2nde / Échantillonnage

Ex. 1★★★Automatismes : probabilités sur un modèle — Calcule chaque probabilité, en fraction puis en décimal quand c'est possible.

1. aDé équilibré à $12$ faces numérotées de $1$ à $12$ : probabilité d'obtenir un multiple de $4$.
2. bMême dé à $12$ faces : probabilité d'obtenir un nombre premier.
3. cDé équilibré à $10$ faces numérotées de $1$ à $10$ : probabilité d'obtenir un multiple de $3$.
4. dDé équilibré à $10$ faces numérotées de $1$ à $10$ : probabilité de ne pas obtenir un multiple de $3$.
5. eRoue équilibrée à $16$ secteurs égaux, dont $5$ bleus : probabilité d'obtenir bleu.
6. fSac de $24$ jetons dont $9$ verts, tirage au hasard : probabilité de ne pas tirer un jeton vert.

Ex. 2★★★Automatismes : fréquences et écarts — Calcule en ligne.

1. aSur $80$ lancers d'une pièce, pile sort $46$ fois : fréquence observée de pile ?
2. bSur $250$ tirages, un événement se produit $70$ fois : fréquence observée en pourcentage ?
3. cSur $125$ lancers d'un dé, le $6$ sort $20$ fois : fréquence observée de « ne pas obtenir $6$ » ?
4. dProbabilité $p = 0{,}6$ et fréquence observée $f = 0{,}52$ : calcule l'écart $|f - p|$.
5. ePour $f = 0{,}27$ et $p = 0{,}25$, un élève écrit : « écart $= 0{,}25 - 0{,}27 = -0{,}02$ ». Corrige.
6. fÉcris la fréquence $0{,}045$ en pourcentage.

Ex. 3★★★Probabilité ou fréquence ? — Léna lance $300$ fois un dé équilibré à $6$ faces. La face $1$ sort $47$ fois.

1. aCalcule la probabilité d'obtenir $1$. D'où vient ce nombre ?
2. bLe nombre $47$ est-il une fréquence ? Justifie, puis calcule la fréquence observée de « obtenir $1$ »
   (arrondie au millième).
3. cCalcule la fréquence observée de « ne pas obtenir $1$ »
   (arrondie au millième).
4. dLéna écrit : « $f = p$ car le dé est équilibré ». Corrige-la en calculant l'écart $|f - p|$.

Ex. 4★★★Les erreurs de Mathis — Une roue équilibrée a $5$ secteurs égaux numérotés de $1$ à $5$. On note $A$ : « obtenir un nombre pair ». Mathis fait tourner la roue $200$ fois : $A$ se produit $86$ fois.

1. aMathis affirme : « $P(A) = 0{,}5$ car un nombre est pair ou impair ». Corrige son erreur.
2. bIl écrit : « la fréquence observée de $A$ est $86\,\%$ ». Corrige.
3. cIl calcule l'écart entre la fréquence observée de $A$ et $P(A)$ et trouve un nombre négatif. Qu'en penses-tu ? Donne l'écart correct.
4. dMathis affirme : « si je refais tourner la roue $200$ fois, $A$ se produira encore $86$ fois ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 5★★★Le bouchon d'Inès — Un bouchon de bouteille lancé retombe « sur le côté », « à l'endroit » ou « à l'envers ». Inès le lance $400$ fois : $236$ fois sur le côté, $108$ fois à l'endroit, $56$ fois à l'envers.

1. aInès affirme : « il y a $3$ issues, donc chacune a une probabilité de $\frac{1}{3}$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
2. bCalcule la fréquence observée de chaque issue.
3. cCalcule la fréquence observée de « ne pas retomber sur le côté ».
4. dPropose une valeur pour la probabilité de « retomber sur le côté ». Est-ce une valeur exacte ?

Ex. 6★★★Un écart calculé en Python — Un sac contient $20$ jetons dont $6$ bleus. Hugo tire un jeton au hasard, avec remise, $150$ fois et obtient $39$ fois un jeton bleu. Il écrit ce programme : def ecart(k, n, p): f = k / n if f >= p: return f - p else: return p - f

1. aJustifie que la probabilité de tirer un jeton bleu est $p = 0{,}3$.
2. bQue représente la variable f ?
3. cQue renvoie ecart(39, 150, 0.3) ?
4. dPourquoi Hugo n'a-t-il pas simplement écrit return f - p ?

Ex. 7★★★Cinq groupes, un dé à 4 faces — Dans une classe, chaque groupe lance $50$ fois un dé équilibré à $4$ faces numérotées de $1$ à $4$. On compte le nombre de « $4$ ».

1. aCalcule la fréquence observée de « obtenir $4$ » pour chaque groupe.
2. bQuel groupe a la fréquence la plus éloignée de la probabilité ? Donne cet écart.
3. cL'étendue d'une série de fréquences est la plus grande moins la plus petite. Calcule l'étendue des cinq fréquences.
4. dExplique pourquoi les cinq fréquences sont différentes alors que la probabilité est la même.

Ex. 8★★★Le dé à 20 faces de Zoé — Zoé lance $250$ fois un dé équilibré à $20$ faces numérotées de $1$ à $20$. On note $A$ : « obtenir un nombre premier ». L'événement $A$ se produit $91$ fois.

