Terminale spécialité / Dérivation

Ex. 1★★★Automatismes : dérivées des fonctions de référence — Pour chaque fonction, donne $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle indiqué.

1. a$f(x)=4x^3-7x+11$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$f(x)=\dfrac{5}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$.
3. c$f(x)=3\sqrt{x}-2$ est définie sur $[0\,;+\infty[$. Sur quel intervalle est-elle dérivable ? Donne $f'(x)$.
4. d$f(x)=-2\cos x+\sin x$ sur $\mathbb{R}$.
5. e$f(x)=6\mathrm{e}^{x}+\dfrac{x^2}{4}$ sur $\mathbb{R}$.
6. f$f(x)=-\dfrac{8}{x}+\pi$ sur $]-\infty\,;0[$.

Ex. 2★★★Automatismes : produits et quotients — Pour chaque fonction, calcule $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle indiqué et donne le résultat sous forme simplifiée.

1. a$f(x)=x\,\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$f(x)=(2x+1)\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$.
3. c$f(x)=x^2\cos x$ sur $\mathbb{R}$.
4. d$f(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$ sur $]-2\,;+\infty[$.
5. e$f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$.
6. f$f(x)=\dfrac{x^2-4x}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$
   (simplifie d'abord).

Ex. 3★★★Les erreurs de Lina — Lina a calculé ces dérivées et chaque calcul contient au moins une erreur. Pour chacun, repère l'erreur, explique-la puis corrige le calcul.

1. a$g(x)=(x^2+1)(3x-2)$ sur $\mathbb{R}$. Lina écrit : $g'(x)=2x\times 3=6x$.
2. b$h(x)=\frac{x+3}{2x-1}$ sur $\left]\frac{1}{2}\,;+\infty\right[$. Lina écrit : $h'(x)=\frac{2(x+3)-1\times(2x-1)}{(2x-1)^2}=\frac{7}{(2x-1)^2}$.
3. c$w(x)=\frac{4}{x}+5$ sur $]0\,;+\infty[$. Lina écrit : $w'(x)=\frac{4}{x^2}+5$.
4. d$t(x)=2\cos x-\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$. Lina écrit : $t'(x)=2\sin x-\mathrm{e}^{x}$.

Ex. 4★★★Variations et tangente d'un produit — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-3)\,\mathrm{e}^{x}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

1. aCalcule $f'(x)$, puis écris-le comme un produit de trois facteurs.
2. bÉtudie le signe de $f'(x)$ et dresse le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$, avec les extremums locaux en valeur exacte.
3. cDétermine une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$.
4. dSam affirme : « $f(0)>f(1)$ ». Vrai ou faux ? Justifie à l'aide des variations de $f$.

Ex. 5★★★Coût moyen minimal — Une entreprise fabrique $q$ centaines d'objets, avec $q\in[0{,}5\,;6]$. Le coût total, en milliers d'euros, est $C(q)=2q^2-5q+8$. Le coût moyen est $C_M(q)=\frac{C(q)}{q}$. On note $\mathcal{C}$ la courbe de $C_M$.

1. aPour tout $q$ de $[0{,}5\,;6]$, écris $C_M(q)$ sous la forme $aq+b+\frac{c}{q}$. Explique en quoi cette écriture simplifie la dérivation.
2. bCalcule $C_M'(q)$, puis factorise-le pour étudier son signe sur $[0{,}5\,;6]$.
3. cDresse le tableau de variations de $C_M$ sur $[0{,}5\,;6]$. Donne le coût moyen minimal et interprète-le en euros par objet.
4. dLéo propose pour la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$ : $y=5(q-1)-6$. Explique son erreur et donne l'équation correcte.
5. eVrai ou faux : $\mathcal{C}$ admet une tangente parallèle à la droite d'équation $y=2q$. Justifie.

Ex. 6★★★Un produit avec une racine — Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=(x-3)\sqrt{x}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

1. aJustifie que $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, calcule $f'(x)$ et écris-le comme un seul quotient factorisé.
2. bSami affirme : « $f$ s'annule en $3$, donc $f'(x)$ a le signe de $x-3$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cDresse le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ et donne le minimum de $f$.
4. dPour $h>0$, simplifie $\frac{f(h)-f(0)}{h}$. Ce quotient a-t-il une limite finie quand $h$ tend vers $0$ ? Conclus sur la dérivabilité de $f$ en $0$.
5. eDétermine une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $4$.

Ex. 7★★★Quotient trigonométrique — Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;2\pi]$ par $f(x)=\frac{\cos x}{2+\sin x}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. On rappelle que $\cos^2 x+\sin^2 x=1$.

