une erreur. Explique-la, puis écris la conclusion correcte.

1. aInès : « Ma calculatrice affiche $5 \div 7 = 0{,}7142857143$, donc $\frac{5}{7}$ est un décimal. »
2. bMalo : « $\frac{2}{3} = 0{,}67$. »
3. cYanis : « $\pi = 3{,}14$, donc $\pi$ est un rationnel. »
4. dLéna : « $1{,}7$ n'est pas un rationnel, car il n'est pas écrit sous forme de fraction. »
5. eHugo : « $0{,}2$ est un décimal, donc $0{,}2 + \frac{1}{6}$ est aussi un décimal. »

Ex. 11★★★Rationnel ou irrationnel : vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie par un calcul, une propriété ou un contre-exemple.

1. aLe nombre $\frac{9}{40}$ peut s'écrire $\frac{a}{10^{n}}$, avec $a$ entier et $n$ entier naturel.
2. bPour tout entier $a$, si $a^{2}$ est pair, alors $a$ est pair.
3. cLe nombre $\sqrt{1{,}44}$ est irrationnel, car il s'écrit avec une racine carrée.
4. dLe produit de deux nombres irrationnels est toujours irrationnel.
5. eTout rationnel est un décimal.

Ex. 12★★★La diagonale d'un carré — $ABCD$ est un carré de côté $1$. Dans ce problème, tu démontres que sa diagonale a une longueur irrationnelle. Tu admets que le carré d'un nombre impair est impair.

1. aCalcule la valeur exacte de la longueur $AC$. Cite le théorème que tu utilises.
2. bOn suppose par l'absurde que $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$, avec $a$ et $b$ des entiers naturels, $b \neq 0$, et la fraction irréductible. Montre que $a^{2} = 2b^{2}$, puis que $a$ est pair.
3. cOn écrit $a = 2k$, où $k$ est un entier naturel. Montre que $b^{2} = 2k^{2}$. Conclus la démonstration.
4. dUn carré de côté $5$ a une diagonale de longueur $\sqrt{50}$. Écris $\sqrt{50}$ sous la forme $c\sqrt{2}$, avec $c$ entier, puis démontre que $\sqrt{50}$ est irrationnel.
5. eUn carré a une aire de $9$, un autre une aire de $8$. Pour chacun, dis si la longueur du côté est rationnelle. Justifie.

Ex. 13★★★Fractions de dénominateur 75 — Dans cet exercice, $k$ désigne un entier. Tu cherches pour quelles valeurs de $k$ la fraction $\frac{k}{75}$ est un nombre décimal.

1. aDécompose $75$ en facteurs premiers. Montre que $\frac{12}{75}$ est décimal et donne son écriture décimale.
2. bLe nombre $\frac{10}{75}$ est-il décimal ? Justifie.
3. cTrouve tous les entiers $k$ compris entre $1$ et $20$ tels que $\frac{k}{75}$ soit décimal. Justifie ta méthode.
4. dOn suppose par l'absurde que $\frac{1}{75} = \frac{a}{10^{n}}$, avec $a$ entier et $n$ entier naturel. Montre que $10^{n} = 75a$, puis aboutis à une contradiction.

Ex. 14★★★Écritures décimales périodiques — On note $x = 0{,}363636\ldots$ : le bloc $36$ se répète sans fin. (Approfondissement.)

1. aCalcule $100x - x$. Déduis-en $x$ sous forme de fraction irréductible.
2. bLe nombre $x$ est-il décimal ? Justifie. Ewan écrit $x = 0{,}36$ : corrige son écriture.
3. cAvec la même méthode, écris $y = 2{,}151515\ldots$ sous forme de fraction irréductible.
4. dCalcule $x + y$ sous forme de fraction irréductible. Ce nombre est-il décimal ? Justifie, puis donne son écriture décimale.

Ex. 15★★★Troncature, arrondi, encadrement — Les valeurs approchées sont données par la calculatrice.

