Terminale maths complémentaires / Dérivation

Ex. 1★★★Automatismes : dérivées usuelles — Chaque fonction est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Calcule $f'(x)$.

1. a$f(x) = x^5 - 4x^3 + 7$
2. b$f(x) = 6x + e^2$
3. c$f(x) = \dfrac{3}{x}$
4. d$f(x) = 4\sqrt{x} - \ln 3$
5. e$f(x) = \dfrac{x^7}{7} - 2e^x$
6. f$f(x) = (2x - 1)(x + 3)$
   (pense à développer d'abord)

Ex. 2★★★Automatismes : produits et quotients — Chaque fonction est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Nomme sa forme ($u \times v$, $\frac{u}{v}$ ou $\frac{1}{v}$), puis calcule $f'(x)$ et factorise-la.

Ex. 3★★★Vrai ou faux ? — Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie.

1. aSi $f(x) = x^2(x + 5)$ sur $\mathbb{R}$, alors $f'(x) = 2x \times 1 = 2x$.
2. bSi $f(x) = \frac{x^2}{x + 4}$ sur $]0\,;+\infty[$, alors $f'(x) = \frac{x(x + 8)}{(x + 4)^2}$.
3. cLa fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$.
4. dSi $g(x) = e^3x$ sur $\mathbb{R}$, alors $g'(x) = e^3$.
5. eSi $h(x) = \frac{1}{x^4}$ sur $]0\,;+\infty[$, alors $h'(x) = \frac{1}{4x^3}$.
6. fPour $f(x) = x^2$, la tangente au point d'abscisse $3$ a pour coefficient directeur $9$.

Ex. 4★★★Deux copies à corriger — Sur $\mathbb{R}$, $f(x) = \frac{3x + 1}{x^2 + 1}$ et $g(x) = (x - 4)e^x$.
Léna écrit : $f'(x) = \frac{2x(3x + 1) - 3(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2}$.
Tom écrit : $g'(x) = 1 \times e^x = e^x$.

1. aRepère précisément l'erreur de Léna.
2. bCalcule correctement $f'(x)$ et donne son numérateur sous forme réduite.
3. cTom a-t-il raison ? Justifie, puis calcule $g'(x)$ sous forme factorisée.
4. dÉtudie le signe de $g'(x)$ et dresse le tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}$.

Ex. 5★★★Tangentes à une courbe — On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe.

1. aCalcule $f(2)$, $f'(x)$ puis $f'(2)$.
2. bDétermine une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$.
3. cSami propose $y = 3(x - 2) - 3$. Explique pourquoi cette droite ne peut pas être la tangente en $2$.
4. dDétermine les abscisses des points de $\mathcal{C}$ où la tangente est horizontale.

Ex. 6★★★Coût moyen minimal d'un atelier — Un atelier de Nantes fabrique $x$ centaines de lampes, avec $x \in [1\,;6]$. Le coût moyen d'une centaine, en milliers d'euros, est $C_M(x) = \frac{x^2 + 9}{x}$.

1. aJustifie que $C_M$ est dérivable sur $[1\,;6]$ et montre que $C_M'(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2}$.
2. bFactorise le numérateur et étudie le signe de $C_M'(x)$ sur $[1\,;6]$.
3. cDresse le tableau de variations de $C_M$ sur $[1\,;6]$, avec les valeurs exactes aux bornes et à l'extremum.
4. dCombien de lampes faut-il fabriquer pour que le coût moyen soit minimal ? Donne ce coût minimal.

Ex. 7★★★Une tangente de pente imposée — On considère la fonction $f$ définie sur $]-1\,;+\infty[$ par $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe.

1. aJustifie que $f$ est dérivable sur $]-1\,;+\infty[$, nomme sa forme, puis calcule $f'(x)$ et simplifie.
2. bLa courbe $\mathcal{C}$ admet-elle une tangente horizontale ? Justifie.
3. cDétermine le point de $\mathcal{C}$ où la tangente a pour coefficient directeur $\frac{3}{4}$.
4. dDétermine une équation réduite de la tangente $T$ en ce point, puis l'abscisse du point où $T$ coupe l'axe des abscisses.

Ex. 8★★★Retrouver une fonction grâce à sa tangente — Soit $a$ et $b$ deux réels et $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (ax + b)e^x$. Sa courbe $\mathcal{C}$ passe par le point $A(0\,;2)$ et admet en $A$ une tangente horizontale.

