Terminale spécialité / Continuité et TVI

Ex. 1★★★Automatismes : continue ou pas au point de jonction ? — Pour chaque question, justifie ta réponse par un calcul ou en citant le cours.

1. a$f(x) = x^2 + 1$ si $x < 2$ et $f(x) = 3x - 1$ si $x \geqslant 2$. La fonction $f$ est-elle continue en $2$ ?
2. b$g(x) = \mathrm{e}^{x}$ si $x < 0$ et $g(x) = x + 2$ si $x \geqslant 0$. La fonction $g$ est-elle continue en $0$ ?
3. cPour une fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$, on donne :

   Nombre	$\lim\limits_{x \to 3^-} h(x)$	$h(3)$	$\lim\limits_{x \to 3^+} h(x)$
   Valeur	4	4	1

   La fonction $h$ est-elle continue en $3$ ?
4. d$k(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. Peut-on dire que $k$ n'est pas continue en $2$ ? Justifie.
5. e$u(x) = x^2 - 1$ si $x \leqslant 1$ et $u(x) = 2x$ si $x > 1$. Lina écrit : « $u(1) = 0$ et $\lim\limits_{x \to 1^-} u(x) = 0$, donc $u$ est continue en $1$. » A-t-elle raison ? Justifie.
6. fLa fonction $w : x \mapsto x^3 - 2x + 5$ est-elle continue en $1$ ? Justifie sans calculer de limite.

Ex. 2★★★Automatismes : le bon paramètre — Dans chaque question, détermine, s'il existe, le réel $k$ pour que la fonction soit continue au point indiqué.

1. a$f(x) = 3x + k$ si $x < 1$ et $f(x) = x^2 + 4$ si $x \geqslant 1$, au point $1$.
2. b$g(x) = x^2 + k$ si $x \leqslant 2$ et $g(x) = kx + 1$ si $x > 2$, au point $2$.
3. c$h(x) = \mathrm{e}^{x} + k$ si $x < 0$ et $h(x) = 2x - 3$ si $x \geqslant 0$, au point $0$.
4. d$p(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$ si $x \neq 3$ et $p(3) = k$, au point $3$.
5. e$r(x) = kx^2 - 1$ si $x < 0$ et $r(x) = \sqrt{x + 4}$ si $x \geqslant 0$, au point $0$.

Ex. 3★★★Vrai ou faux : continue, dérivable — Vrai ou faux ? Justifie par une démonstration ou un contre-exemple.

1. a« Toute fonction définie sur $\mathbb{R}$ et continue en $-1$ est dérivable en $-1$. »
2. b« La fonction racine carrée est continue en $0$ et dérivable en $0$. »
3. c$g(x) = x + 1$ si $x < 1$ et $g(x) = x^2$ si $x \geqslant 1$. « $g$ n'est pas dérivable en $1$. »
4. d« Pour prouver que $x \mapsto x^3 - 4x + 1$ est continue sur $\mathbb{R}$, il suffit de dire que sa courbe se trace sans lever le crayon. »

Ex. 4★★★La copie de Nadia — $f(x) = x^2 - 4x + 6$ si $x \leqslant 3$ et $f(x) = 3x - 6$ si $x > 3$. Nadia écrit : « $f(3) = 3$ et $\lim\limits_{x \to 3^+} f(x) = 3$, donc $f$ est continue en $3$. Comme $f$ est continue en $3$, $f$ est dérivable en $3$. »

1. aQuel calcul manque dans la justification de la continuité ? Fais-le, puis conclus sur la continuité de $f$ en $3$.
2. bExplique pourquoi la deuxième phrase de Nadia n'est pas une justification valable.
3. cCalcule la limite de $\frac{f(3 + h) - f(3)}{h}$ quand $h \to 0$ avec $h < 0$, puis avec $h > 0$. Conclus.
4. dCorrigée, Nadia ajoute : « $f$ n'est pas dérivable en $3$, donc $f$ n'est pas continue en $3$. » Qu'en penses-tu ? Justifie.

Ex. 5★★★Deux raccords à régler — Soit $a$ et $b$ deux réels. On définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $f$ par : $f(x) = ax + 1$ si $x < 1$ ; $f(x) = x^2 + bx$ si $1 \leqslant x < 3$ ; $f(x) = 2x + 6$ si $x \geqslant 3$.

1. aJustifie que $f$ est continue sur $]-\infty\,;1[$, sur $]1\,;3[$ et sur $]3\,;+\infty[$.
2. bCalcule $f(3)$, la limite à gauche et la limite à droite de $f$ en $3$, puis détermine $b$ pour que $f$ soit continue en $3$.
3. cTu prends cette valeur de $b$. Détermine $a$ pour que $f$ soit continue sur $\mathbb{R}$.
4. dAvec ces valeurs de $a$ et $b$, calcule la limite à gauche et la limite à droite en $0$ du taux $\frac{f(1 + h) - f(1)}{h}$. La fonction $f$ est-elle dérivable en $1$ ? Justifie.
5. eTu oublies les valeurs trouvées. Existe-t-il des réels $a$ et $b$ pour lesquels $f$ est dérivable en $1$ ? Justifie.

Ex. 6★★★Un trou à boucher — Soit $g$ la fonction définie par $g(x) = \frac{\sqrt{x + 5} - 3}{x - 4}$.