1. aJustifie que $f$ est bien définie et dérivable sur $[0\,;2\pi]$.
2. bInès écrit : $f'(x)=\frac{-\sin x\,(2+\sin x)-\cos x\times\cos x}{2+\sin x}$. Repère son erreur, puis calcule $f'(x)$ en simplifiant le numérateur.
3. cRésous dans $[0\,;2\pi]$ l'inéquation $2\sin x+1>0$, puis déduis-en le signe de $f'(x)$ sur $[0\,;2\pi]$.
4. dDresse le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;2\pi]$ avec les valeurs exactes. Donne le maximum et le minimum de $f$.
5. eDétermine une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\frac{\pi}{2}$.

Ex. 8★★★Écrire une composée — Dans chaque cas, exprime la fonction demandée en fonction de $x$.

1. a$u(x)=x-4$ et $g(X)=X^2$ : donne $(g\circ u)(x)$.
2. b$u(x)=x-4$ et $g(X)=X^2$ : donne $(u\circ g)(x)$.
3. c$u(x)=2x+5$ et $g(X)=\frac{1}{X}$ : donne $(g\circ u)(x)$ et précise pour quels $x$ elle existe.
4. d$u(x)=x^3$ et $g(X)=\mathrm{e}^{X}$ : donne $(g\circ u)(x)$.
5. e$u(x)=\mathrm{e}^{x}$ et $g(X)=X^3$ : donne $(g\circ u)(x)$ sous la forme $\mathrm{e}^{\dots}$.
6. f$u(x)=x+1$ et $g(X)=X^3-2X$ : donne $(g\circ u)(x)$ sous forme développée.

Ex. 9★★★Décomposer une fonction — Pour chaque fonction $f$, donne une fonction $u$ et une fonction de référence $g$ telles que $f=g\circ u$.

Ex. 10★★★Définition et variations : vrai ou faux — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie.

1. a« La fonction $f : x\mapsto\sqrt{5-x}$ est définie sur $[5\,;+\infty[$. »
2. b« La fonction $h : x\mapsto\frac{1}{x^2-25}$ est définie sur $\mathbb{R}$ privé de $5$. »
3. c« La fonction $k : x\mapsto\frac{1}{3-x}$ est croissante sur $]3\,;+\infty[$. »
4. d« La fonction $m : x\mapsto\mathrm{e}^{x^2-4x}$ est croissante sur $]-\infty\,;2]$. »

Ex. 11★★★Composer avec un tableau de valeurs — Les fonctions $u$ et $g$ sont définies sur $\{0\,;1\,;2\,;3\,;4\}$ par le tableau ci-dessous.

1. aCalcule $(g\circ u)(2)$, puis $(u\circ g)(2)$. Que constates-tu ?
2. bCalcule $(g\circ u)(x)$ pour $x=0$, $x=1$ et $x=4$.
3. cLéo écrit : « $(u\circ g)(3)=g\big(u(3)\big)=g(1)=0$ ». A-t-il raison ? Justifie.
4. dRésous l'équation $(g\circ u)(x)=3$ dans $\{0\,;1\,;2\,;3\,;4\}$.

Ex. 12★★★Une racine carrée et un trou dans le domaine — On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x^2-6x+8}$. On note $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=x^2-6x+8$.

1. aÉcris $f$ sous la forme $g\circ u$, où $g$ est une fonction de référence. Précise la fonction extérieure.
2. bFactorise $u(x)$, puis détermine l'ensemble de définition $D$ de $f$ à l'aide d'un tableau de signes.
3. cVérifie que pour tout réel $x$, $u(x)=(x-3)^2-1$. Déduis-en le sens de variation de $u$ sur $\mathbb{R}$.
4. dLina affirme : « $u$ est décroissante sur $]-\infty\,;3]$, donc $f$ aussi. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eJustifie le sens de variation de $f$ sur $]-\infty\,;2]$ et sur $[4\,;+\infty[$, puis donne le minimum de $f$ sur $D$.

Ex. 13★★★Deux fonctions décroissantes, deux ordres — On considère la fonction $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=\mathrm{e}^{-x}$ et la fonction $g$ définie sur $]-\infty\,;-1[\,\cup\,]-1\,;+\infty[$ par $g(X)=\frac{4}{X+1}$.

1. aExprime $(g\circ u)(x)$ et $(u\circ g)(x)$ en fonction de $x$.
2. bDétermine l'ensemble de définition de $g\circ u$, puis celui de $u\circ g$.
3. cRésous dans $\mathbb{R}$ l'équation $(g\circ u)(x)=2$.
4. dJustifie que $g$ est décroissante sur $]-1\,;+\infty[$, puis donne le sens de variation de $g\circ u$ sur $\mathbb{R}$.
5. eNoé affirme : « $u\circ g$ est croissante sur $]-\infty\,;-1[\,\cup\,]-1\,;+\infty[$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 14★★★Le carré de l'exponentielle ou l'exponentielle du carré ? — On considère les fonctions $f$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2$ et $h(x)=\mathrm{e}^{x^2}$. Sami pense que $f$ et $h$ sont égales.

