Sixième / Longueurs, milieu et cercle

Ex. 1★★★Lire une longueur sur la règle — Automatismes. On pose une règle graduée en cm le long d'un segment et on lit la graduation en face de chaque extrémité.

1. aA est en face de $1{,}5$ et B est en face de $8{,}1$. Calcule AB.
2. bC est en face de $0$ et D est en face de $6{,}3$. Calcule CD.
3. cE est en face de $3$ et EF = $7{,}9$ cm, F étant plus loin que E sur la règle. En face de quelle graduation se trouve F ?
4. dLa règle est graduée en mm : G est en face de $13$ mm et H en face de $64$ mm. Calcule GH en mm, puis en cm.
5. eL est en face de $4{,}9$ et K est en face de $12$. Noé écrit : « KL = $12$ cm. » Corrige son erreur.

Ex. 2★★★Unités et notations — Automatismes. Pour chaque calcul, convertis d'abord dans la même unité.

1. aCalcule $5$ cm + $8$ mm, en cm.
2. bCalcule $2{,}2$ cm + $15$ mm, en cm.
3. cCalcule $15$ cm − $78$ mm, en cm.
4. dCalcule $0{,}4$ dm + $23$ mm, en mm.
5. eRecopie la phrase en écrivant [RS] ou RS à chaque trou : « Je trace … puis je mesure : … = $5{,}7$ cm. »

Ex. 3★★★Le sentier du refuge — Près de Gap, un sentier droit [PT] relie le refuge P au lac T. Les poteaux R et S sont sur [PT], dans l'ordre P, R, S, T. Sur le plan, PT = $11{,}6$ cm, PR = $2{,}7$ cm et ST = $33$ mm. La figure n'est pas en vraie grandeur : ne mesure pas, calcule.

1. aCalcule RT.
2. bCalcule RS, en cm.
3. cChloé prend sa règle et mesure RS directement sur la figure. Explique pourquoi elle ne doit pas faire ça.

Ex. 4★★★Le détour d'Inès — À Albi, Inès va de la fontaine Q à la poste U en passant par la boulangerie V. On a QV = $5$ cm et VU = $5$ cm sur le plan. Le point V n'est pas sur le segment [QU].

1. aTom écrit : « QU = QV + VU = $5 + 5 = 10$ cm. » A-t-il raison ? Justifie.
2. bEn réalité, QU = $6$ cm sur le plan. De combien le trajet de Q à U en passant par V est-il plus long que le trajet direct ?
3. cW est un point de [QU] tel que QW = $21$ mm. Calcule WU, en cm.

Ex. 5★★★Reporter à la suite — On donne les segments [GH] et [JK] ci-dessous, avec GH = $4{,}2$ cm et JK = $2{,}6$ cm. Tu construis sur ton cahier à la règle et au compas.

1. aTrace une demi-droite [Rx). Reporte au compas GH puis JK à la suite pour construire un segment [RT] de longueur GH + JK. Calcule RT.
2. bConstruis un segment [UW] de longueur GH − JK en reportant les longueurs au compas. Calcule UW.
3. cPour le deuxième report de la première question, Maël règle bien l'écartement sur JK, mais il pique la pointe n'importe où sur [Rx). Explique son erreur.

Ex. 6★★★La règle cassée de Lina — À Besançon, Lina mesure le segment [EF] avec une règle cassée qui commence à la graduation $2$. Elle lit $2{,}7$ en face de E et $11{,}1$ en face de F. Le point G est sur [EF], avec EG = $34$ mm.

1. aLina affirme : « EF = $11{,}1$ cm. » Corrige son erreur et calcule EF.
2. bLina écrit : « La longueur [EG] vaut $34$ mm. » Corrige son écriture et explique.
3. cCalcule GF, en cm.
4. dEn face de quelle graduation de la règle de Lina se trouve le point G ? Justifie.

Ex. 7★★★Le ruban de Yanis — À Montpellier, Yanis prépare un ruban pour une fête. Il dispose des segments [PQ] et [RS] ci-dessous, avec PQ = $6{,}7$ cm et RS = $2{,}9$ cm. Tu construis sur ton cahier, à la règle et au compas.

