1re spécialité / Dérivation

Ex. 1★★★Dériver des polynômes terme à terme — Chaque fonction est un polynôme, donc dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, calcule sa dérivée.

Ex. 2★★★Puissances négatives, inverse et racine carrée — Chaque fonction est dérivable sur $]0\,;+\infty[$. Pour tout réel $x>0$, calcule sa dérivée. Réécris d'abord les quotients sous la forme $kx^n$.

Ex. 3★★★Nombre dérivé et tangentes — On considère la fonction $f$ définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=2\sqrt{x}+\frac{8}{x}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe.

1. aJustifie que $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, puis calcule $f'(x)$ pour tout réel $x>0$.
2. bCalcule $f'(1)$ et $f(1)$, puis donne l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
3. cCalcule $f'(4)$ et $f(4)$. Que peux-tu dire de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $4$ ? Donne son équation.
4. dMarius affirme : « Le nombre $f'(4)$ et la fonction $f'$, c'est la même chose. » A-t-il raison ? Justifie à l'aide des questions précédentes.

Ex. 4★★★Repérer et corriger l'erreur — Chaque élève a fait une erreur. Repère-la, explique-la, puis écris la bonne réponse.

1. aInès : « $(x^{-4})'=-4x^{-3}$ ».
2. bNoé : « Pour $x\neq0$, $\left(\frac{9}{x}\right)'=\frac{9}{x^2}$ ».
3. cSacha : « Pour $x\neq0$, $\left(\frac{2}{x^3}\right)'=\frac{2}{3x^2}$ ».
4. dJade : « La fonction $x\mapsto|x|$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée vaut $1$. »
5. eRayan : « $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour tout réel $x\geqslant0$. »

Ex. 5★★★Retrouver une fonction à partir de sa courbe — Soient $a$ et $b$ deux réels. On définit $f$ sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x)=a\sqrt{x}+\frac{b}{x}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe. On sait que $\mathcal{C}_f$ passe par le point $A(4\,;4)$ et que sa tangente en $A$ a pour coefficient directeur $2$.

1. aJustifie que $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, puis exprime $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$ pour tout réel $x>0$.
2. bTraduis les deux informations sur $A$ par deux équations d'inconnues $a$ et $b$, écrites sans fraction.
3. cRésous le système obtenu, puis donne l'expression de $f(x)$.
4. dAvec ces valeurs, calcule $f(16)$ et $f'(16)$, puis détermine une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $16$.

Ex. 6★★★Valeur absolue, racine carrée et dérivabilité — On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=|x|+2x$ et la fonction $k$ définie sur $[0\,;+\infty[$ par $k(x)=\sqrt{x}-3|x|+2\pi$.

1. aÉcris $g(x)$ sans valeur absolue, d'abord pour $x>0$, puis pour $x<0$.
2. bCalcule $g'(x)$ pour tout réel $x$ de $]0\,;+\infty[$, puis pour tout réel $x$ de $]-\infty\,;0[$.
3. cPour $h\neq 0$, calcule $\frac{g(h)-g(0)}{h}$ selon le signe de $h$. Explique pourquoi $g$ n'est pas dérivable en $0$.
4. dSimplifie $k(x)$ sur $[0\,;+\infty[$. Sur quel intervalle $k$ est-elle dérivable ? Justifie, puis calcule $k'(x)$.
5. eDétermine le réel $a>0$ tel que la tangente à la courbe de $k$ au point d'abscisse $a$ soit horizontale, puis calcule $k(a)$.

Ex. 7★★★Minimiser un coût moyen — Un atelier fabrique entre $100$ et $2\,000$ lampes par jour. Pour $x$ centaines de lampes, avec $x\in[1\,;20]$, le coût moyen de fabrication d'une lampe, en euros, est $CM(x)=\frac{x}{2}+3+\frac{32}{x}$.

1. aJustifie que $CM$ est dérivable sur $[1\,;20]$. Calcule $CM'(x)$ et écris-le sous la forme d'un seul quotient.
2. bÉtudie le signe de $CM'(x)$ sur $[1\,;20]$.
3. cDresse le tableau de variations de $CM$ sur $[1\,;20]$, en indiquant les valeurs aux bornes et à l'extremum.
4. dCombien de lampes l'atelier doit-il fabriquer pour que le coût moyen soit minimal ? Quel est ce coût minimal ?
5. eDéduis-en que pour tout réel $x$ de $[1\,;20]$, on a $\frac{x}{2}+\frac{32}{x}\geqslant 8$.

Ex. 8★★★Dériver des produits en ligne — Les fonctions sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. Calcule $f'(x)$ en écrivant $u$, $u'$, $v$, $v'$ à part. N'utilise la formule du produit que si elle est utile.

1. a$f(x)=(3x-1)(x+4)$
2. b$f(x)=x^2(5-x)$
3. c$f(x)=-7x^3$
4. d$f(x)=(x^3+2)(4x-1)$
5. e$f(x)=(2x+3)(2x-3)$ : développe d'abord, puis dérive.
6. f$f(x)=(1-x)(x^2+x+1)$ : dérive avec la formule du produit, puis vérifie en développant $f(x)$.
7. g$f(x)=x(x+1)(x-2)$ : regroupe $u(x)=x(x+1)$ et $v(x)=x-2$.

