Troisième / Calcul littéral

Ex. 1★★★Distribuer un nombre positif — Développe chaque expression.

Ex. 2★★★Distribuer un nombre négatif — Développe chaque expression. Attention aux signes.

Ex. 3★★★Distribuer x — Développe chaque expression.

Ex. 4★★★Regrouper les termes — Réduis chaque expression.

1. a$9x + 2 + 4x^2 + 8x + 9$
2. b$9x - 2 - x^2 + x - 9$
3. c$-4x + 1 + 9x^2 + 8x + 9$

Ex. 5★★★Un signe moins devant la parenthèse — Réduis chaque expression.

Ex. 6★★★Développer puis réduire — Développe et réduis chaque expression.

1. a$A = 2(5x - 8) - 5(6x + 9)$
2. b$B = 4(5x - 1) - 6(2x - 8)$
3. c$C = 4(x - 7) - 2(5x + 8)$

Ex. 7★★★L'erreur de Léna — Léna a écrit : $7 - 2(3x - 4) = 5(3x - 4) = 15x - 20$.

1. aCalcule $7 - 2(3x - 4)$ puis $15x - 20$ pour $x = 0$. Que peux-tu en déduire ?
2. bQuelle erreur Léna a-t-elle commise ?
3. cDéveloppe et réduis correctement $7 - 2(3x - 4)$.

Ex. 8★★★Toutes égales à 2x − 6 ? — Développe et réduis chaque expression, puis dis si elle est égale à $2x - 6$ pour tout nombre $x$.

Ex. 9★★★Le périmètre d'un enclos — Un enclos rectangulaire a pour longueur $2x + 5$ mètres et pour largeur $x - 1$ mètres, avec $x > 1$.

1. aExprime le périmètre $P$ de l'enclos en fonction de $x$, sous forme développée et réduite.
2. bCalcule $P$ pour $x = 4$.
3. cQuelle valeur de $x$ donne un périmètre de 50 m ?

Ex. 10★★★Les pièges de la réduction — Développe et réduis chaque expression.

1. a$3x \times 2x + 3x + 2x$
2. b$5x - (2x^2 - 3x + 1) + 4x^2$
3. c$\frac{1}{2}(6x - 4) - 3\left(x - \frac{2}{3}\right)$
4. d$-2x(4 - 3x) - x(x - 8)$

Ex. 11★★★Deux parenthèses — Développe et réduis chaque expression.

Ex. 12★★★Avec des coefficients — Développe et réduis chaque expression.

Ex. 13★★★Un coefficient négatif — Développe et réduis chaque expression.

Ex. 14★★★Une somme de produits — Développe et réduis chaque expression.

1. a$A = (4x + 7)(3x - 1) + (2x - 5)(x - 4)$
2. b$B = (x + 1)(3x - 2) + (2x + 7)(3x - 4)$
3. c$C = (x + 5)(3x - 4) + (2x - 7)(x - 7)$

Ex. 15★★★Une différence de produits — Développe et réduis chaque expression.

1. a$A = (3x + 1)(x + 1) - (3x - 1)(x - 7)$
2. b$B = (x + 6)(2x + 1) - (x + 5)(3x + 5)$
3. c$C = (x + 7)(x + 7) - (x + 5)(3x - 5)$

Ex. 16★★★Un nombre devant le produit — Développe et réduis chaque expression.

Ex. 17★★★Toujours le même résultat — On considère $A = (x + 2)(x + 5) - (x + 1)(x + 6)$.

1. aCalcule $A$ pour $x = 0$ puis pour $x = 10$.
2. bDéveloppe et réduis $A$.
3. cQue vaut $A$ pour $x = 2\,026$ ? Justifie sans calculer les produits.

Ex. 18★★★La plaque de bois — Une plaque de bois rectangulaire mesure $(x + 5)$ dm sur $(x + 3)$ dm. Dans un coin, on découpe un carré de côté $x$ dm.

1. aExprime l'aire de la plaque entière en fonction de $x$, sous forme développée et réduite.
2. bExprime l'aire de la plaque après la découpe, sous forme réduite.
3. cCalcule l'aire de la plaque après la découpe pour $x = 3$.

