Sixième / Arithmétique

Ex. 1★★★Automatismes : divisible ou pas ? — Pose la division euclidienne, écris l'égalité, puis conclus.

1. a$96$ est-il divisible par $8$ ?
2. b$79$ est-il un multiple de $6$ ?
3. c$11$ est-il un diviseur de $143$ ?
4. d$15$ est-il divisible par $45$ ?
5. e$9$ est-il un diviseur de $0$ ?
6. f$37$ est-il un multiple de $37$ ?

Ex. 2★★★Automatismes : listes de multiples et de diviseurs — Réponds en séparant les nombres par des points-virgules.

1. aÉcris tous les multiples de $8$ inférieurs à $60$.
2. bÉcris les cinq plus petits multiples de $13$.
3. cÉcris tous les diviseurs de $36$.
4. dÉcris tous les diviseurs de $17$.
5. eTrouve le multiple de $9$ compris entre $100$ et $110$.
6. fTrouve le plus grand multiple de $7$ inférieur à $90$.

Ex. 3★★★Une égalité, trois phrases — Lina a écrit au tableau : $7 \times 16 = 112$.

1. aÉcris trois phrases qui disent la même chose avec le nombre $7$ : « divisible par », « multiple de », « diviseur de ».
2. bÉcris les trois phrases équivalentes avec le nombre $16$.
3. cTom affirme : « $7$ est un multiple de $112$. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dSans poser de division, donne le quotient et le reste de la division euclidienne de $112$ par $16$.

Ex. 4★★★Vrai ou faux ? — Pour chaque phrase, réponds vrai ou faux, puis justifie par une égalité ou une division euclidienne.

1. a$0$ est un multiple de $25$.
2. b$0$ est un diviseur de $25$.
3. c$1$ est un diviseur de $4\,519$.
4. d$18$ est divisible par $36$.
5. e$53$ est à la fois un multiple et un diviseur de $53$.

Ex. 5★★★La liste de Yanis — Yanis cherche tous les diviseurs de $40$. Il écrit : $2$ ; $4$ ; $5$ ; $8$ ; $10$ ; $20$.

1. aÉcris la liste complète des diviseurs de $40$ en cherchant les paires de produits.
2. bQuels diviseurs Yanis a-t-il oubliés ? Explique pourquoi ce sont des diviseurs de $40$.
3. cYanis ajoute : « $40$ est un diviseur de $8$, car $40 = 8 \times 5$. » Corrige sa phrase.
4. dYanis affirme : « $3$ n'est pas un diviseur de $40$. » Vérifie-le avec une division euclidienne.

Ex. 6★★★La copie de Théo — Théo sait que $8 \times 23 = 184$. Il écrit cinq phrases sur sa copie. Pour chaque phrase, dis ce qui est juste et ce qui est faux. Corrige ce qui est faux et justifie par une égalité ou une division euclidienne.

1. aThéo écrit : « $184$ est un multiple de $23$, mais pas de $8$. »
2. bThéo écrit : « $23$ est un diviseur de $184$, donc $184$ est divisible par $23$. »
3. cThéo écrit : « $184$ est divisible par $8$, donc aussi par $16$, le double de $8$. »
4. dThéo écrit : « $0$ est un multiple de $184$, donc $0$ est aussi un diviseur de $184$. »
5. eThéo écrit : « $1$ est un diviseur de $184$, mais $184$ n'est pas un diviseur de $184$. »

Ex. 7★★★Les devinettes d'Inès — Inès invente des devinettes pour Malik. Pour chacune, trouve TOUS les nombres entiers qui conviennent, puis justifie avec des égalités ou des divisions euclidiennes.

