Quatrième / Écriture scientifique

Ex. 1★★★Automatismes : écrire une puissance de 10 — Sans calculatrice.

1. aÉcris $10^{6}$ en écriture décimale.
2. bDonne l'écriture décimale de $10^{-3}$.
3. cCombien vaut $10^{0}$ ?
4. dCombien vaut $10^{1}$ ?
5. eComplète en écriture décimale : $10^{-9} = \ldots$
6. fÉcris $\frac{1}{10\,000}$ sous la forme d'une puissance de 10.
7. gQuelle puissance de 10 est égale à $0{,}000\,000\,01$ ?
8. hÉcris $100\,000\,000\,000$ comme une puissance de 10.

Ex. 2★★★Automatismes : calculer avec les puissances de 10 — Sans calculatrice.

1. aÉcris $10^{4} \times 10^{-7}$ sous la forme d'une seule puissance de 10.
2. bComplète : $10^{7} \div 10^{-2} = 10^{\ldots}$
3. cSimplifie $10^{-2} \times 10^{-6}$.
4. dComplète : $10^{\ldots} \times 10^{-3} = 10^{2}$
5. eÉcris $0{,}7 \times 10^{-2}$ en écriture décimale.
6. fCalcule de tête $56{,}2 \times 10^{4}$.

Ex. 3★★★Vrai ou faux ? Les pièges des puissances de 10 — Sans calculatrice. Pour chaque affirmation : vrai ou faux ? Justifie ta réponse.

1. aInès affirme : « $10^{-5} = -100\,000$ ».
2. bHugo affirme : « $10^{3} + 10^{2} = 10^{5}$ ».
3. cSelon Maëlle, $2 \times 10^{3}$ et $2^{3}$ sont égaux.
4. dD'après Yanis, $10^{-6}$ s'écrit $0{,}000\,000\,1$.
5. ePour Sofia, $10^{-2} \times 10^{5} = 10^{3}$.

Ex. 4★★★Préfixes : du virus à la carte mémoire — Sans calculatrice. Le tableau donne quelques préfixes et leurs symboles.

1. aComplète la dernière ligne du tableau.
2. bUn virus mesure environ 100 nm. Écris sa taille en m sous la forme d'une puissance de 10.
3. cUne carte mémoire contient environ 64 Go. Écris ce nombre d'octets en écriture décimale.
4. dCombien de microsecondes (µs) y a-t-il dans 1 milliseconde (ms) ? Donne une puissance de 10.

Ex. 5★★★La copie de Lucas : des erreurs à corriger — Sans calculatrice. Lucas a fait des erreurs dans son devoir sur les puissances de 10. Pour chaque ligne, explique son erreur, puis écris le bon résultat.

1. aLucas écrit : « $10^{3} \div 10^{-5} = 10^{-2}$ ».
2. bLucas écrit : « $10^{4} + 10^{2} = 10^{6}$ ».
3. cLucas écrit : « $5 \times 10^{2} = 5^{2} = 25$ ».
4. dLucas écrit : « $0{,}3 \times 10^{-3} = 300$ ».
5. eLucas écrit : « $10^{5} \times 10^{-5} = 0$ et $10^{-1} \times 10^{2} = 1$ ».

Ex. 6★★★Les vidéos de cours de Ben — Ben enregistre ses vidéos de cours. On rappelle : 1 Mo $= 10^{6}$ octets et 1 Go $= 10^{9}$ octets. Une vidéo occupe environ 250 Mo. Calculatrice permise seulement pour la dernière question.

1. aCombien de Mo y a-t-il dans 1 Go ? Justifie avec un quotient de puissances de 10.
2. bÉcris 1 Mo en Go : d'abord sous la forme d'une puissance de 10, puis en écriture décimale.
3. cLa clé USB de Ben a une capacité de 32 Go. Combien de vidéos peut-il y mettre au plus ? Justifie.
4. dBen copie sa clé pleine sur son ordinateur à environ 48 Mo par seconde. Donne un ordre de grandeur de la durée, puis calcule-la à la calculatrice
   (arrondie à la seconde).

Ex. 7★★★La vitesse de la lumière — Calculatrice permise. La lumière parcourt environ $3 \times 10^{8}$ m en une seconde. On rappelle : 1 ns $= 10^{-9}$ s et 1 µs $= 10^{-6}$ s.

1. aQuelle distance la lumière parcourt-elle en 1 ns ? Donne-la en m, puis en cm.
2. bCombien de temps la lumière met-elle pour parcourir 3 km ? Donne la réponse en s avec une puissance de 10, puis en µs.
3. cLe temps de pose d'un appareil photo est $\frac{1}{1\,000}$ s. Écris ce temps sous la forme d'une puissance de 10, puis en écriture décimale.
4. dQuelle distance la lumière parcourt-elle pendant ce temps de pose ? Donne la réponse en km.
5. eLa lumière met environ 1,3 s pour aller de la Lune à la Terre. Donne de tête un ordre de grandeur de cette distance, puis calcule-la en km.