Ex. 19★★★Des décimaux et deux lettres — Développe et réduis chaque expression. Les lettres $a$, $b$ et $t$ désignent des nombres.

Ex. 20★★★Les nombres cachés — Trouve les nombres entiers $a$ et $b$ qui rendent l'égalité vraie pour tout $x$.

1. a$(x + a)(x + b) = x^2 + 9x + 14$, avec $a < b$
2. b$(x + a)(x + b) = x^2 - x - 20$, avec $a > b$

Ex. 21★★★Les grands calculs — Développe et réduis chaque expression. Écris toutes les étapes : chaque produit d'abord entre parenthèses.

1. a$A = (2x - 5)(x + 3) - (x - 4)(3x - 1) + 2(x^2 - 7)$
2. b$B = -3(x - 2)(2x + 1) + (5x - 1)(x + 2)$
3. c$C = (4 - x)(2x + 7) - 2(3x - 1)(1 - x)$

Ex. 22★★★Le carré d'une somme — Développe avec l'identité $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ex. 23★★★Avec un coefficient devant x — Développe avec la même identité.

Ex. 24★★★Le nombre en premier — Développe avec la même identité.

Ex. 25★★★Des fractions et des décimaux — Développe et réduis.

Ex. 26★★★Reconnaître un carré — Écris chaque expression sous la forme $(a + b)^2$.

Ex. 27★★★Les carrés qui finissent par 5 — Un nombre entier qui se termine par 5 s'écrit $10n + 5$, où $n$ est un nombre entier. Par exemple, $65 = 10 \times 6 + 5$.

1. aDéveloppe $(10n + 5)^2$.
2. bMontre que $(10n + 5)^2 = 100n(n + 1) + 25$.
3. cUtilise cette égalité pour calculer $35^2$ puis $85^2$ sans calculatrice.

Ex. 28★★★Le carré d'une différence — Développe avec l'identité $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Ex. 29★★★Avec un coefficient devant x — Développe avec la même identité.

Ex. 30★★★Le nombre en premier — Développe avec la même identité.

Ex. 31★★★Vraie pour tout x ? — Pour chaque égalité, dis si elle est vraie pour tout nombre $x$. Justifie : en développant si elle est vraie, en donnant une valeur de $x$ qui la met en défaut si elle est fausse.

1. a$(x - 5)^2 = x^2 - 10x - 25$
2. b$(5 - x)^2 = (x - 5)^2$
3. c$(3x - 1)^2 = 9x^2 - 3x + 1$
4. d$(2x - 7)^2 = 4x^2 - 28x + 49$

Ex. 32★★★Des égalités à justifier — Montre que chaque égalité est vraie pour tout nombre $x$.

1. a$(x - 3)^2 + 6x = x^2 + 9$
2. b$(2x - 5)^2 - 4x^2 = 25 - 20x$
3. c$(x - 9)^2 + 18x - 81 = x^2$

Ex. 33★★★Un nombre ou un signe devant le carré — Développe et réduis chaque expression : développe d'abord le carré, entre parenthèses.

Ex. 34★★★Un carré de différence ? — Dis si chaque expression est de la forme $a^2 - 2ab + b^2$. Si oui, écris-la sous la forme $(a - b)^2$ ; sinon, explique pourquoi.

Ex. 35★★★Une égalité presque toujours fausse — On cherche les nombres $x$ pour lesquels $(x - 6)^2 = x^2 - 6^2$.

1. aL'égalité est-elle vraie pour $x = 0$ ? Justifie.
2. bDéveloppe $(x - 6)^2$.
3. cTrouve toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles l'égalité est vraie.

Ex. 36★★★Somme fois différence — Développe avec l'identité $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.

Ex. 37★★★Avec un coefficient devant x — Développe avec la même identité.

Ex. 38★★★Le nombre en premier — Développe avec la même identité.

Ex. 39★★★Quelle identité ? — Reconnais l'identité remarquable, puis développe.

Ex. 40★★★Deux identités dans une expression — Développe et réduis chaque expression.

