48 exercices en 6 parties, du plus simple au plus difficile : ★★★ facile · ★★★ moyen · ★★★ difficile. Le corrigé détaillé est sur benprofparticulier.fr.
1.Rappels : coordonnées d’un vecteur
À retenir : $\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)$ : arrivée moins départ ; $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. $k\vec{u}$ : les deux coordonnées. $\overrightarrow{AM} = \vec{u}\,(x\,;\,y)$ : $M(x_A + x\,;\,y_A + y)$. ABCD parallélogramme $\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
Ex. 1★★★Automatismes : extrémité moins origine— Dans un repère orthonormé, on donne $A(-3\,;\,2)$,$B(2\,;\,-1)$, $C(4\,;\,3)$ et $D(-1\,;\,-2)$. Calcule les coordonnées de chaque vecteur.
a$\overrightarrow{AB}$
b$\overrightarrow{BA}$
c$\overrightarrow{DC}$
d$\overrightarrow{DB}$
e$\overrightarrow{EF}$ avec $E(1{,}5\,;\,-0{,}5)$ et $F(-2\,;\,3{,}5)$
f$\overrightarrow{GH}$ avec $G\left(\dfrac{1}{3}\,;\,-2\right)$ et $H\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{4}\right)$
Ex. 2★★★Automatismes : somme, produit par un réel— Dans une base orthonormée, on donne $\vec{u}\,(-2\,;\,5)$, $\vec{v}\,(3\,;\,-4)$ et $\vec{w}\,(0\,;\,-1{,}5)$. Calcule les coordonnées demandées.
a$3\vec{u}$
b$\vec{u} + \vec{v}$
c$\vec{u} - \vec{v}$
d$-2\vec{v} + \vec{w}$
e$\dfrac{3}{4}\vec{v}$
fLe vecteur $\vec{t}$ tel que $\vec{t} + \vec{u} = \vec{v}$
Ex. 3★★★Lire des vecteurs sur un quadrillage— Le quadrillage a des carreaux de côté 1. Lis les coordonnées des vecteurs : déplacement horizontal puis vertical, de l'origine vers la pointe de la flèche.
aLis les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.
bLis les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$.
cLis les coordonnées de $\overrightarrow{EF}$.
dDonne les coordonnées de $\overrightarrow{BA}$ sans faire de nouvelle lecture.
eLéa trouve $\overrightarrow{CD}\,(-2\,;\,5)$. Quelle erreur a-t-elle faite ?
Ex. 4★★★Trouver un point défini par un vecteur— Dans un repère orthonormé, on donne $A(-2\,;\,-1)$,$B(1\,;\,3)$, $C(4\,;\,-2)$ et $\vec{u}\,(5\,;\,-2)$.
aCalcule les coordonnées du point M tel que $\overrightarrow{AM} = \vec{u}$.
bCalcule les coordonnées du point N tel que $\overrightarrow{NB} = \vec{u}$.
cCalcule les coordonnées du point P tel que $\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AB}$.
dCalcule les coordonnées du point Q tel que $\overrightarrow{CQ} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
Ex. 5★★★Le jardin de Malik : parallélogramme et Chasles— Sur le plan du jardin de Malik, muni d'un repère orthonormé, trois piquets sont placés en $E(-3\,;\,-2)$, $F(2\,;\,-3)$ et $G(4\,;\,1)$. Il veut un massif en forme de parallélogramme EFGH.
aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{EF}$ et de $\overrightarrow{FG}$.
bCalcule les coordonnées du quatrième piquet H. Contrôle avec un autre vecteur.
cInès écrit $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{GH}$ et trouve $H(9\,;\,0)$. Explique son erreur.
dSimplifie $\overrightarrow{GF} + \overrightarrow{EG}$ avec la relation de Chasles, puis vérifie avec les coordonnées.
Ex. 6★★★Le parallélogramme de Nolan : erreur à corriger— Dans un repère orthonormé, on donne $A(-2\,;\,3)$,$B(3\,;\,1)$, $C(4\,;\,-3)$ et $D(-1\,;\,-1)$. Nolan doit dire si ABCD est un parallélogramme.
aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{CD}$. Attention aux signes.
bNolan affirme : « $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CD}$, donc ABCD n'est pas un parallélogramme. » Vrai ou faux ? Justifie en citant la propriété.
cContrôle ta conclusion : calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AD}$ et de $\overrightarrow{BC}$, puis conclus.
dEva écrit : « $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$ ». Corrige cette relation de Chasles, puis vérifie la relation corrigée avec les coordonnées.
Ex. 7★★★Des points définis par des relations vectorielles— Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;\,-2)$, $B(-3\,;\,1)$ et $C(2\,;\,4)$.
aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{AC}$.
bSaïd calcule $2\overrightarrow{AB}$ et trouve $(-8\,;\,3)$. Explique son erreur, puis calcule les coordonnées de $2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$.
cDéduis-en les coordonnées du point M tel que $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$.
dSans coordonnées, montre avec la relation de Chasles que $\overrightarrow{CM} = 2\overrightarrow{CB}$.
eVérifie cette égalité avec les coordonnées, puis précise la position du point B sur le segment [CM].