Ex. 8★★★Automatismes : de l'écriture décimale à la notation scientifique — Sans calculatrice, écris chaque nombre en notation scientifique.

Ex. 9★★★Automatismes : notation scientifique ou pas ? — Sans calculatrice. Dis si l'écriture est une notation scientifique et justifie. Si ce n'en est pas une, corrige-la.

Ex. 10★★★Les affirmations d'Inès — Sans calculatrice. Voici des affirmations d'Inès. Corrige celles qui sont fausses.

1. a« $0{,}000\,9 = 9 \times 10^{4}$. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. b« $3{,}2 \times 10^{-3}$ est un nombre négatif. » A-t-elle raison ? Justifie en donnant son écriture décimale.
3. c« $54 \times 10^{-5} = 5{,}4 \times 10^{-6}$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. d« $8\,000\,000 = 8 \times 10^{7}$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 11★★★Tout petit, plus petit — Sans calculatrice. Le tableau donne des tailles approximatives d'objets observés au microscope. Rappel : 1 µm $= 10^{-6}$ m, 1 nm $= 10^{-9}$ m, 1 mm $= 10^{-3}$ m.

1. aComplète la ligne « En m (écriture décimale) » du tableau.
2. bComplète la ligne « En m (notation scientifique) » du tableau.
3. cRange ces trois objets du plus petit au plus grand.
4. dUn grain de sable fin mesure environ $\frac{3}{10\,000}$ m. Écris cette taille en notation scientifique. Est-il plus épais qu'un cheveu ?

Ex. 12★★★Les cinq écritures de Lola — Sans calculatrice. Lola affirme que ces cinq écritures désignent toutes le nombre $0{,}000\,64$ : $64 \times 10^{-5}$ ; $0{,}64 \times 10^{-3}$ ; $6{,}4 \times 10^{-4}$ ; $640 \times 10^{-7}$ ; $\frac{64}{100\,000}$.

1. aParmi les écritures de Lola, laquelle est la notation scientifique de $0{,}000\,64$ ? Explique pourquoi chacune des autres n'est pas une notation scientifique.
2. bL'une des écritures de Lola ne désigne pas $0{,}000\,64$. Laquelle ? Justifie, puis donne sa notation scientifique et son écriture décimale.
3. cTrouve l'exposant qui manque dans chaque égalité : $87 \times 10^{\ldots} = 8{,}7 \times 10^{-6}$ et $0{,}87 \times 10^{\ldots} = 8{,}7 \times 10^{-6}$. Justifie.
4. dNi $10 \times 10^{-6}$ ni $2{,}80 \times 10^{4}$ ne sont écrits correctement en notation scientifique. Écris chacun correctement et explique ce que tu changes.

Ex. 13★★★La mémoire du téléphone de Sacha — Calculatrice autorisée. Sacha fait le point sur les fichiers de son téléphone. Rappel : 1 ko $= 10^{3}$ octets, 1 Mo $= 10^{6}$ octets, 1 Go $= 10^{9}$ octets.

1. aÉcris en notation scientifique la taille du SMS en octets, puis celle de la photo en octets.
2. bSacha écrit : « Le document fait $0{,}045 \times 10^{6}$ octets, et c'est une notation scientifique. » A-t-il raison ? Justifie, et corrige si besoin.
3. cÉcris la taille de la vidéo en octets, d'abord en écriture décimale puis en notation scientifique. Donne ensuite cette taille en ko, en notation scientifique.
4. dPour la mémoire libre, la calculatrice de Sacha affiche « 2.75E10 » octets. Écris ce nombre en notation scientifique, puis convertis-le en Go, en notation scientifique.

Ex. 14★★★Vrai ou faux au club de sciences — Sans calculatrice. Voici des affirmations du club de sciences. Corrige celles qui sont fausses. Rappel : 1 km $= 10^{3}$ m, 1 mm $= 10^{-3}$ m, 1 µm $= 10^{-6}$ m, 1 kg $= 10^{3}$ g.

