Terminale spécialité et maths complémentaires / Convexité

Ex. 1★★★Les fonctions de référence — Pour chaque fonction, dis si elle est convexe, concave, les deux ou ni l'un ni l'autre sur l'ensemble indiqué. Justifie à l'aide des fonctions de référence.

Ex. 2★★★Tangente et position — Dans chaque cas, $f$ a la convexité indiquée sur l'intervalle donné. Écris une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$. Donne ensuite la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ sur cet intervalle.

1. a$f(x) = \mathrm{e}^{x}$, convexe sur $\mathbb{R}$ ; $a = 2$.
2. b$f(x) = \ln x$, concave sur $]0\,;\,+\infty[$ ; $a = \mathrm{e}^{2}$.
3. c$f(x) = \sqrt{x}$, concave sur $[0\,;\,+\infty[$ ; $a = 9$.
4. d$f(x) = x^2 - 4x$, convexe sur $\mathbb{R}$ ; $a = 3$.
5. e$f(x) = \frac{1}{x}$, concave sur $]-\infty\,;\,0[$ ; $a = -1$.

Ex. 3★★★Le test du point milieu — Pour chaque fonction et chaque intervalle $[a\,;\,b]$, pose $m = \frac{a + b}{2}$. Calcule $f(m)$ et $\frac{f(a) + f(b)}{2}$ (valeurs approchées au centième si besoin) et compare-les. Que peux-tu en déduire pour la convexité de $f$ sur $[a\,;\,b]$ ?

1. a$f(x) = x^3$ sur $[-4\,;\,0]$.
2. b$f(x) = \sqrt{x}$ sur $[4\,;\,16]$.
3. c$f(x) = \mathrm{e}^{x}$ sur $[0\,;\,2]$.
4. d$f(x) = \ln x$ sur $[1\,;\,\mathrm{e}^{2}]$.
5. e$f(x) = x^3$ sur $[-1\,;\,3]$.

Ex. 4★★★Vrai ou faux sur la convexité — Vrai ou faux ? Justifie. Si c'est faux, donne un contre-exemple.

1. a« Si $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,0]$, alors $f$ est convexe sur $]-\infty\,;\,0]$. » Indication : regarde $x \mapsto x^3$ et sa tangente en $-1$.
2. b« Une fonction convexe sur $\mathbb{R}$ est croissante sur $\mathbb{R}$. »
3. c« La fonction inverse est convexe sur $\mathbb{R}^*$. » Indication : regarde la corde entre les points d'abscisses $-2$ et $-\frac{1}{2}$.
4. d« Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x} \geqslant 1 + x$. »
5. e« Si $f$ est concave sur $[0\,;\,4]$, $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de ses cordes. »

Ex. 5★★★L'erreur d'Inès — Inès étudie $f(x) = \sqrt{x}$ sur $[0\,;\,+\infty[$ et sa tangente $T : y = \frac{x}{4} + 1$ au point d'abscisse $4$. Elle écrit : « $\sqrt{x}$ est convexe, donc $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T$ : $\sqrt{x} \geqslant \frac{x}{4} + 1$ pour tout $x \geqslant 0$. »

1. aVérifie l'équation de $T$.
2. bTeste l'inégalité d'Inès pour $x = 0$. Que conclus-tu ?
3. cRepère ses deux erreurs, puis écris l'inégalité correcte.
4. dDémontre l'inégalité correcte en développant $\frac{(\sqrt{x} - 2)^2}{4}$.
5. eDéduis-en un majorant de $\sqrt{5}$ et compare-le à la valeur de la calculatrice.

Ex. 6★★★Lire les variations de f′ — $f$ est dérivable sur $[-3\,;\,5]$, avec $f(-1) = 3$ et $f'(-1) = 1$. Voici les variations de $f'$ :

1. aDonne la convexité de $f$ sur $[-3\,;\,1]$, puis sur $[1\,;\,5]$. Justifie.
2. b$A$ et $B$ sont les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses $2$ et $4$. Entre $A$ et $B$, $\mathcal{C}_f$ est-elle au-dessus ou au-dessous de la corde $[AB]$ ? Justifie.
3. cÉcris l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en $-1$, puis déduis-en une majoration de $f(0)$.
4. dMalo affirme : « $f'$ est décroissante sur $[-3\,;\,1]$, donc $f$ aussi. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 7★★★Les téléchargements de Pixelia — La start-up Pixelia suit les téléchargements de son application. Le nombre cumulé de téléchargements, en milliers, $t$ mois après le lancement, est $N(t) = 30\ln(t + 1)$ pour $t \geqslant 0$.

1. aCalcule $N'(t)$, puis justifie que $N$ est concave sur $[0\,;\,+\infty[$.
2. bÉcris la tangente à la courbe de $N$ en $0$. Déduis-en que $N(t) \leqslant 30t$.
3. cSans calculatrice, justifie que $N(4) \geqslant \frac{N(1) + N(7)}{2}$, puis vérifie-le avec des valeurs approchées.
4. dLe directeur dit : « Nos téléchargements accélèrent. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 8★★★Comparer $\pi^{\mathrm{e}}$ et $\mathrm{e}^{\pi}$ — On note $f(x) = \ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe. Les points $A(1\,;\,0)$ et $B(\mathrm{e}\,;\,1)$ sont sur $\mathcal{C}_f$.