1. aDétermine l'ensemble de définition $D$ de $g$.
2. bInès écrit : « Sur la calculatrice, la courbe de $g$ se trace sans lever le crayon, donc $g$ est continue en $4$. » Relève ses deux erreurs.
3. cMontre que pour tout $x$ de $D$, $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 5} + 3}$, puis calcule $\lim\limits_{x \to 4} g(x)$.
4. dOn pose $G(x) = g(x)$ pour $x \in D$ et $G(4) = k$. Détermine $k$ pour que $G$ soit continue sur $[-5\,;+\infty[$. Justifie.
5. eÉtudie la limite de $\frac{G(-5 + h) - G(-5)}{h}$ quand $h \to 0^+$. Que peux-tu dire de $G$ en $-5$ : continuité, dérivabilité ?

Ex. 7★★★Le drone et la balise — Un drone se déplace en ligne droite. À l'instant $t$ (en s), avec $t \in [0\,;5]$, sa distance (en m) à une balise est $d(t) = |3t - 6|$. Un capteur du drone affiche une mesure $s(t)$, relevée près de $t = 2$ :

1. aÉcris $d(t)$ sans valeur absolue sur $[0\,;2]$ puis sur $[2\,;5]$. Calcule $d(2)$, puis la limite à gauche et la limite à droite de $d$ en $2$.
2. bÉtudie le taux de variation $\frac{d(2 + h) - d(2)}{h}$ selon le signe de $h$. La fonction $d$ est-elle dérivable en $2$ ? Justifie.
3. cÀ l'aide du tableau, conjecture $s(2)$, la limite à gauche et la limite à droite de $s$ en $2$. Que peux-tu conjecturer sur la continuité de $s$ en $2$ ?
4. dLe constructeur donne $s(t) = 2t$ si $t < 2$ et $s(t) = t - 1$ si $t \geqslant 2$. Démontre ta conjecture, puis justifie que $s$ n'est pas dérivable en $2$.

Ex. 8★★★Nommer l'opération et donner l'intervalle — Pour chaque fonction, nomme les fonctions de référence et l'opération utilisées, puis donne le ou les intervalles sur lesquels elle est continue.

1. a$f(x) = 4x^3 - x + 7$.
2. b$g(x) = \sqrt{6 - 2x}$.
3. c$h(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 3}$.
4. d$k(x) = \mathrm{e}^{x^2 - 1}$.
5. e$m(x) = \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^2 + 4}$.
6. f$p(x) = |x - 2| + 3x^2$.

Ex. 9★★★Limites par continuité — Pour chaque suite définie pour $n \geqslant 1$, calcule la limite. Nomme la fonction continue utilisée et le point où elle est continue.

Ex. 10★★★Vrai ou faux sur la continuité — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie. Si elle est fausse, donne un contre-exemple ou la bonne conclusion.

1. aLéa affirme : « $g(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 1}$ est continue sur $\mathbb{R}$, car c'est un quotient de polynômes. »
2. b« $k(x) = \sqrt{x^2 - 9}$ est continue sur $\mathbb{R}$, par composée de fonctions continues. »
3. c« $h(x) = x^3\,\mathrm{e}^{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc $h$ est continue sur $\mathbb{R}$. » Cette justification est-elle valable ?
4. d« Si $(u_n)$ converge vers $2$, alors pour toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$, $(f(u_n))$ converge vers $f(2)$. »

Ex. 11★★★Inès compose une suite et une racine — Inès étudie la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{2x + 3}$ et la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = \frac{3n - 1}{n + 2}$.

1. aDétermine l'ensemble de définition de $f$, puis justifie que $f$ est continue sur cet ensemble.
2. bMontre que $u_n = 3 - \frac{7}{n + 2}$, puis que $u_n \geqslant -0{,}5$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
3. cCalcule $\lim u_n$, puis déduis-en la limite de la suite $\left(\sqrt{2u_n + 3}\right)$.
4. dDétermine la limite de la suite $\left(\mathrm{e}^{-u_n}\right)$.

Ex. 12★★★Racine d'un trinôme et suite qui s'en approche — On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3}$ et la fonction $k$ définie par $k(x) = \frac{x}{f(x)}$. Pour $n \geqslant 2$, on pose $u_n = \frac{5n + 2}{n + 1}$.

1. aÉtudie le signe de $x^2 - 4x + 3$, puis détermine l'ensemble de définition $D$ de $f$.
2. bJustifie que $f$ est continue sur $]-\infty\,;1]$ et sur $[3\,;+\infty[$ en nommant l'opération utilisée.
3. cDétermine les intervalles sur lesquels $k$ est continue. Pourquoi $k$ n'est-elle pas continue sur $[3\,;+\infty[$ ?
4. dVérifie que $u_n = 5 - \frac{3}{n+1}$, puis montre que $u_n \geqslant 4$ pour $n \geqslant 2$ et calcule $\lim u_n$.
5. eDéduis-en $\lim f(u_n)$ et $\lim k(u_n)$ en citant les hypothèses utilisées.

Ex. 13★★★Le capteur de Noah — Noah modélise la concentration (en mg/L) d'un médicament dans le sang, $t$ heures après la prise, par $C(t) = \frac{8t}{t^2 + 4}$ pour $t \geqslant 0$. Il fait des mesures aux instants $t_n = 2 + \frac{3}{n+1}$, $n \in \mathbb{N}$.

1. aJustifie que $C$ est continue sur $[0\,;+\infty[$ en nommant les fonctions de référence et l'opération.
2. bMontre que $C$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ et calcule $C'(t)$. Lina dit que cela suffit pour prouver que $C$ est continue. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cZoé affirme : « une fonction continue sur $[0\,;+\infty[$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ ». Vrai ou faux ? Justifie avec une fonction de référence.
4. dCalcule $\lim t_n$, puis déduis-en la limite de la suite $(C(t_n))$ en citant les hypothèses.
5. eUn capteur défaillant affiche $d(t) = C(t)$ si $t \neq 2$ et $d(2) = 0$. Compare $\lim d(t_n)$ et $d(2)$. Quelle hypothèse manque ?

