Quatrième / Calcul littéral

Ex. 1★★★Automatismes : les conventions d'écriture — Écris chaque expression le plus simplement possible. Supprime les signes × inutiles et calcule quand c'est possible.

Ex. 2★★★Automatismes : calculer la valeur d'une expression — Calcule la valeur de chaque expression pour la valeur donnée. Remets les signes × cachés et écris les nombres négatifs entre parenthèses.

Ex. 3★★★Traduire une phrase et nommer une expression — Chaque lettre désigne un nombre ; $n$ désigne un entier.

1. aÉcris « la moitié de la somme de $a$ et $8$ », puis « la somme de la moitié de $a$ et de $8$ ». Calcule les deux pour $a = 6$.
2. bLucas affirme que « le carré du successeur de $n$ » s'écrit $n^2 + 1$. A-t-il raison ? Justifie en prenant $n = 3$.
3. cÉcris « le triple du carré de $x$ », puis calcule sa valeur pour $x = -6$.
4. dPour $A = 2(y + 9)$, $B = y^2 - 8y$ et $C = 7 + 3y$ : somme, différence ou produit ? Cite les termes ou les facteurs.

Ex. 4★★★Calculer de tête avec la distributivité — Calcule de tête en utilisant la distributivité. Écris l'étape qui fait apparaître un nombre rond.

1. aCalcule $7 \times 99$ en écrivant $99$ comme une différence avec un nombre rond.
2. bInès écrit : $6 \times 49 = 6 \times 50 - 1 = 299$. A-t-elle raison ? Justifie et corrige si besoin.
3. cCalcule $25 \times 13 + 25 \times 7$ en mettant le facteur commun en évidence.
4. dCalcule $1{,}5 \times 37 + 1{,}5 \times 63$.

Ex. 5★★★La copie de Lina : repérer et corriger — Lina a fait quatre calculs sur sa copie. Pour chacun, dis si elle a raison. Justifie, puis corrige quand c'est faux.

1. aPour $x = 3$, Lina écrit : $5x + 2 = 53 + 2 = 55$.
2. bPour $x = -4$, Lina écrit : $x^2 + x = -4^2 + (-4) = -16 - 4 = -20$.
3. cLina écrit : $a + a + a \times a = 3a^2$. Utilise $a = 3$ pour la contredire, puis écris l'expression correcte.
4. dPour $y = -2$, Lina écrit : $-y + 2y^2 = -2 + 8 = 6$.

Ex. 6★★★Jade et Tom testent leurs phrases — $t$ désigne un nombre et $n$ un nombre entier.

1. aÉcris $A$ = « le double de la somme de $t$ et de $6$ » et $B$ = « la somme du double de $t$ et de $6$ ». Dis si chacune est une somme ou un produit.
2. bJade affirme que $A$ et $B$ sont toujours égales. Calcule $A$ et $B$ pour $t = -4$. Jade a-t-elle raison ? Justifie.
3. cTom affirme : « l'entier qui suit le nombre pair $2n$ s'écrit $2(n + 1)$ ». Vrai ou faux ? Justifie avec $n = 5$, puis donne la bonne expression.
4. dÉcris le prédécesseur de $2n$, puis la somme de $2n$ et de son successeur. Calcule cette somme pour $n = 7$.

Ex. 7★★★Un programme de calcul sous la loupe — Voici un programme de calcul : « Choisis un nombre. Calcule son carré. Soustrais le double du nombre de départ. » On note $x$ le nombre choisi et $A$ le résultat.

1. aÉcris $A$ en fonction de $x$. Est-ce une somme, une différence ou un produit ? Justifie.
2. bComplète le tableau en écrivant tes calculs :

   x	-7	0,5
   A

3. cPour $x = 98$, explique pourquoi $A = 98 \times 96$. Calcule ensuite ce produit de tête en écrivant $98 = 100 - 2$.
4. dEmma choisit $3$ et écrit : $3^2 - 2 \times 3 = 9 - 2 \times 3 = 7 \times 3 = 21$. Repère son erreur et corrige-la.

Ex. 8★★★Automatismes : distribuer un nombre — Développe chaque expression. Ne réduis pas plus que nécessaire.

Ex. 9★★★Automatismes : facteur littéral, signe − et trois termes — Développe chaque expression.

