Terminale maths expertes / Complexes : forme exponentielle

Ex. 1★★★Module et argument — Calcule le module et la mesure principale d'un argument de chaque nombre.

Ex. 2★★★Retour à la forme algébrique — Écris chaque nombre sous forme algébrique.

1. a$6\left(\cos\dfrac{3\pi}{4} + \mathrm{i}\sin\dfrac{3\pi}{4}\right)$
2. b$4\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) + \mathrm{i}\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$
3. c$5\left(\cos\pi + \mathrm{i}\sin\pi\right)$
4. d$\dfrac{1}{2}\left(\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right) + \mathrm{i}\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)$
5. e$3\left(\cos\dfrac{9\pi}{4} + \mathrm{i}\sin\dfrac{9\pi}{4}\right)$

Ex. 3★★★La vraie forme trigonométrique — Explique pourquoi l'écriture ne convient pas, puis écris le nombre sous la forme $r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)$ avec $r>0$ et $\theta$ mesure principale.

Ex. 4★★★Les erreurs de Léna — Léna a rédigé ses réponses, mais chacune contient une erreur. Repère l'erreur, explique-la, puis donne la bonne réponse.

1. a« Pour $z = -\sqrt{3} - \mathrm{i}$, $\tan\theta = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, donc $\arg(z) = \frac{\pi}{6}\ [2\pi]$. »
2. b« Pour $z = 4 - 4\sqrt{3}\,\mathrm{i}$, on a $\cos\theta = \frac{1}{2}$, donc $\arg(z) = \frac{\pi}{3}\ [2\pi]$. »
3. c« $0$ est un réel positif, donc $\arg(0) = 0\ [2\pi]$. »
4. d« $-6$ est un réel négatif, donc la mesure principale de $\arg(-6)$ est $-\pi$. »

Ex. 5★★★Un module qui dépend d'un paramètre — Pour tout réel $a$, on pose $z_a = a + a\sqrt{3}\,\mathrm{i}$.

1. aPour quelle valeur de $a$ le nombre $z_a$ n'a-t-il pas d'argument ? Justifie.
2. bExprime $\lvert z_a \rvert$ en fonction de $a$.
3. cOn suppose $a > 0$. Écris $z_a$ sous forme trigonométrique.
4. dOn suppose $a < 0$. Écris $z_a$ sous forme trigonométrique.
5. eDéduis-en les réels $a$ tels que $\lvert z_a \rvert = 6$, puis donne pour chacun la mesure principale de $\arg(z_a)$.

Ex. 6★★★Un argument qui dépend d'un angle — Pour tout réel $\theta$, on pose $z_\theta = 1 + \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta$. On rappelle que $\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1$ et $\sin(2a) = 2\sin a\cos a$ pour tout réel $a$.

1. aPour $\theta = \frac{\pi}{2}$, calcule le module de $z_\theta$ et la mesure principale d'un argument de $z_\theta$.
2. bExprime $1 + \cos\theta$ et $\sin\theta$ en fonction de $\cos\frac{\theta}{2}$ et $\sin\frac{\theta}{2}$, puis factorise $z_\theta$ par $2\cos\frac{\theta}{2}$.
3. cOn suppose $\theta \in \,]-\pi\,;\pi[$. Déduis-en le module et un argument de $z_\theta$. Justifie que cet argument est la mesure principale.
4. dCalcule $z_\pi$. Peut-on parler d'un argument de $z_\pi$ ? Justifie.
5. ePour $\theta = \frac{4\pi}{3}$, Ben applique la factorisation de la question 2 et conclut : « $\lvert z_\theta \rvert = 2\cos\frac{2\pi}{3}$ et $\arg(z_\theta) = \frac{2\pi}{3}$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis corrige.

Ex. 7★★★Imposer un argument — Pour tout réel $m$, on pose $z_m = (m - 2) + (m + 2)\mathrm{i}$. On note $\mathbb{U}$ l'ensemble des complexes de module $1$.

1. aDétermine le réel $m$ tel que $\arg(z_m) = \frac{\pi}{2}\ [2\pi]$, puis donne $z_m$.
2. bExiste-t-il un réel $m$ tel que $z_m$ soit un réel strictement positif ? Justifie. Donne ensuite $m$ tel que $\arg(z_m) = \pi\ [2\pi]$.
3. cÀ l'aide du cosinus et du sinus d'un argument de $z_m$, détermine le réel $m$ tel que $\arg(z_m) = \frac{3\pi}{4}\ [2\pi]$.
4. dNoé affirme : « Si $\theta$ est un argument de $z_m$, il suffit d'avoir $\tan\theta = -1$ pour obtenir $\arg(z_m) = -\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$, donc un tel $m$ existe. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eExprime $\lvert z_m \rvert^2$ en fonction de $m$. Démontre que $z_m \neq 0$ pour tout $m$, puis dis s'il existe $m$ tel que $z_m \in \mathbb{U}$.