Ex. 14★★★Une fonction logistique et sa racine — On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = \frac{3}{1 + \mathrm{e}^{-x}}$ et la fonction $q$ définie par $q(x) = \sqrt{3 - h(x)}$. Pour $n \geqslant 1$, on pose $a_n = \frac{2}{n}$.

1. aJustifie que $h$ est continue sur $\mathbb{R}$ : décompose-la en fonctions de référence et nomme chaque opération.
2. bMontre que $3 - h(x) = \frac{3\mathrm{e}^{-x}}{1 + \mathrm{e}^{-x}}$. Déduis-en que $q$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.
3. cCalcule $\lim h(a_n)$ et $\lim q(a_n)$ en citant les hypothèses utilisées.
4. dHugo écrit : « $h$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc $\lim h(n) = h(+\infty)$ ». Explique son erreur, puis calcule correctement $\lim\limits_{n \to +\infty} h(n)$.
5. eUne suite $(c_n)$ converge vers un réel $\ell$ et $\lim h(c_n) = 2$. Détermine $\ell$ en justifiant.

Ex. 15★★★Rédiger le théorème des valeurs intermédiaires — Pour chaque question, donne les trois arguments du TVI : la continuité, les valeurs aux bornes, puis la position de $k$.

1. aMontre que l'équation $x^3 - 3x + 1 = 0$ admet au moins une solution dans $[0\,;1]$.
2. bMontre que l'équation $x^3 + 2x = 7$ admet au moins une solution dans $[1\,;2]$.
3. cMontre que l'équation $\mathrm{e}^{x} = 3 - x$ admet au moins une solution dans $[0\,;1]$.
4. dTrouve un entier $n$ tel que l'équation $x^3 + 2x^2 = 20$ admette au moins une solution dans $[n\,;n+1]$. Justifie.
5. eMontre que l'équation $\frac{4}{x+1} = x$ admet au moins une solution dans $[1\,;2]$.
6. fOn sait seulement que $h$ est continue sur $[-1\,;3]$, que $h(-1) = 4$ et que $h(3) = -2$. Que peut-on affirmer sur l'équation $h(x) = 1$ ? Justifie.

Ex. 16★★★Ce que dit le TVI, et ce qu'il ne dit pas — Vrai ou faux ? Justifie par une preuve ou par un contre-exemple.

1. aSi $f$ est continue sur $[0\,;2]$ avec $f(0) = -1$ et $f(2) = 3$, alors l'équation $f(x) = x$ a au moins une solution dans $[0\,;2]$.
2. b$p(x) = x^3 - x$ est continue sur $[-2\,;2]$ et $p(-2) < 0 < p(2)$, donc l'équation $p(x) = 0$ a une unique solution dans $[-2\,;2]$.
3. cSi $f(a)$ et $f(b)$ sont de même signe, alors $f$ ne s'annule pas sur $[a\,;b]$.
4. dSoit $g$ définie sur $[-1\,;1]$ par $g(x) = x - 1$ si $x < 0$ et $g(x) = x + 1$ si $x \geqslant 0$. Comme $g(-1) < 0 < g(1)$, $g$ s'annule sur $[-1\,;1]$.
5. ePour appliquer le TVI à $f$ sur $[a\,;b]$, il faut que $f$ soit monotone sur $[a\,;b]$.

Ex. 17★★★La serre passe-t-elle par 20 °C ? — Dans une serre, la température (en °C) $t$ heures après 8 h est donnée par $T(t) = 12 + 5t - 0{,}6t^2$, pour $t \in [0\,;8]$.

1. aJustifie que $T$ est continue sur $[0\,;8]$, puis calcule $T(0)$ et $T(8)$.
2. bPeut-on appliquer le TVI sur $[0\,;8]$ pour montrer que la température atteint 20 °C ? Justifie.
3. cCalcule $T(4)$, puis montre que la température vaut 20 °C au moins deux fois entre 8 h et 16 h.
4. dÀ l'aide de $T(2)$, $T(3)$, $T(6)$ et $T(7)$, montre que la température vaut 20 °C à un instant entre 10 h et 11 h, et à un instant entre 14 h et 15 h.
5. eSami affirme : « Le TVI prouve que la température vaut 20 °C exactement deux fois. » Corrige son raisonnement.

Ex. 18★★★L'erreur de Hugo sur une équation de degré 3 — On pose $f(x) = x^3 - 5x + 3$. Hugo écrit : « $f(0) = 3$ et $f(2) = 1$ sont de même signe, donc l'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solution dans $[0\,;2]$. »

1. aVérifie les valeurs données par Hugo, puis calcule $f(1)$.
2. bExplique l'erreur de Hugo.
3. cMontre que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins deux solutions dans $[0\,;2]$.
4. dCalcule $f(-3)$. Déduis-en que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins trois solutions réelles.
5. eSoit $b$ et $c$ deux réels. À l'aide des limites de $x^3 + bx + c$ en $-\infty$ et en $+\infty$, justifie que l'équation $x^3 + bx + c = 0$ admet au moins une solution réelle.

Ex. 19★★★Inès et ses 10 km — Inès court 10 km en 50 minutes. On note $d(t)$ la distance (en km) qu'elle a parcourue $t$ minutes après le départ, pour $t \in [0\,;50]$. On admet que $d$ est continue sur $[0\,;50]$, avec $d(0) = 0$ et $d(50) = 10$.