1. aCalcule $f''(x)$, puis justifie que $f$ est concave sur $]0\,;\,+\infty[$.
2. bÉcris une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\mathrm{e}$. Déduis-en une inégalité valable pour tout $x > 0$.
3. cApplique cette inégalité à $x = \pi$, puis déduis-en que $\pi^{\mathrm{e}} \leqslant \mathrm{e}^{\pi}$.
4. dÉcris une équation de la droite $(AB)$. Déduis-en, par la concavité de $f$, que $\ln 2 \geqslant \frac{1}{\mathrm{e} - 1}$.
5. eLou en déduit de la même façon que $\ln 4 \geqslant \frac{3}{\mathrm{e} - 1}$. Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 9★★★Une cubique et ses tangentes — Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ définie sur $\mathbb{R}$, de courbe $\mathcal{C}_f$.

1. aCalcule $f''(x)$ et étudie son signe. Déduis-en la convexité de $f$. $f$ est-elle convexe sur $\mathbb{R}$ ? Justifie.
2. bÉcris une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
3. cÉtudie la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ sur $\mathbb{R}$ (développe $(x - 1)^3$). Que représente le point d'abscisse $1$ ?
4. dÉcris une équation de la tangente $T'$ au point d'abscisse $3$. Déduis-en, sans étudier de signe, une inégalité valable sur $[1\,;\,+\infty[$.
5. eNoé affirme que $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T'$ sur $\mathbb{R}$ tout entier. Vrai ou faux ? Justifie
   (essaie $x = -4$).

Ex. 10★★★Le coût moyen de la verrerie Lumen — La verrerie Lumen produit $q$ tonnes de verre par jour, avec $q \in [0\,;\,20]$. Le coût de production, en milliers d'euros, est $C(q) = 10\mathrm{e}^{0{,}2q}$.

1. aCalcule $C'(q)$ et $C''(q)$. Justifie que $C$ est convexe sur $[0\,;\,20]$, puis interprète ce résultat en termes de coût marginal.
2. bCalcule $C(10)$ et $\frac{C(5) + C(15)}{2}$ au centième. Explique l'ordre obtenu par la convexité : vaut-il mieux produire $10$ t deux jours de suite, ou $5$ t puis $15$ t ?
3. cÉcris une équation de la tangente à la courbe de $C$ au point d'abscisse $a$, puis trouve $a$ pour que cette tangente passe par l'origine.
4. dDéduis-en, par la convexité, le coût moyen minimal $\frac{C(q)}{q}$ sur $]0\,;\,20]$ et la production qui le réalise. Donne ce coût en euros par tonne.

Ex. 11★★★Calculer des dérivées secondes — Dans chaque cas, calcule $f'(x)$ puis $f''(x)$ sur l'intervalle indiqué. Donne $f''(x)$ sous forme factorisée.

1. a$f(x)=2x^4-5x^3+x-7$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$f(x)=\mathrm{e}^{3x-2}$ sur $\mathbb{R}$.
3. c$f(x)=x\mathrm{e}^{-2x}$ sur $\mathbb{R}$.
4. d$f(x)=x\ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
5. e$f(x)=\dfrac{3}{x-2}$ sur $]2\,;\,+\infty[$.
6. f$f(x)=\ln(3-x)$ sur $]-\infty\,;\,3[$.

Ex. 12★★★Du signe de f″ à la convexité — Dans chaque cas, on donne $f''(x)$. Étudie son signe (factorise si besoin), puis donne les intervalles sur lesquels $f$ est convexe ou concave.

1. a$f''(x)=x\mathrm{e}^{x}+3\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$f''(x)=-5(x+1)^2$ sur $\mathbb{R}$.
3. c$f''(x)=x^2-7x+10$ sur $\mathbb{R}$.
4. d$f''(x)=3\mathrm{e}^{2x}-3$ sur $\mathbb{R}$.
5. e$f''(x)=2x^3-8x$ sur $\mathbb{R}$.
6. f$f''(x)=\dfrac{\ln x+2}{x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

Ex. 13★★★Lire la convexité sur les variations de f′ — Une fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. Le tableau donne les variations de sa dérivée $f'$. On sait aussi que $f'(x)>0$ pour tout réel $x$.

1. aSur quel(s) intervalle(s) $f$ est-elle convexe ? Justifie.
2. bSur quel intervalle $f$ est-elle concave ? Justifie.
3. cDonne les abscisses des points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.
4. dQuel est le signe de $f''(0)$ ? Justifie.
5. eMalik écrit : « $f'(x)>0$, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ ». A-t-il raison ? Justifie.
6. fQuelle est la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à sa tangente au point d'abscisse $5$ ? Justifie.

