Sixième / Calcul littéral

Ex. 1★★★Automatismes : quelle est la règle de la suite ? — Pour chaque suite, écris le terme suivant et la règle utilisée : on ajoute, on retire ou on multiplie toujours par le même nombre, ou bien rang $\times$ rang.

1. a$5 ; 11 ; 17 ; 23 ; \ldots$
2. b$100 ; 93 ; 86 ; 79 ; \ldots$
3. c$2 ; 6 ; 18 ; 54 ; \ldots$
   (calcule d'abord les écarts : sont-ils égaux ?)
4. d$2{,}5 ; 4 ; 5{,}5 ; 7 ; \ldots$
5. e$36 ; 49 ; 64 ; 81 ; \ldots$
   (ce sont les termes des rangs 6, 7, 8 et 9)
6. fAdam affirme : « La suite $2 ; 4 ; 8 ; \ldots$ continue forcément par $16$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 2★★★Automatismes : utiliser une règle directe — La règle directe d'un motif est donnée. Calcule le nombre d'éléments à l'étape demandée.

1. aRègle $5 \times n + 2$, à l'étape 4.
2. bRègle $6 \times n + 3$, à l'étape 10.
3. cRègle $7 \times n + 5$, à l'étape 100.
4. dRègle $4 \times n + 9$, à l'étape 0.
5. eRègle $1{,}5 \times n + 4$, à l'étape 6.
6. fRègle $8 \times n + 4$ : Inès trouve $84$ à l'étape 10, puis elle dit que l'étape 100 vaut $10 \times 84 = 840$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 3★★★Trouver la règle directe et la contrôler — Les écarts sont égaux. Trouve la règle directe avec la lettre $n$ (numéro de l'étape), puis contrôle-la sur deux étapes.

1. aÉtapes 1 à 4 : $9 ; 14 ; 19 ; 24$.
2. bLe tableau est en désordre.

   Étape	4	2	1	3
   Jetons	38	20	11	29

3. cLe motif commence à l'étape 0.

   Étape	0	1	2	3
   Perles	5	8	11	14

4. dÉtapes 1 à 4 : $3{,}5 ; 6 ; 8{,}5 ; 11$.
5. ePour la suite $11 ; 15 ; 19 ; 23$ (étapes 1 à 4), Nora écrit la règle $4 \times n$. A-t-elle raison ? Justifie et corrige.

Ex. 4★★★Une rangée d'hexagones en allumettes — Hugo fabrique des hexagones (6 côtés) avec des allumettes. À l'étape 1, il y a un hexagone. À chaque étape, il colle un nouvel hexagone à droite du précédent : les deux hexagones ont un côté en commun.

1. aCombien d'allumettes ajoute-t-on d'une étape à la suivante ? Explique pourquoi, puis complète le tableau.
2. bDis la règle directe en mots, puis écris-la avec $n$. Contrôle-la sur deux étapes.
3. cPour l'étape 100, Hugo veut compter étape par étape à partir de l'étape 1. Trouve le résultat plus vite.
4. dÀ quelle étape faut-il $186$ allumettes ?
5. eHugo a $240$ allumettes. Peut-il construire une étape en les utilisant toutes ? Justifie.

Ex. 5★★★Des chaises autour des tables — Dans une salle des fêtes de Tours, on place des tables carrées en rangée, collées par un côté. Chaque côté libre reçoit une chaise.

1. aDis la règle directe en mots, puis écris-la avec $n$ (le nombre de tables). Contrôle-la sur deux colonnes.
2. bIl faut $58$ chaises. Malik calcule $58 \div 2 = 29$, puis $29 - 2 = 27$ tables. A-t-il raison ? Justifie et corrige.
3. cPeut-on asseoir exactement $75$ personnes autour d'une rangée, sans chaise vide ? Justifie.
4. dOn installe deux rangées séparées de $15$ tables. Combien de chaises en tout ? Est-ce autant qu'une seule rangée de $30$ tables ?

Ex. 6★★★Vrai ou faux sur les motifs — Vrai ou faux ? Justifie par un calcul.