1. aCalcule $f(-1)$ et $h(-1)$ en valeur exacte. Sami a-t-il raison ? Justifie.
2. bOn pose $v(x)=x^2$ et $w(x)=\mathrm{e}^{x}$. Écris $f$ et $h$ comme composées de $v$ et $w$, et précise chaque fonction extérieure.
3. cJustifie le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$, en précisant l'intervalle où la fonction extérieure est monotone.
4. dJustifie le sens de variation de $h$ sur $]-\infty\,;0]$ et sur $[0\,;+\infty[$, puis donne le minimum de $h$.
5. eMontre que pour tout réel $x$, $f(x)=\mathrm{e}^{2x}$, puis résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=h(x)$.

Ex. 15★★★Automatismes : dériver $g(ax+b)$ — Chaque fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$. Donne $f'(x)$ sans développer.

Ex. 16★★★Automatismes : la règle générale $u'\times(g'\circ u)$ — Chaque fonction est dérivable sur $\mathbb{R}$ ; $g$ désigne une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Donne $u(x)$, $u'(x)$, puis $f'(x)$ sous forme factorisée.

Ex. 17★★★Composée à partir d'un tableau de valeurs — $u$ et $g$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et $f=g\circ u$. On donne :

1. aCalcule $f(1)$.
2. bCalcule $f'(1)$.
3. cLina écrit : $f'(0)=u'(0)\times g'(0)=-2$. A-t-elle raison ? Justifie et corrige si besoin.
4. dDétermine une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $2$.
5. eOn pose $h=u\circ g$. Calcule $h'(3)$.

Ex. 18★★★Refroidissement d'un thé — La température (en °C) d'un thé posé sur une table est modélisée par $T(t)=20+60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$, où $t\geqslant 0$ est le temps en minutes. $T$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$.

1. aHugo affirme que $T'(t)=60\,\mathrm{e}^{-0{,}1t}$. A-t-il raison ? Justifie et donne $T'(t)$.
2. bDéduis-en le sens de variation de $T$ sur $[0\,;+\infty[$.
3. cCalcule $T'(0)$ et interprète ce résultat dans le contexte.
4. dDonne l'arrondi au centième de $T'(20)$. Compare-le avec $T'(0)$ et interprète.

Ex. 19★★★Étude d'une fonction $\cos(ax+b)$ — Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;\pi]$ par $f(x)=\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$. On admet que $f$ est dérivable sur $[0\,;\pi]$.

1. aLéa écrit $f'(x)=-\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ et Tom écrit $f'(x)=-2\sin(x)$. Explique l'erreur de chacun, puis donne $f'(x)$.
2. bPour $x\in[0\,;\pi]$, encadre $2x-\frac{\pi}{3}$, puis étudie le signe de $f'(x)$ sur $[0\,;\pi]$.
3. cDresse le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\pi]$ avec les valeurs exactes.
4. dDétermine une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.
5. eVrai ou faux : « la tangente au point d'abscisse $\pi$ est parallèle à $T$ ». Justifie.

Ex. 20★★★Concentration d'un médicament — Après une prise orale, la concentration d'un médicament dans le sang (en mg/L) est modélisée par $C(t)=10\left(\mathrm{e}^{-0{,}2t}-\mathrm{e}^{-t}\right)$, où $t\geqslant 0$ est le temps en heures. $C$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ et on admet que $\lim\limits_{t\to+\infty}C(t)=0$.

1. aCalcule $C'(t)$ pour tout $t\geqslant 0$.
2. bCalcule $C'(0)$ et interprète ce nombre dans le contexte.
3. cRésous l'inéquation $C'(t)>0$ sur $[0\,;+\infty[$. Donne la solution exacte à l'aide de $\ln$.
4. dDresse le tableau de variations de $C$ sur $[0\,;+\infty[$.
5. eMontre que la concentration maximale vaut $8\,\mathrm{e}^{-0{,}25\ln 5}$ mg/L. Donne sa valeur à $0{,}01$ près et l'instant où elle est atteinte, à la minute près.

Ex. 21★★★Ne pas développer : dériver, factoriser, étudier — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-1)^3(5-2x)^2$. On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. aInès veut développer $f(x)$ avant de dériver. Ben lui conseille plutôt de dériver $x\mapsto(x-1)^3$ et $x\mapsto(5-2x)^2$. Donne ces deux dérivées.
2. bMontre que, pour tout réel $x$, $f'(x)=(x-1)^2(5-2x)(19-10x)$.
3. cDresse le tableau de signes de $f'(x)$ et déduis-en le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. dVrai ou faux : « $f'(1)=0$, donc $f$ admet un extremum en $1$ ». Justifie.
5. eDonne la valeur exacte du maximum local de $f$ (fraction irréductible), puis dresse le tableau de variations de $f$
   (limites non demandées).