Ex. 8★★★La carte au trésor de Jade— Sur la carte de Jade, munie d'un repère orthonormé, le palmier est en $P(-4\,;\,1)$. Le rocher R vérifie $\overrightarrow{PR}\,(6\,;\,2)$. Le trésor T vérifie $\overrightarrow{RT} = 2\vec{u} - \vec{v}$, avec $\vec{u} = \overrightarrow{EF}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{GH}$ représentés sur la figure.
aLis sur le quadrillage les coordonnées de $\vec{u}$ et de $\vec{v}$ (déplacement horizontal puis vertical, de l'origine vers la pointe).
bLéo place le rocher au point de coordonnées $(6\,;\,2)$. Explique son erreur, puis calcule les coordonnées de R.
cCalcule les coordonnées du vecteur $2\vec{u} - \vec{v}$.
dDéduis-en les coordonnées du trésor T.
eContrôle : calcule $\overrightarrow{PR} + \overrightarrow{RT}$ avec la relation de Chasles, puis compare avec les coordonnées de $\overrightarrow{PT}$ obtenues à partir de P et T.
2.Vecteurs colinéaires
À retenir : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si $\vec{v} = k\vec{u}$ ou $\vec{u} = k\vec{v}$. Je trouve $k$ sur une coordonnée non nulle, puis je le vérifie sur l'autre. Exemple : $(2\,;\,-1)$ et $(-6\,;\,3)$ donnent $k = -3$, donc sens contraires. $\vec{0}$ est colinéaire à tout vecteur.
Ex. 9★★★Automatismes : trouver le coefficient de colinéarité— Dans chaque cas, cherche $k$ sur une coordonnée, puis vérifie-le sur l'autre. Si les vecteurs sont colinéaires, précise s'ils sont de même sens ou de sens contraires.
a$\vec{u}\,(4\,;\,-6)$ et $\vec{v}\,(-10\,;\,15)$ : trouve $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$.
b$\vec{u}\,(6\,;\,9)$ et $\vec{v}\,(8\,;\,12{,}5)$ sont-ils colinéaires ?
c$\vec{u}\,(0\,;\,-5)$ et $\vec{v}\,(0\,;\,3)$ : trouve $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$.
dVrai ou faux ? $\vec{v}\,(-1\,;\,0{,}4)$ est colinéaire à $\vec{u}\,(2{,}5\,;\,-1)$ et de même sens. Justifie.
eLe vecteur nul $\vec{0}$ est-il colinéaire à $\vec{u}\,(7\,;\,-2)$ ? Justifie.
f$\vec{u}\,(3\,;\,0)$ et $\vec{v}\,(0\,;\,3)$ sont-ils colinéaires ?
g$\vec{u}\,\left(\frac{2}{3}\,;\,-1\right)$ et $\vec{v}\,(-2\,;\,3)$ : trouve $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$.
Ex. 10★★★Automatismes : lire des vecteurs colinéaires sur un quadrillage— Le plan est muni d'un repère orthonormé.
aLis sur le quadrillage les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{EF}$.
bExprime $\overrightarrow{CD}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$. Compare leurs sens et leurs longueurs.
cTrouve le réel $k$ tel que $\overrightarrow{EF} = k\,\overrightarrow{AB}$.
dLis les coordonnées de $\overrightarrow{AD}$. Ce vecteur est-il colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ ? Justifie par un calcul.
eVrai ou faux ? $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont de même sens. Justifie par un calcul.
Ex. 11★★★Tableau de proportionnalité et réel m— Dans une base orthonormée, le vecteur $\vec{u}$ représenté sur la figure a pour coordonnées $(-4\,;\,6)$.
aRecopie et complète le tableau pour que $\vec{v}$ soit colinéaire à $\vec{u}$ : $\begin{array}{|c|c|c|}\hline & \vec{u} & \vec{v} \\ \hline \text{abscisse} & -4 & 14 \\ \hline \text{ordonnée} & 6 & \dots \\ \hline \end{array}$
bTrouve le réel $m$ tel que $\vec{w}\,(m\,;\,-4{,}5)$ soit colinéaire à $\vec{u}$.
cTrouve le réel $m$ tel que $\vec{t}\,(m + 1\,;\,9)$ soit colinéaire à $\vec{u}$.
dExiste-t-il des réels $m$ tels que $\vec{s}\,(0\,;\,m)$ soit colinéaire à $\vec{u}$ ? Justifie.
Ex. 12★★★Deux élèves se trompent— Dans un repère orthonormé, on donne $A(-3\,;\,-1)$,$B(-1\,;\,4)$,$C(1\,;\,-2)$,$D(6\,;\,0)$, $E(5\,;\,4)$ et $F(1\,;\,-6)$.
aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{EF}$.
bLéa écrit : « Pour $\overrightarrow{AB}$,$\frac{x}{y} = \frac{2}{5}$. Pour $\overrightarrow{CD}$,$\frac{y'}{x'} = \frac{2}{5}$. Mêmes rapports, donc ils sont colinéaires. » Explique son erreur, puis conclus correctement.
cHugo écrit : « $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{EF}$ ne sont pas colinéaires, car $\overrightarrow{EF}$ est plus long et de sens contraire. » Vrai ou faux ? Justifie par un calcul.
Ex. 13★★★Trajectoire d'un drone— Dans une base orthonormée (unité : 10 m), un drone dispose de deux déplacements : $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{CD}$, avec $A(-4\,;\,1)$,$B(-1\,;\,0)$, $C(2\,;\,-2)$ et $D(1\,;\,0)$. Ainsi $\vec{u}\,(3\,;\,-1)$ et $\vec{v}\,(-1\,;\,2)$.
aCalcule les coordonnées de $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$.
bLe drone doit suivre $\vec{t}\,(-4{,}5\,;\,1{,}5)$. $\vec{t}$ est-il colinéaire à $\vec{u}$ ? Justifie par un calcul et, si oui, précise le sens.
cCalcule les coordonnées de $\vec{s} = \vec{u} - \vec{v}$. Les vecteurs $\vec{w}$ et $\vec{s}$ sont-ils colinéaires ? Justifie.
dCalcule les coordonnées de $\vec{r} = \vec{w} - 3\vec{v}$, puis trouve le réel $k$ tel que $\vec{r} = k\,\vec{t}$.