1. a« Je suis un diviseur de $45$ et un multiple de $3$. Je suis compris entre $10$ et $20$. Qui suis-je ? »
2. b« $9$ est l'un de mes diviseurs, et je suis un diviseur de $72$. Je suis plus grand que $20$. Qui suis-je ? »
3. c« Je suis un multiple de tous les nombres et je suis plus petit que $5$. Qui suis-je ? »
4. d« Je suis un diviseur de $56$, mais pas un diviseur de $28$. Je suis plus petit que $50$. Qui suis-je ? »
5. e« Je suis à la fois un diviseur de $35$ et un diviseur de $58$. Qui suis-je ? »

Ex. 8★★★Les chaises du spectacle — Pour le spectacle de l'école de Quimper, Nora installe $80$ chaises en rangées. Toutes les rangées ont le même nombre de chaises, et il ne doit pas rester de chaise.

1. aÉcris tous les diviseurs de $80$ en cherchant les paires de produits. Combien de rangements différents Nora peut-elle faire ?
2. bNora veut entre $12$ et $18$ chaises par rangée. Combien de chaises met-elle par rangée, et combien de rangées obtient-elle ?
3. cIl faut maintenant $87$ chaises. Avec des rangées de $16$, combien de rangées sont complètes, et combien de chaises restent ?
4. dCombien de chaises faut-il ajouter au moins aux $87$ pour n'avoir que des rangées complètes de $16$ ?
5. eNora dit : « $87$ n'est divisible ni par $2$ ni par $5$, donc aucun rangement de $87$ chaises en rangées égales n'est possible. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 9★★★Listes de multiples — Réponds en une ligne à chaque question.

1. aÉcris les cinq premiers multiples de $11$.
2. bÉcris tous les multiples de $12$ inférieurs à $60$.
3. cÉcris tous les multiples de $8$ compris entre $50$ et $100$.
4. dCombien y a-t-il de multiples de $25$ compris entre $120$ et $210$ ?
5. eQuel est le plus petit multiple de $15$ supérieur à $100$ ?
6. fCombien de multiples le nombre $13$ a-t-il ? Justifie.

Ex. 10★★★Tous les diviseurs d'un nombre — Cherche les paires de produits et range chaque liste dans l'ordre croissant.

1. aTrouve tous les diviseurs de $28$.
2. bÉcris $36$ de toutes les façons possibles comme produit de deux nombres, puis donne la liste de ses diviseurs.
3. cCombien de diviseurs le nombre $43$ a-t-il ? Écris-les.
4. dTrouve tous les diviseurs de $45$, puis compte-les.
5. eComplète $50 = 1 \times \ldots = 2 \times \ldots = 5 \times \ldots$, puis écris la liste des diviseurs de $50$.

Ex. 11★★★Les listes des élèves — Chaque élève s'est trompé. Explique son erreur, puis écris la bonne liste des diviseurs dans l'ordre croissant.

1. aInès : « Diviseurs de $30$ : $2$ ; $3$ ; $5$ ; $6$ ; $10$ ; $15$. »
2. bMalo : « Diviseurs de $40$ : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $10$ ; $20$ ; $40$. »
3. cLucie : « $81 = 1 \times 81 = 3 \times 27 = 9 \times 9$, donc $81$ a $6$ diviseurs. »
4. dNoah : « $22 \times 2 = 44$, donc $44$ est un diviseur de $22$. »
5. eJade écrit $21 = 1 \times 21 = 3 \times 7 = 7 \times 3$, puis continue d'essayer $8$, $9$, $10$… Que lui conseilles-tu ? Donne les diviseurs de $21$.

Ex. 12★★★Vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie par un produit ou par une liste de diviseurs.

1. a$0$ est un multiple de $17$.
2. b$14$ est un multiple de $56$.
3. c$1$ est un diviseur de $253$.
4. d$54$ a exactement $7$ diviseurs.
5. e$100$ a plus de diviseurs que $99$.

Ex. 13★★★Les rangées du gymnase — À Rennes, Mme Garnier range ses $32$ élèves en rangées égales, sans aucun élève à part. Elle veut au moins $2$ rangées et au moins $2$ élèves par rangée.