1. aLa suite $5 ; 9 ; 13 ; 17$ (étapes 1 à 4) a pour règle directe $4 \times n + 5$.
2. bLa suite $2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30$ a une règle directe de la forme « écart $\times n$ + nombre fixe ».
3. cAvec la règle $5 \times n + 3$, l'étape 20 compte $103$ éléments.
4. dLes règles $n + n + n + 8$ et $3 \times n + 8$ donnent le même nombre à chaque étape.

Ex. 7★★★La tirelire de Lina — Au début (semaine 0), Lina a $12$ € dans sa tirelire. Chaque semaine, elle ajoute $3{,}50$ €.

1. aComplète le tableau.
2. bÉcris la règle directe avec $n$ (le numéro de la semaine). Contrôle-la sur deux semaines.
3. cCombien Lina aura-t-elle après $20$ semaines ?
4. dLe vélo de Lina coûte $54$ €. Après combien de semaines aura-t-elle exactement cette somme ? Vérifie.

Ex. 8★★★Le carrelage de Maëlle — À Nantes, Maëlle carrelle une allée par étapes. À chaque étape, elle ajoute toujours le même nombre de carreaux. Elle a noté ses comptes dans le désordre :

1. aRange les étapes dans l'ordre, puis calcule les écarts entre deux étapes voisines. Que remarques-tu ?
2. bMaëlle prend le nombre de carreaux de l'étape 1 comme nombre fixe. Écris sa règle et teste-la à l'étape 1. Donne la bonne règle, contrôlée sur deux étapes.
3. cSon frère Yanis calcule l'étape 10, puis multiplie son résultat par $10$ pour obtenir l'étape 100. A-t-il raison ? Justifie en calculant les deux étapes.
4. dQuelle étape compte $136$ carreaux ? Vérifie ta réponse.
5. eMaëlle a $250$ carreaux. Peut-elle faire une étape qui les utilise tous ? Sinon, quelle est la plus grande étape possible, et combien de carreaux lui restent ?

Ex. 9★★★La barrière de bâtonnets — À Grenoble, Timéo construit une barrière avec des bâtonnets. À l'étape 0, il y a un seul bâtonnet debout. À chaque étape, il ajoute une case à droite, collée à la précédente. Une case complète a $2$ bâtonnets debout, $3$ couchés (en haut, au milieu, en bas) et $2$ en croix.

1. aExplique pourquoi chaque étape ajoute $6$ bâtonnets et pas $7$, puis complète le tableau.
2. bTiméo écrit la règle $6 \times n + 7$, « car l'étape 1 a $7$ bâtonnets ». Teste-la sur l'étape 2, puis donne la bonne règle, en mots puis avec $n$.
3. cÀ l'étape 100, combien y a-t-il de bâtonnets debout, couchés et en croix ? Déduis-en le total et compare avec ta règle.
4. dQuelle étape utilise $349$ bâtonnets ? Vérifie ta réponse.
5. eTiméo a $401$ bâtonnets. Il remarque que $401$ est impair, comme tous les nombres du tableau. Peut-il construire une étape qui les utilise tous exactement ? Justifie.

Ex. 10★★★Quand les écarts ne sont pas égaux — Au club de maths de Lyon, Zoé, Léo et Mia étudient des suites dont les écarts ne sont pas tous égaux.

1. aZoé écrit $5 ; 10 ; 20$. Trouve deux règles différentes qui donnent ces trois nombres, puis écris les deux termes suivants avec chaque règle.
2. bPour la suite $7 ; 14 ; 28 ; 56$ (étapes 1 à 4), Léo propose la règle $7 \times n$. Teste-la sur l'étape 3. Pourquoi aucune règle « écart $\times n$ + nombre fixe » ne convient-elle ?
3. cVoici la suite $2 ; 5 ; 10 ; 17 ; 26$ (étapes 1 à 5). Calcule les écarts. Compare chaque terme à rang $\times$ rang, puis écris la règle avec $n$ et calcule l'étape 10.
4. dMia dit : « Dans cette suite, l'étape 20 vaut le double de l'étape 10. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eLe nombre $145$ est-il un terme de cette suite ? Et le nombre $90$ ? Justifie.

Ex. 11★★★Automatismes — Des mots à l'expression — Écris chaque phrase avec la lettre $n$, en gardant toujours le signe $\times$.

