Terminale maths complémentaires / Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Ex. 1★★★Automatismes : justifier la continuité — Pour chaque fonction, justifie qu'elle est continue sur l'intervalle indiqué. Cite la règle du cours que tu utilises.

1. a$f(x) = 3x^4 - 2x + 7$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$g(x) = e^{x} + x^2$ sur $\mathbb{R}$.
3. c$h(x) = x\ln x$ sur $]0\,;+\infty[$.
4. d$k(x) = \sqrt{x} + 5x$ sur $[0\,;+\infty[$.
5. e$p(x) = e^{2x-1}$ sur $\mathbb{R}$.
6. f$r(x) = \frac{4}{x+2}$ : est-elle continue sur $]-2\,;+\infty[$ ? Et sur $\mathbb{R}$ ? Justifie.
7. gUne fonction $q$ est dérivable sur $[1\,;6]$. Que peux-tu dire de sa continuité sur $[1\,;6]$ ?

Ex. 2★★★Automatismes : vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse. Si c'est faux, donne un contre-exemple.

1. a« La fonction $u$ définie par $u(x) = x + 1$ si $x < 3$ et $u(x) = 7 - x$ si $x \geqslant 3$ est continue sur $\mathbb{R}$. »
2. b« Toute fonction continue sur un intervalle $I$ est dérivable sur $I$. »
3. c« La fonction $x \mapsto |x - 2|$ est continue en $2$. »
4. d« $x \mapsto \frac{1}{x}$ est continue sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, donc sa courbe se trace sans lever le crayon sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. »
5. e« Si $f$ est continue sur $[0\,;3]$ avec $f(0) = -2$ et $f(3) = 5$, alors $f(x) = 1$ a au moins une solution dans $[0\,;3]$. »
6. f« Si $f(0) = -2$ et $f(3) = 5$, alors l'équation $f(x) = 1$ a au moins une solution dans $[0\,;3]$. »

Ex. 3★★★Automatismes : le TVI s'applique-t-il ? — Dans chaque cas, justifie la continuité sur l'intervalle et calcule les images aux bornes. Dis ensuite si le TVI permet d'affirmer que l'équation $f(x) = k$ a au moins une solution dans l'intervalle (valeurs approchées à $0{,}001$ près).

1. a$f(x) = x^3 + 2x - 5$ sur $[1\,;2]$, avec $k = 0$.
2. b$g(x) = e^{x} - 3$ sur $[0\,;2]$, avec $k = 0$.
3. c$u(x) = \ln x + x$ sur $[1\,;e]$, avec $k = 2$.
4. d$m(x) = \sqrt{x} - 2$ sur $[1\,;9]$, avec $k = 2$.
5. e$h(x) = 2x^2 - 4x$ sur $[0\,;3]$, avec $k = -1$. Calcule aussi $h(1)$ et reprends la question sur $[0\,;1]$.

Ex. 4★★★Le tarif postal de Saint-Malo — À la poste de Saint-Malo, le prix $P(m)$ d'une lettre, en euros, dépend de sa masse $m$ (en grammes), pour $m$ dans $]0\,;250]$ :

1. aDonne le prix d'une lettre de $20$ g, puis celui d'une lettre de $21$ g.
2. bLa fonction $P$ est-elle continue sur $]0\,;250]$ ? Justifie.
3. cSur l'intervalle $]20\,;100]$, la courbe de $P$ se trace-t-elle sans lever le crayon ? Justifie.
4. dInès dit : « $P(5) = 1{,}50$ et $P(200) = 6$. Comme $4$ est compris entre $1{,}50$ et $6$, une lettre coûte $4$ €. » Explique son erreur.

Ex. 5★★★Choisir le paramètre pour raccorder — Soit $a$ un réel. On définit la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 - 3x + a$ si $x \leqslant 1$, et $f(x) = 2x + 5$ si $x > 1$.

1. aOn prend $a = 0$. Calcule les deux expressions en $x = 1$. La fonction $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ? Justifie.
2. bDétermine la valeur de $a$ pour laquelle $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
3. cAvec cette valeur de $a$, justifie que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
4. dAvec cette valeur de $a$, calcule $f(-1)$ et $f(1)$. Montre ensuite que l'équation $f(x) = 10$ admet au moins une solution dans $[-1\,;1]$.

Ex. 6★★★Le TVI de Léo — Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$.

1. aCalcule $g(0)$ et $g(2)$.
2. bLéo écrit : « $0$ est compris entre $g(0)$ et $g(2)$, donc d'après le TVI, $g(x) = 0$ a au moins une solution dans $[0\,;2]$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cMontre que l'équation $g(x) = 0$ n'a aucune solution réelle.
4. dJustifie que $g$ est continue sur $[2\,;5]$. Montre ensuite que l'équation $g(x) = 6$ admet au moins une solution dans $[2\,;5]$.