Ex. 8★★★Un angle de π/8 — On pose $z = \sqrt{2+\sqrt{2}} + \mathrm{i}\sqrt{2-\sqrt{2}}$. On rappelle que $\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a$ pour tout réel $a$.

1. aCalcule $\lvert z \rvert$.
2. bEn prenant $a = \frac{\pi}{8}$, détermine la valeur exacte de $\cos\frac{\pi}{8}$, puis celle de $\sin\frac{\pi}{8}$.
3. cDéduis-en une forme trigonométrique de $z$. Justifie à l'aide du cosinus et du sinus.
4. dDétermine la mesure principale d'un argument de $w = -\sqrt{2+\sqrt{2}} - \mathrm{i}\sqrt{2-\sqrt{2}}$.
5. eInès écrit $\overline{z} = 2\left(\cos\frac{\pi}{8} - \mathrm{i}\sin\frac{\pi}{8}\right)$ et affirme : « c'est une forme trigonométrique, d'argument $\frac{\pi}{8}$ ». A-t-elle raison ? Justifie, puis corrige.

Ex. 9★★★Calculer en forme exponentielle — Écris chaque nombre sous forme exponentielle $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, avec $r>0$ et $\theta$ en mesure principale.

Ex. 10★★★De la forme algébrique au produit — On pose $z_1=-1+\mathrm{i}$ et $z_2=3-3\sqrt{3}\,\mathrm{i}$. Donne chaque résultat sous forme exponentielle, avec l'argument en mesure principale.

1. aÉcris $z_1$ sous forme exponentielle.
2. bÉcris $z_2$ sous forme exponentielle.
3. cCalcule $z_1z_2$.
4. dCalcule $\dfrac{z_1}{z_2}$.
5. eCalcule $z_2^{\,5}$.
6. fCalcule $\overline{z_1}\times z_2$.

Ex. 11★★★Les erreurs de Lina — Lina a écrit quatre affirmations dans son devoir. Pour chacune : a-t-elle raison ? Justifie et, si besoin, corrige.

1. a$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}=\mathrm{i}$. Calcule aussi le module de cette somme.
2. b$-3\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{7}}$ a pour module $-3$ et pour argument $-\frac{\pi}{7}$.
3. c$\dfrac{4\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{10}}}{2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{5}}}=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}$.
4. d$\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{8}}\right)^{4}=\mathrm{i}$.

Ex. 12★★★Valeurs exactes par un quotient — On pose $a=\sqrt{3}+3\mathrm{i}$, $b=2+2\mathrm{i}$ et $q=\frac{a}{b}$.

1. aÉcris $a$ et $b$ sous forme exponentielle.
2. bDéduis-en la forme exponentielle de $q$.
3. cCalcule la forme algébrique de $q$.
4. dDéduis-en les valeurs exactes de $\cos\frac{\pi}{12}$ et de $\sin\frac{\pi}{12}$.

Ex. 13★★★Quand la puissance devient réelle — On pose $z=\sqrt{2}-\sqrt{6}\,\mathrm{i}$. Dans cet exercice, $n$ désigne un entier naturel non nul.

1. aÉcris $z$ sous forme exponentielle.
2. bExprime $z^n$ sous forme exponentielle en fonction de $n$.
3. cDétermine les entiers $n$ pour lesquels $z^n$ est un réel.
4. dExiste-t-il un entier $n$ pour lequel $z^n$ est imaginaire pur ? Justifie.
5. eDétermine le plus petit entier $n$ tel que $z^n$ soit un réel strictement négatif, puis calcule ce $z^n$.

Ex. 14★★★Une puissance égale à un conjugué — On cherche les nombres complexes $z$ non nuls tels que $z^{2}=-4\mathrm{i}\,\overline{z}$. On écrit $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$, avec $r>0$ et $\theta$ réel.

1. aÉcris $-4\mathrm{i}$ sous forme exponentielle, puis exprime $z^{2}$ et $-4\mathrm{i}\,\overline{z}$ sous forme exponentielle en fonction de $r$ et de $\theta$.
2. bDéduis-en la valeur de $r$ et une condition sur $\theta$ modulo $2\pi$.
3. cDétermine toutes les solutions, sous forme exponentielle avec l'argument en mesure principale, puis sous forme algébrique.
4. dNoé affirme que $-4\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$ est solution, car l'angle $-\frac{\pi}{6}$ convient. A-t-il raison ? Justifie.
5. eCalcule le produit des solutions sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

Ex. 15★★★Somme de deux exponentielles : l'angle moitié — On pose $S=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{5}}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{5}}$ et $T=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{9\pi}{10}}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{7\pi}{10}}$. On ne peut pas additionner les arguments d'une somme : on va factoriser.

