Sixième / Droites parallèles et perpendiculaires

Ex. 1★★★Automatisme : la bonne notation pour chaque trait — Sur la figure, trois traits sont dessinés : un passe par R et T, un par G et K, un par L et M.

1. aLe trait qui passe par L et M est-il une droite, une demi-droite ou un segment ? Écris sa notation.
2. bQuelle est la nature du trait qui passe par G et K ? Écris sa notation.
3. cLou dit : « Chacun des trois traits a une longueur. » Est-ce vrai ? Justifie avec la bonne notation.
4. dSacha appelle le trait qui passe par R et T « la demi-droite [TR) ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 2★★★Automatisme : ∈ ou ∉ ? — Les points V, W, X et Y sont sur la droite tracée, dans cet ordre. Complète avec ∈ ou ∉.

1. aX … [VW]
2. bX … [VW)
3. cV … [XW)
4. dV … [WX)
5. eCite tous les points de la figure qui appartiennent à la fois au segment [VY] et à la demi-droite [XV).
6. fZ … (WX)

Ex. 3★★★Une droite, plusieurs noms — Les points G, N et P sont sur une même droite. Les points J, P et L sont sur une autre droite. Le point C n'est sur aucune de ces deux droites.

1. aÉcris trois autres noms de la droite
   (GN).
2. bHugo affirme : « Par les points J et P, je peux tracer plusieurs droites en tournant un peu ma règle. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cLes points G, P et L sont-ils alignés ? Justifie.
4. dComplète avec = ou ≠ : (LP) … (PJ) ; (JP) … (GP) ; (CN) … (CG). Justifie chaque réponse.

Ex. 4★★★La copie de Yanis — Sur papier quadrillé, Yanis a tracé un segment d'extrémités D et E, de longueur 5 cm, et un trait qui passe par M et K.

1. aYanis écrit : « La droite [DE] mesure 5 cm. » Relève son erreur et écris une phrase correcte.
2. bEntre « [DE] = 5 cm » et « DE = 5 cm », laquelle est correcte ? Explique pourquoi l'autre est fausse.
3. cYanis écrit : « [MK) = (MK) ». A-t-il raison ? Justifie.
4. dYanis affirme : « [MK] et [KM] sont le même segment, donc [MK) et [KM) sont la même demi-droite. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 5★★★Les piquets du jardin d’Inès — Sur le plan de son jardin, Inès a planté cinq piquets P, H, Q, F et J. Les points P, H et Q sont alignés : la droite qui les porte est tracée. Il n’y a pas d’autres points alignés. Inès veut tracer à la règle toutes les droites qui passent par deux piquets.

1. aCombien de droites passent à la fois par F et par J ? Justifie.
2. bCombien de droites différentes Inès peut-elle tracer en tout ? Écris le nom de chacune.
3. cMalik compte 10 paires de piquets et affirme qu'Inès peut tracer 10 droites. Explique son erreur.
4. dInès plante un sixième piquet U sur la droite (PQ). U n’est sur aucune des autres droites. Combien de droites différentes y a-t-il maintenant ? Justifie.

Ex. 6★★★Vrai ou faux sur une figure mélangée — Sur la figure, on a tracé une demi-droite, un segment et une droite. Les points K, W et D sont alignés, et W ∈ [NY]. On donne NY = 5 cm et NW = 2 cm.

1. aVrai ou faux ? « Le trait qui passe par D et Y est le segment [DY]. » Justifie.
2. bComplète avec ∈ ou ∉, puis justifie : D … (WK) ; D … [WK).
3. cVrai ou faux ? « [WK) et [KW) sont la même demi-droite. » Justifie.
4. dQuel point de la figure appartient à la demi-droite [NW) mais pas au segment [NW] ? Justifie.
5. eCalcule la longueur WY. Justifie.

Ex. 7★★★Le programme de Chloé — Chloé a écrit ce programme de construction : ① Trace le segment [BE] tel que [BE] = 4 cm. ② Place un point L qui n’appartient pas à la droite (BE). ③ Trace la droite [EL]. ④ Trace la demi-droite [LB). ⑤ Place un point Q tel que Q ∈ [LB) et Q ∉ [LB].

1. aDeux étapes contiennent une erreur de notation. Lesquelles ? Recopie-les en les corrigeant.
2. bSur ton cahier, fais la figure à main levée en suivant le programme corrigé.
3. cLes points L, B et Q sont-ils alignés ? Lequel des trois est entre les deux autres ? Justifie.
4. dNolan dit : « À l'étape ④, on peut aussi tracer [BL), c'est pareil. » Le point Q placé à l'étape ⑤ appartient-il à [BL) ? Justifie.
5. eCombien de droites passent à la fois par B et Q ? Laquelle est-ce : (EL) ou (LB) ? Justifie.

