Sixième / Division euclidienne

Ex. 1★★★Automatismes : quotient et reste de tête — Trouve le quotient et le reste à l'aide des tables. Écris le résultat sous la forme « … : …, il reste … ».

Ex. 2★★★Automatismes : le vocabulaire et les restes possibles

1. aLe reste est $3$, le dividende $87$, le quotient $14$ et le diviseur $6$. Écris l'égalité de cette division euclidienne.
2. bÉcris tous les restes possibles dans une division par $7$.
3. cQuel est le plus grand reste possible dans une division par $12$ ?
4. dDans une division par $5$, Jade trouve un reste de $5$. Est-ce possible ? Justifie.
5. eDans la division de $72$ par $8$, le reste est $0$. Complète $72 = 8 \times \ldots$ et donne le nom de cette division.

Ex. 3★★★Compléter un tableau — Chaque ligne est une division euclidienne. Complète les cases « ? ».

1. aComplète la première ligne : division de $137$ par $6$.
2. bComplète la deuxième ligne : retrouve le dividende.
3. cComplète la troisième ligne : retrouve le dividende.
4. dComplète la quatrième ligne : retrouve le diviseur. Comment appelle-t-on cette division ?

Ex. 4★★★Poser une division et contrôler — Pose chaque division, donne le quotient et le reste, puis contrôle avec l'égalité dividende = diviseur × quotient + reste.

1. a$865 \div 4$
2. b$4\,237 \div 6$
3. c$947 \div 18$
4. d$1\,357 \div 23$. Que peux-tu dire de $23$ et de $1\,357$ ?

Ex. 5★★★Trouver et corriger l'erreur — Chaque élève a fait une erreur. Explique-la, puis corrige-la.

1. aTom écrit : « $53 \div 7$ : $6$, il reste $11$ ».
2. bInès écrit : « $44 \div 5 = 8$ reste $4$ ».
3. cHugo pose $2\,418 \div 8$ et trouve un quotient de $32$ et un reste de $2$.
4. dPour contrôler la division de $71$ par $9$, Maé écrit : « $9 \times 71 + 8 = 71$ ».

Ex. 6★★★Une égalité vraie, mais pour quelle division ? — Pour les trois premières affirmations, réponds par vrai ou faux et justifie.

1. a« $62 = 8 \times 6 + 14$ est vraie, donc c'est l'égalité de la division euclidienne de $62$ par $8$. »
2. b« $68 = 9 \times 7 + 5$ traduit la division de $68$ par $9$, et aussi celle de $68$ par $7$. »
3. c« $40 = 7 \times 5 + 5$ traduit la division euclidienne de $40$ par $5$. »
4. dLes égalités $100 = 9 \times 10 + 10$, $100 = 9 \times 11 + 1$ et $100 = 9 \times 9 + 19$ sont toutes vraies. Laquelle traduit la division de $100$ par $9$ ? Justifie.

Ex. 7★★★L'album de cartes de Sofia — Sofia range ses cartes de foot dans un album de $9$ cartes par page. Elle remplit $27$ pages et il lui reste $6$ cartes.

1. aCombien de cartes Sofia a-t-elle ? Écris l'égalité de la division euclidienne qui correspond.
2. bPourrait-il lui rester $9$ cartes à la fin ? Justifie.
3. cCombien de cartes lui manque-t-il pour remplir une page de plus ?
4. dElle range toutes ses cartes dans un nouvel album de $12$ cartes par page. Combien de pages pleines remplit-elle, et combien de cartes restent ?
5. eCombien de pages de ce nouvel album utilise-t-elle en tout ?

Ex. 8★★★Le nombre mystère de Lina — Lina pense à un nombre entier. Dans la division euclidienne de ce nombre par $9$, le quotient est $23$.

1. aQuels sont les restes possibles de cette division ? Justifie.
2. bQuel est le plus petit nombre possible ? Le plus grand ? Combien de nombres conviennent ?
3. cLina précise que le reste est plus grand que $5$ et que son nombre se termine par $4$. Trouve son nombre.
4. dMalik affirme : « $216$ convient, car $216 = 9 \times 23 + 9$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 9★★★Trois égalités vraies pour un seul nombre — Nora a écrit trois égalités, toutes vraies : A : $83 = 9 \times 8 + 11$ ; B : $83 = 6 \times 13 + 5$ ; C : $83 = 4 \times 19 + 7$.