1. aExplique comment tu règles l'écartement du compas pour reporter la longueur PQ.
2. bTrace une demi-droite [UT). Construis au compas, sans mesurer, un point V de [UT) tel que UV = PQ − RS. Décris tes étapes.
3. cCalcule UV, puis vérifie à la règle sur ta figure.
4. dKenza veut rallonger le ruban [UV] de $6$ mm. Elle ajoute $6$ à la longueur UV écrite en cm. Corrige son erreur et calcule la nouvelle longueur.

Ex. 8★★★La course d'orientation — À Dijon, une course d'orientation relie des balises. Sur le plan, L est sur le segment [KN] et J n'est pas sur [KN]. KN = $9{,}3$ cm, KL = $4{,}7$ cm, KJ = $5{,}2$ cm et JN = $6$ cm. La figure n'est pas en vraie grandeur : ne mesure pas, calcule.

1. aCalcule LN.
2. bUn point Y vérifie KY = $4{,}3$ cm et YN = $5{,}9$ cm. Le point Y est-il sur [KN] ? Justifie.
3. cCalcule la longueur du trajet K → J → N, puis dis de combien elle dépasse KN.
4. dOn prolonge [KN] au-delà de N jusqu'à une balise Z, avec NZ = $17$ mm. Calcule KZ, en cm.

Ex. 9★★★Automatismes : la moitié et le double — Calcule chaque longueur. Écris l'unité.

1. a$EF = 6{,}7$ cm et M est le milieu de [EF]. Calcule EM.
2. bK est le milieu de [RS] et $RK = 4{,}15$ cm. Calcule RS.
3. c$GH = 94$ mm et O est le milieu de [GH]. Calcule GO en mm, puis en cm.
4. dW est le milieu de [UV] et $UV = 5$ cm. Sami écrit : « $UW = 5 \times 2 = 10$ cm ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 10★★★Automatismes : le milieu sur une règle graduée — Les points sont placés le long d'une règle graduée en cm. On donne la graduation en face de chaque point.

1. aE est en face de $0{,}5$ et F en face de $9{,}7$. Calcule EF, puis donne la graduation en face du milieu de [EF].
2. bP est en face de $2$ et Q en face de $10$. Donne la graduation en face du milieu de [PQ].
3. cG est en face de $3$ et H en face de $12{,}4$. Inès dit : « Le milieu est en face de $12{,}4 \div 2 = 6{,}2$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dA est en face de $1$ et le milieu M de [AB] est en face de $4{,}9$. Quelle graduation est en face de B ?

Ex. 11★★★Milieu ou pas milieu ? — Sur la figure, $EF = 6$ cm et L est un point de [EF] avec $EL = 2$ cm. Les mêmes petits traits indiquent des longueurs égales.

1. aLe point K est-il le milieu de [EF] ? Justifie.
2. bLe point M est-il le milieu de [EF] ? Justifie, puis calcule EM.
3. cNour dit : « L est sur [EF], donc L est le milieu de [EF]. » Calcule LF. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 12★★★Le milieu sur un quadrillage — Reproduis la figure sur ton cahier (1 carreau = 1 cm).

1. aPlace le milieu I de [AB] en comptant les carreaux. Explique comment tu as fait.
2. bPlace le milieu J de [CD]. Explique.
3. cHugo place le milieu de [AB] en comptant seulement les carreaux vers la droite : il met son point 3 carreaux à droite de A, sur la même ligne. Pourquoi est-ce faux ?

Ex. 13★★★La guirlande de Tom — À Nantes, Tom tend une guirlande [PQ] de $6{,}2$ m. Il accroche une lanterne au milieu M de [PQ], puis une petite cloche au milieu N de [PM].

1. aCalcule PM.
2. bCalcule PN, en m puis en cm.
3. cCalcule NQ.
4. dSur une autre guirlande [RS], Tom accroche une lanterne au milieu, à $2{,}85$ m de R. Calcule la longueur RS.

Ex. 14★★★Les élèves de Ben se trompent-ils ? — Sur la figure, $RS = 7{,}8$ cm et M est le milieu de [RS]. U est un point de [RS] avec $RU = 1{,}95$ cm. Les mêmes petits traits indiquent des longueurs égales. Pour chaque phrase, dis si l'élève a raison et justifie.