1. aDonne la troncature puis l'arrondi au centième de $\sqrt{13} \approx 3{,}6055513$.
2. bEncadre $\sqrt{19} \approx 4{,}3588989$ par deux décimaux consécutifs à $10^{-2}$ près, puis donne l'amplitude.
3. cPour $\frac{5}{7} \approx 0{,}7142857$, la troncature et l'arrondi au millième sont-ils égaux ? Justifie.
4. dEncadre $-\sqrt{8} \approx -2{,}8284271$ à $10^{-1}$ près, puis dis si la troncature au dixième de $-\sqrt{8}$ est une valeur par défaut ou par excès.
5. eArrondis $\sqrt{26} \approx 5{,}0990195$ au centième.
6. fLéna écrit $\frac{2}{3} = 0{,}667$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 16★★★Transformer un encadrement — On sait que $2{,}23 < \sqrt{5} < 2{,}24$ (amplitude $0{,}01$).

1. aDéduis-en un encadrement de $4 + \sqrt{5}$.
2. bDéduis-en un encadrement de $3\sqrt{5}$, puis donne son amplitude.
3. cNoé écrit $-4{,}46 < -2\sqrt{5} < -4{,}48$. Corrige son erreur.
4. dDéduis-en un encadrement de $1 - \sqrt{5}$.
5. eOn divise les trois membres par $2$. Quelle est l'amplitude de l'encadrement de $\frac{\sqrt{5}}{2}$ obtenu ?

Ex. 17★★★Le périmètre d'un carré — Un carré a pour côté $\sqrt{6}$ cm. La calculatrice donne $\sqrt{6} \approx 2{,}4494897$. On note $P = 4\sqrt{6}$ son périmètre.

1. aEncadre $\sqrt{6}$ à $10^{-2}$ près.
2. bDéduis-en un encadrement de $P$ et son amplitude.
3. cQuelle précision faut-il sur $\sqrt{6}$ pour encadrer $P$ avec une amplitude d'au plus $0{,}01$ ? Donne alors cet encadrement de $P$.
4. dSacha écrit $P = 9{,}8$ cm. Corrige son écriture, puis dis si $9{,}8$ est une valeur approchée de $P$ par défaut ou par excès.

Ex. 18★★★Balayage pour encadrer √11 — Ben écrit ce programme pour encadrer le réel positif $\sqrt{11}$, dont le carré vaut $11$. def balayage(pas): x = 3 while x**2 < 11: x = x + pas return x - pas, x

1. aÉcris les valeurs successives de x lors de l'appel balayage(0.1), puis l'encadrement de $\sqrt{11}$ obtenu.
2. bCombien de tours de boucle fait balayage(0.01) ? Quel encadrement renvoie-t-il ?
3. cQuel pas faut-il choisir pour un encadrement à $10^{-3}$ près ? Que deviennent alors l'amplitude et le nombre de tours ?
4. dL'affichage brut du résultat de balayage(0.1) contient une borne qui se termine par …0000000004. Pourquoi ? Écris un print qui affiche proprement les deux bornes a et b.

Ex. 19★★★Racines, négatifs et différence — La calculatrice donne $\sqrt{3} \approx 1{,}7320508$ et $\sqrt{10} \approx 3{,}1622777$.

1. aEncadre $\sqrt{3}$ à $10^{-2}$ près. Donne l'amplitude de cet encadrement.
2. bDéduis-en un encadrement de $-\sqrt{3}$.
3. cDéduis-en un encadrement de $5 - 2\sqrt{3}$ et donne son amplitude.
4. dInès encadre $\sqrt{10}$ à $10^{-2}$ près. Elle soustrait ensuite, membre à membre, son encadrement de $\sqrt{3}$ et obtient $1{,}43 < \sqrt{10} - \sqrt{3} < 1{,}43$. Explique pourquoi c'est impossible.
5. eEncadre correctement $\sqrt{10} - \sqrt{3}$ en écrivant $\sqrt{10} - \sqrt{3} = \sqrt{10} + (-\sqrt{3})$. Donne l'amplitude obtenue.