Ex. 7★★★Perfusion à l'hôpital de Rennes — À l'hôpital de Rennes, Lucie reçoit un médicament en perfusion pendant $1$ h, puis le médicament s'élimine. Sa concentration dans le sang, en mg/L, à l'instant $t$ (en heures) est donnée sur $[0\,;5]$ par $C(t) = t^2 + 3t$ si $0 \leqslant t \leqslant 1$, et $C(t) = a\,e^{1-t}$ si $1 < t \leqslant 5$, où $a > 0$.

1. aJustifie que $C$ est continue sur $[0\,;1]$ et sur $]1\,;5]$, quelle que soit la valeur de $a$.
2. bCalcule les deux expressions de $C$ en $t = 1$. Détermine $a$ pour que $C$ soit continue sur $[0\,;5]$.
3. cAvec $a = 4$, Ben affirme : « $C$ est continue en $1$, donc sa courbe n'a pas d'angle en $1$. » A-t-il raison ? Compare les dérivées des deux expressions en $1$.
4. dDémontre que la concentration vaut $2$ mg/L à au moins un instant de $[0\,;1]$ et à au moins un instant de $[1\,;5]$.
5. eRésous l'équation $C(t) = 2$ sur $[0\,;1]$, puis sur $]1\,;5]$. Donne les valeurs exactes, puis les instants arrondis à la minute.

Ex. 8★★★Le balayage de Nina — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 6x + 2$. Pour encadrer les solutions de l'équation $f(x) = 0$, Nina écrit le programme suivant : def f(x): return x**3 - 6*x + 2 def balayage(g, a): n = 0 while g(a + n/10) * g(a + (n + 1)/10) > 0: n = n + 1 return a + n/10, a + (n + 1)/10

1. aJustifie que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. Calcule ensuite $f(-3)$, $f(0)$, $f(1)$ et $f(3)$.
2. bDémontre que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins trois solutions dans $[-3\,;3]$.
3. cQu'affiche l'instruction print(balayage(f, 0)) ? Interprète ce résultat pour l'équation $f(x) = 0$.
4. dNina teste son programme avec la fonction $h$ définie sur $[0\,;2]$ par $h(x) = x - 2$ si $x < 1$, et $h(x) = x$ si $x \geqslant 1$. Calcule $h(0{,}9)$ et $h(1)$.
5. ebalayage(h, 0) renvoie (0.9, 1.0). Nina en conclut que l'équation $h(x) = 0$ a une solution dans $[0{,}9\,;1]$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 9★★★Continue ou pas ? — Automatismes. Pour chaque fonction, dis si elle est continue sur l'intervalle donné. Justifie en une phrase.

1. a$f(x)=2x^4-7x+1$ sur $\mathbb{R}$.
2. b$g(x)=\dfrac{3x-1}{x+2}$ sur $[0\,;5]$.
3. c$h(x)=x\,e^{x}+4$ sur $\mathbb{R}$.
4. d$k(x)=\sqrt{x}-3x$ sur $[0\,;+\infty[$.
5. e$m(x)=\ln x+x^2$ sur $]0\,;+\infty[$.
6. f$p(x)=\dfrac{5}{x-3}$ sur $[1\,;4]$.
7. g$q$ est une fonction dérivable sur $[-1\,;2]$ : que peux-tu dire de sa continuité sur $[-1\,;2]$ ?

Ex. 10★★★Le TVI s'applique-t-il ? — Automatismes. Les fonctions sont continues sur l'intervalle indiqué. Calcule les valeurs exactes aux bornes avant de conclure.

1. a$f(x)=x^3-5x+3$ : montre que $f$ s'annule au moins une fois sur $[0\,;1]$.
2. b$g(x)=e^{x}-3$ : $g(1)$ et $g(2)$ sont-ils de signes contraires ? Conclus pour l'équation $g(x)=0$ sur $[1\,;2]$.
3. c$h(x)=\frac{4}{x+1}$ : montre que l'équation $h(x)=3$ admet au moins une solution dans $[0\,;3]$.
4. d$p(x)=x^2+2x$ : le TVI permet-il de conclure pour l'équation $p(x)=10$ sur $[1\,;2]$ ? Justifie.
5. e$q(x)=x^3-2x^2+4$ : donne une solution de l'équation $q(x)=4$ dans $[2\,;3]$, sans résoudre l'équation.
6. f$r(x)=\sqrt{x}+x$ : trouve un entier $n$ tel que le TVI prouve que l'équation $r(x)=5$ a au moins une solution dans $[n\,;n+1]$.

Ex. 11★★★Un raccord à régler — Soit $m$ un réel. On définit $f$ sur $[0\,;5]$ par $f(x)=x^2$ si $0\leqslant x\leqslant 2$ et $f(x)=3x+m$ si $2<x\leqslant 5$.

1. aOn prend $m=1$. Calcule $f(0)$ et $f(5)$, puis montre que l'équation $f(x)=5$ n'a aucune solution dans $[0\,;5]$.
2. bToujours avec $m=1$, compare $f(2)$ et $3\times2+1$. Explique pourquoi le TVI ne s'applique pas.
3. cDétermine $m$ pour que les deux expressions soient égales en $2$, c'est-à-dire pour que $f$ soit continue sur $[0\,;5]$.
4. dAvec cette valeur de $m$, montre que $f(x)=5$ admet au moins une solution dans $[0\,;5]$, puis détermine-la.

