1re spécialité / Échantillonnage

Ex. 1★★★Automatismes : fréquences et intervalles — Calcule en ligne. Rappels : $f = \frac{k}{n}$, et l'intervalle de 2nde est $\left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}\,;p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$.

1. aDans un échantillon de taille $n = 80$, un caractère apparaît $k = 26$ fois. Calcule $f$ en écriture décimale.
2. bÉcris la fréquence $0{,}075$ en pourcentage.
3. cÉcris la fréquence $42\,\%$ en écriture décimale.
4. dDans un échantillon de $250$ personnes, $36\,\%$ ont un chien. Combien de personnes ont un chien ?
5. eCalcule $\frac{1}{\sqrt{n}}$ pour $n = 900$, arrondi au millième.
6. fPour $p = 0{,}3$ et $n = 100$, écris l'intervalle de 2nde.
7. gPour $p = 0{,}6$ et $n = 2\,500$, écris l'intervalle de 2nde.

Ex. 2★★★Automatismes : fréquence ou probabilité ? — On lance un dé équilibré. La probabilité d'obtenir 6 est $p = \frac{1}{6}$. On note $f$ la fréquence de 6 dans un échantillon de $n$ lancers. Pour chaque affirmation : vrai ou faux ? Justifie.

1. a« Sur $60$ lancers, on obtiendra exactement $10$ six. »
2. b« Sur $60$ lancers, on obtient $15$ six : la probabilité d'obtenir 6 avec ce dé vaut donc $0{,}25$. »
3. c« Sur $60$ lancers chacun, Inès obtient $9$ six et Hugo $12$. L'un des deux s'est trompé. »
4. d« Quand $n$ devient très grand, $f$ finit par être égale à $\frac{1}{6}$. »
5. e« Pour $n = 100$, tous les échantillons vérifient $\left|f - \frac{1}{6}\right| \leqslant 0{,}1$. »
6. f« Pour $n = 3\,600$, environ 95\,% des échantillons vérifient $\left|f - \frac{1}{6}\right| \leqslant \frac{1}{60}$. »

Ex. 3★★★Vingt échantillons sur un nuage — Un archer touche le centre de la cible avec la probabilité $p = 0{,}4$ à chaque tir. Maëlle simule $20$ échantillons de $n = 100$ tirs. Le nuage donne la fréquence de tirs au centre de chaque échantillon (en abscisse : le numéro de l'échantillon).

1. aCalcule l'intervalle $\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$.
2. bCombien de fréquences observées sont en dehors de cet intervalle ? Lesquelles ?
3. cCalcule la proportion des échantillons dont la fréquence est dans l'intervalle, en décimal puis en %.
4. dLéo affirme : « On trouve $90\,\%$ et pas $95\,\%$, donc la simulation est fausse. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 4★★★Contrôle qualité : corriger un programme — Nadia contrôle des pièces. Chaque pièce est défectueuse avec la probabilité $p = 0{,}08$, indépendamment des autres. Elle écrit ce programme pour simuler la fréquence de pièces défectueuses dans un échantillon de taille $n$. from random import random def frequence(n): k = 0 for i in range(n): if random() < 0.08: k = k + 1 return k / n

1. aQue compte la variable k ? Quelle probabilité le test random() < 0.08 simule-t-il ?
2. bLe programme renvoie toujours $0$ ou $\frac{1}{n}$. Repère l'erreur et corrige-la.
3. cUne fois corrigé, frequence(625) renvoie 0.0928. Combien de pièces défectueuses ont été simulées ?
4. dUn deuxième appel renvoie 0.0672. Sacha dit : « Le programme est faux, il devrait redonner $0{,}092\,8$. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eLes deux fréquences sont-elles dans l'intervalle $\left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}\,;p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ ? Justifie.

Ex. 5★★★Tickets à gratter : la fréquence se stabilise — Un jeu annonce que $25\,\%$ des tickets sont gagnants : $p = 0{,}25$. Yanis simule des échantillons de tailles croissantes et compte les tickets gagnants $k$.

1. aCalcule la fréquence $f = \frac{k}{n}$ de tickets gagnants pour chaque taille $n$.
2. bCalcule l'écart $|f - p|$ pour chaque taille $n$.
3. cDécris l'évolution de $f$ quand $n$ augmente. $f$ devient-elle égale à $0{,}25$ ?
4. dYanis dit : « Sur $10$ tickets, $f = 0{,}4$ : le jeu ment, il y a plus de $25\,\%$ de gagnants. » A-t-il raison ? Justifie à l'aide du tableau.

Ex. 6★★★Sondage vélo : 95 %, pas 100 % — Une mairie annonce que $35\,\%$ des habitants vont au travail à vélo : on prend $p = 0{,}35$. Ambre interroge $n = 400$ habitants tirés au hasard. $119$ d'entre eux vont au travail à vélo.

1. aCalcule la fréquence $f$ de cyclistes dans l'échantillon d'Ambre, en écriture décimale puis en pourcentage.
2. bCalcule l'intervalle $\left[p - \frac{1}{\sqrt{n}}\,;p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ pour $n = 400$. La fréquence $f$ y appartient-elle ?
3. cYohan affirme : « $f$ est hors de l'intervalle, donc c'est certain : il n'y a pas $35\,\%$ de cyclistes. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dLa mairie fait réaliser $60$ sondages de $400$ habitants chacun. Combien de sondages environ devraient donner une fréquence hors de l'intervalle calculé pour $n = 400$ ?
5. eCalcule l'intervalle de 2nde pour un échantillon de $1\,600$ habitants. Par combien sa largeur est-elle divisée par rapport à celle obtenue pour $n = 400$ ?