1. aListe les issues de $A$, puis calcule $P(A)$. Ce nombre est-il une probabilité ou une fréquence ? Justifie.
2. bCalcule la fréquence observée de $A$, en écriture décimale puis en pourcentage.
3. cCalcule l'écart $|f - p|$ pour $A$. Calcule ensuite $P(\overline{A})$ et la fréquence observée de $\overline{A}$.
4. dCalcule l'écart entre la fréquence observée et la probabilité de $\overline{A}$. Explique pourquoi tu trouves le même écart que pour $A$.
5. eZoé affirme : « $91$ est très loin de $P(A)$. De toute façon, l'écart n'est pas nul, donc le dé est truqué. » Relève ses deux erreurs.

Ex. 9★★★La playlist aléatoire de Ben — Le lecteur de musique de Ben choisit au hasard un morceau parmi $8$, numérotés de $1$ à $8$. Les morceaux $1$, $2$ et $3$ sont du rap. Pour simuler $n$ choix, Ben écrit ce programme : from random import randint def frequence(n): c = 0 for i in range(n): if randint(1, 8) <= 3: c = c + 1 return c / n

1. aCalcule la probabilité $p$ que le morceau choisi soit du rap.
2. bExplique pourquoi le test randint(1, 8) <= 3 simule « le morceau est du rap ». Que compte la variable c ?
3. cAvec frequence(1000), Ben obtient toujours 0 ou 0.001. Explique pourquoi, puis corrige le programme.
4. dUne fois le programme corrigé, frequence(10000) renvoie-t-il une probabilité ou une fréquence ? De quel nombre son résultat est-il proche ? Justifie.
5. eSur $120$ choix réels, le lecteur a joué $51$ morceaux de rap. Calcule $f$ et $|f - p|$. Ben en conclut que le lecteur « favorise le rap ». Est-ce prouvé ? Justifie.

Ex. 10★★★Deux stands à la kermesse — Kermesse. Jeu A : on tire au hasard un jeton, avec remise, dans un sac de $25$ jetons dont $7$ gagnants. Jeu B : on gagne si un osselet ($4$ faces de formes différentes) tombe sur la face « creuse ». Bilan : jeu A, $104$ gains sur $400$ parties ; jeu B, $146$ gains sur $500$ lancers.

1. aCalcule la probabilité de gagner au jeu A, puis celle de perdre.
2. bNoah affirme : « l'osselet a $4$ faces, donc on gagne au jeu B avec une probabilité de $\frac{1}{4}$ ». A-t-il raison ? Justifie.
3. cCalcule la fréquence observée de gain au jeu B, en écriture décimale puis en pourcentage.
4. dCalcule la fréquence observée de gain au jeu A et son écart avec la probabilité de gagner.
5. eNoah écrit : « au jeu B, la probabilité de gagner est égale à la fréquence trouvée, donc B est meilleur que A à coup sûr ». Corrige sa rédaction et propose une conclusion prudente.

Ex. 11★★★Automatismes : taille, succès, fréquence — Réponds en une ligne.

1. aOn lance $80$ fois une pièce équilibrée et on obtient $44$ fois pile. Donne $n$, $k$ et la fréquence de pile.
2. bOn prélève au hasard, avec remise, $250$ ampoules : $9$ sont défectueuses. Calcule la fréquence des ampoules défectueuses.
3. cUn échantillon de taille $40$ donne une fréquence de succès de $0{,}35$. Combien y a-t-il eu de succès ?
4. dUn échantillon donne $27$ succès, soit une fréquence de $0{,}15$. Quelle est sa taille $n$ ?
5. eUne toupie équilibrée a $5$ faces, dont $2$ bleues. Sur $60$ lancers, elle tombe $21$ fois sur une face bleue. Calcule l'écart $|f - p|$.

Ex. 12★★★Automatismes : étendue, fréquence et probabilité — Réponds en une ligne.

1. aCinq échantillons de taille $50$ donnent les fréquences $0{,}4$ ; $0{,}58$ ; $0{,}34$ ; $0{,}5$ ; $0{,}46$. Calcule leur étendue.
2. bQuatre échantillons de taille $1\,000$ donnent $0{,}452$ ; $0{,}481$ ; $0{,}467$ ; $0{,}439$. Calcule leur étendue.
3. cUne série de fréquences a une étendue de $0{,}19$ et sa plus grande valeur est $0{,}62$. Quelle est sa plus petite valeur ?
4. dUne pièce équilibrée vient de donner cinq piles de suite. Quelle est la probabilité d'obtenir face au sixième lancer ?
5. eUn dé équilibré à $6$ faces donne $11$ fois le six en $50$ lancers. Donne la fréquence observée du six, puis la probabilité du six.

Ex. 13★★★Sondage au lycée — Un lycée compte $1\,200$ élèves. On tire au hasard, avec remise, $75$ élèves de ce lycée : $21$ viennent en cours à vélo.

1. aPrécise la population, le caractère étudié et la taille de l'échantillon.
2. bCalcule la fréquence $f$ des élèves qui viennent à vélo dans cet échantillon.
3. cDonne une estimation du nombre d'élèves du lycée qui viennent à vélo.
4. dUn second tirage de $75$ élèves donne $27$ élèves venant à vélo. Noé dit : « Un des deux sondages contient une erreur. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 14★★★La roue de la fête foraine — À un stand, la probabilité de gagner est $p = 0{,}45$. Ben simule cinq échantillons de $25$ parties, puis cinq échantillons de $500$ parties. Le tableau donne la fréquence de gain de chaque échantillon.