Ex. 12★★★Vrai ou faux sur le TVI — Vrai ou faux ? Justifie : une preuve si c'est vrai, un contre-exemple si c'est faux.

1. aSi $f$ est continue sur $[0\,;2]$ avec $f(0)=-1$ et $f(2)=1$, alors $f(x)=0$ a une unique solution dans $[0\,;2]$. (Teste $f(x)=4x^3-12x^2+9x-1$.)
2. bSi $f(x)=0$ a une solution dans $[a\,;b]$, alors $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires.
3. cSi $f$ est continue sur $[1\,;3]$ avec $f(1)=2$ et $f(3)=6$, alors $f(x)=7$ n'a aucune solution dans $[1\,;3]$.
4. dPour $f(x)=\frac{1}{x}$, $f(-1)<0$ et $f(1)>0$, donc $f(x)=0$ a au moins une solution dans $[-1\,;1]$.
5. eSi $f$ est continue sur $[0\,;5]$ avec $f(0)=4$ et $f(5)=-2$, alors $f(x)=1$ a au moins une solution dans $[0\,;5]$.

Ex. 13★★★Trois copies à corriger — Chaque copie contient au moins une erreur. Trouve-la, puis écris une conclusion correcte.

1. aLéo : « $f(x)=x^3-3x^2+1$. $f(0)=1$ et $f(1)=-1$, donc l'équation $f(x)=0$ a une unique solution dans $[0\,;1]$. »
2. bCamille : « $g(x)=\frac{2x+1}{x-1}$. $g(0)=-1$ et $g(3)=\frac{7}{2}$, donc d'après le TVI, $g(x)=0$ a une solution dans $[0\,;3]$. »
3. cMalik : « $h(x)=e^{x}-4x$. $h(0)=0$ et $h(1)=e-4<0$ : pas de signes contraires, donc le TVI ne dit rien sur $[0\,;1]$. »

Ex. 14★★★Concentration d'un médicament — Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang est $C(t)=10t\,e^{-0{,}5t}$ (en mg/L), où $t\in[0\,;6]$ est le temps en heures.

1. aJustifie que $C$ est continue sur $[0\,;6]$.
2. bCalcule $C(0)$ et $C(1)$ (valeur exacte, puis arrondi au centième). Montre que la concentration atteint $5$ mg/L au moins une fois pendant la première heure.
3. cSarah affirme : « $C(6)\approx2{,}99$, donc $7$ n'est pas entre $C(0)$ et $C(6)$ : la concentration n'atteint jamais $7$ mg/L. » A-t-elle raison ? Utilise $C(2)$.
4. dMontre que la concentration vaut $4$ mg/L au moins une fois entre $t=4$ et $t=6$.

Ex. 15★★★Une fonction, plusieurs équations — Soit $g$ la fonction définie sur $[-3\,;3]$ par $g(x)=x^3-6x+2$.

1. aJustifie que $g$ est continue sur $[-3\,;3]$, puis calcule les valeurs exactes de $g(-3)$, $g(-2)$, $g(0)$, $g(1)$, $g(2)$ et $g(3)$.
2. bMontre que l'équation $g(x)=0$ admet au moins trois solutions dans $[-3\,;3]$.
3. cMontre que l'équation $g(x)=6$ admet au moins deux solutions dans $[-3\,;3]$.
4. dMontre que l'équation $g(x)=x$ admet au moins une solution dans $[0\,;1]$. Tu pourras poser $h(x)=g(x)-x$.

Ex. 16★★★Bénéfice et taxe au-delà de 300 objets — Une entreprise fabrique $x$ centaines d'objets, avec $x\in[0\,;6]$. Au-delà de $300$ objets, elle paie une taxe fixe. Son bénéfice, en milliers d'euros, vaut $B(x)=-x^2+6x-5$ si $0\leqslant x\leqslant 3$ et $B(x)=-x^2+6x-8$ si $3<x\leqslant 6$.

1. aCalcule $B(0)$, $B(3)$ et $B(6)$. Calcule aussi $-x^2+6x-8$ pour $x=3$. La fonction $B$ est-elle continue sur $[0\,;6]$ ? Justifie.
2. bJules affirme : « $B(0)$ et $B(6)$ sont négatifs, donc le bénéfice n'est jamais nul. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
3. cMontre que l'équation $B(x)=2$ admet au moins une solution dans $[0\,;3]$.
4. dAna écrit : « $B(3)=4$ et $B(6)=-8$, donc d'après le TVI, $B(x)=2$ a une solution dans $[3\,;6]$. » Explique son erreur, puis cherche s'il existe une solution dans $[3\,;6]$.
5. eMontre que $B$ s'annule au moins une fois sur $[3{,}5\,;6]$. Que signifie ce résultat pour l'entreprise ?