Ex. 22★★★Automatismes : racines, puissances et inverses — Pour chaque fonction, écris $u(x)$ et $u'(x)$, vérifie la condition, puis calcule la dérivée sur l'intervalle donné.

1. a$f_1(x)=(5x-2)^6$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$f_2(x)=\frac{1}{(2x+1)^3}$ sur $]-\frac{1}{2}\,;+\infty[$
   (écris d'abord $f_2$ sous la forme $u^n$).
3. c$f_3(x)=\dfrac{4}{x^2+5}$ sur $\mathbb{R}$.
4. d$f_4(x)=\sqrt{6-2x}$ sur $]-\infty\,;3[$.
5. e$f_5(x)=(x^2-3x)^4$ sur $\mathbb{R}$.
6. f$h(x)=\sqrt{16-x^2}$ : donne l'ensemble de définition de $h$, puis l'ensemble où $h$ est dérivable, et calcule $h'(x)$ sur cet ensemble.

Ex. 23★★★Automatismes : exponentielles et logarithmes — Pour chaque fonction, écris $u(x)$ et $u'(x)$, puis calcule la dérivée sur l'intervalle donné.

1. a$g_1(x)=3\mathrm{e}^{2x}+1$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$g_2(x)=\mathrm{e}^{1-x^2}$ sur $\mathbb{R}$.
3. c$g_3(x)=\mathrm{e}^{\frac{4}{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$.
4. d$g_4(x)=\sqrt{\mathrm{e}^{x}}$ sur $\mathbb{R}$
   (utilise la formule de $\sqrt{u}$).
5. e$g_5(x)=\ln(x^2+4)$ sur $\mathbb{R}$.
6. f$g_6(x)=\ln(3x-1)$ sur $]\frac{1}{3}\,;+\infty[$.

Ex. 24★★★Erreurs de copies à corriger — Ben a relevé quatre calculs faux dans des copies. Pour chacun, explique l'erreur, puis donne le bon résultat.

1. aLina : $f(x)=\mathrm{e}^{x^2+1}$, donc $f'(x)=(x^2+1)\,\mathrm{e}^{x^2}$.
2. bTom : $g(x)=\frac{1}{x^2-4x+5}$ sur $\mathbb{R}$, donc $g'(x)=\frac{2x-4}{x^2-4x+5}$.
3. cInès : $k(x)=\ln(5x)$ sur $]0\,;+\infty[$, donc $k'(x)=\frac{1}{\ln(5x)}$.
4. dHugo : $m(x)=\mathrm{e}^{-3x}$, donc $m'(x)=\mathrm{e}^{-3x}>0$ et $m$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

Ex. 25★★★Concentration d'un médicament — La concentration d'un médicament dans le sang (en mg/L) $t$ heures après la prise est $C(t)=8t\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{2}}$ pour $t\in[0\,;10]$.

1. aCalcule $C'(t)$, puis factorise-le par $\mathrm{e}^{-\frac{t}{2}}$.
2. bÉtudie le signe de $C'(t)$ sur $[0\,;10]$.
3. cDresse le tableau de variations de $C$. Donne l'instant où la concentration est maximale et cette concentration en valeur exacte, puis arrondie à $0{,}01$.
4. dCalcule $C'(4)$ en valeur exacte et arrondie à $0{,}01$, puis interprète ce nombre.

Ex. 26★★★Une racine dérivable… presque partout — Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\sqrt{x^2-9}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

1. aDétermine l'ensemble de définition de $f$. Justifie ensuite que $f$ est dérivable sur $]3\,;+\infty[$, puis calcule $f'(x)$.
2. bMontre que pour $h>0$, $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\sqrt{\frac{6}{h}+1}$. On admet que ce quotient tend vers $+\infty$ quand $h$ tend vers $0$. Que peux-tu en conclure ?
3. cDéduis-en le sens de variation de $f$ sur $]3\,;+\infty[$. Donne ensuite une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $5$.
4. dOn pose $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ sur $]3\,;+\infty[$. Sam écrit $g'(x)=-\frac{f'(x)}{f(x)}$. A-t-il raison ? Justifie, puis calcule $g'(x)$.
5. eOn donne : $g(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $3$, et vers $0$ en $+\infty$. Dresse le tableau de variations de $g$ sur $]3\,;+\infty[$.