1. aNoé écrit : « UM = $7{,}8 \div 2 = 3{,}9$ cm. » Si besoin, corrige son calcul.
2. bLina dit : « U est le milieu de [RM]. » Justifie par des calculs.
3. cYanis dit : « RU est la moitié de RS. »
4. dChloé dit : « RM = TR, car il y a des petits traits sur les deux segments. »

Ex. 15★★★L'étagère de Lou — À Grenoble, Lou fixe une étagère [GH] au mur. Elle pose son mètre ruban le long de l'étagère : G est en face de la graduation $12$ cm et H en face de la graduation $89$ cm. Elle veut placer des supports en K, milieu de [GH], et en L, milieu de [GK].

1. aCalcule la longueur GH en cm, puis en m.
2. bCalcule GK, puis donne la graduation en face de K.
3. cCalcule GL en cm, puis en mm. Donne la graduation en face de L.
4. dLou affirme : « LH = 3 $\times$ GL. » Vérifie-le par un calcul.

Ex. 16★★★La carte au trésor d'Anaïs — À Saint-Malo, Anaïs dessine une carte au trésor sur un quadrillage (1 carreau = 1 cm). P est un palmier et R un rocher. Le trésor T est au milieu de [PR]. Reproduis la figure sur ton cahier.

1. aPlace le trésor T. Explique comment tu as compté les carreaux.
2. bMalo place le point X en partant de P : 4 carreaux à droite et 4 carreaux vers le bas. X est-il le trésor ? Justifie.
3. cSur l'île, Anaïs compte $146$ pas de P jusqu'à T. Combien de pas compte-t-elle de P jusqu'à R ? Justifie.
4. dUn perroquet est caché en Y, milieu de [PT]. Place Y sur la carte, puis calcule le nombre de pas de P jusqu'à Y.

Ex. 17★★★Automatismes : du rayon au diamètre, et inversement — Calcule chaque longueur demandée. Écris le calcul.

1. aUn cercle a pour rayon $3{,}9$ cm. Calcule son diamètre.
2. bUn cercle a pour diamètre $13$ cm. Calcule son rayon.
3. cSur le dessin d'une roue de vélo, le diamètre mesure $58$ mm. Calcule le rayon, en mm puis en cm.
4. dSur la figure, [JQ] est un rayon du cercle de centre J. Calcule la longueur d'un diamètre de ce cercle.
5. eLéa dit : « Le diamètre mesure $12$ cm, donc le rayon mesure $24$ cm. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 18★★★Automatismes : nommer les éléments d'un cercle — Sur la figure, on a tracé le cercle de centre P et de rayon $3{,}2$ cm. Les points E, F, G et H sont sur le cercle.

1. aNomme ce cercle en utilisant son centre et le point G.
2. bCite trois rayons du cercle que l'on voit sur la figure.
3. cQuel nom donne-t-on au segment [EF] ? Justifie, puis calcule la longueur EF.
4. dLe segment [GH] est-il un diamètre du cercle ? Quel nom lui donne-t-on ? Justifie.
5. ePK = $2$ cm. Le segment [PK] est-il un rayon du cercle ? Justifie.

Ex. 19★★★Vrai ou faux : cordes et diamètre — Le cercle de centre T a pour rayon TR = $3{,}4$ cm. Pour chaque phrase, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie.

1. a« Le diamètre de ce cercle mesure $1{,}7$ cm. »
2. b« On ne peut pas tracer de corde de $5$ cm dans ce cercle, car $5$ cm est plus que le rayon. »
3. c« On peut tracer une corde de $7{,}2$ cm dans ce cercle. »
4. d« Une corde de ce cercle qui passe par T mesure $6{,}8$ cm. »

Ex. 20★★★Le plan d'un rond-point — Sur le plan d'un rond-point, le bord est le cercle de centre K qui passe par L, M et N. KL = $2{,}6$ cm. Le segment [MN] passe par K.

1. aComplète : « Le segment [KL] est un … du cercle. Sa longueur, $2{,}6$ cm, s'appelle aussi le … du cercle. »
2. bDonne KM et KN. Justifie.
3. cPourquoi [MN] est-il un diamètre ? Calcule MN.
4. dNoé dit : « [LM] est une corde, comme [MN], donc LM = MN. » Explique son erreur.

Ex. 21★★★Construire une cible — Yanis dessine une cible sur son cahier. Elle a la forme d'un cercle de centre S et de diamètre $6{,}6$ cm. Construis-la à la règle et au compas.

1. aQuel écartement de compas dois-tu prendre ? Construis le cercle de centre S et de diamètre $6{,}6$ cm.
2. bTrace un diamètre [UV] de ce cercle. Sans mesurer, donne sa longueur.
3. cPlace un point W sur le cercle, différent de U et de V, et trace la corde [UW]. Sans mesurer, compare UW et UV. Justifie.