1. a« Une bactérie mesure environ 2 µm de long, soit $2 \times 10^{-3}$ m. » Vrai ou faux ? Justifie.
2. b« La distance Terre–Lune est d'environ $384\,000$ km, soit $3{,}84 \times 10^{8}$ m. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. c« Un moustique pèse environ $\frac{2}{1\,000}$ g, soit $2 \times 10^{-3}$ g, c'est-à-dire $2 \times 10^{-6}$ kg. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. d« Une coccinelle mesure environ $6{,}5$ mm, soit $6{,}5 \times 10^{1}$ mm en notation scientifique. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. e« Une année-lumière, environ $9\,460\,000\,000\,000$ km, s'écrit $946 \times 10^{10}$ km, c'est-à-dire $9{,}46 \times 10^{8}$ km. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 15★★★Décaler la virgule — Sans calculatrice, donne l'écriture décimale de chaque nombre. Pense aux espaces entre les groupes de trois chiffres.

Ex. 16★★★Fractions décimales et zéros — Sans calculatrice, réponds à chaque question.

1. aÉcris $7 \times 10^{-3}$ sous forme d'une fraction décimale, puis en écriture décimale.
2. bÉcris $8{,}3 \times 10^{-2}$ sous forme d'une fraction décimale de numérateur 83.
3. cCombien de zéros y a-t-il après la virgule, avant le 6, dans l'écriture décimale de $6 \times 10^{-8}$ ?
4. dCombien de zéros écris-tu après le 5 dans l'écriture décimale de $5 \times 10^{9}$ ?
5. eÉcris $10^{-5}$ en écriture décimale, puis sous forme d'une fraction décimale.
6. fTrouve l'entier $n$ tel que $0{,}000\,004 = 4 \times 10^{n}$.

Ex. 17★★★Les égalités de Noé — Noé a écrit ces égalités sans calculatrice. Pour chacune, dis si elle est juste ou fausse. Justifie, puis corrige si besoin.

1. a« $3{,}7 \times 10^{-4} = 0{,}000\,037$, car j'écris 4 zéros après la virgule. »
2. b« $8{,}15 \times 10^{4} = 8\,150\,000$, car j'ajoute 4 zéros après 815. »
3. c« $2{,}6 \times 10^{-2} = -26$, car l'exposant est négatif. »
4. d« $6{,}25 \times 10^{-3} = 0{,}006\,25$. »

Ex. 18★★★Du globule au grain de sable — Sans calculatrice. Inès a relevé dans un livre de sciences la taille approximative de trois objets. Elle veut les écrire en écriture décimale pour mieux les comparer.

1. aComplète la ligne « Écriture décimale » du tableau.
2. bRange ces trois objets du plus petit au plus grand.
3. cSachant que $1$ µm $= 10^{-6}$ m, donne la taille du globule rouge en micromètres.
4. dDonne la taille du grain de sable en millimètres.

Ex. 19★★★Les astuces de Lucas — Sans calculatrice. Lucas a noté dans son carnet des « astuces » pour passer de la notation scientifique à l'écriture décimale. Teste-les sur les exemples en écrivant chaque nombre en écriture décimale, puis justifie chaque réponse.

1. aAstuce 1 : « Pour $a \times 10^{-n}$, avec $n$ entier positif, il y a $n - 1$ zéros après la virgule avant le premier chiffre non nul. » Teste-la sur $5 \times 10^{-6}$ et sur $2{,}03 \times 10^{-6}$.
2. bLucas applique l'astuce 1 à $0{,}8 \times 10^{-3}$ et écrit $0{,}008$. A-t-il raison ? Justifie, puis dis quand l'astuce 1 marche.
3. cAstuce 2 : « Pour $a \times 10^{n}$ avec $n > 0$, la partie entière de l'écriture décimale a $n + 1$ chiffres. » Teste-la sur $3{,}06 \times 10^{5}$ et sur $45 \times 10^{5}$.
4. dLucas écrit : « $10^{0} = 0$, donc $9{,}17 \times 10^{0} = 0$. » Corrige-le en calculant $10^{1} \div 10^{1}$ de deux façons, puis écris $9{,}17 \times 10^{0}$ en écriture décimale.
5. eLucas écrit : « $0{,}000\,030\,9 = 3{,}09 \times 10^{-4}$, car il y a 4 zéros avant le 3. » A-t-il raison ? Justifie et donne le bon exposant.

Ex. 20★★★Le disque dur de Salomé — Calculatrice autorisée, mais détaille les étapes. Le disque dur de Salomé a une capacité d'environ 500 Go. Une photo occupe environ 4 Mo et une vidéo environ 1,25 Go. On rappelle : 1 Go = $10^{9}$ octets et 1 Mo = $10^{6}$ octets.

1. aÉcris la capacité du disque en octets, d'abord en notation scientifique, puis en écriture décimale.
2. bÉcris la taille d'une vidéo en octets, en notation scientifique puis en écriture décimale.
3. cCombien de photos Salomé peut-elle stocker sur le disque vide ? Calcule en regroupant les $a$ et les puissances de 10.
4. dSalomé enregistre d'abord 240 vidéos. Calcule en octets la place occupée, puis la place restante, en notation scientifique.
5. eCombien de photos peut-elle encore stocker ensuite ? Donne le résultat en notation scientifique, puis en écriture décimale.

