Cinquième / Calcul littéral

Ex. 1★★★Traduire un programme avec une lettre — Traduis chaque programme de calcul par une expression littérale, avec la lettre indiquée. Vérifie ensuite ton expression avec la valeur 10.

1. aChoisir $n$ ; lui ajouter 6 ; multiplier le résultat par 5.
2. bChoisir $n$ ; le multiplier par 5 ; ajouter 6.
3. cChoisir $a$ ; lui soustraire 3 ; multiplier le résultat par 8.
4. dChoisir $t$ ; le multiplier par $2{,}5$ ; soustraire 1.
5. eChoisir $x$ ; l'élever au carré ; ajouter 9.
6. fChoisir $y$ ; lui ajouter 1 ; prendre la moitié du résultat.

Ex. 2★★★Retrouver le programme d'après son expression — Dans chaque cas, pense à l'ordre des étapes.

1. aÉcris un programme de calcul dont l'expression est $7n + 1$.
2. bÉcris un programme de calcul dont l'expression est $7(n + 1)$, puis calcule $7n + 1$ et $7(n + 1)$ pour $n = 10$.
3. cLéo traduit $6(a + 0{,}5)$ par « multiplier par 6, puis ajouter $0{,}5$ ». A-t-il raison ? Justifie avec $a = 10$.
4. dLaquelle des deux expressions $\frac{n}{2} + 8$ ou $\frac{n + 8}{2}$ traduit « ajouter 8, puis diviser par 2 » ? Justifie avec $n = 10$.
5. eRemets dans l'ordre les étapes « soustraire 5 », « choisir $x$ », « élever au carré » pour obtenir le programme dont l'expression est $x^2 - 5$.

Ex. 3★★★Pentagones d'allumettes — Abdel accole des pentagones en allumettes sur une ligne : à chaque étape, il ajoute un pentagone qui a un côté commun avec le précédent. Il a noté ses résultats dans le désordre :

1. aRange les résultats dans l'ordre des étapes. De combien augmente le nombre d'allumettes d'une étape à la suivante ?
2. bÉcris une formule qui donne le nombre d'allumettes à l'étape $n$, puis vérifie-la pour $n = 3$.
3. cInès propose $4n + 5$ et Hugo propose $4n$. Teste les deux formules pour $n = 2$ et explique l'erreur de chacun.
4. dZoé calcule le nombre d'allumettes à l'étape 10, puis le multiplie par 10 pour trouver celui de l'étape 100. A-t-elle raison ? Justifie par des calculs.

Ex. 4★★★Deux programmes à comparer — Programme A : 1. Choisir un nombre $n$. 2. Lui ajouter 5. 3. Multiplier le résultat par 2.
Programme B : 1. Choisir un nombre $n$. 2. Le multiplier par 2. 3. Ajouter 10.

1. aApplique le programme A, puis le programme B, au nombre $2{,}5$.
2. bMaël traduit le programme B par $2(n + 10)$. Calcule son expression pour $n = 2{,}5$, explique son erreur et corrige-la.
3. cÉcris l'expression du programme A en fonction de $n$, puis développe-la. Que peux-tu dire des programmes A et B ?
4. dLina affirme : « Si je double le nombre de départ, le résultat du programme A double aussi. » Vrai ou faux ? Justifie par un contre-exemple.

Ex. 5★★★Le banquet de Vannes — Pour un banquet à Vannes, on aligne des tables rectangulaires bout à bout. Une table seule offre 6 places : 2 de chaque grand côté et 1 à chaque bout. Quand on accole deux tables par leurs bouts, les places du raccord disparaissent. On note $n$ le nombre de tables.

1. aComplète le tableau.

   Nombre de tables n	1	2	3	4
   Nombre de places	6	10

2. bÉcris une règle qui donne le nombre de places pour $n$ tables. Explique-la à l'aide des grands côtés et des bouts, puis vérifie-la pour $n = 4$.
3. cNora affirme : « Avec deux fois plus de tables, on a deux fois plus de places. » Compare 10 tables et 20 tables. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dLe traiteur veut asseoir exactement 75 invités sans laisser de place vide. Est-ce possible ? Justifie avec ta formule.