Ex. 7★★★Pile ou face : pas de compensation — Lucas lance une pièce équilibrée : la probabilité d'obtenir face est $p = 0{,}5$ à chaque lancer, et les lancers sont indépendants. Il vient d'obtenir face $8$ fois de suite. Il déclare : « Au prochain lancer, pile est plus probable : la pièce doit compenser. »

1. aLucas a-t-il raison ? Justifie à l'aide de la probabilité d'obtenir pile au $9^\text{e}$ lancer.
2. bBen simule $n$ lancers en codant $1$ pour face et $0$ pour pile. Explique pourquoi la moyenne $m$ de cet échantillon est la fréquence $f$ de face.
3. cBen obtient ces nombres $k$ de faces :

   n	100	2 500	40 000
   k	56	1 280	20 160

   Calcule l'excédent $k - \frac{n}{2}$ pour chaque $n$. Les piles ont-ils « compensé » les faces ?
4. dExprime $f - 0{,}5$ en fonction de l'excédent et de $n$, puis calcule-le pour chaque $n$. Pourquoi $f$ se rapproche-t-elle de $0{,}5$ sans compensation ?
5. eCalcule l'intervalle de 2nde pour $n = 40\,000$. Un excédent de $160$ faces est-il surprenant pour une pièce équilibrée ? Justifie.

Ex. 8★★★La roue de la kermesse — À la kermesse, Malo tient une roue à $10$ secteurs. La fonction gain() simule le gain $X$, en euros, d'une partie. from random import randint def gain(): r = randint(1, 10) if r == 1: return 8 elif r <= 4: return 2 else: return 0

1. aDonne la loi de $X$ sous forme de tableau. Justifie chaque probabilité à partir du programme.
2. bCalcule l'espérance $\mu = E(X)$.
3. cÉcris une fonction moyenne(n) qui renvoie la moyenne $m$ d'un échantillon de taille $n$ de la loi de $X$. Précise où placer return s / n.
4. dMalo obtient :

   n	20	200	2000
   m	1,9	1,27	1,418

   Calcule $|m - \mu|$ pour chaque $n$ et commente.
5. eUne partie coûte $1{,}50$ €. Environ quel bénéfice la kermesse peut-elle espérer sur $2\,000$ parties ? Justifie avec $\mu$.

Ex. 9★★★Probabilité qu'un test soit vrai — Automatismes. On note u = random(). Donne la probabilité que chaque test soit vrai.

1. au < 0.35
2. b0.2 <= u < 0.65
3. cu >= 0.72
4. drandint(1, 6) <= 4
5. erandint(0, 4) <= 1
6. frandint(1, 20) < 5
7. grandint(5, 12) == 12

Ex. 10★★★Seuils cumulés — Automatismes. On simule une variable aléatoire avec u = random() et des tests if, elif, else.

1. a$X$ vaut $1$, $2$ ou $3$ avec les probabilités $0{,}15$ ; $0{,}45$ ; $0{,}4$. Donne les deux seuils à écrire dans le programme.
2. b$X$ vaut $-1$, $0$ ou $4$ avec les probabilités $0{,}25$ ; $0{,}6$ ; $0{,}15$. Pour quelles valeurs de $u$ le programme doit-il renvoyer $0$ ?
3. cUn programme renvoie $10$ si u < 0.08, sinon $20$ si u < 0.66, sinon $50$. Donne $P(X = 20)$ et $P(X = 50)$.
4. d$X$ vaut $0$, $1$, $2$ ou $3$ avec les probabilités $0{,}1$ ; $0{,}35$ ; $0{,}4$ ; $0{,}15$. Donne les trois seuils à écrire dans le programme.
5. ePour une loi $0{,}24$ ; $0{,}46$ ; $0{,}3$, un élève écrit les seuils $0{,}24$ puis $0{,}46$. Avec quelle probabilité son programme renvoie-t-il la 2e valeur ?
6. f$X$ vaut $2$, $5$ ou $9$ avec les probabilités $0{,}4$ ; $0{,}35$ ; $0{,}25$. Quelle valeur va dans le else, et pour quels $u$ ?

Ex. 11★★★Retrouver la loi d'un jeu de fléchettes — $X$ est le nombre de points marqués par Noé en un lancer de fléchette. Voici la fonction qui le simule :from random import random def lancer(): u = random() if u < 0.12: return 5 elif u < 0.4: return 2 else: return 0

1. aNoé affirme que la fonction renvoie $2$ avec la probabilité $0{,}4$. A-t-il raison ? Justifie.
2. bDonne la loi de probabilité de $X$.
3. cCalcule l'espérance $E(X) = \mu$.
4. dModifie le programme pour que $P(X = 5) = 0{,}2$, sans changer $P(X = 2)$.

Ex. 12★★★Corriger le programme de Malik — Une machine à café tombe en panne $X$ fois par semaine : $0$, $1$ ou $2$ fois, avec les probabilités $0{,}65$ ; $0{,}25$ ; $0{,}1$. Malik écrit :from random import random def pannes(): if random() < 0.65: return 0 elif random() < 0.25: return 1 else: return 2

1. aLes deux appels à random() sont indépendants. Avec quelle probabilité ce programme renvoie-t-il $1$ ?
2. bAvec quelle probabilité ce programme renvoie-t-il $2$ ?
3. cMalik ne tire plus qu'un seul u = random(), mais garde elif u < 0.25. Avec quelle probabilité obtient-il $1$ ?
4. dÉcris le programme correct.