Ex. 14★★★Corriger la copie de Hugo — Hugo étudie la convexité de $f(x)=(2x-1)\mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$. Il écrit : « $f'(x)=(3-2x)\mathrm{e}^{-x}$, donc $f''(x)=-2\mathrm{e}^{-x}<0$ : $f$ est concave sur $\mathbb{R}$. D'ailleurs $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,1{,}5]$, donc convexe sur cet intervalle. »

1. aVérifie le calcul de $f'(x)$ fait par Hugo.
2. bExplique son erreur dans le calcul de $f''(x)$, puis calcule $f''(x)$ correctement, sous forme factorisée.
3. cÉtudie la convexité de $f$ et donne les coordonnées du point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.
4. dPourquoi l'argument « croissante donc convexe » est-il faux ? Appuie-toi sur la question précédente.

Ex. 15★★★Vrai ou faux sur la convexité — Vrai ou faux ? Justifie par une preuve ou un contre-exemple.

1. aSi $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$, alors $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
2. bSi $f''(x)\geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$, alors $f'$ est croissante sur $I$.
3. cSi $f(x)\geqslant 0$ pour tout $x$ de $[-2\,;\,2]$, alors $f$ est convexe sur $[-2\,;\,2]$.
4. dSi $f''(a)=0$, alors $\mathcal{C}_f$ a un point d'inflexion d'abscisse $a$.
5. eLa fonction $x\mapsto \mathrm{e}^{2x}+x^2-3x$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Ex. 16★★★Placer le point d'inflexion — $a$ est un réel. On pose $f(x)=(x+a)\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe.

1. aCalcule $f'(x)$ puis $f''(x)$ en fonction de $a$, sous forme factorisée.
2. bDétermine $a$ pour que $\mathcal{C}_f$ ait un point d'inflexion d'abscisse $1$. Justifie le changement de signe.
3. cPour cette valeur de $a$, étudie la convexité de $f$ et donne les coordonnées du point d'inflexion.
4. dDonne une équation de la tangente $T$ en ce point. Précise la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$.

Ex. 17★★★Le coût marginal de l'atelier Lumanis — L'atelier Lumanis fabrique $q$ centaines de lampes par jour, avec $q\in[0\,;\,10]$. Le coût total, en centaines d'euros, est $C(q)=0{,}5q^3-6q^2+30q+50$. $C'(q)$ est le coût marginal.

1. aCalcule $C'(q)$ et $C''(q)$. Étudie le signe de $C''(q)$ sur $[0\,;\,10]$.
2. bDéduis-en la convexité de $C$ et les coordonnées du point d'inflexion.
3. cDémontre que $C'(q)>0$ sur $[0\,;\,10]$. Que t'apprend ce résultat sur $C$ ?
4. dÀ partir de quelle production le coût marginal augmente-t-il ? Quelle est sa valeur minimale ?

Ex. 18★★★Étude complète de la convexité de (ln x)² — On pose $f(x)=(\ln x)^2$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe dans un repère.

1. aDonne l'ensemble de définition de $f$. Calcule $f'(x)$ puis $f''(x)$ sous forme factorisée.
2. bÉtudie le signe de $f''(x)$, puis donne les intervalles sur lesquels $f$ est convexe ou concave.
3. cDémontre que $\mathcal{C}_f$ a un point d'inflexion $A$. Donne ses coordonnées et une équation de la tangente $T$ en $A$.
4. dDéduis-en la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ sur $]0\,;\,\mathrm{e}]$, puis sur $[\mathrm{e}\,;\,+\infty[$.
5. eLéa affirme : « $f$ est croissante sur $[1\,;\,+\infty[$, donc $f$ est convexe sur $[1\,;\,+\infty[$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 19★★★Encadrer ln(1,2) grâce à la concavité — On pose $f(x)=\ln(2x+1)$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe. On donne $\ln 3\approx 1{,}0986$.

1. aDonne l'intervalle $I$ sur lequel $f$ est définie. Calcule $f'(x)$ et $f''(x)$, puis déduis-en la convexité de $f$ sur $I$.
2. bDétermine une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$. Démontre que $\ln(2x+1)\leqslant 2x$ pour tout $x$ de $I$.
3. cDétermine une équation de la droite $D$ qui passe par les points de $\mathcal{C}_f$ d'abscisses $0$ et $1$. Démontre que $\ln(2x+1)\geqslant x\ln 3$ pour tout $x$ de $[0\,;\,1]$.
4. dDéduis-en un encadrement de $\ln(1{,}2)$. Donne ses bornes à $10^{-3}$ près.
5. ePaul utilise l'inégalité de la question 3 avec $x=3$ et écrit : « $\ln 7\geqslant 3\ln 3$ ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 20★★★Les téléchargements de l'appli Zéphyr — On modélise le nombre de téléchargements quotidiens de l'appli Zéphyr, en centaines, $t$ semaines après son lancement, par $D(t)=5t\,\mathrm{e}^{-0{,}25t}$ pour $t\in[0\,;\,20]$.

