Cinquième / Arithmétique

Ex. 1★★★Automatismes : le chiffre des unités — Réponds en citant le critère de divisibilité.

1. a$3\,415$ est-il divisible par $10$ ? Justifie.
2. b$6\,027$ commence par un chiffre pair. Ce nombre est-il pair ? Justifie.
3. c$2\,764$ est divisible par $2$. Est-il aussi divisible par $10$ ? Justifie.
4. dParmi $5\,190$ ; $47\,305$ ; $812$ ; $60\,001$, lesquels sont divisibles par $5$ ?
5. eQuel est le reste de la division euclidienne de $93\,068$ par $10$ ?
6. f$708\,350$ est-il divisible par $2$, par $5$ et par $10$ ? Justifie.

Ex. 2★★★Automatismes : multiple ou diviseur ? — Vrai ou faux ? Justifie par une égalité.

1. a« Comme $91 = 7 \times 13$, $91$ est un diviseur de $7$. »
2. b« $0$ est un multiple de $23$. »
3. c« $1$ est un diviseur de $5\,873$. »
4. d« $17$ est un multiple de $17$. »
5. e« $12$ est divisible par $48$. »
6. f« $14$ est un diviseur de $98$. »

Ex. 3★★★La division euclidienne — Écris chaque division euclidienne sous la forme : dividende = diviseur × quotient + reste.

1. aPose la division euclidienne de $168$ par $7$. $168$ est-il divisible par $7$ ?
2. bQuel est le reste de la division euclidienne de $250$ par $9$ ? $250$ est-il un multiple de $9$ ?
3. c$12$ est-il un diviseur de $204$ ? Justifie par une division euclidienne.
4. dQuel est le quotient de la division euclidienne de $359$ par $13$ ? Le reste est-il nul ?
5. eDans une division euclidienne par $9$, quel est le plus grand reste possible ? Justifie.

Ex. 4★★★Chiffres manquants — Dans chaque nombre, $\square$ remplace un chiffre. Trouve toutes les valeurs possibles de $\square$ et justifie.

1. a$47\square$ est divisible par $5$.
2. b$6\,\square18$ est divisible par $2$. Combien de valeurs de $\square$ conviennent ?
3. c$81\square$ est divisible par $2$ et par $5$.
4. d$\square25$ est divisible par $10$.
5. e$2\,94\square$ est pair, mais n'est pas divisible par $10$.

Ex. 5★★★Les boîtes d'œufs d'Inès — Dans sa ferme près de Rodez, Inès a ramassé $245$ œufs. Elle veut les ranger dans des boîtes toutes de la même taille, remplies, sans qu'il reste d'œufs.

1. aPeut-elle utiliser uniquement des boîtes de $10$ œufs ? Justifie.
2. bPeut-elle utiliser uniquement des boîtes de $5$ œufs ? Si oui, combien de boîtes lui faut-il ?
3. cAvec des boîtes de $12$ œufs, combien de boîtes peut-elle remplir, et combien d'œufs reste-t-il ?
4. dCombien d'œufs doit-elle ramasser en plus, au minimum, pour remplir exactement des boîtes de $12$ ?

Ex. 6★★★Le carnet d'Elio — À Annecy, Elio a noté cinq phrases dans son carnet de maths. Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par un critère, une égalité ou un contre-exemple.

1. a« $347 = 8 \times 42 + 11$, donc le reste de la division euclidienne de $347$ par $8$ est $11$. »
2. b« Le produit $4\,017 \times 5$ est divisible par $10$. »
3. c« La somme de deux nombres impairs est toujours impaire. »
4. d« $6$ est un diviseur de $0$, mais $0$ n'est pas un diviseur de $6$. »
5. e« Dans la division euclidienne de $1\,000$ par $7$, le quotient est $142$.
   Donc $994$ est un multiple de $7$. »

Ex. 7★★★Le nombre mystère de Ben — Ben pense à un nombre de trois chiffres qui s'écrit $7\square\square$. Ce nombre est divisible par $2$ et par $5$.

1. aQuel est le chiffre des unités de ce nombre ? Justifie avec les deux critères.
2. bCombien de nombres conviennent ? Écris-les tous.
3. cLina ajoute une condition : le nombre n'est pas divisible par $10$. Elle affirme qu'il reste des solutions. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dOn oublie la condition de Lina. Le nombre est aussi divisible par $7$, et son chiffre des dizaines n'est pas $0$. Trouve-le en posant des divisions euclidiennes.
5. eÉcris une égalité avec ce nombre et $7$, puis complète : « ce nombre est un … de $7$ et $7$ est un … de ce nombre ».

Ex. 8★★★Le tableau de Yanis — À Brest, Yanis a rempli ce tableau de divisibilité, mais il a fait plusieurs erreurs. Vérifie son travail.