Ex. 13★★★Pièces défectueuses — Dans une usine, chaque pièce est défectueuse avec la probabilité $0{,}08$. $D$ vaut $1$ si la pièce est défectueuse, et $0$ sinon.

1. aÉcris une fonction defaut() qui simule $D$ avec random().
2. bSofiane teste plutôt randint(1, 100) <= 8. A-t-il raison ? Justifie.
3. cLina teste randint(0, 100) < 8. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dQuelle formule faut-il écrire en A1 d'un tableur pour simuler $D$ ? Comment obtenir un échantillon de taille $500$ ?
5. eDonne l'espérance $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de $D$
   (arrondi à $10^{-4}$).

Ex. 14★★★La roue de la kermesse — À la kermesse, Zoé tient une roue. Le gain $X$ d'une partie, en euros, est simulé par la fonction suivante :from random import randint def roue(): k = randint(1, 20) if k <= 3: return 10 elif k <= 9: return 2 else: return 0

1. aDonne la loi de $X$ simulée par roue(). Justifie en comptant les entiers concernés.
2. bLe ticket coûte $2$ €. Calcule $E(X)$. Sur un grand nombre de parties, la kermesse gagne-t-elle de l'argent en moyenne ? Justifie.
3. cRayan remplace les tests par k < 3 et k < 9. Quelle loi sa fonction simule-t-elle ? Calcule son espérance.
4. dRéécris roue() pour simuler la loi de la première question avec un seul appel à random(). Justifie tes seuils.

Ex. 15★★★Le programme de Chloé à réparer — $Y$ est le nombre de buts marqués en un match par l'équipe de hockey de Chloé. Sa loi est :

1. aPour chacune des valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$, donne la probabilité que buts() la renvoie.
2. bAvec quelle probabilité buts() ne renvoie-t-elle aucun nombre ? Explique les deux erreurs de Chloé.
3. cÉcris une fonction buts() correcte, avec un seul appel à random().
4. dLa cellule A1 d'un tableur contient =ALEA(). Avec la fonction SI(test;si vrai;si faux), écris en B1 une formule qui affiche une valeur de $Y$.

Ex. 16★★★Lancers francs : choisir le bon test — Hugo réussit un lancer franc avec la probabilité $0{,}35$. $R$ vaut $1$ si le lancer est réussi, et $0$ sinon. On cherche des tests qui sont vrais avec la probabilité $0{,}35$.

1. aParmi randint(1, 20) <= 7, randint(0, 20) <= 7, randint(0, 19) < 7 et randint(1, 20) < 7, lesquels conviennent ? Justifie pour chacun.
2. bLéo propose le test random() > 0.65 et Ben le test random() <= 0.35. Ces tests conviennent-ils ? Justifie.
3. cHugo progresse : il réussit maintenant avec la probabilité $0{,}355$. Explique pourquoi randint(1, 20) ne suffit plus, puis propose un test avec randint.
4. dAvec =ALEA.ENTRE.BORNES et la fonction SI(test;si vrai;si faux), écris une formule de tableur qui affiche $1$ avec la probabilité $0{,}35$, et $0$ sinon.

Ex. 17★★★Calculer la moyenne d'un échantillon — Calcule la moyenne $m$ de l'échantillon ou la distance demandée.

1. aUne variable vaut $1$ si un client paie sans contact et $0$ sinon. Échantillon de taille 8 : 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1. Calcule $m$ puis dis ce qu'elle représente.
2. bVoici les résultats de 20 lancers d'une toupie :

   Valeur	1	2	5
   Effectif	12	6	2

   Calcule $m$.
3. cPour l'échantillon 12, 15, 9, 14, 10 (en minutes), Laura écrit $m = \frac{60}{4} = 15$. Corrige son calcul.
4. dSur 400 pièces tirées au hasard, 26 sont défectueuses. On pose $X = 1$ si la pièce est défectueuse et $0$ sinon. Calcule $m$.
5. eOn a $\mu = 1{,}5$ et $m = 1{,}38$. Calcule $|m - \mu|$.
6. fOn a $\mu = 7$ et Sami trouve $m - \mu = -0{,}4$. Donne la distance $|m - \mu|$.

Ex. 18★★★Lire un programme de moyenne — Hugo simule les lancers d'un dé tétraédrique avec ce programme : from random import randint def moyenne(n): s = 0 for k in range(n): s = s + randint(1, 4) return s / n

1. aDonne la loi de la valeur $X$ ajoutée à chaque tour.
2. bCalcule $\mu = E(X)$.
3. cCombien de valeurs sont additionnées quand on appelle moyenne(30) ?
4. dQuelle ligne faut-il modifier pour simuler un dé à 6 faces ? Écris-la.
5. eQue renverrait moyenne(30) si la ligne return s / n était indentée dans la boucle ?
6. fDeux appels de moyenne(30) donnent 2,4 puis 2,7. Léo en conclut que le programme est faux. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 19★★★Le programme d'Inès qui ne marche pas — Une graine germe avec la probabilité 0,35. Inès veut calculer la fréquence de germination dans un échantillon de $n$ graines : from random import random def frequence(n): for k in range(n): s = 0 if random() < 0.35: s = s + 1 return s / (n - 1)

1. aQuelle variable de Bernoulli $X$ est simulée à chaque tour ? Donne $\mu = E(X)$.
2. bRepère l'erreur sur la place de s = 0. Explique quelle valeur prend alors s à la fin de la boucle.
3. cRepère la deuxième erreur, puis écris le programme corrigé.
4. dAvec le programme corrigé, frequence(200) renvoie $0{,}315$. Que vaut s à la fin de la boucle ? Calcule $|m - \mu|$.