Ex. 27★★★La dérivée seconde au secours du signe de f′ — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{e}^{2x}-4\mathrm{e}^{x}+2x$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

1. aNora écrit $f'(x)=\mathrm{e}^{2x}-4\mathrm{e}^{x}+2$. Explique son erreur, puis calcule $f'(x)$ pour tout réel $x$.
2. bCalcule $f''(x)$, factorise-le par $\mathrm{e}^{x}$, puis étudie son signe sur $\mathbb{R}$.
3. cDresse le tableau de variations de $f'$ sur $\mathbb{R}$, en y indiquant la valeur exacte de $f'(0)$.
4. dDéduis-en le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$, puis le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
5. eDonne une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. Que remarques-tu ?

Ex. 28★★★Croissance d'une culture de bactéries — Une culture compte $N(t)$ bactéries $t$ heures après le début de l'observation, avec $N(t)=\frac{10\,000}{1+9\mathrm{e}^{-0{,}5t}}$ pour $t\in[0\,;+\infty[$.

1. aÉcris $N(t)=10\,000\times\left(u(t)\right)^{-1}$ en donnant $u(t)$ et $u'(t)$. Justifie que $N$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$, puis calcule $N'(t)$.
2. bÉtudie le signe de $N'(t)$, puis le sens de variation de $N$ sur $[0\,;+\infty[$. Interprète ce résultat dans le contexte.
3. cCalcule $N(0)$ et $N'(0)$, puis donne une équation de la tangente à la courbe de $N$ au point d'abscisse $0$. Interprète $N'(0)$.
4. dOn pose $L(t)=\ln\left(N(t)\right)$. Maël écrit $L'(t)=\frac{1}{N(t)}$. Explique son erreur, puis montre que $L'(t)=\frac{4{,}5}{\mathrm{e}^{0{,}5t}+9}$.
5. e$L'(t)$ est le taux de croissance relatif de la culture. Calcule $L'(0)$, puis étudie le sens de variation de $L'$ sur $[0\,;+\infty[$. Interprète.

Ex. 29★★★Calculer des dérivées secondes — Pour chaque fonction, dérivable deux fois sur l'intervalle indiqué, calcule $f'(x)$ puis $f''(x)$.

1. a$f(x)=x^4-3x^3+5x-2$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$f(x)=(3x+2)^5$ sur $\mathbb{R}$.
3. c$f(x)=\mathrm{e}^{x^2+x}$ sur $\mathbb{R}$.
4. d$f(x)=\dfrac{1}{x+3}$ sur $]-3\,;+\infty[$.
5. e$f(x)=\dfrac{2x}{x-1}$ sur $]1\,;+\infty[$.
6. fOn donne $f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^{2x}$ sur $\mathbb{R}$ : calcule seulement $f''(x)$.

Ex. 30★★★Ce que dit (ou ne dit pas) $f''$ — Dans chaque cas, $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. Vrai ou faux ? Justifie.

1. aSi $f''(x)>0$ pour tout réel $x$, alors $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
2. bPour $f(x)=x^3$, on a $f''(x)=\big(f'(x)\big)^2=9x^4$.
3. cPour $f(x)=x^3-6x^2$, on a $f''(2)=0$, donc $f$ admet un extremum en $2$.
4. dSi $f''(x)<0$ pour tout réel $x$ et $f'(0)=0$, alors $f$ admet un maximum en $0$.
5. ePour $f(x)=\mathrm{e}^{3x}$, on a $f''(x)=9\mathrm{e}^{3x}$.

Ex. 31★★★Le signe de $f'$ grâce à $f''$ — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{e}^{2x}-2x^2$. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. aCalcule $f'(x)$ pour tout réel $x$. Son signe se lit-il directement ? Justifie.
2. bCalcule $f''(x)$ et étudie son signe selon les valeurs de $x$.
3. cDresse le tableau de variations de $f'$ et donne la valeur exacte de son minimum.
4. dDéduis-en le signe de $f'(x)$, puis le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Ex. 32★★★Un ressort qui oscille — L'extrémité d'un ressort a pour position $x(t)=3\cos(2t)$ (en cm, $t$ en s, $t\geqslant 0$). Sa vitesse est $v(t)=x'(t)$ et son accélération est $a(t)=v'(t)=x''(t)$.

1. aCalcule la vitesse $v(t)$.
2. bCalcule l'accélération $a(t)$, puis exprime-la en fonction de $x(t)$.
3. cCalcule $x(0)$, $v(0)$ et $a(0)$. Le ressort reste-t-il immobile après $t=0$ ? Justifie.
4. dTom affirme : « À $t=\frac{\pi}{4}$, l'accélération est nulle, donc le ressort est immobile. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eÉtudie le signe de $a(t)$ sur $\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$. Déduis-en les variations de $v$ et sa valeur minimale sur cet intervalle.