Ex. 10★★★Les erreurs de Léna — Léna devait seulement développer chaque expression. Pour chacune, explique son erreur puis écris le bon développement.

1. aLéna écrit $A = 4(x + 6) = 4x + 6$.
2. bLéna écrit $B = -2(3y - 5) = -6y - 10$.
3. cLéna écrit $C = 5x(2x + 3) = 10x + 15x$.
4. dLéna écrit $D = (t - 2) \times 6 = 6t - 12 = -6t$.

Ex. 11★★★Retrouver le facteur — Complète les pointillés pour que chaque égalité soit vraie, puis vérifie en développant.

1. a$\ldots(x + 5) = 3x + 15$
2. b$\ldots(2y - 3) = -8y + 12$
3. c$\ldots(a + 6) = a^2 + 6a$
4. dUn rectangle a pour largeur $2t$ et pour aire $14t^2 - 6t$. Complète : $2t(\ldots) = 14t^2 - 6t$, puis donne la longueur du rectangle.

Ex. 12★★★Le terrain et son allée — Un terrain rectangulaire a pour largeur $3a$ et pour longueur $5a - 2$ (en mètres, avec $a > 1$). Une allée rectangulaire de largeur $0{,}5$ et de longueur $5a - 2$ traverse le terrain dans le sens de la longueur.

1. aÉcris l'aire $A$ du terrain sous la forme d'un produit, puis développe-la.
2. bÉcris l'aire $B$ de l'allée sous la forme d'un produit, puis développe-la.
3. cL'aire sans l'allée est $A - B$. Mona écrit $A - B = 15a^2 - 6a - 2{,}5a - 1$. Explique son erreur, puis écris $A - B$ sous forme réduite.
4. dPour $a = 4$, calcule l'aire sans l'allée de deux façons : avec les dimensions, puis avec ton expression réduite.

Ex. 13★★★Vrai ou faux pour toutes les valeurs ? — Pour chaque égalité, dis si elle est vraie pour toutes les valeurs de la lettre. Justifie : démontre-la en développant le membre de gauche, ou donne un contre-exemple.

1. a$(x - 6) \times (-3) = -3x - 18$
2. b$-y(4 - y) = y^2 - 4y$
3. c$\dfrac{1}{2}(4t^2 - 6t + 10) = 2t^2 - 3t + 5$
4. dLudo affirme : $-2(5 - x + 3x^2) = -10 - 2x - 6x^2$.

Ex. 14★★★Le programme de Sacha — Programme de Sacha : choisis un nombre ; soustrais $3$ ; multiplie le résultat par $-4$ ; ajoute $4$ fois le nombre choisi au départ.

1. aComplète le tableau en appliquant le programme.
2. bQuelle conjecture peux-tu faire sur le résultat ?
3. cOn note $x$ le nombre choisi. Écris le résultat du programme en fonction de $x$, puis développe-le sans le réduire.
4. dRéduis ton expression, puis démontre ta conjecture.
5. eNora remplace « multiplie par $-4$ » par « multiplie par $4$ ». Le résultat est-il toujours le même ? Justifie.

Ex. 15★★★Automatismes : l'opposé d'une somme — Supprime les parenthèses.

Ex. 16★★★Automatismes : supprimer puis réduire — Supprime les parenthèses puis réduis.

1. a$A = 12 - (x - 5)$
2. b$B = 4x + (3 - 7x)$
3. c$C = 6 - (-2y + 9)$
4. d$D = 3a - (a + 2{,}5)$
5. e$E = (5t - 1) - (2t - 6)$
6. f$F = 10 - (4 - x) - (x + 3)$

Ex. 17★★★Les calculs d'Inès — Inès a supprimé les parenthèses puis réduit. Pour chaque égalité, dis si elle a raison. Justifie et corrige si besoin.

1. a$-(3x - 8) = -3x - 8$
2. b$15 - (x - 4) = 11 - x$
3. c$7y + (2 - 5y) = 2y + 2$
4. d$-(-6a + 2) = 6a + 2$

Ex. 18★★★Soustraire une expression — On donne $A = 4x + 3$, $B = 2x - 5$ et $C = -x + 7$. Pour chaque calcul, écris d'abord les parenthèses, puis réduis.

1. aCalcule $A - B$.
2. bCalcule $B - C$.
3. cCalcule $A + B - C$.
4. dCalcule $A - B$ pour $x = -1{,}5$.