Ex. 21★★★Les bactéries de Mathis — Calculatrice autorisée, mais détaille les étapes. Mathis observe des bactéries. Une bactérie mesure environ $2{,}5 \times 10^{-6}$ m de long et a une masse d'environ $1{,}5 \times 10^{-12}$ g. Un tube en contient environ $3{,}2 \times 10^{9}$. On rappelle : 1 µm = $10^{-6}$ m, 1 mm = $10^{-3}$ m et 1 mg = $10^{-3}$ g.

1. aÉcris la longueur d'une bactérie en écriture décimale en m, puis en µm.
2. bMathis aligne des bactéries bout à bout sur 1 mm. Combien lui en faut-il ?
3. cPour la masse des bactéries du tube, la calculatrice affiche « 4.8E-3 ». Mathis dit : « La masse est négative ! » A-t-il raison ? Justifie et retrouve ce résultat sans la touche E.
4. dÉcris cette masse en écriture décimale en g, puis en mg.
5. eSi l'on alignait toutes les bactéries du tube bout à bout, quelle longueur obtiendrait-on ? Donne-la en m, puis en km.

Ex. 22★★★Comparer de tête — Sans calculatrice, compare les deux nombres avec $<$, $>$ ou $=$.

1. a$3{,}6 \times 10^{-5}$ et $7 \times 10^{-6}$
2. b$4{,}09 \times 10^{7}$ et $4{,}1 \times 10^{7}$
3. c$8{,}5 \times 10^{-2}$ et $1{,}3 \times 10^{0}$
4. d$9{,}9 \times 10^{11}$ et $1{,}01 \times 10^{12}$
5. e$27 \times 10^{3}$ et $3{,}1 \times 10^{4}$
6. f$0{,}6 \times 10^{-3}$ et $5{,}8 \times 10^{-4}$
7. g$7{,}2 \times 10^{-8}$ et $7{,}2 \times 10^{-9}$

Ex. 23★★★Vrai ou faux ? — Sans calculatrice. Vrai ou faux ? Justifie.

1. a$10^{-4}$ est plus grand que $10^{-7}$.
2. b$9{,}3 \times 10^{-6}$ est plus grand que $1{,}4 \times 10^{-5}$, car $9{,}3 > 1{,}4$.
3. c$0{,}000\,45$ est plus petit que $5 \times 10^{-5}$.
4. d$45 \times 10^{5}$ est plus petit que $2 \times 10^{6}$, car $5 < 6$.
5. e$0{,}08 \times 10^{3}$ est plus petit que $1{,}2 \times 10^{1}$.
6. fUn nombre écrit $a \times 10^{-3}$ en notation scientifique est toujours plus grand qu'un nombre écrit $b \times 10^{-4}$ en notation scientifique.

Ex. 24★★★Du pollen à l'atome — Sans calculatrice. Voici des tailles, données environ, en mètres.

1. aÉcris en notation scientifique les tailles qui ne le sont pas encore.
2. bMalik affirme : « L'atome est plus grand que le virus, car $-10$ est plus grand que $-7$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cRange les cinq tailles dans l'ordre décroissant.
4. dCombien de fois le grain de pollen est-il plus grand que la bactérie ?

Ex. 25★★★Distances dans l'espace — Sans calculatrice. Voici quelques distances, données environ.

1. aInès dit : « $780 \times 10^{6}$ km est plus petit que $0{,}56 \times 10^{8}$ km, car $6 < 8$. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bÉcris les cinq distances en notation scientifique, en kilomètres.
3. cRange les cinq distances dans l'ordre croissant.
4. dLa sonde Voyager 1 est à environ $2{,}4 \times 10^{13}$ m du Soleil. Entre quelles distances du tableau se place-t-elle ? Justifie.

Ex. 26★★★Du virus à l'ovule — Calculatrice permise. Voici des tailles, données environ. Rappel : $1$ nm $= 10^{-9}$ m, $1$ µm $= 10^{-6}$ m, $1$ mm $= 10^{-3}$ m.

1. aÉcris chaque taille en mètres, en notation scientifique.
2. bLucas dit : « Le virus est plus grand que la levure, car $7 > 6$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cLina dit : « L'ovule est $100$ fois plus grand que la levure, car leurs exposants diffèrent de $2$. » Corrige son erreur.
4. dCombien de virus de la grippe faut-il aligner pour atteindre la taille de l'ovule ?

Ex. 27★★★La mémoire de l'ordinateur de Noémie — Calculatrice permise. Noémie relève la taille de quelques fichiers, donnée environ. Rappel : $1$ ko $= 10^{3}$ octets, $1$ Mo $= 10^{6}$ octets, $1$ Go $= 10^{9}$ octets.