Ex. 20★★★Attente à la cantine — On modélise le temps d'attente $X$ (en minutes) à la cantine par la loi :

1. aCalcule l'espérance $\mu = E(X)$.
2. bCalcule la moyenne $m$ de l'échantillon de Noé.
3. cCalcule la distance $|m - \mu|$.
4. dNoé affirme : « $m$ est différente de $\mu$, donc la loi proposée est fausse. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 21★★★Estimer la part des cyclistes — Maëlle veut estimer la proportion $p$, inconnue, des habitants de sa ville qui vont au travail à vélo. Elle code $1$ pour « à vélo » et $0$ sinon. Elle interroge des échantillons tirés au hasard :

1. aExplique pourquoi chaque fréquence $f$ est aussi la moyenne $m$ d'un échantillon.
2. bCalcule le nombre de cyclistes dans l'échantillon de taille 500, puis dans celui de taille 2\,000.
3. cQuelle valeur choisis-tu pour estimer $p$ ? Justifie.
4. dVrai ou faux : « $p$ vaut exactement 0,214. » Justifie.
5. eVrai ou faux : « Interroger les 500 premières personnes qui passent devant la gare donne un échantillon tiré au hasard. » Justifie.

Ex. 22★★★La roue de la kermesse — À la kermesse, une roue fait gagner $X$ euros : $0$ avec la probabilité $0{,}55$, $2$ avec la probabilité $0{,}3$ et $5$ avec la probabilité $0{,}15$. La fonction roue() simule un gain. Pour calculer le gain moyen sur $n$ parties, Léon écrit : def moyenne(n): for k in range(n): s = 0 s = s + roue() return s / n

1. aCalcule l'espérance $\mu = E(X)$ du gain sur une partie.
2. bLéon lance moyenne(20). Combien de gains simulés sont réellement utilisés ? Que renvoie la fonction ? Justifie.
3. cRéécris la fonction correctement et explique pourquoi chaque ligne déplacée doit l'être.
4. dCorrigée, moyenne(20) renvoie $1{,}6$ et moyenne(2000) renvoie $1{,}37$. Calcule $|m - \mu|$ dans chaque cas, puis commente.
5. eUne partie coûte $1{,}50$ €. Que peut espérer gagner l'organisateur par partie, sur un grand nombre de parties ? Les $20$ parties simulées plus haut permettaient-elles de le constater ? Justifie.

Ex. 23★★★Des bulles dans les carreaux — Dans une usine de céramique, $X$ est le nombre de bulles sur un carreau. Sacha tire au hasard un échantillon de $80$ carreaux et compte les bulles :

1. aSacha trouve $m = \frac{0 + 1 + 2 + 3}{4} = 1{,}5$. Explique son erreur et calcule la bonne moyenne $m$ de l'échantillon.
2. bOn pose $Y = 1$ si le carreau n'a aucune bulle et $Y = 0$ sinon. Calcule la moyenne des $80$ valeurs de $Y$. Que représente ce nombre ?
3. cLe fournisseur annonce la loi : $P(X = 0) = 0{,}5$ ; $P(X = 1) = 0{,}3$ ; $P(X = 2) = 0{,}15$ ; $P(X = 3) = 0{,}05$. Calcule $\mu = E(X)$, puis $|m - \mu|$.
4. dD'après la loi du fournisseur, quelle est l'espérance de $Y$ ? Calcule la distance entre cette espérance et la moyenne des valeurs de $Y$ trouvée plus haut.
5. eUn collègue tire au hasard $120$ autres carreaux et trouve une moyenne de $0{,}65$ bulle. Calcule la moyenne des $200$ carreaux réunis. Pourquoi n'est-ce pas $\frac{0{,}8 + 0{,}65}{2}$ ?

Ex. 24★★★Le dé à huit faces de Wassim — Wassim veut simuler $n$ lancers d'un dé équilibré à huit faces, numérotées de $1$ à $8$, et calculer leur moyenne : from random import randint def moyenne(n): s = 0 for k in range(n): s = s + k return s / n

1. aDonne la loi du résultat $X$ d'un lancer du dé, puis calcule $\mu = E(X)$.
2. bCombien de tours fait la boucle pour moyenne(10) ? Quelles valeurs sont ajoutées à s ? Que renvoie l'appel ?
3. cWassim relance plusieurs fois moyenne(10) et obtient toujours $4{,}5$, soit $\mu$. Pourquoi cela doit-il l'alerter ? Calcule ce que renvoie moyenne(100), puis corrige le programme.
4. dAvec le programme corrigé, Wassim obtient :

   n	10	100	1000	10000
   m	5,2	4,37	4,541	4,4968

   Calcule $|m - \mu|$ pour chaque $n$ et commente.
5. eVoici huit moyennes d'échantillons de taille $50$ : Clara affirme : « L'espérance de $X$ change d'un échantillon à l'autre. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 25★★★Calculer l'écart $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ — Calcule $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ dans chaque cas.

1. a$\sigma = 5$ et $n = 100$.
2. b$\sigma = 1{,}8$ et $n = 36$.
3. c$V(X) = 0{,}64$ et $n = 64$.
4. d$\sigma = 4$ et $n = 25$. Léo trouve $\frac{2 \times 4}{25} = 0{,}32$. Corrige son calcul.
5. e$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}1$ et $n = 400$.
6. f$V(X) = 2{,}25$ et $n = 100$.
7. g$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}15$ et $n = 50$ : donne l'arrondi à $10^{-3}$, en n'arrondissant qu'à la fin.