1. aQuelles égalités traduisent une division euclidienne ? Pour chacune, précise la ou les divisions qu'elle traduit. Justifie.
2. bCorrige l'égalité A pour obtenir celle de la division euclidienne de $83$ par $9$.
3. cCorrige l'égalité C pour obtenir celle de la division euclidienne de $83$ par $4$.
4. dTrouve un diviseur plus petit que $20$ tel que la division euclidienne de $83$ par ce diviseur ait un reste de $8$. Justifie.

Ex. 10★★★Les biscuits de la fabrique de Dinan — Une fabrique de Dinan prépare $2\,437$ biscuits. Elle les emballe par sachets de $12$ biscuits.

1. aPose la division de $2\,437$ par $12$. Combien de sachets pleins obtient-on, et combien de biscuits restent ? Écris l'égalité de la division.
2. bCombien de biscuits faudrait-il ajouter pour remplir un sachet de plus ?
3. cLes sachets pleins sont rangés dans des cartons de $8$ sachets. Combien de cartons faut-il pour ranger tous les sachets pleins ?
4. dLe lendemain, la fabrique prépare $2\,448$ biscuits. Sans poser la division, explique avec l'égalité de la première question pourquoi la division par $12$ est exacte, et donne le nombre de sachets.

Ex. 11★★★Encadrer entre deux multiples consécutifs — Automatismes. Encadre le dividende entre deux multiples consécutifs du diviseur. Donne ensuite le quotient et le reste.

Ex. 12★★★Diviser par 1, 10, 100, 12 et 25 — Automatismes. Donne de tête le quotient et le reste.

Ex. 13★★★Décomposer le dividende — Découpe le dividende en morceaux faciles à diviser (par exemple $150 \div 5 = 100 \div 5 + 50 \div 5 = 20 + 10 = 30$). Donne ensuite le quotient et le reste.

Ex. 14★★★Corriger l'erreur d'un élève — Pour chaque élève : a-t-il raison ? Justifie, puis corrige si besoin.

1. aLina écrit : « $52 \div 7$ : $6$, il reste $10$ ».
2. bNoé écrit : « $43 \div 6$ : $8$, il reste $5$ ».
3. cJade écrit : « $74 \div 8$ : $9$, il reste $2$ ».
4. dTom écrit : « $8 \div 12$ est impossible, car $8$ est plus petit que $12$ ».

Ex. 15★★★Tableau à compléter, parfois à rebours — Chaque ligne correspond à une division euclidienne.

1. aComplète la ligne 1 du tableau.
2. bComplète la ligne 2 du tableau.
3. cComplète la ligne 3 du tableau.
4. dComplète la ligne 4 du tableau.
5. eComplète la ligne 5 du tableau.

Ex. 16★★★Vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie.

1. aDans une division par $6$, le reste peut être $6$.
2. bL'égalité $56 = 8 \times 6 + 8$ traduit la division euclidienne de $56$ par $8$.
3. c$9$ divise $81$.
4. dDans $4\,090 \div 10$, le quotient est $409$ et le reste est $0$.
5. eLe quotient de $1\,234 \div 1$ est $1$.

Ex. 17★★★Les gâteaux de la kermesse — À la kermesse de Vierzon, chaque boîte contient $12$ gâteaux. Maëlle doit ranger les $89$ gâteaux qu'elle a préparés dans ces boîtes.

1. aCombien de boîtes Maëlle remplit-elle complètement ? Combien de gâteaux reste-t-il ?
2. bCombien de boîtes lui faut-il pour ranger tous ses gâteaux ?
3. cCombien de gâteaux lui manque-t-il pour que la dernière boîte soit pleine ?
4. dSon frère Yanis remplit $5$ boîtes avec son propre lot et il lui reste $9$ gâteaux. Combien de gâteaux avait-il ?

Ex. 18★★★Sur la droite des multiples de 9 — Sur cette droite graduée, les nombres écrits sont des multiples de $9$. Chaque graduation avance de $3$.