1. aDémontre que, pour tous réels $\alpha$ et $\beta$, $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta}=2\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\alpha+\beta}{2}}$.
2. bDéduis-en la forme exponentielle de $S$, puis justifie que $S\neq\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{5}}$.
3. cApplique la formule de la question 1 à $T$. L'écriture obtenue est-elle une forme exponentielle ? Justifie, puis donne la forme exponentielle de $T$.
4. dDonne la forme exponentielle, puis la forme algébrique de $S\times T$.
5. eDonne la forme exponentielle de $\frac{S}{T}$, avec l'argument en mesure principale.

Ex. 16★★★Puissances d'un produit avec conjugué — On pose $u=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$, $v=-1-\mathrm{i}$ et $P=u\times\overline{v}$. Dans cet exercice, $n$ désigne un entier naturel.

1. aÉcris $u$ et $v$ sous forme exponentielle.
2. bDéduis-en la forme exponentielle de $P$, avec l'argument en mesure principale.
3. cDétermine tous les entiers naturels $n$ tels que $P^{n}$ soit un imaginaire pur.
4. dDétermine le plus petit entier $n\geqslant 1$ tel que $P^{n}$ soit un réel strictement positif. Donne alors $P^{n}$ sous la forme $2^{k}$.

Ex. 17★★★Puissances sans développer — Écris chaque nombre sous forme exponentielle, avec la mesure principale de son argument, puis sous forme algébrique. Ne développe jamais la puissance.

Ex. 18★★★Linéariser avec Euler — Linéarise chaque expression avec les formules d'Euler et la formule du binôme. Contrôle ensuite ton résultat avec une valeur simple de $x$.

Ex. 19★★★Formules d'addition démontrées par les exponentielles — Soit $a$ et $b$ deux réels. Tu utilises la relation $\mathrm{e}^{\mathrm{i}a}\times\mathrm{e}^{\mathrm{i}b}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a+b)}$ et la forme trigonométrique.

1. aCalcule $\mathrm{e}^{\mathrm{i}a}\times\mathrm{e}^{-\mathrm{i}b}$ de deux façons. Déduis-en $\cos(a-b)$ et $\sin(a-b)$ en fonction de $\cos a$, $\sin a$, $\cos b$, $\sin b$.
2. bEn calculant $\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}a}\right)^2$ de deux façons, exprime $\cos(2a)$ et $\sin(2a)$ en fonction de $\cos a$ et $\sin a$.
3. cÉcris $\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}$ et calcule les valeurs exactes de $\cos\frac{\pi}{12}$ et de $\sin\frac{\pi}{12}$.
4. dContrôle les deux valeurs trouvées avec la formule de $\sin(2a)$ démontrée plus haut.

Ex. 20★★★L'erreur d'Inès sur cos(3θ) — Inès écrit : « Par Moivre, $(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^3=\cos^3\theta+\mathrm{i}\sin^3\theta$, donc $\cos(3\theta)=\cos^3\theta$. »

1. aTeste l'égalité $\cos(3\theta)=\cos^3\theta$ pour $\theta=\frac{\pi}{3}$. Inès a-t-elle raison ? Explique son erreur.
2. bDéveloppe $(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^3$ avec la formule du binôme, puis donne sa partie réelle.
3. cDéduis-en $\cos(3\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ seul.
4. dOn suppose $\cos\theta=\frac{1}{3}$. Calcule la valeur exacte de $\cos(3\theta)$.

Ex. 21★★★Factoriser par l'angle moitié — Malo cherche le module et un argument de $1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ sans passer par la forme algébrique. Soit $\theta$ un réel.

1. aDémontre que $1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\theta}{2}}$, en factorisant par $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\theta}{2}}$.
2. bDéduis-en le module et la mesure principale de l'argument de $z_1=1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{5}}$.
3. cDonne le module et la mesure principale de l'argument de $z_2=1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{4\pi}{3}}$, puis contrôle avec sa forme algébrique.
4. dDémontre que $z_1^5$ est un nombre réel et donne son signe.

Ex. 22★★★Du binôme à la valeur exacte de cos(π/8) — Soit $\theta$ un réel. On note $c=\cos\theta$ et $s=\sin\theta$. On rappelle que $c^2+s^2=1$.