Ex. 19★★★Le programme de Noé — Noé propose ce programme de calcul. Étape 1 : choisis un nombre $t$ et calcule $5t + 4$. Étape 2 : soustrais $2t - 3$ au résultat. Étape 3 : soustrais $3t - 1$ au nouveau résultat.

1. aComplète le tableau en écrivant tes calculs :

   t	2	-1,5	10
   5t + 4
   Après l'étape 2
   Résultat final

2. bQuelle conjecture peux-tu faire sur le résultat final du programme ?
3. cÉcris le résultat final sous la forme d'une expression littérale $E$ avec des parenthèses, puis démontre ta conjecture.
4. dLéa écrit $E = 5t + 4 - 2t - 3 - 3t - 1$ et trouve $E = 0$. Explique ses erreurs.

Ex. 20★★★Trois expressions, des signes à surveiller — On donne $A = -3y + 1$, $B = 0{,}5y - 4$ et $C = 2 - y$. Dans chaque calcul, écris d'abord les parenthèses autour de chaque expression, puis supprime-les et réduis.

1. aCalcule $B - A$.
2. bCalcule $A - B - C$.
3. cRose affirme : « Pour tout nombre $y$, $A - C$ et $C - A$ sont des expressions opposées. » Vrai ou faux ? Démontre-le.
4. dTrouve une expression $D$ telle que $A - D = -5y + 3$ (indice : $D = A - (-5y + 3)$), puis vérifie ta réponse en calculant $A - D$.

Ex. 21★★★Le troisième côté du triangle — Un triangle a pour périmètre $9x + 4$ (en cm), où $x$ est un nombre positif. Deux de ses côtés mesurent $2x + 3$ et $4x - 1$ (en cm).

1. aExprime la longueur $L$ du troisième côté en fonction de $x$ : écris d'abord les parenthèses, puis réduis.
2. bPour $x = 2{,}5$, calcule les trois longueurs, puis vérifie que leur somme est égale au périmètre.
3. cMehdi affirme : « Le côté $4x - 1$ est toujours plus long que le troisième côté. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dExplique pourquoi la valeur $x = 0{,}2$ ne convient pas pour ce triangle.

Ex. 22★★★Automatismes : réduire une somme de termes — Réduis chaque expression. Range le résultat dans l'ordre : termes en lettre, puis nombre seul.

1. a$A = 9x + 4 - 3x + 7$
2. b$B = 7y - y + 5$
3. c$C = -x + 6 - 4x - 10$
4. d$D = 5a + 3 - 5a + 2$
5. e$E = 2a - 5b + 7a + b$
6. f$F = 1{,}5t + 4 - 0{,}7t - 2{,}5$
7. g$G = 12 - 5x + 3x$

Ex. 23★★★Automatismes : réduite ou pas ? — Pour chaque expression, dis si elle est réduite et justifie. Si elle ne l'est pas, réduis-la et range-la dans l'ordre : termes en $x^2$, termes en $x$, nombre seul.

1. a$A = 4x + 3$
2. b$B = x^2 + 5x$
3. c$C = 2x^2 + 7x - x^2 - 3x$
4. d$D = 6 - x + 3x^2 + 4x$
5. e$E = 5x^2 - 2x + 9 - 5x^2$
6. f$F = 0{,}4x^2 + x - 1{,}2x^2 + 2{,}5$

Ex. 24★★★Développer, puis réduire — Développe, puis réduis chaque expression. Attention : le signe placé devant une parenthèse fait partie du facteur.

1. a$A = 4(2x - 3) - 7(x - 1)$
2. b$B = (x + 6) \times 3 - (4x - 9)$
3. c$C = x(x - 4) + 2(3x + 1)$
4. d$D = 2y(3y + 5) - 6y^2 - 7y$
5. e$E = -2(0{,}5t - 3) + 1{,}5(2t + 4)$

Ex. 25★★★Les réductions de Nolan — Nolan a réduit plusieurs expressions. Quand il s'est trompé, explique son erreur et corrige-la.