Ex. 17★★★Automatismes : lire un tableau de variations — La fonction $f$ est continue sur $[-3\,;4]$. Voici son tableau de variations :

1. aCombien de solutions l'équation $f(x) = 0$ admet-elle sur $[-3\,;4]$ ? Justifie.
2. bJustifie que l'équation $f(x) = 4$ admet une seule solution sur $[-3\,;4]$.
3. cL'équation $f(x) = -2{,}5$ a-t-elle une solution sur $[-3\,;4]$ ? Justifie.
4. dCombien de solutions l'équation $f(x) = 3$ admet-elle sur $[-3\,;4]$ ? Attention à la borne $4$.
5. eExiste-t-il un réel $k$ tel que l'équation $f(x) = k$ ait trois solutions sur $[-3\,;4]$ ? Justifie.

Ex. 18★★★Automatismes : vrai ou faux sur les hypothèses — Vrai ou faux ? Justifie. Si c'est faux, donne un contre-exemple.

1. aLa fonction $x \mapsto \ln x + x^2$ est continue sur $]0\,;+\infty[$.
2. bSi $g$ est continue sur $[0\,;2]$ avec $g(0) < 0$ et $g(2) > 0$, alors l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution dans $[0\,;2]$.
3. cSi $h$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$ avec $h(0) = -1$ et $h(1) = 1$, alors l'équation $h(x) = 0$ a une solution dans $[0\,;1]$.
4. d$u$ est continue et strictement décroissante sur $]0\,;+\infty[$, de limite $+\infty$ en $0$ et $2$ en $+\infty$ : l'équation $u(x) = 2$ a une unique solution.
5. eSi l'équation $v(x) = 4$ a une unique solution sur $[-1\,;3]$, alors $v$ est strictement monotone sur $[-1\,;3]$.

Ex. 19★★★Automatismes : ln, réciproque de exp — On note $f$ la fonction exponentielle sur $\mathbb{R}$ : $f(x) = e^{x}$. Elle est continue et strictement croissante, de limite $0$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$. On note $f^{-1}$ sa fonction réciproque.

1. aJustifie que, pour tout réel $y > 0$, l'équation $e^{x} = y$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$.
2. bOn note $\alpha$ la solution de $e^{x} = 7$. Exprime $\alpha$ à l'aide de $f^{-1}$, puis de $\ln$, et donne une valeur approchée de $\alpha$ à $0{,}01$ près.
3. cNathan écrit : « l'équation $e^{x} = -2$ a pour solution $x = \ln(-2)$ ». A-t-il raison ? Justifie.
4. dThéo affirme que $f^{-1}(x) = \frac{1}{e^{x}}$. A-t-il raison ? Justifie avec $x = 2$.
5. eSans calculatrice, donne $f^{-1}(1)$ et $f^{-1}(e^{3})$.
6. fLa fonction carré admet-elle une fonction réciproque sur $[-2\,;2]$ ? Justifie.

Ex. 20★★★Corollaire sur un intervalle infini — Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = 2x + \ln x$.

1. aJustifie que $f$ est continue, puis étudie le signe de $f'(x)$ pour montrer que $f$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.
2. bDétermine $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.
3. cMontre que l'équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;+\infty[$.
4. dCalcule $f(1)$ et une valeur approchée de $f(2)$ à $0{,}001$ près, puis déduis-en deux entiers consécutifs qui encadrent $\alpha$.
5. eLina affirme : « l'équation $f(x) = -100$ n'a pas de solution, car $x > 0$ donc $f(x) > 0$ ». A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 21★★★Compter les solutions de g(x) = h(x) — On veut résoudre l'équation $x^3 + 5 = 12x$ sur $[0\,;4]$. On pose $f(x) = x^3 - 12x + 5$ pour $x \in [0\,;4]$.

1. aExplique pourquoi résoudre $x^3 + 5 = 12x$ revient à résoudre $f(x) = 0$.
2. bVérifie que $f'(x) = 3(x-2)(x+2)$, étudie son signe sur $[0\,;4]$ puis dresse le tableau de variations de $f$.
3. cMontre que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $[0\,;4]$.
4. dCombien de solutions l'équation $f(x) = 10$ admet-elle dans $[0\,;4]$ ? Justifie.

Ex. 22★★★Durée d'efficacité d'un médicament — $t$ heures après la prise, la concentration d'un médicament dans le sang vaut $C(t) = 10t\,e^{-0{,}5t}$ (en mg/L), pour $t \in [0\,;10]$. On admet que $C'(t) = 5(2 - t)e^{-0{,}5t}$. Le médicament est efficace quand $C(t) \geqslant 5$.

1. aÉtudie le signe de $C'(t)$, puis dresse le tableau de variations de $C$ sur $[0\,;10]$
   (valeurs arrondies à $0{,}01$).
2. bMontre que l'équation $C(t) = 5$ admet exactement deux solutions $t_1$ et $t_2$ dans $[0\,;10]$, avec $t_1 < t_2$.
3. cÀ la calculatrice, donne un encadrement d'amplitude $0{,}01$ de $t_1$ et de $t_2$.
4. dDéduis-en la durée pendant laquelle le médicament est efficace, à $0{,}1$ h près.