1. aDéveloppe $(c+\mathrm{i}s)^4$ avec la formule du binôme. À l'aide de la formule de Moivre, exprime $\cos(4\theta)$ en fonction de $c$ seulement.
2. bExprime $\sin(4\theta)$ en fonction de $c$ et de $s$.
3. cOn pose $\theta=\frac{\pi}{8}$. Écris l'équation dont $\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$ est solution, puis déduis-en la valeur exacte de $\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
4. dVrai ou faux : $\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$. Justifie.

Ex. 23★★★Linéariser sin³x pour intégrer — Noé veut calculer $I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3 x\,\mathrm{d}x$. Il commence par écrire : « D'après Euler, $\sin x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2}$. »

1. aTeste la formule de Noé pour $x=\frac{\pi}{2}$. A-t-il raison ? Justifie, puis donne la formule correcte en la démontrant.
2. bLinéarise $\sin^3 x$ avec la formule correcte et le binôme. Contrôle ton résultat pour $x=\frac{\pi}{2}$.
3. cDéduis-en la valeur exacte de $I$.
4. dDéduis de la question 2 une expression de $\sin(3x)$ en fonction de $\sin x$. Vérifie-la pour $x=\frac{\pi}{6}$.

Ex. 24★★★Somme de deux exponentielles et puissances — Kenza étudie le nombre complexe $u=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{11\pi}{12}}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{12}}$, sans passer par une calculatrice.

1. aFactorise $u$ par $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$, où $\alpha$ est la moyenne de $\frac{7\pi}{12}$ et $\frac{11\pi}{12}$, puis utilise une formule d'Euler. Déduis-en le module de $u$ et la mesure principale de son argument.
2. bÉcris $u^6$ sous forme exponentielle, avec la mesure principale de son argument, puis sous forme algébrique.
3. cDétermine les entiers naturels $n\geqslant1$ tels que $u^n$ est un réel strictement positif. Calcule $u^n$ pour le plus petit d'entre eux.
4. dEn écrivant $u$ sous forme algébrique de deux façons, déduis-en la valeur exacte de $\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)+\cos\left(\frac{11\pi}{12}\right)$.

Ex. 25★★★Racines de l'unité : écrire et calculer — On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité, et $j = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$.

1. aÉcris les six éléments de $\mathbb{U}_6$ sous forme exponentielle, avec la mesure principale de leur argument.
2. bDonne la forme algébrique de chaque élément de $\mathbb{U}_6$.
3. cOn pose $\omega = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$. Donne la mesure principale d'un argument de $\omega^5$.
4. dAvec le même $\omega$, calcule $1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^7$.
5. eDémontre que $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{14\pi}{5}}$ appartient à $\mathbb{U}_5$, puis donne la mesure principale de son argument.
6. fÉcris $j^{10}$ sous forme algébrique.
7. gQue vaut la somme des éléments de $\mathbb{U}_1$ ? Justifie.

Ex. 26★★★Résoudre $z^n = a$ — Dans chaque question, $z$ désigne un nombre complexe.

1. aÉcris $-27\mathrm{i}$ sous forme exponentielle, puis résous $z^3 = -27\mathrm{i}$
   (forme exponentielle, mesures principales).
2. bRésous $z^4 = -625$, puis donne sous forme algébrique les solutions de partie réelle strictement positive.
3. cSans résoudre, donne le nombre de solutions de $z^5 = 1024\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{7}}$ et leur module commun.
4. dÉcris $1 + \mathrm{i}\sqrt{3}$ sous forme exponentielle, puis résous $z^2 = 1 + \mathrm{i}\sqrt{3}$
   (forme algébrique).

Ex. 27★★★Vrai ou faux sur les racines — On note $j = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$. Pour chaque affirmation : vrai ou faux ? Justifie.

1. a« L'équation $z^5 = 1$ a six solutions : $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2k\pi}{5}}$ pour $k \in \{0;1;2;3;4;5\}$. »
2. b« $\overline{j} = j^2 = \dfrac{1}{j}$. »
3. c« L'équation $z^3 = 216$ a pour unique solution $6$. »
4. d« $j^{2026} + j^{2027} + j^{2028} = 0$. »
5. e« $(1 + j)^3 = 1$. »

Ex. 28★★★La résolution de Noé — Pour résoudre $z^4 = 16\mathrm{i}$, Noé écrit : « $16\mathrm{i} = 16\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}$. Je pose $z = r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ : $r^4 = 16$ donc $r = 2$ ou $r = -2$, et $4\theta = \frac{\pi}{2}$ donc $\theta = \frac{\pi}{8}$. Les solutions sont $2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{8}}$ et $-2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{8}}$. »

1. aNoé garde $r = -2$. A-t-il raison ? Justifie.
2. bLe nombre $-2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{8}}$ est-il pourtant solution ? Justifie, puis écris-le sous forme exponentielle avec un module positif et la mesure principale.
3. cQuelle erreur Noé commet-il sur l'argument ? Écris l'égalité correcte et déduis-en $\theta$.
4. dRésous correctement $z^4 = 16\mathrm{i}$ (forme exponentielle, mesures principales), puis dis combien de solutions Noé a oubliées.