1. aCalcule l'étendue des fréquences pour les échantillons de taille $25$.
2. bCalcule l'étendue pour la taille $500$, puis compare-la avec la précédente.
3. cCalcule l'écart $|f - p|$ pour l'échantillon $4$ de taille $25$.
4. dInès affirme : « L'échantillon 4 de taille 25 prouve que la probabilité de gagner vaut en fait $0{,}6$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 15★★★Le dé à quatre faces — Un dé équilibré a $4$ faces numérotées de $1$ à $4$. Lou simule $8$ échantillons de $40$ lancers et place, pour chacun, la fréquence de la face $4$.

1. aCalcule la probabilité $p$ d'obtenir $4$ en un lancer.
2. bLis la fréquence de l'échantillon $2$, puis calcule le nombre de $4$ obtenus dans cet échantillon.
3. cCalcule l'étendue des huit fréquences.
4. dLou refait $8$ échantillons, de taille $4\,000$ cette fois. Décris, sauf exception, l'étendue et la position des fréquences obtenues.

Ex. 16★★★Contrôle qualité : un return mal placé — Dans une usine, $15\,\%$ des pièces sont défectueuses. Enzo simule le prélèvement avec remise de $n$ pièces : from random import random def echantillon(n): k = 0 for i in range(n): if random() < 0.15: k = k + 1 return k / n

1. aQue représente la variable k ?
2. bEnzo veut simuler une usine où $8\,\%$ des pièces sont défectueuses. Quelle ligne doit-il modifier, et comment ?
3. cAvec echantillon(200), Enzo obtient toujours $0$ ou $0{,}005$. Repère l'erreur, explique ces résultats et corrige le programme.
4. dAprès correction, un appel à echantillon(200) renvoie $0{,}135$. Quelle valeur avait k à la fin de la boucle ?

Ex. 17★★★L'urne aux billes noires — Une urne contient $20$ billes, dont $4$ noires. On tire une bille au hasard, on note sa couleur et on la remet.

1. aCalcule la probabilité $P(N)$ de tirer une bille noire.
2. bVrai ou faux ? « Après six tirages sans noire, la noire devient plus probable au tirage suivant. » Justifie.
3. cVrai ou faux ? « Si on ne remet pas les billes, les tirages restent indépendants. » Justifie.
4. dCombien de billes noires peut-on prévoir sur $100$ tirages ? En obtient-on forcément ce nombre ? Justifie.
5. eLucas simule un tirage avec randint(1, 20) : la bille est noire si le résultat est inférieur ou égal à $4$. Explique pourquoi cette simulation respecte le modèle.

Ex. 18★★★La boîte de la tombola — Une boîte contient $16$ tickets de tombola, dont $4$ gagnants. On tire un ticket au hasard.

1. aCalcule la probabilité $p$ de tirer un ticket gagnant au premier tirage.
2. bMila tire sans remise. Ses deux premiers tickets sont perdants. Calcule la probabilité que le troisième soit gagnant.
3. cExplique pourquoi des tirages sans remise ne forment pas un échantillon au sens du cours.
4. dCette fois, Mila tire avec remise : $40$ tirages, $14$ gagnants. Calcule $f$ et l'écart $|f - p|$.
5. eHugo affirme : « Il y a eu trop de gagnants : sur les $40$ tirages suivants, il y en aura moins de $10$ pour compenser. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 19★★★Enquête sur le covoiturage — Dans une entreprise de $2\,400$ salariés, $36\,\%$ viennent en covoiturage. On tire des salariés au hasard, avec remise : cinq échantillons de taille $50$, puis cinq de taille $800$. Le tableau donne le nombre $k$ de covoitureurs dans chaque échantillon.

1. aCalcule la fréquence observée de covoitureurs dans chacun des cinq échantillons de taille $50$.
2. bPour la taille $800$, Yanis écrit : « étendue $= 304 - 272 = 32$ ». Explique son erreur, puis corrige-la.
3. cCalcule l'étendue des fréquences pour la taille $50$. Compare-la à celle de la taille $800$, puis conclus.
4. dPour l'échantillon n° 2 de taille $50$, calcule l'écart $|f - p|$. Peut-on dire que cet échantillon est « raté » ? Justifie.

Ex. 20★★★Simuler les jours de pluie — Dans une ville, on choisit le modèle suivant : chaque jour de juin est pluvieux avec la probabilité $p = 0{,}2$, indépendamment des autres jours. Adèle écrit ce programme : from random import random def echantillon(n): s = 0 for i in range(n): if random() < 0.2: s = s + 1 return s / n Elle fait huit appels à echantillon(25) et obtient :

1. aExplique pourquoi le test random() < 0.2 permet de simuler un jour pluvieux.
2. bQue renvoie echantillon(25) ? Peut-on prévoir sa valeur exacte ? Justifie.
3. cÀ l'aide du nuage, calcule l'étendue des huit fréquences, puis le plus grand écart $|f - p|$.
4. dManon pense que le programme est faux, parce que les fréquences sont différentes et que l'une d'elles vaut $0{,}08$. A-t-elle raison ? Justifie.
5. eVrai ou faux ? « Avec echantillon(1000), on obtiendrait exactement $0{,}2$ à chaque appel. » Justifie.

