Terminale spécialité / Dénombrement

Ex. 1★★★k-uplets et produits cartésiens — On note $E=\{a\,;b\,;c\,;d\,;e\}$ et $F=\{0\,;1\,;2\}$. Donne chaque résultat sous forme de puissance ou de produit, puis en entier.

1. aCombien y a-t-il de $3$-uplets d'éléments de $E$ ?
2. bCombien y a-t-il de $5$-uplets d'éléments de $F$ ?
3. cCalcule $\operatorname{Card}(E \times F)$.
4. dCalcule $\operatorname{Card}(E^2 \times F)$.
5. eCombien d'éléments de $E^2$ ont deux composantes différentes ?
6. fCombien d'éléments de $E \times F$ ont pour seconde composante $0$ ?

Ex. 2★★★Codes ou nombres ? — Un code à $4$ chiffres est un $4$-uplet de chiffres (il peut commencer par $0$). Un entier à $n$ chiffres ne commence jamais par $0$. Calcule chaque nombre demandé.

1. aCombien y a-t-il de codes à $4$ chiffres ?
2. bCombien y a-t-il d'entiers naturels à $4$ chiffres ?
3. cCombien y a-t-il d'entiers pairs à $4$ chiffres ?
4. dCombien de codes à $4$ chiffres n'utilisent que des chiffres impairs ?
5. eCombien d'entiers à $3$ chiffres s'écrivent uniquement avec les chiffres $0$, $5$ et $7$ ?

Ex. 3★★★Les plaques de Valdorie — En Valdorie, une plaque s'écrit avec $2$ lettres, $3$ chiffres, puis $2$ lettres (ex. : BK-047-TZ). Les lettres sont prises parmi les $23$ lettres autorisées (I, O et U sont exclues). Les répétitions sont permises, l'ordre compte et le bloc $000$ est interdit.

1. aCombien de plaques différentes peut-on former ? Donne le résultat sous forme de produit, puis en entier.
2. bCombien de plaques ont leurs deux blocs de lettres identiques (comme AB-123-AB) ?
3. cOn choisit une plaque au hasard parmi toutes les plaques possibles. Calcule la probabilité que ses trois chiffres soient égaux.

Ex. 4★★★L'erreur de Noé — On cherche combien d'entiers compris entre $1$ et $300$ sont multiples de $4$ ou de $6$. Noé compte $75$ multiples de $4$ et $50$ multiples de $6$, puis il répond : « $75+50=125$ ».

1. aExplique pourquoi le raisonnement de Noé est faux, en donnant un exemple d'entier compté deux fois.
2. bCombien d'entiers compris entre $1$ et $300$ sont à la fois multiples de $4$ et de $6$ ? Justifie.
3. cDéduis-en le bon nombre d'entiers compris entre $1$ et $300$ qui sont multiples de $4$ ou de $6$.
4. dCombien d'entiers compris entre $1$ et $300$ ne sont multiples ni de $4$ ni de $6$ ?

Ex. 5★★★Le mot de passe d'Inès — Le site d'Inès exige un mot de passe de $6$ caractères. Chaque caractère est soit une lettre minuscule ($26$ possibilités), soit un chiffre ($10$ possibilités). L'ordre compte et les répétitions sont permises.

1. aCombien de mots de passe différents peut-on former ?
2. bCombien de mots de passe ne contiennent aucun chiffre ?
3. cDéduis-en le nombre de mots de passe qui contiennent au moins un chiffre.
4. dLe site exige maintenant au moins un chiffre et au moins une lettre. Combien de mots de passe sont acceptés ? Justifie.

Ex. 6★★★Vrai ou faux : tenues, inscriptions, ensembles — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie.

1. aAvec $7$ chemises et $6$ pantalons, Lina peut composer $13$ tenues « une chemise et un pantalon ».
2. bIl y a plus de façons de remplir une grille de $6$ questions à $4$ réponses possibles qu'une grille de $4$ questions à $6$ réponses possibles.
3. cAu club de Mado, on choisit un sport parmi $3$, dont la natation, et un créneau parmi $4$, dont le lundi. La natation n'a pas lieu le lundi. Il y a donc $3\times 4=12$ inscriptions « sport et créneau ».
4. dSi $\operatorname{Card}(A)=12$, $\operatorname{Card}(B)=9$ et $\operatorname{Card}(A\cap B)=4$, alors $\operatorname{Card}(A\cup B)=21$.
5. eSi $\operatorname{Card}(E)=4$ et $\operatorname{Card}(F)=6$, alors $E \times F$ et $F \times E$ ont le même cardinal, égal à $24$.

Ex. 7★★★Des 4-uplets en Python — On considère le programme suivant. from itertools import product L = list(product([1, 2, 3], repeat=4)) print(len(L)) n = 0 for t in L: if 3 in t: n = n + 1 print(n)

1. aDécris les éléments de la liste L.
2. bQu'affiche la première instruction print ? Justifie par un calcul.
3. cQue compte la variable n ? Calcule, sans exécuter le programme, la valeur affichée à la fin.
4. dOn remplace la condition par t[0] == 1. Que compte alors n, et quelle valeur est affichée à la fin ?