1. aQuel nombre le point A repère-t-il ? Donne le quotient et le reste de sa division par $9$.
2. bTrouve tous les nombres entiers dont le quotient dans la division par $9$ est $7$. Justifie.
3. cParmi les nombres trouvés, lequel donne une division exacte ? Lequel donne le plus grand reste ? Donne ce reste.
4. dPour $72 \div 9$, Nora écrit : « $7$, il reste $9$ ». A-t-elle raison ? Justifie, puis corrige.
5. eQuels nombres entiers ont pour quotient $0$ dans la division par $9$ ? Écris l'égalité de la division euclidienne de $4$ par $9$.

Ex. 19★★★La sortie du centre de loisirs — Le centre de loisirs de Quimper emmène $87$ enfants au parc. L'animatrice Clémence a noté ces informations :

1. aCombien de minibus faut-il au minimum pour transporter tous les enfants ? Justifie.
2. bCombien de places restent vides dans le dernier minibus ?
3. cChaque enfant reçoit une gourde. Combien de lots Clémence doit-elle acheter ? Combien de gourdes seront en trop ?
4. dLes crêpes sont partagées également entre les tables. Calcule de tête la part de chaque table en découpant $156$ en deux morceaux faciles à diviser par $12$. Reste-t-il des crêpes ?

Ex. 20★★★Le rangement de la papeterie — La papeterie d'Inès, à Colmar, reçoit $2\,350$ crayons. Inès les range d'abord en boîtes de $100$ crayons, puis elle met les crayons restants en sachets de $10$.

1. aCombien de boîtes de $100$ Inès remplit-elle ? Combien de crayons reste-t-il ? Écris l'égalité de la division euclidienne.
2. bCombien de sachets de $10$ remplit-elle avec les crayons restants ? Reste-t-il des crayons sans sachet ?
3. cUn autre jour, Inès range des feutres en boîtes de $25$ : elle remplit $14$ boîtes et il lui reste $18$ feutres. Combien de feutres avait-elle ?
4. dSon voisin affirme qu'avec ces feutres, on pouvait remplir $15$ boîtes de $25$. A-t-il raison ? Justifie.
5. eInès range finalement les $2\,350$ crayons en boîtes de $25$. Combien de boîtes remplit-elle ? Reste-t-il des crayons ?

Ex. 21★★★Automatismes : quotient et reste de tête — Donne le quotient et le reste. Si la division est exacte, écris-la avec le signe $=$.

Ex. 22★★★Automatismes : prévoir le nombre de chiffres du quotient — Sans poser la division, dis combien de chiffres aura le quotient. Explique par quel nombre tu commences.

Ex. 23★★★Compléter un tableau de divisions — Chaque ligne est une division euclidienne : dividende $=$ diviseur $\times$ quotient $+$ reste, avec reste $<$ diviseur.

Ex. 24★★★Poser une division et la contrôler — Pose la division euclidienne. Contrôle ton résultat avec l'égalité et vérifie que le reste est plus petit que le diviseur.

Ex. 25★★★Corriger l'erreur d'un élève — Quatre élèves ont posé une division. Pour chacun, dis si la réponse est juste et justifie, puis corrige si besoin.

1. aLina écrit : « $5\,436 \div 9$ : $64$, il reste $0$ ».
2. bNoé écrit : « $371 \div 6$ : $59$, il reste $17$ ».
3. cInès écrit : « $2\,795 \div 13$ : $21$, il reste $6$ ».
4. dHugo écrit : « $95 \div 4 = 23$ reste $3$ ».

Ex. 26★★★Vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie par un calcul.

1. a$15 \times 40 + 4 = 604$, donc $604 \div 15$ : $40$, il reste $4$.
2. bDans $1\,000 \div 37$, le reste est $26$.
3. c$1\,035$ est un multiple de $23$.
4. d$7$ divise $3\,530$.

Ex. 27★★★Les étagères de la médiathèque — À la médiathèque de Quimper, on range $1\,262$ livres sur des étagères. Chaque étagère contient $34$ livres quand elle est pleine.

1. aPose une division pour trouver combien d'étagères on remplit complètement.
2. bCombien de livres restent après avoir rempli ces étagères ?
3. cCombien d'étagères faut-il en tout pour ranger tous les livres ?
4. dCombien de livres faudrait-il ajouter pour remplir aussi la dernière étagère ?