Ex. 20★★★Balayage pour une équation — On note $\alpha$ le réel positif tel que $\alpha^{2} + \alpha = 4$. Pour $x \geqslant 1$, plus $x$ augmente, plus $x^{2} + x$ augmente. Ben écrit ce programme : def balayage(pas): x = 1 while x**2 + x < 4: x = x + pas return x - pas, x

1. aCalcule $x^{2} + x$ pour $x = 1$ puis pour $x = 2$. Déduis-en que $1 < \alpha < 2$.
2. bLors de l'appel balayage(0.1), combien de fois la ligne x = x + pas est-elle exécutée ? Quel encadrement de $\alpha$ obtient-on ? Justifie par des calculs.
3. cBen remplace x = 1 par x = 2. Que renvoie alors balayage(0.1) ? Pourquoi ce résultat est-il faux ?
4. dCalcule $1{,}56^{2} + 1{,}56$ et $1{,}57^{2} + 1{,}57$. Déduis-en ce que renvoie balayage(0.01).
5. eOn a $\alpha^{2} = 4 - \alpha$. Déduis de la question précédente un encadrement de $\alpha^{2}$.

Ex. 21★★★Le tour du bassin — Un bassin circulaire a un rayon de $40$ m. Son tour mesure $L = 80\pi$ mètres. La calculatrice donne $\pi \approx 3{,}14159265$.

1. aDonne la troncature et l'arrondi de $\pi$ à $10^{-3}$, puis un encadrement de $\pi$ à $10^{-3}$ près.
2. bDéduis-en un encadrement de $L$. Quelle est son amplitude ?
3. cNoa écrit : « $L = 251{,}4$ m, et ton encadrement prouve que c'est l'arrondi au dixième. » Relève ses deux erreurs.
4. dEncadre $\pi$ à $10^{-4}$ près. Déduis-en un encadrement de $L$, puis l'arrondi de $L$ au dixième.
5. eLa bordure se vend au mètre entier. Ben arrondit $L$ à l'unité et achète $251$ m. Est-ce suffisant ? Combien de mètres faut-il acheter au minimum ? Justifie.

Ex. 22★★★Inégalité, phrase ou intervalle — Traduis chaque condition sur le réel $x$ par un intervalle, ou chaque intervalle par une inégalité.

1. a$x \geqslant -6$
2. b$-9 < x \leqslant 2{,}5$
3. c« $x$ est au plus égal à $-1{,}5$ »
4. d« $x$ est strictement supérieur à $13$ »
5. e« $x$ est compris entre $1$ et $8$, $1$ inclus et $8$ exclu »
6. f$x \in [-4\,;7[$
7. g$x \in\ ]-\infty\,;0{,}2[$

Ex. 23★★★Appartient ou non ? — Le nombre appartient-il à l'intervalle ? Justifie en une ligne.

Ex. 24★★★Lire des bornes sur la droite graduée — Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont placés sur la droite graduée. Écris sous forme d'intervalle l'ensemble des réels décrit.

1. aLes réels compris entre les abscisses de $A$ et de $C$, les deux bornes incluses.
2. bLes réels $x$ tels que (abscisse de $B$) $< x \leqslant$
   (abscisse de $D$).
3. cLes réels compris entre les abscisses de $C$ et de $A$, les deux bornes exclues.
4. dLes réels situés à gauche de $D$, $D$ exclu.
5. eLes réels situés à droite de $B$, $B$ inclus. Quel ensemble de nombres reconnais-tu ?
6. fTous les réels de la droite, sans exception.

Ex. 25★★★Les erreurs de Malo — Malo a écrit : « $x > -11 \iff x \in [-11\,;+\infty]$ » et « $-2 \geqslant x > -8 \iff x \in\ ]-2\,;-8]$ ».

1. aRepère les deux erreurs de la première écriture de Malo et corrige-la.
2. bRepère l'erreur de la deuxième écriture de Malo et corrige-la.
3. cCombien d'entiers relatifs $x$ vérifient la deuxième inégalité de Malo, $-2 \geqslant x > -8$ ? Cite-les.
4. dMalo affirme : « $]6\,;7[$ ne contient aucun nombre, car il n'y a aucun entier entre $6$ et $7$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 26★★★Des inéquations aux intervalles — Les inéquations suivantes sont d'inconnue réelle $x$. On note $S_1$, $S_2$ et $S_3$ leurs ensembles de solutions.

1. aRésous $-2x + 1 \lt 15$ et écris $S_1$ sous forme d'intervalle.
2. bRésous $-1 \leqslant 3x + 2 \lt 17$ et écris $S_2$ sous forme d'intervalle.
3. c$S_2$ a-t-il un plus petit élément ? Un plus grand élément ? Justifie.
4. dVrai ou faux ? « Tout réel de $S_2$ est solution de la première inéquation. » Justifie.
5. eRésous $2(x + 1) \geqslant 2x - 3$ et écris $S_3$ sous forme d'intervalle.