Ex. 29★★★Un polygone caché dans une équation — On considère l'équation $(E)$ : $z^6 = -729$. On note $z_0$ la solution dont l'argument dans $[0;2\pi[$ est le plus petit, $z_1$ la suivante dans le sens direct, et $A_0$, $A_1$, … les images des solutions dans un repère orthonormé direct d'origine $O$.

1. aÉcris $-729$ sous forme exponentielle, puis résous $(E)$
   (forme exponentielle, mesures principales).
2. bJustifie que les images des solutions sont les sommets d'un polygone régulier, dont tu précises le nombre de côtés et le cercle circonscrit.
3. cCalcule la longueur $A_0A_1$, puis déduis-en le périmètre du polygone.
4. dDémontre, sans additionner les solutions une à une, que leur somme est nulle.

Ex. 30★★★Le pentagone régulier et $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)$ — On note $\omega = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{5}}$, $u = \omega + \omega^4$ et $v = \omega^2 + \omega^3$. Les images des racines cinquièmes de l'unité sont les sommets d'un pentagone régulier. On cherche la valeur exacte de $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$.

1. aRésous $z^5 = 1$ dans $\mathbb{C}$. Donne les cinq solutions sous forme exponentielle, avec la mesure principale, puis écris chacune comme une puissance de $\omega$.
2. bDémontre que $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$.
3. cExprime $u$ et $v$ à l'aide de cosinus, puis calcule $u + v$ et $uv$.
4. dDéduis-en une équation du second degré dont $u$ et $v$ sont les solutions, puis la valeur exacte de $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$.
5. eDéduis-en la valeur exacte de $\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)$, puis celle de $\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)$.

Ex. 31★★★Une solution trouvée de tête, puis toutes les autres — On considère l'équation $(E)$ : $z^3 = -2 + 2\mathrm{i}$, et on note $j = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$. Inès affirme que $z_0 = 1 + \mathrm{i}$ est solution de $(E)$.

1. aÉcris $-2 + 2\mathrm{i}$ sous forme exponentielle, puis vérifie l'affirmation d'Inès.
2. bDémontre que $z$ est solution de $(E)$ si et seulement si $\left(\frac{z}{z_0}\right)^3 = 1$. Déduis-en toutes les solutions de $(E)$ à l'aide de $z_0$ et de $j$.
3. cÉcris chaque solution sous forme exponentielle (mesure principale), puis sous forme algébrique. Contrôle que leur module convient.
4. dOn note $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes $z_0$, $z_0 j$ et $z_0 j^2$. Démontre que le triangle $ABC$ est équilatéral et donne la longueur de ses côtés.
5. eSans passer par la forme algébrique, calcule $z_0 + z_0 j + z_0 j^2$. Déduis-en le centre de gravité du triangle $ABC$.

Ex. 32★★★Sommes de cosinus sur un polygone régulier — Soit $n \geqslant 2$ un entier et $\omega = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{n}}$. On pose $C_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)$ et $Q_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \cos^2\left(\frac{2k\pi}{n}\right)$. Pour $n \geqslant 3$, les points d'affixes $\omega^k$ sont les sommets d'un polygone régulier.

1. aDémontre que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = 0$. Déduis-en $C_n$ et $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)$.
2. bOn suppose $n \geqslant 3$. Démontre que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \omega^{2k} = 0$. Que vaut cette somme si $n = 2$ ? Justifie.
3. cLinéarise $\cos^2 x$, puis calcule $Q_n$ en fonction de $n$ pour $n \geqslant 3$.
4. dDéduis-en les valeurs de $\displaystyle\sum_{k=0}^{7} \cos^2\left(\frac{k\pi}{4}\right)$ et de $\displaystyle\sum_{k=0}^{5} \sin^2\left(\frac{k\pi}{3}\right)$.
5. eCalcule $Q_2$ directement. La formule trouvée pour $n \geqslant 3$ reste-t-elle vraie pour $n = 2$ ? Justifie.