1. aCalcule $D'(t)$ sous forme factorisée. Dresse le tableau de variations de $D$ sur $[0\,;\,20]$, avec des valeurs à $0{,}01$ près.
2. bCalcule $D''(t)$ et factorise-la. Étudie la convexité de $D$ et donne le point d'inflexion de sa courbe.
3. cNora affirme : « Sur $[0\,;\,8]$, la courbe de $D$ est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse $2$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dÀ partir de quelle semaine la baisse des téléchargements ralentit-elle ? Justifie avec les variations de $D'$, puis calcule $D'(8)$ et interprète.

Ex. 21★★★Chasse aux points d'inflexion — Pour chaque fonction définie sur $\mathbb{R}$, calcule la dérivée seconde et étudie son signe. Donne ensuite les coordonnées des éventuels points d'inflexion de sa courbe.

1. a$f(x) = x^3 + 6x^2 - 2x + 1$
2. b$g(x) = -2x^3 + 9x^2 - 5$
3. c$h(x) = x^4 - 6x^2 + 3$
4. d$k(x) = (x - 3)^4 + 2x$
5. e$m(x) = x^2 + \mathrm{e}^{x}$
6. f$q(x) = \mathrm{e}^{2x} - 8x^2$

Ex. 22★★★Lire l'inflexion sur un tableau — Pour chaque fonction, lis le tableau puis réponds à la question.

1. a

   $x$	$-\infty$	$-3$	$+\infty$
   $f''(x)$	$+$	$0$	$-$

   Voici le signe de $f''$ sur $\mathbb{R}$, avec $f(-3) = 5$. Donne la convexité de $f$ et les coordonnées de son point d'inflexion.
2. b

   $x$	$0$	$2$	$+\infty$
   $g''(x)$	$+$	$0$	$+$

   Voici le signe de $g''$ sur $[0\,;\,+\infty[$. La courbe de $g$ a-t-elle un point d'inflexion ? Justifie.
3. c

   $x$	$-\infty$	$1$	$+\infty$
   $h'(x)$	↘	$-2$	↗

   Voici les variations de $h'$, avec $h(1) = 4$. Donne la convexité de $h$, son point d'inflexion et l'équation de la tangente en ce point.
4. d

   $x$	$-\infty$	$0$	$+\infty$
   $k'(x)$	↗	$3$	↗

   Voici les variations de $k'$ sur $\mathbb{R}$. La courbe de $k$ a-t-elle un point d'inflexion ? Justifie.

Ex. 23★★★Vrai ou faux sur l'inflexion — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple.

1. aSi $f''(a) = 0$, alors $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $a$.
2. bLa courbe de toute fonction polynôme de degré $3$ a exactement un point d'inflexion.
3. cLa courbe de la fonction $\ln$ n'a aucun point d'inflexion sur $]0\,;+\infty[$.
4. dEn un point d'inflexion, la tangente à la courbe est toujours horizontale.
5. eLa fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$ est concave sur $]-\infty\,;0[$ et convexe sur $]0\,;+\infty[$, donc sa courbe admet un point d'inflexion.

Ex. 24★★★L'erreur d'Inès — Inès étudie $f(x) = x^4 - 8x^3 + 24x^2 + 1$ sur $\mathbb{R}$. Elle écrit : « $f''(2) = 0$, donc le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $2$ est un point d'inflexion. »

1. aCalcule $f''(x)$ et factorise-la.
2. bInès a-t-elle raison ? Justifie.
3. cDétermine l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $2$.
4. dDéveloppe $(x - 2)^4$, puis étudie la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$. La courbe traverse-t-elle $T$ ? Justifie.

Ex. 25★★★Régler un paramètre — Pour un réel $a$, on pose $f(x) = x^3 + ax^2 + 5x - 2$ sur $\mathbb{R}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe.

1. aExprime $f''(x)$ en fonction de $a$. Trouve $a$ pour que $\mathcal{C}_f$ ait un point d'inflexion d'abscisse $2$, en justifiant le changement de signe.
2. bPour cette valeur de $a$, donne les coordonnées du point d'inflexion $A$. Justifie que c'est le seul.
3. cDétermine l'équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en $A$.
4. dSans calcul, justifie que $\mathcal{C}_f$ traverse $T$ en $A$.

Ex. 26★★★Les téléchargements de Zénito — Zénito, une application de méditation, est sortie il y a $10$ mois. Le nombre cumulé de téléchargements, en milliers, $t$ mois après le lancement, est $N(t) = -t^3 + 15t^2 + 20t$ pour $t \in [0\,;10]$. $N'(t)$ mesure le rythme des téléchargements.

1. aCalcule $N'(t)$, puis $N''(t)$.
2. bÉtudie la convexité de $N$ sur $[0\,;10]$ et donne les coordonnées du point d'inflexion.
3. cDéduis-en le moment où le rythme des téléchargements est maximal, puis donne ce rythme.
4. dInterprète : sur quelle période les téléchargements accélèrent-ils ? Que se passe-t-il ensuite ?

Ex. 27★★★Le carré du logarithme — On considère $f(x) = (\ln x)^2$ sur $]0\,;+\infty[$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe.