Ex. 22★★★Les erreurs de Lina — Lina a tracé le cercle de centre W et de rayon WR = $25$ mm. [RS] est un diamètre, T est sur le cercle et WM = $16$ mm. Lis chacune de ses phrases, puis réponds.

1. aLina écrit : « Ce cercle s'appelle le cercle [WR]. » Corrige sa phrase.
2. bLina écrit : « [WM] est un rayon du cercle. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cLina écrit : « Le diamètre [RS] mesure $25 \div 2 = 12{,}5$ mm. » Trouve son erreur, puis calcule RS en mm et en cm.
4. dLina écrit : « On ne peut pas tracer de corde de $4{,}6$ cm dans ce cercle, car $4{,}6$ cm, c'est plus que le rayon. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eLina écrit : « [RT] est un diamètre, car R et T sont sur le cercle. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 23★★★L'horloge de la gare — Le cadran de l'horloge de la gare de Morlaix est un cercle de centre C et de diamètre $34$ cm. [DE] est un diamètre. Il est 6 h : la pointe A de la grande aiguille [CA] touche le bord du cadran. La petite aiguille [CB] mesure $11$ cm.

1. aCalcule la longueur de la grande aiguille [CA]. Justifie.
2. bLa petite aiguille [CB] est-elle un rayon du cadran ? Justifie.
3. cÀ 6 h, C est sur le segment [AB]. Calcule AB. [AB] est-il un diamètre du cadran ? Justifie.
4. dBen fixe le cadran sur un disque en bois de même centre C, dont le rayon mesure $3$ cm de plus que celui du cadran. Calcule le diamètre de ce disque.
5. eDans une autre gare, la grande aiguille mesure $135$ mm et sa pointe touche le bord du cadran. Calcule le diamètre de ce cadran, en cm.

Ex. 24★★★Suivre un programme : cordes et diamètre — Voici le programme de construction d'Inès. 1. Trace le cercle de centre P et de rayon $2{,}2$ cm. 2. Trace un diamètre [UV]. 3. Écartement $2{,}2$ cm, pointe sur U : trace un arc qui coupe le cercle en N et en N'. 4. Trace les cordes [UN] et [NV].

1. aConstruis la figure sur ton cahier, à la règle et au compas, en suivant le programme.
2. bCalcule la longueur UV. Justifie.
3. cSans mesurer, donne les longueurs PN et UN. Justifie chacune.
4. dInès affirme : « La corde [NV] peut être plus longue que [UV]. » A-t-elle raison ? Justifie sans mesurer.
5. eÀ l'étape 3, quel écartement ferait couper le cercle en un seul point ? Et un écartement de $4{,}7$ cm ? Justifie.

Ex. 25★★★Dedans, dessus ou dehors ? — On a tracé le cercle de centre K et de rayon $2{,}5$ cm. La figure est en vraie grandeur.

1. aOn a KR = $1{,}8$ cm. Où se trouve le point R par rapport au cercle ?
2. bOn a KS = $2{,}5$ cm. Le point S appartient-il au disque de centre K et de rayon $2{,}5$ cm ? Justifie.
3. cOn a KT = $31$ mm. Convertis cette longueur en cm, puis situe T par rapport au cercle.
4. dLéo écrit : « KU = $4{,}4$ cm et $4{,}4 < 5$, donc U est à l'intérieur du cercle. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 26★★★Rayon d'abord — Pour chaque question, cherche d'abord le rayon quand on te donne un diamètre.

1. aUn cercle de centre E a un diamètre de $13$ cm. Calcule son rayon.
2. bLe point F vérifie EF = $7$ cm. Situe F par rapport au cercle de centre E de la question précédente.
3. cLe point H est sur un cercle de centre G et GH = $3{,}9$ cm. Calcule le diamètre de ce cercle.
4. d[CD] est un diamètre du cercle de centre L, avec CD = $6{,}4$ cm, et LM = $29$ mm. Le point M appartient-il au disque ? Justifie.
   
5. eVrai ou faux : « Ce cercle de centre L a une corde de $6{,}7$ cm. » Justifie.

Ex. 27★★★La chèvre de Noémie — Noémie attache sa chèvre à un piquet P avec une corde de $6$ m. La chèvre ne peut pas s'éloigner du piquet de plus de $6$ m. Sur la figure, $1$ cm représente $2$ m.