1. aMontre qu'Inès passe au moins une fois par la borne des 7 km.
2. bOn pose $g(t) = d(t+25) - d(t)$ pour $t \in [0\,;25]$. Justifie que $g$ est continue sur $[0\,;25]$, puis calcule $g(0) + g(25)$.
3. cDéduis-en qu'il existe une période de 25 minutes pendant laquelle Inès parcourt exactement 5 km.
4. dDans cette question, Inès court à vitesse constante : $d(t) = \frac{t}{5}$. Combien d'instants $t_0$ conviennent à la question précédente ? Qu'est-ce que cela illustre ?
5. eDans cette question, $d(t) = 0{,}004t^2$. Vérifie que $d(50) = 10$, puis détermine l'instant $t_0$ de $[0\,;25]$ tel que $g(t_0) = 5$.

Ex. 20★★★Une fonction en deux morceaux — Soit $m$ un réel. On définit $f$ sur $[0\,;3]$ par $f(x) = x^2 - 2$ si $0 \leqslant x < 1$, et $f(x) = mx - 4$ si $1 \leqslant x \leqslant 3$.

1. aDans cette question, $m = 6$. Calcule $f(0)$ et $f(3)$, puis résous l'équation $f(x) = 0$ sur chacun des deux morceaux.
2. bAvec $m = 6$, Noé affirme : « $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(3)$, donc d'après le TVI, $f$ s'annule sur $[0\,;3]$. » Explique précisément son erreur.
3. cDétermine la valeur de $m$ pour laquelle $f$ est continue sur $[0\,;3]$.
4. dPour cette valeur de $m$, montre avec le TVI que $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[0\,;3]$, puis détermine toutes les solutions.

Ex. 21★★★Trois solutions sans monotonie — On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 3$.

1. aCalcule $f(0)$, $f(1)$, $f(3)$ et $f(4)$.
2. bMontre que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins trois solutions dans $[0\,;4]$.
3. cCalcule $f(2)$. Déduis-en trois intervalles de la forme $[n\,;n+1]$, avec $n$ entier, qui contiennent chacun au moins une solution de $f(x) = 0$.
4. dMontre que l'équation $x^3 - 6x^2 + 9x = 5$ admet au moins une solution dans $[3\,;5]$.
5. eOn pose $g(x) = f(x) - 1$. Vrai ou faux : « si $g$ s'annule sur $[0\,;2]$, alors $g(0)$ et $g(2)$ sont de signes contraires » ? Justifie.

Ex. 22★★★Automatismes : compter les solutions sur un tableau — La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et son tableau de variations est ci-dessous. Les flèches indiquent des variations strictes et $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 2$. Justifie chaque réponse morceau par morceau.

1. aCombien de solutions l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle sur $\mathbb{R}$ ?
2. bCombien de solutions l'équation $f(x) = 3$ a-t-elle sur $\mathbb{R}$ ?
3. cYanis affirme que l'équation $f(x) = 2$ a trois solutions, une par flèche du tableau. A-t-il raison ? Justifie.
4. dVrai ou faux ? L'équation $f(x) = 5$ a trois solutions sur $\mathbb{R}$. Justifie.
5. eVrai ou faux ? L'équation $f(x) = 6$ a une unique solution sur $\mathbb{R}$, et elle est supérieure à $3$. Justifie.
6. fPour quelles valeurs de $k$ l'équation $f(x) = k$ n'a-t-elle aucune solution ? Justifie.
7. gPour quelles valeurs de $k$ l'équation $f(x) = k$ a-t-elle exactement une solution ?

Ex. 23★★★Automatismes : le corollaire s'applique-t-il ? — Pour chaque cas, dis si le corollaire du TVI prouve que l'équation $f(x) = k$ a une unique solution sur l'ensemble donné. Justifie. Sinon, indique l'hypothèse qui manque et donne le nombre exact de solutions.

1. a$f(x) = x^2$ sur $[-2\,;3]$, avec $k = 1$.
2. b$f(x) = 2x^3 + x$ sur $[0\,;2]$, avec $k = 10$.
3. c$f(x) = \mathrm{e}^{-x}$ sur $[0\,;+\infty[$, avec $k = 0$.
4. d$f$ vaut $1$ sur $[0\,;1]$ et $f(x) = x$ sur $[1\,;3]$, avec $k = 1$ : $f$ est continue et croissante.
5. e$f(x) = \frac{1}{x}$ sur $[-1\,;0[\,\cup\,]0\,;1]$, avec $k = 0$, qui est compris entre $f(-1)$ et $f(1)$.
6. f$f(x) = \sqrt{x} + x$ sur $[0\,;4]$, avec $k = 7$.

Ex. 24★★★Rédiger le corollaire sur un intervalle ouvert — On considère la fonction $f$ définie sur $]-3\,;+\infty[$ par $f(x) = \frac{2x + 1}{x + 3}$.

1. aJustifie que $f$ est continue et strictement croissante sur $]-3\,;+\infty[$.
2. bDétermine $\lim\limits_{x \to -3^+} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$.
3. cRédige la preuve complète du fait que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-3\,;+\infty[$, puis calcule $\alpha$.
4. dKenza affirme que l'équation $f(x) = 2$ a une unique solution sur $]-3\,;+\infty[$, d'après le corollaire du TVI. A-t-elle raison ? Justifie.
5. eCombien de solutions l'équation $f(x) = -100$ a-t-elle sur $]-3\,;+\infty[$ ? Justifie.