Ex. 23★★★Deux solutions sur un intervalle infini, puis fonction réciproque — Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;+\infty[$ par $f(x) = x^2 - 6\ln x$. On admet que $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = +\infty$ et que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

1. aJustifie que $f$ est continue sur $]0\,;+\infty[$. Montre que $f'(x) = \frac{2(x^2 - 3)}{x}$, puis dresse le tableau de variations de $f$
   (minimum en valeur exacte).
2. bMontre que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ dans $]0\,;+\infty[$, avec $\alpha < \beta$.
3. cAvec un balayage à la calculatrice, donne un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
4. dSelon les valeurs du réel $k$, donne le nombre de solutions de l'équation $f(x) = k$ sur $]0\,;+\infty[$. Justifie.
5. eOn note $g$ la fonction $f$ restreinte à $[\sqrt{3}\,;+\infty[$. Justifie que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$, puis détermine $g^{-1}(9 - 6\ln 3)$ et $g^{-1}(0)$.

Ex. 24★★★Seuil de rentabilité d'une entreprise — Une entreprise fabrique entre 100 et 600 objets. Pour $x$ centaines d'objets, avec $x \in [1\,;6]$, son bénéfice en milliers d'euros est $B(x) = -2x^3 + 15x^2 - 24x - 10$.

1. aÉtudie le signe de $B'(x)$, dresse le tableau de variations de $B$ sur $[1\,;6]$, puis dis si un bénéfice de 8 000 € est possible.
2. bLucas affirme : « $B(1)$ et $B(6)$ sont négatifs, donc l'entreprise n'est jamais rentable. » Montre qu'il a tort en prouvant que l'équation $B(x) = 0$ a exactement deux solutions $\alpha < \beta$ dans $[1\,;6]$.
3. cPour encadrer $\alpha$, Ben lance dicho(1, 4, 0.01). Explique pourquoi le test convient sur $[1\,;4]$, puis corrige une ligne pour encadrer $\beta$ sur $[4\,;6]$. def B(x): return -2*x**3 + 15*x**2 - 24*x - 10 def dicho(a, b, p): while b - a > p: m = (a + b) / 2 if B(m) < 0: a = m else: b = m return a, b
4. dOn admet que $3{,}08 < \alpha < 3{,}09$. Encadre $\beta$ à $10^{-2}$ près à la calculatrice, puis donne les nombres d'objets pour lesquels l'entreprise est rentable.

Ex. 25★★★Automatismes : lire et écrire un encadrement — Réponds sans calculatrice. Dans chaque question, $\alpha$ désigne l'unique solution de l'équation étudiée.

1. aQuelle est l'amplitude de l'encadrement $2{,}35 < \alpha < 2{,}4$ ?
2. bOn sait que $0{,}61 < \alpha < 0{,}62$. Donne une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par défaut, puis une par excès.
3. cLéna affirme : « $2{,}83 < \alpha < 2{,}84$, donc l'arrondi de $\alpha$ au centième est $2{,}83$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. d$f$ est continue et strictement croissante sur $[3\,;4]$, avec $f(3{,}6) = -0{,}2$ et $f(3{,}7) = 0{,}1$. Encadre la solution de $f(x) = 0$ avec une amplitude de $0{,}1$.
5. e$g$ est continue et strictement décroissante sur $[0\,;1]$, avec $g(0{,}4) = 1{,}3$ et $g(0{,}5) = 0{,}8$. Encadre la solution de $g(x) = 1$ avec une amplitude de $0{,}1$.
6. fUne dichotomie part de l'intervalle $[1\,;3]$. Quelle est l'amplitude de l'encadrement après $4$ étapes ?
7. gUn balayage au pas de $0{,}1$ peut-il donner l'encadrement $1{,}52 < \alpha < 1{,}53$ ? Justifie.

Ex. 26★★★Automatismes : balayage à la calculatrice — La fonction $g(x) = x^3 + 2x$ est continue et strictement croissante sur $[1\,;2]$. L'équation $g(x) = 5$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1\,;2]$. Voici un tableau de valeurs :

1. aEntre quelles valeurs consécutives du tableau $g(x) - 5$ change-t-il de signe ?
2. bDéduis-en un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.
3. cTom affirme : « $\alpha = 1{,}3$, car $g(1{,}3)$ est la valeur du tableau la plus proche de $5$. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dÀ la calculatrice, poursuis le balayage au pas de $0{,}01$ et donne un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
5. eCet encadrement suffit-il pour donner l'arrondi de $\alpha$ au centième ? Justifie, puis détermine cet arrondi.

Ex. 27★★★Dichotomie à la main avec une fonction décroissante — On considère la fonction $f$ définie sur $[1\,;2]$ par $f(x) = 6 - x^3 - 3x$.