1. aLa zone où la chèvre peut brouter est-elle un cercle ou un disque ? Justifie.
2. bUn chou C est à $5{,}4$ m du piquet et un rosier R à $630$ cm. La chèvre peut-elle manger chacun d'eux ? Justifie.
3. cUne fleur F est exactement à $6$ m du piquet. La chèvre peut-elle l'atteindre ? Justifie.

Ex. 28★★★Deux émetteurs radio — Deux émetteurs E et F sont à $7$ km l'un de l'autre. E porte à $4$ km au plus, F à $5$ km au plus. Échelle : $1$ cm pour $1$ km.

1. aLa maison de Jade J est sur [EF], à $3$ km de E. Calcule JF, puis dis si Jade capte les deux émetteurs.
2. bLa ferme de Bastien K vérifie EK = $4$ km et FK = $6$ km. Quel(s) émetteur(s) Bastien capte-t-il ? Justifie.
3. cReproduis la figure, trace les deux disques de portée et hachure la zone où l'on capte les deux émetteurs.

Ex. 29★★★Vrai ou faux : cercle ou disque ? — On a tracé le cercle de centre W et de rayon $2$ cm. La figure est en vraie grandeur. Pour chaque phrase, dis si elle est vraie ou fausse et justifie.

1. a« A est sur le cercle, donc A appartient au disque de centre W et de rayon $2$ cm. »
2. b« WC = $1{,}5$ cm, donc C appartient au cercle de centre W et de rayon $2$ cm. »
3. c« Le cercle de centre W et de diamètre $4$ cm passe par le point B tel que WB = $40$ mm. »

Ex. 30★★★La cible de Hugo — Hugo lance des fléchettes sur une cible de centre C. Disque rouge : diamètre $18$ mm ($10$ points). Disque vert : rayon $2{,}2$ cm ($5$ points). Disque bleu : diamètre $6{,}6$ cm ($2$ points). Une fléchette rapporte les points du plus petit disque auquel elle appartient. En dehors du disque bleu, elle rapporte $0$ point.

1. aCalcule, en cm, le rayon du disque rouge et celui du disque bleu.
2. bLa fléchette D est à $3{,}4$ cm de C. Nathan dit : « $3{,}4 < 6{,}6$, donc D est dans le bleu. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cLa fléchette E est à $15$ mm de C et la fléchette G à $8$ mm de C. Combien de points rapporte chacune ? Justifie.
4. dLa fléchette F est à $22$ mm de C, pile sur un trait. Inès dit qu'elle rapporte seulement $2$ points. A-t-elle raison ? Justifie.
5. eCalcule le score total de Hugo avec les fléchettes D, E, F et G.

Ex. 31★★★Les arroseurs de Malik — Dans le jardin de Malik, l'arroseur S arrose un disque de diamètre $8{,}4$ m. L'arroseur T arrose tous les points situés à $4$ m au plus de T. ST = $7$ m. Échelle : $1$ cm pour $1$ m.

1. aCalcule le rayon de la zone arrosée par S.
2. bYanis dit : « T arrose les points du cercle de centre T et de rayon $4$ m. » Corrige sa phrase.
3. cLe rosier P est à $4{,}2$ m de S et à $5{,}6$ m de T. Par quel(s) arroseur(s) est-il arrosé ? Justifie.
4. dLe potager Q est à $3{,}7$ m de S et à $3{,}7$ m de T. Justifie que Q est dans la zone arrosée par les deux arroseurs.
5. eLe banc V est sur la droite (ST), après T, à $1{,}5$ m de T. Malik dit : « $1{,}5 < 4{,}2$, donc S arrose le banc. » Calcule SV, puis corrige son erreur.

Ex. 32★★★La carte au trésor de Lina — Sur la carte de Lina, C est un chêne et P un puits, avec CP = $4$ cm. Le trésor est à exactement $26$ mm du chêne et à $3$ cm au plus du puits. Lina hésite entre les points X, Y et Z.