1. a« $n$ multiplié par $7$ »
2. b« $n$ augmenté de $6$ »
3. c« $6$ de moins que $n$ »
4. d« la moitié de $n$ »
5. e« le double de $n$, plus $11$ »
6. f« le double de la somme de $n$ et de $11$ »

Ex. 12★★★Automatismes — Vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie, par exemple en essayant un nombre à la place de $n$.

1. a$n + n + n + n$ et $4 \times n$ disent la même chose.
2. b« $9$ de plus que $n$ » s'écrit $9 \times n$.
3. cOn peut écrire $n \times 4$ à la place de $4 \times n$.
4. dLa moitié de $n$ s'écrit $2 \div n$.
5. e$n - 7$ se lit « $7$ de moins que $n$ ».
6. f$n \div 4$ et $4 \div n$ disent la même chose.

Ex. 13★★★Âges, prix et périmètres — Écris chaque quantité avec une lettre, en gardant toujours le signe $\times$.

1. aInès a $a$ ans aujourd'hui. Écris son âge dans $4$ ans.
2. bInès a $a$ ans aujourd'hui. Écris l'âge qu'elle avait il y a $4$ ans.
3. cUne gourde coûte $3{,}80$ €. Écris le prix de $n$ gourdes.
4. dÉcris le périmètre d'un carré de côté $c$ cm.
5. eÉcris le périmètre d'un rectangle de longueur $L$ cm et de largeur $\ell$ cm.
6. fYanis achète $n$ cahiers à $1{,}20$ € l'un. Il dit : « $n$, c'est un cahier. » Corrige-le, puis écris le prix payé.

Ex. 14★★★Billes : de plus ou fois plus ? — Mila a $n$ billes. Voici six expressions : $n + 5$ ; $5 \times n$ ; $n - 5$ ; $n \div 5$ ; $5 \times n + 3$ ; $5 \times (n + 3)$.

1. aSacha a $5$ billes de plus que Mila, et Lou en a $5$ fois plus. Écris l'expression de chacun.
2. bElsa a $n \div 5$ billes. Écris une phrase qui compare ses billes à celles de Mila.
3. cMila gagne $3$ billes. Nina a alors $5$ fois plus de billes que Mila. Quelle expression convient pour Nina ?
4. dMila a $12$ billes au départ. Calcule le nombre de billes de Sacha, de Lou et de Nina.

Ex. 15★★★Les économies de Zoé — Zoé a $e$ euros d'économies. Pour chaque expression, écris une phrase qui raconte ce qu'elle veut dire, puis calcule-la pour $e = 36$.

Ex. 16★★★La frise de carrelage — Ben pose une frise de carrelage. À l'étape $1$, elle compte $7$ carreaux ; chaque étape ajoute $5$ carreaux à droite, collés aux précédents.

1. aComplète le tableau.
2. bKenza écrit : « à l'étape $n$, il y a $5 \times n$ carreaux ». A-t-elle raison ? Justifie, puis corrige sa règle.
3. cCombien de carreaux compte la frise à l'étape $100$ ?
4. dÀ quelle étape la frise compte-t-elle $182$ carreaux ? Vérifie.
5. eBen dit qu'une étape peut compter exactement $250$ carreaux. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 17★★★Deux programmes presque pareils — Programme A : choisis un nombre, multiplie-le par $2$, puis ajoute $9$. Programme B : choisis un nombre, ajoute $9$, puis multiplie le résultat par $2$. On note $n$ le nombre de départ.

1. aÉcris le résultat du programme A avec la lettre $n$.
2. bÉcris le résultat du programme B avec la lettre $n$.
3. cCalcule le résultat de chaque programme pour le nombre de départ $4{,}5$.
4. dArthur affirme : « Les deux programmes donnent toujours le même résultat. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eAvec le programme A, Arthur obtient $30$. Retrouve son nombre de départ avec les opérations inverses, puis vérifie.

Ex. 18★★★Les traductions de Hugo — Hugo a écrit des phrases avec une lettre. Pour chaque cas, dis s'il a raison. S'il se trompe, montre-le en essayant un nombre à la place de la lettre, puis corrige son écriture.