Ex. 25★★★L'erreur de Malo — Soit $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ sur $[-2\,;4]$. Malo écrit : « $g$ est continue, $g(-2) = -16 < 0$ et $g(4) = 20 > 0$, donc d'après le corollaire du TVI, $g(x) = 0$ a une unique solution sur $[-2\,;4]$. »

1. aCalcule $g'(x)$, étudie son signe et explique quelle hypothèse Malo a oubliée.
2. bDresse le tableau de variations de $g$ sur $[-2\,;4]$ avec les valeurs aux bornes de chaque morceau.
3. cCombien de solutions l'équation $g(x) = 0$ a-t-elle sur $[-2\,;4]$ ? Justifie morceau par morceau.
4. dCombien de solutions l'équation $g(x) = 2$ a-t-elle sur $[-2\,;4]$ ? Justifie.
5. eTrouve une racine évidente de $g$, factorise $g(x)$ et retrouve les solutions de $g(x) = 0$.

Ex. 26★★★Problème : une fonction auxiliaire et son signe — On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x\mathrm{e}^{x} - 2$, et la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x - 1)\mathrm{e}^{x} - 2x$. On rappelle que $\lim\limits_{x \to -\infty} x\mathrm{e}^{x} = 0$.

1. aCalcule $g'(x)$, puis dresse le tableau de variations de $g$ sur $\mathbb{R}$, avec ses limites en $-\infty$ et en $+\infty$.
2. bMontre que $g(x) = 0$ n'a aucune solution sur $]-\infty\,;-1]$, puis qu'elle admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
3. cPar balayage à la calculatrice, donne un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
4. dDéduis-en le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$, puis les variations de $f$ (calcule $f'(x)$).
5. eMontre que $\mathrm{e}^{\alpha} = \frac{2}{\alpha}$, puis que $f(\alpha) = 2 - 2\alpha - \frac{2}{\alpha}$.

Ex. 27★★★Discuter selon k le nombre de solutions — On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x + 1)\mathrm{e}^{-x}$. On admet que $\lim\limits_{x \to +\infty} x\mathrm{e}^{-x} = 0$.

1. aCalcule $f'(x)$, étudie son signe et dresse le tableau de variations de $f$, avec ses limites en $-\infty$ et en $+\infty$.
2. bDétermine, avec une rédaction complète, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ sur $\mathbb{R}$.
3. cLina affirme que l'équation $f(x) = 0$ a deux solutions sur $\mathbb{R}$. A-t-elle raison ? Justifie, puis résous $f(x) = 0$.
4. dSelon les valeurs du réel $k$, donne le nombre de solutions de l'équation $f(x) = k$ sur $\mathbb{R}$.

Ex. 28★★★Durée d'efficacité d'un médicament — Un médicament est injecté à l'instant $t = 0$. Sa concentration dans le sang, en mg par litre, vaut $C(t) = 10t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ pour $t \in [0\,;12]$ ($t$ en heures). Il est efficace lorsque $C(t) \geqslant 4$. On utilise ce programme : from math import exp def C(t): return 10 * t * exp(-0.5 * t) def dicho(a, b, p): while b - a > p: m = (a + b) / 2 if (C(a) - 4) * (C(m) - 4) <= 0: b = m else: a = m return a, b

1. aÉtudie les variations de $C$ sur $[0\,;12]$ ; donne $C(2)$ et une valeur approchée de $C(12)$.
2. bMontre que l'équation $C(t) = 4$ admet exactement deux solutions $t_1 < t_2$ dans $[0\,;12]$.
3. cExplique pourquoi le test (C(a) - 4) * (C(m) - 4) <= 0 convient, que $C$ croisse ou décroisse sur $[a\,;b]$.
4. dDétaille les étapes de l'appel dicho(0, 2, 0.1) et donne ce qu'il renvoie.
5. eL'appel dicho(2, 12, 0.01) renvoie (5.076171875, 5.0859375). Déduis-en un encadrement de la durée d'efficacité $t_2 - t_1$.

Ex. 29★★★Amplitude, défaut, excès, arrondi — Les questions sont indépendantes.

1. aOn sait que $2{,}36 < \alpha < 2{,}37$. Quelle est l'amplitude de cet encadrement ?
2. bAvec $2{,}36 < \alpha < 2{,}37$, donne une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ par défaut, puis une par excès.
3. cAvec $2{,}36 < \alpha < 2{,}37$, peut-on donner l'arrondi de $\alpha$ au centième ? Justifie.
4. dLina sait que $3{,}126 < \beta < 3{,}135$. Elle affirme : « l'arrondi de $\beta$ au centième est $3{,}13$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
5. eUne dichotomie part de l'intervalle $[2\,;5]$. Quelle est l'amplitude de l'encadrement après $6$ étapes ?
6. fUne dichotomie part de $[-1\,;1]$. Combien d'étapes faut-il au minimum pour obtenir une amplitude inférieure ou égale à $10^{-2}$ ?

Ex. 30★★★Balayage : suivre le signe de f(x) − 4 — On pose $f(x) = x^3 + 2x$. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$. L'équation $f(x) = 4$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1\,;2]$.

1. aThéo dit : « $f(x)$ reste positif dans le tableau, donc il n'y a pas de solution dans $[1\,;1{,}3]$. » A-t-il raison ? Justifie.
2. bDéduis du tableau un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.
3. cCalcule $f(1{,}17)$ et $f(1{,}18)$, arrondis à $10^{-3}$.
4. dDéduis-en un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}01$.
5. eCalcule $f(1{,}175)$ à $10^{-3}$ près, puis donne l'arrondi de $\alpha$ au centième.

Ex. 31★★★Dichotomie à la main avec l'exponentielle — On pose $g(x) = \mathrm{e}^{x} + x - 3$ sur $[0\,;1]$. Les valeurs de $g$ sont à arrondir à $10^{-3}$.