Ex. 33★★★Étudier une fonction avec un logarithme grâce à $f''$ — Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=x\ln(x)-\frac{x^2}{2}+3$. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]0\,;+\infty[$.

1. aCalcule $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0\,;+\infty[$, puis $f''(x)$.
2. bÉtudie le signe de $f''(x)$ sur $]0\,;+\infty[$, puis dresse le tableau de variations de $f'$
   (sans les limites).
3. cDéduis-en le signe de $f'(x)$ sur $]0\,;+\infty[$, puis le sens de variation de $f$.
4. dDonne une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.
5. eLina affirme : « $f''(1)=0$, donc $f$ admet un extremum en $1$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 34★★★La pente la plus forte d'une courbe en cloche — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{e}^{-2x^2}$. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.

1. aCalcule $f'(x)$ pour tout réel $x$.
2. bNoé dérive $f'(x)$ et obtient $f''(x)=16x^2\mathrm{e}^{-2x^2}$. Explique son erreur, puis calcule $f''(x)$ sous forme factorisée.
3. cÉtudie le signe de $f''(x)$, puis dresse le tableau de variations de $f'$ sur $\mathbb{R}$
   (sans les limites).
4. dDéduis-en l'abscisse du point de la courbe de $f$ où la tangente a le plus grand coefficient directeur. Justifie.
5. eDonne une équation de cette tangente, en valeurs exactes.

Ex. 35★★★Élimination d'un médicament — La concentration d'un médicament dans le sang est modélisée par $C(t)=\frac{4t}{t^2+1}$ (en mg/L, $t$ en heures, $t\geqslant 0$). La vitesse d'évolution de la concentration est $C'(t)$. On admet que $C$ est deux fois dérivable sur $[0\,;+\infty[$.

1. aCalcule $C'(t)$, puis dresse le tableau de variations de $C$ sur $[0\,;+\infty[$
   (sans la limite).
2. bCalcule $C''(t)$ et donne-le sous forme factorisée.
3. cÉtudie le signe de $C''(t)$, puis dresse le tableau de variations de $C'$ sur $[0\,;+\infty[$
   (sans la limite).
4. dÀ quel instant la concentration baisse-t-elle le plus vite ? Donne cette vitesse et l'instant à la minute près.
5. eInès lit le tableau de variations de $C'$ et affirme : « La concentration finit par remonter. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 36★★★Écarter le facteur de signe connu — Chaque fonction est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. Calcule $f'(x)$ sous forme factorisée. Nomme le facteur de signe connu que tu écartes. Donne ensuite l'intervalle sur lequel $f$ est croissante.

1. a$f(x) = \mathrm{e}^{x^2 - 6x}$
2. b$f(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 5}$
   (le discriminant du trinôme est négatif)
3. c$f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 3}$
4. d$f(x) = x\,\mathrm{e}^{2x}$
5. e$f(x) = \ln(x^2 + 1)$

Ex. 37★★★Variations d'une composée sans dériver — Sans dériver, écris $f$ sous la forme $g \circ u$, avec $g$ et $u$ monotones. Déduis-en le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $I$.

1. a$f(x) = \mathrm{e}^{-3x + 1}$ sur $I = \mathbb{R}$
2. b$f(x) = \sqrt{5 - 2x}$ sur $I = \left]-\infty\,;\dfrac{5}{2}\right]$
3. c$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}$ sur $I = ]0\,;+\infty[$
4. d$f(x) = (\mathrm{e}^{x} + 1)^3$ sur $I = \mathbb{R}$
5. e$f(x) = \ln(4 - x)$ sur $I = ]-\infty\,;4[$
6. f$f(x) = \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ sur $I = ]0\,;+\infty[$

Ex. 38★★★Le maximum d'une exponentielle — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \mathrm{e}^{-x^2 + 2x + 3}$. On admet que $f(x)$ tend vers $0$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

1. aJustifie que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Calcule $f'(x)$ sous forme factorisée.
2. bÉtudie le signe de $f'(x)$ en précisant le facteur que tu écartes. Dresse ensuite le tableau de variations de $f$, avec les limites.
3. cLina affirme : « le maximum de $f$ vaut $4$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
4. dLis dans le tableau le nombre de solutions de $f(x) = 1$. Vérifie ensuite en résolvant l'équation.

Ex. 39★★★Racine d'un trinôme : domaine, variations, tangente — Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \sqrt{-x^2 + 4x + 5}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.