Ex. 28★★★Divisions posées à reconstituer — Retrouve ce qui manque dans ces divisions posées et justifie chaque réponse. Le symbole $\square$ remplace un chiffre effacé.

1. aComplète : « $\square 7 \div 8$ : $5$, il reste $\square$ ». Explique pourquoi il n'y a qu'une seule possibilité.
2. bTiméo a écrit toute sa division : « $\square\square \div 9$ : $4$, il reste $3$ ; j'abaisse le $2$ : $32 \div 9$ : $3$, il reste $5$ ». Retrouve le dividende, le quotient et le reste, puis contrôle.
3. cUne division par $8$ s'écrit : « $48 \div 8$ : $6$, il reste $0$ ; j'abaisse le $5$ : … ; j'abaisse le $3$ : … » et le $3$ est le dernier chiffre. Retrouve le dividende, termine les étapes, donne le quotient et le reste.
4. dPour $2\,375 \div 38$, Yanis commence par « $23 \div 38$ ». Explique pourquoi ce début ne convient pas, prévois le nombre de chiffres du quotient, puis pose la division.

Ex. 29★★★Les packs d'eau du festival — Pour le festival de musique de Colmar, Maëlle reçoit $2\,470$ bouteilles d'eau. Elle les range en packs de $24$ bouteilles.

1. aLéo annonce que Maëlle remplira $12$ packs complets. Sans poser la division, explique pourquoi c'est impossible.
2. bPose la division pour trouver le nombre de packs complets et le nombre de bouteilles qui restent. Contrôle ton résultat.
3. cCombien de bouteilles manque-t-il pour remplir un pack de plus ?
4. dMaëlle fait un dernier pack avec les bouteilles restantes. Un chariot porte $8$ packs. Combien de chariots faut-il au minimum pour transporter tous les packs ?

Ex. 30★★★Enquêtes sur des divisions — Justifie chaque réponse par un calcul et contrôle avec l'égalité de la division euclidienne.

1. aJe suis un nombre. Dans ma division euclidienne par $23$, le quotient est $40$ et le reste est le plus grand possible. Qui suis-je ?
2. bDans une division euclidienne, le dividende est $500$, le quotient $12$ et le reste $8$. Trouve le diviseur, puis vérifie que le reste convient.
3. cDans une division euclidienne de $86$, le quotient est $7$. Trouve tous les diviseurs possibles.
4. dNour pose $4\,879 \div 53$. Pour $487 \div 53$, elle essaie $8$ et trouve un reste partiel de $63$. Que montre ce reste ? Termine la division.
5. ePose $7\,150 \div 13$. Lila s'arrête dès qu'elle trouve un reste $0$. Quel quotient trouve-t-elle ? Explique son erreur.

Ex. 31★★★Lire l'égalité pour répondre — Chaque question donne l'égalité de la division. Réponds en choisissant le quotient, le quotient + 1, le reste ou le diviseur − reste.

1. a$86 = 9 \times 9 + 5$. On range $86$ œufs par boîtes de $9$. Combien de boîtes sont pleines ?
2. b$133 = 25 \times 5 + 8$. $133$ voyageurs montent dans des minibus de $25$ places. Combien de minibus faut-il pour emmener tout le monde ?
3. c$64 = 7 \times 9 + 1$. On colle $64$ photos par $7$ sur les pages d'un album. Combien de photos manque-t-il pour remplir la dernière page ?
4. d$150 = 8 \times 18 + 6$. On partage $150$ cartes entre $8$ joueurs. Combien de cartes reste-t-il ?
5. e$96 = 12 \times 8 + 0$. $96$ skieurs montent dans des télécabines de $12$ places. Combien de télécabines faut-il pour emmener tout le monde ?
6. f$250 = 30 \times 8 + 10$. On partage $250$ chocolats entre $30$ élèves. Combien de chocolats chaque élève reçoit-il ?

Ex. 32★★★Calcul mental avec les tables — Trouve la division avec les tables, puis réponds à la question.