Ex. 9★★★Produits avec une racine carrée — Chaque fonction est définie sur $[0\,;+\infty[$. Donne l'intervalle sur lequel $f$ est dérivable, puis calcule $f'(x)$ sous la forme d'un seul quotient de dénominateur $2\sqrt{x}$.

Ex. 10★★★Démonstration et erreur de Léna — Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, $a\in I$ et $h\neq 0$ tel que $a+h\in I$. Léna affirme : « $(uv)'=u'v'$. Par exemple, $(x^2\times x^2)'=2x\times 2x=4x^2$. »

1. aEn ajoutant et en retranchant $u(a)v(a+h)$, complète : $\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}=\frac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a+h)+u(a)\times\dots$
2. bQuand $h$ tend vers $0$, vers quoi tend chaque morceau ? Conclus sur $(uv)'$.
3. cCalcule $(x^2\times x^2)'$ avec la formule du produit, puis $(x^4)'$ avec la formule de $(x^n)'$.
4. dLéna a-t-elle raison ? Justifie en comparant les valeurs en $x=2$.

Ex. 11★★★Du produit au tableau de variations — $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-9)(x+3)$.

1. aJustifie que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, puis calcule $f'(x)$ avec la formule du produit.
2. bContrôle ton résultat : développe $f(x)$, puis dérive.
3. cFactorise $f'(x)$.
4. dÉtudie le signe de $f'(x)$, puis dresse le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
5. eJustifie que $f$ admet un minimum local et donne sa valeur.

Ex. 12★★★La boîte de Noé — Noé a une feuille de carton de $16$ cm sur $10$ cm. Il découpe un carré de côté $x$ cm à chaque coin, puis il relève les bords pour obtenir une boîte sans couvercle. On note $V(x)$ le volume de la boîte, en cm³.

1. aExplique pourquoi $x\in[0\,;5]$, puis montre que $V(x)=4x(8-x)(5-x)$.
2. bOn pose $u(x)=x$ et $v(x)=(8-x)(5-x)$. Écris $u'$ et $v'$ à part (calcule $v'$ avec la formule du produit), puis calcule $V'(x)$ sans appliquer la formule au facteur $4$.
3. cDéveloppe $V(x)$, puis dérive la forme développée pour vérifier ton résultat.
4. dFactorise $V'(x)$ à l'aide du discriminant. Étudie son signe sur $[0\,;5]$, puis dresse le tableau de variations de $V$ sur $[0\,;5]$.
5. eQuelle valeur de $x$ Noé doit-il choisir pour que le volume soit maximal ? Donne les dimensions de la boîte et son volume maximal.

Ex. 13★★★Une courbe au-dessus de sa tangente — $f$ est la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x)=(x-3)\sqrt{x}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe et $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $4$.

1. aJustifie que $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, puis calcule $f'(x)$ sous la forme d'un seul quotient de dénominateur $2\sqrt{x}$.
2. bDresse le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;9]$, puis donne le minimum de $f$ sur cet intervalle.
3. cDétermine une équation de $T$.
4. dPour $x\geqslant0$, on note $d(x)$ la différence entre $f(x)$ et l'ordonnée du point de $T$ d'abscisse $x$. Montre que, pour $x>0$, $d'(x)=\frac{3(2\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}{4\sqrt{x}}$.
5. eDéduis-en les variations de $d$ sur $]0\,;+\infty[$ puis la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ sur $[0\,;+\infty[$.

Ex. 14★★★Tangente horizontale sans extremum — $m$ est un nombre réel. $f_m$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_m(x)=(x^2+m)(x-3)$. Pour dériver un produit, Jules multiplie les dérivées des deux facteurs.

1. aJules obtient $f_m'(x)=2x\times1=2x$. Calcule $f_m'(x)$ en écrivant $u$, $u'$, $v$, $v'$ à part. Jules a-t-il raison ? Justifie.
2. bDétermine la valeur de $m$ pour laquelle $\mathcal{C}_{f_m}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $1$.
3. cPour cette valeur de $m$, Ambre affirme : « $f_m$ admet un extremum local en $1$ ». Vrai ou faux ? Justifie.
4. dDétermine les valeurs de $m$ pour lesquelles $f_m$ admet deux extremums locaux. Justifie.

Ex. 15★★★Automatismes : inverse, constante sur v, ou pas de quotient du tout — Chaque fonction est dérivable sur l'intervalle indiqué. Calcule $f'(x)$ en choisissant la méthode la plus courte. Attention : il n'y a pas toujours de quotient à dériver.

1. a$f(x)=\dfrac{1}{3x-4}$ sur $]\frac{4}{3}\,;+\infty[$.
2. b$f(x)=\dfrac{5}{x^2+7}$ sur $\mathbb{R}$.
3. c$f(x)=\dfrac{2x^2-3x}{4}$ sur $\mathbb{R}$.
4. d$f(x)=\dfrac{-2}{x^3+1}$ sur $]-1\,;+\infty[$.
5. e$f(x)=\dfrac{x^2+5x}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$.
6. f$f(x)=\dfrac{1}{2-x}$ sur $]-\infty\,;2[$.