1. aNomme la forme de $f$, justifie qu'elle est dérivable sur $\mathbb{R}$, puis calcule $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$ et factorise-la.
2. bTraduis les deux informations sur $\mathcal{C}$ par deux équations, puis déduis-en $a$ et $b$.
3. cAvec ces valeurs, calcule $f'(x)$, étudie son signe sur $\mathbb{R}$ et déduis-en le sens de variation de $f$.
4. d$\mathcal{C}$ admet-elle une tangente horizontale en un autre point que $A$ ? Justifie.
5. eDétermine une équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.

Ex. 9★★★Automatismes — dériver sans oublier $a$ — Chaque fonction est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. Donne sa dérivée, sans développer.

1. a$f_1(x) = e^{-3x+2}$
2. b$f_2(x) = 4e^{\frac{x}{2}}$
3. c$f_3(x) = (1-6x)^5$
4. d$f_4(x) = (2x+7)^3$
5. e$f_5(x) = 3(5-x)^2$
6. f$f_6(x) = 2x - e^{-0{,}4x}$

Ex. 10★★★Automatismes — d'abord l'ensemble, puis la dérivée — Pour chaque fonction, donne l'ensemble sur lequel elle est dérivable, puis calcule sa dérivée sous forme simplifiée.

Ex. 11★★★La copie de Yanis — Yanis a dérivé quatre fonctions, chacune là où elle est dérivable. Pour chaque égalité, dis s'il a raison, justifie, et corrige si besoin.

1. a$\left(e^{-2x+1}\right)' = e^{-2x+1}$
2. b$\left(\sqrt{6x+1}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{6x+1}}$ pour $x > -\dfrac{1}{6}$
3. c$\left((3-2x)^4\right)' = -8(3-2x)^3$
4. d$\left(\ln(4x+2)\right)' = \dfrac{2}{2x+1}$ pour $x > -\dfrac{1}{2}$

Ex. 12★★★Vrai ou faux ? — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie.

1. aLa fonction $x \mapsto \sqrt{3x+9}$ est dérivable en $x = -3$.
2. bLa fonction $h : x \mapsto (2-3x)^3$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
3. cLa tangente à la courbe de $k : x \mapsto e^{1-2x}$ au point d'abscisse $\frac{1}{2}$ a pour équation $y = -2x + 2$.
4. dSur $]0\,;+\infty[$, les fonctions $x \mapsto \ln(3x)$ et $x \mapsto \ln x$ ont la même dérivée.

Ex. 13★★★Un produit avec $e^{-\frac{x}{2}}$ — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x-1)\,e^{-\frac{x}{2}}$.

1. aJustifie que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, puis montre que $f'(x) = \frac{5-2x}{2}\,e^{-\frac{x}{2}}$.
2. bÉtudie le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. cDresse le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;10]$, avec les valeurs exactes.
4. dDétermine une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.

Ex. 14★★★Le bénéfice d'une apicultrice — Clémence, apicultrice près de Rodez, produit et vend $x$ centaines de pots de miel, avec $x \in [0\,;10]$. Son bénéfice, en milliers d'euros, vaut $B(x) = 20\ln(2x+1) - 4x$.

1. aJustifie que $B$ est dérivable sur $[0\,;10]$, puis montre que $B'(x) = \frac{4(9-2x)}{2x+1}$.
2. bÉtudie le signe de $B'(x)$, puis dresse le tableau de variations de $B$ sur $[0\,;10]$.
3. cCombien de pots Clémence doit-elle vendre pour que son bénéfice soit maximal ? Donne ce bénéfice, arrondi à l'euro.

Ex. 15★★★Extrait de bac — une fonction avec $\ln(2x - 6)$ — On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x - 4\ln(2x - 6)$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

1. aJustifie que $f$ est définie et dérivable sur $]3\,;+\infty[$.
2. bMontre que pour tout $x > 3$, $f'(x) = \frac{2(x - 5)}{x - 3}$.
3. cÉtudie le signe de $f'(x)$ sur $[4\,;9]$, puis dresse le tableau de variations de $f$ sur $[4\,;9]$, avec les valeurs exactes.
4. dDonne le minimum de $f$ sur $[4\,;9]$ (valeur exacte, puis arrondi au millième). Déduis-en que $f(x) > 4$ pour tout $x \in [4\,;9]$.
5. eDétermine une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $7$.

