Terminale spécialité / Échantillonnage

Ex. 1★★★Espérance et variance d'une loi finie — Une variable aléatoire $X$ suit la loi ci-dessous. Calcule en ligne.

1. aCalcule $\mu = E(X)$.
2. bCalcule $E(X^2)$.
3. cLina calcule $V(X)$ en retranchant $\mu$ à $E(X^2)$. Quelle valeur obtient-elle ? Corrige son erreur et donne $V(X)$.
4. dCalcule l'écart type $\sigma(X)$.
5. eCalcule la probabilité exacte $P(|X - \mu| \geqslant 2)$.

Ex. 2★★★Binomiale, somme et moyenne d'un échantillon — Calcule en ligne.

1. a$X$ suit la loi $\mathcal{B}(50\,;0{,}2)$. Calcule $E(X)$.
2. b$X$ suit la loi $\mathcal{B}(50\,;0{,}2)$. Calcule $V(X)$.
3. c$Y$ suit la loi $\mathcal{B}(400\,;0{,}1)$. Calcule $\sigma(Y)$.
4. d$T$ vérifie $E(T) = 12$ et $V(T) = 8$. Calcule $E(S_{25})$, où $S_{25}$ est la somme d'un échantillon de taille $25$ de $T$.
5. eAvec la même $T$, donne $E(M_{25})$ et $V(M_{25})$, où $M_{25}$ est la moyenne de cet échantillon.
6. f$Z$ a pour écart type $\sigma(Z) = 3$. Calcule $V(M_{100})$ pour un échantillon de taille $100$ de $Z$.

Ex. 3★★★Six échantillons de lancers — Ben affirme que sa pièce truquée tombe sur pile avec la probabilité $p = 0{,}4$. Inès lance la pièce et forme six échantillons de $100$ lancers chacun. Elle note la fréquence de pile observée dans chacun.

1. aLes échantillons 1 et 2 ont la même taille mais des fréquences différentes. Comment s'appelle ce phénomène ? Explique-le.
2. bCalcule la moyenne des six fréquences, puis l'écart entre la plus grande et la plus petite.
3. cInès déclare : « La probabilité de pile vaut $0{,}44$ : je l'ai observée dans l'échantillon 2. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dOn note $X$ le nombre de piles dans un échantillon de $100$ lancers. Quelle est la loi de $X$ ? Calcule $E(X)$ et $V(X)$.
5. eQuel échantillon donne le nombre de piles le plus éloigné de $E(X)$ ? Donne cet écart.

Ex. 4★★★La roue de Malo se stabilise — Malo fait tourner une roue de loterie dont le secteur gagnant a la probabilité $0{,}25$. Le point d'abscisse $k$ donne la fréquence de gain observée après $n = 100k$ parties. On note $X$ la variable qui vaut $1$ si une partie est gagnée et $0$ sinon. $M_n$ est la fréquence de gain sur $n$ parties.

1. aDécris comment évoluent les fréquences observées quand $n$ augmente.
2. bCalcule $E(X)$ et $V(X)$.
3. cCalcule $V(M_{100})$ et $V(M_{800})$. Explique le lien avec l'allure du graphique.
4. dVrai ou faux : « Avec $10\,000$ parties, la fréquence de gain sera exactement égale à $0{,}25$. » Justifie.

Ex. 5★★★Le stand de Yanis — Au stand de Yanis, une partie rapporte un gain $X$ en euros (négatif en cas de perte). Sa loi est donnée ci-dessous, où $p$ et $q$ sont deux réels. Le gain moyen annoncé est $E(X) = 0{,}7$.

1. aDétermine $p$ et $q$.
2. bCalcule $E(X^2)$, puis $V(X)$.
3. cYanis lit $V(X)$ comme l'écart typique, en euros, entre le gain et sa moyenne. Corrige-le, puis donne $\sigma(X)$ à $0{,}01$ près.
4. dYanis joue $100$ parties indépendantes. $S$ est le gain total et $M$ le gain moyen par partie. Calcule $E(S)$, $V(S)$, $E(M)$ et $V(M)$.
5. eVrai ou faux ? « Sur ces $100$ parties, l'écart type de $M$ est $100$ fois plus petit que $\sigma(X)$. » Justifie.

Ex. 6★★★Les graines de Nadia — Un semencier affirme que chaque graine de tomate germe avec la probabilité $p = 0{,}85$, indépendamment des autres. Pour un sachet de $n$ graines, $X$ est le nombre de graines qui germent et $F = \frac{X}{n}$ la fréquence de germination. Le nuage ci-dessous donne les fréquences observées par Nadia sur six sachets de $200$ graines (abscisse : numéro du sachet).

1. aPour $n = 200$, justifie la loi de $X$, puis calcule $E(X)$, $V(X)$ et $\sigma(X)$ à $0{,}01$ près.
2. bNadia obtient $V(F)$ en divisant $V(X)$ par $200$. Corrige son erreur, puis calcule $E(F)$, $V(F)$ et $\sigma(F)$ à $0{,}0001$ près.
3. cCalcule la moyenne des six fréquences. Que représente ce nombre pour les $1\,200$ graines semées ?
4. dLe semencier vend aussi des sachets de $800$ graines. Calcule $\sigma(F)$ à $0{,}0001$ près pour $n = 800$. Par quel nombre $\sigma(F)$ a-t-il été divisé ?
5. eVrai ou faux ? « Un sachet de $800$ graines donne toujours une fréquence plus proche de $0{,}85$ qu'un sachet de $200$. » Justifie.

Ex. 7★★★Le dé à quatre faces de Tom — Tom lance un dé équilibré à quatre faces numérotées de $1$ à $4$. $X$ est le numéro obtenu et $M_n$ la moyenne des numéros sur $n$ lancers indépendants. Il simule avec le programme ci-dessous et obtient le tableau. from random import randint def moyenne(n): s = 0 for i in range(n): s = s + randint(1, 4) return s / n

1. aExplique ce que contient s à la fin de la boucle, puis ce que renvoie moyenne(n).
2. bCalcule $\mu = E(X)$ et $E(X^2)$, puis $V(X)$ et $\sigma(X)$ à $0{,}01$ près.
3. cPour $n = 1\,000$, calcule $E(M_n)$, $V(M_n)$ et $\sigma(M_n)$ à $0{,}001$ près.
4. dTom relance moyenne(100) et obtient $2{,}61$ au lieu de $2{,}43$. Son programme est-il faux ? Justifie.
5. eTom veut $\sigma(M_n) \leqslant 0{,}03$. Avec v égal à $V(X)$, que vaut n après n = 1 puis while (v / n) ** 0.5 > 0.03: n = n + 1 ? Justifie.