1. aNolan écrit : $3x^2 + 4x = 7x^2$. A-t-il raison ? Justifie.
2. bNolan écrit : $5 - 2t + 4t - 3 = 6t + 2$. A-t-il raison ? Justifie.
3. cNolan écrit : $7x - (2x - 5) = 5x - 5$. A-t-il raison ? Justifie.
4. dNolan réduit $A = 2x^2 - 3x + 4 - x^2 + 5x$ et trouve $x^2 + 2x + 4$. Pour contrôler, calcule $A$ et $x^2 + 2x + 4$ pour $x = 10$. Que peux-tu dire ?

Ex. 26★★★Le terrain de Maëlys — Le terrain de Maëlys est un rectangle de longueur $3x + 4$ et de largeur $x$ (en mètres, avec $x > 1$). Elle y creuse un bassin rectangulaire de longueur $x - 1$ et de largeur $3$. Le reste du terrain est couvert de gazon.

1. aExprime le périmètre $P$ du terrain en fonction de $x$, puis réduis-le.
2. bExprime l'aire $G$ de la partie en gazon en fonction de $x$. Développe, puis réduis et range dans l'ordre : termes en $x^2$, termes en $x$, nombre seul.
3. cContrôle tes deux résultats : remplace $x$ par $10$ dans les expressions de départ, puis dans tes formes réduites.
4. dMaëlys élargit le bassin : sa largeur passe à $5$, sa longueur reste $x - 1$. De combien l'aire du gazon diminue-t-elle ? Donne une expression réduite.

Ex. 27★★★Le devoir de Yanis — On considère l'expression littérale à deux lettres $B = 4{,}5a - 2b + 3 - a - (1{,}5a - 6b + 3)$.

1. aSupprime les parenthèses, puis réduis $B$. Range dans l'ordre : termes en $a$, termes en $b$, nombre seul.
2. bYanis a trouvé $B = 3a - 8b + 6$. Repère ses deux erreurs et explique-les.
3. cCalcule $B$ pour $a = 10$ et $b = 10$ avec l'expression de départ, puis avec ta forme réduite et avec celle de Yanis. Conclus.
4. dCalcule $B$ pour $a = 0{,}5$ et $b = -1{,}5$ avec la forme de ton choix.

Ex. 28★★★Le programme de calcul de Chloé — Chloé propose ce programme de calcul. Choisis un nombre. Multiplie-le par ce nombre augmenté de $6$. Soustrais au résultat la somme du carré du nombre de départ et du nombre de départ.

1. aComplète le tableau en appliquant le programme.

   Nombre choisi	3	-2
   Résultat

2. bOn note $x$ le nombre choisi. Écris le résultat sous forme d'une expression en $x$, puis développe-la et réduis-la.
3. cThéo affirme : « Ce programme donne toujours $6$. » A-t-il raison ? Justifie et devine l'erreur qu'il a faite.
4. dChloé change la dernière étape : elle soustrait le double du carré du nombre de départ, puis ajoute $7$. Écris ce résultat en fonction de $x$, réduis et range-le, puis contrôle avec $x = -1$.

Ex. 29★★★Automatismes : un nombre en facteur — Factorise au maximum chaque expression.

1. a$14x + 21$
2. b$9a - 9$
3. c$24t + 16$
4. d$-10y - 15$, en mettant $-5$ en facteur
5. e$12x + 18y - 30$
6. f$35 - 20x$
7. g$2{,}5x + 2{,}5$

Ex. 30★★★Automatismes : une lettre en facteur — Factorise au maximum chaque expression. Le facteur commun peut être une lettre, ou un nombre et une lettre.

Ex. 31★★★Erreurs d'élèves — Des élèves de Ben ont factorisé une expression. Pour chaque élève, dis si sa réponse est juste et justifie en redéveloppant. Si besoin, corrige en factorisant au maximum.

1. aLina écrit : $20x + 35 = 5(4x + 35)$.
2. bHugo écrit : $16a + 24 = 4(4a + 6)$.
3. cInès écrit : « $12x + 9 = 3(4x + 2) + 3$, j'ai factorisé. »
4. dTom écrit : $7x + 10 = 7(x + 10)$.
5. eEva écrit : $-8t - 12 = -4(2t - 3)$.

Ex. 32★★★Factoriser pour calculer ou pour démontrer — Dans les trois premières questions, calcule de tête en factorisant d'abord. Dans les deux dernières, $n$ désigne un nombre entier.