Ex. 33★★★Calculer des longueurs avec un module — On donne les points $A(2-\mathrm{i})$, $B(6+\mathrm{i})$, $C(-3+2\mathrm{i})$, $D(-1-\mathrm{i})$, $E(1+\mathrm{i})$, $F(-4+13\mathrm{i})$, $G(-2)$ et $H(5\mathrm{i})$.

1. aCalcule la longueur $AB$.
2. bCalcule la longueur $CD$.
3. cCalcule $EF$ avec $\lvert z_E-z_F\rvert$, puis dis si le résultat change avec $\lvert z_F-z_E\rvert$. Justifie.
4. dLéa écrit : « $GH=\lvert z_H\rvert-\lvert z_G\rvert=5-2=3$ ». Corrige son calcul.
5. eDonne l’affixe du milieu $I$ de $[AB]$, puis calcule la longueur $IA$.

Ex. 34★★★Mesurer un angle orienté avec un quotient — Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. Dans chaque cas, donne la mesure principale de l’angle orienté demandé, à l’aide des affixes.

1. a$A(1+\mathrm{i})$, $B(4+\mathrm{i})$, $C(1+4\mathrm{i})$ : calcule $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
2. b$A(2)$, $B(2+3\mathrm{i})$, $C(5+3\mathrm{i})$ : calcule $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
3. cAvec les mêmes points $A(2)$, $B(2+3\mathrm{i})$, $C(5+3\mathrm{i})$ : calcule $(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})$.
4. d$A(-1)$, $B(1)$, $C(-2+\sqrt{3}\,\mathrm{i})$ : calcule $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$.
5. e$A(\mathrm{i})$, $B(3+\mathrm{i})$, $C(-3+\mathrm{i})$. Zoé écrit : « $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\arg(z_C)-\arg(z_B)$ ». Explique son erreur, puis calcule cet angle.
6. f$A(1-2\mathrm{i})$, $B(-1)$ : calcule $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AB})$.

Ex. 35★★★Nature d’un triangle, puis d’un quadrilatère — On donne les points $A(-2+\mathrm{i})$, $B(3+2\mathrm{i})$ et $C(-1-4\mathrm{i})$.

1. aCalcule $AB^2$, $AC^2$ et $BC^2$.
2. bDéduis-en la nature du triangle $ABC$. Justifie.
3. cCalcule $Z=\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ sous forme algébrique, puis donne la mesure principale de $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$.
4. dDétermine l’affixe du centre $K$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$, puis son rayon. Justifie.

Ex. 36★★★Alignement et orthogonalité : vrai ou faux ? — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par un calcul ou un argument.

1. aLes points $A(-2+3\mathrm{i})$, $B(-\mathrm{i})$ et $C(1-3\mathrm{i})$ sont alignés.
2. bAvec $A(1-\mathrm{i})$, $B(3)$, $C(2+\mathrm{i})$ et $D(5\mathrm{i})$ : $(AB)\perp(CD)$ et $AB=CD$.
3. cSi $A\neq B$ et $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=0$, alors $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\ [2\pi]$.
4. dAvec $K(1+\mathrm{i})$, $L(2+3\mathrm{i})$, $M(-1-3\mathrm{i})$, Hugo trouve $\arg\left(\frac{z_M-z_K}{z_L-z_K}\right)=\pi$. Il affirme : « $K$, $L$, $M$ ne sont pas alignés ».

Ex. 37★★★Les erreurs d’Inès sur un triangle — Inès étudie le triangle $ABC$ avec $A(1+\mathrm{i})$, $B(3-\mathrm{i})$ et $C\left(2+\sqrt{3}+\sqrt{3}\,\mathrm{i}\right)$.

1. aInès écrit : « $\arg(z_B-z_A)=\frac{\pi}{4}$ ». Explique son erreur, puis calcule $AB$.
2. bCalcule $Z=\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
3. cInès calcule $\arg\left(\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right)$ pour mesurer $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$. A-t-elle raison ? Justifie et donne la bonne mesure principale.
4. dDéduis-en la nature du triangle $ABC$. Justifie.

Ex. 38★★★Du triangle au carré — On donne les points $A(-1+2\mathrm{i})$, $B(3+\mathrm{i})$ et $C(4+5\mathrm{i})$.

1. aCalcule $Z=\frac{z_C-z_B}{z_A-z_B}$ sous forme algébrique. Déduis-en une mesure de $(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})$.
2. bDéduis-en la nature du triangle $ABC$ et calcule la longueur $BA$.
3. cDétermine l’affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
4. dDémontre que $ABCD$ est un carré, puis donne l’affixe de son centre $\Omega$.
5. eDétermine l’ensemble des points $M(z)$ tels que $\lvert z-4-5\mathrm{i}\rvert=\lvert z+1-2\mathrm{i}\rvert$. Démontre que c’est la droite $(BD)$.