Ex. 16★★★Automatismes : dériver un quotient — Chaque fonction est dérivable sur l'intervalle indiqué. Calcule $f'(x)$ : écris le numérateur réduit et laisse le dénominateur sous la forme $v^2$.

1. a$f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ sur $]3\,;+\infty[$.
2. b$f(x)=\dfrac{4-x}{2x+5}$ sur $]-\frac{5}{2}\,;+\infty[$.
3. c$f(x)=\dfrac{x^2-2}{x+4}$ sur $]-4\,;+\infty[$.
4. d$f(x)=\dfrac{3x}{x^2+2}$ sur $\mathbb{R}$.
5. e$f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$ sur $]0\,;+\infty[$.

Ex. 17★★★Quatre copies à corriger — Des élèves dérivent des fonctions sur un intervalle où le dénominateur ne s'annule pas. Pour chaque copie, réponds : l'élève a-t-il raison ? Justifie, puis donne la bonne dérivée.

1. aInès : pour $f(x)=\frac{x^2+4}{3x-1}$ sur $]\frac{1}{3}\,;+\infty[$, elle écrit $f'(x)=\frac{2x}{3}$.
2. bMalo : pour $g(x)=\frac{5x-1}{x+6}$ sur $]-6\,;+\infty[$, il écrit $g'(x)=\frac{(5x-1)\times 1-5(x+6)}{(x+6)^2}=\frac{-31}{(x+6)^2}$.
3. cLéna : pour $h(x)=\frac{2x+1}{x^2+3}$ sur $\mathbb{R}$, elle écrit $h'(x)=\frac{2x^2+6-4x^2+2x}{x^2+3}$.
4. dYanis : pour $p(x)=\frac{4}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$, il écrit $p'(x)=-\frac{4}{(x^2+1)^2}$.

Ex. 18★★★Trinôme au dénominateur : où dériver ? — On pose $f(x)=\frac{2x-1}{x^2-4x+3}$ et $g(x)=\frac{x+1}{x^2+2x+5}$. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe de $f$.

1. aÀ l'aide du discriminant, détermine les valeurs interdites de $f$. Donne les intervalles sur lesquels $f$ est dérivable.
2. bJustifie que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, puis calcule $g'(x)$ avec un numérateur réduit.
3. cSans développer le dénominateur, étudie le signe de $g'(x)$ à l'aide du discriminant. Déduis-en les variations de $g$ sur $\mathbb{R}$ et ses extremums locaux.
4. dCalcule $f'(x)$ sur chacun des intervalles trouvés à la première question.
5. eDétermine une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.

Ex. 19★★★Coût moyen d'un atelier de céramique — Un atelier fabrique $x$ centaines de bols par jour, avec $x\in[1\,;20]$. Le coût total, en centaines d'euros, est $C(x)=\frac{x^2+6x+64}{2}$. Le coût moyen d'un bol, en euros, est $C_M(x)=\frac{C(x)}{x}$.

1. aTom affirme : « $C$ est un quotient, il faut la formule de $\left(\frac{u}{v}\right)'$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis calcule $C'(x)$.
2. bLéa écrit : « $C_M'(x)=\frac{C'(x)}{1}$ car la dérivée de $x$ est 1 ». A-t-elle raison ? Justifie, puis calcule $C_M'(x)$ avec la formule du quotient.
3. cÉcris $C_M(x)$ comme une somme de trois termes, puis retrouve $C_M'(x)$ sans la formule du quotient.
4. dÉtudie le signe de $C_M'(x)$, puis dresse le tableau de variations de $C_M$ sur $[1\,;20]$.
5. eQuelle production minimise le coût moyen ? Montre que pour cette production, le coût moyen est égal au coût marginal $C'(x)$.

Ex. 20★★★Fonction homographique et tangente — On pose $f(x)=\frac{4x-1}{x+2}$ sur $I=]-2\,;+\infty[$, et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe. Plus généralement, pour des réels $a$, $b$, $c$, $d$ avec $c\neq 0$, on pose $g(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ sur un intervalle où $cx+d\neq 0$.

1. aDémontre que $g'(x)=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}$. Où dois-tu placer des parenthèses en développant le numérateur ?
2. bDéduis-en $f'(x)$, puis le sens de variation de $f$ sur $I$. Nina trouve $f'(x)=\frac{-9}{(x+2)^2}$ : explique son erreur.
3. cDétermine une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.
4. dPour $x$ dans $I$, on note $d(x)$ la différence entre $f(x)$ et l'ordonnée du point de $T$ d'abscisse $x$. Écris $d(x)$ comme un seul quotient au numérateur factorisé. Déduis-en la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$.
5. eDétermine les points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est parallèle à la droite d'équation $y=0{,}25x+7$.