1. a$A = (2x + 5)^2 - (2x + 3)(2x - 3)$
2. b$B = 5(x - 5)^2 - (4x + 1)(4x - 1)$
3. c$C = (x + 1)(x - 1) - (4x - 7)^2$

Ex. 41★★★Les erreurs de Nathan — Nathan a fait ces trois développements. Chacun contient une erreur. Trouve-la et écris le bon développement.

1. a$(x + 14)(x - 14) = x^2 - 28$
2. b$(5x + 4)(5x - 4) = 5x^2 - 16$
3. c$(5 - 2x)(5 + 2x) = 25 - 4x$

Ex. 42★★★Les pointillés — Recopie et complète les pointillés pour que l'égalité soit vraie pour tout $x$.

1. a$(x + \ldots)(x - \ldots) = x^2 - 121$
2. b$(\ldots + 3)(\ldots - 3) = 64x^2 - 9$
3. c$(7x - \ldots)(\ldots + \ldots) = 49x^2 - 1$

Ex. 43★★★Les pièges de l'ordre — Développe chaque produit avec l'identité $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, après avoir repéré $a$ et $b$.

Ex. 44★★★L'échange de terrain — Ahmed possède un champ carré de côté $x$ mètres, avec $x > 6$. Son voisin lui propose de l'échanger contre un champ rectangulaire dont la longueur mesure 6 m de plus et la largeur 6 m de moins.

1. aExprime l'aire du champ rectangulaire en fonction de $x$, sous forme développée.
2. bAhmed gagne-t-il ou perd-il de la surface avec cet échange ? Justifie.
3. cCalcule l'aire de chaque champ pour $x = 50$.

Ex. 45★★★Jusqu'à x⁴ — Développe et réduis. Rappel : $x^2 \times x^2 = x^4$ et $(x^2)^2 = x^4$ ; $(3x^2)^2 = 9x^4$.

1. a$(x + 3)(x - 3)(x^2 + 9)$
2. b$(x^2 + 5)(x^2 - 5)$
3. c$(2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)$
4. d$(x + 1)^2(x - 1)^2$
5. e$(3x^2 - 2)^2$

Ex. 46★★★Le carré d'un nombre un peu plus grand — Calcule sans calculatrice avec $(a + b)^2$.

Ex. 47★★★Le carré d'un nombre un peu plus petit — Calcule sans calculatrice avec $(a - b)^2$.

Ex. 48★★★Des produits presque égaux — Calcule sans calculatrice avec $(a + b)(a - b)$.

Ex. 49★★★Des différences de carrés — Calcule sans calculatrice en factorisant.

Ex. 50★★★Une identité cachée — Reconnais une identité remarquable, puis calcule sans calculatrice.

1. a$199^2 + 2 \times 199 + 1$
2. b$57^2 - 2 \times 57 \times 7 + 7^2$
3. c$38^2 + 2 \times 38 \times 2 + 2^2$

Ex. 51★★★Avec des décimaux — Calcule sans calculatrice avec une identité remarquable.

Ex. 52★★★Lequel est le plus grand ? — On compare $A = 2\,025 \times 2\,027$ et $B = 2\,026^2$ sans calculer les produits.

1. aÉcris $2\,025$ et $2\,027$ en fonction de $2\,026$, puis exprime $A$ à l'aide de $2\,026^2$.
2. bLequel des nombres $A$ et $B$ est le plus grand ? De combien ?
3. cMontre que, pour tout nombre $n$, $(n - 1)(n + 1)$ est inférieur à $n^2$.

Ex. 53★★★Un nombre en facteur — Factorise chaque expression.

Ex. 54★★★x en facteur — Factorise chaque expression.

Ex. 55★★★Un nombre et x en facteur — Factorise le plus possible chaque expression.

Ex. 56★★★Un facteur commun négatif — Factorise chaque expression en mettant en facteur un terme précédé du signe −.

Ex. 57★★★Les factorisations de Paul — Paul a factorisé ces expressions. Chaque factorisation est fausse ou incomplète. Explique le problème, puis écris la bonne factorisation.

1. a$6x^2 - 9x = 3x(2x - 9)$
2. b$4x^2 + x = x \times 4x$
3. c$10x - 15x^2 = 5(2x - 3x^2)$

Ex. 58★★★Calculs astucieux — Calcule sans calculatrice en mettant un nombre en facteur.