Ex. 8★★★Des 7 dans les entiers à 5 chiffres — On s'intéresse aux entiers à $5$ chiffres, c'est-à-dire de $10\,000$ à $99\,999$. Le premier chiffre d'un tel entier n'est jamais $0$.

1. aCombien y a-t-il d'entiers à $5$ chiffres ? Combien d'entre eux ne contiennent aucun chiffre $7$ ?
2. bDéduis-en le nombre d'entiers à $5$ chiffres qui contiennent au moins un $7$.
3. cCombien d'entiers à $5$ chiffres contiennent exactement un $7$ ? Distingue les cas selon la place du $7$.
4. dLucas compte ceux qui ont au moins un $7$ ainsi : $5$ places pour le $7$, puis $10^4$ choix pour les autres chiffres, soit $50\,000$. Trouve deux erreurs et donne un exemple pour chacune.
5. eOn choisit au hasard un entier à $5$ chiffres. Tous ont la même probabilité d'être choisis. Calcule la probabilité qu'il contienne au moins deux $7$.

Ex. 9★★★Les drapeaux de Mireval — À Mireval, un drapeau est formé de $k$ bandes horizontales, lues de haut en bas. Chaque bande reçoit une couleur choisie parmi $n$ couleurs, et une couleur peut servir plusieurs fois. Un drapeau est « valide » si deux bandes voisines n'ont jamais la même couleur.

1. aSans exiger qu'il soit valide, combien de drapeaux à $3$ bandes peut-on former avec $6$ couleurs ? Zoé répond $3^6 = 729$. Corrige-la.
2. bPour $n \geqslant 2$, démontre qu'il y a $n \times (n-1)^{k-1}$ drapeaux valides à $k$ bandes. Calcule ce nombre pour $n = 6$ et $k = 3$.
3. cAvec $5$ couleurs, combien y a-t-il de drapeaux valides à $4$ bandes dont la bande du haut et celle du bas ont la même couleur ?
4. dVoici un programme : from itertools import product couleurs = ["R", "V", "B", "J", "N"] nb = 0 for d in product(couleurs, repeat=4): if d[0] != d[1] and d[1] != d[2] and d[2] != d[3]: nb = nb + 1 print(nb) Quel nombre affiche-t-il ? Justifie sans l'exécuter. Modifie ensuite la condition pour qu'il affiche le résultat de la question précédente.
5. eAvec $3$ couleurs, quel est le plus petit nombre de bandes $k$ qui permet de former plus de $1\,000$ drapeaux valides ?

Ex. 10★★★Le food-truck d'Aïcha — À Annecy, le food-truck d'Aïcha propose $4$ entrées, $6$ plats (dont $2$ végétariens) et $5$ desserts (dont une tarte). Il vend trois formules : « entrée + plat », « plat + dessert » et « menu complet » (entrée + plat + dessert).

1. aCombien de repas différents peut-on commander, toutes formules confondues ? Nomme et justifie chaque principe utilisé.
2. bAïcha compte les menus complets qui ont un plat végétarien ou la tarte : $40 + 24 = 64$. Corrige son calcul.
3. cPaul prend un menu complet chaque jour du lundi au vendredi. Il peut reprendre le même menu. Combien de semaines de menus différentes sont possibles ?
4. dToutes ces semaines ont la même probabilité. Calcule la probabilité que Paul mange au moins une fois un plat végétarien dans la semaine.

Ex. 11★★★Factorielles sans calculatrice — Calcule sans calculatrice. Simplifie chaque quotient avant de calculer.

Ex. 12★★★Du produit au quotient de factorielles — Les produits ci-dessous sont formés d'entiers consécutifs décroissants.

1. aÉcris $11\times 10\times 9\times 8$ sous la forme $\frac{n!}{(n-k)!}$, puis calcule-le.
2. bÉcris $20\times 19$ sous la forme $\frac{n!}{(n-k)!}$, puis calcule-le.
3. cÉcris $4\times 3\times 2\times 1$ sous la forme $\frac{n!}{(n-k)!}$ avec $k=4$, puis calcule-le.
4. dÉcris $\frac{30!}{27!}$ comme un produit d'entiers décroissants. Combien de facteurs compte-t-il ? Calcule-le.
5. eZoé écrit $13\times 12\times 11=\frac{13!}{3!}$. Corrige son écriture, puis calcule ce produit.

Ex. 13★★★Vrai ou faux sur les factorielles — Dans tout l'exercice, $n$ est un entier naturel tel que $n\geqslant 3$. Pour chaque affirmation : vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 14★★★Le podium du concours de pâtisserie — À Rennes, $12$ pâtissiers, dont Maëlle, participent à un concours. Le jury décerne un 1er, un 2e et un 3e prix à trois candidats différents (pas d'ex æquo). Pour compter les podiums possibles, Léna calcule $12^3=1\,728$ et Hugo calcule $\dbinom{12}{3}=220$.