1. aCalcule $f'(x)$.
2. bCalcule $f''(x)$ et écris-la sous la forme d'un quotient factorisé.
3. cÉtudie la convexité de $f$ et donne les coordonnées du point d'inflexion $A$.
4. dDétermine l'équation de la tangente $T$ en $A$, puis donne la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$.

Ex. 28★★★Une inflexion sous la loupe — On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x - 1)\mathrm{e}^{x}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

1. aCalcule $f'(x)$ puis $f''(x)$, sous forme factorisée.
2. bÉtudie la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$. Justifie que $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion $A$ et donne ses coordonnées.
3. cDétermine une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ en $A$.
4. dDéduis-en la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ de part et d'autre de $A$. Que fait la courbe en $A$ ?
5. eJustifie que $f'$ admet un extremum en l'abscisse de $A$. Précise sa nature, puis déduis-en la plus petite valeur prise par $f'$ sur $\mathbb{R}$.

Ex. 29★★★Une famille de fonctions de degré 4 — Pour un réel $a$, on note $f_a$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f_a(x) = x^4 + ax^3 + 6x^2 + 1$, et $\mathcal{C}_a$ sa courbe. On admet que, pour tout réel $x$, $x^4 + 5x^3 + 6x^2 - 4x - 8 = (x + 2)^3(x - 1)$.

1. aCalcule $f_a''(x)$ en fonction de $a$.
2. bDans cette question, $a = 5$. Étudie le signe de $f_5''(x)$, puis donne les coordonnées des points d'inflexion de $\mathcal{C}_5$.
3. cDétermine une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_5$ au point d'abscisse $-2$, puis étudie la position de $\mathcal{C}_5$ par rapport à $T$ sur $\mathbb{R}$.
4. dDans cette question, $a = 4$. Le point de $\mathcal{C}_4$ d'abscisse $-1$ est-il un point d'inflexion ? Justifie.
5. eDétermine le nombre de points d'inflexion de $\mathcal{C}_a$ selon les valeurs de $a$.

Ex. 30★★★La grippe à Valmont — Pendant une épidémie de grippe à Valmont, le nombre de nouveaux cas déclarés le jour $t$ est modélisé par $N(t) = 100t\,\mathrm{e}^{-0{,}2t}$, pour $t \in [0\,;\,40]$.

1. aCalcule $N'(t)$ puis $N''(t)$, sous forme factorisée.
2. bÉtudie la convexité de $N$ sur $[0\,;\,40]$. Donne les coordonnées du point d'inflexion de sa courbe, avec l'ordonnée arrondie à l'unité.
3. cLisa affirme : « Le pic de l'épidémie a lieu en $t = 5$, où la tangente est horizontale. C'est donc le point d'inflexion. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dJustifie que $N'$ admet un minimum en $10$. Interprète ce résultat pour l'évolution de l'épidémie.
5. eDétermine une équation de la tangente $T$ au point d'inflexion. En quel jour $T$ coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Interprète.

Ex. 31★★★Équations de tangentes sans erreur de signe — Dans chaque cas, utilise la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

1. aDonne une équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^3 - 2x$ au point d'abscisse $a = 1$.
2. bDonne une équation de la tangente à la courbe de $f(x) = \ln(3x - 2)$ au point d'abscisse $a = 1$.
3. cLa tangente à la courbe de $f(x) = \frac{1}{x}$ au point d'abscisse $a = -2$ passe-t-elle par l'origine du repère ? Justifie.
4. dPour $f(x) = x^2 - 5x$, Zoé affirme que la tangente en $a = 2$ a pour équation $y = -x - 8$. A-t-elle raison ? Justifie.
5. ePour $f(x) = x\mathrm{e}^{x}$, quelle particularité a la tangente au point d'abscisse $a = -1$ ? Donne son équation.

Ex. 32★★★Lire la position sur un tableau de variations de f′ — $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $f(1) = 3$. Voici le tableau de variations de $f'$ :

1. aSur quel intervalle $f$ est-elle convexe ? Sur quel intervalle est-elle concave ? Justifie.
2. bDonne une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
3. cPrécise la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ sur $]-\infty\,;\,1]$, puis sur $[1\,;\,+\infty[$.
4. dDéduis-en un majorant de $f(0)$ et un minorant de $f(3)$.
5. eTom affirme : « $f$ est convexe sur $[1\,;\,+\infty[$, donc $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de sa tangente en $2$ pour tout réel $x$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 33★★★Signe de f″ et position par rapport aux tangentes — Soit $f(x) = x\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$ sur $\mathbb{R}$, de courbe $\mathcal{C}_f$.

1. aCalcule $f'(x)$ puis $f''(x)$, et écris $f''(x)$ sous forme factorisée.
2. bÉtudie le signe de $f''(x)$ sur $\mathbb{R}$.
3. cSur quel intervalle $\mathcal{C}_f$ est-elle au-dessus de toutes ses tangentes ?
4. dJustifie que $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion et donne ses coordonnées.
5. eDonne une équation de la tangente $T$ en $0$, puis la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ sur $]-\infty\,;\,4]$.