1. aÉcris la liste de tous les diviseurs de $32$.
2. bDe combien de façons peut-elle ranger ses élèves ? Décris chaque rangement.
3. cUn élève de plus arrive : il y a maintenant $33$ élèves. De combien de façons peut-elle les ranger ?
4. dAvec $33$ élèves, peut-elle faire $5$ rangées égales ? Justifie avec une division euclidienne.

Ex. 14★★★Les bus d'Annecy — À Annecy, on compte les minutes à partir de 8 h 00 (minute $0$). Le bus A passe aux minutes qui sont des multiples de $8$. Le bus B passe aux minutes qui sont des multiples de $12$.

1. aLola pense que le premier bus A passe à 8 h 08, car « le premier multiple de $8$ est $8$ ». A-t-elle raison ? Justifie.
2. bÉcris toutes les minutes comprises entre $100$ et $150$ où passe le bus A.
3. cÉcris toutes les minutes comprises entre $100$ et $150$ où passe le bus B.
4. dEntre la minute $100$ et la minute $150$, à quelles minutes les deux bus passent-ils ensemble ? Donne aussi les heures.
5. eLe bus A passe-t-il à la minute $250$ ? Justifie par une division euclidienne.

Ex. 15★★★Beaucoup ou peu de diviseurs — Pour chaque liste, cherche les paires de produits dans l'ordre et range les diviseurs dans l'ordre croissant.

1. aTrouve tous les diviseurs de $144$.
2. bCombien de diviseurs a $144$ ? Explique pourquoi ce nombre de diviseurs est impair.
3. cTrouve tous les diviseurs de $37$. Justifie chaque essai par une division euclidienne.
4. dTrouve un nombre compris entre $40$ et $60$ qui a un nombre impair de diviseurs. Écris la liste de ses diviseurs.

Ex. 16★★★Les crêpes de la kermesse — À la kermesse de Brest, Camille répartit $48$ crêpes dans des assiettes : chaque assiette reçoit le même nombre de crêpes, sans aucune crêpe à part. Hugo a écrit : « $48 = 1 \times 48 = 2 \times 24 = 3 \times 16 = 4 \times 12$. Diviseurs de $48$ : $1$ ; $48$ ; $2$ ; $24$ ; $3$ ; $16$ ; $4$ ; $12$. »

1. aExplique les deux erreurs de Hugo.
2. bÉcris la bonne liste des diviseurs de $48$ dans l'ordre croissant, puis compte-les.
3. cHugo pense qu'il faut aussi essayer $9$, $10$ et $11$ pour être sûr. A-t-il raison ? Justifie.
4. dCamille utilise entre $5$ et $10$ assiettes. Écris toutes les répartitions possibles.

Ex. 17★★★Automatismes : pair ou impair ? — Réponds en regardant le chiffre des unités.

1. a$5\,026$ est-il pair ou impair ?
2. b$70$ est-il divisible par $2$ ?
3. cQuel est le reste de la division euclidienne de $4\,869$ par $2$ ?
4. d$600\,412$ est-il pair ou impair ?
5. ePose la division euclidienne de $3\,058$ par $2$ : quel est le quotient ?
6. f$2$ est-il un diviseur de $195\,207$ ?

Ex. 18★★★Automatismes : le chiffre manquant — Le symbole $\square$ remplace un seul chiffre.

1. a$47\square$ est pair : donne toutes les valeurs possibles de $\square$.
2. bPeut-on choisir $\square$ pour que $6\square5$ soit pair ? Justifie.
3. c$90\square$ est impair : donne toutes les valeurs possibles de $\square$.
4. d$\square\,374$ est un nombre pair à $4$ chiffres : quelles valeurs peut prendre $\square$ ?

Ex. 19★★★Le plus grand, le plus petit — Avec les chiffres $5$ ; $0$ ; $7$ ; $3$, utilisés chacun une seule fois, tu écris des nombres à $4$ chiffres.

1. aÉcris le plus grand nombre pair possible.
2. bÉcris le plus petit nombre pair possible.
3. cBen écrit $7\,305$ et affirme : « C'est le plus grand nombre impair possible. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dAvec $2$ ; $9$ ; $4$ ; $1$, Lina affirme : « Le plus grand nombre pair est $9\,421$. » Trouve son erreur et corrige-la.