Ex. 14★★★Vrai ou faux : colinéaires, égaux, de même sens ?— Dans une base orthonormée, le vecteur $\vec{u}$ représenté sur la figure a pour coordonnées $(-6\,;\,4)$. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie par un calcul ou par la définition.
a« Le vecteur $\vec{v}\,(9\,;\,-6)$ est colinéaire à $\vec{u}$ et de même sens que $\vec{u}$. »
b« Comme $\frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$, le vecteur $\vec{w}\,(-3\,;\,1)$ est colinéaire à $\vec{u}$. »
c« Le vecteur $\vec{s}\,\left(\frac{3}{2}\,;\,-1\right)$ est colinéaire à $\vec{u}$, et $\vec{u}$ est quatre fois plus long que $\vec{s}$. »
d« Aucun réel $k$ ne vérifie $\vec{u} = k\vec{0}$, donc le vecteur nul n'est pas colinéaire à $\vec{u}$. »
e« Un vecteur colinéaire à $\vec{u}$ et de même longueur que $\vec{u}$ est forcément égal à $\vec{u}$. »
Ex. 15★★★Un réel m, deux valeurs, deux sens— Dans une base orthonormée, $m$ désigne un réel. On considère les vecteurs $\vec{u}\,(m\,;\,2)$ et $\vec{v}\,(8\,;\,m)$.
aOn prend $m = 0$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ? Justifie sans diviser par $0$.
bOn suppose $m \neq 0$ et qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$. Exprime $k$ en fonction de $m$ avec les ordonnées, puis montre que $m^2 = 16$.
cDéduis-en les valeurs possibles de $m$. Pour chacune, écris les coordonnées de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, puis vérifie qu'ils sont colinéaires en donnant $k$.
dPour chaque valeur trouvée, précise si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont le même sens ou des sens contraires, et compare leurs longueurs.
Ex. 16★★★Carte au trésor : la méthode d'Inès— Sur une carte au trésor munie d'un repère orthonormé (unité : 100 m), on repère le palmier $A(-3\,;\,-2)$, le rocher $B(-6\,;\,4)$, le puits $C(1\,;\,3)$ et la cabane $D(3\,;\,-1)$.
aCalcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
bInès divise l'abscisse de $\overrightarrow{AB}$ par son ordonnée, puis l'ordonnée de $\overrightarrow{CD}$ par son abscisse. Elle trouve deux nombres différents et conclut : « non colinéaires ». Explique son erreur.
cTrouve le réel $k$ tel que $\overrightarrow{CD} = k\overrightarrow{AB}$, en le vérifiant. Précise leur sens et lequel est le plus long.
dCalcule les coordonnées de $2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{CD}$. Ce vecteur est-il colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ ? Justifie.
eLe trésor est au point $T$ tel que $\overrightarrow{AT} = 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{CD}$. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AT}$, dis s'il est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$, puis donne les coordonnées de $T$.
3.Déterminant et critère de colinéarité
À retenir : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx'$ : on met les négatifs entre parenthèses. Nul $\iff$ colinéaires, pas égaux. $\det(\vec{v}, \vec{u}) = -\det(\vec{u}, \vec{v})$ et $\det(k\vec{u}, \vec{v}) = k\det(\vec{u}, \vec{v})$. Ex. : $(2\,;-1)$, $(3\,;4)$ : $2 \times 4 - (-1) \times 3 = 11$.
Ex. 17★★★Automatismes : calculer un déterminant— Dans une base orthonormée, calcule $\det(\vec{u}, \vec{v})$, puis dis si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
a$\vec{u}\,(3\,;\,5)$ et $\vec{v}\,(2\,;\,-4)$
b$\vec{u}\,(-8\,;\,6)$ et $\vec{v}\,(12\,;\,-9)$
c$\vec{u}\,(0\,;\,7)$ et $\vec{v}\,(-3\,;\,2)$
d$\vec{u}\,(2{,}5\,;\,-1{,}5)$ et $\vec{v}\,(-5\,;\,3)$
e$\vec{u}\,\left(\dfrac{2}{3}\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)$ et $\vec{v}\,\left(\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{3}{5}\right)$
f$\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{CD}$ avec $A(1\,;\,-2)$,$B(-3\,;\,-5)$, $C(2\,;\,1)$ et $D(7\,;\,-1)$.
Ex. 18★★★Automatismes : les règles du déterminant— Dans une base orthonormée, on sait que $\det(\vec{u}, \vec{v}) = -6$. Sans connaître les coordonnées, réponds.
aCalcule $\det(\vec{v}, \vec{u})$.
bCalcule $\det(4\vec{u}, \vec{v})$.
cIlyès écrit : « $\det\left(\frac{1}{2}\vec{u}, \frac{1}{2}\vec{v}\right) = \frac{1}{2} \times (-6) = -3$. » Trouve son erreur et corrige.
dCalcule $\det(-2\vec{u}, 3\vec{v})$.
eCalcule $\det(\vec{u}, \vec{u})$ avec $\vec{u}\,(x\,;\,y)$.
fInès dit : « $\det(\vec{v}, \vec{u})$ n'a pas le même signe, donc $\vec{v}$ et $\vec{u}$ sont peut-être colinéaires. » Vrai ou faux ? Justifie.