1. aExplique l'erreur de modèle de Léna.
2. bExplique l'erreur de modèle de Hugo.
3. cDétermine le nombre de podiums possibles. Justifie le modèle choisi.
4. dLe podium est tiré au hasard : tous les podiums sont équiprobables. Calcule la probabilité que Maëlle soit sur le podium.

Ex. 15★★★File d'attente au cinéma — À Lille, $10$ amis, dont Inès et Tom, font la queue devant un cinéma, les uns derrière les autres.

1. aCombien d'ordres possibles y a-t-il pour cette file ? Justifie le modèle.
2. bCombien d'ordres placent Inès et Tom côte à côte ?
3. cCombien d'ordres séparent Inès et Tom (ils ne sont pas côte à côte) ?
4. dL'ordre de la file est dû au hasard : tous les ordres sont équiprobables. Calcule la probabilité qu'Inès et Tom soient côte à côte.

Ex. 16★★★Le mot de passe de Noé — Noé, membre d'un club d'escalade de Grenoble, choisit un mot de passe de $5$ caractères. Chaque caractère est l'une des $26$ lettres minuscules ou l'un des $10$ chiffres. L'ordre des caractères compte.

1. aCombien de mots de passe peut-il former si les répétitions sont permises ?
2. bCombien de mots de passe ont leurs $5$ caractères tous distincts ? Justifie le modèle.
3. cCombien de mots de passe contiennent au moins deux caractères identiques ?
4. dCombien de mots de passe ont des caractères tous distincts et commencent par une lettre ?

Ex. 17★★★Les anagrammes de FROMAGE — Les $7$ lettres du mot FROMAGE sont toutes distinctes. Une anagramme est un mot de $7$ lettres, ayant un sens ou non, formé avec exactement ces lettres. Les voyelles sont A, E et O.

1. aCombien le mot FROMAGE a-t-il d'anagrammes (lui compris) ? Justifie le modèle.
2. bOn exécute ce programme : from itertools import permutations mot = 'FROMAGE' n = 0 for p in permutations(mot): if p[0] in 'AEO' and p[-1] in 'AEO': n = n + 1 print(n) Explique ce que compte la variable n.
3. cCalcule, par un raisonnement, la valeur affichée par ce programme.
4. dPar quelle condition remplacer celle du if pour compter les anagrammes qui commencent par une consonne et finissent par une voyelle ? Donne la valeur affichée.

Ex. 18★★★Une relation sur les k-uplets d'éléments distincts — Dans tout l'exercice, $n$ et $k$ sont des entiers naturels avec $1\leqslant k\leqslant n$.

1. aSimplifie $\frac{(n+2)!}{n!}$ sans développer les factorielles.
2. bDéduis-en l'entier $n$ tel que $\frac{(n+2)!}{n!}=156$, puis interprète $156$ comme un nombre de $2$-uplets d'éléments distincts.
3. cSoit $E$ un ensemble à $n+1$ éléments et $a\in E$. En séparant les $k$-uplets d'éléments distincts de $E$ qui contiennent $a$ de ceux qui ne le contiennent pas, démontre que $\frac{(n+1)!}{(n+1-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!}+k\times\frac{n!}{(n-k+1)!}$.
4. dVérifie cette relation pour $n=8$ et $k=4$ en calculant chacun de ses membres.
5. eÉcris la relation pour $k=n$. Quelle formule du cours retrouves-tu ? Quel rôle joue la convention $0!=1$ ?

Ex. 19★★★Le salut de la troupe de théâtre — À Marseille, une troupe de $9$ membres vient saluer le public : $5$ comédiennes, dont Clara, et $4$ comédiens, dont Malik. Ils s'alignent sur le devant de la scène. Un alignement est l'ordre des $9$ personnes de gauche à droite.

1. aCombien d'alignements sont possibles ? Justifie le modèle.
2. bCombien d'alignements alternent comédiennes et comédiens (deux voisins ne sont jamais du même groupe) ?
3. cCombien d'alignements placent Clara à gauche de Malik, voisins ou non ? Justifie par un argument de symétrie.
4. dL'alignement est choisi au hasard, et tous sont équiprobables. Calcule la probabilité que les $5$ comédiennes soient côte à côte.
5. eDans les mêmes conditions, calcule la probabilité qu'il y ait exactement deux personnes entre Clara et Malik.

Ex. 20★★★Les codes des armoires du club de robotique — À Nantes, un club de robotique ferme ses armoires avec des codes de $4$ caractères, écrits dans un ordre précis. Chaque caractère est l'un des $16$ symboles 0, 1, …, 9, A, B, C, D, E, F. Sauf mention contraire, les $4$ caractères d'un code sont deux à deux distincts.

1. aCombien de codes peut-on former ? Justifie le modèle.
2. bCombien de codes ne contiennent aucune lettre ? Déduis-en le nombre de codes contenant au moins une lettre.
3. cOn choisit maintenant un code au hasard parmi tous les codes de $4$ caractères, répétitions permises. Calcule la probabilité que ses caractères soient deux à deux distincts.
4. dQue compte ce programme ? Prévois son affichage sans l'exécuter. from itertools import permutations symboles = '0123456789ABCDEF' n = 0 for c in permutations(symboles, 4): if 'A' in c: n = n + 1 print(n)
5. eMia importe product et remplace la ligne 4 par for c in product(symboles, repeat=4):. Que compte alors le programme ? Prévois son affichage.