Ex. 8★★★Automatisme : ∈ ou ∉ ? — La droite tracée passe par les points K, E et P. Le point V est marqué d'une croix. Complète avec ∈ ou ∉ (le symbole ⊂ ne s'emploie pas pour un point).

Ex. 9★★★Automatisme : alignés sur quadrillage — Sur ce quadrillage, un carreau mesure 1 cm. Pour chaque question, compte les carreaux de déplacement d'un point à l'autre.

1. aLes points Z, N et G sont-ils alignés ? Justifie avec les carreaux.
2. bLes points N, W et G sont-ils alignés ? Justifie avec les carreaux.
3. cOn veut un point R, à droite de G, tel que Z, G et R soient alignés. Donne un déplacement possible de G à R, en carreaux.
4. dCombien de traits à la règle faut-il pour tracer une droite qui passe par Z, G et R ?

Ex. 10★★★Vrai ou faux sur une figure chargée — Les droites (BL) et (JX) sont tracées. Le point Y est marqué d'une croix.

1. aVrai ou faux : « Par les trois points B, J et Y, on peut tracer une seule droite. » Justifie.
2. bVrai ou faux : « Les points B, U et Y sont alignés. » Justifie.
3. cNinon écrit : « U ⊂ [BL] ». Corrige son erreur.
4. dCite un point de la droite (JX) qui appartient à la demi-droite [JU) mais pas au segment [JU]. Justifie.

Ex. 11★★★Les ficelles du jardin — Pour son potager, Lina plante quatre poteaux Q, M, D et C. Les poteaux Q, M et D sont alignés, et C n'est pas sur la droite (QD). Elle tend des ficelles bien droites entre les poteaux.

1. aCombien de droites passent par les poteaux Q et C ? Justifie.
2. bCombien de droites différentes passent par deux des trois poteaux M, D et C ? Nomme-les.
3. cCombien de droites différentes passent par au moins deux des quatre poteaux ? Nomme-les.
4. dLe poteau M est-il entre Q et D ? Écris ta réponse avec un segment.

Ex. 12★★★Les gares de la voie ferrée — La voie ferrée est droite : c'est la droite (FH). Les gares F, H, N et E sont sur la voie, dans cet ordre. Le dépôt K n'est pas sur la voie.

1. aComplète avec ∈ ou ∉ : E … [FN] ; N … [FH) ; N … [HF) ; F … [NE).
2. bTom affirme : « N ∈ (FH), donc N est entre F et H. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cUne route droite relie le dépôt K à la gare N. L'une des gares F, H ou E peut-elle être sur la droite (KN) ? Justifie.
4. d[HN) et [HE) sont-elles la même demi-droite ? Et [HN) et [NH) ? Justifie.
5. eCombien de droites différentes passent par au moins deux des points F, H, N et K ? Justifie.

Ex. 13★★★Suivre un programme de construction — Programme : 1. Trace une droite (d). 2. Place sur (d) trois points C, L et M, dans cet ordre. 3. Place un point P qui n'appartient pas à (d). 4. Trace la demi-droite [PL). 5. Place sur [PL) un point G tel que L soit entre P et G.

1. aSuis ce programme : fais la figure à main levée sur ton cahier et nomme tous les points.
2. bÉcris l'étape 5 avec ∈ et un segment. Ensuite, G appartient-il à [LP) ? Justifie.
3. cHugo dit : « M ∈ [CL), donc M ∈ [CL]. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dLes points P, L et M sont-ils alignés ? Justifie.
5. eCombien de droites différentes passent par au moins deux des cinq points C, L, M, P et G ? Explique comment tu comptes.

Ex. 14★★★Le croquis du parc — Sur ce croquis à main levée, l'allée principale est droite. Elle passe par la fontaine K, le kiosque M et la sortie W, dans cet ordre. Le banc F n'est pas sur cette allée.

1. aLou dit : « Sur le croquis, K, F et M ont l'air alignés, donc ils le sont. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bVrai ou faux : « La fontaine K appartient à la demi-droite [MW). » Justifie.
3. cCombien de droites différentes passent par deux des trois points K, F et M ? Justifie.
4. dCite tous les points nommés qui appartiennent à la fois à [KM) et à [WM). Justifie.
5. eÉcris un programme de construction de quatre phrases au plus pour refaire ce croquis sur ton cahier.

Ex. 15★★★Nommer un point d'intersection — Automatismes. Observe la figure : elle montre trois droites, (KM), (PN) et (PM).

1. aNomme le point d'intersection des droites (KM) et
   (PN).
2. bÉcris une phrase avec « se coupent en » pour les droites (PM) et
   (KM).
3. cTom dit : « Les droites (PN) et (PM) se coupent en P et en N. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dComplète avec ∈ ou ∉ : E … (PN) ; E … (PM) ; N …
   (KM).