Ex. 59★★★Le jardin de Zoé — Le jardin rectangulaire de Zoé a pour aire $6x^2 + 15x$ m² et pour largeur $3x$ m, avec $x > 0$.

1. aFactorise $6x^2 + 15x$ en mettant $3x$ en facteur.
2. bDéduis-en la longueur du jardin en fonction de $x$.
3. cLa longueur du jardin mesure 25 m. Calcule $x$, puis l'aire du jardin.

Ex. 60★★★La parenthèse commune — Factorise puis réduis le second facteur.

1. a$(2x + 7)(4x - 6) + (2x + 7)(x + 7)$
2. b$(3x - 5)(3x + 3) + (3x - 5)(4x + 1)$
3. c$(2x + 3)(2x - 3) + (2x + 3)(2x + 4)$

Ex. 61★★★Avec une soustraction — Factorise puis réduis le second facteur. Attention aux signes.

1. a$(x - 3)(3x - 1) - (x - 3)(x + 6)$
2. b$(x - 7)(4x + 1) - (x - 7)(3x - 4)$
3. c$(x - 5)(3x + 2) - (x - 5)(x + 3)$

Ex. 62★★★Un carré cache le facteur — Factorise puis réduis le second facteur.

1. a$(x + 2)^2 + (x + 2)(2x + 2)$
2. b$(2x + 3)^2 + (2x + 3)(2x + 2)$
3. c$(3x - 5)^2 + (3x - 5)(2x + 1)$

Ex. 63★★★Le facteur 1 caché — Factorise puis réduis le second facteur.

1. a$(3x - 5)(2x - 4) + (3x - 5)$
2. b$(3x + 4)(3x + 7) + (3x + 4)$
3. c$(3x - 4)(x - 6) + (3x - 4)$

Ex. 64★★★L'erreur de Kenza — Kenza a écrit : $(x + 2)(3x - 1) - (x + 2)(x - 4) = (x + 2)(3x - 1 - x - 4) = (x + 2)(2x - 5)$.

1. aOù est l'erreur de Kenza ?
2. bÉcris la bonne factorisation.
3. cDéveloppe l'expression de départ puis ta factorisation. Obtiens-tu la même expression ?

Ex. 65★★★Factoriser pour résoudre — Résous chaque équation en factorisant d'abord le membre de gauche.

1. a$(x - 4)(2x + 3) - (x - 4)(x + 8) = 0$
2. b$(4x + 1)^2 - (4x + 1)(x + 7) = 0$

Ex. 66★★★Le facteur commun déguisé — Factorise chaque expression. Indice : transforme d'abord un facteur pour faire apparaître une parenthèse commune.

1. a$(2x - 6)(x + 1) + (x - 3)(4x + 5)$
2. b$(5 - x)(2x + 1) + (x - 5)(x + 4)$

Ex. 67★★★Une identité cache le facteur commun — Factorise chaque expression. Indice : une identité remarquable ou un changement de signe fait apparaître le facteur commun.

1. a$(2x - 1)^2 - (1 - 2x)(x + 3)$
2. b$9x^2 - 6x + 1 + (3x - 1)(x + 2)$
3. c$25x^2 - 4 - (5x - 2)(x + 1)$

Ex. 68★★★Reconnaître a² − b² — Factorise chaque expression.

Ex. 69★★★Le nombre en premier — Factorise chaque expression.

Ex. 70★★★Un carré de parenthèse — Factorise puis réduis chaque facteur.

Ex. 71★★★Deux carrés de parenthèses — Factorise puis réduis chaque facteur.

1. a$(4x - 4)^2 - (2x - 3)^2$
2. b$(x + 2)^2 - (4x + 1)^2$
3. c$(2x + 4)^2 - (4x + 3)^2$

Ex. 72★★★Factorisable ou pas ? — Pour chaque expression, dis si elle est de la forme $a^2 - b^2$. Si oui, factorise-la ; sinon, explique pourquoi.

Ex. 73★★★Des équations avec a² − b² — Résous chaque équation en factorisant.