Ex. 34★★★Démontrer ln x ⩽ x − 1, puis encadrer un logarithme — Soit $f(x) = \ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$.

1. aCalcule $f''(x)$ et déduis-en la convexité de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
2. bDonne une équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
3. cDéduis-en une inégalité vérifiée par $\ln x$ pour tout $x > 0$. Justifie.
4. dEn remplaçant $x$ par $\frac{1}{x}$ dans cette inégalité, démontre que $\ln x \geqslant 1 - \frac{1}{x}$ pour tout $x > 0$.
5. eDéduis-en un encadrement de $\ln(1{,}03)$, avec une borne inférieure arrondie par défaut à $10^{-4}$.

Ex. 35★★★La copie de Malik : une tangente mal écrite — Malik écrit : « Soit $f(x) = \mathrm{e}^{x-1}$. $f''(x) = \mathrm{e}^{x-1} > 0$, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$. Tangente en $1$ : $y = f'(1)(x + 1) + f(1) = x + 2$. Donc $\mathrm{e}^{x-1} \geqslant x + 2$ pour tout réel $x$. »

1. aRepère l'erreur de Malik et donne l'équation correcte de la tangente en $1$.
2. bAvec une valeur de $x$ bien choisie, montre que l'inégalité de Malik est fausse.
3. cÉcris la conclusion correcte de Malik, puis déduis-en une minoration de $\mathrm{e}^{x}$ valable pour tout réel $x$.
4. dSarah affirme : « La courbe de $f$ est strictement au-dessus de sa tangente en $1$ sur $\mathbb{R}$. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eÀ l'aide de la conclusion correcte, donne un minorant de $\mathrm{e}^{-0{,}04}$.

Ex. 36★★★Étudier l'écart g, et voir où l'inégalité tombe — Soit $f(x) = x^3$ sur $\mathbb{R}$ et $g(x) = x^3 - 3x + 2$.

1. aCalcule $g'(x)$, étudie les variations de $g$ sur $[0\,;\,+\infty[$ et déduis-en que $x^3 \geqslant 3x - 2$ pour tout $x \geqslant 0$.
2. bDémontre que la droite d'équation $y = 3x - 2$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
3. cCalcule $g(-3)$. L'inégalité $x^3 \geqslant 3x - 2$ est-elle vraie pour tout réel $x$ ? Justifie.
4. dCalcule $f''(x)$ et explique pourquoi la convexité ne permettait de conclure que sur $[0\,;\,+\infty[$.

Ex. 37★★★Brasserie Houblonne : coût marginal et point d'inflexion — La brasserie Houblonne produit $q$ hectolitres de bière par semaine, avec $q \in [0\,;\,10]$. Le coût total, en centaines d'euros, est $C(q) = q^3 - 12q^2 + 60q + 20$.

1. aCalcule $C'(q)$ et $C''(q)$, puis étudie la convexité de $C$ sur $[0\,;\,10]$.
2. bInterprète ce résultat en termes de coût marginal $C'(q)$.
3. cDonne une équation de la tangente $T$ à la courbe de $C$ au point d'abscisse $4$.
4. dCalcule la différence entre $C(q)$ et l'expression de $T$, et reconnais un cube. Déduis-en la position de la courbe par rapport à $T$. Que représente le point d'abscisse $4$ ?
5. eEstime $C(4{,}5)$ avec $T$. Cette estimation est-elle inférieure ou supérieure à la valeur exacte ? Justifie.

Ex. 38★★★Une exponentielle au-dessus d'une droite, puis un encadrement — Soit $f(x) = \mathrm{e}^{2x-1}$ définie sur $\mathbb{R}$, de courbe $\mathcal{C}_f$.

1. aCalcule $f'(x)$ puis $f''(x)$, et déduis-en la convexité de $f$ sur $\mathbb{R}$.
2. bDétermine une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\frac{1}{2}$.
3. cDéduis-en une inégalité vérifiée par $\mathrm{e}^{2x-1}$ pour tout réel $x$. En posant $t = 2x - 1$, démontre que $\mathrm{e}^{t} \geqslant 1 + t$ pour tout réel $t$.
4. dApplique l'inégalité $\mathrm{e}^{t} \geqslant 1 + t$ à $t = -0{,}4$, puis à $t = 0{,}4$. Déduis-en un encadrement de $\mathrm{e}^{-0{,}4}$ d'amplitude inférieure à $0{,}12$.
5. eRetrouve l'inégalité de la question 3 sans la convexité, en étudiant les variations de la différence $g$ entre $f$ et l'expression de $T$. Pour quelle valeur de $x$ y a-t-il égalité ?

Ex. 39★★★Autour d'un point d'inflexion : où l'inégalité tient, où elle tombe — Soit $f(x) = (x + 1)\mathrm{e}^{-x}$ définie sur $\mathbb{R}$, de courbe $\mathcal{C}_f$.