Ex. 16★★★La dose d'engrais d'Adèle — Adèle, maraîchère près d'Angers, épand $x$ tonnes d'engrais par hectare, avec $x \in [0\,;0{,}25]$. Le gain de récolte obtenu, en tonnes par hectare, est modélisé par $R(x) = 100x(1 - 4x)^5$.

1. aJustifie que $R$ est dérivable sur $[0\,;0{,}25]$, puis montre, sans développer $(1 - 4x)^5$, que $R'(x) = 100(1 - 4x)^4(1 - 24x)$.
2. bÉtudie le signe de $R'(x)$ sur $[0\,;0{,}25]$, puis dresse le tableau de variations de $R$, avec les valeurs exactes.
3. cQuelle dose d'engrais donne le gain maximal ? Donne cette dose au kilogramme près, puis le gain maximal en valeur exacte et arrondi au millième.
4. dAdèle hésite entre les doses $0{,}05$ et $0{,}1$ tonne par hectare. Sans calculer $R(0{,}05)$ ni $R(0{,}1)$, dis laquelle donne le gain le plus élevé. Justifie.

Ex. 17★★★Automatismes : dériver des carrés — Chaque fonction est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. Écris $u(x)$ et $u'(x)$, puis calcule $f'(x)$ avec $(u^2)'=2u'u$.

Ex. 18★★★Automatismes : dériver des exponentielles — Chaque fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$, sauf indication contraire. Écris $u(x)$ et $u'(x)$, puis calcule $f'(x)$ avec $(e^u)'=u'e^u$.

1. a$f(x)=e^{3x^2}$
2. b$f(x)=3e^{-\frac{x^2}{6}}$
3. c$f(x)=e^{x^3-3x}$
4. d$f(x)=4e^{2-5x}$
5. e$f(x)=e^{\frac{1}{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$
6. f$f(x)=(e^{3x})^2$ : écris d’abord $f(x)$ sous la forme $e^{u(x)}$, puis dérive.

Ex. 19★★★Repérer et corriger l’erreur — Chaque fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour chaque élève, explique l’erreur, puis donne la bonne dérivée.

1. aLina écrit : si $f(x)=e^{x^2+1}$, alors $f'(x)=e^{2x}$.
2. bHugo écrit : si $g(x)=e^{4x-x^2}$, alors $g'(x)=(4x-x^2)e^{4x-x^2-1}$.
3. cInès écrit : si $h(x)=(x^2+5)^2$, alors $h'(x)=2(x^2+5)$.
4. dTom écrit : si $k(x)=(3x-1)^2$, alors $k'(x)=3^2=9$.

Ex. 20★★★Vrai ou faux ? — Les fonctions sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie.

1. aLa fonction $f$ définie par $f(x)=e^{x^2-6x}$ est décroissante sur $]-\infty\,;3]$.
2. bLa fonction $g$ définie par $g(x)=(x^2-1)^2$ est croissante sur $[0\,;1]$.
3. cLa tangente à la courbe de $k(x)=e^{x^2-2x}$ au point d’abscisse $2$ a pour équation $y=2x-3$.
4. dLa dérivée de $m(x)=(e^{-x})^2$ est $m'(x)=e^{-2x}$.

Ex. 21★★★Un produit avec une exponentielle — Soit $f$ la fonction définie sur $[-1\,;2]$ par $f(x)=(x-1)e^{2x}$.

1. aJustifie que $f$ est dérivable sur $[-1\,;2]$ et montre que $f'(x)=(2x-1)e^{2x}$.
2. bÉtudie le signe de $f'(x)$ sur $[-1\,;2]$.
3. cDresse le tableau de variations de $f$ sur $[-1\,;2]$, avec les valeurs exactes, puis donne le minimum de $f$.
4. dDétermine une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $0$.

Ex. 22★★★Croissance d’une culture de bactéries — Au laboratoire de Rennes, Maëlle suit une culture de bactéries. Le nombre de bactéries après $t$ heures est modélisé par $N(t)=2000e^{0{,}15t}$ pour $t\in[0\,;24]$.

1. aCalcule $N'(t)$, puis montre que $N'(t)=0{,}15\,N(t)$.
2. bJustifie que $N$ est croissante sur $[0\,;24]$.
3. c$N'(t)$ est la vitesse d’évolution, en bactéries par heure. Calcule $N'(10)$, arrondi à l’unité.
4. dDétermine l’instant $t$ où la vitesse d’évolution vaut $600$ bactéries par heure. Donne la valeur exacte, puis un arrondi au centième.