Ex. 39★★★Les points $1$, $z$ et $z^2$ — On note $A$ le point d’affixe $1$. Pour tout nombre complexe $z$, on note $M$ et $N$ les points d’affixes $z$ et $z^2$.

1. aDétermine les valeurs de $z$ pour lesquelles les points $A$, $M$ et $N$ ne sont pas deux à deux distincts.
2. bOn suppose désormais $z\notin\{-1\,;0\,;1\}$. Simplifie le quotient $Z=\frac{z_N-z_A}{z_M-z_A}$.
3. cDétermine l’ensemble des points $M$ pour lesquels $A$, $M$ et $N$ sont alignés.
4. dDétermine et décris l’ensemble des points $M$ tels que $(AM)\perp(AN)$. Déduis-en les $z$ pour lesquels $AMN$ est rectangle isocèle en $A$.
5. eDétermine les valeurs de $z$ pour lesquelles le triangle $AMN$ est équilatéral. Donne-les sous forme exponentielle.

Ex. 40★★★Un cercle, un diamètre et une demi-droite — On donne $\Omega(1+2\mathrm{i})$, $A(5+5\mathrm{i})$, $B(-3-\mathrm{i})$ et $C(6+2\mathrm{i})$. On note $\Gamma$ l’ensemble des points $M(z)$ tels que $\lvert z-1-2\mathrm{i}\rvert=5$.

1. aReconnais l’ensemble $\Gamma$. Démontre que $A$, $B$ et $C$ appartiennent à $\Gamma$ et que $\Omega$ est le milieu de $[AB]$.
2. bCalcule $\frac{z_A-z_C}{z_B-z_C}$ sous forme algébrique. Déduis-en la nature du triangle $ABC$ et une mesure de $(\overrightarrow{CB}, \overrightarrow{CA})$.
3. cDétermine l’ensemble $\Delta$ des points $M(z)$, avec $z\neq 1+2\mathrm{i}$, tels que $\arg(z-1-2\mathrm{i})=\pi\ [2\pi]$. Déduis-en l’affixe du point $D$ commun à $\Delta$ et $\Gamma$.
4. dDémontre que $ACBD$ est un rectangle. Est-ce un carré ? Justifie.

Ex. 41★★★Cercles et disques — Dans le plan complexe, $M$ est le point d’affixe $z$. Détermine et décris l’ensemble des points $M$ qui vérifient la condition donnée.

Ex. 42★★★Les demi-droites de Sacha — $M$ est le point d’affixe $z \neq z_A$, où $A$ est le point qui rend l’argument non défini. Chaque description de Sacha contient une erreur : repère-la et corrige-la.

1. a$\arg(z-2)=\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$ : « c’est la droite passant par le point d’affixe $2$ et dirigée par $1+\mathrm{i}$ ».
2. b$\arg(z+1-\mathrm{i})=\frac{\pi}{2}\ [2\pi]$ : « c’est une demi-droite d’origine le point d’affixe $1-\mathrm{i}$ ».
3. c$\arg(z-3\mathrm{i})=\frac{\pi}{3}\ [\pi]$ : « c’est la demi-droite ouverte d’origine le point d’affixe $3\mathrm{i}$ dirigée par $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$ ».
4. d$\arg(\overline{z})=\frac{\pi}{6}\ [2\pi]$ : « c’est la demi-droite ouverte d’origine $O$ qui contient le point d’affixe $\sqrt{3}+\mathrm{i}$ ».
5. e$\arg(z-1+2\mathrm{i})=\pi\ [2\pi]$ : « ce sont les points tels que $y=-2$ et $x\leqslant 1$ ».

Ex. 43★★★Une médiatrice et son équation — On note $E$ l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $\lvert z-1-3\mathrm{i}\rvert=\lvert z+5-\mathrm{i}\rvert$.

1. aReconnais l’ensemble $E$ en précisant les affixes des points utilisés.
2. bPose $z=x+\mathrm{i}y$ et détermine une équation cartésienne de $E$.
3. cContrôle ton équation avec un point remarquable de $E$.
4. dDétermine le point de $E$ situé sur l’axe des réels, puis vérifie-le avec les modules.

Ex. 44★★★Un quotient réel ou imaginaire pur — Pour tout point $M$ d’affixe $z$, on étudie le quotient $Z=\frac{z-2+\mathrm{i}}{z+2-3\mathrm{i}}$.