Ex. 8★★★Majorants en ligne — Automatismes. Dans chaque cas, majore la probabilité demandée à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, puis conclus par une phrase.

1. a$E(X) = 20$ et $V(X) = 3$ : majore $P(|X - 20| \geqslant 4)$.
2. b$E(X) = 50$ et $\sigma(X) = 7$ : majore $P(|X - 50| \geqslant 10)$.
3. c$E(X) = -3$ et $V(X) = 0{,}8$ : majore $P(|X + 3| \geqslant 2)$.
4. d$E(X) = 1{,}5$ et $V(X) = 0{,}09$ : majore $P(X \leqslant 0{,}5 \text{ ou } X \geqslant 2{,}5)$.
5. e$X$ a pour espérance $\mu$ et pour écart type $\sigma > 0$ : majore $P(|X - \mu| \geqslant 5\sigma)$.

Ex. 9★★★Intervalles centrés et événement contraire — Automatismes. $X$ est une variable aléatoire à valeurs entières, avec $E(X) = 30$ et $V(X) = 6$. Utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

1. aÉcris l'événement « $X \leqslant 25$ ou $X \geqslant 35$ » à l'aide d'une valeur absolue, puis majore sa probabilité.
2. bMinore $P(25 < X < 35)$.
3. cÉcris $]22\,;38[$ sous la forme $]\mu - \delta\,;\mu + \delta[$, puis minore $P(22 < X < 38)$.
4. d$X$ est entier : écris « $X < 25$ ou $X > 35$ » sous la forme $|X - 30| \geqslant \delta$, puis majore sa probabilité.
5. e$\sigma$ désigne l'écart type de $X$. Minore $P(30 - 2\sigma < X < 30 + 2\sigma)$.

Ex. 10★★★Les erreurs d'Inès — Le nombre $X$ de clients d'une boulangerie entre 7 h et 8 h vérifie $E(X) = 40$ et $\sigma(X) = 5$. Inès écrit : « $P(|X - 40| \geqslant 20) \leqslant \frac{5}{20^2} = 0{,}0125$, donc la probabilité que $X$ s'écarte de 40 d'au moins 20 est égale à $0{,}0125$. »

1. aRepère les deux erreurs d'Inès, puis écris le calcul et la phrase correctement.
2. bInès applique ensuite l'inégalité avec $\delta = 3$. Calcule le majorant obtenu. Qu'apprend-on sur $P(|X - 40| \geqslant 3)$ ?
3. cPour « traiter l'autre côté », Inès veut prendre $\delta = -20$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dDétermine le plus petit entier $\delta$ pour lequel le majorant donné par l'inégalité vaut au plus $0{,}1$.

Ex. 11★★★QCM au hasard : majorant et vraie probabilité — Un QCM compte 20 questions, chacune avec deux réponses possibles dont une seule est juste. Zoé répond au hasard et sa note $X$ (1 point par bonne réponse) suit la loi $\mathcal{B}(20\,;0{,}5)$. Extrait de table :

1. aCalcule $E(X)$ et $V(X)$.
2. bÀ l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majore la probabilité que la note de Zoé s'écarte de son espérance d'au moins 4 points.
3. cÀ l'aide de la table, calcule une valeur approchée de la probabilité exacte de cet événement.
4. dVrai ou faux ? « L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne une valeur approchée de la probabilité. » Justifie.

Ex. 12★★★Fléchettes : du majorant à la vraie probabilité — À chaque lancer, Lucas marque $X$ points. La loi de $X$ est donnée ci-dessous.

1. aCalcule $E(X)$ et $V(X)$, puis donne une valeur approchée de $\sigma(X)$ à $0{,}01$ près.
2. bAvec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majore la probabilité que Lucas marque 0 ou 8 points. Compare ensuite avec la valeur exacte lue dans le tableau.
3. cLucas applique l'inégalité avec $\delta = 2$. Qu'obtient-il ? Que lui apprend ce résultat ? Compare avec la vraie probabilité que $X$ s'écarte de son espérance d'au moins 2.
4. dPour quelles valeurs de $\delta > 0$ le majorant donné par l'inégalité est-il strictement inférieur à 1 ? Exprime la condition à l'aide de $\sigma(X)$.

Ex. 13★★★Paquets de café : un programme de seuil — La masse $X$ (en g, arrondie au gramme) d'un paquet de café vérifie $E(X) = 500$ et $\sigma(X) = 6$. Un paquet est non conforme si sa masse n'est pas dans $]488\,;512[$. On considère le programme suivant. sigma = 6 V = sigma**2 d = 1 while V / d**2 > 0.05: d = d + 1 print(d)

1. aÉcris l'événement « le paquet est non conforme » avec une valeur absolue, puis majore sa probabilité. Exprime $\delta$ en nombre d'écarts types.
2. bPourquoi la variable d doit-elle démarrer à 1 et pas à 0 ? Quelle condition du cours cela traduit-il ?
3. cQuelle valeur le programme affiche-t-il ? Justifie par un calcul, puis interprète ce nombre à l'aide d'un intervalle de masses.
4. dTom remplace la ligne V = sigma**2 par V = sigma. Quelle valeur obtient-il ? Explique son erreur.
5. eMia utilise le programme correct et conclut : « exactement 5 % des paquets ont une masse hors de l'intervalle obtenu ». Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 14★★★Un stand de fête : quand l'inégalité est atteinte — Au stand de Léa, le gain $X$ (en euros) d'un joueur vaut 0, 10 ou 20. On a $P(X = 0) = P(X = 20) = q$ et $P(X = 10) = 1 - 2q$, avec $0 < q \leqslant 0{,}5$.