Ex. 21★★★Automatismes : probabilité, fréquence, écart — Une roue équilibrée a $5$ secteurs égaux, dont $1$ rouge. On la fait tourner plusieurs fois. On note $p$ la probabilité d'obtenir rouge.

1. aCalcule $p$.
2. bCalcule la probabilité de ne pas obtenir rouge.
3. cSur $50$ lancers, Inès obtient $13$ fois rouge. Calcule la fréquence observée $f$.
4. dSur $400$ lancers, Inès obtient $86$ fois rouge. Calcule l'écart $|f - p|$.
5. eSur $5\,000$ lancers, on obtient $1\,012$ rouges. Calcule l'écart en nombre $k - n \times p$.
6. fSur $2\,000$ lancers, la fréquence observée de rouge vaut $0{,}207$. Combien de rouges a-t-on obtenus ?

Ex. 22★★★Automatismes : probabilité ou fréquence ? — Une urne contient $20$ boules, dont $4$ vertes. Lou tire une boule au hasard, note sa couleur, puis la remet. On note $V$ l'événement « obtenir une boule verte ». Réponds en justifiant.

1. a« $P(V) = 0{,}2$. » Ce nombre est-il une probabilité ou une fréquence ? Justifie par un calcul.
2. b« Sur $250$ tirages, Lou a obtenu $55$ vertes. » Calcule la fréquence observée. Est-ce une probabilité ?
3. c« Si Lou refait $250$ tirages, elle obtiendra encore $55$ vertes. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. d« Avec $250$ tirages de plus, $P(V)$ va changer. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. ePour $10\,000$ tirages, de quel nombre la fréquence de vertes sera-t-elle proche, sauf exception ?

Ex. 23★★★Lire un tableau de simulations — Sami simule le tirage au hasard, avec remise, d'un ticket parmi $10$, dont $3$ gagnants. Il note la fréquence $f$ de ticket gagnant pour des tailles $n$ croissantes :

1. aCalcule la probabilité $p$ de tirer un ticket gagnant.
2. bCalcule l'écart $|f - p|$ pour chaque valeur de $n$.
3. cSami dit : « L'écart augmente entre $n = 100$ et $n = 1\,000$, donc la loi des grands nombres est fausse. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dPour quelles tailles $n$ du tableau l'écart $|f - p|$ est-il inférieur à $0{,}005$ ?
5. eConclus avec les mots de la loi des grands nombres.

Ex. 24★★★Écart en nombre, écart en fréquence — Jade utilise un générateur qui donne au hasard un chiffre de $0$ à $9$. On s'intéresse à l'événement « obtenir un chiffre pair », de probabilité $p = 0{,}5$. On note $k$ le nombre de chiffres pairs obtenus :

1. aCalcule l'écart en nombre $k - n \times p$ pour chaque valeur de $n$.
2. bCalcule la fréquence $f$ et l'écart $|f - p|$ pour chaque valeur de $n$.
3. cJade dit : « L'écart en nombre grandit, donc la fréquence s'éloigne de $0{,}5$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dKenza fait $100\,000$ tirages et obtient $250$ pairs de plus que $n \times p$. Calcule son écart $|f - p|$. Qui est le plus proche de $0{,}5$ : Kenza, ou Jade avec $n = 10\,000$ ?

Ex. 25★★★Vrai ou faux sur la loi des grands nombres — Élise et ses amis lancent une pièce équilibrée. Pour chaque affirmation : vrai ou faux ? Justifie.

1. a« Si je lance la pièce $1\,000$ fois, j'aurai exactement $500$ piles. »
2. b« Sur $10$ lancers, j'ai eu $8$ piles : d'après la loi des grands nombres, la pièce est truquée. »
3. c« J'ai eu $5$ faces de suite, donc le prochain lancer a plus de chances de donner pile. »
4. d« Même sur $80\,000$ lancers, la fréquence de pile peut s'écarter nettement de $0{,}5$, mais c'est très rare. »
5. e« J'ai obtenu $2\,076$ piles sur $4\,000$ lancers : l'écart $|f - p|$ vaut $76$. »

Ex. 26★★★Corriger un programme de simulation — Léo veut simuler $n$ lancers d'un dé équilibré à $20$ faces et obtenir la fréquence de l'événement « obtenir $7$ ou moins ». Il écrit :
from random import randint def frequence(n): k = 0 for i in range(n): if randint(1, 20) <= 7: k = k + 1 return k / n

1. aQuelle est la probabilité que la condition randint(1, 20) <= 7 soit vraie ?
2. bQue représente la variable k ?
3. cAvec frequence(1000), Léo obtient toujours $0$ ou $0{,}001$. Explique l'erreur et corrige-la.
4. dUne fois le programme corrigé, de quelle valeur frequence(50000) sera-t-il proche ? Justifie.

Ex. 27★★★Estimer avec une capsule — Maëlle lance une capsule de bouteille, qui retombe « sur le dos » ou « sur la face ». Elle note $k$, le nombre total de « dos » obtenus au fil des lancers :

1. aCalcule la fréquence observée de « dos » pour chaque valeur de $n$.
2. bPeut-on calculer la probabilité $p$ de « dos » avec un modèle d'équiprobabilité ? Justifie.
3. cQuelle fréquence choisir pour estimer $p$ ? Justifie avec la loi des grands nombres.
4. dPrévois le nombre de « dos » sur $1\,500$ nouveaux lancers.
5. eEstime la probabilité que la capsule retombe « sur la face ».