Ex. 26★★★Écrire et lire l'intervalle centré sur $\mu$ — Réponds en une ou deux lignes.

1. a$\mu = 50$ et $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}} = 1{,}5$ : écris l'intervalle $\left[\mu - \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\,;\mu + \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\right]$.
2. bTraduis $|m - 7| \leqslant 0{,}3$ par un encadrement de $m$.
3. cTraduis $4{,}6 \leqslant m \leqslant 5{,}4$ par une inégalité avec une valeur absolue.
4. d$\mu = 4{,}5$, $V(X) = 1{,}21$ et $n = 121$ : écris l'intervalle centré sur $\mu$.
5. e$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}5$ et $n = 625$ : écris l'intervalle centré sur $\mu$.
6. f$\mu = 10$, $m = 10{,}6$ et $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}} = 0{,}4$. Un élève écrit l'intervalle $[10{,}2\,;11]$. Corrige son erreur.
7. g$\mu = 2$, $\sigma = 0{,}9$ et $n = 81$ : situe $m = 2{,}15$ par rapport à l'intervalle.

Ex. 27★★★Le stand de la kermesse — À la kermesse, Inès tient un stand. Chaque ticket donne au joueur un lot de valeur $X$ (en euros). Voici la loi de $X$ :

1. aCalcule l'espérance $E(X) = \mu$.
2. bCalcule $V(X)$, puis l'écart type $\sigma$.
3. cPour des échantillons de $n = 100$ tickets, calcule $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ et écris l'intervalle centré sur $\mu$.
4. dSur $100$ tickets, la valeur moyenne des lots est de $3{,}75$ €. Situe cette moyenne et conclus par une phrase dans le contexte.

Ex. 28★★★Le programme de Malo — Une enquête annonce que $36\,\%$ des lycéens d'une ville viennent à vélo. On interroge un lycéen : $X$ vaut $1$ s'il vient à vélo, $0$ sinon. Malo écrit ce programme (les lignes sont numérotées de 1 à 10) : from random import random c = 0 for k in range(1000): s = 0 for i in range(144): if random() < 0.36: s = s + 1 if abs(s / 144 - 0.36) <= 2 * 0.2304 / 12: c = c + 1 print(c / 1000)

1. aQue simulent les lignes 6 et 7 ? Que valent ici la taille $n$ d'un échantillon et le nombre $N$ d'échantillons ?
2. bCalcule $\sigma$, puis $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$.
3. cLa ligne 8 contient une erreur. Laquelle ? Corrige-la.
4. dAvec l'erreur, la proportion affichée serait-elle plus grande ou plus petite que $0{,}95$ environ ? Justifie.
5. eLe programme corrigé, lancé cinq fois, affiche :

   Essai	1	2	3	4	5
   Sortie	0,951	0,947	0,958	0,944	0,953

   Pourquoi ces sorties diffèrent-elles ? Que représente $0{,}951$ ?

Ex. 29★★★Tablettes de chocolat : deux tailles d'échantillon — Dans une chocolaterie, la masse $X$ (en g) d'une tablette a pour espérance $\mu = 100$ et pour écart type $\sigma = 1{,}2$. Nora contrôle des échantillons de tablettes.

1. aPour $n = 36$ tablettes, calcule $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ et écris l'intervalle centré sur $\mu$.
2. bFais le même calcul pour $n = 144$. Quand $n$ est multiplié par $4$, par combien la demi-largeur est-elle divisée ?
3. cVrai ou faux ? Justifie. « Environ 95\,\% des tablettes ont une masse dans l'intervalle trouvé pour $n = 36$. »
4. dVrai ou faux ? Justifie. « En 1re, on démontre que $|m - \mu| \leqslant \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ dans environ 95\,\% des échantillons. »
5. eUn échantillon de $144$ tablettes a une masse moyenne $m = 100{,}3$ g. Situe $m$ et conclus par une phrase dans le contexte.

Ex. 30★★★Les flèches de Lucie — Au tir à l'arc, chaque flèche de Lucie rapporte $X$ points. Voici la loi de $X$ :

1. aCalcule l'espérance $E(X) = \mu$, puis la variance $V(X)$ et l'écart type $\sigma$.
2. bCalcule $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$, puis écris l'intervalle $\left[\mu - \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\,;\mu + \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\right]$.
3. cSur $169$ flèches, Lucie obtient une moyenne de $1{,}35$ point. Situe cette moyenne et conclus par une phrase dans le contexte.
4. dThéo utilise $V(X)$ à la place de $\sigma$ pour calculer $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$, et dit que $1{,}35$ est « normal ». Repère son erreur et explique ce qu'elle change à la conclusion.
5. eJade affirme : « 
   Donc environ 95\,\% des flèches de Lucie rapportent un nombre de points situé dans cet intervalle. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 31★★★Les graines d'Elsa — Un semencier annonce que 90\,\% de ses graines germent. Pour une graine, $X$ vaut $1$ si elle germe, $0$ sinon. Elsa simule $N = 200$ échantillons de taille $n = 100$ graines. Elle compte ceux pour lesquels $|m - \mu| \leqslant \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ (lignes numérotées de 1 à 10) : from random import random c = 0 s = 0 for j in range(200): for i in range(100): if random() < 0.9: s = s + 1 if abs(s / 100 - 0.9) <= 0.06: c = c + 1 print(c / 200)

1. aCalcule $\mu$ et $\sigma$, puis justifie la valeur $0{,}06$ écrite à la ligne 8.
2. bTraduis la condition de la ligne 8 par un encadrement de la fréquence s / 100 de graines qui germent.
3. cElsa obtient $0{,}005$. Trouve l'erreur de son programme, explique son effet et corrige-la.
4. dProgramme corrigé, cinq exécutions :

   Exécution	1	2	3	4	5
   Proportion	0,965	0,955	0,98	0,97	0,96

   Maëlle : « Pour que ces proportions fluctuent moins, il faut augmenter la taille $n = 100$. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. ePar quelle taille $n$ faut-il remplacer $100$ pour diviser par $3$ la demi-largeur $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ ? Vérifie par le calcul.