1. a« Le double de $n$ plus $7$ » : Hugo écrit $2 \times (n + 7)$. Essaie avec $n = 5$.
2. b« $3$ de moins que $n$ » : Hugo écrit $3 - n$. Essaie avec $n = 10$.
3. c« Le triple de $n$, moins $4$ » : Hugo écrit $3 \times n - 4$. Essaie avec $n = 6$.
4. dRose a $a$ ans. « Son âge il y a $5$ ans » : Hugo écrit $a + 5$. Essaie avec $a = 11$.
5. eHugo essaie $n = 2$ dans $n \times n$ et dans $2 \times n$ et trouve le même résultat. Il en conclut que ces deux écritures disent la même chose. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 19★★★Les achats de Camille à la papeterie — À Rennes, Camille achète $n$ stylos à $2{,}50$ € l'un et un classeur à $4$ €.

1. aÉcris avec la lettre $n$ le prix total payé par Camille.
2. bLucas écrit le prix total $2{,}5 \times (n + 4)$. A-t-il raison ? Justifie en essayant $n = 2$.
3. cCalcule le prix total si Camille achète $6$ stylos.
4. dCamille a payé $21{,}50$ € en tout. Combien de stylos a-t-elle achetés ? Défais les opérations, puis vérifie.
5. eCamille peut-elle payer exactement $30$ € en tout ? Justifie.

Ex. 20★★★L'enclos d'Amir — Amir veut clôturer un enclos rectangulaire pour ses poules. Sa longueur mesure $L$ mètres et sa largeur $\ell$ mètres. Voici cinq écritures : $L + \ell + L + \ell$ ; $2 \times L + \ell$ ; $2 \times (L + \ell)$ ; $2 \times L + 2 \times \ell$ ; $L \times \ell$.

1. aLesquelles de ces cinq écritures donnent le périmètre de l'enclos ? Teste-les avec $L = 8$ et $\ell = 5$.
2. bUn carré de côté $c$ a le même périmètre qu'un enclos de $8$ m sur $5$ m. Trouve $c$, puis vérifie.
3. cAmir laisse une porte de $3$ m sans grillage. Il écrit $2 \times (L + \ell) - 3$. Explique cette expression par une phrase, puis calcule-la pour $L = 8$ et $\ell = 5$.
4. dAmir a $50$ m de grillage et une largeur de $9$ m. Quelle longueur lui permet d'utiliser tout le grillage (sans porte) ? Vérifie.

Ex. 21★★★Automatismes : la lettre remplace un nombre — Calcule la valeur de chaque expression pour la valeur de $n$ donnée.

1. a$3 \times n$ pour $n = 4$
2. b$7 + 2 \times n$ pour $n = 6$
3. c$2 \times (n + 1)$ pour $n = 7$
4. d$n \times n + n$ pour $n = 8$
5. e$10 - 2 \times n$ pour $n = 3$
6. f$5 \times n - 4$ pour $n = 9$

Ex. 22★★★Automatismes : de la phrase à l'expression, avec des décimaux — Écris l'expression avec la lettre $n$, puis calcule sa valeur pour la valeur de $n$ donnée.

1. a« Le triple de $n$, plus 4 », pour $n = 2{,}5$
2. b« Ajoute 1 à $n$, puis multiplie par 3 », pour $n = 2{,}5$
3. c« Le double de $n$, moins $0{,}6$ », pour $n = 0{,}4$
4. d« $n$ multiplié par lui-même », pour $n = 1{,}5$
5. e« $n$ plus $n$ plus $n$ », pour $n = 1{,}2$
6. f« 10 fois $n$, plus 7 », pour $n = 0{,}4$

Ex. 23★★★Tester une égalité pour une valeur — Remplace $n$ par la valeur donnée dans chaque membre. L'égalité est-elle vraie ou fausse ? Justifie par un calcul.