Ex. 28★★★Pas de compensation, mais une dilution — Tom lance un dé équilibré à $4$ faces, numérotées de $1$ à $4$, et compte les « $1$ ». On note $p$ la probabilité d'obtenir $1$. Sur ses $40$ premiers lancers, il obtient $17$ fois « $1$ ».

1. aCalcule $p$. Calcule ensuite la fréquence observée $f$ de « $1$ » sur ces $40$ lancers, puis l'écart $|f - p|$.
2. bCette fréquence contredit-elle la loi des grands nombres ? Justifie.
3. cHugo affirme : « Le dé a donné trop de $1$. Il va maintenant en donner moins pour compenser. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dTom fait ensuite $7\,960$ autres lancers et obtient « $1$ » sur exactement un quart d'entre eux. Calcule la fréquence de « $1$ » sur l'ensemble des $8\,000$ lancers, puis son écart à $p$.
5. eCalcule l'écart en nombre $k - n \times p$ après $40$ lancers, puis après $8\,000$ lancers. Explique comment la fréquence s'est rapprochée de $p$ sans aucune compensation.

Ex. 29★★★Lancers francs : « sauf exception » — Anaïs simule des séries de lancers francs d'une joueuse qui réussit chaque tir avec la probabilité $p = 0{,}7$. Elle obtient $5$ échantillons de taille $20$ et $5$ échantillons de taille $1\,000$ (fréquences de tirs réussis) :

1. aCalcule l'étendue des fréquences pour les échantillons de taille $20$, puis pour ceux de taille $1\,000$.
2. bPour chaque taille, trouve le plus grand écart $|f - p|$ parmi les $5$ échantillons.
3. cNina affirme : « Avec $1\,000$ tirs, la fréquence sera toujours comprise entre $0{,}68$ et $0{,}72$. » A-t-elle raison ? Justifie avec les mots de la loi des grands nombres.
4. dSur une vraie saison, la joueuse a réussi $640$ lancers francs sur $1\,000$. Calcule la fréquence observée et son écart à $0{,}7$.
5. ePeut-on douter que la probabilité de réussite de cette joueuse soit $0{,}7$ ? Justifie, en disant si c'est une preuve.

Ex. 30★★★Question de DS : simuler, lire, conclure — Une urne contient $25$ boules, dont $9$ rouges. Clara simule $n$ tirages au hasard avec remise : from random import random def frequence(n): k = 0 for i in range(n): if random() < 0.36: k = k + 1 return k / n Elle obtient :

1. aCalcule la probabilité $p$ de tirer une boule rouge. Explique pourquoi le test random() < 0.36 simule bien ce tirage.
2. bDis ce que représente $k$ à la fin de la boucle, et ce que renvoie frequence(n).
3. cCalcule l'écart $|f - p|$ pour chaque valeur de $n$ du tableau.
4. dRayan remplace le test par randint(1, 25) < 9. Simule-t-il encore le tirage d'une boule rouge ? Justifie.
5. eRédige la conclusion de Clara avec l'énoncé exact de la loi. De quel nombre frequence(1000000) sera-t-il proche ? Peut-on connaître sa valeur exacte à l'avance ?

Ex. 31★★★Automatismes : estimer et prévoir — Calcule en ligne. Les fréquences sont observées sur des expériences réelles.

1. aUn bouchon est tombé $312$ fois sur le côté en $800$ lancers. Calcule la fréquence observée de « sur le côté ».
2. bPour une pièce déformée, on estime $P(\text{pile}) \approx 0{,}47$. Estime $P(\text{face})$.
3. cSur $5\,000$ essais, le rouge d'une roue déséquilibrée sort avec la fréquence $0{,}18$. Prévois le nombre de rouges sur $650$ essais.
4. dSérie 1 : $27$ succès sur $60$. Série 2 : $93$ succès sur $240$. Calcule la fréquence globale des deux séries regroupées.
5. eDans un sondage auprès de $1\,200$ personnes, la fréquence des « oui » vaut $0{,}35$. Combien de personnes ont répondu « oui » ?
6. fUne punaise lancée $2\,000$ fois donne $p \approx 0{,}612$ pour « pointe en haut ». Sur $50$ autres lancers, on obtient $f = 0{,}7$. Calcule l'écart $|f - 0{,}612|$.

Ex. 32★★★Automatismes : probabilité ou fréquence ? — Réponds en une ou deux phrases, en utilisant les mots « probabilité » et « fréquence observée ».

1. aDans une maternité, $255$ garçons sont nés sur $500$ naissances. Calcule $\frac{255}{500}$. Ce nombre est-il une probabilité ou une fréquence observée ? Justifie.
2. bAvec un dé équilibré à $6$ faces, la probabilité d'obtenir $5$ vaut $\frac{1}{6}$. Ce nombre change-t-il si on lance le dé $100$ fois ? Justifie.
3. cUne pièce déformée donne $2\,870$ piles sur $5\,000$ lancers. Lina écrit $P(\text{pile}) = 0{,}574$. Corrige son écriture.
4. dTom lance une punaise $12$ fois : $9$ fois pointe en haut. Il annonce une probabilité de $0{,}75$. Est-ce fiable ? Justifie.
5. eThéo lance $100$ fois un bouchon et note $42$ chutes sur le côté. Il écrit : « la probabilité vaut $42$ ». Corrige son erreur.