Ex. 32★★★Le temps de réaction de Hugo — Le temps de réaction $X$ (en ms) d'un adulte à un signal sonore a pour espérance $\mu = 250$. Son écart type $\sigma$ n'est pas donné. Des simulations montrent que, pour des échantillons de taille $n = 64$, dans environ 95\,\% des échantillons, la moyenne $m$ est dans $[245\,;255]$.

1. aDéduis de l'intervalle la valeur de $\frac{2\sigma}{\sqrt{64}}$, puis celle de $\sigma$.
2. bÉcris une fonction Python d(n) qui renvoie $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$. Donne d(256) et d(1024), puis énonce la règle observée.
3. cHugo : « Avec $n = 256$, ma moyenne $m$ a environ 95\,\% de chances d'être égale à $250$ ms. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dUn échantillon de $256$ mesures donne $m = 253$ ms. Situe cette moyenne. Même question si elle venait de $64$ mesures. Explique la différence.
5. ePour $n = 500$, calcule $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ arrondi au centième, sans arrondir $\sqrt{500}$ en cours de calcul. Écris ensuite l'intervalle centré sur $\mu$.

Ex. 33★★★Automatismes : demi-largeur, largeur, intervalle — On note $d(n) = \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ la demi-largeur de l'intervalle $\left[\mu - \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\,;\mu + \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\right]$. Calcule de tête.

1. a$\sigma = 1{,}5$ et $n = 36$ : calcule $d(n)$.
2. b$\sigma = 1{,}8$ et $n = 81$ : calcule la largeur $2d(n)$ de l'intervalle.
3. c$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}1$ et $n = 900$ : calcule $\sigma$, puis $d(n)$.
4. d$\sigma = 0{,}8$ et $n = 400$ : calcule $d(n)$.
5. e$\mu = 50$, $\sigma = 4$ et $n = 16$ : écris l'intervalle.
6. f$\mu = 80$, $\sigma = 4$ et $n = 16$ : donne $d(n)$ puis l'intervalle. Compare avec la question précédente.

Ex. 34★★★Automatismes : la règle des carrés — $\sigma$ est fixé et $d(n) = \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$. Utilise la règle des carrés $d(k^2 n) = \frac{d(n)}{k}$, sans chercher $\sigma$.

1. a$d(100) = 0{,}6$ : calcule $d(400)$.
2. b$d(50) = 0{,}9$ : calcule $d(5\,000)$.
3. c$d(n) = 0{,}42$ : calcule $d(9n)$.
4. d$d(n) = 0{,}2$ : calcule $d(2n)$, arrondie au millième.
5. ePar quel nombre faut-il multiplier $n$ pour diviser $d(n)$ par $5$ ?
6. f$d(1\,600) = 0{,}05$ : calcule $d(100)$.

Ex. 35★★★Vrai ou faux : les trajets d'Inès — Un trajet en tram dure $X$ minutes, avec $E(X) = \mu = 18$ et $\sigma = 2{,}4$. Inès relève des échantillons de $n$ trajets et calcule leur moyenne $m$. Vrai ou faux ? Justifie.

1. a« Si je relève deux fois plus de trajets, l'intervalle devient deux fois plus étroit. »
2. b« Si l'espérance passe de $18$ à $25$ min, avec le même $n$, l'intervalle devient plus large. »
3. c« Pour $n = 36$, l'intervalle a pour largeur $0{,}8$. »
4. d« Pour des trajets à vélo d'écart type $4{,}2$ min, avec $n = 36$ aussi, l'intervalle est plus large. »

Ex. 36★★★Contrôle des bouchons : un tableau de d(n) — Un bouchon a un diamètre $X$ (en mm), avec $E(X) = \mu = 20$ et $\sigma = 0{,}5$. Ben écrit ce programme pour afficher $d(n)$. from math import sqrt sigma = 0.5 for k in range(1, 5): n = 25 * k * k d = ... print(n, round(d, 4))

1. aComplète la ligne 5 pour que le programme calcule $d(n) = \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$.
2. bComplète le tableau des valeurs affichées :

   n	25	100	225	400
   d(n)	…	…	…	…

3. cQuand $n$ passe de $25$ à $100$, par combien $d$ est-elle divisée ? Explique avec la règle des carrés.
4. dBen règle mieux sa machine : $\sigma$ passe à $0{,}25$ mm. Quelle ligne modifies-tu ? Que deviennent les valeurs affichées ?

Ex. 37★★★Deux sondages sur une piste cyclable — Dans une ville, la proportion d'habitants favorables à une piste cyclable est $p = 0{,}5$. On note $X = 1$ si une personne interrogée est favorable, $0$ sinon. Le sondage A interroge $400$ personnes, le sondage B en interroge $2\,500$.