Ex. 16★★★Segments ou droites ? — Automatismes. Sur le quadrillage, Inès a tracé trois segments. Une droite est illimitée : on peut prolonger chaque segment en suivant les carreaux.

1. aLes segments [EF] et [GH] se coupent-ils ? Explique ce que tu vois sur la figure.
2. bLes droites (EF) et (GH) sont-elles sécantes ? Justifie.
3. cLes droites (EF) et (KL) sont-elles sécantes ? Justifie.
4. dCombien de points d'intersection les droites (GH) et (KL) ont-elles ? Où se trouve ce point par rapport aux segments ?

Ex. 17★★★Les carrefours d'un plan de ville — Sur le plan de Nadia, chaque rue est une droite : la rue des Écoles est (AB), le boulevard est (CD) et l'avenue est (EF). On sait que (AB) // (CD). Un carrefour est un point d'intersection de deux rues.

1. aCombien y a-t-il de carrefours entre ces trois rues, même si on les prolonge ? Justifie.
2. bOn trace une nouvelle rue droite. Elle coupe les trois autres et ne passe par aucun carrefour déjà existant. Combien y a-t-il de carrefours en tout ?
3. cEt si la nouvelle rue était parallèle à l'avenue (EF), combien y aurait-il de carrefours en tout ?
4. dNadia affirme : « Quatre rues droites se coupent toujours en 6 carrefours. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 18★★★Elles ne se coupent pas… sur le dessin — Hugo a tracé les droites (RS) et (TV). Ben a mesuré deux écarts entre ces droites : TR = 2,2 cm et VS = 1,4 cm.

1. aHugo écrit : « Les droites (RS) et (TV) ne se coupent pas, donc elles sont parallèles. » Explique son erreur.
2. bDe quel côté faut-il prolonger les deux droites pour trouver leur point d'intersection ? Combien de points d'intersection vas-tu trouver ?
3. cVrai ou faux ? « Deux droites parallèles peuvent se couper très loin, hors de la feuille. » Justifie.
4. dVrai ou faux ? « Deux droites perpendiculaires sont toujours sécantes. » Justifie.

Ex. 19★★★Les allées du jardin de Maëlle — Sur le plan du jardin de Maëlle, les quatre allées sont les droites (AB), (AC), (BD) et (CD). On ne connaît que les angles droits codés sur la figure.

1. aDémontre que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
2. bDémontre que les droites (CD) et (BD) sont perpendiculaires.
3. cLina écrit : « (AC) ⊥ (CD), donc les droites (AC) et (CD) ne sont pas sécantes. » Corrige son erreur.
4. dCombien de points d'intersection les droites (AB) et (CD) ont-elles ? Justifie.
5. eVrai ou faux : « Par le point C, on peut tracer une autre droite que (CD) perpendiculaire à (AC). » Justifie.

Ex. 20★★★Le point d'intersection hors de la feuille — Sur son cahier quadrillé, Yanis a tracé trois droites : (AB), (CD) et (EF). Il pense que sa feuille est trop petite pour voir tous les points d'intersection. Chaque carreau mesure 1 cm.

1. aEn carreaux, lis l'écart vertical entre (AB) et (CD) à la verticale de A, puis à la verticale de D. Explique pourquoi (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.
2. bLes droites (AB) et (CD) se coupent en un point I. En prolongeant les droites sur les carreaux, trouve à combien de carreaux à droite de A et au-dessus de A se trouve I.
3. cSacha dit : « (AB) et (CD) se coupent en I, et aussi en un autre point si on les prolonge vers la gauche. » Corrige son erreur.
4. dCombien de points d'intersection ont les trois droites (AB), (CD) et (EF) en tout ? Justifie.

Ex. 21★★★Les barres du portail de Chloé — Chloé a dessiné le schéma d'un portail. Les barres sont les droites (RT), (RM), (TK) et une barre en biais, la droite (MT). Sur le dessin, RT = 5 cm et RM = 3 cm.

1. aÉcris en quatre étapes un programme de construction qui permet de refaire cette figure sur ton cahier.
2. bVrai ou faux : « Les droites (RM) et (TK) ne se coupent pas sur la figure, mais elles se coupent plus loin si on les prolonge. » Justifie.
3. cCombien de points d'intersection ont les quatre droites (RT), (RM), (TK) et (MT) ? Justifie.
4. dSur ton cahier, trace la droite (k) parallèle à (RT) passant par M. Démontre que (k) ⊥
   (TK).
5. eCombien de points d'intersection ont maintenant les cinq droites, avec (k) ? Justifie.

Ex. 22★★★Lire le codage (automatismes) — Sur cette figure à main levée, on a tracé les droites (AO), (CO), (EM) et (GM).