1. aExprime $E(X)$ et $V(X)$ en fonction de $q$.
2. bAvec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majore la probabilité que le gain s'écarte de son espérance d'au moins 10 €. Calcule ensuite la vraie probabilité et conclus.
3. cOn prend $q = 0{,}05$. Compare le majorant et la vraie probabilité d'un écart d'au moins 5 € à l'espérance.
4. dToujours avec $q = 0{,}05$, Léa écrit : « la probabilité d'un écart d'au moins $2\sigma(X)$ vaut $0{,}25$ ». Corrige sa phrase, puis calcule cette probabilité exacte.

Ex. 15★★★Contraire et intervalle centré — $X$ est une variable aléatoire à valeurs entières, avec $E(X) = 40$ et $V(X) = 16$. Utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

1. aÉcris l'événement contraire de $|X - 40| \geqslant 6$ sous la forme d'un intervalle pour $X$.
2. bMinore $P(35 < X < 45)$.
3. cÉcris $P(32 \leqslant X \leqslant 48)$ sous la forme $P(|X - 40| < \delta)$, puis minore cette probabilité.
4. dMajore $P(X \leqslant 29 \text{ ou } X \geqslant 51)$.

Ex. 16★★★Un seul côté, intervalle non centré — Sur 200 colis, chacun arrive en retard avec la probabilité $0{,}3$, indépendamment des autres. $Y$ est le nombre de colis en retard, donc $Y$ suit la loi $\mathcal{B}(200\,;0{,}3)$.

1. aCalcule $E(Y)$ et $V(Y)$.
2. bMajore $P(Y \geqslant 75)$.
3. cMajore $P(Y \leqslant 48)$.
4. dL'intervalle $]48\,;75[$ n'est pas centré en $E(Y)$. Minore quand même $P(48 < Y < 75)$.

Ex. 17★★★Les clients de la boulangerie — Le nombre $N$ de clients d'une boulangerie en une journée est un entier, avec $E(N) = 120$ et $\sigma(N) = 10$.

1. aInès écrit : « le contraire de $|N - 120| \geqslant 20$ est $100 \leqslant N \leqslant 140$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
2. bMinore $P(80 < N < 160)$ et interprète le résultat.
3. cRamène $P(105 \leqslant N \leqslant 135)$ au meilleur $\delta$ possible, puis minore cette probabilité.
4. dThéo écrit : « $P(|N - 120| < 9) \geqslant 1 - \frac{81}{100} = 0{,}19$ ». Vrai ou faux ? Justifie.
5. eMajore la probabilité d'avoir au moins 150 clients.

Ex. 18★★★Le QCM de Zoé — Zoé répond au hasard aux 120 questions d'un QCM à 4 choix. $Z$ est son nombre de bonnes réponses, donc $Z$ suit la loi $\mathcal{B}(120\,;0{,}25)$. Voici un programme : v = 22.5 d = 1 while v / d**2 > 0.05: d = d + 1 print(d)

1. aCalcule $E(Z)$ et $V(Z)$.
2. bTrouve le plus petit réel $\delta > 0$ pour lequel l'inégalité garantit $P(|Z - 30| < \delta) \geqslant 0{,}9$. Traduis le résultat par un intervalle d'entiers.
3. cExplique ce que teste la condition v / d**2 > 0.05, puis donne la valeur affichée et interprète-la.
4. dZoé a obtenu 46 bonnes réponses. Montre que $P(Z \geqslant 46) \leqslant 0{,}09$, puis interprète.

Ex. 19★★★Le stock de la pharmacie — Chaque semaine, une pharmacie centrale vend $X$ boîtes d'un médicament. $X$ est un entier, avec $E(X) = 500$ et $\sigma(X) = 20$. Dans tout l'exercice, utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

1. aMinore $P(450 < X < 550)$ et interprète le résultat.
2. bMinore $P(460 < X < 560)$ de deux façons : avec un intervalle centré inclus dans $]460\,;560[$, puis en majorant $P(X \leqslant 460)$ et $P(X \geqslant 560)$. Compare.
3. cLa pharmacie a 570 boîtes en stock. Il y a rupture si $X > 570$. Majore la probabilité d'une rupture.
4. dDétermine le plus petit stock entier $S$ pour lequel l'inégalité garantit un risque de rupture $P(X > S)$ d'au plus $0{,}05$.
5. eLes ventes de deux semaines sont indépendantes et suivent la loi de $X$. Trouve de même le stock minimal pour deux semaines, puis compare-le au double du stock d'une semaine.

Ex. 20★★★Le stand de Maëlle — Au stand de Maëlle, une partie rapporte un gain algébrique $X$ (en euros), dont voici la loi. Lina joue 30 parties indépendantes. $S$ est son gain total, c'est-à-dire la somme des gains des 30 parties.

1. aCalcule $E(X)$ et $V(X)$.
2. bMajore $P(|X - 1| \geqslant 5)$ avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Calcule ensuite cette probabilité de façon exacte avec le tableau, puis compare.
3. cCalcule $E(S)$ et $V(S)$.
4. dMaëlle propose l'intervalle $]-20\,;80[$ et dit que l'inégalité garantit $P(-20 < S < 80) \geqslant 0{,}9$. A-t-elle raison ? Justifie.
5. eBen affirme : « Lina a au moins $60\,\%$ de chances de ne pas perdre d'argent ($S \geqslant 0$). » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 21★★★Lots de pièces (type bac) — Une machine produit des pièces. Chacune est défectueuse avec la probabilité $0{,}04$, indépendamment des autres. On prélève un lot de 2 500 pièces. $X$ est le nombre de pièces défectueuses du lot, donc $X$ suit la loi $\mathcal{B}(2500\,;0{,}04)$.

1. aCalcule $E(X)$ et $V(X)$.
2. bMontre que $P(80 < X < 120) \geqslant 0{,}76$.
3. cNoé écrit : « $X$ est entier, donc $P(81 \leqslant X \leqslant 119) \geqslant 0{,}76$, mais on ne peut rien dire de $P(80 \leqslant X \leqslant 120)$. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dUn client refuse le lot s'il contient au moins $m$ pièces défectueuses. for m in [110, 120, 130, 140]: print(m, round(96 / (m - 100)**2, 3)) Que représente le second nombre affiché ? Lequel de ces seuils garantit un risque de refus d'au plus $10\,\%$ ?
5. eOn exécute 5 fois ce programme. from random import random c = 0 for k in range(1000): x = 0 for i in range(2500): if random() < 0.04: x = x + 1 if 80 < x < 120: c = c + 1 print(c / 1000) Voici les valeurs affichées.