1. aÉtudie le signe de $-x^2 + 4x + 5$. Donne l'ensemble de définition de $f$, puis l'intervalle ouvert sur lequel $f$ est dérivable.
2. bPour tout $x$ de cet intervalle ouvert, calcule $f'(x)$ et simplifie.
3. cDresse le tableau de variations de $f$. Calcule les valeurs exactes aux bornes et le maximum.
4. dDétermine une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$.

Ex. 40★★★Logarithme d'un trinôme : domaine, maximum, solutions — Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \ln(6x - x^2)$. On admet que $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers les bornes de son ensemble de définition. On donne $\mathrm{e}^2 \approx 7{,}39$ et $\mathrm{e}^3 \approx 20{,}09$. Donne les résultats en valeur exacte.

1. aÉtudie le signe de $6x - x^2$ sur $\mathbb{R}$. Déduis-en l'ensemble de définition de $f$, puis justifie que $f$ est dérivable sur cet ensemble.
2. bCalcule $f'(x)$. Étudie son signe en disant quel facteur tu écartes, puis dresse le tableau de variations de $f$.
3. cMontre que $f(6 - x) = f(x)$ pour tout $x$ de $]0\,;6[$. Explique ce que cela traduit dans le tableau de variations.
4. dSans résoudre, détermine le nombre de solutions de $f(x) = 2$ puis celui de $f(x) = 3$ sur l'ensemble de définition de $f$.
5. eDétermine une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.

Ex. 41★★★Dérivée seconde : du signe de f″ au signe de f′ — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x} - x^2 - x$. On admet que $f(x)$ tend vers $-\infty$ en $-\infty$ et vers $+\infty$ en $+\infty$.

1. aJustifie que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Calcule $f'(x)$ puis $f''(x)$ pour tout réel $x$.
2. bÉtudie le signe de $f''(x)$. Dresse le tableau de variations de $f'$ en précisant la valeur de $f'(0)$.
3. cDéduis-en le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$, puis dresse le tableau de variations de $f$.
4. dTom affirme : « $f''(0) = 0$, donc $f$ admet un extremum en $0$. » A-t-il raison ? Justifie, puis donne une équation de la tangente à la courbe de $f$ en $0$.
5. eLis dans le tableau le nombre de solutions de $f(x) = 0$. Calcule $f(-2)$ et $f(-1)$, puis encadre chaque solution entre deux entiers.

Ex. 42★★★Modèle : le débit d'une rivière en crue — Pendant une crue, le débit d'une rivière, en m³/s, est modélisé par $D(t) = 20\,\mathrm{e}^{0{,}5t - 0{,}05t^2}$, où $t$ est le temps en jours, $t \in [0\,;10]$.

1. aÉcris $D(t) = 20 \times g(u(t))$ en précisant $g$ et $u$. Sans dériver, justifie le sens de variation de $D$ sur $[0\,;5]$ puis sur $[5\,;10]$.
2. bIlyes calcule $u(5) = 1{,}25$ et conclut : « le débit maximal vaut $20 \times 1{,}25 = 25$ m³/s ». A-t-il raison ? Donne le débit maximal exact, puis arrondi à l'unité.
3. cCalcule $D(0)$ et $D(10)$, puis dresse le tableau de variations de $D$ sur $[0\,;10]$.
4. dL'alerte crue dure tant que le débit dépasse $50$ m³/s. Résous $D(t) \geqslant 50$ sur $[0\,;10]$, puis donne la durée de l'alerte au dixième de jour.
5. eCalcule $D'(t)$ sous forme factorisée. Donne une équation de la tangente à la courbe de $D$ au point d'abscisse $0$, puis interprète $D'(0)$.

Ex. 43★★★Automatismes : extremum d’une composée — Chaque fonction est définie sur $\mathbb{R}$. Utilise les variations de la fonction $u$ intérieure. Donne l’abscisse de l’extremum, sa nature (maximum ou minimum) et sa valeur exacte.

1. a$f(x) = \mathrm{e}^{4x - x^2}$
2. b$f(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 10}$
3. c$f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 2x + 5}$
4. d$f(x) = \mathrm{e}^{x^2 - 2x + 3}$
5. e$f(x) = (x^2 - 4x + 7)^3$
6. f$f(x) = \ln(x^2 + 8x + 20)$

Ex. 44★★★Automatismes : tangentes — On rappelle que la tangente au point d’abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Donne les réponses en valeurs exactes.

1. aÉquation de la tangente à la courbe de $f(x) = \mathrm{e}^{2x - 4}$ au point d’abscisse $2$.
2. bÉquation de la tangente à la courbe de $f(x) = (x^2 - 3)^3$ au point d’abscisse $1$.
3. cÉquation de la tangente à la courbe de $f(x) = \frac{2}{x^2 + 1}$ au point d’abscisse $1$.
4. dÉquation de la tangente à la courbe de $f(x) = \ln(3x - 2)$, définie sur $]\frac{2}{3}\,;+\infty[$, au point d’abscisse $1$.
5. e$f(x) = \sqrt{2x + 1}$ sur $]-\frac{1}{2}\,;+\infty[$ : en quel point la tangente est-elle parallèle à la droite d’équation $y = \frac{1}{3}x$ ?
6. f$f(x) = \mathrm{e}^{3x - 1}$ : en quel point la tangente passe-t-elle par l’origine $O$ du repère ? Donne son équation.