1. aQue t'apprend le codage placé en O ? Écris-le avec le symbole ⊥.
2. bLes droites (AO) et (CO) sont-elles parallèles ? Justifie.
3. cLéa dit : « (EM) et (GM) sont perpendiculaires, ça se voit. » A-t-elle raison ? Justifie, puis dis comment vérifier.

Ex. 23★★★Perpendiculaires sur quadrillage (automatismes) — On a tracé trois droites sur un quadrillage de 1 cm.

1. aCompte les carreaux pour aller de A à B, puis de C à D
   (à droite ou à gauche, puis vers le haut).
2. bIlan dit : « (EF) est perpendiculaire à (AB), car on monte de 3 carreaux comme pour (CD). » A-t-il raison ? Justifie.
3. cSur ton cahier quadrillé, reproduis (AB) et place un point G sur un nœud, hors de (AB). Explique comment tracer la perpendiculaire à (AB) passant par G en suivant les carreaux.

Ex. 24★★★Tracer à l'équerre : un point sur la droite ou hors de la droite — La droite (d) passe par le point R. La droite (EF) coupe (d). Le point S n'appartient pas à (d).

1. aDécris les étapes pour tracer sur ton cahier la perpendiculaire à (d) passant par S.
2. bR appartient à (d). Comment places-tu l'équerre pour tracer la perpendiculaire à (d) passant par R ? Qu'est-ce qui change ?
3. cNoé pose un côté de l'angle droit de son équerre le long de (EF), puis trace une droite passant par S. A-t-il tracé la perpendiculaire à (d) ? Justifie.
4. dCombien de droites perpendiculaires à (d) passent par S ? Justifie.

Ex. 25★★★Le pommier et la clôture — Sur le plan du jardin de Zoé, la clôture est la droite (UV) et le pommier est le point J. H et M sont deux points de la clôture. On a JH = 3 cm et JM = 5 cm. Sur le plan, 1 cm représente 1 m.

1. aLe codage de l'angle droit est placé en H. Quelles droites sont perpendiculaires ? Écris-le avec ⊥.
2. bZoé affirme : « La distance du pommier à la clôture est 5 m, c'est la longueur JM. » A-t-elle raison ? Justifie et donne cette distance.
3. cN est un autre point de la clôture, différent de H. Sur le plan, la longueur JN peut-elle valoir 2,5 cm ? Justifie.

Ex. 26★★★Les lignes du terrain de sport — Sur le plan d'un terrain de sport, Inès a tracé quatre droites : (AB), (AN), (EF) et (PR). Le point E appartient à (AB) et le point P appartient à (EF).

1. aLis les trois codages de la figure. Pour chacun, écris une phrase avec le symbole ⊥.
2. bDémontre que les droites (AN) et (EF) sont parallèles. Rédige avec « On sait que… Or… Donc… ».
3. cDémontre que les droites (PR) et (AN) sont perpendiculaires. Rédige avec « On sait que… Or… Donc… ».
4. dTom affirme : « (PR) ⊥ (AB) ». A-t-il raison ? Justifie avec une propriété.

Ex. 27★★★L'allée et le robinet du jardin — Sur le plan du jardin de Rayan, dessiné sur un quadrillage de 1 cm, l'allée est la droite (d). Elle passe par le point A. Depuis A, elle avance de 2 carreaux vers la droite chaque fois qu'elle monte de 1 carreau. Le robinet est en J et le piquet en T.

1. aComplète avec ∈ ou ∉ : T … (d) et J … (d). Justifie en comptant les carreaux depuis A.
2. bPour tracer la perpendiculaire à (d) passant par J, Sami part de J et compte « 1 à droite, 2 en haut ». Explique son erreur et donne un bon déplacement.
3. cCette perpendiculaire coupe (d) en H. Donne le déplacement de A à H. Pourquoi la distance de J à (d) est-elle JH, et pas JA ni JT ?
4. dSur ton cahier quadrillé, trace la perpendiculaire à (d) passant par T (donne le déplacement en carreaux). Quelle est sa position par rapport à (JH) ? Justifie.
5. eLou affirme : « Par J, on peut tracer deux perpendiculaires à (d) : une qui monte et une qui descend. » Qu'en penses-tu ? Justifie.

Ex. 28★★★Le lampadaire au bord de la route — Sur ce croquis à main levée, la route est la droite (d) et le lampadaire est le point L. Les points M, H et N appartiennent à (d). On a LH = 4 cm, LM = 5 cm et LN = 6,5 cm.