   Essai	1	2	3	4	5
   Affichage	0,951	0,957	0,949	0,960	0,954

   Que représente la valeur affichée ? Ces résultats contredisent-ils le minorant $0{,}76$ ? Justifie.

Ex. 22★★★Majorants en ligne — Dans chaque cas, $X$ est la variable d'une observation, d'espérance $\mu$ ; $M_n$ est la moyenne d'un échantillon de taille $n$ de la loi de $X$ et $F_n$ la fréquence d'un succès. Donne un majorant de $P(|M_n - \mu| \geqslant \delta)$ (ou de $P(|F_n - p| \geqslant \delta)$) avec l'inégalité de concentration.

1. a$V(X) = 6$, $n = 120$, $\delta = 0{,}5$.
2. b$\sigma(X) = 3$, $n = 200$, $\delta = 0{,}5$.
3. cSuccès de probabilité $p = 0{,}2$, $n = 500$, $\delta = 0{,}05$.
4. d$V(X) = 12$, $n = 150$, $\delta = 1$.
5. e$\sigma(X) = 0{,}8$, $n = 40$, $\delta = 0{,}2$.
6. fSuccès de probabilité $p = 0{,}9$, $n = 1\,000$, $\delta = 0{,}02$.

Ex. 23★★★Minorants : transformer l'événement — $X$ est la variable d'une observation, d'espérance $\mu$ et de variance $V$. $M_n$ est la moyenne d'un échantillon de taille $n$ de la loi de $X$, $S_n$ leur somme et $F_n$ la fréquence d'un succès. Donne un minorant de la probabilité demandée.

1. a$V = 5$, $n = 50$ : $P(|M_{50} - \mu| < 1)$.
2. b$\mu = 20$, $\sigma(X) = 1{,}5$, $n = 60$ : $P(19{,}5 < M_{60} < 20{,}5)$.
3. c$\mu = 3$, $V = 2$, $n = 250$ : $P(|S_{250} - 750| < 50)$.
4. dSuccès de probabilité $p = 0{,}4$, $n = 400$ : $P(0{,}35 < F_{400} < 0{,}45)$.

Ex. 24★★★Le gain moyen d'Hugo à la fête foraine — À un stand de fête foraine, le gain d'Hugo en euros à une partie est une variable $X$ de loi :

1. aCalcule $\mu = E(X)$ et $V(X)$.
2. bLéna applique Bienaymé-Tchebychev à $X$ avec $\delta = 0{,}5$ pour majorer $P(|M_{300} - \mu| \geqslant 0{,}5)$. Quel majorant obtient-elle ? Explique son erreur et corrige.
3. cDéduis-en un minorant de la probabilité que le gain total $S_{300}$ soit strictement compris entre $0$ € et $300$ €.

Ex. 25★★★Sachets de farine et programme de seuil — Une machine remplit des sachets de farine. La masse d'un sachet a pour espérance $1\,000$ g et pour écart type $6$ g. On pèse $n$ sachets pris au hasard, indépendants. $M_n$ est leur masse moyenne. n = 1 while ........ : n = n + 1 print(n)

1. aMontre que $P(|M_n - 1\,000| \geqslant 2) \leqslant \dfrac{9}{n}$.
2. bComplète la ligne 2 du programme pour qu'il affiche le plus petit $n$ tel que ce majorant soit $\leqslant 0{,}05$. Qu'affiche-t-il ?
3. cMalik affirme : « avec ce nombre de sachets, au moins $95\,\%$ des sachets pèsent entre $998$ g et $1\,002$ g ». Vrai ou faux ? Justifie.
4. dOn veut maintenant une précision de $1$ g avec le même risque $0{,}05$. Modifie la ligne 2 du programme. Qu'affiche-t-il alors ?

Ex. 26★★★Autonomie des trottinettes : de la somme à la moyenne — Une entreprise loue des trottinettes. L'autonomie d'une batterie neuve, en km, est une variable $X$ d'espérance $25$ km et d'écart type $4$ km. On teste $n$ batteries prises au hasard, d'autonomies $X_1, \ldots, X_n$ indépendantes et de même loi que $X$. On note $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ la distance totale et $M_n = \frac{S_n}{n}$ l'autonomie moyenne.

1. aDonne $\mu$ et $V(X)$ pour UNE batterie. Explique pourquoi $(X_1, \ldots, X_n)$ est un échantillon de la loi de $X$.
2. bPour $n = 50$, Nora écrit : $P(|M_{50} - 25| \geqslant 1) \leqslant \frac{4}{50 \times 1^2} = 0{,}08$. Trouve son erreur et corrige le majorant.
3. cMontre que $1\,200 < S_{50} < 1\,300$ équivaut à $|M_{50} - 25| < 1$. Minore alors $P(1\,200 < S_{50} < 1\,300)$ et interprète en km.
4. dExprime $E(M_n)$ et $V(M_n)$ en fonction de $n$, puis montre, avec Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_n$, que $P(|M_n - 25| \geqslant 0{,}5) \leqslant \frac{64}{n}$.
5. eDéduis-en la limite de $P(|M_n - 25| \geqslant 0{,}5)$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Interprète pour l'autonomie moyenne.

Ex. 27★★★Enquête sur le vélo et simulation de Ben — Inès veut estimer la proportion $p$, inconnue, des lycéens d'une grande ville qui viennent à vélo. Elle interroge $n$ lycéens au hasard (tirages assimilés à des tirages indépendants) et note $F_n$ la fréquence des cyclistes. Pour tester la méthode, Ben simule $200$ enquêtes de taille $625$ avec $p = 0{,}3$ : from random import random def frequence(n, p): s = sum(1 for i in range(n) if random() < p) return s / n c = 0 for k in range(200): if abs(frequence(625, 0.3) - 0.3) >= 0.04: c = c + 1 print(c / 200)

1. aPour un lycéen interrogé, $X$ vaut $1$ s'il vient à vélo et $0$ sinon. Donne $E(X)$ et $V(X)$ en fonction de $p$, puis montre que $V(X) \leqslant \frac{1}{4}$.
2. bSans connaître $p$, minore $P(|F_{625} - p| < 0{,}04)$ et interprète dans le contexte.
3. cQue contient c à la fin du programme ? Que représente la valeur affichée ?
4. dUne exécution affiche 0.03. Calcule le majorant de l'inégalité de concentration pour $p = 0{,}3$, puis commente.
5. eInès veut une fréquence à moins de $0{,}03$ de $p$ avec un risque d'au plus $0{,}1$. Combien de lycéens l'inégalité de concentration lui conseille-t-elle d'interroger au minimum ?