Ex. 21★★★Concentration d'un médicament : deux modèles — Après la prise d'un médicament, sa concentration dans le sang, en mg/L, est modélisée par $C(t)=\frac{30t}{t^2+9}$, où $t\in[0\,;10]$ est le temps en heures. Le médicament est efficace quand sa concentration est d'au moins 3 mg/L.

1. aJustifie que $C$ est dérivable sur $[0\,;10]$, puis calcule $C'(t)$ avec un numérateur factorisé.
2. bRayan développe le dénominateur de $C'(t)$. Explique pourquoi c'est inutile, puis dresse le tableau de variations de $C$ sur $[0\,;10]$.
3. cPendant combien de temps le médicament est-il efficace ? Justifie par un calcul.
4. dUn second modèle donne $D(t)=\frac{40}{t^2-2t+10}$. Justifie avec le discriminant que $D$ est dérivable sur $[0\,;10]$, puis calcule $D'(t)$ sans utiliser la formule du quotient.
5. eLequel des deux modèles donne le pic de concentration le plus élevé ? Justifie par l'étude des variations de $D$ sur $[0\,;10]$.

Ex. 22★★★Du signe de f′ au sens de variation — Dans chaque cas, $f$ est dérivable sur l'intervalle indiqué et on donne $f'(x)$ ou son signe. Étudie le signe de $f'(x)$, puis donne le sens de variation de $f$.

1. a$f'(x) = 7 - 2x$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$f'(x) = \dfrac{-5}{(x+1)^2}$ sur $]-1\,;+\infty[$.
3. c$f'(x) = -2(x+4)(x-6)$ sur $\mathbb{R}$.
4. d$f'(x) = \dfrac{x-3}{2\sqrt{x}}$ sur $]0\,;+\infty[$.
5. eLe signe de $f'(x)$ sur $[-4\,;5]$ est donné par le tableau :

   x	−4		1		5
   f'(x)		+	0	+

6. f$f'(x) = 0$ pour tout réel $x$ de $[-2\,;5]$.

Ex. 23★★★Dériver, factoriser, trouver où f′ s'annule — Chaque fonction est dérivable sur l'intervalle indiqué. Calcule $f'(x)$, factorise-le, puis donne les réels de l'intervalle où $f'(x)$ s'annule.

1. a$f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 7$ sur $\mathbb{R}$.
3. c$f(x) = x^4 - 8x^2$ sur $\mathbb{R}$.
4. d$f(x) = x + \dfrac{9}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$.
5. e$f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}$ sur $]1\,;+\infty[$.
6. f$f(x) = (x-6)\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$.

Ex. 24★★★Vrai ou faux sur le théorème des variations — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par une preuve ou par un contre-exemple.

1. aPour $g(x) = x - \frac{4}{x}$, on a $g'(x) > 0$ pour tout $x \neq 0$, donc $g$ est croissante sur $]-\infty\,;0[ \cup ]0\,;+\infty[$.
2. bLa fonction $f$ définie par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc $f'(x) > 0$ pour tout réel $x$.
3. cLa fonction $h(x) = x^2 - 4$ est négative sur $[0\,;2]$, donc $h$ est décroissante sur $[0\,;2]$.
4. dLa fonction $k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x) = (x+2)(x-5) - x^2 + 3x$ est constante sur $\mathbb{R}$.

Ex. 25★★★Étude complète sur un segment — On considère la fonction $f$ définie sur $[-5\,;0]$ par $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 2$.

1. aJustifie que $f$ est dérivable sur $[-5\,;0]$ et calcule $f'(x)$.
2. bÀ l'aide du discriminant, étudie le signe de $f'(x)$ sur $[-5\,;0]$.
3. cDresse le tableau de variations de $f$ sur $[-5\,;0]$, avec les images.
4. dDonne le maximum et le minimum de $f$ sur $[-5\,;0]$, et précise où ils sont atteints.

Ex. 26★★★Un quotient sur une réunion d'intervalles — Soit $f$ la fonction définie sur $D = ]-\infty\,;2[\,\cup\,]2\,;+\infty[$ par $f(x) = \frac{x^2 + 5}{x - 2}$.

1. aJustifie que $f$ est dérivable sur $]-\infty\,;2[$ et sur $]2\,;+\infty[$, puis calcule $f'(x)$ avec un numérateur factorisé.
2. bÉtudie le signe de $f'(x)$ sur $D$ en justifiant le rôle du dénominateur.
3. cDresse le tableau de variations de $f$, avec les images aux points où $f'$ s'annule
   (sans limites).
4. dLéo affirme : « $f$ est décroissante sur $[-1\,;2[\,\cup\,]2\,;5]$. » Cette affirmation est-elle exacte ? Justifie par un calcul.
5. eMaëlle compare les extremums locaux de $f$ et pense s'être trompée. Que constate-t-on ? Explique pourquoi ce n'est pas une erreur.

Ex. 27★★★Un paramètre pour une fonction croissante — Pour tout réel $m$, on note $f_m$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_m(x) = x^3 + mx^2 + 3x - 1$.