1. a$53$ joueurs forment des équipes de $6$. Combien d'équipes complètes y a-t-il ?
2. bOn coupe une ficelle de $95$ cm en morceaux de $8$ cm. Combien de morceaux de $8$ cm obtient-on ?
3. c$38$ randonneurs dorment dans des tentes de $4$ places. Combien de tentes faut-il monter ?
4. d$56$ élèves prennent des barques de $7$ places. Combien de barques faut-il pour tout le monde ?
5. eOn partage $70$ cerises entre $9$ enfants. Combien de cerises reste-t-il ?
6. fOn range $47$ gâteaux par plateaux de $5$. Combien de gâteaux manque-t-il pour remplir un plateau de plus ?

Ex. 33★★★Choisir la bonne division — Écris la division à effectuer (dividende ÷ diviseur), puis réponds à la question.

1. a$7$ boîtes contiennent toutes le même nombre de feutres. Il y a $91$ feutres en tout. Combien de feutres y a-t-il par boîte ?
2. bOn remplit des sachets de $4$ billes avec $90$ billes. Combien de sachets pleins obtient-on ?
3. c$5$ collectionneurs se partagent $84$ timbres. Combien de timbres chacun reçoit-il ?
4. dUne barquette contient $12$ fraises. Combien de barquettes faut-il pour ranger $106$ fraises ?
5. eUne omelette demande $6$ œufs. La cantine a $87$ œufs. Combien d'omelettes peut-on faire au plus ?

Ex. 34★★★Les pots de miel — Une coopérative de Gap expédie $2\,435$ pots de miel dans des cartons de $12$ pots.

1. aPose la division de $2\,435$ par $12$, puis écris l'égalité.
2. bCombien de cartons pleins la coopérative peut-elle remplir ?
3. cCombien de cartons faut-il pour expédier tous les pots ?
4. dCombien de pots faudrait-il ajouter pour que le dernier carton soit plein ?

Ex. 35★★★Les cars du club — Le club de foot de Nantes organise deux sorties. Les cars ont $52$ places.

1. aPour la 1re sortie, il y a $156$ personnes. Inès dit : « On ajoute toujours un car, il en faut $4$. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. bPour la 2e sortie, il y a $241$ personnes. Nora écrit $241 = 52 \times 3 + 85$. Explique son erreur et écris la bonne égalité.
3. cHugo utilise la bonne égalité et annonce $4$ cars pour la 2e sortie. A-t-il raison ? Justifie.
4. dCombien de places restent libres dans le dernier car de la 2e sortie ?

Ex. 36★★★Sortie au cinéma — À Lille, la 6eA ($26$ élèves) et la 6eB ($29$ élèves) vont voir un film de $95$ minutes. Le billet coûte $4$ €. Les élèves s'assoient par rangées de $14$ sièges.

1. aCombien d'élèves vont au cinéma ?
2. bCombien de rangées complètes les élèves occupent-ils ?
3. cCombien de rangées faut-il pour asseoir tous les élèves ?
4. dCombien de sièges restent vides dans la dernière rangée utilisée ?
5. eQuelles données de l'énoncé n'ont pas servi ?

Ex. 37★★★Retrouver le nombre de départ — Pour chaque situation, écris l'égalité de la division, puis réponds.

1. aBen range ses cartes par $9$ sur chaque page. Il remplit $23$ pages et il lui reste $4$ cartes. Combien de cartes a-t-il ?
2. bNadia partage $100$ billes entre ses amis. Chacun en reçoit $13$ et il en reste $9$. Combien d'amis a-t-elle ?
3. cUn fleuriste de Nice fait $8$ bouquets de $15$ roses. Il lui manque $6$ roses pour un bouquet de plus. Combien de roses avait-il ?
4. dLéo fait $30$ piles complètes de $6$ jetons. Il lui reste quelques jetons (au moins un). Combien de jetons a-t-il au plus ?

Ex. 38★★★Le repas de la kermesse — À Rennes, $248$ personnes sont inscrites au repas de la kermesse. Le repas coûte $6$ €. Parmi les inscrits, $32$ organisateurs sont déjà assis à la table d'honneur. Toutes les autres personnes s'installent à des tables de $8$ places.

1. aCombien de personnes faut-il encore placer aux tables de $8$ ?
2. bPose la division qui permet de placer ces personnes, puis écris l'égalité.
3. cCombien de tables de $8$ faut-il installer ? Justifie ton choix entre le quotient et le quotient + 1.
4. dFinalement, $13$ personnes de plus s'inscrivent et s'installent aux tables de $8$. Combien de tables faut-il maintenant ?
5. eAvec ces $13$ inscrits de plus, combien de places restent vides à la dernière table ?