1. aMontre que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;1]$.
2. bComplète le tableau de dichotomie. Indique $g(m)$ à chaque étape.
3. cDonne l'encadrement de $\alpha$ obtenu après $4$ étapes, puis son amplitude.
4. dLou affirme : « $\alpha \approx 0{,}78$ au centième ». Calcule $g(0{,}785)$ et $g(0{,}795)$, puis dis si elle a raison.

Ex. 32★★★Corriger un programme de dichotomie — La fonction $h(x) = x^3 + x^2 - 5$ est continue et strictement croissante sur $[1\,;2]$, avec $h(1) < 0 < h(2)$. Noé écrit ce programme pour encadrer la solution $\alpha$ de $h(x) = 0$. def h(x): return x**3 + x**2 - 5 def dicho(a, b, p): while b - a < p: m = (a + b) / 2 if h(a) * h(m) <= 0: a = m else: b = m return (a, b)

1. aExplique pourquoi dicho(1, 2, 0.05) renvoie (1, 2), puis corrige la condition du while.
2. bMême avec la condition corrigée, le programme garde la mauvaise moitié. Explique pourquoi et corrige-le.
3. cCombien de passages dans la boucle fait dicho(1, 2, 0.05) une fois le programme corrigé ? Justifie.
4. dDonne le résultat de dicho(1, 2, 0.05) corrigé, en détaillant les étapes.

Ex. 33★★★Balayage, arrondi et encadrement de e^α — On pose $f(x) = x\,\mathrm{e}^{x}$ pour $x \geqslant 0$. On étudie l'équation $f(x) = 3$.

1. aÉtudie les variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$. Montre que l'équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;+\infty[$.
2. bPar balayage au pas de $0{,}1$, puis au pas de $0{,}01$, donne un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
3. cDéduis-en une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près par défaut, puis une par excès.
4. dLéa affirme : « L'arrondi de $\alpha$ au centième est la borne de l'encadrement dont l'image est la plus proche de $3$. » Son argument suffit-il ? Donne l'arrondi de $\alpha$ au centième en justifiant.
5. eJustifie que $\mathrm{e}^{\alpha} = \frac{3}{\alpha}$. Déduis-en un encadrement de $\mathrm{e}^{\alpha}$ d'amplitude inférieure à $0{,}02$.

Ex. 34★★★Dichotomie avec une fonction décroissante : programme et erreurs — On pose $\varphi(x) = 5 - x^3 - x$ sur $[1\,;2]$. Le programme ci-dessous doit encadrer la solution de $\varphi(x) = 0$ avec une amplitude inférieure ou égale à p. def phi(x): return 5 - x**3 - x def dicho(a, b, p): while b - a > p: m = (a + b) / 2 if ... : b = m else: a = m return (a, b)

1. aMontre que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1\,;2]$.
2. bComplète la ligne du if, puis donne le couple renvoyé par dicho(1, 2, 0.01).
3. cInès écrit la condition phi(m) > 0. Quel couple renvoie alors dicho(1, 2, 0.01) ? Explique son erreur.
4. dSacha place la ligne m = (a + b) / 2 avant le while, et non dedans. Que se passe-t-il avec dicho(1, 2, 0.01) ?
5. eMalo remplace le return par return (round(a, 2), round(b, 2)) pour obtenir un encadrement au centième. Qu'obtient-il ? Commente, puis donne un encadrement correct de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

Ex. 35★★★Durée d'efficacité d'un médicament — Après la prise d'un médicament, sa concentration dans le sang (en mg/L) vaut $C(t) = 4t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$, avec $t \geqslant 0$ en heures. Le médicament est efficace tant que $C(t) \geqslant 2$.

1. aCalcule $C'(t)$. Dresse le tableau de variations de $C$ sur $[0\,;+\infty[$, avec la limite en $+\infty$.
2. bMontre que l'équation $C(t) = 2$ admet exactement deux solutions $t_1 < t_2$ dans $[0\,;+\infty[$.
3. cPar balayage au pas de $0{,}1$, puis au pas de $0{,}01$, encadre $t_1$ et $t_2$ avec une amplitude de $10^{-2}$.
4. dDéduis-en un encadrement de la durée d'efficacité $D = t_2 - t_1$. Ambre en conclut que l'arrondi de $D$ au centième est $3{,}59$. Son raisonnement suffit-il ? Justifie.
5. eYanis part de l'encadrement de $t_2$ d'amplitude $0{,}1$ et applique la dichotomie. Combien d'étapes faut-il au minimum pour obtenir une amplitude inférieure ou égale à $10^{-4}$ ?

Ex. 36★★★Automatismes : candidats et pièges — Réponds à chaque question en citant le théorème utilisé.

1. a$u_0=1$ et $u_{n+1}=0{,}8u_n+3$. On admet que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$. Calcule $\ell$ en justifiant.
2. b$v_0=0$ et $v_{n+1}=\frac{v_n^2+6}{5}$. On admet que $0\leqslant v_n\leqslant 2{,}5$ et que $(v_n)$ converge. Détermine sa limite.
3. c$w_0=1$ et $w_{n+1}=4-w_n$. Inès dit : « $x\mapsto 4-x$ a pour point fixe $2$, donc $(w_n)$ converge vers $2$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. d$h(x)=0{,}5x+1$ si $x<2$, $h(x)=x+1$ si $x\geqslant 2$ ; $t_0=0$, $t_{n+1}=h(t_n)$ converge vers $2$ (admis). Calcule $h(2)$. Pourquoi n'a-t-on pas $h(2)=2$ ?