1. a$43 \times 17 - 43 \times 7$
2. b$2{,}6 \times 58 + 2{,}6 \times 42$
3. c$19 \times 99 + 19$
4. dDémontre que $15n + 20$ est un multiple de $5$.
5. eDémontre que la somme des trois entiers consécutifs $n$, $n + 1$ et $n + 2$ est un multiple de $3$.

Ex. 33★★★Réduire, puis factoriser au maximum — Pour les trois premières expressions, développe et réduis, puis factorise au maximum. Vérifie en redéveloppant.

1. a$A = 4(3x + 2) + 6x + 10$
2. b$B = 7a^2 - (3a^2 + 6a)$
3. c$C = (t - 3) \times 4 - 2(5t + 1)$
4. dComplète pour que l'égalité soit vraie, puis justifie en redéveloppant : $-9y^2 + 12y = \ldots(3y - 4)$.

Ex. 34★★★Retrouver les dimensions d'un rectangle — Dans cet exercice, $x$ est un nombre positif et les longueurs sont en cm. Ici, « largeur » et « longueur » désignent simplement les deux côtés du rectangle. Factorise pour répondre.

1. aUn rectangle a pour aire $6x^2 + 15x$ et pour largeur $3x$. Exprime sa longueur en fonction de $x$.
2. bUn rectangle a pour aire $8x + 8$ et pour largeur $8$. Nora affirme que sa longueur est $x$. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cUn rectangle a pour aire $12x^2 + 18x + 6$ et pour largeur $6$. Exprime sa longueur en fonction de $x$.
4. dUn rectangle a pour largeur $x + 4$ et pour longueur $3x + 8$. Exprime son périmètre sous forme réduite, puis factorise-le au maximum.

Ex. 35★★★Un programme de calcul à démontrer — Ben propose ce programme de calcul : choisir un nombre entier $n$ ; le multiplier par $9$ ; ajouter au résultat le triple du successeur de $n$.

1. aComplète le tableau en appliquant le programme.

   Nombre choisi	2	-5
   Résultat

2. bÉcris le résultat du programme en fonction de $n$, sous forme réduite.
3. cFactorise ce résultat au maximum. Déduis-en que le résultat est toujours un multiple de $3$.
4. dLéa affirme : « Le résultat est toujours un multiple de $6$. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eSans poser de multiplication, calcule de tête le résultat pour $n = 25$ en utilisant la forme factorisée.

Ex. 36★★★Tester une égalité pour une valeur — Pour la valeur donnée, calcule séparément chaque membre de l'égalité. Dis ensuite si l'égalité est vraie ou fausse pour cette valeur.

1. a$5x - 4 = 2x + 8$ pour $x = 4$
2. b$y^2 + 3 = 4y$ pour $y = 2$
3. c$2(t - 3) = 2t - 3$ pour $t = 5$
4. d$a^2 = 2a$ pour $a = -2$
5. e$3 - 0{,}5x = x - 6$ pour $x = 6$
6. f$x^2 - x = 2x$ pour $x = 3$

Ex. 37★★★Démontrer une identité — Démontre que chaque égalité est une identité. Transforme un membre (développe, réduis) jusqu'à obtenir l'autre.

1. a$3(x + 4) - 5 = 3x + 7$
2. b$7a - 2(a - 3) = 5a + 6$
3. c$(y - 2) \times 6 + 2y = 8y - 12$
4. d$10t + 35 = 5(2t + 7)$
5. e$x(x + 4) - 4x = x^2$
6. f$9 - (4 - 3x) = 3x + 5$

Ex. 38★★★Vrai ou faux ? Contre-exemple ou démonstration — Justifie chaque réponse par un contre-exemple ou par une démonstration.

1. aLina teste $3x + 5 = 5x + 3$ pour $x = 1$. Elle trouve $8$ des deux côtés et conclut que c'est une identité. A-t-elle raison ? Justifie.
2. bMia vérifie que $t^2 = 3t - 2$ est vraie pour $t = 1$ et pour $t = 2$. Elle conclut qu'elle est vraie pour tout $t$. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cVrai ou faux ? L'égalité $5(y - 1) + y = 6y - 5$ est vraie pour tout $y$. Justifie.
4. dPour tester $2(a + 5) = 2a + 5$ avec $a = 3$, Sami calcule le membre de gauche ainsi : $2 \times 3 + 5 = 11$. Il conclut que l'égalité est vraie pour $a = 3$. Corrige son erreur et conclus.