1. aMontre que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1\,;2]$.
2. bInès applique la règle « si $f(m) > 0$ alors $b = m$, sinon $a = m$ ». Calcule $f(1{,}5)$, donne l'intervalle obtenu par Inès après une étape et explique pourquoi $\alpha$ n'y est pas.
3. cFais $4$ étapes correctes de dichotomie à partir de $[1\,;2]$ dans un tableau $a$, $b$, $m$, $f(m)$, puis donne l'encadrement de $\alpha$ obtenu et son amplitude.
4. dCombien d'étapes faut-il, à partir de $[1\,;2]$, pour obtenir un encadrement d'amplitude inférieure ou égale à $10^{-2}$ ?

Ex. 28★★★Corriger un programme de dichotomie — La fonction $f(x) = e^{x} - x - 2$ est continue et strictement croissante sur $[1\,;2]$, et l'équation $f(x) = 0$ y admet une unique solution $\alpha$. Noé a écrit ce programme, qui contient trois erreurs : from math import exp def f(x): return exp(x) - x - 2 def dichotomie(a, b, e): while b - a < e: m = (a + b) / 2 if f(a) * f(m) <= 0: a = m else: b = m return m

1. aNoé tape dichotomie(1, 2, 0.01). Explique pourquoi la boucle while ne tourne jamais, puis corrige sa condition.
2. bQue signifie le test f(a) * f(m) <= 0 pour la position de $\alpha$ ? Corrige les deux affectations qui suivent.
3. cCorrige la dernière ligne pour que la fonction renvoie un encadrement de $\alpha$. Donne ce que renvoie dichotomie(1, 2, 0.01) une fois le programme corrigé, et l'amplitude obtenue.
4. dPour cette fonction, explique pourquoi on pourrait remplacer le test par f(m) >= 0, mais pas pour une fonction décroissante.

Ex. 29★★★Le café qui refroidit — Un café sort de la machine. Sa température, en °C, au bout de $t$ minutes est $T(t) = 20 + 60e^{-0{,}1t}$ pour $t \geqslant 0$. Lucas veut savoir quand elle passe à $50$ °C et écrit ce programme : from math import exp def T(t): return 20 + 60 * exp(-0.1 * t) def balayage(p): t = 0 while T(t) < 50: t = t + p return t - p, t

1. aMontre que l'équation $T(t) = 50$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;+\infty[$.
2. bLucas lance balayage(1) et obtient (-1, 0). Explique pourquoi, puis corrige le test de la boucle.
3. cQue renvoie balayage(1) une fois le programme corrigé ? Justifie avec deux images et interprète le résultat.
4. dCalcule la valeur exacte de $\alpha$ avec la fonction $\ln$, puis donne le nombre de minutes entières à attendre pour que le café soit sous $50$ °C.

Ex. 30★★★Un pas trop grand cache deux solutions — On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;3]$ par $f(x) = x^2 - 3x + 2{,}2$. Sacha fait un balayage au pas de $1$ : $f(0) = 2{,}2$, $f(1) = 0{,}2$, $f(2) = 0{,}2$ et $f(3) = 2{,}2$. Il conclut : « Aucun changement de signe, donc l'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solution. »

1. aCalcule $f(1{,}5)$ et explique l'erreur de Sacha.
2. bDresse le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;3]$, puis montre que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions $\alpha < \beta$.
3. cPar un balayage au pas de $0{,}1$, donne un encadrement d'amplitude $0{,}1$ de $\alpha$ et de $\beta$, en citant les images utilisées.
4. dVrai ou faux : $1{,}72 < \beta < 1{,}73$ ? Justifie.

Ex. 31★★★Durée d'efficacité d'un médicament — La concentration d'un médicament dans le sang, en mg/L, $t$ heures après la prise, est $C(t) = 5t\,e^{-0{,}5t}$ pour $t \in [0\,;10]$. On admet le tableau de variations ci-dessous, avec $C(2) = 10e^{-1}$ et $C(10) = 50e^{-5}$. Le médicament est efficace tant que $C(t) \geqslant 2$.

1. aMontre que l'équation $C(t) = 2$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ dans $[0\,;10]$, avec $\alpha < 2 < \beta$.
2. bPar balayage à la calculatrice, au pas de $0{,}1$ puis de $0{,}01$, donne un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. Cite les images utilisées.
3. cMaëlle lit à la calculatrice $\alpha \approx 0{,}52$ (arrondi au centième) et écrit $0{,}52 < \alpha < 0{,}53$. Calcule $C(0{,}515)$ pour vérifier son arrondi, puis explique l'erreur de son encadrement.
4. dDonne un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-2}$, puis les valeurs approchées de $\beta$ au centième par défaut et par excès.
5. eEncadre la durée $\beta - \alpha$ pendant laquelle le médicament est efficace. Dépasse-t-elle $4$ h $30$ ? Justifie.