Ex. 20★★★Des nombres pairs qui se suivent — Des nombres pairs consécutifs sont des nombres pairs qui se suivent de $2$ en $2$, comme $36$ et $38$.

1. aÉcris les trois nombres pairs consécutifs qui viennent juste après $1\,998$.
2. bQuel est le nombre pair qui vient juste avant $50\,000$ ?
3. cLa somme de deux nombres pairs consécutifs est $146$. Trouve ces deux nombres.
4. dCombien y a-t-il de nombres pairs entre $389$ et $401$ ?

Ex. 21★★★Vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par une explication ou un contre-exemple.

1. a« Un nombre pair se termine toujours par $2$, $4$, $6$ ou $8$. »
2. b« $8\,053$ est pair, car il commence par $8$. »
3. c« Un nombre qui contient le chiffre $0$ est toujours pair. »
4. d« Le reste de la division euclidienne d'un nombre impair par $2$ est toujours $1$. »
5. e« Le nombre qui vient juste après un nombre impair est toujours pair. »

Ex. 22★★★Le nombre mystère à six chiffres — Le nombre mystère s'écrit $7\square 4\,0\square\square$. Chaque $\square$ cache un chiffre (pas forcément le même). On découvre les indices un par un.

1. aSans connaître les chiffres cachés, Hugo affirme : « Il commence par $7$, donc il est impair. » A-t-il raison ? Justifie.
2. bOn apprend que le nombre mystère est pair et que son chiffre des unités est plus grand que $6$. Quel est ce chiffre des unités ? Justifie.
3. cOn apprend enfin que les trois chiffres cachés sont égaux. Écris le nombre mystère.
4. dÉcris le nombre pair qui vient juste avant le nombre mystère, puis celui qui vient juste après.

Ex. 23★★★Chiffres cachés : combien de possibilités ? — Le symbole $\square$ remplace un chiffre. Justifie chaque réponse avec le chiffre des unités.

1. aZoé affirme : « Pour que $4\square 6$ soit pair, il faut que $\square$ soit pair. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. b$26\square$ est pair mais n'est pas divisible par $10$. Donne toutes les valeurs possibles de $\square$, puis dis combien il y en a.
3. cCombien y a-t-il de nombres pairs qui s'écrivent $8\square\square$ (les deux chiffres cachés peuvent être différents) ?
4. dDans $\square 3\square$, les deux $\square$ cachent le même chiffre. Ce nombre est pair et plus grand que $500$. Trouve toutes les possibilités.

Ex. 24★★★Les dossards du semi-marathon — Au semi-marathon de Rennes, les dossards sont numérotés de $1$ à $9\,000$. Les coureurs qui ont un dossard pair partent à $9$ h, ceux qui ont un dossard impair partent à $9$ h $15$.

1. aSofiane a le dossard $4\,107$. Il dit : « Mon numéro commence par $4$, donc je pars à $9$ h. » A-t-il raison ? Justifie.
2. bClara a le dossard $5\,270$. À quelle heure part-elle ? Justifie.
3. cLes $9\,000$ dossards sont tous distribués. Combien de coureurs partent à $9$ h ?
4. dTrois amis ont des dossards pairs qui se suivent de $2$ en $2$. La somme de leurs trois numéros est $7\,230$. Trouve leurs trois numéros.

Ex. 25★★★Le chiffre des unités décide — Réponds par oui ou non, puis justifie en regardant seulement le chiffre des unités.

1. aLe nombre $505$ est-il divisible par $10$ ?
2. bLe nombre $5\,003$ est-il divisible par $5$ ?
3. cLe nombre $8\,470$ est-il divisible par $5$ ? Est-il impair ?
4. dLe nombre $60\,035$ est-il divisible par $5$ ? par $10$ ?
5. eLe nombre $50\,050$ est-il divisible par $10$ ?
6. fLe nombre $705\,002$ est-il divisible par $5$ ?