Ex. 21★★★Calculer des coefficients binomiaux — Calcule chaque coefficient sans calculatrice, en écrivant le calcul.

1. a$\dbinom{9}{0}$ et $\dbinom{9}{9}$.
2. b$\dbinom{11}{1}$.
3. c$\dbinom{13}{2}$.
4. d$\dbinom{9}{4}$, avec la formule $\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$.
5. e$\dbinom{25}{23}$, en utilisant la symétrie.
6. f$\dbinom{16}{13}$, en passant d'abord par la symétrie.

Ex. 22★★★Coefficients binomiaux en fonction de n — Dans tout l'exercice, $n$ est un entier naturel avec $n \geqslant 3$.

1. aExprime $\dbinom{n}{n-1}$ en fonction de $n$.
2. bMontre que $\dbinom{n}{n-2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$.
3. cÉcris $\dbinom{n}{3}$ sous la forme d'un quotient sans factorielle.
4. dÉcris $\frac{11!}{4!\,7!}$ sous la forme d'un coefficient binomial, puis calcule-le.
5. eSimplifie $\dbinom{n+1}{2}-\dbinom{n}{2}$.
6. fDétermine l'entier $n$ tel que $\dbinom{n}{2}=153$.

Ex. 23★★★Ordre ou pas ? Choisir le modèle — Pour chaque situation, dis si l'ordre compte et si les répétitions sont permises, puis donne le nombre de possibilités.

1. aÀ une soirée à Lille, chacun des $11$ invités serre une fois la main de chacun des autres. Combien y a-t-il de poignées de main ?
2. bOn tire simultanément $3$ jetons dans un sac de $20$ jetons numérotés. Combien y a-t-il de tirages ?
3. cIris compose le code de $4$ chiffres de son digicode, chaque chiffre allant de $0$ à $9$, les répétitions étant permises. Combien y a-t-il de codes ?
4. dNadia choisit $2$ garnitures différentes parmi $9$ pour sa pizza. Combien a-t-elle de choix ?
5. eÀ un concours de dessin, le jury décerne un 1er, un 2e et un 3e prix à trois dessins différents parmi $17$. Combien y a-t-il de palmarès possibles ?
6. fDans une ville quadrillée, un trajet est un mot de $8$ lettres formé de $4$ D et de $4$ H. Combien y a-t-il de trajets ?

Ex. 24★★★Le bureau de l'association — Une association de Rennes compte $8$ filles et $7$ garçons. Elle élit un bureau de $5$ membres distincts, sans attribuer de rôles : l'ordre ne compte pas.

1. aCombien de bureaux différents peut-on former ? Justifie le modèle choisi.
2. bCombien de bureaux comptent exactement $2$ filles et $3$ garçons ?
3. cCombien de bureaux comptent au moins une fille et au moins un garçon ?
4. dCombien de bureaux comptent au moins $4$ garçons ?

Ex. 25★★★L'erreur de Hugo sur les as — On tire une main de $4$ cartes dans un jeu de $32$ cartes, qui contient $4$ as. Une main est une partie de $4$ cartes : l'ordre ne compte pas.

1. aCalcule le nombre total de mains, puis le nombre de mains sans aucun as.
2. bDéduis-en le nombre de mains contenant au moins un as.
3. cRetrouve ce résultat en faisant la somme des cas « exactement $1$, $2$, $3$, $4$ as ».
4. dHugo choisit « d'abord un as, puis $3$ cartes parmi les $31$ restantes ». Calcule son résultat et explique son erreur.

Ex. 26★★★Urne et tirage simultané — Une urne contient $5$ boules rouges, $4$ vertes et $3$ bleues, indiscernables au toucher. On tire simultanément $3$ boules : tous les tirages sont équiprobables.

1. aCombien y a-t-il de tirages possibles ? Nomme le modèle.
2. bCalcule la probabilité d'obtenir une boule de chaque couleur.
3. cLéna écrit $P(\text{3 rouges})=\frac{5\times 4\times 3}{220}$. Explique son erreur, puis corrige.
4. dCalcule la probabilité d'obtenir trois boules de la même couleur.
5. eCalcule la probabilité d'obtenir au moins une boule bleue.

Ex. 27★★★Des équipes générées en Python — Sept amis veulent former une équipe de $3$ personnes, sans ordre. On écrit le programme suivant : from itertools import combinations amis = ["Ana", "Bilal", "Chloe", "Dario", "Emma", "Farah", "Gael"] equipes = list(combinations(amis, 3)) print(len(equipes))

1. aQu'affiche ce programme ? Justifie par un calcul.
2. bOn ajoute n = 0, puis une boucle for e in equipes: qui fait n = n + 1 sous une condition. Écris cette condition pour compter les équipes contenant Emma, et donne la valeur finale de n.
3. cOn remplace combinations par permutations. Qu'affiche alors le programme ? Explique le lien avec le résultat de la première question.
4. dDéduis-en le nombre d'équipes sans Emma, et vérifie-le à l'aide d'un coefficient binomial.