Ex. 39★★★Les bouquets de tulipes — Au marché de Strasbourg, une horticultrice dispose de $8$ seaux identiques. Ce matin, elle a cueilli $1\,645$ tulipes. Elle fait des bouquets de $16$ tulipes, puis elle range les bouquets dans les seaux.

1. aPose la division de $1\,645$ par $16$, écris l'égalité, puis donne le nombre de bouquets complets.
2. bCombien de tulipes manque-t-il pour faire un bouquet de plus ?
3. cKenza dit : « Pour mettre le même nombre de bouquets dans chaque seau, je divise les $8$ seaux par les bouquets. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dElle met le plus possible de bouquets complets dans chaque seau, le même nombre partout. Combien de bouquets y a-t-il par seau, et combien restent hors des seaux ?

Ex. 40★★★La collecte de livres — Pour la bibliothèque d'un collège de Bordeaux, la 6eA a récolté $487$ livres et la 6eB $389$ livres. La collecte a duré $3$ semaines. On range tous les livres dans des cartons de $24$. Une camionnette transporte $9$ cartons par voyage.

1. aCombien de livres faut-il ranger en tout ?
2. bPose la division qui donne le nombre de cartons, puis écris l'égalité.
3. cCombien de cartons faut-il pour ranger tous les livres ? Combien de livres contient le carton incomplet ?
4. dCombien de voyages la camionnette doit-elle faire pour transporter tous les cartons ?
5. eLe lendemain, la 6eC apporte $36$ livres. Sam dit : « Il faut maintenant $39$ cartons. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 41★★★Automatismes : quel nombre répond ? — Pour chaque situation, pose la division, écris l'égalité, puis réponds à la question.

1. a$58$ crayons sont rangés par lots de $9$. Combien de lots complets ?
2. b$85$ élèves partent en minibus de $8$ places. Combien de minibus faut-il pour emmener tout le monde ?
3. c$63$ cartes sont rangées par paquets de $7$. Combien de paquets faut-il pour tout ranger ?
4. d$50$ perles servent à faire des colliers de $8$ perles. Combien de perles restent ?
5. e$53$ photos sont collées par pages de $8$. Combien de photos manque-t-il pour remplir une page de plus ?
6. f$93$ billes sont partagées entre $4$ enfants. Combien de billes chacun reçoit-il ?

Ex. 42★★★Automatismes : convertir des durées — Rappel : $1$ h $= 60$ min et $1$ min $= 60$ s. Convertis en utilisant la division par $60$.

1. a$130$ min $=$ … h … min
2. b$230$ min $=$ … h … min
3. cUn film dure $300$ min. Combien d'heures dure-t-il ?
4. d$95$ s $=$ … min … s
5. e$250$ s $=$ … min … s
6. fCombien de minutes complètes y a-t-il dans $610$ s ?

Ex. 43★★★Quel jour serons-nous ? — Aujourd'hui, c'est jeudi. « Dans $10$ jours » veut dire $10$ jours après aujourd'hui : on ne compte pas aujourd'hui.

1. aQuel jour serons-nous dans $30$ jours ?
2. bQuel jour serons-nous dans $56$ jours ?
3. cQuel jour serons-nous dans $61$ jours ?
4. dL'anniversaire de Malik tombe dans $45$ jours. Malik compte aujourd'hui comme le jour $1$ et trouve samedi. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 44★★★Le collier d'Inès — Inès enfile des perles en répétant toujours le même motif de $5$ perles : bleue, blanche, rouge, verte, jaune.

1. aDe quelle couleur est la $23^e$ perle ?
2. bDe quelle couleur est la $40^e$ perle ?
3. cCombien y a-t-il de perles rouges parmi les $52$ premières perles ?
4. dLe collier fini compte entre $35$ et $42$ perles et sa dernière perle est verte. Combien de perles a-t-il ?

Ex. 45★★★Retrouver des nombres à partir du reste — Dans chaque cas, utilise l'égalité dividende $=$ diviseur $\times$ quotient $+$ reste, avec reste $<$ diviseur.