Ex. 6★★★L'ordre des étapes compte — Voici le programme de calcul de la classe : 1. Choisir un nombre $n$. 2. Lui ajouter 4. 3. Multiplier le résultat par 3. 4. Soustraire 12.

1. aApplique le programme au nombre 7, étape par étape.
2. bNoé traduit le programme par $n + 4 \times 3 - 12$. Calcule son expression pour $n = 7$, explique son erreur, puis écris la bonne expression.
3. cDéveloppe puis réduis la bonne expression. Que fait ce programme au nombre de départ ?
4. dMila multiplie d'abord par 3, puis ajoute 4, puis soustrait 12. Écris son expression réduite. Trouve-t-elle toujours le même résultat ? Justifie.
5. eAvec le programme de la classe, quel nombre faut-il choisir pour obtenir 54 ? Justifie.

Ex. 7★★★L'allée du jardin de Colmar — Dans un jardin de Colmar, on pose une rangée de $n$ dalles grises carrées. On les entoure complètement d'une bordure de dalles blanches de même taille, coins compris. Seules trois étapes ont été notées :

1. aDe combien augmente le nombre de dalles blanches de l'étape 3 à l'étape 5 ? Et d'une étape à la suivante ?
2. bLucas propose la règle $2n + 12$, « car il y a 12 dalles à l'étape 3 ». A-t-il raison ? Justifie.
3. cTrouve la bonne règle et vérifie-la avec les trois étapes du tableau. Explique-la à l'aide de la bordure.
4. dSacha propose le programme : 1. Choisir $n$. 2. Ajouter 6. 3. Multiplier par 2. Teste-le pour $n = 3$ et explique son erreur.
5. eÉcris un programme de trois étapes, commençant par une addition, qui donne le bon nombre de dalles blanches. Combien en faut-il pour 50 dalles grises ?

Ex. 8★★★Supprimer ou rétablir les signes × — Fais ce qui est demandé dans chaque question. Écris l'expression de départ, puis l'expression obtenue.

1. aSupprime les signes × : $t \times 8$
2. bRétablis les signes × cachés : $8ab$
3. cSupprime les signes × : $0 \times c + 1 \times d$
4. dSupprime les signes × : $6 \times 7 \times x$
5. eRétablis les signes × cachés : $11(n + 2)$
6. fSupprime les signes × : $y \times y + 2{,}5 \times y$
7. gRétablis les signes × cachés : $0{,}4t^2$
8. hSupprime les signes × : $9 \times (x - 6)$

Ex. 9★★★Traduire une phrase par une expression — Écris chaque phrase sous forme d'une expression littérale, avec les conventions d'écriture.

1. aLe double de $k$, augmenté de 8.
2. bLe double de la somme de $k$ et 8.
3. cLe double de la différence de $x$ et 4.
4. d6 de moins que $y$.
5. e7 de plus que $a$.
6. f7 fois plus que $a$.
7. gLe prédécesseur de l'entier $p$.
8. hUn entier pair quelconque, écrit à l'aide d'un entier $m$.

Ex. 10★★★Repérer et corriger des erreurs — Lis ce que chaque élève a écrit, puis réponds à la question.

1. aTom affirme que $x^2$ et $2x$ sont égales, car pour $x = 2$ les deux valent 4. A-t-il raison ? Justifie.
2. bPour $n = 4$, Malik calcule $3n$ et trouve 34. Explique son erreur, puis donne le bon résultat.
3. cClara traduit « le triple de la somme de $a$ et 6 » par $3a + 6$. Corrige-la, puis justifie avec $a = 10$.
4. dNina écrit $5t + 4 = 9t$. Est-ce vrai pour toutes les valeurs de $t$ ? Justifie par un contre-exemple.

Ex. 11★★★L'enclos des chèvres — Dans une ferme près de Rodez, un enclos pour les chèvres a la forme d'un rectangle de longueur $a$ et de largeur $b$ (en mètres).