1. aCalcule $f'(x)$ puis $f''(x)$ sous forme factorisée. Étudie la convexité de $f$ et donne les coordonnées de son point d'inflexion $I$.
2. bDétermine une équation de la tangente $T_1$ à $\mathcal{C}_f$ en $I$. Justifie la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T_1$ de part et d'autre de $I$.
3. cDétermine une équation de la tangente $T_2$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $2$. Déduis-en une inégalité vérifiée par $f(x)$, en précisant l'intervalle où elle est garantie.
4. dNoah affirme : « L'inégalité de la question 3 est vraie pour tout réel $x$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 40★★★Application Sentier+ : téléchargements encadrés par tangentes et corde — L'application de randonnée Sentier+ est lancée à $t = 0$. Le nombre de téléchargements, en milliers, $t$ mois après le lancement, est $N(t) = 10\ln(2t + 1)$ pour $t \in [0\,;\,+\infty[$. On note $\mathcal{C}_N$ sa courbe.

1. aCalcule $N'(t)$ et $N''(t)$, puis étudie la convexité de $N$ sur $[0\,;\,+\infty[$. Interprète en termes de rythme des téléchargements.
2. bDétermine une équation de la tangente à $\mathcal{C}_N$ en $0$. Déduis-en une inégalité vérifiée par $N(t)$ pour tout $t \geqslant 0$.
3. cDétermine une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_N$ au point d'abscisse $2$. Déduis-en un majorant de $N(2{,}5)$ au centième par excès, puis compare-le à $N(2{,}5)$.
4. dSur $[a\,;\,b]$, la courbe d'une fonction concave est au-dessus de ses cordes. Donne une équation de la corde de $\mathcal{C}_N$ entre les abscisses $0$ et $2$.
5. eÀ l'aide des questions 3 et 4, encadre $N(1)$ (bornes au centième), puis compare avec la valeur de $N(1)$ arrondie au centième.

Ex. 41★★★Une information, une conclusion — Une fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour chaque information, dis ce que tu peux en déduire sur $f$ (variations, convexité, point d'inflexion).

1. aOn sait que $f'$ est strictement croissante sur $[-2\,;\,4]$.
2. bOn sait que $f'(x)>0$ pour tout $x$ de $[1\,;\,6]$.
3. cOn sait que $f''(x)=(x-5)^2\,\mathrm{e}^{x}$ pour tout réel $x$.
4. dOn sait que $f'$ est croissante sur $]-\infty\,;\,-1]$, décroissante sur $[-1\,;\,+\infty[$, et que $f'(-1)=7$.
5. eOn sait que $f''(x)=4-2x$ pour tout réel $x$.
6. fSur $[0\,;\,8]$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de toutes ses tangentes.

Ex. 42★★★Calculer f″ et lire la convexité — Pour chaque fonction, calcule la dérivée seconde, puis donne le plus grand intervalle sur lequel la fonction est convexe.

1. a$f(x)=2x^3-9x^2+4x-1$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$g(x)=(x+1)\,\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$.
3. c$h(x)=x\ln x-3x$ sur $]0\,;\,+\infty[$.
4. d$k(x)=\mathrm{e}^{-2x+1}+x^2$ sur $\mathbb{R}$.
5. e$m(x)=-x^4+6x^2$ sur $\mathbb{R}$.

Ex. 43★★★Coût marginal et rendements — La fabrique de lampes Lumio produit $q$ centaines de lampes, $q\in[0\,;\,80]$. Son coût total $C$ est deux fois dérivable. Voici le tableau de variations du coût marginal $C'$ :

1. aSur quel intervalle le coût total $C$ est-il convexe ? Concave ?
2. bQue signifie, pour le coût d'une lampe supplémentaire, la convexité de $C$ sur cet intervalle ?
3. cDonne l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de $C$.
4. dÀ l'aide du minimum de $C'$, justifie que le coût total $C$ est croissant sur $[0\,;\,80]$.
5. eDans un autre atelier, la production $P(x)$ pour $x$ heures de travail vérifie $P''(x)<0$ sur $[0\,;\,40]$. Les rendements sont-ils croissants ou décroissants ? Justifie.

Ex. 44★★★Trois tableaux à ne pas confondre — Une fonction $f$ est deux fois dérivable sur $[0\,;\,5]$. Tableau A : variations de $f$ ; tableau B : variations de $f'$ ; tableau C : signe de $f''$.
A :

1. aSur quel intervalle $f$ est-elle convexe ? Justifie à l'aide de deux tableaux.
2. bInès affirme : « $\mathcal{C}_f$ a un point d'inflexion d'abscisse $3$, car $f$ change de sens de variation en $3$. » Corrige son erreur.
3. cDonne le coefficient directeur de la tangente au point d'inflexion. $f$ est-elle croissante ou décroissante en ce point ?
4. dSur $[3\,;\,5]$, $f$ est-elle croissante ? Convexe ? Indique à chaque fois le tableau utilisé.