1. a$4x^2 - 49 = 0$
2. b$(x - 3)^2 - 25 = 0$

Ex. 74★★★L'abri de Malo — Le terrain carré de Malo a pour côté $x$ mètres, avec $x > 5$. Dans un coin, il construit un abri carré de 5 m de côté.

1. aExprime en fonction de $x$ l'aire du terrain qui reste autour de l'abri.
2. bFactorise cette expression.
3. cMalo veut un potager rectangulaire de même aire que cette partie restante. Propose des dimensions en fonction de $x$.
4. dCalcule l'aire restante pour $x = 12$.

Ex. 75★★★Factoriser jusqu'au bout avec x⁴ — Factorise le plus possible. Rappel : $x^4 = (x^2)^2$ ; une somme de deux carrés comme $x^2 + 4$ ne se factorise pas.

Ex. 76★★★Des équations piégées — Résous chaque équation.

1. a$(2x + 1)^2 = (x - 3)^2$
2. b$(3x - 1)^2 = 49$
3. c$(2x + 3)^2 = 25x^2$
4. d$(4x - 1)^2 = -9$

Ex. 77★★★Développée ou factorisée ? — Dis si l'expression est sous forme développée ou factorisée, puis calcule sa valeur pour $x = 2$.

Ex. 78★★★Associer les formes — Associe chaque expression développée à sa forme factorisée parmi : $(x - 7)^2$, $x(x + 7)$, $(x + 7)(x - 7)$, $(x + 7)^2$.

Ex. 79★★★La bonne forme pour calculer — On sait que $A = (2x - 1)(x + 4) = 2x^2 + 7x - 4$. Calcule $A$ pour chaque valeur de $x$, en choisissant la forme la plus pratique.

Ex. 80★★★Factoriser jusqu'au bout — Factorise le plus possible.

1. a$3x^2 - 27$
2. b$18x^2 - 2$
3. c$x^2 - 16 + (x + 4)(2x - 1)$

Ex. 81★★★Développer ou factoriser pour prouver — Montre que chaque égalité est vraie pour tout $x$, en choisissant la méthode la plus rapide.

1. a$(x + 2)^2 - (x + 2)(x - 3) = 5(x + 2)$
2. b$(3x + 1)^2 - (3x - 1)^2 = 12x$

Ex. 82★★★Trois questions, trois formes — On considère $B = (x + 5)^2 - 49$.

1. aDéveloppe et réduis $B$.
2. bFactorise $B$.
3. cRésous l'équation $B = 0$.
4. dRésous l'équation $B = -24$.

Ex. 83★★★La méthode de Romane — Romane veut résoudre l'équation $x^2 = 9x$. Elle divise les deux membres par $x$ et obtient $x = 9$.

1. aLe nombre 9 est-il solution de l'équation $x^2 = 9x$ ? Justifie.
2. bRomane a-t-elle trouvé toutes les solutions ? Justifie en résolvant $x^2 - 9x = 0$ par factorisation.
3. cRésous de la même façon l'équation $(x - 2)^2 = 25$.

Ex. 84★★★Trois écritures d'une même expression — On considère $A = (x + 1)^2 - 4$, $B = (x - 1)(x + 3)$ et $C = x^2 + 2x - 3$.

1. aMontre que $A = C$ pour tout $x$.
2. bMontre que $B = C$ pour tout $x$.
3. cCalcule la valeur de l'expression pour $x = 0$, avec la forme la plus pratique.
4. dCalcule la valeur de l'expression pour $x = -3$, avec la forme la plus pratique.
5. eMontre que, pour tout $x$, $C \geq -4$.

Ex. 85★★★Un premier programme — Voici un programme de calcul : choisis un nombre ; ajoute 3 ; multiplie le résultat par 2 ; soustrais 6.

1. aQuel résultat obtiens-tu en choisissant 5 ?
2. bOn choisit un nombre $x$. Exprime le résultat en fonction de $x$, puis réduis.

Ex. 86★★★Retrouver les étapes — Le programme de calcul de Gaspard donne, pour un nombre choisi $x$, le résultat $4(x + 1) - 3$.

1. aÉcris les étapes du programme de Gaspard.
2. bQuel résultat obtient-on en choisissant 3 ?
3. cQuel résultat obtient-on en choisissant $-2$ ?