1. aParmi les écritures $2a + b$ ; $2(a + b)$ ; $a + b + a + b$ ; $2a + 2b$ ; $2ab$, lesquelles sont égales au périmètre de l'enclos ?
2. bCalcule le périmètre de l'enclos pour $a = 12{,}5$ et $b = 8$.
3. cÉcris l'aire de l'enclos avec les conventions d'écriture, puis calcule-la pour $a = 12{,}5$ et $b = 8$.
4. dLe grillage coûte 4 € le mètre. Écris le prix du grillage en fonction de $a$ et $b$, sans signe ×.

Ex. 12★★★Le carnet de Maëlys : vrai ou faux ? — Maëlys a noté des affirmations dans son carnet. Pour chacune, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie : avec les conventions d'écriture si elle est vraie, avec un contre-exemple calculé si elle est fausse.

1. a« $m \times 0 + 6 \times m \times m + 1 \times m$ s'écrit $6m^2 + m$. »
2. b« $5 \times 8 \times r$ s'écrit $58r$. »
3. c« “$p$ augmenté de 5” et “5 fois plus que $p$” donnent toujours le même nombre. »
4. d« Le périmètre d'un carré de côté $t + 9$ s'écrit $4(t + 9)$. »
5. e« $7ab$ est la somme de 7, de $a$ et de $b$. »

Ex. 13★★★La tombola de Pornic — À la tombola de la fête de Pornic, chaque ticket porte un numéro entier. Inès tire le ticket numéro $n$.

1. aÉcris, en fonction de $n$, le numéro du ticket juste après celui d'Inès, celui du ticket juste avant, puis le nombre qui vaut 3 de moins que $n$.
2. bPour « 3 de moins que $n$ », Jules a écrit $3 - n$. Calcule son expression et la bonne pour $n = 20$, puis explique son erreur.
3. cLe numéro du gros lot est le double de la différence de $n$ et 1. Écris son expression. Léo propose $2n - 1$ : compare les deux pour $n = 20$.
4. dLes tickets gagnants ont un numéro pair. Le numéro du gros lot est-il toujours pair ? Et celui obtenu avec l'expression de Léo ? Justifie.

Ex. 14★★★Le tapis du club de judo — Un club de judo de Besançon pose un tapis fait de deux morceaux : un carré de côté $x$ (en mètres), et une bande rectangulaire de longueur $x$ et de largeur 3 collée contre un côté du carré. Le tapis complet est un rectangle de longueur $x + 3$ et de largeur $x$.

1. aÉcris l'aire du carré. Explique pourquoi elle ne s'écrit pas $2x$ en calculant les deux expressions pour $x = 6$.
2. bÉcris l'aire de la bande. Écris ensuite l'aire du tapis complet de deux façons : sous forme d'un produit, puis sous forme d'une somme.
3. cParmi $2x + 3$ ; $2(x + 3) + 2x$ ; $x + 3 + x + x + 3 + x$ ; $2 \times x + 3 \times 2$, lesquelles donnent le périmètre du tapis complet ? Justifie.
4. dPour $x = 4$, calcule le périmètre du tapis complet. Calcule ensuite le prix d'un liseré posé tout autour, à 1,5 € le mètre.

Ex. 15★★★Substituer une valeur : calculs en ligne — Calcule la valeur de chaque expression pour la valeur donnée. Remets d'abord les signes × cachés.

Ex. 16★★★Une expression avec deux lettres — Pour $a = 2$ et $b = 4{,}5$, calcule la valeur de chaque expression.

Ex. 17★★★Les erreurs de Lina — Lina a fait ces calculs, et chacun contient une erreur. Pour chacun, explique son erreur puis écris le bon calcul.

1. aPour $x = 7$, Lina écrit : $3x = 37$.
2. bPour $x = 6$, Lina écrit : $x^2 = 12$.
3. cPour $x = 4$, Lina écrit : $2(x + 1) = 2 \times 4 + 1 = 9$.
4. dPour $x = 3$, Lina écrit : $x^2 + 2x = 9 + 2x = 11x$.
5. ePour $n = 4$, Lina écrit : $1 + 6n = 7 \times 4 = 28$.