1. aÉcris la taille de chaque fichier en octets, en notation scientifique.
2. bNoémie dit : « Ma musique est plus légère que ma photo, car $0{,}008 < 3\,600$. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cUn autre fichier mesure $5 \times 10^{n}$ octets, avec $n$ entier. Il est plus gros que la photo et plus petit que le film. Quelles valeurs $n$ peut-il prendre ? Justifie.
4. dSa clé USB a une capacité de $16$ Go. Combien de photos comme celle du tableau peut-elle stocker au plus ?

Ex. 28★★★La masse des astres — Calculatrice permise. Voici des masses, données environ. Rappel : $1$ t $= 10^{3}$ kg.

1. aÉcris les masses de la Lune, de Mars et de Jupiter en kg, en notation scientifique.
2. bRange les six astres dans l'ordre croissant de leur masse.
3. cDonne l'ordre de grandeur, en kg, de la masse de la Lune, de celle d'Uranus et de celle du Soleil.
4. dAvec ces ordres de grandeur, Adam affirme : « Le Soleil est environ $10\,000$ fois plus lourd qu'Uranus. » Vérifie avec les masses du tableau et commente.

Ex. 29★★★La puissance de 10 la plus proche — Sans calculatrice. Donne l'ordre de grandeur de chaque nombre : c'est la puissance de 10 la plus proche. Si le nombre n'est pas en notation scientifique, mets-le d'abord en notation scientifique.

Ex. 30★★★Ordre de grandeur d'un calcul — Sans calculatrice. Arrondis chaque nombre à un seul chiffre non nul, puis donne un ordre de grandeur du résultat en notation scientifique. Écris le signe $\approx$.

1. a$(3{,}9 \times 10^{4}) \times (2{,}1 \times 10^{3})$
2. b$(6{,}2 \times 10^{-3}) \times (4{,}8 \times 10^{-2})$
3. c$\dfrac{8{,}1 \times 10^{9}}{1{,}9 \times 10^{4}}$
4. d$398 \times 0{,}000\,21$
5. e$29\,800\,000 \div 0{,}004\,9$

Ex. 31★★★Contrôler un résultat — Sans calculatrice. Malik, Chloé et Inès révisent ensemble. Pour chaque calcul, commence par un ordre de grandeur (chaque nombre arrondi à un seul chiffre non nul), puis conclus.

1. aMalik trouve $(3{,}1 \times 10^{3}) \times (3 \times 10^{5}) = 9{,}3 \times 10^{15}$. Repère son erreur avec un ordre de grandeur, puis corrige.
2. bChloé trouve $\frac{8{,}4 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{2}} = 4{,}2 \times 10^{-2}$. Son exposant est-il juste ? Justifie, puis corrige.
3. cInès écrit : $(4{,}7 \times 10^{6}) \times (2{,}2 \times 10^{-2}) = 10^{5}$. A-t-elle raison ? Justifie, puis donne le résultat exact.
4. dVrai ou faux ? Justifie. $(5 \times 10^{-3}) \times (8 \times 10^{-6}) = 4 \times 10^{-8}$.

Ex. 32★★★Des cheveux aux planètes — Sans calculatrice. Voici cinq longueurs : l'épaisseur d'un cheveu, le diamètre d'un globule rouge, le diamètre d'une pièce de monnaie, la distance Terre-Lune et la distance Terre-Soleil. Leurs ordres de grandeur, dans le désordre : $10^{8}$ m ; $10^{-5}$ m ; $10^{11}$ m ; $10^{-2}$ m ; $10^{-4}$ m.

1. aAssocie chaque longueur à son ordre de grandeur.
2. bLa distance Terre-Soleil est environ combien de fois plus grande que la distance Terre-Lune ? Combien de puissances de 10 d'écart ?
3. cEnviron combien de cheveux faut-il placer côte à côte pour couvrir le diamètre de la pièce ?
4. dUn grain de sable mesure environ $2 \times 10^{-4}$ m et un grain de pollen environ $2{,}5 \times 10^{-5}$ m. Zoé dit : « Le sable est exactement 10 fois plus gros. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 33★★★Combien de grains de sable sur la plage ? — Calculatrice permise, sauf à la première question. Une plage mesure environ $2{,}4$ km de long et $38$ m de large. Le sable y est épais d'environ $2{,}7$ m. On considère que le sable forme un pavé droit. Un grain de sable occupe environ $3 \times 10^{-10}$ m³.