1. aQuelle figure forment les points situés à exactement $26$ mm de C ? Et ceux situés à $3$ cm au plus de P ? Donne chaque fois le centre et le rayon, en cm.
2. bOn a CX = $26$ mm et PX = $2{,}2$ cm. X peut-il être l'emplacement du trésor ? Justifie.
3. cY est sur la droite (CP), C est entre P et Y, et CY = $2{,}6$ cm. Calcule PY, puis dis si Y convient.
4. dOn a PZ = $30$ mm et CZ = $4{,}6$ cm. Sami dit : « Z est sur le bord, donc il n'est pas à $3$ cm au plus de P. » Corrige Sami, puis dis si Z convient.

Ex. 33★★★Automatismes : régler son compas — Réponds à chaque question sans construire.

1. aTu veux tracer un cercle de rayon $13$ mm. Quel écartement donnes-tu à ton compas, en cm ?
2. bTu veux tracer le cercle de centre K qui passe par le point L, avec KL = $3{,}9$ cm. Où piques-tu la pointe, où places-tu la mine, et quel est l'écartement ?
3. cTu veux tracer le cercle de diamètre [RS], avec RS = $66$ mm. Où piques-tu la pointe du compas ? Quel écartement prends-tu, en cm ?
4. dNora a réglé son compas sur $1{,}1$ cm et a tracé un cercle. Quel est le diamètre de ce cercle ?
5. eVrai ou faux ? « Pour tracer un cercle de diamètre $9{,}2$ cm, j'écarte mon compas de $9{,}2$ cm. » Justifie.
6. fPour faire une rosace, Hugo trace un cercle de rayon $1{,}9$ cm. Ensuite, il pique sur un point de ce cercle et règle son compas sur $1{,}5$ cm pour tracer l'arc suivant. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 34★★★Automatismes : lire deux cercles sur une figure — Sur la figure, AB = $4{,}2$ cm. On a tracé le cercle de centre A et de rayon $2$ cm, puis le cercle de centre B et de rayon $3{,}4$ cm. Ils se coupent en E et en F. G est sur le cercle de centre A, et A est sur le segment [GB].

1. aDonne les longueurs AE et BE. Justifie avec les cercles.
2. bCite deux rayons du cercle de centre A dessinés en traits pleins sur la figure.
3. cMalik affirme : « Le seul point situé à $2$ cm de A et à $3{,}4$ cm de B, c'est E. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dCalcule GB. G est-il situé à $3{,}4$ cm de B ? Justifie.

Ex. 35★★★Deux cercles concentriques — Deux cercles qui ont le même centre sont dits concentriques. Construis sur ton cahier, à la règle et au compas.

1. aPlace un point J. Construis le cercle de centre J et de rayon $1{,}7$ cm.
2. bConstruis le cercle de même centre J et de diamètre $6{,}4$ cm.
3. cPlace un point Z tel que JZ = $2{,}3$ cm. Situe Z par rapport à chacun des deux cercles.

Ex. 36★★★Construire un triangle avec ses trois côtés — Ilan veut construire le triangle KLM tel que KL = $55$ mm, KM = $2{,}6$ cm et LM = $5{,}1$ cm.

1. aQuel côté Ilan doit-il tracer en premier ? Justifie en comparant les longueurs dans la même unité.
2. bÉcris dans l'ordre les étapes pour placer le point M au compas, puis construis le triangle KLM.
3. cLes deux arcs se coupent en deux points, de part et d'autre de [KL]. Explique pourquoi chacun de ces deux points convient pour M.

Ex. 37★★★La carte au trésor — Sur la carte de l'île, le puits P et le chêne C sont à $6{,}3$ cm l'un de l'autre. Le trésor est à $2{,}5$ cm du puits et à $5{,}2$ cm du chêne.

1. aConstruis [PC], puis tous les points à $2{,}5$ cm de P et à $5{,}2$ cm de C. Combien de positions trouves-tu pour le trésor ?
2. bZoé cache un autre objet « à $2$ cm de P et à $3{,}8$ cm de C ». Explique pourquoi aucun point ne convient.
3. cEt un objet caché « à $2{,}1$ cm de P et à $4{,}2$ cm de C » : combien de positions y a-t-il ? Où sont-elles ?

Ex. 38★★★L'arrosage automatique du jardin de Maëlle — Sur le plan de son jardin, Maëlle veut qu'un arroseur S arrose exactement le disque de diamètre [EF], avec EF = $6{,}8$ cm.