1. aJustifie que $f_m$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Calcule $f_m'(x)$, puis le discriminant $\Delta$ de ce trinôme en fonction de $m$, sous forme factorisée.
2. bOn prend $m = -5$. Étudie le signe de $f_{-5}'(x)$, puis dresse le tableau de variations de $f_{-5}$ avec les valeurs exactes des extremums locaux.
3. cOn prend $m = 3$. Noé affirme : « $f_3'(-1) = 0$, donc $f_3$ n'est pas strictement croissante sur $\mathbb{R}$. » Cette affirmation est-elle exacte ? Justifie.
4. dDétermine tous les réels $m$ pour lesquels $f_m$ est croissante sur $\mathbb{R}$. Justifie les deux sens de l'équivalence.

Ex. 28★★★Une dérivée qui s'annule sans changer de signe — Soit $f$ la fonction définie sur $[-3\,;4]$ par $f(x) = x^4 - 4x^3 + 16x$.

1. aJustifie que $f$ est dérivable sur $[-3\,;4]$, calcule $f'(x)$ et montre que $f'(x) = 4(x+1)(x-2)^2$.
2. bSans développer, étudie le signe de $f'(x)$ sur $[-3\,;4]$.
3. cSami affirme : « $f'(2) = 0$, donc $f$ admet un extremum local en $2$. » Cette affirmation est-elle exacte ? Justifie.
4. dDresse le tableau de variations de $f$, puis donne le minimum et le maximum de $f$ sur $[-3\,;4]$.
5. eClara affirme : « $f'(x) \leqslant 0$ sur $[-3\,;-1]$, donc $f(x) \leqslant 0$ sur $[-3\,;-1]$. » Cette affirmation est-elle exacte ? Justifie.

Ex. 29★★★Lire le signe de f′ autour de a — Dans chaque cas, $f$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ dont on donne la dérivée. Dis si $f$ admet un extremum local au point indiqué, puis précise s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum. Justifie par le signe de $f'$.

1. a$f'(x) = 4x - 12$ : $f$ admet-elle un extremum local en $3$ ?
2. b$f'(x) = -2x + 5$ : $f$ admet-elle un extremum local en $\frac{5}{2}$ ?
3. c$f'(x) = 3(x+1)^2$ : $f$ admet-elle un extremum local en $-1$ ?
4. d$f'(x) = x(x-4)$ : $f$ admet-elle un extremum local en $4$ ?
5. e$f'(x) = -x^2 + 9$ : $f$ admet-elle un extremum local en $-3$ ?
6. f$f'(x) = x^2 + 1$ : $f$ admet-elle un extremum local en $0$ ?

Ex. 30★★★Valeur de l'extremum et abscisse — Pour chaque fonction, sur l'intervalle donné : résous $f'(x) = 0$, dis si l'extremum local est un maximum ou un minimum, puis donne sa valeur et l'abscisse où il est atteint.

1. a$f(x) = x^2 - 6x + 11$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$f(x) = -2x^2 + 8x - 1$ sur $\mathbb{R}$.
3. c$f(x) = x^3 + 3x^2 - 45x$ sur $]0\,;+\infty[$.
4. d$f(x) = 12x - x^3$ sur $]0\,;+\infty[$.
5. e$f(x) = x - 2\sqrt{x}$ sur $]0\,;+\infty[$.
6. f$f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ sur $]0\,;+\infty[$.

Ex. 31★★★Maximum local ou maximum sur le segment ? — $f$ est définie sur $[-2\,;6]$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$.

1. aCalcule $f'(x)$, puis étudie son signe sur $[-2\,;6]$.
2. bDresse le tableau de variations de $f$ sur $[-2\,;6]$, avec les valeurs exactes.
3. cInès affirme : « Le maximum de $f$ sur $[-2\,;6]$ est atteint là où $f'$ s'annule en passant de $+$ à $-$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dDonne le minimum de $f$ sur $[-2\,;6]$ et l'abscisse où il est atteint, puis une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ en ce point.

Ex. 32★★★Placer le minimum avec un paramètre — $k$ est un réel strictement positif. $f$ est définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = \frac{x^2 + k}{x}$.

1. aCalcule $f'(x)$ et écris-la sous la forme d'un seul quotient.
2. bDétermine $k$ pour que $f$ admette un extremum en $x = 3$. Précise sa nature et sa valeur.
3. cDans cette question, $k = 7$. Yanis affirme : « Le minimum de $f$ est $\sqrt{7}$. » A-t-il raison ? Justifie, puis donne le minimum exact et son arrondi à $0{,}01$.
4. dAvec $k = 7$, détermine le maximum de $f$ sur $[1\,;7]$ et la ou les abscisses où il est atteint.

Ex. 33★★★Une tangente horizontale sans extremum — $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$.

1. aCalcule $f'(x)$, puis factorise-la.
2. bÉtudie le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis dresse le tableau de variations de $f$ avec les valeurs exactes.
3. cLina affirme : « $f'(0) = 0$, donc $f$ admet un extremum en $0$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dDonne le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ et l'abscisse où il est atteint.
5. eDéduis-en que, pour tout réel $x$, $x^4 + 27 \geqslant 4x^3$. Pour quelle valeur de $x$ a-t-on l'égalité ?