Ex. 27★★★Un intervalle qui dépend de $a$ — Pour un réel $a$, on note $I_a$ l'ensemble des réels $x$ tels que $a \leqslant x \leqslant 7 - a$, écrit $I_a = [a\,;7 - a]$ quand cette écriture a un sens.

1. aÉcris $I_{-1}$ et $I_{2{,}5}$ sous forme d'intervalle.
2. bPourquoi l'écriture $[a\,;7 - a]$ n'a-t-elle pas de sens pour $a = 5$ ?
3. cDétermine tous les réels $a$ pour lesquels l'écriture $[a\,;7 - a]$ a un sens. Donne ta réponse sous forme d'intervalle.
4. dParmi ces réels $a$, détermine ceux pour lesquels $2 \in I_a$. Donne ta réponse sous forme d'intervalle.
5. eDémontre que $3{,}5 \in I_a$ pour tout réel $a$ tel que l'écriture ait un sens.

Ex. 28★★★Les tarifs d'un transporteur — Un transporteur facture un colis selon sa masse $m$ en kg ($m \gt 0$). Tarif A : $m$ strictement inférieure à $0{,}5$. Tarif B : $m$ comprise entre $0{,}5$ et $2$, les deux valeurs incluses. Tarif C : $m$ strictement supérieure à $2$.

1. aÉcris sous forme d'intervalle l'ensemble des masses de chaque tarif.
2. bLéa affirme qu'un colis de $0{,}5$ kg peut être facturé au tarif A ou au tarif B. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cQuel tarif s'applique à un colis de $\frac{7}{4}$ kg ? Et à un colis de $\sqrt{5}$ kg ? Justifie sans calculatrice.
4. dLe transporteur ajoute un tarif D pour les colis d'au moins $10$ kg. Écris le nouvel intervalle du tarif C, puis celui du tarif D.
5. eAvec les quatre tarifs, justifie que toute masse $m \gt 0$ correspond à un tarif et un seul.

Ex. 29★★★Automatismes : intersection et réunion d'intervalles — Trace les deux ensembles l'un sous l'autre sur une droite graduée, puis traite chaque borne une par une.

1. aÉcris $]2\,;7] \cap [-1\,;5]$ sous forme d'intervalle.
2. bÉcris $]2\,;7] \cup [-1\,;5]$ sous forme d'intervalle.
3. cDétermine $[-4\,;0[\ \cap\ ]1\,;6]$.
4. d$[-6\,;1]\ \cup\ ]1\,;3]$ est-il un intervalle ? Si oui, écris-le.
5. e$[-3\,;0[\ \cup\ ]2\,;4]$ est-il un intervalle ? Justifie à l'aide d'un réel bien choisi.
6. fÉcris l'ensemble des réels $x$ tels que $x \leqslant 3$ et $x > -2$ comme une intersection de deux intervalles, puis comme un seul intervalle.

Ex. 30★★★Automatismes : complémentaire et ensembles finis — On note $E = \{0\,;3\,;6\,;9\,;12\,;15\}$ et $F = \{1\,;3\,;5\,;7\,;9\}$.

1. aÉcris $\overline{[-5\,;2]}$, le complémentaire de $[-5\,;2]$ dans $\mathbb{R}$.
2. bÉcris le complémentaire de $]-\infty\,;-1[$ dans $\mathbb{R}$.
3. cYanis écrit $\overline{]0\,;+\infty[} = ]-\infty\,;0[$. Corrige son erreur.
4. dÉcris $E \cap F$ en extension.
5. eÉcris $E \cup F$ en extension, puis donne $\mathrm{Card}(E \cup F)$.
6. fLina écrit $E \cap \{2\,;4\,;8\} = 0$. Corrige son erreur.

Ex. 31★★★Deux intervalles lus sur une droite graduée — On a placé quatre points sur la droite graduée. $I$ est l'ensemble des réels compris entre les abscisses de $A$ et de $C$, celle de $A$ incluse et celle de $C$ exclue. $J$ est l'ensemble des réels compris entre les abscisses de $B$ et de $D$, celle de $B$ exclue et celle de $D$ incluse.