Ex. 28★★★Le club de théâtre de Brest — Le club de théâtre d'un lycée de Brest compte $12$ élèves, dont Léa et Tom. Pour une scène, on choisit un groupe de $4$ élèves distincts. Les rôles ne sont pas attribués : l'ordre ne compte pas.

1. aYanis affirme qu'il y a $12 \times 11 \times 10 \times 9$ groupes possibles. A-t-il raison ? Justifie, puis donne le bon nombre de groupes.
2. bLéa et Tom refusent de jouer ensemble. Combien de groupes respectent cette contrainte ?
3. cCombien de groupes ne contiennent ni Léa ni Tom ? Combien en contiennent exactement un des deux ? Vérifie la cohérence avec la question précédente.
4. dLe groupe est tiré au sort parmi tous les groupes de $4$, de façon équiprobable. Calcule la probabilité qu'il contienne Léa ou Tom
   (au moins l'un des deux).

Ex. 29★★★L'équipe et son capitaine — Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels avec $1 \leqslant k \leqslant n$. On veut démontrer que $k \times \dbinom{n}{k} = n \times \dbinom{n-1}{k-1}$.

1. aVérifie l'égalité pour $n = 13$ et $k = 3$, en calculant chaque membre.
2. bUn club de volley compte $n$ joueurs. On forme une équipe de $k$ joueurs, puis on désigne un capitaine dans l'équipe. Compte ces choix de deux façons et déduis-en l'égalité.
3. cDémontre à nouveau l'égalité, cette fois par le calcul, avec $\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$.
4. dOn donne $\dbinom{24}{6} = 134\,596$. Déduis-en $\dbinom{25}{7}$ sans calculatrice.

Ex. 30★★★Le loto de la kermesse de Colmar — À la kermesse d'une école de Colmar, Maëlle coche $5$ numéros distincts parmi les numéros de $1$ à $25$ : $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$. On tire ensuite simultanément $5$ numéros distincts parmi les $25$. Tous les tirages sont équiprobables.

1. aCombien y a-t-il de tirages possibles ? Nomme le modèle et justifie-le.
2. bCalcule la probabilité que le tirage contienne exactement $3$ des numéros de Maëlle.
3. cCalcule la probabilité que le tirage contienne au moins un des numéros de Maëlle.
4. dOn écrit le programme ci-dessous. Que contient compte[k] à la fin ? Qu'affiche le programme ? Justifie sans l'exécuter.from itertools import combinations grille = [1, 2, 3, 4, 5] compte = [0, 0, 0, 0, 0, 0] for t in combinations(range(1, 26), 5): k = 0 for x in t: if x in grille: k = k + 1 compte[k] = compte[k] + 1 print(compte[0], compte[5], sum(compte))

Ex. 31★★★Écrire et utiliser la relation de Pascal — Utilise la relation de Pascal, sans calculatrice.

1. aComplète : $\dbinom{11}{6}+\dbinom{11}{7}=\dbinom{\ldots}{\ldots}$.
2. bÉcris $\dbinom{15}{9}$ comme somme de deux coefficients binomiaux de la ligne $14$.
3. cSachant que $\dbinom{13}{4}=715$ et $\dbinom{13}{5}=1\,287$, calcule $\dbinom{14}{5}$.
4. dSachant que $\dbinom{15}{6}=5\,005$ et $\dbinom{16}{7}=11\,440$, calcule $\dbinom{15}{7}$.
5. ePour $n \geqslant 3$, écris $\dbinom{n}{2}+\dbinom{n}{3}$ avec un seul coefficient binomial.

Ex. 32★★★Compter des parties — Donne chaque résultat sous la forme d'un entier ou d'une fraction irréductible.

1. aCombien de parties possède un ensemble à $13$ éléments ?
2. bÉcris toutes les parties de $E=\{r\,;s\,;t\}$. Combien y en a-t-il ?
3. cCombien de parties à au moins $2$ éléments possède un ensemble à $9$ éléments ?
4. dCombien de parties non vides possède un ensemble à $14$ éléments ?
5. eUn ensemble fini possède $1\,024$ parties. Combien a-t-il d'éléments ?
6. fOn choisit au hasard une partie de $F=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}$, toutes les parties étant équiprobables. Calcule la probabilité que ce soit la partie vide ou $F$ lui-même.

Ex. 33★★★Prolonger le triangle de Pascal — Voici le début de la ligne $9$ du triangle de Pascal.

1. aCombien de nombres la ligne $9$ contient-elle ? Écris le premier sous la forme d'un coefficient binomial.
2. bCalcule $\dbinom{10}{2}$ et $\dbinom{10}{3}$ à l'aide du tableau.
3. cSans calculer chaque terme, donne la somme de tous les nombres de la ligne $9$.
4. dDéduis-en $\dbinom{9}{4}$ en utilisant la symétrie $\dbinom{9}{k}=\dbinom{9}{9-k}$.
5. eCalcule $\dbinom{10}{4}$.