Ex. 87★★★Un programme avec un carré — Voici un programme de calcul : choisis un nombre ; ajoute 10 ; élève le résultat au carré ; soustrais 20 fois le nombre choisi.

1. aQuel résultat obtient-on en choisissant 2 ?
2. bExprime le résultat en fonction du nombre choisi $x$, puis développe et réduis.
3. cUtilise la forme réduite pour trouver le résultat quand on choisit 30.

Ex. 88★★★Deux programmes jumeaux — Programme A : choisis un nombre ; ajoute 5 ; multiplie le résultat par le nombre choisi. Programme B : choisis un nombre ; calcule son carré ; ajoute 5 fois le nombre choisi.

1. aApplique les deux programmes au nombre 3.
2. bApplique les deux programmes au nombre $-7$.
3. cLes deux programmes donnent-ils toujours le même résultat ? Justifie.

Ex. 89★★★Un résultat qui ne change pas — Voici un programme de calcul : choisis un nombre ; ajoute 3 ; multiplie le résultat par le nombre choisi diminué de 3 ; soustrais le carré du nombre choisi.

1. aApplique le programme à 4 puis à 7.
2. bExprime le résultat en fonction du nombre choisi $x$, puis réduis.
3. cLe résultat dépend-il du nombre choisi ? Justifie.

Ex. 90★★★Toujours un carré ? — Voici un programme de calcul : choisis un nombre ; ajoute 4 ; multiplie le résultat par le nombre choisi ; ajoute 4.

1. aApplique ce programme à 1, à 3 et à 6.
2. bQuelle conjecture peux-tu faire sur le résultat ?
3. cProuve ta conjecture.

Ex. 91★★★Trouver le nombre de départ — Voici un programme de calcul : choisis un nombre ; ajoute 9 ; élève le résultat au carré ; soustrais 81.

1. aApplique le programme à 2.
2. bExprime le résultat en fonction du nombre choisi $x$, puis factorise.
3. cQuels nombres faut-il choisir pour obtenir 0 ?
4. dQuels nombres faut-il choisir pour obtenir 19 ?

Ex. 92★★★Léo et Maëlle — Léo choisit un nombre, lui soustrait 2, puis élève le résultat au carré. Maëlle choisit le même nombre, l'élève au carré, puis soustrait 2.

1. aCalcule les résultats de Léo et de Maëlle quand ils choisissent 5.
2. bExprime le résultat de chacun en fonction du nombre choisi $x$, sous forme développée.
3. cExiste-t-il un nombre pour lequel ils obtiennent le même résultat ? Si oui, trouve-le.

Ex. 93★★★Quatre entiers qui se suivent — On multiplie quatre entiers qui se suivent, puis on ajoute 1.

1. aCalcule $1 \times 2 \times 3 \times 4 + 1$, $2 \times 3 \times 4 \times 5 + 1$ et $3 \times 4 \times 5 \times 6 + 1$. Que remarques-tu ?
2. bOn note $n$ le premier entier. Développe $n(n + 3)$ puis $(n + 1)(n + 2)$.
3. cOn pose $y = n^2 + 3n$. Exprime $n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1$ en fonction de $y$, puis montre que c'est toujours un carré.
4. dCalcule sans calculatrice $10 \times 11 \times 12 \times 13 + 1$.

Ex. 94★★★L'affiche de Sofia — Sofia dessine une affiche rectangulaire de longueur $(x + 4)$ dm et de largeur 3 dm.

1. aExprime l'aire de l'affiche en fonction de $x$, sous forme développée.
2. bCalcule cette aire pour $x = 6$.
3. cExprime le périmètre de l'affiche en fonction de $x$, sous forme réduite.

Ex. 95★★★Les fournitures d'Élise — Élise achète $x$ cahiers à 3 € l'un et $(x + 2)$ stylos à 2 € l'un.

1. aMontre que le prix total payé, en euros, est $5x + 4$.
2. bCombien paie-t-elle si elle achète 6 cahiers ?
3. cElle a payé 29 €. Combien de cahiers a-t-elle achetés ?

Ex. 96★★★Vrai ou faux ? — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie ta réponse.