Ex. 37★★★Conjecturer avec un escalier — On pose $f(x)=\frac{4x}{x+1}$ sur $[0\,;+\infty[$, $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. On a tracé $\mathcal{C}$, la droite $y=x$ et l'escalier.

1. aLis sur le graphique une valeur approchée de $u_1$, puis encadre $u_2$ et $u_3$ par deux entiers consécutifs.
2. bCalcule $u_1$ et $u_2$ en valeur exacte.
3. cConjecture le sens de variation et la limite de $(u_n)$.
4. dRésous l'équation $f(x)=x$ sur $[0\,;+\infty[$.
5. eMila affirme : « Le graphique prouve que $(u_n)$ converge vers $3$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 38★★★Méthode complète et programme de seuil — On pose $f(x)=\sqrt{2x+3}$ sur $\left[-\frac{3}{2}\,;+\infty\right[$, $u_0=0$ et, pour tout $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. aJustifie que $f$ est continue et croissante sur $\left[-\frac{3}{2}\,;+\infty\right[$, puis calcule $f(3)$.
2. bOn admet que, pour tout $n$, $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 3$. Déduis-en que la suite $(u_n)$ converge.
3. cDétermine la limite $\ell$ de $(u_n)$ en justifiant chaque étape.
4. dComplète la condition de la boucle pour que seuil() renvoie le premier rang $n$ tel que $|u_n-3|<10^{-3}$, puis donne ce rang.from math import sqrt def seuil(): n = 0 u = 0 while ..........: u = sqrt(2*u + 3) n = n + 1 return n

Ex. 39★★★Le bassin qui s'évapore — Un bassin contient $10$ m³ d'eau. Chaque semaine, la moitié de l'eau s'évapore, puis on ajoute $2$ m³. On note $u_n$ le volume (en m³) après $n$ semaines, avec $u_0=10$.

1. aJustifie que $u_{n+1}=0{,}5u_n+2$ et calcule $u_1$.
2. bOn pose $f(x)=0{,}5x+2$. Montre que si $4\leqslant x\leqslant 10$, alors $4\leqslant f(x)\leqslant 10$. Déduis-en par récurrence que $4\leqslant u_n\leqslant 10$ pour tout $n$.
3. cMontre que $u_{n+1}-u_n=-0{,}5(u_n-4)$. Déduis-en que $(u_n)$ converge, puis détermine sa limite.
4. dNoé dit : « La suite est décroissante et minorée par $0$, donc le bassin finit par se vider. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 40★★★Deux suites, une même fonction — On pose $f(x)=\frac{x^2+3}{4}$ sur $[0\,;+\infty[$, $u_0=2$ et, pour tout $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$. On a tracé $\mathcal{C}$, la droite $y=x$ et l'escalier.

1. aÀ l'aide du graphique, conjecture le sens de variation et la limite de $(u_n)$. Ce graphique prouve-t-il ta conjecture ? Justifie.
2. bMontre que $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$, puis résous l'équation $f(x)=x$.
3. cMontre par récurrence que, pour tout $n$, $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 2$.
4. dDéduis-en que $(u_n)$ converge, puis détermine sa limite.
5. eOn pose $v_0=4$ et $v_{n+1}=f(v_n)$. Lina affirme : « $(v_n)$ converge vers $1$ ou vers $3$ ». Montre que $v_n\geqslant 4$ et $v_{n+1}-v_n\geqslant\frac{3}{4}$ pour tout $n$, puis conclus.

Ex. 41★★★Croissante et majorée : vers quelle limite ? — On pose $f(x)=2-\mathrm{e}^{-x}$ et $g(x)=f(x)-x$ sur $[0\,;+\infty[$, $u_0=0$ et, pour tout $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. aÉtudie les variations de $g$ et montre que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0\,;+\infty[$.
2. bMontre que $f$ est croissante et que $f(\alpha)=\alpha$, puis que $0\leqslant u_n\leqslant\alpha$ pour tout $n$. Déduis-en, avec le signe de $g$, que $(u_n)$ est croissante.
3. cHugo écrit : « $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, donc elle converge vers $2$ ». Corrige son raisonnement et détermine $\lim u_n$.
4. dÀ la calculatrice, détermine par balayage un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
5. eExplique pourquoi $u_n\geqslant 1{,}84$ entraîne $|u_n-\alpha|<10^{-2}$. Complète le programme pour qu'il affiche le premier rang qui convient, et donne la valeur affichée.from math import exp u = 0 n = 0 while ...... : u = ...... n = n + 1 print(n)

Ex. 42★★★Une suite et une fonction définie par morceaux — On définit $f$ sur $[0\,;1]$ par $f(x)=\frac{x+1}{2}$ si $0\leqslant x<1$, et $f(1)=0$. On pose $u_0=0$ et, pour tout $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$.

1. aCalcule $u_1$, $u_2$, $u_3$, puis montre par récurrence que, pour tout $n$, $u_n=1-\left(\frac{1}{2}\right)^n$.
2. bDéduis-en la limite $\ell$ de $(u_n)$. Compare $f(\ell)$ et $\ell$, puis montre que $f$ n'a aucun point fixe sur $[0\,;1]$.
3. cNina conclut : « le théorème du point fixe est faux ». A-t-elle raison ? Justifie en étudiant la continuité de $f$ en $1$.
4. dOn remplace $f(1)=0$ par $f(1)=a$, où $a$ est un réel. Pour quelle valeur de $a$ la fonction $f$ est-elle continue en $1$ ? Vérifie qu'alors $\ell$ est un point fixe.

Ex. 43★★★Réutiliser α dans un calcul — On admet que l'équation $\mathrm{e}^{x} + x - 4 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$. Simplifie chaque expression, sans valeur approchée de $\alpha$.