Ex. 26★★★Diviser par 10 : quotient et reste — Le reste de la division euclidienne par $10$ est le chiffre des unités.

1. aÉcris la division euclidienne de $5\,829$ par $10$.
2. bÉcris la division euclidienne de $908$ par $10$.
3. cQuel est le reste de la division euclidienne de $72\,316$ par $10$ ?
4. dQuel est le reste de la division euclidienne de $31\,250$ par $10$ ? Que peux-tu en conclure ?
5. eLéo écrit : « $60\,004 = 10 \times 600 + 4$. » A-t-il raison ? Justifie et corrige.
6. fDans la division euclidienne d'un nombre par $10$, le quotient est $86$ et le reste est $3$. Quel est ce nombre ?

Ex. 27★★★Tableau à double condition — Complète avec « oui » ou « non », puis exploite le tableau.

1. aComplète le tableau :

   Nombre	6 315	2 490	9 562	40 005
   Divisible par 2
   Divisible par 5
   Divisible par 10

2. bQuels nombres du tableau sont divisibles par $5$ sans être divisibles par $10$ ?
3. cLina dit : « $2\,490$ est divisible par $5$, donc il est impair. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dExplique pourquoi un nombre divisible à la fois par $2$ et par $5$ se termine forcément par $0$.

Ex. 28★★★Chiffre manquant — Le symbole $\square$ remplace un chiffre. Trouve toutes les possibilités et justifie.

1. a$73\square$ est divisible par $5$ mais pas par $2$.
2. b$5\square 0$ est divisible par $10$.
3. c$1\,84\square$ est divisible par $2$ et par $5$.
4. d$9\square 5$ est divisible par $10$.

Ex. 29★★★Les tickets de la tombola — À la fête de Quimper, les tickets sont numérotés de $40\,987$ à $41\,063$. Un numéro multiple de $10$ gagne un lot. Un numéro divisible par $5$ mais pas par $10$ gagne une peluche.

1. aQuel est le plus petit numéro qui gagne un lot ?
2. bCombien de tickets gagnent un lot ?
3. cCombien de tickets gagnent une peluche ?
4. dTom a le ticket $41\,005$. Il dit : « Il y a des $0$ dans mon numéro, donc je gagne un lot. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 30★★★Les affirmations de Yanis — Pendant un contrôle à Annecy, Yanis a écrit cinq affirmations. Pour chacune, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie, et corrige quand c'est faux.

1. a« $6\,015$ se termine par $5$, donc il est divisible par $10$. »
2. b« $50\,213$ commence par $5$, donc il est divisible par $5$. »
3. c« $9\,050$ et $9\,505$ s'écrivent avec les chiffres $9$, $0$ et $5$, donc ils sont tous les deux divisibles par $10$. »
4. d« $10$ est un diviseur de $46\,800$, et $46\,800$ est un multiple de $5$. »
5. e« Le reste de la division euclidienne de $80\,346$ par $5$ est $6$, son chiffre des unités. »

Ex. 31★★★Quatre chiffres, quatre défis — Tu écris des nombres de quatre chiffres en utilisant une fois chacun des chiffres $0$ ; $5$ ; $3$ ; $8$. Un nombre ne peut pas commencer par $0$. Justifie chaque réponse.

1. aÉcris le plus grand nombre divisible par $10$.
2. bÉcris le plus petit nombre divisible par $5$ mais pas par $10$.
3. cÉcris le plus grand nombre pair qui n'est pas divisible par $5$.
4. dCombien de nombres divisibles par $10$ peux-tu écrire ? Écris-les tous.

Ex. 32★★★La coopérative d'œufs de Rodez — À la coopérative de Rodez, Inès doit ranger $3\,746$ œufs dans des boîtes. Une boîte n'est vendue que si elle est pleine.