1. a$3 \times n + 2 = 20$ pour $n = 6$
2. b$5 + 3 \times n = 32$ pour $n = 9$
3. c$2 \times (n + 4) = 2 \times n + 4$ pour $n = 3$
4. d$n \times n = 2 \times n$ pour $n = 2$
5. e$4 \times n - 1 = 8$ pour $n = 2{,}5$
6. f$n + n + n = 3 \times n$ pour $n = 1{,}5$

Ex. 24★★★Un programme avec des parenthèses — Programme : « Choisis un nombre. Ajoute 3. Multiplie le résultat par 5. »

1. aComplète le tableau en faisant les étapes dans l'ordre.
2. bÉcris le résultat du programme quand le nombre de départ est $n$.
3. cLina écrit $n + 3 \times 5$. Calcule son expression pour $n = 2$. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dQuel nombre de départ donne 65 ? Utilise les opérations inverses, puis vérifie.

Ex. 25★★★Deux programmes, toujours le même résultat ? — Programme A : « Multiplie par 4, puis retire 6. » Programme B : « Ajoute 3, puis multiplie par 2. »

1. aExécute les deux programmes en partant de 6.
2. bExécute les deux programmes en partant de 10.
3. cTom a seulement testé 6. Il dit : « A et B donnent toujours le même résultat. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dÉcris chaque programme avec la lettre $n$.

Ex. 26★★★Un programme en quatre étapes — Programme : « Choisis un nombre. Multiplie-le par 4. Ajoute 8. Divise par 4. Retire 2. »

1. aExécute le programme en partant de 5.
2. bExécute le programme en partant de $3{,}5$.
3. cQue remarques-tu ? Essaie avec un nombre de ton choix pour vérifier ta remarque.
4. dInès part de 5 mais change l'ordre : « ajoute 8, multiplie par 4, divise par 4, retire 2 ». Quel résultat obtient-elle ? Que conclus-tu ?

Ex. 27★★★Je pense à un nombre — Noé dit : « Je pense à un nombre. Je le multiplie par 6, puis j'ajoute 9. J'obtiens 75. »

1. aÉcris le programme de Noé avec la lettre $n$ pour le nombre pensé.
2. bYanis divise d'abord 75 par 6, puis retire 9. Calcule son résultat et remets-le dans l'énoncé. A-t-il raison ? Justifie.
3. cTrouve le nombre de Noé avec les opérations inverses, puis vérifie.
4. dAvec le même programme, Noé peut-il obtenir 50 en partant d'un nombre entier ? Justifie.

Ex. 28★★★Trois programmes à comparer — Programme Rouge : « Choisis un nombre. Ajoute 2. Multiplie le résultat par 3. »
Programme Vert : « Choisis un nombre. Multiplie-le par 3. Ajoute 2. »
Programme Bleu : « Choisis un nombre. Multiplie-le par 4. Ajoute 3. »

1. aExécute les trois programmes en partant de 3, en faisant les étapes dans l'ordre.
2. bJade affirme : « Rouge et Bleu donnent toujours le même résultat. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cÉcris chacun des trois programmes avec la lettre $n$ pour le nombre de départ.
4. dCalcule le résultat de chaque programme en partant de $0{,}5$.
5. eQuel nombre de départ donne 29 avec le programme Vert ? Vérifie ta réponse.

Ex. 29★★★Le contrôle de Malo — Malo a rendu son contrôle sur les expressions avec une lettre. Ben, son professeur, te demande de vérifier ses réponses et de finir l'exercice.

1. aMalo écrit : « Pour $n = 2{,}5$ : $3 + 4 \times n = 7 \times 2{,}5 = 17{,}5$. » Explique son erreur, puis corrige.
2. bMalo écrit : « Pour $n = 7$ : $n \times n + n = 49 + n$. » Explique ce qui ne va pas et termine le calcul.
3. cMalo affirme : « Pour $n = 8$, $5 \times n$ vaut 58. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dMalo cherche $n$ pour que $2 \times (n + 1)$ vaille 11. Il répond $n = 5$. Vérifie sa réponse, puis trouve le bon nombre avec les opérations inverses.
5. eTrouve par essais un nombre entier $n$ pour lequel $n \times n + n$ vaut 30. Montre tes essais.

Ex. 30★★★Le nombre secret de Sacha — Sacha pense à un nombre. Il lui retire 4, puis il multiplie le résultat par 3, et enfin il ajoute $2{,}5$. Il obtient $29{,}5$.