1. aExprime $\mathrm{e}^{\alpha}$ en fonction de $\alpha$.
2. bSimplifie $A = \mathrm{e}^{\alpha} + \alpha^2 - 3\alpha$, puis écris $A$ sous la forme d'un carré.
3. cSimplifie $B = \mathrm{e}^{2\alpha} - \alpha^2 + 8\alpha$.
4. dJustifie que $\alpha \neq 0$, puis simplifie $C = \frac{\mathrm{e}^{\alpha} - 4}{\alpha}$.
5. eMontre que $\mathrm{e}^{-\alpha} = \dfrac{1}{4 - \alpha}$.
6. fSimplifie $D = \alpha\,\mathrm{e}^{\alpha} + \alpha^2$.

Ex. 44★★★Compter les solutions sur un tableau — $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et strictement monotone sur chaque intervalle portant une flèche. Ses limites en $-\infty$ et en $+\infty$ valent $1$.

1. aCombien de solutions l'équation $f(x) = 0$ admet-elle sur $\mathbb{R}$ ? Justifie morceau par morceau.
2. bCombien de solutions l'équation $f(x) = 1$ admet-elle sur $\mathbb{R}$ ? Justifie.
3. cVrai ou faux : pour tout $k$ de $]-3\,;5[$, l'équation $f(x) = k$ a exactement deux solutions. Justifie.
4. dPour quelles valeurs de $k$ l'équation $f(x) = k$ n'a-t-elle aucune solution ?
5. eOn note $\beta$ la plus petite solution de $f(x) = 0$. Donne le signe de $f(x)$ sur $]-\infty\,;3]$.

Ex. 45★★★Étude complète d'un polynôme — Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^3 - 3x^2 - 2$.

1. aCalcule $g'(x)$, puis dresse le tableau de variations de $g$, limites en $-\infty$ et $+\infty$ comprises.
2. bMontre que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
3. cÀ la calculatrice, donne un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
4. dDéduis-en le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.

Ex. 46★★★Les truites de l'étang — Le nombre de truites d'un étang au 1er janvier de l'année $2026 + n$ est $u_n$, en milliers. On a $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f(x) = \frac{6x}{x + 3}$ sur $[0\,;+\infty[$.

1. aÀ l'aide du graphique, conjecture le sens de variation et la limite de la suite $(u_n)$.
2. bCalcule $u_1$ et $u_2$, puis interprète $u_2$ dans le contexte.
3. cMontre que $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$, puis démontre par récurrence que $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$ pour tout entier naturel $n$.
4. dDéduis-en que $(u_n)$ converge, détermine sa limite et interprète-la.

Ex. 47★★★Le minimum caché d'une fonction — Partie A : $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (x + 1)\mathrm{e}^{x} - 3$. Partie B : $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\left(\mathrm{e}^{x} - 3\right)$. On admet que $\lim\limits_{x \to -\infty} x\mathrm{e}^{x} = 0$.

1. aCalcule $g'(x)$, puis dresse le tableau de variations de $g$ avec ses limites en $-\infty$ et en $+\infty$.
2. bMontre que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$. Justifie aussi qu'elle n'a aucune solution sur $]-\infty\,;-2]$.
3. cÀ la calculatrice, par balayage, donne un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
4. dDéduis-en le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$. Vérifie ensuite que $f'(x) = g(x)$ et donne les variations de $f$.
5. eDémontre que le minimum de $f$ vaut $-\frac{3\alpha^2}{\alpha + 1}$, puis donnes-en une valeur approchée à $10^{-1}$ près.

Ex. 48★★★Une racine qui se stabilise — Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{3x + 4}$, et $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. On a tracé $\mathcal{C}$, la courbe de $f$, et la droite d'équation $y = x$.

1. aSans calcul, place $u_1$, $u_2$ et $u_3$ sur l'axe des abscisses, puis conjecture le sens de variation et la limite de $(u_n)$.
2. bCalcule $f'(x)$ et déduis-en le sens de variation de $f$ sur $[0\,;+\infty[$.
3. cDémontre par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$.
4. dLina affirme : « $(u_n)$ est croissante et majorée par $5$, donc elle converge vers $5$. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eDémontre que $(u_n)$ converge, puis détermine sa limite $\ell$ en justifiant chaque étape.

Ex. 49★★★Un médicament efficace combien de temps ? — La concentration d'un médicament dans le sang, en mg/L, $t$ heures après la prise, est $C(t) = 4t\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ pour $t \in [0\,;+\infty[$. On admet que $\lim\limits_{t \to +\infty} C(t) = 0$. Le médicament est efficace quand $C(t) \geqslant 1$. Ben écrit ce programme : from math import exp def dicho(a, b, p): while b - a > p: m = (a + b) / 2 if 4*m*exp(-0.5*m) > 1: a = m else: b = m return a, b

1. aCalcule $C'(t)$, puis dresse le tableau de variations de $C$ sur $[0\,;+\infty[$.
2. bMontre que l'équation $C(t) = 1$ admet exactement deux solutions $t_1$ et $t_2$, avec $t_1 < 2 < t_2$.
3. cExplique pourquoi, sur $[2\,;10]$, le test 4*m*exp(-0.5*m) > 1 conduit à remplacer a par m.
4. dPour approcher $t_1$ avec dicho(0, 2, 0.01), le programme est faux. Corrige une seule ligne et justifie.
5. edicho(2, 10, 0.01) renvoie (6.515625, 6.5234375) et on admet $0{,}28 < t_1 < 0{,}29$. Encadre $t_2$ à $10^{-2}$, puis donne la durée d'efficacité.