Ex. 19★★★Lire, calculer, comparer les sens— Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a placé les points A, B, C, D, E et F.
aLis sur le quadrillage les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{EF}$.
bCalcule $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})$. Les vecteurs sont-ils colinéaires ? Si oui, donne leur coefficient de colinéarité et précise leur sens.
cLes vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{EF}$ semblent parallèles. Sont-ils colinéaires ? Justifie par un calcul.
dÀ l'aide des questions 2 et 3, déduis $\det(\overrightarrow{CD}, \overrightarrow{EF})$ sans calcul de coordonnées, puis vérifie par le calcul.
Ex. 20★★★Trouver le réel m— Dans une base orthonormée, trouve toutes les valeurs du réel $m$ pour lesquelles $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. Il peut y avoir une seule valeur, aucune ou toutes.
a$\vec{u}\,(m\,;\,-3)$ et le vecteur $\vec{v}\,(5\,;\,6)$ représenté ci-dessous. Contrôle ton résultat avec un coefficient de colinéarité.
b$\vec{u}\,(2\,;\,m + 1)$ et $\vec{v}\,(-3\,;\,4)$
c$\vec{u}\,(m\,;\,2m)$ et $\vec{v}\,(3\,;\,5)$
d$\vec{u}\,(m + 2\,;\,4)$ et $\vec{v}\,(m\,;\,4)$
e$\vec{u}\,(2m\,;\,-6)$ et $\vec{v}\,(m\,;\,-3)$
Ex. 21★★★Python : une fonction det— Ben veut tester la colinéarité de $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y')$ à coordonnées entières (xp et yp désignent $x'$ et $y'$).def det(x, y, xp, yp):
return ...
def colineaires(x, y, xp, yp):
return det(x, y, xp, yp) == 0
aComplète la ligne 2. Pourquoi le test « == 0 » est-il fiable ici ?
cNoé écrit return x * xp - y * yp. Qu'affiche alors colineaires(2, 3, 3, 2) pour $\overrightarrow{OA}\,(2\,;\,3)$ et $\overrightarrow{OB}\,(3\,;\,2)$ ? Corrige sa conclusion.
dLina dit : « det(2, -3, 6, -9) vaut 0, donc $(2\,;\,-3)$ et $(6\,;\,-9)$ sont égaux. » Corrige-la.
Ex. 22★★★Compléter la démonstration du critère— Dans une base orthonormée, soit $\vec{u}\,(x\,;\,y)$ et $\vec{v}\,(x'\,;\,y')$ deux vecteurs non nuls. On veut démontrer : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\iff$ $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$.
aOn suppose $\vec{v} = k\vec{u}$. Écris $x'$ et $y'$ en fonction de $k$,$x$,$y$, puis complète : $xy' - yx' = x \times \ldots - y \times \ldots = \ldots$
bRéciproque, cas $x \neq 0$ : on suppose $xy' = yx'$ et on pose $k = \frac{x'}{x}$. Montre que $x' = kx$ et $y' = ky$. Conclus.
cCas $x = 0$ : explique pourquoi $y \neq 0$, déduis de $xy' = yx'$ que $x' = 0$, puis trouve un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$.
dApplique le cas $x = 0$ à $\vec{u}\,(0\,;\,-4)$ et $\vec{v}\,\left(0\,;\,\frac{5}{2}\right)$ : calcule le déterminant, puis le coefficient $k$, et précise le sens.
eLa démonstration suppose les vecteurs non nuls. Calcule $\det(\vec{0}, \vec{w})$ avec $\vec{w}\,(3\,;\,-7)$. Le vecteur nul est-il colinéaire à $\vec{w}$ ? Justifie.
Ex. 23★★★Un vecteur défini par une relation— Dans le repère orthonormé ci-dessous, on donne $A(-3\,;\,-2)$, $B(1\,;\,0)$ et $C(-1\,;\,3)$. Le point M est défini par $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$. On donne aussi $\vec{u}\,\left(-9\,;\,\frac{3}{2}\right)$.
aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$, puis celles de $\overrightarrow{AM}$. Déduis-en les coordonnées de M.
bThéo écrit : « $6 \times (-9) - (-1) \times \frac{3}{2} \neq 0$, donc $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ ne sont pas colinéaires. » Trouve son erreur et corrige, en précisant le sens.
cLes points C, B et M sont-ils alignés ? Justifie par un déterminant, puis retrouve-le sans coordonnées avec la relation de Chasles.
dCalcule $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$. Sans recalculer de coordonnées, déduis-en $\det(\overrightarrow{AC}, -2\overrightarrow{AB})$.
Ex. 24★★★Le couloir du jeu vidéo— Zoé programme un jeu dans un repère orthonormé. Un couloir suit la direction du vecteur $\vec{c}$ représenté ci-dessous. Un déplacement est autorisé s'il est colinéaire à $\vec{c}$. Pour chaque déplacement proposé, $m$ désigne un réel.
aLis sur le quadrillage les coordonnées du vecteur $\vec{c}$.
bDéplacement $\vec{d_1}\,(m\,;\,6)$ : trouve $m$ pour qu'il soit autorisé. Donne le coefficient $k$ tel que $\vec{d_1} = k\vec{c}$ et précise le sens.
cLe joueur enchaîne $\vec{d_1}$ (avec ce $m$) puis $\vec{e}\,(5{,}5\,;\,-7{,}5)$. Le déplacement total est-il autorisé ? Justifie par un calcul.
dDéplacement $\vec{d_3}\,(2m\,;\,-3m)$ : pour quelles valeurs de $m$ est-il autorisé ? Discute selon $m$ le sens de $\vec{d_3}$ par rapport à $\vec{c}$.