1. aÉcris le programme de Sacha avec la lettre $n$ pour le nombre pensé, sans oublier les parenthèses.
2. bPour retrouver le nombre, Léo commence par calculer $29{,}5 + 4$. Explique pourquoi il se trompe.
3. cRetrouve le nombre de Sacha avec les opérations inverses, puis vérifie-le.
4. dLéo teste le programme avec 20 et écrit $20 - 4 \times 3 + 2{,}5$. Calcule son résultat, puis le bon résultat. Explique son erreur.
5. eSacha veut obtenir 10. Peut-il partir d'un nombre entier ? Justifie.

Ex. 31★★★Automatismes : égalités à trou — Trouve le nombre caché dans la case.

Ex. 32★★★Automatismes : une seule opération à défaire — Je pense à un nombre. Trouve-le avec l'opération inverse.

1. aJ'ajoute $3{,}5$ et j'obtiens $10$.
2. bJe le multiplie par $4$ et j'obtiens $13$.
3. cJe retire $2{,}8$ et j'obtiens $5{,}1$.
4. dJe le divise par $2$ et j'obtiens $4{,}6$.
5. eJe le multiplie par $10$ et j'obtiens $37$.

Ex. 33★★★Tester une valeur — Vrai ou faux ? Justifie par un calcul.

1. a$n = 6$ rend vraie l'égalité $5 \times n - 4 = 26$.
2. b$n = 3$ rend vraie l'égalité $2 \times (n + 5) = 11$.
3. c$n = 2{,}5$ rend vraie l'égalité $4 \times n + 1 = 11$.
4. dDans $50 - \square = 13$, la case vaut $63$.
5. eDans $96 \div \square = 8$, la case vaut $12$.

Ex. 34★★★Par essais — Léon pense à un nombre entier. Il le multiplie par $7$, puis il retire $6$, et il obtient $85$.

1. aCalcule le résultat du programme pour $10$, puis pour $15$, et complète la deuxième ligne.
2. bPour chaque essai, dis si le nombre essayé est trop petit ou trop grand. Justifie.
3. cFais de nouveaux essais entre $10$ et $15$ jusqu'à trouver le nombre de Léon, puis vérifie.

Ex. 35★★★L'erreur de Hugo — Inès pense à un nombre. Elle le multiplie par $4$, puis elle ajoute $9$, et elle obtient $45$. Pour trouver son nombre, Hugo calcule $45 \div 4 = 11{,}25$, puis $11{,}25 - 9 = 2{,}25$.

1. aFais le programme d'Inès avec $2{,}25$. Obtiens-tu $45$ ?
2. bExplique l'erreur de Hugo.
3. cTrouve le bon nombre de départ par opérations inverses, puis vérifie.

Ex. 36★★★Remonter un programme — Trouve le nombre $n$ par opérations inverses, puis vérifie.

Ex. 37★★★Schémas en barres — Pour chaque problème, décris d'abord le schéma en barres en mots, puis réponds.

1. aChloé et Malik ont $57$ jetons à eux deux. Malik en a $9$ de plus que Chloé. Combien chacun en a-t-il ?
2. bNora a $4$ fois plus de perles que Yanis. À eux deux, ils en ont $65$. Combien chacun en a-t-il ?
3. cSacha affirme : « Nora a $4$ fois plus de perles que Yanis, et ils en ont $62$ à eux deux. » Est-ce possible ? Justifie.

Ex. 38★★★Le programme d'Adam — Adam invente ce programme de calcul : « Choisis un nombre. Ajoute $2{,}5$. Multiplie le résultat par $4$. Retire $6$. »

1. aFais le programme d'Adam avec le nombre de départ $3$.
2. bLucie écrit le programme avec une lettre : $n + 2{,}5 \times 4 - 6$. A-t-elle raison ? Justifie en calculant pour $n = 3$, puis corrige son écriture.
3. cAdam a obtenu $35$. Trouve son nombre de départ par opérations inverses, puis vérifie en refaisant le programme.
4. dMontre qu'on ne peut pas obtenir $3$ avec ce programme, quel que soit le nombre de départ. Justifie.

Ex. 39★★★Défis au club de maths — Au club de maths de Rennes, chaque élève lance un défi « je pense à un nombre ».