Ex. 34★★★Retrouver une fonction grâce à sa tangente horizontale — $a$ et $b$ sont deux réels. $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$. Sa courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point $A(2\,;-3)$ et admet en $A$ une tangente horizontale.

1. aCalcule $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
2. bTraduis les deux informations sur $A$ par deux équations, puis résous le système pour trouver $a$ et $b$.
3. cAvec ces valeurs, étudie le signe de $f'(x)$ et dresse le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. dJustifie que $f$ admet un maximum local, puis donne sa valeur et l'abscisse où il est atteint.
5. eHugo affirme : « La tangente en $A$ est horizontale, donc $-3$ est le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 35★★★Concentration d'un médicament — Maëlle prend un médicament. La concentration dans son sang, en mg/L, $t$ heures après la prise, est $C(t) = \frac{12t}{t^2 + 3}$ pour $t \in [0\,;5]$.

1. aJustifie que $C$ est dérivable sur $[0\,;5]$, calcule $C'(t)$, puis factorise son numérateur.
2. bÉtudie le signe de $C'(t)$ sur $[0\,;5]$, puis dresse le tableau de variations de $C$ avec les valeurs exactes.
3. cDonne la concentration maximale, exacte puis au centième, et l'instant où elle est atteinte, en h et min.
4. dLe médicament est efficace quand $C(t) \geqslant 3$. Pendant combien de temps est-il efficace ?

Ex. 36★★★Mettre un problème en équation — Pour chaque situation, donne l'intervalle de $x$ imposé par la situation (s'il n'est pas donné). Exprime ensuite la grandeur demandée en fonction de $x$ seul.

1. aUn rectangle a pour périmètre $20$ cm et un côté de $x$ cm. Exprime son aire $A(x)$.
2. bUn rectangle a pour aire $50$ m² et un côté de $x$ m. Exprime son périmètre $P(x)$.
3. cDans une plaque de $40$ cm sur $24$ cm, on découpe aux coins quatre carrés de côté $x$ cm. On obtient une boîte sans couvercle. Exprime son volume $V(x)$.
4. dUne boîte fermée, à base carrée de côté $x$ dm, a un volume de $27$ dm³. Exprime l'aire totale $S(x)$ de ses six faces.
5. eProduire $x$ objets ($1\leqslant x\leqslant 30$) coûte $C(x)=x^2+6x+49$ euros. Exprime le coût moyen $C_M(x)$ d'un objet.
6. fUn objet se vend $40$ euros. Produire $x$ objets ($0\leqslant x\leqslant 15$) coûte $C(x)=x^3-12x^2+60x+20$ euros. Exprime le bénéfice $B(x)$.

Ex. 37★★★La racine est-elle dans l'intervalle ? — Dans chaque cas, on donne la dérivée d'une grandeur sur l'intervalle imposé par la situation. Étudie son signe, puis réponds à la question.

1. a$A'(x)=12-2x$ sur $[0\,;10]$. Pour quelle valeur de $x$ l'aire $A$ est-elle maximale ?
2. b$A'(x)=12-2x$ sur $[0\,;4]$. Pour quelle valeur de $x$ l'aire $A$ est-elle maximale ?
3. c$P'(x)=\frac{2(x-3)(x+3)}{x^2}$ sur $]0\,;+\infty[$. Pour quelle valeur de $x$ le périmètre $P$ est-il minimal ?
4. d$C_M'(x)=1-\frac{64}{x^2}$ sur $[10\,;40]$. Pour combien d'objets le coût moyen est-il minimal ?
5. e$V'(x)=12(x-2)(x-6)$ sur $]0\,;6[$. Pour quelle valeur de $x$ le volume $V$ est-il maximal ?
6. f$B'(x)=-3x^2+30x-48$ sur $[5\,;10]$. Pour quelle valeur de $x$ le bénéfice $B$ est-il maximal ?

Ex. 38★★★La boîte de Lina — Lina a une plaque carrée de carton de $30$ cm de côté. Elle découpe aux quatre coins un carré de côté $x$ cm. Elle relève ensuite les bords pour obtenir une boîte sans couvercle.

1. aDonne l'intervalle des valeurs possibles de $x$, puis exprime le volume $V(x)$ de la boîte (en cm³) sous forme développée.
2. bCalcule $V'(x)$, puis factorise-le.
3. cDresse le tableau de variations de $V$ sur l'intervalle de la question 1.
4. dQuelles dimensions Lina doit-elle donner à sa boîte pour que son volume soit maximal ? Donne ce volume en litres.

Ex. 39★★★L'enclos de Noé — Noé veut construire, le long d'un mur, un enclos rectangulaire de $150$ m² pour ses chèvres. Il ne pose de clôture que sur les trois autres côtés. On note $x$ (en m) la longueur de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. aExprime la longueur de clôture $L(x)$ en fonction de $x$ seul, pour $x\in\,]0\,;+\infty[$.
2. bCalcule $L'(x)$, puis étudie son signe sur $]0\,;+\infty[$.
3. cQuelle longueur minimale de clôture faut-il à Noé ? Donne la valeur exacte, puis un arrondi au cm.
4. dLe mur ne mesure en fait que $15$ m. Justifie que $x\geqslant 10$, puis trouve la nouvelle longueur minimale de clôture.