4.Alignement de trois points
À retenir :$A$,$B$, $C$ alignés $\iff \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0$ (même origine $A$). Si $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ : $0<k<1$, C entre A et B ; $k>1$, B entre A et C ; $k<0$, A entre B et C. Une figure ne prouve rien ; $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$ colinéaires donne seulement $(AB) \parallel (CD)$.
Ex. 25★★★Alignés ou non : le déterminant tranche— Pour chaque cas, calcule $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ puis conclus par une phrase : les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
a$\overrightarrow{AB}\,(2\,;\,3)$ et $\overrightarrow{BC}\,(4\,;\,6)$ : utilise la relation de Chasles pour obtenir $\overrightarrow{AC}$.
bLis sur le quadrillage les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{AC}$, puis calcule le déterminant.
c$A(-2\,;\,3)$, $B(0\,;\,-1)$ et $C(3\,;\,-6)$.
d$A(1{,}5\,;\,-1)$, $B(2{,}5\,;\,0{,}5)$ et $C(4{,}5\,;\,3{,}5)$.
e$A\left(\dfrac{1}{2}\,;\,1\right)$, $B\left(1\,;\,\dfrac{4}{3}\right)$ et $C(2\,;\,3)$.
f$A(-3\,;\,2)$, $B(1\,;\,2)$ et $C(6\,;\,2{,}5)$.
gOn sait seulement que $\overrightarrow{AB}\,(-4\,;\,6)$ et $\overrightarrow{AC}\,(6\,;\,-9)$.
Ex. 26★★★Qui est entre les deux autres ?— Dans chaque cas, les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. Trouve le réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$, puis dis lequel des trois points est entre les deux autres.
a$\overrightarrow{AB}\,(2\,;\,-6)$ et $\overrightarrow{AC}\,(5\,;\,-15)$.
b$\overrightarrow{AB}\,(-6\,;\,9)$ et $\overrightarrow{AC}\,(-2\,;\,3)$.
c$A(2\,;\,-1)$, $B(6\,;\,0)$ et $C(-6\,;\,-3)$.
d$\overrightarrow{AB}\,(0{,}8\,;\,-1{,}2)$ et $\overrightarrow{AC}\,(0{,}6\,;\,-0{,}9)$.
eLis sur le quadrillage les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{AC}$.
Ex. 27★★★Les poteaux d'Inès— Dans son jardin, Inès plante des poteaux en $P(-5\,;\,-4)$,$Q(-1\,;\,-1)$, $R(5\,;\,2)$ et $S(1\,;\,-1)$ (unité : le mètre). Sur le plan, Sami trouve que $P$, $Q$ et $R$ semblent alignés.
aCalcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{PQ}$ et $\overrightarrow{PR}$.
bCalcule $\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR})$. Sami a-t-il raison ? Conclus par une phrase.
cNora calcule $\overrightarrow{RS}$ et $\det(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{RS})$, trouve $0$ et conclut que $P$,$Q$,$R$, $S$ sont alignés. Refais son calcul, puis explique son erreur.
dQue prouve vraiment le calcul de Nora ? Précise la position des droites $(PQ)$ et $(RS)$ en justifiant.
Ex. 28★★★Le rayon laser— Dans un repère orthonormé, un laser placé en $A(-3\,;\,5)$ envoie un rayon qui passe par $B(1\,;\,3)$. L'axe des abscisses représente le sol et l'axe des ordonnées un mur.
aLe rayon touche le sol en $M(x\,;\,0)$. Donne les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{AM}$, en fonction de $x$.
bTraduis « $M \in (AB)$ » par une équation en $x$, puis donne les coordonnées de $M$.
cLa droite $(AB)$ coupe le mur en $N(0\,;\,y)$. Trouve $y$ par le même critère.
dUn miroir est placé en $C(-7\,;\,7)$. Le point $C$ est-il sur $(AB)$ ? Le rayon, qui part de $A$ et passe par $B$, l'atteint-il ? Justifie.
Ex. 29★★★Un programme qui teste l'alignement— La fonction ci-dessous doit renvoyer True si les points $A(x_A\,;\,y_A)$, $B(x_B\,;\,y_B)$ et $C(x_C\,;\,y_C)$ sont alignés, False sinon. def alignes(xA, yA, xB, yB, xC, yC):
ux = xB - xA
uy = yB - yA
vx = ...
vy = ...
d = ...
return d == 0
print(alignes(-3, 1, 2, 3, 7, 5))
print(alignes(0, 4, 2, 1, 5, -3))
aComplète les trois lignes contenant « ... ».
bQu'affiche ce programme ? Justifie par le calcul des deux déterminants.
cLucas écrit d = ux * vx - uy * vy. Qu'afficherait alors la première ligne ? Explique son erreur.
dPourquoi le test d == 0 est-il fiable ici ? Que faut-il écrire avec des coordonnées décimales ?
Ex. 30★★★Un alignement sans repère— $ABC$ est un triangle. $I$ est le milieu de $[AB]$, $J$ est le point tel que $\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ et $K$ est le point tel que $ABCK$ est un parallélogramme. On ne dispose d'aucun repère : on travaille avec la relation de Chasles.
aJustifie que $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{BC}$, puis exprime $\overrightarrow{AK}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ avec la relation de Chasles.
bExprime $\overrightarrow{IJ}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
cExprime $\overrightarrow{IK}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. Les points $I$, $J$ et $K$ sont-ils alignés ? Justifie en citant le critère.
dLequel des trois points $I$,$J$, $K$ est situé entre les deux autres ? Justifie.