1. aManon pense à un nombre. Elle retire $7$, divise le résultat par $5$, puis ajoute $12$ : elle obtient $20$. Trouve son nombre en nommant chaque opération inverse, puis vérifie.
2. bThéo pense à un nombre $n$ et écrit : $100 - 6 \times n = 34$. Trouve $n$, puis vérifie.
3. cSami : « Je pense à un nombre entier, je le multiplie par $8$, j'ajoute $6$ et j'obtiens $50$. » Essaie $5$ puis $6$. Sami peut-il avoir raison ? Justifie.
4. dAvec le même programme que Sami, quel nombre faut-il choisir au départ pour obtenir $50$ ? Trouve-le par opérations inverses, puis vérifie.

Ex. 40★★★Les économies pour la sortie — À Lyon, Ambre, Jules et Kenza mettent leurs économies en commun pour une sortie. Ambre a $5$ fois plus d'argent que Jules. À eux deux, Ambre et Jules ont $72$ €.

1. aDécris le schéma en barres d'Ambre et de Jules, puis trouve la somme de chacun. Vérifie.
2. bMalo change l'énoncé : Ambre a $5$ € de plus que Jules, toujours $72$ € à eux deux. Il trouve : Jules $72 \div 2 = 36$ € et Ambre $36 + 5 = 41$ €. A-t-il raison ? Justifie et corrige.
3. cRetour à l'énoncé de départ. Kenza a le double de la somme de Jules, plus $4$ €. Si Jules a $j$ euros, écris la somme de Kenza avec la lettre $j$.
4. dLe billet de groupe coûte $100$ €. Avec les sommes trouvées à la première question, les trois amis ont-ils assez d'argent ? Justifie.
5. eUn autre mois, Kenza a $31$ €, toujours le double de Jules plus $4$ €. Combien Jules a-t-il ? Trouve-le par opérations inverses, puis vérifie.

Ex. 41★★★Automatismes : égalités à trou — Trouve le nombre caché dans la case.

Ex. 42★★★Automatismes : « de plus » ou « fois plus » ? — Calcule. Attention : « de plus » ajoute un morceau, « fois plus » répète la part.

1. aInès a $9$ billes. Malo en a $6$ de plus. Combien Malo a-t-il de billes ?
2. bInès a $9$ billes. Malo en a $6$ fois plus. Combien Malo a-t-il de billes ?
3. cLina a $2{,}5$ €. Noé a $4$ € de plus. Combien Noé a-t-il ?
4. dRayan a $14$ €. C'est $4$ fois plus que Tom. Combien Tom a-t-il ?
5. eAdam a $8$ coquillages. Zoé en a $5$ fois plus. Combien en ont-ils à eux deux ?

Ex. 43★★★Je pense à un nombre — Retrouve le nombre de départ en défaisant les opérations, puis vérifie.

1. aJe pense à un nombre, je le multiplie par $4$, je retire $7$ et j'obtiens $37$. Quel est ce nombre ?
2. bJe pense à un nombre, je le divise par $2$, j'ajoute $3{,}5$ et j'obtiens $12$. Quel est ce nombre ?
3. cUn programme « $\times 5$, puis $+ 6$ » donne $51$. Pour trouver le nombre de départ, Hugo calcule $51 \div 5 = 10{,}2$ puis $10{,}2 - 6 = 4{,}2$. A-t-il raison ? Justifie et corrige.
4. dJ'ajoute $3$ à mon nombre, puis je multiplie le résultat par $6$ : j'obtiens $54$. Quel est ce nombre ?

Ex. 44★★★Schéma en barres : « de plus » — Décris ton schéma en barres, calcule, vérifie, puis réponds par une phrase.

1. aAna et son frère Théo ont $31$ ans à eux deux. Théo a $5$ ans de plus qu'Ana. Quel âge a chacun ?
2. bPaul et Rose ont $56$ timbres à eux deux. Rose en a $12$ de plus que Paul. Élise écrit : « $56 \div 2 = 28$ : Paul a $28$ timbres et Rose $40$. » A-t-elle raison ? Justifie et corrige.
3. cRémi, Sofia et Karim ont $75$ € en tout. Sofia a $9$ € de plus que Rémi, et Karim $9$ € de plus que Sofia. Combien a chacun ?