Ex. 28★★★Combien de baguettes pour la boulangerie de Zoé ? — Chez Zoé, boulangère, le nombre de baguettes achetées par un client est une variable $X$ de loi :

1. aCalcule $\mu = E(X)$ et $V(X)$ pour un client. Que représente $M_{200}$ ?
2. bMajore $P(|M_{200} - \mu| \geqslant 0{,}1)$ en citant l'inégalité utilisée et ses hypothèses.
3. cZoé prépare $340$ baguettes. Montre que si $S_{200} > 340$, alors $|M_{200} - \mu| \geqslant 0{,}1$. Majore la probabilité de manquer de baguettes.
4. dZoé prépare $b$ baguettes ($b$ entier, $b > 200\mu$). Majore $P(S_{200} > b)$ en fonction de $b$ à l'aide de l'inégalité de concentration.
5. eDéduis-en le plus petit $b$ pour lequel cette méthode garantit un risque de rupture d'au plus $0{,}1$.

Ex. 29★★★Majorer, minorer, passer à la limite — Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X) = 12$ et $V(X) = 5$. $M_n$ est la moyenne d'un échantillon de taille $n$ de $X$.

1. aDonne un majorant de $P(|M_{200} - 12| \geqslant 0{,}5)$.
2. bDonne un majorant de la probabilité que $M_{80} \leqslant 11$ ou $M_{80} \geqslant 13$.
3. cCalcule le majorant de $P(|M_{500} - 12| \geqslant 0{,}1)$ donné par l'inégalité de concentration. Que t'apprend-il ?
4. dDonne un minorant de $P(11{,}5 < M_{400} < 12{,}5)$.
5. eMontre que $\lim\limits_{n \to +\infty} P(|M_n - 12| \geqslant 0{,}5) = 0$.

Ex. 30★★★Vrai ou faux à la roulette — À la roulette, la probabilité que le rouge sorte vaut $\frac{18}{37}$, comme celle du noir. Les tours sont indépendants. $F_n$ est la fréquence du rouge sur $n$ tours. Vrai ou faux ? Justifie.

1. a« Le rouge est sorti 8 fois de suite, donc le noir a plus de chances de sortir au tour suivant. »
2. b« Sur $100\,000$ tours, la fréquence du rouge sera exactement égale à $\frac{18}{37}$. »
3. c« Plus $n$ est grand, plus $P\left(\left|F_n - \frac{18}{37}\right| \geqslant 0{,}01\right)$ est proche de $0$. »
4. d« Après $10\,000$ tours, l'écart entre $F_n$ et $\frac{18}{37}$ ne peut pas dépasser $0{,}01$. »
5. e« On peut estimer la probabilité du rouge par la fréquence observée sur un très grand nombre de tours. »

Ex. 31★★★Simuler des moyennes de lancers de dé — On lance un dé équilibré à six faces. $X$ est le résultat d'un lancer. $M_n$ est la moyenne de $n$ lancers indépendants. Ben écrit ce programme : from random import randint def ecart(n, N, d): e = 0 for j in range(N): s = 0 for k in range(n): s = s + randint(1, 6) if abs(s / n - 3.5) >= d: e = e + 1 return e / N

1. aQue représente s / n ? Que renvoie ecart(n, N, d) ?
2. bCalcule $E(X)$ et $V(X)$.
3. cMajore $P(|M_{100} - 3{,}5| \geqslant 0{,}5)$ à l'aide de l'inégalité de concentration.
4. dBen obtient ecart(100, 5000, 0.5) = 0.0036. Ce résultat contredit-il ta réponse précédente ? Justifie.
5. eMontre que $P(|M_n - 3{,}5| \geqslant 0{,}5)$ tend vers $0$. Qu'en déduis-tu pour les valeurs renvoyées par ecart(n, 5000, 0.5) quand $n$ grandit ?

Ex. 32★★★Contrôle de flacons : corriger Léa — Une usine produit des flacons. Une proportion inconnue $p$ de ces flacons est mal remplie. On contrôle $n$ flacons, assimilés à des tirages indépendants. $F_n$ est la fréquence des flacons mal remplis. Le nuage donne $F_n$ pour $n = 1000k$ (en abscisse : $k$).

1. aJustifie que $p(1 - p) \leqslant \frac{1}{4}$, puis que $P(|F_n - p| \geqslant 0{,}02) \leqslant \frac{625}{n}$.
2. bLéa écrit : « $\frac{625}{n}$ tend vers $0$, donc $P(|F_n - p| \geqslant 0{,}02)$ tend vers $0$. » Complète sa justification.
3. cLéa conclut : « Donc, pour $n$ assez grand, $F_n = p$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dÀ l'aide du nuage, propose une estimation de $p$. Minore $P(|F_{6000} - p| < 0{,}02)$.

Ex. 33★★★Tombola : du modèle à la garantie — Une association vend des tickets de tombola. Le bénéfice de l'association sur un ticket est une variable aléatoire $X$ (en euros), qui suit la loi ci-dessous. Les tickets sont indépendants. On note $\mu = E(X)$. $M_n$ est le bénéfice moyen par ticket sur $n$ tickets vendus, et $S_n = n \times M_n$ est le bénéfice total.