Ex. 33★★★Trois groupes, une capsule — Trois groupes lancent la même capsule de bouteille et comptent les chutes « ouverte en haut ».

1. aComplète la ligne des fréquences.
2. bCalcule la fréquence de « ouverte en haut » sur l'ensemble des lancers.
3. cNora fait la moyenne des trois fréquences. Calcule-la, arrondie au millième, puis explique pourquoi elle est à écarter.
4. dLa capsule tombe toujours soit « ouverte en haut », soit « ouverte en bas ». Estime la probabilité qu'elle tombe « ouverte en bas ».
5. ePrévois le nombre de chutes « ouverte en haut » sur $1\,400$ nouveaux lancers.

Ex. 34★★★Ce dé est-il équilibré ? — Un dé à $6$ faces est vendu comme « équilibré ». Un club de jeux le lance $12\,000$ fois : le $6$ sort $2\,640$ fois.

1. aCalcule la fréquence observée du $6$.
2. bCalcule l'écart $|f - p|$ avec la probabilité donnée par le modèle, arrondi au millième.
3. cJade affirme : « C'est prouvé, le dé est truqué. » Corrige sa phrase.
4. dPlus tôt, Malik avait obtenu $9$ six en $30$ lancers et avait conclu de la même façon. A-t-il raison ? Justifie.
5. eOn garde ce dé. Prévois le nombre de $6$ sur $500$ nouveaux lancers.

Ex. 35★★★Une fonction à corriger — Avec une pièce déformée, Ilyes a obtenu $30$ piles sur $50$ lancers, puis $513$ piles sur $950$ lancers. Pour regrouper, il écrit : def frequence_globale(k1, n1, k2, n2): f1 = k1 / n1 f2 = k2 / n2 return (f1 + f2) / 2

1. aCalcule la valeur renvoyée par frequence_globale(30, 50, 513, 950).
2. bExplique pourquoi cette fonction ne donne pas la bonne fréquence globale.
3. cRéécris la ligne du return pour qu'elle renvoie la bonne fréquence globale.
4. dCalcule la fréquence globale correcte des deux séries.
5. ePrévois le nombre de piles sur $3\,000$ nouveaux lancers.

Ex. 36★★★Un pion qui n'est pas symétrique — Sami lance un pion de jeu en bois non symétrique. Après chaque centaine de lancers, il note la fréquence cumulée de « face marquée ». Le point de rang $k$ correspond à $100k$ lancers.

1. aLis la fréquence après $100$ lancers, puis après $1\,000$ lancers.
2. bQuelle valeur proposes-tu pour estimer la probabilité de « face marquée » ? Justifie.
3. cCalcule l'écart entre l'estimation après $100$ lancers et celle après $1\,000$ lancers.
4. dCombien de fois la face marquée est-elle sortie sur les $1\,000$ lancers ?
5. ePrévois le nombre de « face marquée » sur $300$ nouveaux lancers.

Ex. 37★★★Deux sondages dans une ville — Avant un vote local, l'institut A interroge $400$ électeurs au hasard : $236$ sont « pour ». L'institut B en interroge $1\,600$ : $896$ sont « pour ».

1. aCalcule la fréquence de « pour » dans chacun des deux sondages.
2. bQuelle estimation est la plus fiable ? Justifie.
3. cEn regroupant les deux sondages, estime la proportion d'électeurs « pour ».
4. dLa ville compte $45\,000$ électeurs. Prévois le nombre d'électeurs « pour ».

Ex. 38★★★Les osselets de la classe — Quatre groupes lancent le même osselet et notent la fréquence des chutes « sur le dos ».

1. aCalcule le nombre de chutes « sur le dos » obtenues par chaque groupe.
2. bEstime la probabilité $p$ qu'a l'osselet de tomber « sur le dos » en utilisant toutes les données. Justifie ta méthode.
3. cLéna fait la moyenne des quatre fréquences et trouve environ $0{,}449$. À l'aide de la taille des échantillons, explique pourquoi son résultat est plus grand que ton estimation.
4. dLe groupe A annonce : « La probabilité de tomber sur le dos est égale à $0{,}55$. » Relève deux erreurs dans cette phrase.
5. eEstime la probabilité que l'osselet ne tombe pas « sur le dos ». Sur $2\,500$ nouveaux lancers, combien de chutes « pas sur le dos » prévois-tu ?

Ex. 39★★★La roue de la kermesse — Sur un stand de kermesse, une roue est partagée en $8$ secteurs de même taille. Un seul secteur est « gagnant ». Bastien, l'organisateur, suppose que la roue est équilibrée. Lors des $40$ premiers lancers, on compte $8$ gains. Sur toute la saison, on compte $1\,360$ gains en $8\,000$ lancers.