Ex. 32★★★Trois solutions et un programme à adapter — On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;4]$ par $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$, de dérivée $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)$. Yanis a écrit ce programme de balayage : def f(x): return x**3 - 6*x**2 + 9*x - 1 def balayage(a, p): x = a while f(x) < 0: x = x + p return x - p, x

1. aÉtudie les variations de $f$ sur $[0\,;4]$, puis détermine, en justifiant, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ dans $[0\,;4]$.
2. bOn note $\alpha$ la solution située dans $[0\,;1]$. Que renvoie balayage(0, 0.1) ? Déduis-en un encadrement de $\alpha$, en citant deux images.
3. cOn note $\beta$ la solution située dans $[1\,;3]$. Que renvoie balayage(1, 0.1) ? Corrige le test de la boucle, puis donne l'encadrement de $\beta$ obtenu.
4. dOn note $\gamma$ la solution située dans $[3\,;4]$. Combien d'étapes de dichotomie faut-il, à partir de $[3\,;4]$, pour encadrer $\gamma$ avec une amplitude inférieure ou égale à $10^{-3}$ ?
5. eModifie le test de la boucle pour que le programme convienne sur chacun des trois intervalles, quel que soit le sens de variation de $f$. Que renvoie alors balayage(3, 0.1) ?

Ex. 33★★★Automatismes : traduire la question en équation — Pour chaque situation, écris l'équation à résoudre sous la forme $f(x) = k$. Donne aussi l'intervalle où chercher la solution.

1. aUn médicament est injecté à $t = 0$. Sa concentration est $C(t)$ en mg/L, $t$ en heures. À partir de quand dépasse-t-elle 1,5 mg/L ?
2. bUne coopérative produit $x$ tonnes de farine, entre 0 et 50 tonnes. Son bénéfice est $B(x)$ en milliers d'euros. À partir de quelle production devient-elle rentable ?
3. cUn four de Limoges refroidit. Sa température est $T(t)$ en °C, $t$ minutes après l'arrêt. Quand atteint-il 40 °C ?
4. dPour un prix $p$ compris entre 2 et 15 euros, l'offre vaut $O(p)$ et la demande $D(p)$. Le prix d'équilibre est celui où l'offre égale la demande. Quelle équation le donne ?
5. eUn capital de 5 000 € est placé à $t = 0$. Il vaut $K(t)$ euros au bout de $t$ années. Quand aura-t-il doublé ?

Ex. 34★★★Automatismes : conclure dans le contexte — Dans chaque situation, $\alpha$ est l'unique solution de l'équation étudiée. Réponds à la question avec l'unité. Arrondis dans le sens qui convient.

1. aUn bain chauffe. Sa température atteint 60 °C à l'instant $\alpha$, en minutes, avec $14{,}2 < \alpha < 14{,}3$. Après combien de minutes entières est-on sûr qu'elle dépasse 60 °C ?
2. bUn atelier de Nantes est rentable pour $x > \alpha$ objets, avec $312{,}4 < \alpha < 312{,}5$. Combien d'objets doit-il fabriquer au minimum ?
3. cUn sirop agit tant que sa concentration reste au-dessus de 0,5 mg/L, soit jusqu'à $\alpha$ heures, avec $6{,}93 < \alpha < 6{,}94$. Pendant combien d'heures entières est-on sûr qu'il agit ?
4. dUn réservoir se remplit à partir de 9 h 00. Il déborde au bout de $\alpha$ heures, avec $2{,}35 < \alpha < 2{,}36$. À quelle heure au plus tard couper l'eau, à la minute près ?
5. eSur un marché de Dijon, le prix d'équilibre est $\alpha$ euros, avec $4{,}372 < \alpha < 4{,}373$. Donne ce prix au centime près.

Ex. 35★★★Balayage : l'équation $x\,e^{x} = 3$ — On admet que $x\,e^{x} = 3$ a une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;+\infty[$. On ne sait pas la calculer. On pose $g(x) = x\,e^{x}$. Voici quelques valeurs de $g$ (arrondies au millième) :

1. aDéduis du tableau un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,1.
2. bTabule $g$ à la calculatrice de 1 à 1,1 avec un pas de 0,01. Donne un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,01.
3. cDonne la valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près par excès.
4. dInès lit 3,00 à l'écran pour une valeur de son tableau au pas de 0,01 et conclut qu'elle a trouvé $\alpha$. A-t-elle raison ? Justifie, puis encadre $\alpha$ à 0,001 près.

Ex. 36★★★Seuil de rentabilité d'une fromagerie — Une fromagerie de Rodez produit $x$ tonnes par mois, avec $0 \leqslant x \leqslant 50$. Son bénéfice, en milliers d'euros, est $B(x) = -0{,}01x^3 + 0{,}6x^2 - 40$.

1. aCalcule $B'(x)$ et étudie son signe. Dresse le tableau de variations de $B$ sur $[0\,;50]$.
2. bLou écrit : « $B(0) < 0$ et $B(50) > 0$, donc d'après le TVI, $B(x) = 0$ a une unique solution sur $[0\,;50]$. » Explique ce qui manque à sa justification.
3. cJustifie que l'équation $B(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;50]$.
4. dDonne un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,01. Déduis-en la production minimale, à 10 kg près, pour que la fromagerie soit rentable.