1. aHugo affirme : « Sur le croquis, l'angle en H est droit, donc la distance de L à (d) est 4 cm. » Est-ce juste ? Justifie.
2. bJade dit : « LH = 4 cm est plus petit que LM et que LN, donc (LH) ⊥ (d). » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cBen trace à l'équerre la perpendiculaire à (d) passant par L. Elle coupe (d) en un point K différent de H. La distance de L à (d) est-elle plus grande ou plus petite que 4 cm ? Justifie.
4. dÉcris un programme de construction pour obtenir sur ton cahier une droite (d) et un point L dont la distance à (d) est exactement 4 cm.

Ex. 29★★★Automatismes — Bien écrire « parallèles » — Les points R, S et T sont alignés. Les segments [KL] et [VW] sont portés par deux droites parallèles.

1. aTraduis par une phrase la notation (u) ⊥ (v), puis la notation (u) //
   (w).
2. bYanis dit : « [KL] et [VW] n'ont pas la même longueur, donc ils ne peuvent pas être parallèles. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cLes droites (RS) et (ST) sont-elles parallèles ? Justifie.
4. dNoé écrit (KL) = (VW) pour dire que ces deux droites sont parallèles. Corrige son écriture et explique son erreur.
5. eSur ce quadrillage, les droites (EF) et (GH) sont-elles parallèles ? Et les droites (EF) et (MN) ? Justifie en comptant les carreaux.

Ex. 30★★★Automatismes — Parallèles sur quadrillage — Sur ce quadrillage, on a tracé trois droites : (AB), (CD) et (EF).

1. aLes droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ? Justifie en comptant les carreaux de A à B, puis de C à D.
2. bCompte l'écart vertical en carreaux entre (AB) et (CD) sur la ligne verticale qui passe par A, puis sur celle qui passe par D. Que remarques-tu ?
3. cLes droites (AB) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifie en comptant les carreaux de E à F.
4. dLéo trace une droite qui passe par C : pour 6 carreaux à droite, elle monte de 3. Il dit : « J'ai tracé une nouvelle parallèle à (CD). » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 31★★★Tracer la parallèle sans tricher — La droite tracée est (d) et A est un point qui n'est pas sur (d). Pour tracer la parallèle à (d) passant par A, Lou a écrit ses étapes dans le désordre. ① Je trace la perpendiculaire (Δ) à (p) passant par A. ② Je trace à l'équerre la perpendiculaire (p) à (d) passant par A. ③ Je code les deux angles droits.

1. aRemets les étapes de Lou dans le bon ordre. Ensuite, fais le tracé sur ton cahier avec une droite (d) oblique et un point A hors de
   (d).
2. bJustifie que la droite (Δ) est parallèle à
   (d).
3. cSacha pose sa règle « bien en face » de (d) et trace la parallèle à vue. Pourquoi sa méthode ne convient-elle pas ?
4. dLou et Sacha obtiennent deux droites différentes qui passent toutes les deux par A. Peuvent-elles être toutes les deux parallèles à (d) ? Justifie.

Ex. 32★★★Les lignes du terrain de sport — Sur un terrain, Inès a peint deux lignes droites, représentées par les droites (MP) et (NQ). Avec une grande équerre, elle mesure l'écart entre ces lignes à deux endroits : MN = 3 m et PQ = 3,4 m.

1. aLes lignes (MP) et (NQ) sont-elles parallèles ? Justifie.
2. bHugo dit : « Les deux lignes ne se touchent pas sur le terrain, donc elles sont parallèles. » Corrige son raisonnement.
3. cDe combien de mètres l'écart entre les deux lignes diminue-t-il quand on passe de P à M ?
4. dSur une autre partie du terrain, deux lignes sont parallèles. Près d'un poteau, l'écart entre elles mesure 5,5 m. Quel est cet écart à l'autre bout du terrain ? Justifie.

Ex. 33★★★Les allées du jardin de Maëlle — Sur le plan quadrillé du jardin de Maëlle, trois allées droites sont les segments [RS], [TU] et [VW]. Sur le plan, les allées ne se touchent pas.

1. aPour chaque allée, écris le déplacement en carreaux d'une extrémité à l'autre : de R à S, de T à U, puis de V à W.
2. bLes droites (RS) et (TU) sont-elles parallèles ? Justifie avec les carreaux, puis vérifie qu'elles ne sont pas confondues.
3. cLes droites (TU) et (VW) sont-elles parallèles ? Justifie avec les carreaux, puis dis ce qui se passe si on les prolonge.
4. dSur ton cahier, reproduis le plan. Trace la droite (p) parallèle à (RS) passant par V en suivant les carreaux. Donne deux autres points de (p) par leur déplacement depuis V.
5. eLes droites (p) et (TU) sont-elles parallèles ? Justifie avec « On sait que… Or… Donc… ».