1. aSans calculatrice, convertis la longueur de la plage en mètres. Arrondis chaque dimension à un seul chiffre non nul, puis donne un ordre de grandeur du volume de sable, en m³ et en notation scientifique.
2. bCalcule le volume exact de sable en m³. Écris-le en notation scientifique, puis donne son ordre de grandeur.
3. cCalcule le nombre de grains de sable à partir du volume exact. Écris-le en notation scientifique, puis donne son ordre de grandeur.
4. dLéo écrit : « Il y a $10^{15}$ grains de sable sur cette plage, exactement. » A-t-il raison ? Justifie en calculant l'écart avec ton résultat de la question précédente.

Ex. 34★★★Enquête sur les ordres de grandeur — Sans calculatrice. Justifie chaque réponse avec la notation scientifique.

1. aParmi les nombres $0{,}000\,67$ ; $6{,}7 \times 10^{-5}$ ; $\frac{9}{1\,000}$ ; $0{,}2 \times 10^{-2}$, lesquels ont pour ordre de grandeur $10^{-3}$ ? Justifie.
2. bTrouve deux nombres écrits en notation scientifique, avec le même exposant $4$, qui n'ont pas le même ordre de grandeur. Justifie.
3. cLina affirme : « $8{,}8 \times 10^{8}$ et $1{,}1 \times 10^{9}$ n'ont pas le même ordre de grandeur, puisque leurs exposants sont différents. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dUn nombre s'écrit $23 \times 10^{n}$, où $n$ est un entier relatif. Son ordre de grandeur est $10^{-5}$. Trouve $n$ et justifie.
5. eLe nombre $A$ a pour ordre de grandeur $10^{-2}$ et le nombre $B$ a pour ordre de grandeur $10^{-7}$. Sofiane dit : « $A$ est environ $10^{9}$ fois plus grand que $B$, car $2 + 7 = 9$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 35★★★Le serveur de vidéos — Calculatrice permise, sauf à la deuxième question. Un serveur stocke environ $7{,}8 \times 10^{5}$ vidéos. Chaque vidéo occupe environ $1{,}9$ Go. On rappelle que $1$ Go (gigaoctet) $= 10^{9}$ octets.

1. aÉcris la taille d'une vidéo en octets, d'abord en écriture décimale, puis en notation scientifique.
2. bSans calculatrice, arrondis chaque nombre à un seul chiffre non nul. Donne ensuite un ordre de grandeur de la place occupée par toutes les vidéos, en octets.
3. cLa calculatrice affiche « 1.482E15 » pour la place totale exacte. Écris ce résultat en notation scientifique. Est-il cohérent avec ton estimation ? Justifie.
4. dUn téléphone stocke $128$ Go. Écris cette capacité en octets, en notation scientifique, et donne son ordre de grandeur. Combien de fois le serveur contient-il environ plus d'octets ?
5. eHugo veut copier toutes les vidéos sur des disques de $1\,000$ Go. Il part de l'ordre de grandeur $10^{15}$ octets et commande $1\,000$ disques. Est-ce suffisant ? Justifie par le calcul exact.

Ex. 36★★★Produits en ligne (automatismes) — Sans calculatrice, calcule chaque produit. Donne le résultat en notation scientifique.

1. a$(3 \times 10^{5}) \times (2 \times 10^{4})$
2. b$(2{,}5 \times 10^{-3}) \times (3 \times 10^{7})$
3. c$(4 \times 10^{6}) \times (5 \times 10^{-9})$
4. d$(1{,}5 \times 10^{-4}) \times (6 \times 10^{-2})$
5. e$(8 \times 10^{0}) \times (7 \times 10^{3})$
6. f$4 \times 10^{2} \times 3 \times 10^{-5}$

Ex. 37★★★Quotients en ligne (automatismes) — Sans calculatrice, calcule chaque quotient. Donne le résultat en notation scientifique.

1. a$(8{,}4 \times 10^{9}) \div (2 \times 10^{3})$
2. b$(6{,}3 \times 10^{5}) \div (3 \times 10^{-4})$
3. c$(2 \times 10^{5}) \div (5 \times 10^{-3})$
4. d$(9 \times 10^{-6}) \div (4{,}5 \times 10^{-4})$
5. e$\dfrac{3 \times 10^{-7}}{6 \times 10^{2}}$
6. f$\dfrac{7{,}2 \times 10^{4}}{8 \times 10^{4}}$

Ex. 38★★★Erreurs d'élèves : vrai ou faux ? — Sans calculatrice. Pour chaque affirmation, justifie ta réponse et corrige si besoin.