1. aLis les abscisses des quatre points, puis écris $I$ et $J$ sous forme d'intervalles.
2. bDétermine $I \cap J$.
3. cDétermine $I \cup J$.
4. dLe réel $2{,}5$ appartient-il à $I \cap J$ ? à $I \cup J$ ? Justifie.
5. eÉcris $\overline{J}$, le complémentaire de $J$ dans $\mathbb{R}$.

Ex. 32★★★Couples et produit cartésien — On note $A = \{1\,;4\}$ et $B = \{4\,;6\,;9\}$.

1. aSans faire de liste, détermine le nombre d'éléments de $A \times B$.
2. bListe tous les couples de $A \times B$, sans en oublier.
3. cInès affirme que $(6\,;1) \in A \times B$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dListe les couples de $A \times A$. Combien y en a-t-il ?
5. ePour sa journée, Malo choisit une activité le matin parmi $5$, puis une l'après-midi parmi $7$. Combien de programmes différents peut-il composer ?

Ex. 33★★★Opérations sur trois intervalles — On pose $A = [-4\,;1[$, $B = ]-1\,;6]$ et $C = ]3\,;+\infty[$. Justifie chaque borne.

1. aTrace $A$ et $B$ l'un sous l'autre sur deux droites graduées, puis détermine $A \cap B$ et $A \cup B$.
2. bMalik écrit : « $A \cap C = 0$ ». Détermine $A \cap C$, puis explique son erreur.
3. cÉcris le complémentaire de $A$ dans $\mathbb{R}$, puis celui de $C$.
4. d$A \cup C$ est-il un intervalle ? Justifie à l'aide d'un nombre bien choisi.
5. eDétermine $B \cap \overline{C}$ sous forme d'intervalle.

Ex. 34★★★Un intervalle qui dépend d'un réel $a$ — Soit $a$ un réel tel que $a < 5$. On pose $I = [a\,;5]$ et $J = ]1\,;8]$.

1. aDans cette question, $a = -3$. Détermine $I \cap J$ et $I \cup J$.
2. bDans cette question, $a = 1$. Sacha affirme que $I \cup J = ]1\,;8]$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cDétermine toutes les valeurs de $a$ pour lesquelles $I \subset J$. Justifie.
4. dOn prend $a = 0$ et $K = ]5\,;10]$. $I \cup K$ est-il un intervalle ? Et $[0\,;5[\ \cup K$ ? Justifie.
5. eAvec $a = 0$ et $K = ]5\,;10]$, détermine $I \cap K$.

Ex. 35★★★Les codes de Noé — Noé crée un code de deux chiffres. Le premier est choisi dans $E = \{1\,;3\,;5\,;8\}$, le second dans $F = \{3\,;8\,;9\}$. Un code est le couple (premier ; second), élément de $E \times F$.

1. aÉcris $E \cap F$ et $E \cup F$ en extension, puis donne leurs cardinaux.
2. bNoé veut un code formé de deux chiffres différents. Sans faire de liste, détermine combien de codes il peut créer. Justifie.
3. cListe, sans en oublier, les codes dont le premier chiffre est $3$ ou $8$. Combien y en a-t-il ?
4. dLes couples $(8\,;5)$ et $(5\,;8)$ appartiennent-ils à $E \times F$ ? Justifie.
5. eNoé pense que $E \times F = F \times E$, car ces deux ensembles ont le même cardinal. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 36★★★Enlever la valeur absolue — Écris chaque nombre sans valeur absolue.

Ex. 37★★★Distance et valeur absolue — Réponds directement.

1. aTraduis par une valeur absolue : « la distance de $x$ à $7$ est égale à $3$ ».
2. bTraduis par une valeur absolue : « la distance de $x$ à $-5$ est au plus $2$ ».
3. cCalcule la distance entre $-13$ et $8$.
4. dCalcule la distance entre $-15$ et $-9$.
5. e$|x + 16|$ est la distance de $x$ à quel réel ?
6. fRésous l'équation $|x + 6| = 8$.

Ex. 38★★★Vrai ou faux sur la valeur absolue — Vrai ou faux ? Justifie.