Ex. 45★★★Vrai ou faux sur un tableau de signe de f″ — Une fonction $g$ est deux fois dérivable sur $[-4\,;\,5]$, et $g''$ ne s'annule qu'en $0$ et en $3$ :

1. a« $g$ est concave sur $[-4\,;\,3]$. »
2. b« La courbe de $g$ a deux points d'inflexion. »
3. c« $g'$ admet un minimum en $3$. »
4. d« On peut affirmer que $g$ est croissante sur $[3\,;\,5]$. »
   (Pour un contre-exemple, pense à $x\mapsto\frac{x^5}{20}-\frac{x^4}{4}-40x$.)

Ex. 46★★★Téléchargements de l'application Bloomy — Le nombre de téléchargements cumulés de l'application Bloomy, en milliers, $t$ semaines après sa sortie, est $V(t)=50-(50+25t)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ pour $t\in[0\,;\,12]$.

1. aCalcule $V'(t)$ et justifie que $V$ est croissante sur $[0\,;\,12]$.
2. bCalcule $V''(t)$, factorise-la et étudie son signe.
3. cDéduis-en la convexité de $V$ et les coordonnées du point d'inflexion
   (ordonnée arrondie au centième).
4. dMehdi affirme : « Après la semaine 2, les téléchargements diminuent. » Corrige-le et décris l'évolution des téléchargements.

Ex. 47★★★Placer le point d'inflexion — Soit $a$ un réel et $f(x)=x^3+ax^2+30x-1$ sur $\mathbb{R}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe.

1. aCalcule $f''(x)$ en fonction de $a$.
2. bDétermine $a$ pour que $\mathcal{C}_f$ ait un point d'inflexion d'abscisse $3$.
3. cAvec cette valeur de $a$, détermine une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'inflexion.
4. dDéduis-en, sans calcul, la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$ sur $]-\infty\,;\,3]$ et sur $[3\,;\,+\infty[$.

Ex. 48★★★Grippe à Montclar : accélération puis ralentissement — Une épidémie de grippe touche la ville de Montclar. Le nombre total de cas, en dizaines, $t$ jours après le premier signalement, est $N(t)=-t^3+18t^2+10$ pour $t\in[0\,;\,12]$. On note $\mathcal{C}_N$ sa courbe. $N'(t)$ est le nombre de nouveaux cas par jour, en dizaines.

1. aCalcule $N'(t)$, factorise-le, puis justifie que $N$ est croissante sur $[0\,;\,12]$.
2. bCalcule $N''(t)$ et étudie son signe. Déduis-en la convexité de $N$ et le point d'inflexion de $\mathcal{C}_N$.
3. cLéa affirme : « $N'(t)\geqslant 0$ sur $[0\,;\,12]$, donc $N$ est convexe : l'épidémie accélère pendant les 12 jours. » Explique son erreur et décris ce qui se passe vraiment.
4. dDéduis de la question 2 le jour où le nombre de nouveaux cas par jour est maximal, puis donne ce maximum en nombre de cas.
5. eDétermine une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_N$ au point d'inflexion. Étudie la position de $\mathcal{C}_N$ par rapport à $T$ (tu peux développer $(t-6)^3$).

Ex. 49★★★Du tableau de f′ aux trois lectures — Une fonction $f$ est deux fois dérivable sur $[-3\,;\,5]$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe. Voici le tableau de variations de $f'$ :

1. aDétermine le signe de $f'(x)$ sur $[-3\,;\,5]$, puis déduis-en les variations de $f$.
2. bDétermine sur quels intervalles $f$ est convexe et concave, et l'abscisse du point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$. Justifie.
3. cHugo affirme : « $f$ est convexe sur $[-2\,;\,4]$ car $f'$ y est positive. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dSans calcul, donne le signe de $f''(x)$ sur $[-3\,;\,1]$ et sur $[1\,;\,5]$, ainsi que la valeur de $f''(1)$. Justifie.
5. eOn admet que $f(x)=-x^3+3x^2+24x-5$. Calcule $f''(x)$ et retrouve les résultats des questions 2 et 4.

Ex. 50★★★Encadrer ln(1,2) grâce à la concavité — Soit $h(x)=\ln(2x+1)$ sur $I=\left]-\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[$ et $\mathcal{C}_h$ sa courbe. On note $A(0\,;\,0)$ et $B\left(\frac{1}{2}\,;\,\ln 2\right)$, deux points de $\mathcal{C}_h$. On prendra $\ln 2\approx 0{,}693$.

1. aCalcule $h'(x)$ et $h''(x)$, puis étudie la convexité de $h$ sur $I$.
2. bDétermine une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}_h$ en $0$. Déduis-en une inégalité vraie pour tout $x$ de $I$. Justifie.
3. cDétermine une équation de la droite $(AB)$. Démontre que pour tout $x\in\left[0\,;\,\frac{1}{2}\right]$, $\ln(2x+1)\geqslant 2x\ln 2$.
4. dDéduis des questions 2 et 3 un encadrement de $\ln(1{,}2)$, et donne son amplitude.
5. eVrai ou faux : « Pour tout $x$ de $I$, $\ln(2x+1)\geqslant 2x\ln 2$. » Justifie.