Ex. 45★★★Concentration d’un antibiotique — On injecte un antibiotique à un patient. La concentration dans le sang, en mg/L, $t$ heures après l’injection, est $C(t) = 8t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ pour $t \in [0\,;10]$.

1. aMontre que, pour tout réel $t$ de $[0\,;10]$, $C'(t) = 4(2 - t)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$.
2. bÉtudie le signe de $C'(t)$, puis dresse le tableau de variations de $C$ sur $[0\,;10]$.
3. cDétermine l’instant où la concentration est maximale. Donne la concentration maximale en valeur exacte, puis arrondie à $0{,}01$ mg/L.
4. dCalcule $C'(0)$ et interprète ce résultat dans le contexte, avec son unité.

Ex. 46★★★Fonction auxiliaire et signe de f′ — Pour tout réel $x$, on pose $g(x) = \mathrm{e}^{2x} - 2x - 1$ et $f(x) = \frac{1}{2}\mathrm{e}^{2x} - x^2 - x$. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe de $f$.

1. aCalcule $g'(x)$ et étudie son signe sur $\mathbb{R}$.
2. bDresse le tableau de variations de $g$, puis déduis-en le signe de $g(x)$ pour tout réel $x$.
3. cCalcule $f'(x)$ et exprime-le à l’aide de $g(x)$.
4. dDéduis-en le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
5. eDonne une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $0$. Léa dit : « si $f$ est strictement croissante, alors $f'(x) > 0$ pour tout $x$ ». A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 47★★★Une famille de fonctions et un paramètre — Soit $k$ un réel strictement positif. Pour tout réel $x$, on pose $f_k(x) = (2x+1)\,\mathrm{e}^{-kx}$. On note $\mathcal{C}_k$ la courbe de $f_k$ et $A(3\,;-2)$.

1. aMontre que, pour tout réel $x$, $f_k'(x) = (2 - k - 2kx)\,\mathrm{e}^{-kx}$.
2. bDresse le tableau de variations de $f_k$ sur $\mathbb{R}$ (sans les limites). Calcule son maximum en valeur exacte, en fonction de $k$.
3. cDétermine une équation de la tangente à $\mathcal{C}_k$ au point d’abscisse $0$. Déduis-en la valeur de $k$ pour laquelle elle passe par $A$.
4. dPour cette valeur de $k$, donne le maximum de $f_k$ en valeur exacte, puis arrondi à $10^{-2}$.

Ex. 48★★★Dérivée seconde et tangente parallèle — Pour tout réel $x$ de $]0\,;+\infty[$, on pose $f(x) = \mathrm{e}^{2x-1} - \ln x$. On note $\mathcal{C}$ la courbe de $f$ et $D$ la droite d’équation $y = (2\mathrm{e} - 1)x + 4$.

1. aCalcule $f'(x)$ puis $f''(x)$ pour tout réel $x$ de $]0\,;+\infty[$.
2. bDéduis-en les variations de $f'$ sur $]0\,;+\infty[$. Calcule $f'\left(\frac{1}{2}\right)$ et donne le signe de $f'(x)$.
3. cDresse le tableau de variations de $f$. Donne son minimum en valeur exacte, puis arrondi à $10^{-2}$.
4. dMontre que $\mathcal{C}$ admet une seule tangente parallèle à $D$ et donnes-en une équation réduite.

Ex. 49★★★Le point de la piste le plus proche du refuge — Dans un repère orthonormé d’unité 1 km, une piste cyclable suit la courbe de $x \mapsto \sqrt{x}$ pour $x \geqslant 0$. Le refuge de Noé est au point $R(2\,;0)$. Pour $x \geqslant 0$, on note $M(x\,;\sqrt{x})$ un point de la piste et $d(x) = RM$.

1. aMontre que, pour tout réel $x \geqslant 0$, $d(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 4}$.
2. bJustifie que $d$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$, puis calcule $d'(x)$.
3. cDresse le tableau de variations de $d$ sur $[0\,;+\infty[$. Donne les coordonnées exactes du point $M_0$ de la piste le plus proche du refuge.
4. dInès affirme : « la distance minimale vaut $\frac{7}{4}$ km ». A-t-elle raison ? Justifie, puis donne cette distance au mètre près.