Ex. 18★★★Location de vélos à Annecy — À Annecy, un loueur de vélos fait payer un forfait de 4 € plus 2,5 € par heure. Pour $h$ heures de location, le prix en euros est $P = 4 + 2{,}5h$.

1. aRéécris la formule en rétablissant le signe × caché.
2. bComplète le tableau :

   h (en heures)	1	2	4	6
   P (en €)

3. cCalcule le prix d'une location d'1 h 30 min, soit $h = 1{,}5$.
4. dIlan dit : « J'ai loué un vélo 8 heures et j'ai payé 24 €. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.

Ex. 19★★★Le défi de Malik — On considère les deux expressions $A = x^2 + 3$ et $B = 4x$. Malik affirme : « Pour n'importe quel nombre $x$, $A$ et $B$ ont la même valeur. »

1. aCalcule $A$ et $B$ pour $x = 1$, puis pour $x = 3$. Que constates-tu ?
2. bComplète le tableau de valeurs de $A$ :

   x	0	2	5	1,5
   x² + 3

3. cComplète le tableau de valeurs de $B$ :

   x	0	2	5	1,5
   4x

4. dMalik n'a testé que $x = 1$ et $x = 3$. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 20★★★L'enclos d'Inès à Colmar — À Colmar, Inès veut construire un enclos rectangulaire pour ses lapins. Il a pour longueur $x + 2{,}5$ m et pour largeur $x$ m. La longueur de grillage est $P = 2(x + 2{,}5) + 2x$ (en m), et l'aire est $\mathcal{A} = x(x + 2{,}5)$ (en m²).

1. aPour $x = 3$, Hugo écrit : $P = 2 \times 3 + 2{,}5 + 2 \times 3 = 14{,}5$. Explique son erreur, puis calcule la bonne valeur de $P$.
2. bCalcule l'aire de l'enclos pour $x = 3$.
3. cCalcule $P$ et $\mathcal{A}$ pour $x = 0{,}4$.
4. dInès a 25 m de grillage. Calcule $P$ pour $x = 5$, puis pour $x = 5{,}5$. Quelle valeur peut-elle choisir ? Justifie.

Ex. 21★★★Trois expressions, quatre défis — Ben écrit trois expressions au tableau : $E = 1 + 5a$, $F = a(a + 4)$ et $G = 12 - a$.

1. aCalcule $E$, $F$ et $G$ pour $a = 1{,}2$.
2. bTrouve une valeur de $a$ pour laquelle $G$ vaut 0, puis une valeur pour laquelle $G$ vaut 15,5. Vérifie chacune par le calcul.
3. cLou affirme : « Pour toute valeur de $a$, $E$ est plus grand que $F$. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dPour $a = 0{,}8$, une seule des trois expressions vaut 5. Laquelle ? Justifie par le calcul.

Ex. 22★★★Tester une égalité pour une valeur — Pour chaque égalité, calcule séparément le membre de gauche et le membre de droite pour la valeur donnée. Dis ensuite si l'égalité est vraie ou fausse pour cette valeur.

1. a$5x - 7 = 2x + 8$ pour $x = 5$
2. b$3a + 4 = 6a - 2$ pour $a = 3$
3. c$0{,}5t + 6 = t + 1$ pour $t = 10$
4. d$n^2 + 1 = 4n - 2$ pour $n = 3$
5. e$2(y + 3) = 3y + 1$ pour $y = 4$
6. f$x + 9 = 12 - x$ pour $x = -3$
7. g$1{,}2a + 3 = 2a - 1$ pour $a = 5$

Ex. 23★★★Choisir un bon contre-exemple — Chaque affirmation est fausse. Teste les valeurs proposées en calculant séparément les deux membres, puis indique quelle(s) valeur(s) est (sont) un contre-exemple.