1. aLéna écrit : $(5 \times 10^{4}) \times (6 \times 10^{3}) = 30 \times 10^{7}$, « et c'est une notation scientifique ». A-t-elle raison ? Justifie.
2. bMalo affirme que $7 \times 10^{4} + 2 \times 10^{4} = 9 \times 10^{8}$. Vrai ou faux ? Justifie.
3. cInès trouve $(4 \times 10^{9}) \div (2 \times 10^{-3}) = 2 \times 10^{6}$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dHugo affirme que $500 \times 3 \times 10^{-6} = 1{,}5 \times 10^{-3}$. Vrai ou faux ? Justifie en écrivant d'abord $500$ en notation scientifique.
5. eZoé calcule $2 \times 10^{6} - 4 \times 10^{5}$ et trouve $1{,}6 \times 10^{6}$. Vérifie son résultat en repassant par l'écriture décimale.

Ex. 39★★★Calculs en étage et seau de sable — Sans calculatrice. On donne $B = \frac{4 \times 10^{-3} \times 9 \times 10^{5}}{1{,}2 \times 10^{-4}}$ et $C = \frac{2{,}4 \times 10^{7}}{6 \times 10^{2} \times 8 \times 10^{-3}}$.

1. aCalcule $B$ en regroupant les $a$ d'un côté et les puissances de $10$ de l'autre. Donne le résultat en notation scientifique.
2. bCalcule $C$ de la même façon. Donne le résultat en notation scientifique.
3. cUn seau contient environ $1{,}8 \times 10^{4}$ g de sable. Un grain pèse environ $2 \times 10^{-3}$ g. Combien de grains contient le seau, environ ? Donne le résultat en notation scientifique.

Ex. 40★★★La lumière, du Soleil à Proxima — Calculatrice autorisée, mais écris le regroupement des $a$ et des puissances de $10$. Le tableau donne des valeurs approchées. Donne chaque résultat en notation scientifique.

1. aCalcule le temps, en secondes, que met la lumière du Soleil pour arriver jusqu'à Neptune.
2. bUne année-lumière est la distance que parcourt la lumière en une année. Calcule-la en km, puis en m.
3. cL'étoile Proxima du Centaure est à environ $4 \times 10^{13}$ km de nous. Calcule cette distance en années-lumière, arrondie au dixième.
4. dNeptune, la Terre et le Soleil sont alignés, la Terre et Neptune du même côté. Yanis écrit : $4{,}5 \times 10^{9} - 1{,}5 \times 10^{8} = 3 \times 10^{1}$ km. Explique son erreur, puis calcule la distance Terre-Neptune.

Ex. 41★★★Les globules rouges d'un adulte — Calculatrice autorisée, mais écris le regroupement des $a$ et des puissances de $10$. Un adulte a environ $5$ L de sang ($1$ L $= 10^{6}$ mm³). Un jour dure environ $8{,}6 \times 10^{4}$ s. Valeurs approchées pour un globule rouge :

1. aÉcris le volume de sang en mm³ en notation scientifique, puis calcule le nombre de globules rouges dans le corps.
2. bOn aligne tous ces globules côte à côte. Calcule la longueur obtenue en m, puis en km, en notation scientifique.
3. cTiméo affirme que les globules rouges d'un adulte pèsent en tout plus de $1$ kg. A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
4. dÉcris $120$ en notation scientifique, puis calcule la durée de vie d'un globule rouge en secondes.
5. eTous les globules rouges sont remplacés pendant cette durée. Calcule le nombre de globules remplacés chaque seconde
   ($a$ arrondi au dixième).

Ex. 42★★★Puces et centres de données — Calculatrice autorisée, mais écris le regroupement des $a$ et des puissances de $10$. Le tableau donne des valeurs approchées pour une puce électronique et un centre de données. Donne chaque résultat en notation scientifique.

1. aCalcule le nombre maximal de transistors que l'on peut placer sur la puce.
2. bCalcule la quantité totale stockée par le centre, en octets, puis en gigaoctets
   ($1$ Go $= 10^{9}$ octets).
3. cUn second bâtiment stocke environ $5 \times 10^{17}$ octets. Chloé écrit : total $= 9{,}8 \times 10^{35}$ octets. Explique son erreur, puis calcule le total des deux bâtiments.
4. dSacha affirme : « Un seul serveur peut stocker $3 \times 10^{4}$ films de $4$ Go. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.

Ex. 43★★★Lire l'écran de la calculatrice — Sans calculatrice. Chaque écran affiche un résultat. Écris ce nombre en notation scientifique, puis en écriture décimale.

1. a« 7.2E6 »
2. b« 3.05E-3 »
3. c« 4.8E0 »
4. d« 1.6E-5 »
5. e« 2.47E4 »
6. f« 8.1E-2 »
   (Nora a écrit $8{,}1^{-2}$ : corrige son erreur)

Ex. 44★★★Tout dans la même unité — Sans calculatrice. Rappel : nano = $10^{-9}$, micro = $10^{-6}$, milli = $10^{-3}$, kilo = $10^{3}$, giga = $10^{9}$. Convertis, puis donne le résultat en notation scientifique.