Ex. 39★★★Un programme de calcul à prouver — Programme : « Choisir un nombre. Lui ajouter $3$. Multiplier le résultat par $4$. Soustraire le quadruple du nombre de départ. »

1. aComplète le tableau en appliquant le programme à chaque nombre de départ.
2. bNoé dit : « Les trois essais donnent le même résultat, donc c'est démontré pour tous les nombres. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cAppelle $x$ le nombre de départ. Démontre que le résultat ne dépend pas du nombre choisi.
4. dPour $x$ entier, on pose $B = 4(x + 3) + 8x$. Développe et réduis $B$, puis factorise-le pour démontrer que $B$ est un multiple de $12$.

Ex. 40★★★Trois égalités à trier — On considère trois égalités : (1) $x^2 + 6 = 5x$ ; (2) $2(3 - y) + 4y = 2y + 6$ ; (3) $4t - (t + 7) = 3t + 2$.

1. aInès teste l'égalité (1) pour $x = 2$, puis pour $x = 3$. Calcule chaque membre séparément pour ces deux valeurs.
2. bInès conclut que l'égalité (1) est une identité. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cDémontre que l'égalité (2) est une identité.
4. dRéduis le membre de gauche de l'égalité (3). Explique ensuite pourquoi cette égalité est fausse pour toutes les valeurs de $t$.

Ex. 41★★★Choisir la forme utile — On considère l'expression $A = (x + 2) \times 6 - 2(x - 3)$.

1. aDéveloppe et réduis $A$.
2. bCalcule $A$ pour $x = -2{,}5$. Utilise la forme la plus pratique, puis contrôle ton résultat avec la forme de départ.
3. cFactorise la forme réduite de $A$. Démontre ensuite que, si $x$ est un nombre entier, $A$ est toujours un nombre pair.
4. dMalo calcule $A$ pour $x = 2$ et trouve $26$. Il affirme : « $A = 13x$ pour tout $x$, puisque $13 \times 2 = 26$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 42★★★Enquête sur les entiers consécutifs — $n$ désigne un nombre entier. Son successeur est $n + 1$.

1. aThéo affirme : « Le carré du successeur de $n$ est toujours égal à $n^2 + 1$. » Il a vérifié pour $n = 0$. Écris le carré du successeur de $n$, puis prouve que Théo a tort, sans développer.
2. bÉcris en fonction de $n$ la somme $S$ des quatre entiers consécutifs $n$, $n + 1$, $n + 2$ et $n + 3$. Réduis-la.
3. cFactorise $S$ par $2$. Démontre ensuite que la somme de quatre entiers consécutifs est toujours paire.
4. dJade affirme : « La somme de quatre entiers consécutifs est toujours un multiple de $4$. » Prouve qu'elle a tort avec un seul exemple.

Ex. 43★★★Traduire un programme de calcul — Pour P1 à P5, écris le résultat avec la lettre indiquée pour le nombre de départ, avec des parenthèses si besoin, puis développe et réduis.

1. aP1 (nombre $x$) : ajouter $4$, puis multiplier par $5$.
2. bP2 (nombre $y$) : multiplier par $3$, puis soustraire $7$.
3. cP3 (nombre $a$) : soustraire $6$, puis multiplier par $-2$.
4. dP4 (nombre $t$) : ajouter $2$, multiplier par $3$, puis soustraire $1$.
5. eP5 (nombre $t$) : soustraire $5$, multiplier par $4$, ajouter $25$, puis soustraire le nombre de départ.
6. fExplique pourquoi P4 et P5 donnent toujours le même résultat.

Ex. 44★★★Mettre en formule — Écris chaque expression demandée avec la lettre de l'énoncé ($n$ désigne un nombre entier), puis réduis-la ou développe-la.

1. aLa somme de l'entier $n$ et de son successeur.
2. bLe produit de l'entier $n$ par son prédécesseur.
3. cLe périmètre d'un rectangle de largeur $y$ et de longueur $3y + 2$
   (en cm).
4. dL'aire de ce même rectangle.
5. eSacha achète $t$ croissants à $1{,}20$ € et une baguette à $1{,}10$ €. Exprime le prix payé, puis calcule-le pour $t = 4$.
6. fUn nombre pair écrit avec $n$, puis le nombre impair qui le suit, puis leur somme.