Ex. 34★★★Vrai ou faux : Pascal et parties — Pour chaque affirmation : vrai ou faux ? Justifie.

1. a$\dbinom{14}{3}+\dbinom{14}{4}=\dbinom{15}{3}$.
2. b$\dbinom{18}{6}+\dbinom{18}{13}=\dbinom{19}{13}$.
3. cUn ensemble à $5$ éléments possède exactement $30$ parties.
4. dLa somme des nombres de la ligne $11$ du triangle de Pascal vaut $2^{12}$.
5. ePour $n \geqslant 2$, un ensemble à $n$ éléments possède $2^n-n-1$ parties ayant au moins deux éléments.

Ex. 35★★★Corriger une démonstration par le calcul — Pour $0 \leqslant k \leqslant n-1$, Léa veut démontrer par le calcul que $\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1}=\dbinom{n+1}{k+1}$. Elle écrit : $\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!\,(n-k-1)!}=\frac{2\times n!}{(k+1)!\,(n-k)!}$.

1. aPour $n=7$ et $k=3$, calcule $\dbinom{7}{3}+\dbinom{7}{4}$, puis le dernier quotient de Léa. Conclus.
2. bExplique l'erreur commise par Léa.
3. cRédige le calcul correct et conclus.

Ex. 36★★★Les coupes d'un glacier — Un glacier de Biarritz propose $8$ garnitures différentes, dont la chantilly. Une coupe est définie par l'ensemble de ses garnitures : l'ordre ne compte pas, chaque garniture figure au plus une fois et une coupe sans garniture est permise.

1. aCombien de coupes différentes le glacier peut-il servir ?
2. bCombien de coupes ont exactement $3$ garnitures ?
3. cParmi les coupes à $3$ garnitures, combien contiennent la chantilly ? Combien ne la contiennent pas ? Quelle relation retrouves-tu ?
4. dUne coupe est choisie au hasard parmi toutes les coupes possibles, supposées équiprobables. Calcule la probabilité qu'elle ait exactement $3$ garnitures.
5. eDans les mêmes conditions, calcule la probabilité que la coupe ait au plus $3$ garnitures.

Ex. 37★★★Compter les parties avec Python — Ben a écrit ce programme, dans lequel la liste E représente un ensemble à $7$ éléments. from itertools import combinations E = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] total = 0 for k in range(len(E) + 1): nb = len(list(combinations(E, k))) print(k, nb) total = total + nb print(total)

1. aPour un entier k donné, que vaut nb ? Exprime-le avec un coefficient binomial.
2. bQuelles valeurs prend k ? Écris les lignes affichées dans la boucle.
3. cSans exécuter le programme, donne la dernière valeur affichée. Justifie.
4. dModifie le programme pour qu'il affiche seulement le nombre de parties de E ayant au moins $4$ éléments. Quelle valeur obtient-on ? Justifie-la par la symétrie.

Ex. 38★★★Bureaux avec président — Le club d'échecs de Nancy compte $9$ membres. Un bureau est une partie non vide des membres, dans laquelle on désigne un président parmi les membres du bureau. Il n'y a pas d'autre rôle : l'ordre des autres membres ne compte pas.

1. aCombien de bureaux de $4$ membres, président compris, peut-on former ? Compte-les de deux façons : le bureau puis le président, ou le président puis les autres membres.
2. bSoit $n \geqslant 1$ et $1 \leqslant k \leqslant n$. Compte de deux façons les bureaux de $k$ membres d'un club de $n$ membres, puis démontre que $k\dbinom{n}{k}=n\dbinom{n-1}{k-1}$.
3. cDéduis-en que $1\times\dbinom{n}{1}+2\times\dbinom{n}{2}+\cdots+n\times\dbinom{n}{n}=n\times 2^{n-1}$, en utilisant seulement la somme d'une ligne du triangle de Pascal.
4. dCombien de bureaux, de toutes tailles, le club de Nancy peut-il former ? Justifie avec la formule précédente, puis directement en commençant par choisir le président.
5. eÉcris la ligne $6$ du triangle de Pascal, en commençant par $\dbinom{6}{0}$. Vérifie alors que $1\times\dbinom{6}{1}+2\times\dbinom{6}{2}+\cdots+6\times\dbinom{6}{6}=6\times 2^5$.

Ex. 39★★★Pascal appliquée deux fois — Soit $n \geqslant 2$ et $k$ deux entiers tels que $0 \leqslant k \leqslant n-2$. On veut démontrer de deux façons que $\dbinom{n+2}{k+2}=\dbinom{n}{k}+2\dbinom{n}{k+1}+\dbinom{n}{k+2}$.