1. aSelon le modèle de Bastien, calcule la probabilité $p$ de gagner.
2. bCalcule la fréquence observée des gains et l'écart $|f - p|$, d'abord sur les $40$ premiers lancers, puis sur les $8\,000$ lancers.
3. cBastien pense : « Avec beaucoup de lancers, la roue va compenser, et l'écart en nombre $k - np$ va revenir vers $0$. » Calcule $k - np$ après $40$ lancers, puis après $8\,000$ lancers. A-t-il raison ? Justifie.
4. dSur les $8\,000$ lancers, que décides-tu à propos du modèle « roue équilibrée » ? Justifie.
5. eLa saison prochaine, Bastien prévoit $3\,000$ lancers et un lot par gain. Combien de lots faut-il prévoir avec le modèle ? Et avec une estimation tirée des données ? Laquelle retenir ?

Ex. 40★★★Des vis au contrôle qualité — Une usine fabrique des vis. Le service qualité contrôle $2\,400$ vis prises au hasard : $96$ sont défectueuses. Chloé simule un carton de $n$ vis, chacune défectueuse avec la probabilité $p$ : from random import random def carton(n, p): c = 0 for i in range(n): if random() < p: c = c + 1 return c

1. aEstime la probabilité $p$ qu'une vis soit défectueuse, puis la probabilité qu'elle soit conforme.
2. bQue simule le test random() < p ? Que renvoie carton(250, p) ?
3. cMoussa affirme : « carton(250, p) renvoie toujours le même nombre. » Vrai ou faux ? Justifie. Un seul carton suffit-il pour bien estimer $p$ ? Justifie.
4. dUn second contrôle donne $72$ vis défectueuses sur $1\,600$. Inès fait la moyenne des deux fréquences. A-t-elle raison ? Justifie, puis estime $p$ avec toutes les données.
5. eAvec l'estimation obtenue sur toutes les données, combien de vis défectueuses prévois-tu environ dans une commande de $5\,000$ vis ?

Ex. 41★★★Automatismes : la probabilité d'un test — Pour chaque test Python, réponds à la question posée. random() et randint(a, b) viennent du module random.

1. aAvec quelle probabilité le test random() < 0.42 est-il vrai ?
2. bAvec quelle probabilité le test random() > 0.42 est-il vrai ?
3. cAvec quelle probabilité le test randint(1, 25) <= 8 est-il vrai ?
4. dAvec quelle probabilité le test randint(0, 9) < 4 est-il vrai ?
5. eQuel nombre écrire dans random() < … pour que le test soit vrai avec la probabilité $12\,\%$ ?
6. fAvec quelle probabilité le test randint(1, 5) >= 2 est-il faux ?

Ex. 42★★★Automatismes : boucles, compteurs et appels — Réponds par un calcul en ligne.

1. aCombien de tours la boucle for i in range(40): fait-elle ?
2. bCombien de valeurs entières différentes randint(0, 12) peut-il renvoyer ?
3. cUne fonction se termine par return succes / n. Que renvoie-t-elle quand succes vaut 27 et n vaut 60 ?
4. dUne fonction se termine par return succes. Que renvoie-t-elle quand succes vaut 27 et n vaut 60 ?
5. eUne fonction appelle random() une fois par tour de boucle et fait $n$ tours. On l'appelle pour $n = 50$, puis $500$, puis $5\,000$. Combien de fois random() est-il appelé en tout ?
6. fCalcule l'écart $|f - p|$ pour $f = 0{,}57$ et $p = 0{,}52$.

Ex. 43★★★Du tableur à Python, et inversement — Au tableur, =ALEA() joue le rôle de random() et =ALEA.ENTRE.BORNES(a;b) celui de randint(a, b).

1. aTraduis en Python la formule de tableur =ALEA()<0,28.
2. bÉcris la formule de tableur qui affiche VRAI avec la probabilité $0{,}64$.
3. cTraduis en Python la formule =ALEA.ENTRE.BORNES(1;4)>=2. Avec quelle probabilité affiche-t-elle VRAI ?
4. dÉcris la formule de tableur qui simule le lancer d'un dé équilibré à 12 faces.
5. eUn élève écrit if randint(1, 4) = 1:. Corrige son erreur et explique-la.
6. fSur combien de lignes faut-il recopier la formule pour simuler un échantillon de taille 250 ?

Ex. 44★★★Quelle expérience ce programme simule-t-il ? — Sacha a écrit cette fonction sans dire ce qu'elle simule.
from random import randint def tirage(): if randint(1, 12) <= 5: return 1 else: return 0

1. aCombien de valeurs différentes randint(1, 12) peut-il renvoyer ?
2. bQuelle est la probabilité que tirage() renvoie 1 ?
3. cQuelle est la probabilité que tirage() renvoie 0 ?
4. dPropose une expérience aléatoire réelle que cette fonction simule.
5. eNoé affirme qu'on peut écrire le test randint(1, 12) < 5 à la place. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 45★★★Contrôle qualité : corriger le programme de Hugo — Une machine fabrique une pièce défectueuse avec la probabilité $0{,}15$. Hugo veut une fonction qui renvoie la fréquence des pièces défectueuses dans un échantillon de $n$ pièces.
from random import random def frequence(n): for i in range(n): succes = 0 if random() < 0.15: succes = succes + 1 return succes / n

1. aLa ligne succes = 0 est placée dans la boucle. Explique le problème et dis où la placer.
2. bLe return est lui aussi dans la boucle. Quelles valeurs frequence(200) peut-elle renvoyer ?
3. cHugo écrit random() > 0.15 à la place du test. Avec quelle probabilité ce test est-il vrai ? Que compterait-on alors ?
4. dLe programme est corrigé. De quel nombre frequence(5000) est-elle proche ? Combien de pièces défectueuses environ y a-t-il sur $5\,000$ pièces ?