1. a« Pour tout nombre $b$, $b + b = b^2$. » Teste $b = 0$, $b = 2$ et $b = 4$.
2. b« Pour tout nombre $a$, $a + 7 = 7 - a$. » Teste $a = 0$ et $a = 2{,}5$.
3. c« Pour tout nombre $t$, $4(t + 1) = 4t + 1$. » Teste $t = 0$ et $t = 3$.
4. d« Pour tout nombre $y$, $y + 5 = 5y$. » Teste $y = 1{,}25$ et $y = 2$.
5. e« Pour tout nombre $x$, $1{,}5x + 2 = 2x + 1{,}5$. » Teste $x = 1$ et $x = 3$.
6. f« Pour tout nombre $n$, $2n + 3n = 5n^2$. » Teste $n = 3$ et $n = 1$.

Ex. 24★★★Deux essais ne suffisent pas — Malik étudie l'égalité $n^2 + 6 = 5n$. Il la teste pour $n = 2$ puis pour $n = 3$, et il écrit : « Ça marche deux fois, donc elle est vraie pour tous les nombres. »

1. aCalcule séparément les deux membres pour $n = 2$, puis pour $n = 3$.
2. bTeste l'égalité pour $n = 4$.
3. cMalik a-t-il raison ? Justifie.
4. dTeste aussi l'égalité pour $n = 2{,}5$.

Ex. 25★★★Vraie une seule fois ou vraie à chaque fois ? — On étudie deux égalités : $3a + 5 = a + 11$ et $2(a + 4) = 2a + 8$.

1. aComplète le tableau de valeurs.
2. bPour quelle(s) valeur(s) du tableau l'égalité $3a + 5 = a + 11$ est-elle vraie ?
3. cTeste l'égalité $3a + 5 = a + 11$ pour $a = 0{,}5$.
4. dInès affirme : « Le tableau prouve que $2(a + 4) = 2a + 8$ est vraie pour tous les nombres. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 26★★★Le rectangle et le carré de Léo — Léo dessine un rectangle de longueur $x + 5$ et de largeur $x$, puis un carré de côté $x + 2{,}5$ (en cm). Il pense que ces deux figures ont toujours le même périmètre.

1. aCalcule le périmètre du rectangle et celui du carré pour $x = 3$, puis pour $x = 1{,}5$.
2. bLéo conclut : « Les deux périmètres sont toujours égaux. » Ses deux essais suffisent-ils à le prouver ? Justifie.
3. cÉcris le périmètre de chaque figure en fonction de $x$, sous forme développée et réduite. Que peux-tu conclure ?
4. dLéo affirme aussi : « Les deux figures ont toujours la même aire. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 27★★★Ni toujours vraie, ni jamais vraie — On étudie l'égalité $4a - 3 = 2a + 7$.

1. aTeste cette égalité pour $a = 2$, $a = 5$ et $a = 7{,}5$ en calculant séparément les deux membres.
2. bIlan dit : « Elle est fausse pour $a = 2$, donc elle n'est vraie pour aucun nombre. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cJade dit : « Elle est vraie pour $a = 5$, donc elle est vraie pour tous les nombres. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dQuand $a$ augmente de $1$, de combien augmente le membre de gauche ? Et le membre de droite ? Explique pourquoi l'égalité est fausse pour tout nombre $a$ plus grand que $5$.

Ex. 28★★★Quatre affirmations à trancher — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie : par un contre-exemple calculé si elle est fausse, par un calcul littéral si elle est vraie.

1. a« Pour tout nombre $y$, $5y - y = 5$. »
2. b« Pour tout nombre $y$, $y + 6$ est plus grand que $6 - y$. »
3. c« Pour tout nombre $y$, $2(y + 1{,}5) = 2y + 3$. »
4. d« Pour tout nombre $y$, $y^2$ est plus grand que $y$. »

Ex. 29★★★Automatismes : somme, différence ou produit ? — Dis si l'expression est une somme, une différence ou un produit. Justifie en donnant la dernière opération effectuée.

Ex. 30★★★Automatismes : développer — Développe, puis réduis si c'est possible.