Ex. 34★★★Les barreaux de l'échelle — Sur le schéma d'une échelle, un montant est la droite (EK). Trois barreaux sont représentés par les segments [EF], [GH] et [KL]. Le point G est sur le montant et EG = 3 cm. Le fabricant garantit aussi que (KL) // (GH).

1. aDémontre que les droites (EF) et (GH) sont parallèles.
2. bDémontre que les droites (KL) et (EF) sont parallèles.
3. cAucun angle droit n'est codé en K. Démontre pourtant que (KL) ⊥
   (EK).
4. dAna trace la perpendiculaire à (EF) passant par F. Elle coupe la droite (GH), prolongée, en un point P. Explique pourquoi (FP) ⊥ (GH), puis donne la longueur FP sans mesurer.
5. eMalik écrit : « (GH) = (KL), car elles sont parallèles. » Corrige son écriture, puis explique pourquoi (GH) et (KL) ne sont pas une seule et même droite.

Ex. 35★★★La nouvelle rue de la boulangerie — Sur un plan de ville, l'avenue est la droite (RT). Nina veut tracer une rue parallèle à l'avenue qui passe par la boulangerie B. Elle a tracé à l'équerre la perpendiculaire à (RT) passant par B, qui coupe (RT) en C, puis la droite (BD) « à vue ».

1. aNina mesure l'écart entre (BD) et (RT) sur son plan : 2,7 cm en B (c'est la longueur BC) et 1,9 cm en D. Que peut-on en conclure pour (BD) et (RT) ? Justifie.
2. bÉcris un programme de construction en deux étapes. Il doit permettre de tracer correctement la parallèle (q) à (RT) passant par B, en utilisant la droite
   (BC).
3. cJustifie que la droite (q) obtenue est parallèle à
   (RT).
4. dUne ruelle (w) passe par le point C et elle est parallèle à (q). Nina pense que c'est une nouvelle rue. Que peut-on dire de (w) et (RT) ? Justifie.
5. eUne piste cyclable (v) coupe (q) en un point E et elle est perpendiculaire à (q). Fais une figure à main levée codée avec (RT), (q) et (v), puis démontre que (v) ⊥
   (RT).

Ex. 36★★★Quelle propriété ? — Les questions sont indépendantes. Dans chacune, utilise seulement les données écrites dans la question.

1. aVrai ou faux : si (d₃) ⊥ (d₁) et (d₄) ⊥ (d₁), alors (d₃) ⊥ (d₄). Justifie.
2. bOn sait que (d₂) // (d₄) et (d₁) // (d₄). Écris en entier la propriété « Si… alors… » qui permet de conclure, puis la conclusion.
3. cÉcris avec ⊥ ou // : « la droite (d₄) est perpendiculaire à (d₃) et la droite (d₂) est parallèle à (d₃) ».
4. dOn sait que (d₁) // (d₃) et (d₂) ⊥ (d₁). Que peux-tu conclure pour (d₂) et (d₃) ? Cite la propriété utilisée.
5. eOn sait que (d₁) ⊥ (d₄) et (d₂) ⊥ (d₁). Yanis dit qu'on ne peut rien conclure pour (d₂) et (d₄). A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 37★★★Ce que dit le codage, ce que ne dit pas le dessin — Observe cette figure. Seuls les codages donnent des informations sûres.

1. aÉcris avec le symbole ⊥ les deux informations données par les codages.
2. bVrai ou faux : on sait que (FK) ⊥ (GK). Justifie.
3. cComplète avec ∈ ou ∉ : E … (CD) ; F … (CD) ; K …
   (EF).
4. dSans rédiger, quelle relation (⊥ ou //) peux-tu déduire pour les droites (EF) et (GK) ? Pourquoi ?
5. eMia dit : « (FK) // (CD), car elles ne se coupent pas sur la figure. » Explique son erreur.

Ex. 38★★★Le plan du jardin — Sur ce plan de jardin quadrillé, l'allée centrale est la droite (RS), deux bordures sont les droites (RW) et (SU), et une clôture est la droite (PQ). Le jardinier sait aussi que (PQ) // (RS).

1. aComplète la rédaction : « On sait que (RW) ⊥ … et (SU) ⊥ … . Or, si …, alors … .
   Donc … ».
2. bDémontre que la clôture (PQ) est perpendiculaire à la bordure (SU). Rédige en trois temps.
3. cCombien de points d'intersection les quatre droites (RS), (RW), (SU) et (PQ) ont-elles en tout ? Explique.

Ex. 39★★★Des copies à corriger — Sur ce plan de ville, trois rues suivent les droites (BC), (DE) et (FG). On sait que (FG) // (BC). On veut démontrer que (DE) ⊥ (FG).