Ex. 40★★★L'atelier de Salomé — L'atelier de Salomé fabrique entre $100$ et $1\,000$ casques de ski par mois. On note $x$ le nombre de centaines de casques fabriqués, avec $x\in[1\,;10]$. Le coût de production, en milliers d'euros, est $C(x)=x^3-6x^2+15x+32$. Le coût moyen d'une centaine est $C_M(x)=\frac{C(x)}{x}$, en milliers d'euros.

1. aÉcris $C_M(x)$ comme une somme de termes simples. Montre ensuite que, pour tout réel $x$ de $[1\,;10]$, $C_M'(x)=\frac{2(x^3-3x^2-16)}{x^2}$.
2. bVérifie que $x^3-3x^2-16=(x-4)(x^2+x+4)$. Déduis-en le signe de $C_M'(x)$, puis dresse le tableau de variations de $C_M$ sur $[1\,;10]$.
3. cCombien de casques Salomé doit-elle fabriquer pour que le coût moyen soit minimal ? Donne ce coût moyen minimal en euros par casque.
4. dChaque centaine de casques est vendue $27$ milliers d'euros. Exprime le bénéfice $B(x)$ (recette moins coût), puis étudie le signe de $B'(x)$ sur $[1\,;10]$.
5. eCombien de casques Salomé doit-elle fabriquer pour que son bénéfice soit maximal ? Donne la valeur exacte de $x$, puis le nombre de casques et le bénéfice maximal arrondis.

Ex. 41★★★La porte sous l'arche — Dans un repère en mètres, le bord d'une arche est la courbe de $f(x)=4-x^2$, pour $x\in[-2\,;2]$, posée sur l'axe des abscisses. Lucas veut y placer une porte rectangulaire de sommets $(-x\,;0)$, $(x\,;0)$, $(x\,;f(x))$ et $(-x\,;f(x))$, avec $x>0$.

1. aJustifie que $x\in\,]0\,;2[$, puis exprime l'aire $A(x)$ de la porte en fonction de $x$ seul.
2. bOn prolonge $A$ à $[0\,;2]$. Étudie le signe de $A'(x)$, puis dresse le tableau de variations de $A$ sur $[0\,;2]$.
3. cDonne la largeur et la hauteur de la porte d'aire maximale (valeurs exactes, puis arrondies au cm), ainsi que cette aire maximale.
4. dLe règlement impose une largeur d'au moins $2{,}6$ m. Lucas affirme qu'il peut encore poser une porte d'au moins $6$ m². A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 42★★★Le bac à semis de Yanis — Yanis fabrique en carton un bac sans couvercle, à base carrée, d'un volume de $4$ L, soit $4\,000$ cm³. On note $x$ le côté de la base et $h$ la hauteur, en cm. Il cherche à utiliser le moins de carton possible : on note $S$ l'aire du fond et des quatre faces latérales.

1. aExprime $h$ en fonction de $x$. Montre ensuite que, pour tout réel $x$ de $]0\,;+\infty[$, $S(x)=x^2+\frac{16\,000}{x}$.
2. bCalcule $S'(x)$ et écris-le comme un seul quotient. Vérifie ensuite que $x^3-8\,000=(x-20)(x^2+20x+400)$.
3. cÉtudie le signe de $S'(x)$, puis dresse le tableau de variations de $S$ sur $]0\,;+\infty[$.
4. dDonne les dimensions du bac (côté et hauteur) qui demande le moins de carton, ainsi que l'aire de carton utilisée.
5. eLe bac doit glisser sous une étagère : sa hauteur ne doit pas dépasser $8$ cm. Quelles dimensions Yanis doit-il choisir ? Donne l'aire de carton, exacte puis arrondie.

Ex. 43★★★Position de deux courbes par factorisation — Pour chaque cas, forme $d(x)=f(x)-g(x)$ et factorise-la. Donne ensuite la position de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur l'intervalle indiqué, ainsi que les abscisses de leurs points communs.

1. a$f(x)=x^2+25$ et $g(x)=10x$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$f(x)=x^2+3x$ et $g(x)=x+3$ sur $\mathbb{R}$.
3. c$f(x)=x^3$ et $g(x)=x^2$ sur $\mathbb{R}$.
4. d$f(x)=x^3$ et $g(x)=4x$ sur $[0\,;+\infty[$.
5. e$f(x)=x^2+1$ et $g(x)=2x^2-3$ sur $\mathbb{R}$.

Ex. 44★★★Courbe et tangente : qui est au-dessus ? — Pour chaque cas, écris l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$. Forme ensuite $d(x)=f(x)-y_T$, factorise-la et conclus sur la position de $\mathcal{C}_f$ et de $T$.