Ex. 45★★★Schéma en barres : « fois plus » — Décris ton schéma en barres, calcule, vérifie, puis réponds par une phrase.

1. aLucie a $3$ fois plus de perles que Bastien. Ils ont $64$ perles à eux deux. Combien de perles a chacun ?
2. bGabin a $4$ fois plus de jetons que Sami ; ils en ont $85$ ensemble. Pour trouver les jetons de Sami, Nils calcule $85 \div 4 = 21{,}25$. A-t-il raison ? Justifie et corrige.
3. cMia a $2$ fois plus d'argent que Jules, Clara $3$ fois plus que Jules. À eux trois, ils ont $90$ €. Combien a chacun ?

Ex. 46★★★Les économies de Nora — Nora a déjà $14$ € dans sa tirelire. Chaque semaine, elle y ajoute $3{,}5$ €.

1. aÉcris, avec la lettre $n$, la somme dans la tirelire après $n$ semaines.
2. bQuelle somme aura-t-elle après $9$ semaines ?
3. cElle veut un jeu à $91$ €. Après combien de semaines aura-t-elle exactement cette somme ?
4. dYann dit : « Après $10$ semaines, elle aura $3{,}5 \times 10 = 35$ €. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 47★★★Chaises autour de tables accolées — Pour un repas, on accole des tables bout à bout en une longue rangée. On met $3$ chaises sur chaque grand côté de chaque table, et $1$ chaise à chaque bout de la rangée.

1. aComplète le tableau.
2. bDis la règle directe en mots, puis écris le nombre de chaises pour $n$ tables avec la lettre $n$.
3. cCombien faut-il de chaises pour $100$ tables ?
4. dLa salle n'a que $130$ chaises. Combien de tables peut-on accoler au plus ?
5. ePeut-on avoir une rangée avec exactement $75$ chaises ? Justifie.

Ex. 48★★★Les cartes de trois amis — Yanis, Chloé et Malik ont $82$ cartes à eux trois. Chloé a $7$ cartes de plus que Yanis. Malik a $3$ fois plus de cartes que Yanis.

1. aTiméo dessine la barre de Malik ainsi : « une part de Yanis, puis un morceau de $3$ ». A-t-il raison ? Justifie.
2. bDécris ton schéma en barres. Combien de parts égales à celle de Yanis compte-t-il en tout ?
3. cCombien de cartes a chacun des trois amis ? Vérifie, puis réponds par une phrase.
4. dMalik donne des cartes à Yanis pour qu'ils en aient autant l'un que l'autre. Combien de cartes Malik donne-t-il ?

Ex. 49★★★Elsa et sa tante Mona — Aujourd'hui, Elsa et sa tante Mona ont $58$ ans à elles deux. Mona a $26$ ans de plus qu'Elsa.

1. aLucas calcule $58 \div 2 = 29$ pour Elsa, puis $29 + 26 = 55$ pour Mona. Explique son erreur.
2. bQuel âge a chacune aujourd'hui ? Décris ton schéma en barres, vérifie, puis réponds par une phrase.
3. cDans combien d'années la somme de leurs deux âges sera-t-elle égale à $80$ ans ? Justifie.
4. dDans combien d'années Mona aura-t-elle exactement le double de l'âge d'Elsa ? Justifie, puis vérifie.

Ex. 50★★★La clôture du potager — À Rodez, Ben monte une clôture en bois. Une section, ce sont $3$ barres fixées entre deux poteaux. Les sections sont alignées et deux sections voisines partagent le même poteau.

1. aComplète le tableau. Dis en mots la règle directe, puis écris-la avec la lettre $n$ pour $n$ sections.
2. bMaëlle affirme : « Pour $100$ sections, il faut $4 \times 100 = 400$ pièces. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cBen a utilisé exactement $149$ pièces. Combien de sections a-t-il montées ? Vérifie.
4. dPeut-on monter une clôture complète avec exactement $230$ pièces ? Justifie.
5. eBen dispose de $70$ poteaux et de $200$ barres. Combien de sections peut-il monter au plus ? Justifie.