Ex. 31★★★Factoriser — Factorise avec le plus grand facteur commun possible, puis vérifie en redéveloppant.

Ex. 32★★★Les erreurs de Lina — Voici ce que Lina a écrit dans son cahier. A-t-elle raison ? Justifie. Si elle se trompe, explique son erreur et corrige-la.

1. a$3(x + 9) = 3x + 9$
2. b$4 \times 6a = 46a$
3. c$16x - 16 = 16(x - 0)$
4. d« J'ai factorisé le plus possible : $18x + 12 = 2(9x + 6)$. »
5. e$x(x + 4) = 2x + 4x$

Ex. 33★★★Les parcelles de Maëlys — Maëlys partage son jardin en deux parcelles rectangulaires. Les longueurs sont en mètres. La parcelle A a pour longueur $3x + 4$ et pour largeur $5$. La parcelle B a pour largeur $x$ et pour aire $x^2 + 9x$.

1. aÉcris l'aire de la parcelle A sous forme d'un produit, puis développe-la.
2. bFactorise l'aire de la parcelle B par $x$. Déduis-en la longueur de la parcelle B.
3. cCalcule l'aire totale des deux parcelles pour $x = 4$.
4. dÉcris le périmètre de la parcelle A, puis réduis-le. Factorise-le ensuite avec le plus grand facteur commun possible.
5. eMaëlys affirme : « Si $x$ est un nombre entier, le périmètre de A est toujours un multiple de $6$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 34★★★Deux programmes jumeaux ? — Programme A : 1. Choisis un nombre. 2. Multiplie-le par $4$. 3. Ajoute $10$. 4. Multiplie le résultat par $0{,}5$.
Programme B : 1. Choisis un nombre. 2. Soustrais $3$. 3. Multiplie le résultat par $2$. 4. Ajoute $11$.

1. aApplique les deux programmes au nombre $7$.
2. bOn choisit un nombre $t$. Écris le résultat du programme A avec des parenthèses, puis développe-le.
3. cÉcris le résultat du programme B pour un nombre $t$ sous la forme $(\ldots) \times 2 + 11$, puis développe et réduis.
4. dQue remarques-tu ? Démontre que c'est vrai pour n'importe quel nombre de départ.
5. eChloé dit : « Le résultat du programme B, écrit sous la forme $(\ldots) \times 2 + 11$, est un produit, car il contient un signe $\times$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 35★★★Enquête sur les entiers consécutifs — $n$ désigne un nombre entier. On s'intéresse à $n$ et aux deux entiers qui le suivent directement. On note $S$ la somme de ces trois entiers consécutifs.

1. aÉcris en fonction de $n$ l'entier qui suit $n$, puis celui qui vient juste après.
2. bÉcris $S$ en fonction de $n$, puis réduis cette expression.
3. cFactorise $S$ avec le plus grand facteur commun possible, puis vérifie en redéveloppant.
4. dVérifie ton résultat avec $27$, $28$ et $29$. Explique ensuite pourquoi $S$ est toujours un multiple de $3$.
5. eSoraya affirme : « La somme de quatre entiers consécutifs est toujours un multiple de $4$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 36★★★Automatismes : regrouper les termes semblables — Réduis chaque expression.

Ex. 37★★★Automatismes : réduite ou pas ? — Réduis chaque expression si c'est possible. Sinon, écris « déjà réduite ».

Ex. 38★★★Développer d'abord, puis réduire — Développe puis réduis chaque expression.

1. a$A = 5(x + 2) + 3x$
2. b$B = 3(a + 4) + 6(a + 1)$
3. c$C = 2{,}5(n - 2) + 1{,}5n$
4. dInès écrit : $4(t + 7) + t = 4t + 7 + t = 5t + 7$. Trouve son erreur et écris le bon résultat.

Ex. 39★★★Un programme de calcul à réduire — Voici le programme de calcul de Malik :
1. Choisis un nombre.
2. Ajoute $3$.
3. Multiplie le résultat par $4$.
4. Ajoute le double du nombre de départ.