Ex. 31★★★La carte au trésor de Noé— Sur la carte au trésor de Noé (repère orthonormé), le puits est en $A(-4\,;\,-3)$, l'arbre en $B(2\,;\,1)$, un rocher en $R(8\,;\,6)$ et une cabane en $C(3{,}5\,;\,2)$. La légende dit que le trésor est sur la droite $(AB)$.
aSur la carte, Noé trouve que $A$, $B$ et $R$ semblent alignés. Calcule $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AR}$ et $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AR})$, puis conclus par une phrase.
bLe trésor $T$ est aussi sur l'axe des ordonnées : $T(0\,;\,y)$. Écris la condition d'alignement de $A$,$B$, $T$ et trouve $y$.
cTrouve le réel $k$ tel que $\overrightarrow{AT} = k\overrightarrow{AB}$, contrôle-le, puis dis si le trésor est entre le puits et l'arbre.
dLa cabane $C$ est-elle sur la droite $(AB)$ ? Justifie par un calcul. Si oui, dis lequel des points $A$,$B$, $C$ est entre les deux autres.
Ex. 32★★★Deux copies à corriger— Dans un repère orthonormé, on donne $A(-2\,;\,4)$,$B(1\,;\,2)$, $C(-1\,;\,-2)$ et $D(5\,;\,-6)$. Léa a trouvé que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires et en conclut que les quatre points $A$,$B$,$C$, $D$ sont alignés.
aCalcule $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}$ et leur déterminant. Que prouve exactement le résultat pour les droites $(AB)$ et $(CD)$ ?
bLes points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ? Justifie par un calcul, puis dis si Léa a raison et précise la position des droites $(AB)$ et $(CD)$.
cPour $E(7\,;\,-2)$, Hugo écrit : $\overrightarrow{AE}\,(7 - 2\,;\,-2 - 4)$, soit $(5\,;\,-6)$, puis $\det = 3 \times (-6) - (-2) \times 5 = -8 \neq 0$, donc non alignés. Trouve son erreur et corrige.
dTrouve le réel $m$ tel que $F(m\,;\,8)$ soit sur la droite $(AB)$, puis précise lequel des points $A$,$B$, $F$ est entre les deux autres.
5.Parallélisme de deux droites
À retenir : $(AB) \parallel (CD) \iff \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0$ ; confondues si en plus $C \in (AB)$. Ex. : $(2\,;-1)$ et $(-6\,;3)$ : $6 - 6 = 0$. Trapèze : une paire de côtés opposés parallèles ; parallélogramme $ABCD \iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
Ex. 33★★★Parallèles ou non ?— Automatismes. Dans chaque cas, calcule un vecteur pour chaque droite, puis leur déterminant. Les droites sont-elles parallèles ? Justifie.
a$A(1\,;2)$,$B(4\,;3)$,$C(-2\,;0)$, $D(4\,;2)$ : $(AB)$ et $(CD)$.
b$E(-1\,;3)$,$F(2\,;-1{,}5)$,$G(0\,;0)$, $H(-2\,;3{,}5)$ : $(EF)$ et $(GH)$.
c$K\left(\frac{1}{2}\,;1\right)$, $L(2\,;0)$,$M(-3\,;2)$, $N(0\,;0)$ : $(KL)$ et $(MN)$.
d$P(-2\,;-3)$,$Q(1\,;3)$,$R(0\,;4)$, $S(2\,;9)$ : $(PQ)$ et $(RS)$.
e$U(3\,;-1)$,$V(3\,;5)$,$W(-2\,;0)$, $Z(-2\,;-4)$ : $(UV)$ et $(WZ)$.
f$\overrightarrow{AB}\,(4\,;-6)$, $C(1\,;2)$ et $D(-1\,;5)$ : $(AB)$ et $(CD)$.
Ex. 34★★★Strictement parallèles ou confondues ?— Automatismes. Dans chaque cas, $(AB) \parallel (CD)$ (admis). Calcule $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ pour savoir si $C$ est sur $(AB)$, puis conclus : droites confondues ou strictement parallèles ?
Ex. 35★★★Trapèze ou parallélogramme ?— On donne $A(-3\,;-2)$,$B(3\,;1)$, $C(3\,;4)$ et $D(-1\,;2)$.
aCalcule $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$. Les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont-elles parallèles ? Justifie.
bLes droites $(AD)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ? Justifie par un calcul.
cDéduis-en la nature du quadrilatère $ABCD$. Est-ce un parallélogramme ?
dTrouve le réel $k$ tel que $\overrightarrow{DC} = k\,\overrightarrow{AB}$. Les côtés $[AB]$ et $[DC]$ ont-ils la même longueur ?
Ex. 36★★★Une allée parallèle dans le jardin— Sur le plan du jardin de Sacha (unité : le mètre), une allée suit la droite $(AB)$ avec $A(-2\,;1)$ et $B(4\,;3)$. Le robinet est en $C(1\,;-2)$. Le mur est l'axe des abscisses, la haie l'axe des ordonnées.
aSacha veut une deuxième allée passant par $C$, parallèle à $(AB)$, qui touche le mur en $D(x\,;0)$. Trouve $x$.
bLes deux allées sont-elles confondues ou strictement parallèles ? Justifie par un calcul.
cTrouve le point $E$ de la haie (axe des ordonnées) tel que $(CE) \parallel (AB)$.
dLe massif $ABDC$ est-il un parallélogramme ? Justifie par une égalité de vecteurs.