1. aÉcris $Z$ sous la forme $\frac{z-z_A}{z-z_B}$, puis indique pour quel point $Z$ n’est pas défini.
2. bDétermine l’ensemble $F$ des points $M$ tels que $Z$ soit réel, puis donne-en une équation cartésienne.
3. cDétermine l’ensemble $G$ des points $M$ tels que $Z$ soit imaginaire pur, et précise ses éléments caractéristiques.
4. dCalcule $Z$ pour $z=2+3\mathrm{i}$. Ce résultat est-il cohérent avec la question précédente ? Justifie.

Ex. 45★★★Vrai ou faux : ensembles de points — $M$ est le point d’affixe $z$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie.

1. aL’ensemble des points $M$ tels que $\lvert -2z+4\mathrm{i}\rvert=8$ est le cercle de centre le point d’affixe $-2\mathrm{i}$ et de rayon $8$.
2. bL’ensemble des points $M$ tels que $\arg(z+3)=\frac{3\pi}{4}\ [2\pi]$ contient le point d’affixe $-5+2\mathrm{i}$.
3. cL’ensemble des points $M$ tels que $\arg(z-\mathrm{i})=0\ [\pi]$ est la droite d’équation $y=1$.
4. dL’ensemble des points $M$ tels que $\lvert z-1+2\mathrm{i}\rvert\leqslant\sqrt{5}$ contient l’origine $O$ du repère.

Ex. 46★★★Un quotient étudié en coordonnées — On note $A$ et $B$ les points d’affixes $6$ et $4\mathrm{i}$. Pour tout point $M$ d’affixe $z\neq 4\mathrm{i}$, on pose $Z=\frac{z-6}{z-4\mathrm{i}}$ et $z=x+\mathrm{i}y$, avec $x$ et $y$ réels.

1. aExprime la partie réelle et la partie imaginaire de $Z$ en fonction de $x$ et $y$.
2. bDéduis-en l’ensemble $E_1$ des points $M$ tels que $Z$ soit réel, puis décris-le géométriquement.
3. cDétermine l’ensemble $E_2$ des points $M$ tels que $Z$ soit imaginaire pur. Précise les points éventuellement exclus.
4. dLe point $C$ d’affixe $5+5\mathrm{i}$ appartient-il à $E_2$ ? Justifie par le calcul de $Z$, puis à l’aide de l’équation.
5. eDétermine l’ensemble $E_3$ des points $M$ tels que $\lvert Z\rvert=1$, puis donnes-en une équation cartésienne.

Ex. 47★★★Les cercles déguisés de Maëlle — Maëlle étudie des ensembles de points $M$ d’affixe $z$ : $\Gamma_1$ défini par $\lvert 2z-4+6\mathrm{i}\rvert=6$, $\Gamma_2$ défini par $\lvert \overline{z}+3+\mathrm{i}\rvert=2$ et, pour un réel $m$, $F_m$ défini par $\lvert z-1+\mathrm{i}\rvert=m-4$.

1. aMaëlle affirme : « $\Gamma_1$ est le cercle de centre le point d’affixe $4-6\mathrm{i}$ et de rayon $6$. » A-t-elle raison ? Justifie et corrige.
2. bLe point $P$ d’affixe $2$ appartient-il à $\Gamma_1$ ? Justifie de deux façons.
3. cDébarrasse-toi du conjugué pour déterminer la nature et les éléments de $\Gamma_2$.
4. dLes ensembles $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ ont-ils des points communs ? Justifie.
5. eSelon les valeurs du réel $m$, détermine la nature de $F_m$.

Ex. 48★★★Le couloir de vol du drone de Yanis — Yanis programme un drone. Sur son écran, $A$ et $C$ sont les points d’affixes $-1+2\mathrm{i}$ et $5+2\mathrm{i}$. $M$ est le point d’affixe $z\neq -1+2\mathrm{i}$, avec $z=x+\mathrm{i}y$ ($x$ et $y$ réels).

1. aDétermine l’ensemble $D_1$ des points $M$ tels que $\arg(z+1-2\mathrm{i})=\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$, puis décris-le par des conditions sur $x$ et $y$.
2. bYanis pense que l’ensemble $D_2$ défini par $\arg(z+1-2\mathrm{i})=\frac{\pi}{4}\ [\pi]$ est égal à $D_1$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cDétermine l’ensemble $\Delta$ des points $M$ tels que $\lvert z+1-2\mathrm{i}\rvert=\lvert z-5-2\mathrm{i}\rvert$, puis donnes-en une équation cartésienne.
4. dDétermine l’affixe du point $B$ commun à $D_1$ et à $\Delta$, puis la nature du triangle $ABC$.
5. eDécris l’ensemble des points de $D_1$ tels que $\lvert z+1-2\mathrm{i}\rvert\leqslant 2\sqrt{2}$.