1. aTrouve tous les nombres entre $70$ et $100$ dont le reste dans la division par $8$ est $3$.
2. bLe diviseur est $9$, le quotient est $12$ et le reste est $7$. Quel est le dividende ?
3. cDans une division par $7$, le quotient est $15$. Quel est le plus grand dividende possible ?
4. dSacha dit : « Dans une division par $6$, j'ai trouvé un reste de $6$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 46★★★Le cross de Rodez — Au cross du collège de Rodez, $78$ coureurs se placent en rangs avant le départ.

1. aEn rangs de $4$ : combien de rangs complets ? Combien de coureurs dans le dernier rang ?
2. bEn rangs de $5$ : combien de rangs complets ? Combien de coureurs dans le dernier rang ?
3. cCombien faudrait-il de coureurs en plus pour que tous les rangs de $5$ soient complets ?
4. dVrai ou faux : « En rangs de $6$, tous les rangs sont complets. » Justifie.
5. eUn autre groupe compte entre $20$ et $40$ coureurs. En rangs de $5$, tous les rangs sont complets ; en rangs de $4$, il en reste $3$. Combien sont-ils ?

Ex. 47★★★Repère et corrige l'erreur — Chaque élève a-t-il raison ? Justifie, puis corrige si besoin.

1. aTom : « $1\,030$ supporters, cars de $52$ places : $1\,030 = 52 \times 19 + 42$, donc il faut $19$ cars. »
2. bLou pose $437 \div 4$ et trouve : $19$, il reste $1$.
3. cMax : « $68$ bouteilles en packs de $6$ : $68 = 6 \times 10 + 8$, donc $10$ packs complets. »
4. dZoé : « $96$ œufs en boîtes de $12$ : $96 \div 12 = 8$, donc il faut $8$ boîtes pour tout ranger. »

Ex. 48★★★La sortie des collégiens de Millau — Le collège de Millau part en sortie : $247$ élèves et $13$ adultes. Les cars ont $48$ places. Pour chaque question, écris l'égalité de la division avant de répondre.

1. aCombien de cars faut-il réserver pour emmener tout le monde ? Justifie.
2. bCombien de places restent vides dans le dernier car ?
3. cSur place, les $247$ élèves font un jeu par équipes. Avec des équipes de $12$, puis avec des équipes de $13$ : combien d'équipes complètes et combien d'élèves hors des équipes complètes dans chaque cas ?
4. dPour des équipes de $6$, le guide écrit : « $247 = 6 \times 41 + 1$, il manque $1$ élève pour compléter la dernière équipe. » A-t-il raison ? Justifie, puis corrige si besoin.

Ex. 49★★★Le festival de Colmar — Le festival de Colmar commence aujourd'hui, un mercredi. Chaque soir, on lance des fusées numérotées $1$, $2$, $3$… Leurs couleurs répètent toujours le même motif de $6$ : or, rouge, vert, bleu, violet, blanc.

1. aLe festival reviendra dans $365$ jours. Quel jour de la semaine serons-nous ? Justifie avec l'égalité.
2. bUn soir, on lance $100$ fusées. Combien sont rouges ? Justifie.
3. cLe festival dure $40$ jours, aujourd'hui compris. Quel jour de la semaine est son dernier jour ? Justifie.
4. dDe quelle couleur est la $90^e$ fusée ? Justifie.
5. eTrouve tous les numéros de fusées compris entre $40$ et $60$ qui sont rouges.

Ex. 50★★★La soirée cinéma de Noé — À Annecy, Noé organise une soirée cinéma qui commence à $18$ h $30$. Il projette trois films à la suite, sans pause : $95$ min, $112$ min et $88$ min. Rappel : $1$ h $= 60$ min et $1$ min $= 60$ s.

1. aNoé écrit : « Les deux premiers films durent $207$ min, soit $2$ h $7$ min. » A-t-il raison ? Justifie, puis corrige si besoin.
2. bÀ quelle heure se termine le troisième film ? Détaille tes calculs.
3. cAvant les films, une musique d'accueil passe pendant $1\,000$ s. Écris cette durée en min et s.
4. dLe film de $88$ min est découpé en chapitres de $15$ min ; seul le dernier peut être plus court. Combien y a-t-il de chapitres, et combien de minutes dure le dernier ?