1. a$f(x)=x^2-x$ sur $\mathbb{R}$ et $a=-1$.
2. b$f(x)=\dfrac{1}{x}$ sur $]0\,;+\infty[$ et $a=2$.
3. c$f(x)=x^4$ sur $\mathbb{R}$ et $a=1$ (tu peux développer $(x-1)^2(x^2+2x+3)$).
4. d$f(x)=-x^2+4x+1$ sur $\mathbb{R}$ et $a=0$.

Ex. 45★★★Une inégalité prouvée par les variations — Soit $f(x)=x^3+5$ et $g(x)=3x^2$, définies sur $\mathbb{R}$. On veut comparer $f(x)$ et $g(x)$ sur $[0\,;+\infty[$.

1. aForme $d(x)=f(x)-g(x)$, puis calcule $d'(x)$ et factorise-la.
2. bÉtudie le signe de $d'(x)$ sur $[0\,;+\infty[$ et dresse le tableau de variations de $d$ sur cet intervalle.
3. cDéduis-en que pour tout réel $x$ de $[0\,;+\infty[$, $x^3+5>3x^2$. Que dire de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ ?
4. dNoé affirme : « $d'(x)\leqslant 0$ sur $[0\,;2]$, donc $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $[0\,;2]$. » Cette affirmation est-elle juste ? Justifie.
5. eCalcule $d(-2)$. L'inégalité $x^3+5\geqslant 3x^2$ est-elle vraie pour tout réel $x$ ? Justifie.

Ex. 46★★★Vrai ou faux sur les inégalités — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par un calcul, une factorisation ou un contre-exemple.

1. aPour tout réel $x$ de $[0\,;+\infty[$, $x\geqslant\sqrt{x}$.
2. bPour tout réel $x$ de $[1\,;+\infty[$, $\frac{1}{x^2}\leqslant\frac{1}{x}$.
3. cLes courbes de $f(x)=x^3+x$ et $g(x)=2x^2$ ont un seul point commun.
4. dLa courbe de $f(x)=x^3$ est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $0$ sur $\mathbb{R}$.

Ex. 47★★★La racine carrée sous sa tangente — Soit $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[0\,;+\infty[$, de courbe $\mathcal{C}_f$. On admet que $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et qu'une fonction croissante (ou décroissante) sur $]0\,;4[$ l'est encore sur $[0\,;4]$.

1. aDétermine une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $4$.
2. bOn pose $d(x)=f(x)-y_T$ sur $[0\,;+\infty[$. Calcule $d'(x)$ pour $x>0$ et écris-la sous la forme d'un seul quotient.
3. cÉtudie le signe de $d'(x)$, dresse le tableau de variations de $d$ sur $[0\,;+\infty[$, puis donne la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$.
4. dNora affirme : « $d'$ est négative sur $[4\,;+\infty[$, donc $\mathcal{C}_f$ est sous $T$ seulement sur $[4\,;+\infty[$. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eDéduis-en que, pour tout réel $x$ de $[0\,;+\infty[$, $x+4\geqslant 4\sqrt{x}$. Pour quelle valeur de $x$ a-t-on l'égalité ?

Ex. 48★★★Une inégalité vraie seulement sur un intervalle — Soit $f(x)=x^3$ et $g(x)=3x-2$, définies sur $\mathbb{R}$, de courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. On pose $d(x)=f(x)-g(x)$.

1. aExprime $d(x)$, calcule $d'(x)$, factorise-la, puis dresse le tableau de variations de $d$ sur $\mathbb{R}$
   (sans limites).
2. bDémontre que, pour tout réel $x$ de $[0\,;+\infty[$, $x^3\geqslant 3x-2$. Précise le cas d'égalité.
3. cVérifie que $d(x)=(x+2)(x-1)^2$, puis donne la position de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $\mathbb{R}$.
4. dDonne les coordonnées des points communs à $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
5. eLina affirme : « $x^3\geqslant 3x-2$ pour tout réel $x$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 49★★★L'inverse face à une droite et une parabole — Soit $f(x)=\frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$, de courbe $\mathcal{C}_f$, la droite $D : y=x$ et $g(x)=1-\frac{x^2}{2}$ définie sur $\mathbb{R}$, de courbe $\mathcal{C}_g$.

1. aSur $]0\,;+\infty[$, écris $\frac{1}{x}-x$ sous la forme d'un seul quotient factorisé, puis donne la position de $\mathcal{C}_f$ et $D$ et leur point commun.
2. bSur $]-\infty\,;0[$, Tom écrit : « $\frac{1}{x}\geqslant x \iff 1\geqslant x^2 \iff -1\leqslant x<0$. » Trouve son erreur et corrige-la.
3. cOn pose $h(x)=f(x)-g(x)$ sur $]0\,;+\infty[$. Calcule $h'(x)$ et écris-la sous la forme d'un seul quotient.
4. dFactorise le numérateur de $h'(x)$ par $x-1$, puis utilise le discriminant pour étudier le signe de $h'(x)$ sur $]0\,;+\infty[$.
5. eDresse le tableau de variations de $h$ sur $]0\,;+\infty[$ (sans limites) et conclus sur la position de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.