Ex. 37★★★Deux erreurs à corriger— On donne $M(-3\,;-2)$,$N(-1\,;1)$, $P(1\,;-1)$ et $Q(-2\,;-3)$. Noé et Lucas étudient le quadrilatère $MNPQ$.
aNoé écrit : « $\overrightarrow{MN}\,(2\,;3)$, $\overrightarrow{QP}\,(3\,;2)$ et $2 \times 3 - 3 \times 2 = 0$, donc $(MN) \parallel (QP)$. » Trouve son erreur et conclus correctement.
bLucas écrit : « $\det(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{NP}) = -10 \neq 0$, donc $MNPQ$ n'est pas un trapèze. » Pourquoi sa méthode est-elle fausse ?
cLucas a-t-il raison de dire que $MNPQ$ n'est pas un trapèze ? Justifie par un calcul et donne la nature de $MNPQ$.
Ex. 38★★★Le quatrième sommet— On donne $A(-4\,;\,2)$, $B(4\,;\,-2)$ et $C(5\,;\,1)$. Ben cherche un point $D(x\,;\,4)$ tel que $(CD) \parallel (AB)$.
aCalcule $\overrightarrow{AB}$, puis $\overrightarrow{CD}$ en fonction de $x$. Trouve $x$ pour que $(CD) \parallel (AB)$.
bAvec ce point $D$, quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifie avec les deux paires de côtés opposés.
cAli affirme : « $(AB) \parallel (DC)$, donc $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$. » Trouve le réel $k$ tel que $\overrightarrow{DC} = k\overrightarrow{AB}$, puis corrige Ali.
dCalcule les coordonnées du point $E$ tel que $ABCE$ soit un parallélogramme.
eLes points $C$, $D$ et $E$ sont-ils alignés ? Justifie par un calcul.
Ex. 39★★★Trois rayons laser— Dans le jeu vidéo de Maé, trois rayons laser suivent les droites $(AB)$, $(CD)$ et $(EF)$, avec $A(-1\,;\,-2)$,$B(3\,;\,0)$,$C(0\,;\,1{,}5)$,$D(-2\,;\,0{,}5)$, $E(5\,;\,1)$ et $F(-2\,;\,-2{,}5)$.
aPour savoir si $(AB) \parallel (CD)$, Maé calcule $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 12$ et conclut : « pas parallèles ». Explique son erreur, puis fais le bon calcul.
bLe calcul de Maé sert quand même. Que permet-il de conclure sur les droites $(AB)$ et $(CD)$ ? Justifie.
cLes droites $(AB)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles ? Si oui, sont-elles strictement parallèles ou confondues ? Justifie par des calculs.
dTrouve le réel $k$ tel que $\overrightarrow{EF} = k\overrightarrow{AB}$. Vrai ou faux : « Comme $\overrightarrow{EF} \neq \overrightarrow{AB}$, ces deux rayons ne peuvent pas être confondus » ? Justifie.
Ex. 40★★★Un trapèze et un parallélogramme sans repère— $ABC$ est un triangle. Les points $M$, $N$ et $Q$ sont définis par $\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. On travaille sans repère, avec la relation de Chasles.
aÉcris $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}$, puis exprime $\overrightarrow{MN}$ en fonction de $\overrightarrow{BC}$. Que peux-tu en déduire pour les droites $(MN)$ et $(BC)$ ?
bJade affirme : « $(MN) \parallel (BC)$, donc $MNCB$ est un parallélogramme. » Explique son erreur, puis donne la nature de $MNCB$ en justifiant.
cDémontre que $MNQB$ est un parallélogramme.
dDéduis de la question 3 l'expression de $\overrightarrow{NQ}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$. Les droites $(NQ)$ et $(AB)$ sont-elles strictement parallèles ou confondues ? Justifie.
6.Décomposer un vecteur sur deux vecteurs non colinéaires
À retenir : Si $\det(\vec{u}, \vec{v}) \neq 0$, tout $\vec{w}$ s’écrit de façon unique $a\vec{u} + b\vec{v}$, de coordonnées $(ax + bx'\,;\,ay + by')$ si $\vec{u}\,(x\,;\,y)$, $\vec{v}\,(x'\,;\,y')$ : on résout coordonnée par coordonnée. Ex. : $\vec{u}\,(1\,;\,0)$, $\vec{v}\,(4\,;\,1)$ donnent $2\vec{u} - \vec{v}\,(-2\,;\,-1)$. Sans repère : relation de Chasles.
Ex. 41★★★Automatismes : combinaisons avec des coordonnées— Dans une base orthonormée, on donne $\vec{u}\,(2\,;\,-3)$ et $\vec{v}\,(-1\,;\,4)$.
aCalcule les coordonnées de $3\vec{u} - 2\vec{v}$.
bCalcule les coordonnées de $-\vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v}$.
cTrouve le réel $b$ tel que le vecteur $2\vec{u} + b\vec{v}$ ait pour abscisse $7$.
dCalcule $\det(\vec{u}, \vec{v})$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ?
eDéduis-en les réels $a$ et $b$ tels que $(a - 1)\vec{u} + (b + 2)\vec{v} = \vec{0}$.