Ex. 23★★★Concentration d’un médicament — À Grenoble, Adèle est infirmière. Elle suit la concentration d’un médicament dans le sang d’un patient. Cette concentration, en mg/L, est modélisée par $C(t)=4t\,e^{-\frac{t^2}{2}}$, où $t$ est le temps en heures écoulé depuis l’injection, pour $t\in[0\,;4]$.

1. aOn pose $v(t)=e^{-\frac{t^2}{2}}$. Écris $v$ sous la forme $e^{u}$ et calcule $v'(t)$.
2. bJustifie que $C$ est dérivable sur $[0\,;4]$ et nomme sa forme. Montre ensuite que $C'(t)=4(1-t^2)\,e^{-\frac{t^2}{2}}$.
3. cÉtudie le signe de $C'(t)$ sur $[0\,;4]$, puis dresse le tableau de variations de $C$ avec les valeurs exactes.
4. dÀ quel instant la concentration est-elle maximale ? Donne ce maximum, en valeur exacte puis arrondi à $0{,}01$ mg/L.
5. eCalcule $C'(2)$, arrondi à $0{,}01$. Donne une interprétation de ce nombre dans le contexte.

Ex. 24★★★Un carré d’exponentielle, deux méthodes — Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;2]$ par $f(x)=(e^x-4)^2$.

1. aNoé écrit : « $f'(x)=(e^x)^2=e^{2x}$ ». Explique son erreur, puis calcule $f'(x)$ avec la forme $u^2$.
2. bDéveloppe $f(x)$ en utilisant $(e^x)^2=e^{2x}$. Dérive la forme obtenue, puis vérifie que tu retrouves le résultat précédent.
3. cÉtudie le signe de $f'(x)$ sur $[0\,;2]$, puis dresse le tableau de variations de $f$ avec les valeurs exactes.
4. dDétermine une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $0$.
5. eDétermine le maximum et le minimum de $f$ sur $[0\,;2]$. Pour chacun, précise en quelle valeur de $x$ il est atteint.

Ex. 25★★★Automatismes : dériver ln u — Chaque fonction est dérivable sur l'intervalle indiqué. Nomme la forme, puis donne $f'(x)$.

1. a$f(x) = \ln(5x - 2)$ sur $]0{,}4\,;+\infty[$
2. b$f(x) = \ln(1 - 2x)$ sur $]-\infty\,;0{,}5[$
3. c$f(x) = \ln(x^2 + 4x + 5)$ sur $\mathbb{R}$
4. d$f(x) = \ln(x^3 + x)$ sur $]0\,;+\infty[$
5. e$f(x) = \ln(e^{2x} + 3)$ sur $\mathbb{R}$

Ex. 26★★★Vrai ou faux sur les logarithmes — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par un calcul ou un contre-exemple.

1. aSur $]0\,;+\infty[$, la dérivée de $x \mapsto \ln(4x)$ est $x \mapsto \frac{4}{x}$.
2. bLa fonction $x \mapsto \ln(x - 2)$ est définie sur $[2\,;+\infty[$.
3. cSur $]0\,;+\infty[$, la dérivée de $x \mapsto x^2\ln x$ est $x \mapsto x(2\ln x + 1)$.
4. dSur $]0\,;+\infty[$, la dérivée de $x \mapsto (1 + \ln x)^2$ est $x \mapsto 2(1 + \ln x)$.
5. eSur $\mathbb{R}$, la dérivée de $x \mapsto \ln(x^4 + 2)$ est $x \mapsto \frac{1}{x^4 + 2}$.

Ex. 27★★★L'erreur d'Inès — On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \ln(x^2 + 9)$.

1. aJustifie que $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
2. bInès écrit $f'(x) = \frac{1}{x^2 + 9} > 0$ et conclut que $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. A-t-elle raison ? Justifie et corrige.
3. cDresse le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et donne son minimum.
4. dDétermine une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $3$.

Ex. 28★★★Simplifier avant de dériver — Soit $I = \left]-\frac{1}{2}\,;+\infty\right[$ et $g(x) = \ln\left(\frac{2x + 1}{x + 3}\right)$ pour $x \in I$.

1. aJustifie que, pour tout $x$ de $I$, $\frac{2x + 1}{x + 3} > 0$.
2. bÉcris $g(x)$ comme une différence de deux logarithmes, puis montre que $g'(x) = \frac{5}{(2x + 1)(x + 3)}$.
3. cDéduis-en le sens de variation de $g$ sur $I$.
4. dRésous l'équation $g(x) = 0$ sur $I$.