1. aÉcris la relation de Pascal qui exprime $\dbinom{n+2}{k+2}$ à l'aide de deux coefficients de la ligne $n+1$. Fais attention aux indices.
2. bApplique de nouveau la relation de Pascal à chacun de ces deux coefficients, puis démontre la formule.
3. cDémontre la formule par dénombrement. Pour cela, fixe deux éléments $a$ et $b$ d'un ensemble $E$ à $n+2$ éléments.
4. dAu lycée de Poitiers, on choisit une délégation de $6$ élèves parmi $13$, dont Inès et Malik. Compte les délégations qui contiennent les deux, un seul des deux, puis aucun. Retrouve $\dbinom{13}{6}$.
5. eLa délégation est choisie au hasard, toutes étant équiprobables. Calcule la probabilité qu'elle contienne au moins l'un des deux, en passant par l'événement contraire.

Ex. 40★★★Photos de groupe paires ou impaires — Douze amis passent un week-end à Annecy. Une photo de groupe est définie par l'ensemble des amis présents : l'ordre ne compte pas. Plus généralement, $E$ est un ensemble à $n \geqslant 1$ éléments et $a$ est un élément fixé de $E$.

1. aMathis affirme : « Il y a $2^{12}-1=4\,095$ photos réunissant au moins deux amis. » A-t-il raison ? Justifie.
2. bDémontre que $E$ possède exactement $2^{n-1}$ parties qui contiennent $a$, et autant qui ne le contiennent pas.
3. cÀ une partie $A$ de $E$, on associe $A'$ : on ajoute $a$ si $a\notin A$ et on le retire sinon. Justifie que les parties de cardinal pair sont aussi nombreuses que celles de cardinal impair. Déduis-en leur nombre.
4. dBen a écrit ce programme. from itertools import combinations amis = list(range(12)) pair = 0 for k in range(2, 13): for groupe in combinations(amis, k): if k % 2 == 0: pair = pair + 1 print(pair) Sans l'exécuter, dis ce qu'il affiche et justifie.
5. eCombien de photos réunissent un nombre impair d'amis, au moins $3$ ?

Ex. 41★★★Mots écrits avec deux lettres — Un mot est une suite de lettres, avec ou sans signification. Calcule chaque nombre et donne-le en entier.

1. aCombien de mots de $10$ lettres contiennent exactement $3$ lettres A et $7$ lettres B ?
2. bCombien de mots de $5$ lettres, écrits avec les seules lettres A et B, contiennent au moins une lettre A ?
3. cCalcule $\dbinom{9}{0}+\dbinom{9}{1}+\cdots+\dbinom{9}{9}$ en comptant de deux façons les mots de $9$ lettres écrits avec A et B.
4. dCombien de mots de $6$ lettres peut-on écrire avec les seules lettres A et B, sans autre contrainte ?
5. eCalcule $\dbinom{11}{4}$, puis déduis-en sans calcul $\dbinom{11}{7}$.
6. fOn lance $7$ fois une pièce. Combien de suites de résultats contiennent exactement $5$ « face » ?

Ex. 42★★★Chemins dans un quadrillage — Dans un quadrillage, un chemin avance par pas d'une unité vers la droite (D) ou vers le haut (H).

1. aCombien de chemins vont de $(0\,;0)$ à $(5\,;4)$ ?
2. bCombien de chemins de $8$ pas partent de $(0\,;0)$, sans point d'arrivée imposé ?
3. cCombien de chemins vont de $(0\,;0)$ à $(8\,;1)$ ?
4. dCombien de chemins vont de $(2\,;3)$ à $(5\,;9)$ ?
5. eYanis affirme : « De $(0\,;0)$ à $(5\,;5)$, il y a $5\times5=25$ chemins. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 43★★★Les anagrammes de BANANE — Une anagramme de BANANE est un mot de $6$ lettres, avec ou sans signification, qui utilise exactement les lettres B, A, A, N, N, E.

1. aCombien y a-t-il de façons de choisir les places des deux A ?
2. bLes A étant placés, combien y a-t-il de façons de choisir les places des deux N ?
3. cDéduis-en le nombre d'anagrammes de BANANE.
4. dTom répond : « Il y a $6!=720$ anagrammes. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eCombien d'anagrammes commencent et finissent par N ?

Ex. 44★★★Trois façons de tirer des jetons — À la kermesse de Quimper, un sac contient $13$ jetons numérotés de $1$ à $13$. On tire $3$ jetons. Pour chaque tirage, réponds aux deux questions : l'ordre compte-t-il ? les répétitions sont-elles possibles ? Puis nomme le modèle.

1. aOn tire un jeton, on note son numéro et on le remet, trois fois de suite. Combien y a-t-il de listes possibles ?
2. bOn tire les jetons un par un sans les remettre, en notant la liste. Combien y a-t-il de listes possibles ?
3. cOn tire les $3$ jetons d'un coup. Combien y a-t-il de résultats possibles ?
4. dDans le tirage avec remise, combien de listes comportent au moins deux numéros égaux ?

Ex. 45★★★La délégation de Noé — Au lycée de Besançon, une classe compte $15$ élèves : $9$ filles et $6$ garçons. On désigne une délégation de $3$ élèves, sans rôle : seul compte l'ensemble des trois élus. Noé écrit : « Il y a $15\times14\times13=2\,730$ délégations. »

1. aQuel modèle Noé a-t-il utilisé ? Explique pourquoi il ne convient pas ici.
2. bCombien de fois Noé compte-t-il chaque délégation ?
3. cCorrige : combien y a-t-il de délégations ?
4. dOn attribue maintenant les rôles de président, trésorier et secrétaire à trois élèves différents. Quel modèle convient ? Combien y a-t-il de bureaux ?
5. eCombien de délégations sans rôle comptent au moins une fille ?