1. aCalcule $E(X)$ et $V(X)$.
2. bMontre que, pour tout réel $\delta > 0$, $\lim\limits_{n \to +\infty} P(|M_n - \mu| \geqslant \delta) = 0$. Interprète ce résultat pour l'association.
3. cDétermine le plus petit entier $n$ pour lequel l'inégalité de concentration garantit $P(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}4) \leqslant 0{,}05$.
4. dPour cette valeur de $n$, donne un intervalle qui contient le bénéfice total $S_n$ avec une probabilité d'au moins $0{,}95$. Justifie.
5. eLe trésorier Malik affirme : « Avec ce nombre de tickets, l'association est sûre de faire un bénéfice total positif. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 34★★★Semis simulés et indépendance — Une graine de tomate germe avec la probabilité $0{,}7$, indépendamment des autres. $F_n$ est la fréquence des graines germées parmi $n$ graines semées. Ben simule un semis avec ce programme : from random import random def germe(n): c = 0 for k in range(n): if random() < 0.7: c = c + 1 return c / n

1. aQue modélise le test random() < 0.7 ? Que contient c à la fin de la boucle ? Que renvoie germe(n) ?
2. bBen place les valeurs de germe(100*k) pour $k$ allant de $1$ à $8$ (abscisse $k$) : Décris le nuage et explique-le avec la loi des grands nombres.
3. cLes $100$ premières graines simulées donnent $66$ graines germées. Inès affirme : « Les suivantes vont germer plus souvent, pour rattraper le retard. » Vrai ou faux ? Justifie, puis explique pourquoi $F_n$ se rapproche quand même de $0{,}7$.
4. dHugo modifie le programme : il tire un seul nombre r = random() avant la boucle, puis teste r < 0.7 à chaque tour. Quelles valeurs sa fonction peut-elle renvoyer ? La loi des grands nombres s'applique-t-elle ? Justifie.
5. eEn réalité, la probabilité $p$ de germination d'une variété est inconnue. Explique comment l'estimer, et pourquoi on ne peut pas écrire $p = F_n$.

Ex. 35★★★Quiz au hasard : fréquence et nombre de succès — Yanis répond au hasard à un quiz de $n$ questions vrai ou faux. Chaque réponse est juste avec la probabilité $0{,}5$, indépendamment des autres. $S_n$ est le nombre de bonnes réponses et $F_n = \frac{S_n}{n}$. Voici des valeurs pour $n = 20$ :

1. aDonne la loi de $S_n$, puis $E(S_n)$, $V(S_n)$, $E(F_n)$ et $V(F_n)$ en fonction de $n$.
2. bPour $n = 20$, écris l'événement $|F_{20} - 0{,}5| \geqslant 0{,}2$ à l'aide de $S_{20}$. Majore ensuite sa probabilité avec l'inégalité de concentration.
3. cÀ l'aide du tableau, calcule $P(|F_{20} - 0{,}5| \geqslant 0{,}2)$. Que penses-tu du majorant trouvé à la question précédente ?
4. dTom affirme : « $F_n$ se rapproche de $0{,}5$, donc $S_n$ se rapproche de $\frac{n}{2}$. » On donne $P(S_{20} = 10) \approx 0{,}1762$ et $P(S_{100} = 50) \approx 0{,}0796$. A-t-il raison ? Justifie avec $V\left(S_n - \frac{n}{2}\right)$.
5. eBen cherche le plus petit $n$ pour lequel l'inégalité de concentration garantit $P(|F_n - 0{,}5| \geqslant 0{,}05) \leqslant 0{,}03$. Complète la condition, puis trouve $n$ par le calcul : n = 1 while ........ : n = n + 1 print(n)

Ex. 36★★★Tailles minimales en ligne — Dans chaque cas, $M_n$ est la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une variable de variance $V = \sigma^2$. Pour une fréquence, $V = p(1 - p)$. Donne le plus petit entier $n$ tel que $\frac{V}{n\delta^2} \leqslant \alpha$.

1. a$V = 9$, $\delta = 0{,}5$ et $\alpha = 0{,}04$.
2. b$V = 2{,}5$, $\delta = 0{,}1$ et $\alpha = 0{,}03$.
3. c$V = 16$, et l'on veut $|M_n - \mu| < 1$ avec une probabilité d'au moins $0{,}9$.
4. dSondage : $p$ est inconnu, $\delta = 0{,}02$ et $\alpha = 0{,}03$.
5. eFréquence d'un succès de probabilité $p = 0{,}2$, avec une précision de 3 points et une probabilité d'au moins 99 %.
6. fÉcart type $\sigma = 1{,}5$, $\delta = 0{,}4$ et $\alpha = 0{,}07$.

Ex. 37★★★Traduire, isoler, ajuster — Les questions sont indépendantes. Les réels $V$, $\delta$ et $\alpha$ sont strictement positifs.

1. a« La fréquence doit être à moins de 4 points de $p$ avec une probabilité d'au moins 92 % ». Donne $\delta$ et $\alpha$.
2. bIsole $n$ dans l'inéquation $\frac{V}{n\delta^2} \leqslant \alpha$, où $n$ est un entier strictement positif.
3. cUn élève trouve $\frac{V}{\alpha\delta^2} = 912{,}1$ et prend $n = 912$. Corrige son erreur.
4. dPour une précision $\delta$, on trouve $\frac{V}{\alpha\delta^2} = 1\,500$. Donne la taille minimale pour la précision $\frac{\delta}{2}$, avec les mêmes $V$ et $\alpha$.
5. eAvec les données de la question précédente, donne la taille minimale pour la précision $3\delta$.
6. fOn a $V = 4$, $n = 400$ et $\alpha = 0{,}1$. Détermine la plus petite précision $\delta$ telle que $\frac{V}{n\delta^2} \leqslant \alpha$.

Ex. 38★★★Contrôle qualité : le programme de Lina — Une usine contrôle $n$ pièces prélevées au hasard (tirages assimilés à des tirages avec remise). La proportion $p$ de pièces défectueuses est inconnue. $F_n$ est la fréquence des pièces défectueuses de l'échantillon. Lina veut le plus petit entier $n$ tel que $\frac{0{,}25}{n\delta^2} \leqslant \alpha$. Elle écrit : def taille(delta, alpha): n = 1 while 0.25/(n*delta**2) <= alpha: n = n + 1 return n

1. aExplique pourquoi on peut remplacer $V = p(1 - p)$ par $0{,}25$ alors que $p$ est inconnu.
2. bQue renvoie taille(0.03, 0.1) avec ce programme ? Explique pourquoi ce résultat est absurde.
3. cCorrige la ligne 3 du programme.
4. dUne fois le programme corrigé, que renvoie taille(0.03, 0.1) ? Interprète ce résultat.
5. eExplique pourquoi le programme corrigé s'arrête toujours, quels que soient $\delta > 0$ et $\alpha > 0$.