Ex. 45★★★Le programme de Mehdi — Programme de Mehdi : choisir un nombre ; lui soustraire $4$ ; multiplier le résultat par $6$ ; ajouter $30$ ; prendre la moitié ; soustraire le triple du nombre de départ.

1. aComplète le tableau en appliquant le programme à chaque nombre de départ
   (détaille les étapes).
2. bLéa dit : « Trois essais donnent le même résultat, donc c'est vrai pour tous les nombres. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. cOn note $x$ le nombre de départ. Écris l'expression obtenue après « ajouter $30$ », sans oublier les parenthèses, puis développe-la et réduis-la.
4. dDémontre que le résultat ne dépend pas du nombre de départ. Termine par une phrase de conclusion.

Ex. 46★★★Vrai ou faux sur les entiers — $n$, $a$ et $b$ désignent des nombres entiers. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie : par un contre-exemple ou par une démonstration.

1. a« La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$. »
2. b« La somme de quatre entiers consécutifs est toujours un multiple de $4$. »
3. cYanis écrit deux nombres impairs $2n + 1$ et $2n + 3$, puis il affirme : « La somme de deux nombres impairs est toujours un multiple de $4$. »
4. d« La somme de deux nombres impairs quelconques est toujours paire. »
   (Écris-les $2a + 1$ et $2b + 1$.)

Ex. 47★★★Les programmes de Lina et de Tom — Programme de Lina : choisir un nombre ; lui ajouter $3$ ; multiplier le résultat par $4$ ; soustraire le double du nombre de départ.
Programme de Tom : choisir un nombre ; lui soustraire $1$ ; multiplier le résultat par $3$ ; ajouter $15$ ; soustraire le nombre de départ.

1. aComplète le tableau en détaillant les étapes de chaque programme.

   Nombre de départ	$-2{,}5$	$4$
   Résultat de Lina
   Résultat de Tom

2. bZoé affirme : « Les deux programmes donnent toujours le même résultat, puisque c'est vrai pour $-2{,}5$ et pour $4$. » Son raisonnement est-il correct ? Justifie.
3. cÉcris le résultat de chaque programme avec la lettre $x$ pour le nombre de départ, en gardant les parenthèses, puis développe et réduis.
4. dLes deux programmes donnent-ils toujours le même résultat ? Justifie par une phrase de conclusion.
5. eLe nombre de départ est un entier. Explique, en factorisant, pourquoi le résultat de Lina est toujours un nombre pair.

Ex. 48★★★Pairs, impairs : bien choisir ses lettres — $a$, $b$ et $n$ désignent des nombres entiers. Un nombre pair s'écrit $2a$ et un nombre impair s'écrit $2b + 1$.

1. aPour la somme d'un pair et d'un impair, Léo écrit $2a + (2a + 1) = 4a + 1$. Avec $4$ et $11$, explique pourquoi son calcul ne traite pas tous les cas.
2. bDémontre que la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair quelconques est toujours un nombre impair.
3. cDémontre que la différence de deux nombres impairs quelconques est toujours un nombre pair.
4. dNoé a testé $3 + 5$ et $7 + 9$. Il affirme : « La somme de deux impairs consécutifs est toujours un multiple de $8$. » Vrai ou faux ? Justifie.
5. eDémontre que la somme de trois nombres pairs consécutifs $2n$, $2n + 2$ et $2n + 4$ est toujours un multiple de $6$.

Ex. 49★★★Le jardin d'Inès — Inès clôture un jardin rectangulaire de largeur $x$ mètres. Sa longueur mesure $5$ m de plus que sa largeur. Le grillage coûte $3{,}5$ € le mètre, et l'installation coûte en plus $40$ € en tout.

1. aExprime la longueur $L$ du jardin en fonction de $x$.
2. bIlyes écrit le périmètre $P = 2 \times x + x + 5 = 3x + 5$. Explique son erreur, puis écris $P$ correctement et réduis-le.
3. cExprime l'aire $A$ du jardin en fonction de $x$, puis développe-la.
4. dExprime le prix total $C$ de la clôture en fonction de $x$, puis développe et réduis.
5. eLa largeur mesure $6{,}4$ m. Calcule le prix total de la clôture, puis contrôle ton résultat en partant du périmètre.