Ex. 29★★★Un tableau de variations à compléter — Soit $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 8)$ sur $[0\,;5]$. On donne le tableau à compléter :

1. aVérifie que $x^2 - 4x + 8 = (x - 2)^2 + 4$, puis justifie que $f$ est dérivable sur $[0\,;5]$.
2. bMontre que $f'(x) = \dfrac{2(x - 2)}{x^2 - 4x + 8}$.
3. cComplète le tableau de variations avec des valeurs exactes.
4. dDonne le minimum et le maximum de $f$ sur $[0\,;5]$.

Ex. 30★★★Le bénéfice d'un atelier de céramique — À Vannes, Malo fabrique $x$ centaines de bols par mois, avec $x \in [0\,;10]$. Son bénéfice, en milliers d'euros, vaut $B(x) = 12\ln(x + 1) - 2x$.

1. aMontre que, pour tout $x$ de $[0\,;10]$, $B'(x) = \frac{2(5 - x)}{x + 1}$.
2. bÉtudie le signe de $B'(x)$ et dresse le tableau de variations de $B$ sur $[0\,;10]$.
3. cCombien de bols Malo doit-il fabriquer pour avoir un bénéfice maximal ? Donne ce bénéfice, arrondi à l'euro.

Ex. 31★★★La puissance d'une éolienne — À Brest, Léna règle une petite éolienne. Quand le rotor tourne à $x$ centaines de tours par minute, avec $x \in [1\,;6]$, la puissance utile, en kilowatts, vaut $P(x) = 2x - x\ln x$.

1. aHugo affirme que la dérivée de $x \mapsto x\ln x$ est $x \mapsto \frac{1}{x}$. A-t-il raison ? Justifie en nommant la forme.
2. bJustifie que $P$ est dérivable sur $[1\,;6]$, calcule $P'(x)$, puis étudie son signe sur $[1\,;6]$.
3. cDresse le tableau de variations de $P$ sur $[1\,;6]$, avec les valeurs exactes aux bornes et à l'extremum.
4. dQuelle vitesse de rotation donne la puissance maximale ? Donne-la en tours par minute, à l'unité près, puis la puissance maximale à $0{,}01$ kW près.

Ex. 32★★★Du carré de ln au logarithme d'une fonction — Soit $f(x) = (\ln x)^2 - 2\ln x$ pour $x \in [1\,;e^2]$.

1. aNomme la forme de $(\ln x)^2$, puis montre que $f'(x) = \frac{2(\ln x - 1)}{x}$ sur $[1\,;e^2]$.
2. bÉtudie le signe de $f'(x)$, puis dresse le tableau de variations de $f$ sur $[1\,;e^2]$ avec les valeurs exactes.
3. cLucas veut étudier $k(x) = \ln(f(x) + 1)$ sur tout l'intervalle $[1\,;e^2]$. Est-ce possible ? Justifie.
4. dOn pose $g(x) = \ln(f(x) + 2)$. Justifie que $g$ est dérivable sur $[1\,;e^2]$, calcule $g'(x)$, puis donne les variations de $g$.

Ex. 33★★★Du signe de f′ aux variations — Dans chaque cas, $f$ est dérivable sur l'intervalle $I$ indiqué et on donne $f'(x)$. Donne le signe de $f'(x)$ sur $I$ en le justifiant, puis le sens de variation de $f$.

1. a$f'(x) = (x + 5)e^{4x}$, $I = \mathbb{R}$.
2. b$f'(x) = -4(x + 1)^2$, $I = \mathbb{R}$.
3. c$f'(x) = \dfrac{2 - x}{x^2}$, $I = ]0\,;+\infty[$.
4. d$f'(x) = \ln x$, $I = ]0\,;+\infty[$.
5. e$f'(x) = (x^2 - 4x + 3)e^{-x}$, $I = \mathbb{R}$.
6. f$f'(x) = \dfrac{3}{2x + 1}$, $I = ]-\frac{1}{2}\,;+\infty[$.

Ex. 34★★★Dériver, factoriser, trouver où f′ s'annule — Dans chaque cas, $f$ est dérivable sur l'intervalle indiqué. Calcule $f'(x)$, écris-la sous forme factorisée, puis donne la ou les valeurs de $x$ où $f'(x) = 0$.