1. aThéo écrit : « On sait que (DE) ⊥ (BC) et (DE) ⊥ (FG). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
   Donc (BC) // (FG). » Trouve ses deux erreurs.
2. bInès écrit : « On sait que (FG) // (BC) et (DE) ⊥ (BC). Or, si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
   Donc (DE) ⊥ (FG). » Corrige sa copie.
3. cSur le plan, les segments [DE] et [FG] ne se coupent pas. Les droites (DE) et (FG) sont-elles parallèles ? Justifie.

Ex. 40★★★Le carreau de Nora — Programme de Nora pour un carreau de carrelage, dans le désordre : ① Trace la perpendiculaire à (d₁) passant par C ; elle coupe (d₂) en E. ② Trace une droite (d) et places-y deux points A et B. ③ Place C sur (d₁) tel que AC = 3 cm. ④ Trace (d₁) perpendiculaire à (d) passant par A, et (d₂) perpendiculaire à (d) passant par B. Sur la figure : (d) = (AB), (d₁) = (AC), (d₂) = (BE).

1. aRemets les quatre étapes du programme dans l'ordre. Explique ton choix.
2. bDémontre que les droites (d₁) et (d₂) sont parallèles.
3. cDémontre que les droites (CE) et (d₂) sont perpendiculaires.
4. dMalo affirme : « (CE) // (d), ça se voit sur la figure. » A-t-il bien justifié ? Écris une justification correcte.

Ex. 41★★★Cinq droites dans le désordre — On donne cinq droites du plan : (d₁), (d₂), (d₃), (d₄) et (d₅). On sait que : (d₄) est parallèle à (d₂) ; (d₁) est perpendiculaire à (d₂) ; (d₅) est parallèle à (d₁) ; (d₃) est perpendiculaire à (d₄). Utilise seulement ces données.

1. aÉcris les quatre données avec les symboles ⊥ et //.
2. bDémontre que les droites (d₁) et (d₄) sont perpendiculaires.
3. cDéduis-en la position des droites (d₃) et (d₁). Justifie.
4. dLes droites (d₃) et (d₅) sont-elles parallèles ? Justifie.
5. eNoah affirme : « On ne peut rien dire de (d₂) et (d₅), car aucune donnée ne les relie directement. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 42★★★Rails et traverses — Sur ce plan de voie ferrée, les rails sont les droites (AB) et (CD), et on sait que (AB) // (CD). La traverse [AC] est tracée. Une autre traverse [BK] n'est pas encore dessinée : on sait que K ∈ (CD) et (BK) ⊥ (CD). Sur le plan, AC = 3 cm et AD = 5 cm.

1. aDémontre que la traverse [AC] est perpendiculaire au rail
   (CD).
2. bLina dit que la distance du point A à la droite (CD) est 5 cm. A-t-elle raison ? Donne la bonne distance et justifie.
3. cSacha écrit : « On sait que (BK) ⊥ (CD) et (AC) ⊥ (CD).
   Donc (BK) ⊥ (AC). » Trouve ses deux erreurs.
4. dÉcris une démonstration correcte de (BK) //
   (AC).

Ex. 43★★★Bien lire une consigne — Voici trois points K, T et M. Pour chaque extrait de programme de construction, réponds à la question.

1. aConsigne : « Trace la demi-droite [TK). » De quel point part ton trait ? Doit-il s'arrêter en K ? Explique.
2. bPour « Trace le segment [KM] », Malo prolonge son trait au-delà de M. A-t-il raison ? Justifie.
3. cProgramme de Noé : « 1. Trace la droite (MH). 2. Place le point H tel que KH = 2 cm. » Trouve les deux défauts de ce programme.
4. dPour « la perpendiculaire à (KT) passant par M », Inès a tracé la perpendiculaire à (KM) passant par T. Explique son erreur.
5. eLa perpendiculaire à (KT) passant par M coupe (KT) en un point. Que dois-tu faire de ce point sur ta figure ?

Ex. 44★★★Remettre un programme dans l'ordre — Voici les étapes d'un programme, dans le désordre :
A. Place sur (d₁) le point E tel que NE = 2,5 cm.
B. Trace un segment [GN] de longueur 5 cm.
C. Trace la parallèle (d₂) à la droite (GN) passant par E.
D. Trace la droite (d₁) perpendiculaire à (GN) passant par N.

1. aQuelle étape doit venir en premier ? Explique pourquoi.
2. bL'étape C utilise le point E. Quelle étape place ce point ?
3. cÉcris les quatre étapes dans le bon ordre.
4. dAvant de construire, Hugo a fait cette figure à main levée. Qu'a-t-il oublié de coder et d'écrire ?
5. eSuis le programme sur ton cahier, dans l'ordre, puis vérifie à l'équerre que (d₂) et (d₁) forment un angle droit en E.