1. aAvec des boîtes de $10$ œufs, combien de boîtes pleines obtient-elle, et combien d'œufs restent ? Écris la division euclidienne.
2. bCombien d'œufs faut-il ajouter, au minimum, pour que tous les œufs tiennent dans des boîtes de $10$ pleines ?
3. cAvec des boîtes de $5$ œufs, combien de boîtes pleines obtient-elle, et combien d'œufs restent ? Écris la division euclidienne.
4. dAvec des boîtes de $2$ œufs, reste-t-il des œufs ? Justifie sans poser la division.
5. eLe lendemain, elle reçoit entre $3\,746$ et $3\,790$ œufs. Ils se rangent sans reste en boîtes de $2$ et aussi en boîtes de $5$. Le chiffre des dizaines est $6$. Combien d'œufs a-t-elle reçus ?

Ex. 33★★★Automatismes : quotient et reste — Calcule de tête ou pose la division euclidienne.

1. aPose la division euclidienne de $59$ par $6$ et écris l'égalité.
2. bComplète : $86 = 7 \times \square + \square$.
3. cDonne le quotient et le reste de la division euclidienne de $140$ par $12$.
4. dComplète : $\square = 15 \times 6 + 4$.
5. eQuel est le reste de la division euclidienne de $213$ par $25$ ?
6. fDans une division euclidienne par $8$, le reste peut-il être $8$ ? Justifie.

Ex. 34★★★Automatismes : je lis le reste — Pose la division euclidienne, écris l'égalité, puis réponds grâce au reste.

1. a$126$ est-il divisible par $7$ ?
2. b$8$ est-il un diviseur de $156$ ?
3. c$225$ est-il un multiple de $15$ ?
4. d$12$ est-il un diviseur de $192$ ?
5. e$340$ est-il divisible par $25$ ?
6. f$14$ est-il un multiple de $98$ ?

Ex. 35★★★Repère et corrige l'erreur — Dis si chaque élève a raison, puis justifie avec une division euclidienne.

1. aInès écrit la division euclidienne de $83$ par $7$ : $83 = 7 \times 10 + 13$. A-t-elle raison ? Corrige si besoin.
2. bMalik dit : « $165$ est divisible par $15$, mais pas par $25$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cHugo dit : « Sans calculatrice, impossible de savoir si $203$ est divisible par $7$. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dSacha dit : « $9$ n'est pas un diviseur de $171$, car $9 \div 171$ ne tombe pas juste. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 36★★★Le reste pour trouver un multiple — Commence chaque fois par poser la division euclidienne, puis sers-toi du reste.

1. aQuel est le multiple de $9$ le plus proche de $130$ ?
2. bQuel nombre, le plus petit possible, faut-il retirer à $250$ pour obtenir un multiple de $7$ ? Quel multiple obtiens-tu ?
3. cQuel nombre, le plus petit possible, faut-il ajouter à $410$ pour obtenir un multiple de $12$ ? Quel multiple obtiens-tu ?
4. dQuel est le multiple de $9$ le plus proche de $610$ ?

Ex. 37★★★Ça tombe juste ? — Pour chaque situation, pose la division euclidienne, écris l'égalité et réponds par une phrase.

1. aUne ferme près d'Aurillac range $234$ œufs dans des boîtes de $12$. Toutes les boîtes sont-elles pleines ? Combien d'œufs restent-ils ?
2. bAu collège de Lens, $161$ élèves se rangent en rangées de $7$ dans la cour. Toutes les rangées sont-elles complètes ? Combien y a-t-il de rangées ?
3. cMaëlle distribue $100$ cartes à $8$ joueurs, autant à chacun. Combien de cartes reçoit chaque joueur ? Combien en reste-t-il ?
4. dÀ Nantes, un bus part du dépôt et y repasse toutes les $15$ minutes. Repassera-t-il au dépôt exactement $200$ minutes après son départ ?

Ex. 38★★★Les règles inventées — Des élèves inventent des règles pour aller plus vite. Pour chaque règle, pose les divisions euclidiennes demandées, écris les égalités, puis dis si la règle est vraie ou fausse.