1. aOù Maëlle doit-elle placer l'arroseur S ? Calcule le rayon du cercle arrosé. Justifie.
2. bSon frère Noé règle son compas sur $6{,}8$ cm, pique la pointe en E et trace le cercle. Explique ses deux erreurs.
3. cConstruis [EF] en vraie grandeur sur ton cahier, puis le point S et le cercle de diamètre [EF]. Donne les étapes.
4. dUn rosier est à $3{,}1$ cm de S, un banc à $3{,}4$ cm de S et un pommier à $37$ mm de S. Lesquels sont arrosés ? Justifie.
5. eLéo dit : « Un tuyau tendu entre deux points du cercle peut mesurer $7$ cm. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 39★★★La rosace d'Inès — Programme : ① Trace le cercle de centre K et de rayon $2{,}7$ cm, puis place un point L sur ce cercle. ② Garde le même écartement, pique en L : l'arc coupe le cercle en M. ③ Pique en M, puis continue ainsi jusqu'à revenir en L (points M, N, P, Q, R). ④ Trace dans le disque les arcs de centres L, M, N, P, Q et R.

1. aSuis ce programme sur ton cahier. Quel écartement gardes-tu pendant toute la construction ?
2. bJustifie que KL = $2{,}7$ cm et que LM = $2{,}7$ cm.
3. cInès a réglé son compas sur $5{,}4$ cm pour l'étape ②, car c'est « la largeur de la rosace ». Explique son erreur.
4. dLes points L, K et P sont alignés. Calcule la longueur LP. Justifie.
5. eI est le milieu de [KL]. Trace le cercle de centre K qui passe par I. Explique comment tu règles le compas et donne son rayon.

Ex. 40★★★La portée des émetteurs de Lucas — Sur la carte d'un club de randonnée, deux émetteurs radio U et W sont à $73$ mm l'un de l'autre. Lucas cherche où placer d'autres postes. Construis sur ton cahier, à la règle et au compas.

1. aConstruis [UW], puis tous les emplacements du relais à $5{,}7$ cm de U et à $4{,}3$ cm de W. Combien en trouves-tu ?
2. bLucas veut aussi un poste à $9$ cm de U et à $1{,}2$ cm de W. Construis les deux cercles et explique pourquoi c'est impossible.
3. cLucas veut un poste T à $4{,}4$ cm de U, du côté de W. À quelle distance de W doit être T pour qu'il n'y ait qu'une seule position ? Où est T ?
4. dYanis dit : « Si le poste est à $4{,}4$ cm de U et à $6$ cm de W, il n'y a aucune position, car c'est trop loin. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 41★★★Segment, droite ou demi-droite ? — Regarde les trois tracés. Pour chacun, l'étape d'un programme doit employer le bon mot et la bonne notation.

1. aLe tracé qui s'arrête en R et en S : écris son nom avec le bon mot et la bonne notation.
2. bÉcris l'étape du programme qui fait tracer le trait passant par T et par U sans s'arrêter.
3. cLe tracé qui passe par V et par W : quel point est son origine ? Écris son nom avec la bonne notation.
4. dZoé lit « Trace la demi-droite [WV) » et fait le même tracé que sur la figure. A-t-elle raison ? Justifie.
5. eLequel des trois tracés a une longueur que l'on peut mesurer ? Justifie, puis mesure cette longueur sur la figure.

Ex. 42★★★Le bon mot dans le programme — K est le centre du cercle. L, M et N sont des points du cercle, et KL = $2{,}5$ cm.

1. aDans l'étape « Trace le cercle de centre K passant par L », quel nom porte le segment [KL] ?
2. bLe segment [LM] passe par K. Comment s'appelle ce segment ? Que représente le point K pour lui ?
3. cTom dit : « [MN] est un diamètre, car il relie deux points du cercle. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dCalcule la longueur LM.
5. eJade écrit : « Trace le cercle de centre K et de rayon LM. » Explique son erreur et corrige sa phrase.

Ex. 43★★★Suivre un programme dans l'ordre — Programme : 1. Trace un segment [EF] de longueur $56$ mm. 2. Trace le cercle de centre E passant par F. 3. Trace le cercle de centre F et de rayon $3{,}8$ cm. 4. Les deux cercles se coupent en deux points : nomme G celui qui est au-dessus de [EF], et H l'autre. 5. Trace les segments [EG] et [FH].

1. aConstruis la figure à la règle et au compas en suivant les étapes dans l'ordre.
2. bQuelle est la longueur EG ? Justifie.
3. cQuelle est la longueur FG ? Justifie.
4. dMia veut faire l'étape 4 avant l'étape 3. Explique pourquoi c'est impossible.