1. aIl existe un réel $x$ tel que $|x - 12| = -3$.
2. bNora affirme : « l'équation $|x| = -x$ n'a aucune solution, car $-x$ est négatif. »
3. cPour tous réels $a$ et $b$, $|a + b| = |a| + |b|$.
4. dMalik écrit : « la distance entre $-10$ et $6$ est $4$. »

Ex. 39★★★Écarts de température et d'altitude — Un matin d'hiver à Gap, le thermomètre affiche $-9$ °C. L'après-midi, il affiche $6$ °C. Au même moment, sur la côte, un plongeur se trouve à l'altitude $-35$ m et une mouette vole à l'altitude $18$ m.

1. aCalcule l'écart de température entre le matin et l'après-midi, en le présentant comme une distance.
2. bCalcule la distance verticale entre le plongeur et la mouette.
3. cPour le lendemain, on prévoit une température $T$ telle que $|T + 4| \leqslant 2{,}5$. Donne l'intervalle auquel $T$ appartient.
4. dSur une semaine, les températures minimales sont dans $[-6\,;4]$. Donne le centre et le rayon de cet intervalle, puis écris la condition avec une valeur absolue.

Ex. 40★★★Racines, $\pi$ et valeur absolue — On admet que $3{,}14 < \pi < 3{,}15$. Deux réels positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

1. aCompare $\sqrt{3}$ et $2$ en comparant leurs carrés, puis écris $|\sqrt{3} - 2|$ sans valeur absolue.
2. bÉcris $|\pi - 3{,}2|$ sans valeur absolue. Justifie.
3. cÉcris $|\sqrt{3} - 1|$ sans valeur absolue, puis simplifie $A = |\sqrt{3} - 2| + |\sqrt{3} - 1|$.
4. dDétermine le centre et le rayon de l'intervalle $[\sqrt{2}\,;2]$, puis écris « $x \in [\sqrt{2}\,;2]$ » avec une valeur absolue.

Ex. 41★★★Tolérance sur des tiges d'acier — Un atelier fabrique des tiges d'acier. Une tige de longueur $L$ (en mm) est acceptée si et seulement si $L \in [118{,}6\,;121{,}4]$.

1. aDétermine le centre et le rayon de l'intervalle $[118{,}6\,;121{,}4]$.
2. bTraduis la condition d'acceptation par une inéquation avec une valeur absolue.
3. cUne tige mesure $121{,}6$ mm et une autre $118{,}9$ mm. Calcule la distance de chaque longueur au centre, puis dis si chaque tige est acceptée.
4. dÉcris sous forme de réunion d'intervalles l'ensemble des réels $L$ qui ne vérifient pas la condition d'acceptation, puis traduis-le avec une valeur absolue.
5. eLe chef d'atelier divise le rayon de tolérance par $2$ sans changer le centre. Écris le nouvel intervalle des longueurs acceptées.

Ex. 42★★★Centres négatifs et faux pas — Dans tout l'exercice, $x$ désigne un réel. Sur une droite graduée, on place les points $A$ d'abscisse $-12$ et $B$ d'abscisse $5$.

1. aTraduis « la distance de $x$ à $-8$ est inférieure ou égale à $3$ » par une inéquation avec valeur absolue, puis donne ses solutions sous forme d'intervalle.
2. bRésous l'équation $|x + 1{,}5| = 4$.
3. cLina écrit : « $|x + 1{,}5| > 4$ a pour solutions $]-\infty\,;-2{,}5[\ \cup\ ]5{,}5\,;+\infty[$ ». Repère son erreur et corrige-la.
4. dTom écrit : « $AB = -12 - 5 = -17$ ». Repère son erreur, puis calcule $AB$ de deux façons.
5. eDonne sous forme d'intervalle l'ensemble des réels $x$ situés à au plus $3$ de $A$ et à au plus $15$ de $B$.

Ex. 43★★★Automatismes : équations avec une valeur absolue — Résous chaque équation dans $\mathbb{R}$. Donne toutes les solutions, ou $\varnothing$ s'il n'y en a pas.