Ex. 39★★★Moyenne de mesures d'un thermomètre — À chaque mesure, un thermomètre commet une erreur $X$, en dixièmes de degré, dont voici la loi :

1. aCalcule $E(X)$ et $V(X)$.
2. bBen veut que $M_n$ appartienne à $]-0{,}3\,;0{,}3[$ avec une probabilité d'au moins $0{,}96$. Identifie $\mu$, $\delta$ et $\alpha$, puis écris une condition suffisante sur $n$.
3. cRésous cette inéquation et donne le plus petit nombre de mesures qui convient d'après cette condition.
4. dBen n'a le temps de faire que 300 mesures. Quelle probabilité minimale l'inégalité garantit-elle pour que $M_{300}$ appartienne à $]-0{,}3\,;0{,}3[$ ?

Ex. 40★★★Sondage sur le tramway : jusqu'où peut-on économiser ? — Un institut veut estimer la proportion $p$ d'habitants favorables à un projet de tramway. Il interroge $n$ personnes au hasard (tirages assimilés à des tirages avec remise). $F_n$ est la fréquence des réponses favorables, avec $E(F_n) = p$ et $V(F_n) = \frac{p(1 - p)}{n}$. Objectif : $F_n$ à moins de 5 points de $p$ avec une probabilité d'au moins 94 %.

1. aDétermine une taille $n$ qui garantit l'objectif quelle que soit la valeur de $p$.
2. bLe maire exige une précision de 2,5 points, avec le même risque. Un stagiaire propose $4 \times 1\,667 = 6\,668$ personnes. D'où vient ce facteur 4 ? Sa taille est-elle la plus petite que donne la méthode ? Justifie.
3. cUne enquête antérieure assure que $p \leqslant 0{,}3$. Montre qu'alors $p(1 - p) \leqslant 0{,}21$, puis déduis-en une taille plus faible pour une précision de 2,5 points.
4. dUn adjoint propose de garder la précision de 2,5 points et d'accepter un risque de 12 %. Quelle taille suffit alors, avec $p \leqslant 0{,}3$ ? Qu'est-ce qui économise le plus : doubler $\alpha$ ou doubler $\delta$ ?

Ex. 41★★★Pesées au laboratoire : le programme de Noé — Noé répète $n$ pesées indépendantes d'un morceau de minerai. Chaque pesée $X$ a pour espérance la masse exacte $\mu$ et pour écart type $0{,}7$ mg. $M_n$ est la moyenne des $n$ pesées. Noé veut $P(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}2) \leqslant 0{,}1$. Pour trouver $n$, il commence ce programme : def taille(V, d, a): n = 1 while ..........: n = n + 1 return n

1. aIdentifie $V(X)$, $\delta$ et $\alpha$, puis détermine par le calcul le plus petit entier $n$ tel que $\frac{V(X)}{n\delta^2} \leqslant \alpha$. Justifie que cette taille convient.
2. bComplète la ligne 3 pour que taille(V, d, a) renvoie le plus petit entier $n$ tel que $\frac{V}{nd^2} \leqslant a$. Quel appel Noé doit-il écrire ?
3. cNoé achète une balance dont l'écart type vaut $0{,}35$ mg. Avec le même objectif, que renvoie le programme complété ? Justifie par le calcul.
4. dAvec l'ancienne balance, Noé ne fait que 50 pesées. Quelle est la plus petite précision $\delta$ que l'inégalité de concentration garantit, avec un risque de $0{,}1$ ?

Ex. 42★★★Graines qui ne germent pas : majorant ou probabilité exacte ? — Un semencier sait que 10 % de ses graines ne germent pas. Dans un sachet de $n$ graines (tirages assimilés à des tirages avec remise), $X$ est le nombre de graines qui ne germent pas et $F_n = \frac{X}{n}$. Voici un extrait de table pour $n = 100$ :

1. aDonne la loi de $X$, puis calcule $E(F_n)$ et $V(F_n)$ en fonction de $n$.
2. bPour $n = 100$, traduis l'événement $|F_{100} - 0{,}1| \geqslant 0{,}04$ à l'aide de $X$, puis calcule sa probabilité avec la table.
3. cCompare ce résultat avec le majorant que donne l'inégalité de concentration pour $n = 100$.
4. dDétermine une taille $n$ de sachet qui garantit $P(|F_n - 0{,}1| \geqslant 0{,}04) \leqslant 0{,}1$.
5. eInès affirme : « Avec moins de graines que cette taille, la probabilité dépasse forcément $0{,}1$. » Son raisonnement est-il valable ? Justifie.

Ex. 43★★★Automatismes : majorants et minorants — Dans chaque cas, $M_n$ est la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une variable $X$ d'espérance $\mu$. Calcule de tête ou en une ligne la borne demandée.

1. a$\mu = 8$, $V(X) = 6$, $n = 160$ : majore $P(|M_{160} - 8| \geqslant 0{,}5)$.
2. b$\sigma(X) = 4$, $n = 200$ : minore $P(|M_{200} - \mu| < 1)$.
3. c$X$ vaut $1$ avec la probabilité $0{,}3$ et $0$ sinon, $n = 840$ : majore $P(|M_{840} - 0{,}3| \geqslant 0{,}05)$.
4. d$\mu = 7$, $V(X) = 2{,}4$ : majore $P(M_{60} \leqslant 6{,}6 \text{ ou } M_{60} \geqslant 7{,}4)$.
5. e$\mu = 12$, $V(X) = 9$ : minore $P(11{,}5 < M_{250} < 12{,}5)$.
6. f$V(X) = 5$ : majore $P(|X - \mu| \geqslant 2)$, puis $P(|M_{50} - \mu| \geqslant 2)$. Compare.

Ex. 44★★★Automatismes : taille d'échantillon et transformations — Réponds en une ou deux lignes de calcul.

1. aAvec $V(X) = 0{,}16$, quelle taille $n$ minimale l'inégalité de concentration donne-t-elle pour $P(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}05$ ?
2. b$F_n$ est la fréquence d'un caractère de proportion inconnue $p$ dans un échantillon de taille $n$. Quelle taille $n$ minimale garantit $P(|F_n - p| \geqslant 0{,}02) \leqslant 0{,}1$ ?
3. c$X$ prend des valeurs entières, avec $E(X) = 30$ et $V(X) = 16$. Écris $\{23 \leqslant X \leqslant 37\}$ sous la forme $|X - 30| < \delta$, puis minore sa probabilité.
4. dPour $n = 300$ et un écart $\delta$ donné, le majorant de concentration vaut $0{,}12$. Que vaut-il pour $n = 900$ avec le même $\delta$ ?
5. eAvec les mêmes données ($n = 300$, majorant $0{,}12$), que devient le majorant si on divise $\delta$ par $2$ ?