Ex. 37★★★Deux instants : l'efficacité d'un médicament — Un médicament est administré à un patient à $t = 0$. Sa concentration dans le sang, en mg/L, est $C(t) = 6t\,e^{-0{,}5t}$ pour $t \in [0\,;10]$, avec $t$ en heures. Le médicament est efficace lorsque $C(t) \geqslant 2$.

1. aMontre que $C'(t) = (6 - 3t)\,e^{-0{,}5t}$. Dresse le tableau de variations de $C$ sur $[0\,;10]$
   (valeurs à 0,01 près).
2. bJustifie que l'équation $C(t) = 2$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ sur $[0\,;10]$, avec $\alpha < \beta$.
3. cDonne à la calculatrice un encadrement d'amplitude 0,01 de $\alpha$, puis de $\beta$.
4. dL'infirmière Maëlle affirme que le médicament est efficace pendant plus de 5 h 15 min. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 38★★★Dichotomie : l'équation $\ln x + x = 2$ — On ne sait pas résoudre $\ln x + x = 2$ par le calcul. On pose $f(x) = \ln x + x - 2$ sur $]0\,;+\infty[$. Voici un programme de dichotomie incomplet : from math import log def dicho(p): a = 1 b = 2 while b - a > p: m = (a + b) / 2 if ...: a = m else: b = m return a, b

1. aJustifie que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;+\infty[$.
2. bCalcule $f(1)$ et $f(2)$. Fais ensuite trois étapes de dichotomie à la main à partir de $[1\,;2]$, dans un tableau $a$, $b$, $m$, $f(m)$.
3. cComplète la ligne if ...: pour que le programme réalise cette dichotomie.
4. dCombien de fois la boucle est-elle parcourue lors de l'appel dicho(0.01) ? Justifie avec l'amplitude.
5. eL'appel dicho(0.01) renvoie (1.5546875, 1.5625). Donne une valeur approchée de $\alpha$ à 0,01 près.

Ex. 39★★★Démouler un gâteau : un seuil sur un intervalle infini — Malo, pâtissier à Colmar, sort un gâteau du four à $t = 0$. La température du gâteau, en °C, est $T(t) = 20 + (160 + 8t)\,e^{-0{,}1t}$, où $t \geqslant 0$ est le temps en minutes. Malo démoule dès que la température est inférieure ou égale à 40 °C.

1. aMontre que $T'(t) = -(8 + 0{,}8t)\,e^{-0{,}1t}$, puis déduis-en le sens de variation de $T$ sur $[0\,;+\infty[$.
2. bOn admet que $\lim\limits_{t \to +\infty} T(t) = 20$. Justifie que l'équation $T(t) = 40$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;+\infty[$.
3. cOn ne sait pas résoudre cette équation par le calcul. À la calculatrice, donne un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,1.
4. dAu bout de combien de minutes entières, au minimum, Malo peut-il démouler le gâteau ? Justifie avec le sens de variation de $T$.
5. eLina, son apprentie, affirme : « Si on attend assez longtemps, le gâteau sera exactement à 20 °C. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 40★★★Protéger des semis : deux seuils dans la journée — Clémence, maraîchère près d'Avignon, relève la température extérieure. Celle-ci est modélisée par $T(t) = -0{,}02t^3 + 0{,}6t^2 - 4{,}5t + 14$, en °C, où $t \in [0\,;18]$ est le temps en heures écoulé depuis minuit. Ses semis doivent être sous un voile tant que la température est inférieure à 10 °C.

1. aMontre que $T'(t) = -0{,}06(t - 5)(t - 15)$, puis dresse le tableau de variations de $T$ sur $[0\,;18]$.
2. bNoé écrit : « $T(0) = 14$ et $T(18) \approx 10{,}8$. Comme 12 est compris entre les deux, $T(t) = 12$ a une unique solution sur $[0\,;18]$. » Repère son erreur et corrige-la.
3. cDétermine le nombre de solutions de l'équation $T(t) = 10$ sur $[0\,;18]$. Rédige la justification sur chaque intervalle.
4. dOn note $\gamma$ la solution de $T(t) = 10$ située dans $[5\,;15]$. Ben a écrit ce programme, où f(t) vaut $T(t) - 10$ : def f(t): return -0.02*t**3 + 0.6*t**2 - 4.5*t + 4 a = 5 b = 15 while b - a > 0.01: m = (a + b) / 2 if f(m) < 0: a = m else: b = m print(round(a, 3), round(b, 3)) Explique pourquoi, si f(m) < 0, on remplace a par m. Le programme affiche 10.664 10.674 : donne l'encadrement de $\gamma$ obtenu.
5. eOn note $\beta$ la solution de $T(t) = 10$ située dans $[0\,;5]$, et on admet que $1{,}02 < \beta < 1{,}03$. Clémence pose le voile à l'instant $\beta$ et le retire à l'instant $\gamma$. Donne ces deux horaires à la minute, arrondis dans le sens qui protège les semis.