1. a$f(x) = (x + 2)e^{x}$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$f(x) = x^2 e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$.
3. c$f(x) = x - \ln x$ sur $]0\,;+\infty[$.
4. d$f(x) = e^{3x} - 3x$ sur $\mathbb{R}$.
5. e$f(x) = x\ln x$ sur $]0\,;+\infty[$.
6. f$f(x) = \ln(x^2 + 4)$ sur $\mathbb{R}$.

Ex. 35★★★L'erreur de Lucas — Soit $f$ définie sur $[-4\,;0]$ par $f(x) = x^3 + 6x^2 + 12x - 2$. Lucas affirme : « $f'(-2) = 0$, donc $f$ admet un extremum en $-2$. »

1. aCalcule $f'(x)$ et écris-la sous forme factorisée.
2. bLucas a-t-il raison ? Justifie.
3. cDresse le tableau de variations de $f$ sur $[-4\,;0]$, avec les valeurs exactes.
4. dQuel est le maximum de $f$ sur $[-4\,;0]$ ? Précise en quelle valeur de $x$ il est atteint.

Ex. 36★★★Étude complète de (3 − x)e^(2x) — Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (3 - x)e^{2x}$.

1. aJustifie que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en nommant la forme utilisée.
2. bCalcule $f'(x)$ et écris-la sous forme factorisée.
3. cÉtudie le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ en justifiant.
4. dDresse le tableau de variations de $f$. Donne la valeur exacte de son extremum, puis un arrondi à $0{,}1$.

Ex. 37★★★Concentration d'un médicament — Inès prend un comprimé. La concentration du médicament dans son sang, en mg/L, $t$ heures après la prise, est $C(t) = 8t\,e^{-0{,}5t}$ pour $t \in [0\,;10]$.

1. aMontre que pour tout $t$ de $[0\,;10]$, $C'(t) = 4(2 - t)e^{-0{,}5t}$.
2. bÉtudie le signe de $C'(t)$ et dresse le tableau de variations de $C$ sur $[0\,;10]$, avec les valeurs exactes.
3. cAu bout de combien de temps la concentration est-elle maximale ?
4. dQuelle est la concentration maximale ? Donne la valeur exacte, puis un arrondi à $0{,}01$ mg/L.

Ex. 38★★★Vrai ou faux : x² − 2 ln x — Soit $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = x^2 - 2\ln x$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, et justifie.

1. a« Pour tout $x > 0$, $f'(x) = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{x}$. »
2. b« $f$ est décroissante sur $]0\,;1]$. »
3. c« $f$ admet un maximum local en $1$. »
4. d« Sur $[\frac{1}{2}\,;2]$, le maximum de $f$ est atteint en $\frac{1}{2}$. »

Ex. 39★★★Extremums de x² − 6x + 4 ln x — Soit $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = x^2 - 6x + 4\ln x$.

1. aJustifie que $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, puis montre que $f'(x) = \frac{2(x - 1)(x - 2)}{x}$.
2. bÉtudie le signe de $f'(x)$ sur $]0\,;+\infty[$ en justifiant. Déduis-en les extremums locaux de $f$ et donne leurs valeurs exactes.
3. cDresse le tableau de variations de $f$ sur $[1\,;4]$, avec les valeurs exactes.
4. dLina affirme : « $f$ admet un maximum local égal à $-5$, donc $f(x) \leqslant -5$ pour tout $x$ de $[1\,;4]$. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eSur $[\frac{1}{2}\,;3]$, détermine le minimum et le maximum de $f$ : valeurs exactes, puis arrondies à $0{,}01$.

Ex. 40★★★Le coût moyen minimal de l'atelier de Clémence — À Annecy, l'atelier de Clémence fabrique entre $100$ et $2\,000$ bougies par semaine. Pour $x$ centaines de bougies, $x \in [1\,;20]$, le coût moyen de fabrication d'une bougie, en euros, vaut $C(x) = (\ln x)^2 - 2\ln x + 3$.

1. aJustifie que $C$ est dérivable sur $[1\,;20]$ en nommant la forme utilisée, puis montre que $C'(x) = \frac{2(\ln x - 1)}{x}$.
2. bRésous $\ln x - 1 > 0$ sur $[1\,;20]$. Déduis-en le signe de $C'(x)$, puis le tableau de variations de $C$ avec les valeurs exactes.
3. cCombien de bougies Clémence doit-elle fabriquer pour que le coût moyen soit minimal ? Donne aussi ce coût moyen minimal, avec son unité.
4. dSon associé affirme : « Sur toute la plage de production, le coût moyen d'une bougie ne dépasse jamais $3$ €. » Vrai ou faux ? Justifie.