1. a« Pour tout nombre $x$, $(x + 1)^2 = x^2 + 1$. »
2. b« $49 \times 51 = 2\,499$. »
3. c« Pour tout nombre $x$, $4x^2 - 25 = (2x - 5)(2x + 5)$. »
4. d« Pour tout nombre $x$, $(x - 3)(x + 2) = x^2 - x - 6$. »

Ex. 97★★★L'aquarium de Jules — L'aquarium de Jules a la forme d'un pavé droit. Sa base est un rectangle de $(x + 2)$ dm sur $(x - 2)$ dm, avec $x > 2$, et sa hauteur mesure 4 dm. On rappelle que 1 dm³ = 1 L.

1. aMontre que le volume de l'aquarium, en dm³, est $V = 4x^2 - 16$.
2. bCalcule le volume de l'aquarium en litres pour $x = 5$.
3. cJules veut un aquarium de 128 L. Quelle valeur de $x$ doit-il choisir ?

Ex. 98★★★La formule du tableur — Dans un tableur, Noah écrit un nombre dans la cellule A2. Dans la cellule B2, il saisit la formule =(A2+1)*(A2-1)+5.

1. aQuel nombre s'affiche en B2 si A2 contient 3 ?
2. bOn note $x$ le nombre écrit en A2. Exprime le contenu de B2 en fonction de $x$, puis développe et réduis.
3. cNoah peut-il obtenir en B2 un nombre strictement inférieur à 4 ? Justifie.

Ex. 99★★★Le triangle de Clara — Clara trace un triangle dont les côtés mesurent $x$ cm, $(x + 7)$ cm et $(x + 8)$ cm, avec $x > 0$.

1. aDéveloppe $(x + 8)^2$ puis $x^2 + (x + 7)^2$.
2. bPour $x = 5$, le triangle est-il rectangle ? Justifie.
3. cMontre que $x^2 + (x + 7)^2 - (x + 8)^2 = (x - 5)(x + 3)$.
4. dExiste-t-il une autre valeur de $x$ pour laquelle le triangle est rectangle ? Justifie.

Ex. 100★★★La bordure de la piscine — M. Diallo, carreleur, pose une bordure de 1,5 m de large tout autour d'une piscine carrée de côté $x$ m. Le carrelage coûte 30 € le m².

1. aExprime l'aire de la bordure en fonction de $x$, sous forme réduite.
2. bCalcule l'aire de la bordure pour une piscine de 8 m de côté.
3. cLe client a un budget de 1 800 € pour le carrelage. Quel est le plus grand côté possible pour la piscine ?

Ex. 101★★★Le calendrier de Timothée — Sur une page de calendrier, Timothée entoure un carré de quatre dates : deux dates qui se suivent et les deux dates situées juste en dessous, une semaine plus tard. Il multiplie la date en haut à droite par la date en bas à gauche, puis il soustrait le produit des deux autres dates.

1. aEffectue le calcul de Timothée pour le carré formé par 3, 4, 10 et 11.
2. bEffectue le calcul de Timothée pour le carré formé par 15, 16, 22 et 23.
3. cQuelle conjecture peux-tu faire ?
4. dOn note $n$ la date en haut à gauche. Exprime les trois autres dates en fonction de $n$, puis prouve ta conjecture.

Ex. 102★★★Le cadre photo — Une photo rectangulaire mesure $x$ cm sur $(x + 4)$ cm, avec $x > 0$. On l'entoure d'un cadre de 2 cm de large tout autour. Le cadre et la photo forment un grand rectangle.

1. aExprime les dimensions du grand rectangle en fonction de $x$.
2. bMontre que l'aire du cadre seul, en cm², est $8x + 32$.
3. cFactorise l'aire du cadre.
4. dPour quelle valeur de $x$ le cadre a-t-il la même aire que la photo ?

Ex. 103★★★Le grand classique — On considère $E = (3x - 2)^2 - (3x - 2)(x + 5)$.

1. aDéveloppe et réduis $E$.
2. bFactorise $E$.
3. cCalcule $E$ pour $x = \frac{2}{3}$, puis pour $x = -1$, avec la forme la plus pratique.
4. dRésous l'équation $E = 14$.