Ex. 45★★★Le programme incomplet de Nora — Nora veut faire construire son plan de jardin, dessiné à main levée ci-dessous : (d) est la droite du bas, qui passe par A, et (d′) celle du haut, qui passe par B. Elle écrit :
« 1. Trace une droite (d) et place un point A sur (d). 2. Trace la perpendiculaire à (d) passant par A. 3. Place un point B sur cette perpendiculaire. 4. Trace la parallèle (d′) à (d) passant par C. »

1. aÀ l'étape 4, quel point n'est placé par aucune étape ? Par quel point faut-il le remplacer ?
2. bQuelle information de la figure manque à l'étape 3 ? Réécris cette étape.
3. cConstruis la figure corrigée sur ton cahier. Explique pourquoi (AB) ⊥ (d′), puis vérifie-le à l'équerre.

Ex. 46★★★Écrire le programme d'une figure — Théo doit écrire le programme de construction de cette figure pour un camarade. Sur la figure, MH = 2 cm et la demi-droite [MT) est parallèle à la droite (RS).

1. aThéo commence ainsi : « 1. Trace le segment [RS]. 2. Place un point H sur [RS]. » Corrige son étape 1 avec le bon vocabulaire.
2. bÉcris la suite du programme (étapes 3 et 4) pour obtenir le point M, le segment et la demi-droite de la figure.
3. cLou affirme : « La distance du point M à la droite (RS) est 2 cm. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 47★★★Le plan d'une étagère — Voici le programme du plan d'une étagère. 1. Trace un segment [UV] de 6 cm. 2. Trace la perpendiculaire (d₁) à (UV) passant par U, puis la perpendiculaire (d₂) à (UV) passant par V. 3. Place sur (d₁) un point W tel que UW = 3,5 cm. 4. Trace la perpendiculaire (d₃) à (d₁) passant par W. Elle coupe (d₂) en Z.

1. aAvant de construire, fais une figure à main levée. Nomme U, V, W et Z, puis code seulement les angles droits que le programme impose. Quels sont ces angles droits ?
2. bSami dit : « À l'étape 4, je pose un côté de l'angle droit de l'équerre le long de (UV). » Explique son erreur, puis donne la bonne façon de placer l'équerre.
3. cConstruis la figure sur ton cahier, en suivant les étapes dans l'ordre. Pourquoi ne peut-on pas faire l'étape 4 avant l'étape 3 ?
4. dDémontre que les droites (d₁) et (d₂) sont parallèles.
5. eDéduis-en que (d₃) ⊥ (d₂), puis code l'angle droit en Z sur ta figure.

Ex. 48★★★Les rues d'un quartier sur quadrillage — Sur le plan quadrillé d'un quartier, la rue des Lilas suit la droite (AB). Programme : 1. Trace la parallèle (d) à (AB) passant par C. 2. Trace la perpendiculaire (p) à (AB) passant par C. Elle coupe (AB) en H. 3. Trace la demi-droite [HB).

1. aReproduis la figure sur ton cahier quadrillé. Pour l'étape 1, de combien de carreaux te déplaces-tu à partir de C pour placer un deuxième point de (d) ?
2. bPour l'étape 2, Mathis part de C et place H 2 carreaux à droite et 1 carreau vers le bas. A-t-il raison ? Justifie, puis donne le bon déplacement.
3. cSans utiliser l'équerre, démontre que les droites (p) et (d) sont perpendiculaires.
4. dCombien de points d'intersection les trois droites (AB), (d) et (p) ont-elles en tout ? Justifie.
5. eJade dit : « A ∈ [HB), car A est sur la droite (AB). » A-t-elle raison ? Complète avec ∈ ou ∉ : A … [HB) et A … [BH).

Ex. 49★★★Le programme de Yanis pour une clôture — Plan d'une clôture : [KL] est le bas, [KM] et [NP] sont deux poteaux, M et P sont du même côté de (KL). N ∈ [KL], KL = 8 cm, KN = 5 cm, KM = NP = 3 cm. Yanis écrit : « 1. Trace la droite [KL]. 2. Place un point N sur [KL]. 3. Trace la perpendiculaire à (KM) passant par K. 4. Place M tel que KM = 3 cm. 5. Trace la perpendiculaire (d) à (KL) passant par N et place P sur (d). »

1. aTrouve les deux erreurs de l'étape 1, puis réécris cette étape correctement.
2. bQuelles informations manquent aux étapes 2 et 5 ? Réécris ces deux étapes.
3. cPourquoi est-il impossible de faire l'étape 3 ? Réécris les étapes 3 et 4 pour qu'elles puissent être suivies.
4. dDémontre que les droites (KM) et (NP) sont parallèles.
5. eLina dit : « La distance du point M à la droite (KL) est la longueur ML. » A-t-elle raison ? Justifie et donne cette distance.