Ex. 46★★★Les stylos de Sacha : deux modèles — À Lille, Sacha a $11$ stylos indiscernables au toucher : $5$ rouges et $6$ bleus. Il en prend $3$ au hasard. On note $A$ l'événement « obtenir exactement $2$ stylos rouges ».

1. aSacha prend les $3$ stylos d'un coup. Nomme le modèle et calcule $\operatorname{Card}(\Omega)$.
2. bDans ce modèle, combien de résultats réalisent $A$ ?
3. cDéduis-en $P(A)$ sous forme de fraction irréductible.
4. dIl prend maintenant les stylos un par un, sans remise, en notant l'ordre. Nomme le modèle et calcule le nouveau $\operatorname{Card}(\Omega)$.
5. eDans ce second modèle, compte les tirages qui réalisent $A$ et calcule $P(A)$. Compare et explique.

Ex. 47★★★Compter des chemins en Python — Un chemin part de $(0\,;0)$ par pas D (droite) ou H (haut). On considère le programme : from itertools import product n = 0 for mot in product("DH", repeat=7): if mot.count("H") == 3: n = n + 1 print(n)

1. aQue représente mot ? Combien de tours la boucle fait-elle ?
2. bQue compte n ? Quelle valeur le programme affiche-t-il ?
3. cModifie la condition pour compter les chemins de $(0\,;0)$ à $(1\,;6)$. Qu'affiche alors le programme ?
4. dBen écrit plutôt : from itertools import combinations print(len(list(combinations(range(7), 3)))) Qu'affiche ce programme ? Compare au résultat de la deuxième question et explique.

Ex. 48★★★La ville quadrillée d'Inès — À Montpellier, Inès va de son domicile, en $(0\,;0)$, à son lycée, en $(6\,;4)$, par les rues d'un quartier quadrillé. Chaque pas d'une unité va vers la droite (D) ou vers le haut (H). La boulangerie est en $(1\,;3)$. Le carrefour $(3\,;1)$ est en travaux.

1. aCombien de chemins vont du domicile au lycée ?
2. bCombien de ces chemins passent par la boulangerie ?
3. cCombien de chemins évitent le carrefour en travaux ?
4. dAvant les travaux, Inès choisit un chemin au hasard, tous étant équiprobables. Calcule la probabilité qu'il passe par la boulangerie ou par le carrefour $(3\,;1)$.
5. eSoit $p \geqslant 1$ et $q \geqslant 1$. En regardant le dernier pas d'un chemin vers $(p\,;q)$, démontre que $\dbinom{p+q}{q} = \dbinom{p+q-1}{q} + \dbinom{p+q-1}{q-1}$.

Ex. 49★★★Les codes binaires de Malo — À Toulouse, Malo fabrique des codes binaires. Un code est un mot de $12$ caractères, chacun valant $0$ ou $1$. L'ordre des caractères compte et les répétitions sont permises.

1. aCombien de codes contiennent exactement cinq $1$ ?
2. bCombien de codes contiennent au moins deux $1$ ?
3. cMalo écrit d'abord $7$ zéros, puis place cinq $1$, chacun dans un espace différent (entre deux zéros ou à un bout). Combien de codes à cinq $1$ sans deux $1$ voisins obtient-il ?
4. dOn choisit au hasard un code à exactement cinq $1$, tous étant équiprobables. Calcule la probabilité qu'il n'ait pas deux $1$ voisins.
5. eQue compte le programme ci-dessous ? Quelle valeur affiche-t-il ?from itertools import product n = 0 for mot in product("01", repeat=12): m = "".join(mot) if m.count("1") == 5 and "11" not in m: n = n + 1 print(n)

Ex. 50★★★Le club d'échecs de Nantes — À Nantes, un club d'échecs compte $8$ membres : $4$ filles et $4$ garçons. Un match oppose deux membres. On ignore la couleur des pièces : seul compte l'ensemble des deux joueurs.

1. aDans un tournoi, chaque membre affronte une fois chaque autre membre. Nomme le modèle et calcule le nombre de matchs.
2. bCombien de ces matchs sont mixtes ? Combien opposent deux filles ? Deux garçons ? Vérifie la cohérence avec la question précédente.
3. cSoit $n \geqslant 1$. Par un double dénombrement dans un groupe de $n$ filles et $n$ garçons, démontre que $\dbinom{2n}{2} = 2\dbinom{n}{2} + n^2$.
4. dAu premier tour, les $8$ membres sont répartis en $4$ paires, sur des tables non numérotées. Combien y a-t-il de répartitions ? Compte d'abord avec des tables numérotées.
5. eUne répartition est tirée au hasard, toutes étant équiprobables. Calcule la probabilité que les $4$ matchs du premier tour soient mixtes.