Ex. 42★★★Automatismes : lire une combinaison sur le quadrillage— Dans le repère orthonormé ci-dessous, on note $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$. Lis sur la figure les coordonnées dont tu as besoin.
aLis les coordonnées de $\vec{u}$ et de $\vec{v}$, puis calcule $\det(\vec{u}, \vec{v})$.
bÉcris $\overrightarrow{OC}$ sous la forme $a\vec{u} + b\vec{v}$.
cÉcris $\overrightarrow{CD}$ sous la forme $a\vec{u} + b\vec{v}$. Attention aux signes.
dDonne les coordonnées du point $E$ tel que $\overrightarrow{OE} = -\vec{u} + \frac{3}{2}\vec{v}$, puis place-le.
Ex. 43★★★Décomposer un vecteur et contrôler— Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;\,-2)$,$B(4\,;\,-2)$, $C(-1\,;\,2)$ et $D(6\,;\,4)$.
aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$.
bLes vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont-ils colinéaires ? Justifie par un calcul.
cDétermine les réels $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{AD} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AC}$. Commence par l’ordonnée.
dContrôle ton résultat en recalculant les coordonnées de $a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AC}$.
Ex. 44★★★L’erreur de Nadia : une écriture vraiment unique ?— On donne $A(-6\,;\,3)$,$B(-5\,;\,1)$,$C(-3\,;\,0)$,$D(-5\,;\,4)$,$E(1\,;\,3)$,$F(4\,;\,-3)$, et on note $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$,$\vec{v} = \overrightarrow{CD}$,$\vec{w} = \overrightarrow{EF}$. Nadia écrit : « $\vec{w} = -\vec{u} - 2\vec{v}$, et c’est la seule écriture de $\vec{w}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$. »
aCalcule les coordonnées de $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$.
bVérifie avec les coordonnées l’égalité écrite par Nadia.
cCalcule $\det(\vec{u}, \vec{v})$. Que peux-tu en conclure pour $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?
dTrouve le réel $a$ tel que $\vec{w} = a\vec{u}$, puis explique l’erreur de Nadia.
Ex. 45★★★Dans un triangle, sans repère— $ABC$ est un triangle, $I$ est le milieu de $[AB]$ et $M$ est le point tel que $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.
aExprime $\overrightarrow{CI}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
bExprime $\overrightarrow{IM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
cLucas écrit : « $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AC}$ ». Trouve son erreur et corrige-la.
dLe point $P$ vérifie $\overrightarrow{AP} = (m - 1)\overrightarrow{AB} + (m + 2)\overrightarrow{AC}$. Trouve le réel $m$ pour que $P$ soit confondu avec $M$.
Ex. 46★★★Dans un parallélogramme : un alignement démontré sans repère— $ABCD$ est un parallélogramme. $I$ est le milieu de $[CD]$, $J$ est le milieu de $[BC]$ et $E$ est le point tel que $\overrightarrow{AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. On travaille sans repère avec $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.
aJustifie que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas colinéaires. Exprime ensuite $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AI}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.
bAvec la relation de Chasles, exprime $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{BI}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.
cDémontre que les points $B$, $E$ et $I$ sont alignés. Précise la position de $E$ sur le segment $[BI]$.
dExprime $\overrightarrow{DJ}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$. Les droites $(DJ)$ et $(BI)$ sont-elles parallèles ? Justifie.
Ex. 47★★★Les deux commandes d'un drone— Dans un repère orthonormé, un drone part de $O(0\,;\,0)$. La commande $U$ le déplace de $\vec{u}\,(3\,;\,2)$, la commande $V$ de $\vec{v}\,(-2\,;\,0)$. Dosées, elles le déplacent de $a\vec{u} + b\vec{v}$ ($a$, $b$ réels) ; un coefficient négatif signifie une marche arrière. Les cibles sont $T(-1\,;\,4)$ et $S(-6{,}5\,;\,-3)$.
aCalcule $\det(\vec{u}, \vec{v})$. Qu'en déduis-tu pour l'écriture d'un déplacement sous la forme $a\vec{u} + b\vec{v}$ ?
bTrouve $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{OT} = a\vec{u} + b\vec{v}$, puis contrôle ton résultat en recalculant les coordonnées.
cDécompose $\overrightarrow{OS}$ sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Pour atteindre $S$, quelle commande est jouée en marche arrière ?
dLe point $P(m\,;\,5)$ est atteint en utilisant seulement la commande $U$. Trouve la valeur de $m$.
eLéo propose de remplacer la commande $V$ par un déplacement de $\vec{v}'\,(6\,;\,4)$. Avec $U$ et cette nouvelle commande, le drone peut-il encore atteindre $T$ ? Justifie.
Ex. 48★★★Identifier les coefficients : preuve et applications— $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non colinéaires. $ABC$ est un triangle et $m$ est un réel. On définit les points $M$, $N$ et $P$ par $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AN} = (m + 1)\overrightarrow{AB} + (2m - 5)\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AP} = (m - 1)\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$.
aOn suppose que $a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{0}$. Démontre que $a = b = 0$ (raisonne par l'absurde en supposant $a \neq 0$).
bDéduis-en que si $a\vec{u} + b\vec{v} = a'\vec{u} + b'\vec{v}$, alors $a = a'$ et $b = b'$.
cExiste-t-il un réel $m$ pour lequel les points $M$ et $N$ sont confondus ? Justifie.
dTrouve la valeur de $m$ pour laquelle les droites $(AP)$ et $(BC)$ sont parallèles.
eZoé écrit : « Avec $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}' = -2\overrightarrow{AB}$, on a $2\vec{u} + \vec{v}' = \vec{0}$, donc la question 1 est fausse. » Explique son erreur.