1. aLéo affirme : « Un nombre qui se termine par $7$ est divisible par $7$. » Teste $147$ puis $257$, et conclus.
2. bZoé affirme : « Un nombre qui se termine par $15$ est divisible par $15$. » Teste $315$ puis $215$, et conclus.
3. cNathan affirme : « Un nombre divisible par $12$ se termine toujours par $2$. » Teste $96$ et conclus.
4. dCamille affirme : « $70$ se termine par $0$, il est divisible par $2$ et par $10$, donc il est divisible par $12$. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. ePour savoir si $7$ est un diviseur de $175$, peut-on lire seulement le chiffre des unités ? Pose la division et réponds à la question.

Ex. 39★★★La fête du sport à Quimper — Pour la fête du sport d'un collège de Quimper, $500$ élèves défilent dans le stade. Les organisateurs veulent former des rangées de $15$ élèves.

1. aPose la division euclidienne de $500$ par $15$ et écris l'égalité. Toutes les rangées sont-elles complètes ?
2. bTom écrit $500 = 15 \times 32 + 20$. Son calcul est juste, mais est-ce une division euclidienne ? Justifie.
3. cCombien d'élèves faut-il retirer, au minimum, pour que toutes les rangées de $15$ soient complètes ? Écris l'égalité obtenue.
4. dCombien d'élèves faut-il plutôt ajouter, au minimum, pour que toutes les rangées de $15$ soient complètes ? Écris l'égalité obtenue.
5. eNora tape $500 \div 25$ à la calculatrice et lit $20$. Écris l'égalité de la division euclidienne qui prouve que des rangées de $25$ seraient toutes complètes.

Ex. 40★★★Le nombre mystère de Ben — Ben pense à un nombre entier. Dans la division euclidienne de ce nombre par $9$, le quotient est $47$ et le reste est $6$.

1. aRetrouve le nombre de Ben en écrivant l'égalité de la division euclidienne.
2. bLe nombre de Ben est-il divisible par $9$ ? Justifie avec le reste.
3. cBen dit : « Si j'ajoute le reste $6$ à mon nombre, j'obtiens un multiple de $9$. » A-t-il raison ? Justifie et corrige.
4. dLou pense à un autre nombre. Dans sa division euclidienne par $9$, le quotient est aussi $47$. Quels sont le plus petit et le plus grand nombre possibles ?
5. eBen cherche maintenant un nombre de trois chiffres, plus petit que $320$, divisible par $25$ et par $12$. Écris la liste des multiples de $25$ utiles, puis teste-les.

Ex. 41★★★Paquet de plus ou objets laissés ? — Pose la division euclidienne, puis réponds à la question.

1. aOn range $50$ œufs dans des boîtes de $6$. Combien de boîtes sont pleines ?
2. b$75$ élèves partent en sortie dans des minibus de $8$ places. Combien de minibus faut-il pour emmener tout le monde ?
3. cOn distribue $100$ cartes à $7$ joueurs, autant à chacun et le plus possible. Combien de cartes a chaque joueur et combien en reste-t-il ?
4. d$45$ invités s'assoient à des tables de $4$, avec le moins de tables possible. Combien de places restent vides ?
5. eOn colle $63$ photos dans un album, $9$ par page. Combien de pages faut-il pour toutes les photos ?
6. fOn met $125$ bouteilles dans des caisses de $12$. Combien de caisses sont complètes ?

Ex. 42★★★Qui suis-je ? — Trouve le nombre. Écris les nombres possibles, puis élimine ceux qui ne conviennent pas, une condition après l'autre.

1. aJe suis un multiple de $5$ compris entre $60$ et $90$. Je suis impair et la somme de mes chiffres est $13$.
2. bJe suis un multiple de $9$ compris entre $40$ et $60$, et je suis pair.
3. cJe suis un diviseur de $36$ plus grand que $10$, et je ne suis pas un multiple de $4$.
4. dJ'ai trois chiffres et mon chiffre des centaines est $4$. Je suis divisible par $10$ et par $11$.

Ex. 43★★★La chorale en rangées — La chorale d'un collège de Quimper compte $48$ élèves. Pour le concert, Mme Diallo veut les placer en rangées égales, sans élève en trop.