1. a$|x - 4| = 6$
2. b$|x + 6| = 5$
3. c$|x - 7| = 0$
4. d$|x - 1| = -4$
5. eÉcris l'équation qui traduit « $x$ est à la distance $3{,}5$ de $-2$ », puis résous-la.
6. f$|8 - x| = 3$

Ex. 44★★★Automatismes : de la valeur absolue à l'intervalle — Écris l'ensemble des réels $x$ qui vérifient la condition, sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.

1. a$|x - 5| \leqslant 2$
2. b$|x + 4| \leqslant 3$
3. c« $x$ est à moins de $0{,}5$ de $12$ »
4. d$|x - 2| > 3$
5. e$|x| \leqslant 8$

Ex. 45★★★Centre, rayon et contrôle — Les points $A$ et $B$ placés sur la droite graduée sont les bornes d'un intervalle fermé $I$.

1. aLis les abscisses de $A$ et de $B$, puis écris l'intervalle $I$.
2. bCalcule le centre $c$ et le rayon $r$ de $I$, puis place le point $C$ d'abscisse $c$ sur la droite.
3. cTraduis « $x \in I$ » par une inégalité avec une valeur absolue.
4. dContrôle ton inégalité en testant $x = 8$.
5. eYanis affirme que $x \in [-9\,;-1]$ équivaut à $|x - 5| \leqslant 4$. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 46★★★Tolérance de fabrication — Dans l'atelier de Malik, on fabrique des tiges de $25$ mm. Une tige est acceptée si sa longueur $\ell$ (en mm) est égale à $25$ mm à $0{,}2$ mm près.

1. aTraduis la condition d'acceptation par une inégalité avec une valeur absolue.
2. bDonne l'intervalle des longueurs acceptées.
3. cUne tige mesure $24{,}75$ mm. Est-elle acceptée ? Justifie par un calcul de distance.
4. dÉcris l'ensemble des réels $\ell$ tels que $|\ell - 25| > 0{,}2$ sous la forme d'une réunion d'intervalles.

Ex. 47★★★Combien de solutions ? — On étudie des équations et des inéquations où figure $|x + 3|$, avec $x$ réel.

1. aÉcris $|x + 3|$ sous la forme $|x - a|$, puis traduis $|x + 3|$ par une distance.
2. bRésous $|x + 3| = 4$ dans $\mathbb{R}$.
3. cRésous $|x + 3| = 0$, puis $|x + 3| = -2$. Justifie chaque réponse.
4. dSelon la valeur du réel $r$, donne le nombre de solutions de $|x + 3| = r$. Justifie.
5. eInès affirme : « $|x + 3| \leqslant 5$ a pour solutions $[-2\,;8]$. » Teste $x = 6$, puis corrige son erreur.

Ex. 48★★★Réfrigérateur de pharmacie — Dans la pharmacie de Corentin, la température $T$ (en °C) d'un réfrigérateur est correcte si elle est à moins de $1{,}5$ °C de $5$ °C (inégalité stricte). Une alarme sonne lorsque $|T - 5| > 2{,}5$.

1. aTraduis « $T$ est correcte » par une inégalité avec une valeur absolue, puis par un intervalle.
2. bÉcris l'ensemble des températures qui font sonner l'alarme sous la forme d'une réunion d'intervalles.
3. cLe thermomètre affiche $7$ °C. La température est-elle correcte ? L'alarme sonne-t-elle ? Justifie.
4. dÉcris l'ensemble des températures qui ne sont pas correctes et ne font pas sonner l'alarme, sous la forme d'une réunion de deux intervalles.
5. eUn autre réfrigérateur garantit $T \in [1{,}8\,;6{,}2]$. Calcule le centre et le rayon de cet intervalle, puis traduis cette condition par une inégalité $|T - a| \leqslant r$.

Ex. 49★★★Inclusions et distances — On note $I$ l'ensemble des réels $x$ tels que $|x - 1| \leqslant 4$. Utilise la droite graduée ci-dessous.

1. aÉcris $I$ sous la forme d'un intervalle. Place ensuite sur la droite graduée son centre $C$ et ses bornes $M$ et $N$.
2. b« Tout réel $x$ de $I$ vérifie $|x| \leqslant 5$. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. c« Tout réel $x$ tel que $|x| \leqslant 5$ appartient à $I$. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dDétermine le plus grand réel $r > 0$ tel que toutes les solutions de $|x - 4| \leqslant r$ appartiennent à $I$. Justifie.