1. aCalcule l'écart type $\sigma$ de $X$.
2. bCalcule la demi-largeur $d(n)$ pour le sondage A, puis pour le sondage B.
3. cLucas affirme : « B interroge $6{,}25$ fois plus de monde, donc il est $6{,}25$ fois plus précis. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dDans le sondage B, $1\,310$ personnes sont favorables. Calcule la fréquence observée $f$ et $|f - p|$, puis commente.

Ex. 38★★★Les pommes de trois vergers — Lina pèse des pommes. On note $X$ la masse d'une pomme (en g). Verger A : $E(X) = \mu = 150$ et $\sigma = 12$. Verger B : $\mu = 210$ et $\sigma = 12$. Verger C : $\mu = 150$ et $\sigma = 18$. Pour un échantillon de taille $n$, on note $m$ sa moyenne et $d(n) = \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$.

1. aPour $n = 64$, calcule $d(64)$ pour le verger A, puis pour le verger B. Explique pourquoi ces deux valeurs sont égales.
2. bPour $n = 64$, écris l'intervalle $\left[\mu - \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\,;\mu + \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ des vergers A et B. Un élève affirme : « Leur largeur vaut 3 g. » Corrige-le.
3. cPour le verger C avec $n = 64$, calcule $d(64)$. Compare avec le verger A, puis explique la différence.
4. dLina pèse $144$ pommes du verger C. Calcule $d(144)$ et compare avec le verger A pour $n = 64$. Compare ensuite les rapports $\frac{18}{12}$ et $\frac{144}{64}$.
5. eLina pèse $64$ pommes du verger A et obtient $m = 154{,}2$ g. Situe $m$ par rapport à l'intervalle, puis commente.

Ex. 39★★★Gauchers : démontrer puis exploiter la règle des carrés — Dans un grand pays, la proportion de personnes gauchères est $p = 0{,}1$. On interroge $n$ personnes au hasard. Pour chaque personne, on pose $X = 1$ si elle est gauchère et $X = 0$ sinon. On note $f$ la fréquence observée et $d(n) = \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$.

1. aCalcule l'espérance $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de $X$.
2. bDémontre que, pour tout entier $k \geqslant 1$, on a $d(k^2 n) = \frac{d(n)}{k}$.
3. cCalcule $d(25)$. Utilise ensuite la règle des carrés pour compléter le tableau :

   n	25	100	2 500	10 000
   d(n)	?	?	?	?

4. dNoé affirme : « Interroger 10 000 personnes au lieu de 100, c'est 100 fois plus de personnes, donc l'intervalle est 100 fois plus étroit. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eBen interroge $400$ personnes et Maëlle en interroge $1\,600$. Tous deux trouvent $f = 0{,}125$. Situe $f$ dans l'intervalle $[p - d(n)\,;p + d(n)]$ de chacun, puis compare.

Ex. 40★★★L'attente à la boulangerie : un programme à corriger — À la caisse d'une boulangerie, le temps d'attente $X$ (en min) suit cette loi :

1. aMontre que $E(X) = \mu = 3$ et que $\sigma = 1{,}2$.
2. bPour $n = 25$, le programme affiche $0{,}096$. Repère l'erreur, corrige la ligne 3, puis calcule la bonne valeur de $d(25)$.
3. cDéduis $d(100)$ et $d(400)$ de $d(25)$, sans refaire le calcul. Explique pourquoi le programme faux faisait diminuer $d$ trop vite.
4. dPour chaque taille $n$, Jules simule $1\,000$ échantillons. Il obtient la proportion des cas où $|m - \mu| \leqslant d(n)$ :

   n	25	100	400
   Proportion	0,947	0,956	0,951

   Que valent $N$ et $n$ ? Interprète.
5. ePour $n = 400$, écris l'intervalle et sa largeur. Lise affirme : « La moyenne $m$ est toujours dans cet intervalle. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 41★★★Pots de confiture : le test en nombres — Une machine remplit des pots. La masse $X$ (en g) d'un pot a pour espérance $\mu = 250$ et pour écart type $\sigma = 6$. On prélève des échantillons de $n$ pots. On note $m$ la masse moyenne d'un échantillon.

1. aCalcule $\dfrac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ pour $n = 36$.
2. bPour $n = 36$, écris l'intervalle $\left[\mu - \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\,;\mu + \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\right]$.
3. cPour $n = 400$, écris le test abs(m - mu) <= e en mathématiques, avec les valeurs numériques.
4. dUn élève programme e = 2 * sigma / n. Quelle valeur obtient-il pour $n = 36$ ? Corrige la ligne.
5. ePar quel nombre $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ est-il divisé quand $n$ passe de $36$ à $900$ ?
6. fUn échantillon de $36$ pots a une masse moyenne $m = 251{,}3$ g. Passe-t-il le test ? Justifie.

Ex. 42★★★Péage : lire un appel de proportion(N, n) — À un péage, $X$ est le nombre de passagers d'une voiture. Ben simule $X$ et utilise la fonction proportion(N, n) du cours. Elle tire $N$ échantillons de taille $n$ et renvoie $c/N$, où $c$ est le nombre d'échantillons qui vérifient $|m - \mu| \leqslant \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$.

1. aDans l'appel proportion(400, 25), donne le nombre d'échantillons et la taille de chacun.
2. bCombien de valeurs de $X$ l'appel proportion(400, 25) tire-t-il en tout ?
3. cL'appel proportion(400, 25) renvoie $0{,}9425$. Combien d'échantillons ont passé le test ?
4. dPour cet appel, on sait que $\sigma = 0{,}9$. Calcule la demi-largeur $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ utilisée par le test.
5. eVrai ou faux ? « $0{,}9425$ signifie que 94,25\,\% des voitures ont un nombre de passagers dans l'intervalle. » Justifie.
6. fVrai ou faux ? « Si je relance proportion(400, 25), j'obtiendrai encore $0{,}9425$. » Justifie.