1. a$3 \times 10^{5}$ km = … m
2. b$4{,}2 \times 10^{-3}$ g = … kg
3. c$6 \times 10^{4}$ mg = … g
4. d$2{,}5$ nm = … m
5. e$7 \times 10^{-2}$ km = … m
6. f$3{,}6$ Go = … octets
7. g$8 \times 10^{6}$ micromètres (µm) = … m

Ex. 45★★★La lumière du Soleil jusqu'à Jupiter — Sans calculatrice. Jupiter est à environ $7{,}8 \times 10^{8}$ km du Soleil. Son diamètre mesure environ $1{,}4 \times 10^{5}$ km. La lumière parcourt environ $3 \times 10^{8}$ m par seconde.

1. aÉcris la distance du Soleil à Jupiter en mètres, en notation scientifique.
2. bCalcule en secondes la durée du trajet de la lumière du Soleil à Jupiter. Donne-la en notation scientifique.
3. cConvertis cette durée en minutes et secondes.
4. dUne donnée de l'énoncé ne sert à rien pour ce calcul. Laquelle ? Explique pourquoi.

Ex. 46★★★Les grains de sable du seau — Sans calculatrice. Mia remplit un seau avec environ $4$ kg de sable. Un grain de sable a une masse d'environ $0{,}03$ g.

1. aÉcris la masse d'un grain en kilogrammes, en notation scientifique.
2. bCalcule le nombre de grains dans le seau. Donne le résultat en notation scientifique, avec $a$ arrondi au centième.
3. cLéa a calculé $4 \div 0{,}03$ sans rien convertir. Quel résultat obtient-elle ? Pourquoi est-il faux ?
4. dContrôle ton résultat de la deuxième question par un ordre de grandeur, en remplaçant $4$ par $3$.

Ex. 47★★★Un message pour une sonde lointaine — Calculatrice autorisée. Une sonde spatiale est à environ $2{,}4 \times 10^{13}$ m de la Terre. Un message radio voyage à la vitesse de la lumière, environ $3 \times 10^{5}$ km par s.

1. aÉcris la distance de la Terre à la sonde en kilomètres, en notation scientifique.
2. bCalcule la durée du trajet d'un message de la Terre à la sonde, en secondes et en notation scientifique.
3. cConvertis cette durée en minutes, puis en heures et minutes
   (arrondi à la minute).
4. dNoé calcule $2{,}4 \times 10^{13} \div (3 \times 10^{5})$ et annonce $8 \times 10^{7}$ s. Explique son erreur.
5. eUn autre signal, venu d'une sonde plus proche, met environ $4{,}5 \times 10^{3}$ s pour arriver. À quelle distance de la Terre, en km, est cette sonde ?

Ex. 48★★★Les bactéries de l'échantillon — Calculatrice autorisée. Rappel : milli $= 10^{-3}$, micro $= 10^{-6}$. Au laboratoire, Yanis pèse un échantillon de bactéries : environ $6$ mg. Une bactérie a une masse d'environ $1{,}5 \times 10^{-12}$ g et mesure environ $2$ micromètres de long.

1. aÉcris la masse de l'échantillon en grammes, en notation scientifique.
2. bCalcule le nombre de bactéries dans l'échantillon. Donne le résultat en notation scientifique.
3. cOn aligne toutes ces bactéries bout à bout. Calcule la longueur obtenue en mètres, puis en kilomètres.
4. dZoé convertit la masse d'une bactérie en kg. Son écran affiche « 1.5E-15 ». Elle écrit : « $1{,}5 \times (-15) = -22{,}5$ kg ». A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 49★★★Les photos du serveur — Calculatrice autorisée. Rappel : $1$ Go (gigaoctet) $= 10^{9}$ octets et $1$ Mo (mégaoctet) $= 10^{6}$ octets. Un serveur peut stocker environ $8 \times 10^{5}$ Go. Une photo occupe environ $3{,}5$ Mo. Pour envoyer une photo, il faut environ $0{,}4$ s.

1. aÉcris la capacité du serveur et la taille d'une photo en octets, en notation scientifique.
2. bSans calculatrice, arrondis $3{,}5$ à $4$ et estime le nombre de photos que peut contenir le serveur.
3. cCalcule ce nombre de photos à la calculatrice. Arrondis $a$ au centième. Est-ce cohérent avec ton estimation ?
4. dToutes les photos sont envoyées l'une après l'autre. Calcule la durée en secondes ($a$ au centième), puis en jours
   (à l'unité).
5. eMalo multiplie par $0{,}4$ le nombre de photos arrondi de la question 3. Trouve-t-il la même durée que toi ? Explique.