1. aApplique ce programme au nombre $5$.
2. bOn note $x$ le nombre de départ. Écris le résultat du programme en fonction de $x$, sans réduire.
3. cDéveloppe puis réduis l'expression trouvée.
4. dVérifie ta forme réduite avec le nombre $5$ de la première question.

Ex. 40★★★Le brouillon de Léna — Léna a réduit quatre expressions : (1) $7t + 3 = 10t$ ; (2) $t + 5t = 5t^2$ ; (3) $4t^2 + 3t = 7t^3$ ; (4) $9t - t = 9$.

1. aPour l'égalité (1), substitue $t = 2$ dans chaque membre. Que conclus-tu ?
2. bTrouve un contre-exemple qui prouve que l'égalité (2) est fausse, puis écris la bonne réduction de $t + 5t$.
3. cPour $t = 1$, les deux membres de l'égalité (3) valent $7$. Léna en conclut que (3) est vraie. A-t-elle raison ? Justifie avec $t = 2$.
4. dCorrige l'égalité (4), explique l'erreur de Léna, puis vérifie ta correction pour $t = 3$.
5. eRéduis $B = 8 + t \times t - 2 + 3t + t + t$, puis vérifie ton résultat pour $t = 2$.

Ex. 41★★★Le potager de Chloé — À Annecy, Chloé veut clôturer un potager rectangulaire de longueur $2a + 3$ et de largeur $a + 1{,}5$ (en mètres), où $a$ est un nombre positif.

1. aÉcris une expression du périmètre $P$ du potager avec des parenthèses, sans la réduire.
2. bDéveloppe puis réduis $P$.
3. cPour $a = 4$, calcule la longueur, la largeur puis le périmètre du potager. Compare avec ta forme réduite.
4. dUn carré a pour côté $1{,}5a + 2{,}25$. Son périmètre est-il toujours égal à celui du potager ? Justifie.
5. eTom affirme : « Le périmètre du potager vaut $15a$. » A-t-il raison ? Justifie avec $a = 2$.

Ex. 42★★★Trois programmes à comparer — Programme A : 1. Choisis un nombre. 2. Multiplie-le par $3$. 3. Ajoute $7$. 4. Multiplie le résultat par $2$.
Programme B : 1. Choisis un nombre. 2. Ajoute $4$. 3. Multiplie le résultat par $5$. 4. Ajoute le nombre de départ. 5. Retire $6$.

1. aApplique les programmes A et B au nombre $3$.
2. bYanis dit : « Ils donnent le même résultat pour $3$, donc pour tous les nombres. » Note $n$ le nombre de départ : écris puis réduis le résultat du programme A.
3. cFais le même travail pour le programme B. Yanis a-t-il raison ? Justifie.
4. dUtilise la forme réduite du programme A pour trouver le résultat de A avec le nombre $2{,}5$, puis vérifie en appliquant le programme A.
5. eProgramme C : « Choisis un nombre, multiplie-le par $7$, ajoute $20$, puis retire $7$ fois le nombre de départ. » Démontre que C donne toujours le même résultat.

Ex. 43★★★Périmètre ou aire ? — Écris chaque formule en fonction de la lettre, puis développe ou réduis-la.

1. aLe périmètre d'un carré de côté $t$.
2. bL'aire d'un carré de côté $t$.
3. cL'aire d'un rectangle de longueur $a + 6$ et de largeur $4$.
4. dLe périmètre d'un rectangle de longueur $a + 6$ et de largeur $4$.
5. eL'aire d'un rectangle de longueur $2x$ et de largeur $x$.
6. fLe périmètre d'un triangle équilatéral de côté $1{,}5n$.

Ex. 44★★★Factoriser des formules — Factorise chaque expression en cherchant le facteur commun, puis vérifie de tête en développant.

1. a$6x + 18$
2. b$14a - 7$
3. c$15 + 10n$
4. d$0{,}5t + 3$
5. e$x^2 + 7x$
6. fInès a écrit $11y + 11 = 11(y + 0)$. Corrige son erreur.
7. gLe périmètre d'un carré s'écrit $4x + 20$. Factorise-le, puis donne la longueur du côté de ce carré.