Ex. 44★★★Écrire un programme précis — La figure est en vraie grandeur : PQ = $4{,}2$ cm, M est le milieu de [PQ], et les deux cercles passent par P.

1. aLe cercle de centre M passe par P et par Q. Calcule son rayon. Justifie avec le mot « diamètre ».
2. bCalcule le rayon du cercle de centre Q. Justifie
   (attention au centre).
3. cBen a écrit : « 1. Trace un segment [PQ]. 2. Place M. 3. Trace un cercle. 4. Trace un autre cercle. » Écris un programme précis de la figure en 4 étapes.

Ex. 45★★★Le programme mal suivi — Programme de Noé : 1. Trace un segment [ST] de longueur $3{,}1$ cm. 2. Trace le cercle de centre S passant par T. 3. Trace la demi-droite [TS). 4. Elle coupe le cercle au point U : trace [TU]. Voici ce que Noé a dessiné après l'étape 2.

1. aCompare la figure de Noé avec l'étape 2. Quelle erreur a-t-il faite ?
2. bSur la bonne figure, la demi-droite [TS) coupe le cercle en deux points. Lesquels ? Réécris l'étape 4 pour qu'elle soit précise.
3. cConstruis la bonne figure, puis calcule TU. Justifie avec le mot « diamètre ».

Ex. 46★★★La carte au trésor impossible — Sur la carte au trésor de Lina, le nord est en haut. Programme de Lina : 1. Trace un segment [PR] de longueur $7$ cm (P est le puits, R le rocher). 2. Place le trésor T, à $3{,}2$ cm de P et à $3{,}4$ cm de R.

1. aConstruis le segment [PR], le cercle de centre P et de rayon $3{,}2$ cm, puis le cercle de centre R et de rayon $3{,}4$ cm. Que constates-tu ?
2. bLe premier cercle coupe [PR] en E, le second coupe [PR] en F. Calcule PE + FR, puis EF. Explique pourquoi l'étape 2 est impossible.
3. cLina corrige : le trésor est à $3{,}2$ cm de P et à $4{,}6$ cm de R. Construis les deux nouveaux cercles. Combien de positions sont possibles pour le trésor ?
4. dRéécris l'étape 2 pour que le programme désigne un seul point T, situé au nord de [PR].

Ex. 47★★★Remettre un programme dans l'ordre — La figure est en vraie grandeur. Voici les étapes de son programme, dans le désordre. A. Place le milieu I de [GH]. B. Trace le cercle de centre I passant par G. C. Trace un segment [GH] de longueur $5{,}8$ cm. D. Trace le cercle de centre H et de rayon $2{,}2$ cm. E. Les deux cercles se coupent en deux points : nomme-les J et K, puis trace le segment [JK].

1. aRemets les étapes A, B, C, D et E dans l'ordre.
2. bExplique pourquoi l'étape A ne peut pas venir avant l'étape C, et pourquoi l'étape B ne peut pas venir avant l'étape A.
3. cCalcule le rayon du cercle de l'étape B. Justifie.
4. dLou écrit : « [GH] est un rayon du cercle de centre I, et [JK] en est un diamètre. » Corrige ses deux erreurs.
5. eHugo a tracé à l'étape B le cercle de centre G passant par I. Donne le rayon de son cercle. Le point H appartient-il à son cercle ? Justifie.

Ex. 48★★★Compléter le programme de la cible — Maël a dessiné la cible du club de tir à l'arc (en vraie grandeur, OD = $2{,}6$ cm). Son programme : 1. Trace la droite (AB) de longueur $8$ cm. 2. Place le point O. 3. Trace le cercle de centre O passant par A. 4. Trace un cercle de centre O. 5. Ce cercle coupe [OB] en D ; trace le cercle de centre D passant par B.

1. aL'étape 1 ne correspond pas à la figure. Réécris-la avec le bon mot et la bonne notation. Explique son erreur.
2. bLes étapes 2 et 4 sont incomplètes. Réécris-les pour obtenir exactement la figure.
3. cCalcule le rayon du grand cercle, puis le rayon DB du cercle de centre D. Justifie.
4. dInès trace à l'étape 5 le cercle de centre B passant par D. Il coupe la demi-droite [OB) en F, au-delà de B. Calcule OF. Le point F appartient-il au grand disque ? Justifie.