Ex. 43★★★Lancers francs : compléter le programme — Lina réussit 36\,\% de ses lancers francs. $X$ vaut $1$ si un lancer est réussi et $0$ sinon. moyenne(n) renvoie la fréquence de réussite sur $n$ lancers simulés. from math import sqrt def proportion(N, n, mu, sigma): c = ... for i in range(N): m = moyenne(n) e = ... if abs(m - mu) <= e: c = c + 1 return ...

1. aDonne l'espérance $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de $X$.
2. bComplète les trois pointillés du programme.
3. cÉcris l'appel qui simule $1\,000$ séries de $100$ lancers.
4. dPour $n = 100$, calcule $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$, puis écris le test sous la forme d'un encadrement de $m$.
5. eCet appel renvoie $0{,}962$. Interprète ce résultat dans le contexte.

Ex. 44★★★Jeu de grattage : le programme d'Inès — Le gain $X$ (en €) d'un ticket suit la loi

1. aCalcule $E(X) = \mu$, $V(X)$ et $\sigma$.
2. bLe programme d'Inès contient trois erreurs. Repère-les et corrige-les.
3. cPour $n = 169$, calcule $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ et l'intervalle dans lequel doit se trouver $m$ pour passer le test.
4. dAvec le programme corrigé, proportion(500, 169, 1.1, 1.3) renvoie $0{,}954$. Inès dit : « Un ticket a 95,4 % de chances de rapporter entre 0,9 € et 1,3 €. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 45★★★Graines : interpréter des exécutions — 10\,\% des graines d'un sachet ne germent pas. $X$ vaut $1$ si une graine ne germe pas et $0$ sinon. Léo exécute quatre fois proportion(N, 400) du cours, avec deux valeurs de $N$ :

1. aCalcule $\sigma$, puis $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$, et traduis le test abs(m - mu) <= e par un encadrement de $m$.
2. bLors de l'exécution 2 avec $N = 50$, combien d'échantillons ont passé le test ?
3. cLe $1$ obtenu à l'exécution 4 avec $N = 50$ contredit-il le cours ? Justifie.
4. dLéo affirme : « La ligne $N = 2\,000$ est moins dispersée parce que ses échantillons contiennent plus de graines. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 46★★★Hotline : corriger le programme de Noé — Une hotline reçoit $X$ appels par minute, avec la loi

1. aCalcule $E(X) = \mu$, $V(X)$ et $\sigma$. Les lignes mu = 1.2 et sigma = 0.36 sont-elles justes ? Justifie.
2. bPour $n = 36$, calcule e chez Noé, puis la valeur attendue $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$. Si c'était la seule erreur, quel serait son effet sur la proportion ?
3. cLa ligne return c / N est mal indentée. Quelles valeurs la fonction de Noé peut-elle renvoyer pour $N = 500$ ? Corrige cette ligne.
4. dUne fois le programme corrigé, proportion(500, 36) renvoie $0{,}958$. Ana écrit : « 95,8 % des minutes ont entre 1 et 1,4 appel. » Corrige sa phrase.
5. ePour cet appel, combien de valeurs de $X$ le programme a-t-il tirées ? Combien d'échantillons ont un nombre moyen d'appels hors de $[1\,;1{,}4]$ ?

Ex. 47★★★Projet de tram : une erreur sur mu — Dans une ville, 50\,\% des habitants sont favorables à un tram. $X$ vaut $1$ si un habitant est favorable, $0$ sinon. moyenne(n) renvoie la fréquence des favorables sur $n$ habitants simulés. Zoé exécute trois fois proportion(1000, 400) du cours avec mu = 0.5 et sigma = 0.5, puis trois fois avec mu = 0.6 (sigma inchangé) :

1. aJustifie que $\mu = 0{,}5$ et $\sigma = 0{,}5$, puis traduis le test abs(m - mu) <= e par un encadrement de $m$ pour $n = 400$.
2. bLes trois valeurs de la ligne mu = 0.5 sont différentes et aucune ne vaut $0{,}95$. Zoé en conclut que son programme est faux. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cAvec mu = 0.6, traduis le test par un encadrement de $m$, puis explique pourquoi la proportion s'effondre.
4. dTom affirme : « proportion(400, 1000) fait la même expérience, puisqu'elle tire autant de valeurs. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 48★★★Téléphérique : de la loi à la proportion — Au téléphérique, le temps d'attente $X$ (en min) est simulé par attente() ci-dessous. moyenne(n) renvoie le temps moyen de $n$ attentes simulées. from random import random def attente(): r = random() if r < 0.18: return 1 elif r < 0.82: return 3 else: return 5 Exécutions de proportion(1000, n) du cours :

1. aLis la fonction attente() et donne la loi de $X$. Justifie chaque probabilité.
2. bCalcule $E(X) = \mu$, $V(X)$ et $\sigma$.
3. cCalcule $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ pour $n = 9$ et $n = 36$, puis retrouve sa valeur pour $n = 144$ sans refaire le calcul complet.
4. dLucas affirme : « Avec $n = 144$, la proportion renvoyée devrait être bien plus proche de $1$ qu'avec $n = 9$. » Vrai ou faux ? Justifie à l'aide du tableau.
5. eUn relevé réel de $144$ attentes donne une moyenne de $3{,}35$ min. Situe-la par rapport à $\left[\mu - \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\,;\mu + \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ et commente.