Ex. 45★★★Le potager de Nadia — Nadia accole un carré de côté $x$ et un rectangle de longueur $x$ et de largeur $2{,}5$ (en m) pour former son potager. Les deux figures ont un côté de longueur $x$ en commun.

1. aÉcris le périmètre $P$ du potager (la longueur de son contour) en fonction de $x$, puis réduis-le.
2. bÉcris l'aire $A$ de la figure en fonction de $x$, puis factorise-la.
3. cAvec la forme réduite, calcule $P$ pour $x = 4$, puis pour $x = 7{,}5$.
4. dCalcule l'aire $A$ pour $x = 4$.
5. eLe côté du carré mesure $150$ cm. Calcule le périmètre de la figure en mètres.

Ex. 46★★★Location de vélos à Annecy — À Annecy, un loueur de vélos fait payer un forfait de $7$ € plus $3{,}5$ € par heure. On note $n$ le nombre d'heures de location.

1. aÉcris le prix $P$ à payer, en euros, en fonction de $n$.
2. bMalo propose la formule $3{,}5(n + 2)$. Il l'a testée seulement pour $n = 2$. A-t-il raison pour toutes les valeurs de $n$ ? Justifie par le calcul littéral.
3. cLina propose la formule $10{,}5n$. Vrai ou faux ? Justifie.
4. dCalcule le prix d'une location de $3$ h, puis celui d'une location de $6$ h.

Ex. 47★★★Le jardin de Rodez — À Rodez, un jardin rectangulaire a pour longueur $x + 7$ et pour largeur $5$, en mètres.

1. aÉcris le périmètre $P$ du jardin en fonction de $x$, puis réduis-le.
2. bÉcris l'aire $A$ du jardin en fonction de $x$, puis développe-la.
3. cYanis affirme que l'aire du jardin vaut $5x + 7$. A-t-il raison ? Justifie avec un contre-exemple calculé pour $x = 1$.
4. dFactorise la forme réduite de $P$ en cherchant le facteur commun.
5. eLe jardinier mesure $x = 1\,300$ cm. Convertis $x$ en mètres, puis calcule $P$ et $A$ avec leurs formes réduites. Conclus avec les unités.

Ex. 48★★★Le défi des entiers consécutifs — Ben lance un défi à Maëlys : elle choisit un entier $n$, puis écrit les deux entiers qui le suivent. Elle additionne ensuite ces trois entiers consécutifs.

1. aÉcris, en fonction de $n$, le successeur de $n$, puis le successeur de ce successeur.
2. bÉcris la somme $S$ des trois entiers en fonction de $n$, puis réduis-la.
3. cFactorise $S$, puis explique pourquoi $S$ est toujours un multiple de $3$.
4. dAvec $14$, $15$ et $16$, Maëlys remarque que la somme est le triple de l'entier du milieu. Prouve que c'est vrai pour tout $n$, sans prendre d'exemple.
5. eVrai ou faux : « La somme de deux entiers consécutifs est toujours un multiple de $2$. » Justifie.

Ex. 49★★★Les deux tarifs du théâtre de Dijon — À Dijon, un club de théâtre propose cette formule : une adhésion de $12$ € pour l'année, puis $4{,}5$ € par spectacle. On note $n$ le nombre de spectacles vus dans l'année.

1. aÉcris le prix $A$ payé dans l'année, en euros, en fonction de $n$.
2. bHugo écrit $A = 12n + 4{,}5$. Montre qu'il se trompe à l'aide d'un contre-exemple calculé pour $n = 2$.
3. cLe site du club affiche le prix $B = 1{,}5(3n + 8)$. Développe $B$, puis prouve que $A$ et $B$ donnent toujours le même prix.
4. dComplète le tableau en utilisant la forme réduite du prix $A$.

   n	2	4	6	10
   A (en €)

5. eZoé a payé $57$ € pour l'année. Utilise le tableau pour trouver combien de spectacles elle a vus. Conclus par une phrase.