Ex. 46★★★Lancers francs simulés : lire un tableau — Inès simule les lancers francs d'une joueuse qui réussit chaque lancer avec la probabilité $p = 0{,}6$. Voici ce que sa fonction renvoie pour $n$ lancers.

1. aLa fonction d'Inès renvoie-t-elle le nombre ou la fréquence des lancers réussis ? Justifie avec le tableau.
2. bCalcule la fréquence observée de lancers réussis pour chaque valeur de $n$.
3. cCalcule l'écart en nombre $k - np$, puis l'écart $|f - p|$, pour $n = 2\,000$ et pour $n = 20\,000$. Que constates-tu ?
4. dLéo lit la colonne $n = 20$ et conclut que la joueuse réussit $70\,\%$ de ses lancers. A-t-il raison ? Justifie.
5. eInès relance son programme. Obtiendra-t-elle les mêmes résultats ? Justifie.

Ex. 47★★★La roue de la kermesse : compléter un programme — Une roue équilibrée a 8 secteurs numérotés de 1 à 8. On gagne si l'on obtient 6, 7 ou 8. La fonction partie(n) doit renvoyer la fréquence des parties gagnées sur $n$ parties.
from random import randint def partie(n): gagne = 0 for i in range(n): if ............ : gagne = ...... return ......

1. aComplète la ligne du test.
2. bComplète la ligne du compteur.
3. cComplète la ligne du return.
4. dQuelle est la probabilité de gagner une partie ? De quel nombre partie(10000) est-elle proche ?
5. eMehdi place gagne = gagne + 1 hors du if, au même niveau que lui. Que renverrait alors partie(10000) ? Justifie.

Ex. 48★★★Pluie de novembre : écrire la simulation — À Brest, sur les 420 jours de novembre des 14 dernières années, il a plu 147 jours. Lina veut simuler la météo de novembre avec random() du module random.

1. aCalcule la fréquence observée des jours de pluie. Quelle probabilité $p$ Lina peut-elle choisir pour son modèle ? Justifie.
2. bÉcris une fonction pluie(n) qui simule $n$ jours de novembre et renvoie la fréquence des jours de pluie.
3. cLina exécute deux fois pluie(30) et obtient $0{,}5$ puis $0{,}2$. Son frère dit : « Ton programme est faux. » A-t-il raison ? Justifie avec les écarts $|f - p|$.
4. dAvec ce modèle, combien de jours de pluie Lina peut-elle prévoir pour les 30 jours du prochain mois de novembre ? Est-ce une certitude ?
5. eAu tableur, quelle formule faut-il écrire en A1 pour afficher VRAI un jour de pluie simulé ? Comment obtient-on ensuite la fréquence sur 300 jours ?

Ex. 49★★★Tir à l'arc : deux erreurs à chasser — Nadia touche le centre de la cible avec la probabilité $0{,}3$. Elle veut une fonction qui renvoie la fréquence des tirs au centre sur $n$ tirs. Voici son premier essai : from random import randint def cible(n): touche = 0 for i in range(n): if randint(1, 20) < 6: touche = 1 return touche / n

1. aAvec quelle probabilité le test randint(1, 20) < 6 est-il vrai ? Corrige-le pour simuler la bonne probabilité.
2. bLa ligne touche = 1 est fausse. Quelles valeurs touche peut-il avoir après la boucle ? Que renvoie alors cible(500) ? Corrige la ligne.
3. cÉcris une fonction tir() qui simule un seul tir avec random() et renvoie 1 si le tir touche le centre, 0 sinon.
4. dAvec la fonction corrigée, un appel cible(500) a renvoyé $0{,}312$. Combien de tirs simulés ont touché le centre ? Calcule l'écart $|f - p|$.

Ex. 50★★★Le dé de Timéo est-il équilibré ? — Timéo lance 500 fois son dé et obtient 118 fois le 6. Pour comparer avec un dé équilibré, il écrit le programme ci-dessous. Le nuage montre les fréquences de 6 obtenues sur six échantillons simulés de taille 500. from random import randint def nb_six(n): six = 0 for i in range(n): if randint(1, 6) == 6: six = six + 1 return six

1. aAvec quelle probabilité le test randint(1, 6) == 6 est-il vrai ? Timéo avait d'abord écrit randint(1, 7) : quelle probabilité aurait-il simulée ?
2. bLa fonction renvoie-t-elle un nombre ou une fréquence de 6 ? Justifie, puis modifie une ligne pour qu'elle renvoie la fréquence.
3. cUne simulation de 500 lancers d'un dé équilibré a donné 84 fois le 6 : calcule la fréquence correspondante. Calcule la fréquence des 6 de Timéo et son écart à $\frac{1}{6}$.
4. dLis l'étendue des fréquences du nuage. Timéo a-t-il des raisons de douter que son dé soit équilibré ? Justifie. Est-ce une preuve ?
5. eEstime la probabilité d'obtenir 6 avec ce dé. Combien de 6 Timéo peut-il prévoir sur 2 000 lancers ?