1. aÉcris tous les diviseurs de $48$ à l'aide des paires de produits.
2. bElle veut au moins $2$ rangées et au moins $3$ élèves par rangée. Donne toutes les possibilités.
3. cPeut-elle faire des rangées de $10$ élèves ? Justifie avec la division euclidienne.
4. dLe jour du concert, un nouvel élève arrive. Avec les mêmes conditions, combien de possibilités reste-t-il ?

Ex. 44★★★La piscine d'Annecy — À la piscine d'Annecy, on change l'eau du petit bain tous les $6$ jours et on nettoie les vestiaires tous les $8$ jours. Aujourd'hui, le $3$ mars, les deux ont lieu le même jour.

1. aÉcris les multiples de $6$ jusqu'à $50$.
2. bÉcris les multiples de $8$ jusqu'à $50$.
3. cDans combien de jours les deux auront-ils de nouveau lieu le même jour, pour la première fois ? Quelle sera la date ?
4. dMila dit : « Ça retombe le même jour au bout de $48$ jours, car $6 \times 8 = 48$. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 45★★★Le tournoi de Valence — Au gymnase de Valence, $90$ enfants participent à un tournoi. On veut former des équipes de même effectif, sans enfant laissé de côté.

1. aPeut-on faire des équipes de $4$ enfants ? Justifie avec la division euclidienne.
2. bHugo dit : « On ne peut pas faire des équipes de $6$, car $90$ est un multiple de $10$, pas de $6$. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cOn veut exactement $5$ équipes. Combien d'enfants y a-t-il par équipe ? Et avec $5$ enfants par équipe, combien d'équipes ?
4. dDeux enfants s'en vont. Peut-on encore faire des équipes de $10$ ? Justifie.

Ex. 46★★★La sortie au musée de Brest — Un collège de Brest emmène $138$ élèves et $6$ adultes au musée. Réponds par une phrase avec l'unité.

1. aLes cars ont $50$ places. Combien de cars faut-il réserver pour tout le monde ? Justifie avec la division euclidienne.
2. bAu musée, on fait des groupes de même effectif, sans personne en trop. Lou propose des groupes de $14$ personnes. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cÉcris tous les diviseurs du nombre total de personnes à l'aide des paires de produits.
4. dLe guide veut des groupes de $10$ à $20$ personnes. Donne tous les cas possibles : nombre de groupes et nombre de personnes par groupe.

Ex. 47★★★Les trains de la gare de Tours — À la gare de Tours, un train pour Orléans part toutes les $15$ minutes et un train pour Paris toutes les $20$ minutes. À $6$ h $00$, les deux trains partent en même temps.

1. aÉcris les multiples de $15$, puis les multiples de $20$, jusqu'à $120$.
2. bAprès $6$ h $00$, à quelle heure les deux trains repartent-ils ensemble pour la première fois ?
3. cSami dit : « $90$ est un multiple de $15$, donc à $7$ h $30$ les deux trains partent ensemble. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dLéa arrive à $9$ h $10$ pour prendre le train d'Orléans. Combien de minutes s'écoulent après $6$ h $00$ ? Pose la division euclidienne par $15$.
5. eÀ quelle heure part le train d'Orléans de Léa ? Combien de minutes attend-elle ?

Ex. 48★★★Les cartes de Yanis — Yanis, qui habite à Colmar, a entre $80$ et $130$ cartes. S'il les range en paquets de $10$, il reste $4$ cartes. S'il les range en paquets de $7$, il ne reste aucune carte.

1. aExplique pourquoi le chiffre des unités du nombre de cartes est $4$.
2. bÉcris tous les nombres possibles d'après la première condition.
3. cTrouve le nombre de cartes de Yanis. Justifie en posant les divisions euclidiennes par $7$.
4. dYanis range maintenant toutes ses cartes en paquets de $5$. Combien de paquets complets obtient-il ? Combien de cartes restent hors des paquets ?