Ex. 45★★★Le stand de la fête foraine — À un stand de fête foraine, le gain algébrique $G$ de Noé pour une partie (en euros) suit la loi ci-dessous. On note $\mu = E(G)$.

1. aCalcule $\mu$ et $V(G)$.
2. bCalcule $\sigma(G)$. Avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minore $P(|G - \mu| < 2\sigma(G))$, puis écris cet événement sous forme d'intervalle.
3. cNoé joue $810$ parties indépendantes et $M_{810}$ est son gain moyen. Montre que $P(|M_{810} - \mu| \geqslant 0{,}3) \leqslant 0{,}1$.
4. dInterprète ce résultat dans le contexte, à l'aide d'un intervalle.
5. eCombien de parties faut-il au minimum pour que l'inégalité de concentration garantisse $|M_n - \mu| < 0{,}3$ avec une probabilité d'au moins $0{,}95$ ?

Ex. 46★★★Les jours de pluie en avril — Dans une ville, on admet que chaque jour d'avril il pleut avec la probabilité $0{,}5$, indépendamment des autres jours. $X$ est le nombre de jours de pluie sur $20$ jours observés. Extrait de table :

1. aDonne la loi de $X$, son espérance et sa variance.
2. bAvec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, détermine le plus petit réel $\delta > 0$ qui garantit $P(|X - 10| < \delta) \geqslant 0{,}75$. Écris cet événement sous la forme $a \leqslant X \leqslant b$
   ($a$, $b$ entiers).
3. cLina affirme : « Bienaymé-Tchebychev garantit qu'il pleut entre $7$ et $13$ jours inclus avec une probabilité d'au moins $0{,}8$. » Vrai ou faux ? Justifie, puis calcule cette probabilité avec la table.
4. dZoé étudie la moyenne $M_{30}$ de $X$ sur $30$ années. Elle écrit $P(|M_{30} - 10| \geqslant 1) \leqslant \frac{5}{1^2} = 5$ et conclut que l'inégalité ne sert à rien. Corrige son erreur.

Ex. 47★★★Les graines de tomate — Une coopérative vend des graines de tomate en sachets de 20. Chaque graine ne germe pas avec la probabilité $0{,}2$, indépendamment des autres. $X$ est le nombre de graines d'un sachet qui ne germent pas. Voici un extrait de la table de $\mathcal{B}(20\,;0{,}2)$ :

1. aPartie A. Justifie que $X$ suit une loi binomiale dont tu donneras les paramètres, puis calcule $E(X)$ et $V(X)$.
2. bPartie B. Écris l'événement $\{1 \leqslant X \leqslant 7\}$ sous la forme $|X - \mu| < \delta$, puis montre que $P(1 \leqslant X \leqslant 7) \geqslant 0{,}8$.
3. cÀ l'aide de l'extrait de table, calcule $P(1 \leqslant X \leqslant 7)$. Compare cette valeur au minorant de la question précédente et commente.
4. dPartie C. Inès contrôle 50 sachets. $M_{50}$ est le nombre moyen de graines qui ne germent pas par sachet. Minore la probabilité que $M_{50}$ diffère de $E(X)$ de moins de $0{,}5$.
5. eCombien de sachets, au minimum, Inès doit-elle contrôler pour que l'inégalité de concentration garantisse $|M_n - E(X)| < 0{,}2$ avec une probabilité d'au moins $0{,}95$ ?

Ex. 48★★★Le sondage sur la piste cyclable — Avant de construire une piste cyclable, une mairie interroge $n$ habitants au hasard. On note $p$ la proportion (inconnue) d'habitants favorables et $F_n$ la fréquence des favorables dans l'échantillon. On assimile le sondage à $n$ tirages indépendants : $X_i$ vaut 1 si la $i$-ème personne est favorable, et 0 sinon.

1. aDonne $E(X_i)$ et $V(X_i)$ en fonction de $p$, puis démontre que $V(X_i) \leqslant \frac{1}{4}$ pour tout $p$ de $[0\,;1]$.
2. bPour $n = 1\,200$, majore $P(|F_{1200} - p| \geqslant 0{,}04)$ sans connaître $p$.
3. cLe sondage donne $52\,\%$ de favorables. Hugo affirme : « La probabilité que $p$ soit égal à $0{,}52$ est d'au moins $0{,}85$. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dComplète la condition du while pour que taille(delta, alpha) renvoie le plus petit $n$ tel que $\frac{0{,}25}{n\delta^2} \leqslant \alpha$. Donne ensuite taille(0.03, 0.1). def taille(delta, alpha): n = 1 while ........ : n = n + 1 return n
5. eBen affirme : « Pour une précision deux fois meilleure, au même risque, il faut quatre fois plus de personnes. » Vrai ou faux ? Justifie, puis donne taille(0.015, 0.1).

Ex. 49★★★L'attente du bus d'Élise — Chaque matin, Élise attend son bus. Son temps d'attente $T$, en minutes, suit la loi ci-dessous. Les temps d'attente des différents matins sont indépendants et suivent la même loi que $T$.

1. aCalcule $\mu = E(T)$, puis montre que $V(T) = 9{,}25$.
2. bMajore $P(|T - \mu| \geqslant 5)$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Calcule ensuite cette probabilité exactement à l'aide de la loi, puis commente.
3. cSur $40$ matins, $M_{40}$ est l'attente moyenne d'Élise. Minore la probabilité que $M_{40}$ soit strictement comprise entre $3{,}5$ et $5{,}5$ minutes, puis interprète.
4. dLe graphique donne, pour $k$ de 1 à 10, la moyenne des $50k$ premiers temps simulés. Démontre que $P(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}1)$ tend vers 0, puis relie ce résultat au graphique.
5. eCombien de matins faut-il pour que l'inégalité de concentration garantisse $P(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}5) \leqslant 0{,}1$ ? Commente.