1. aVérifie la ligne de $506\,385$ et corrige-la si besoin, en citant les critères.
2. bPour $860\,121$, Yanis explique : « Il commence par $8$, donc il est pair. » Que lui réponds-tu ?
3. cPour $37\,418$, Yanis dit : « Il est pair, donc il est divisible par $10$. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dPour $0$, Yanis a mis « non » partout. A-t-il raison ? Justifie par des égalités.
5. eYanis ajoute deux nombres de six chiffres : l'un avec « non », « oui », « non », l'autre avec « oui », « non », « non ». Propose-les et justifie.

Ex. 9★★★Automatismes : compléter les produits — Complète chaque égalité par le nombre entier qui convient.

Ex. 10★★★Automatismes : est-ce un diviseur ? — Réponds et justifie avec un critère de divisibilité ou une division euclidienne.

1. a$4$ est-il un diviseur de $95$ ?
2. b$7$ est-il un diviseur de $119$ ?
3. c$57$ est-il divisible par $3$ ?
4. d$74$ est-il un multiple de $9$ ?
5. e$68$ est-il un multiple de $5$ ?
6. f$98$ est-il divisible par $7$ ?

Ex. 11★★★Trois listes de diviseurs — Pour chaque nombre, écris toutes les paires de produits, puis la liste de ses diviseurs rangée dans l'ordre croissant.

1. aÉcris tous les diviseurs de $64$.
2. bÉcris tous les diviseurs de $75$.
3. cÉcris tous les diviseurs de $53$.
4. dLequel de ces trois nombres a le plus de diviseurs ? Combien en a-t-il ?

Ex. 12★★★Les listes de Léna et de Hugo — Léna a écrit : « diviseurs de $72$ : $36$ ; $2$ ; $18$ ; $3$ ; $24$ ; $4$ ; $12$ ; $6$ ». Hugo a écrit : « diviseurs de $81$ : $1$ ; $3$ ; $9$ ; $9$ ; $27$ ; $81$ ».

1. aQuels diviseurs de $72$ Léna a-t-elle oubliés ? Justifie avec des paires de produits.
2. bÉcris la liste complète des diviseurs de $72$ dans l'ordre croissant, puis compte-les.
3. cQuelle erreur Hugo a-t-il faite ? Explique-la.
4. dVérifie que Hugo n'a oublié aucun diviseur de $81$, puis donne le nombre exact de ses diviseurs.

Ex. 13★★★Les chaises de la salle des fêtes — Samir doit ranger $96$ chaises en rangées qui ont toutes le même nombre de chaises, sans qu'il en reste.

1. aÉcris tous les diviseurs de $96$ dans l'ordre croissant.
2. bSamir veut autant de rangées que de chaises par rangée. Est-ce possible ? Justifie.
3. cIl veut au moins $2$ rangées et au moins $2$ chaises par rangée. Combien de rangements a-t-il ?
4. dIl veut entre $5$ et $10$ rangées. Donne toutes les possibilités, avec le nombre de chaises par rangée.

Ex. 14★★★Le défi d'Inès : deux diviseurs seulement ? — Inès affirme : « $91$ n'a que deux diviseurs, $1$ et $91$, car il n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$. »

1. aInès a-t-elle raison ? Justifie avec une division euclidienne.
2. bÉcris tous les diviseurs de $91$ dans l'ordre croissant, puis compte-les.
3. cParmi $77$, $79$ et $87$, un seul nombre n'a que deux diviseurs. Lequel ? Justifie pour chacun des trois nombres.
4. dTrouve le plus grand nombre inférieur à $100$ qui n'a que deux diviseurs. Justifie.

Ex. 15★★★Un nombre pair de diviseurs ? — Tom affirme : « Les diviseurs vont toujours par paires, donc un nombre a toujours un nombre pair de diviseurs. »

1. aÉcris toutes les paires de produits égaux à $90$, puis la liste de ses diviseurs. Combien en a-t-il ?
2. bFais de même pour $100$ : paires de produits, liste des diviseurs, nombre de diviseurs.
3. cTom a-t-il raison ? Justifie avec un contre-exemple.
4. dÉcris tous les diviseurs de $121$ en justifiant chaque essai, puis compte-les.
5. eSans écrire la liste, explique pourquoi $144$ a un nombre impair de diviseurs.

Ex. 16★★★Les bouquets de Clara — Clara est fleuriste à Nantes. Elle a reçu $84$ roses. Elle veut faire des bouquets qui ont tous le même nombre de roses, sans qu'il en reste.

1. aÉcris tous les diviseurs de $84$ dans l'ordre croissant. Justifie chaque essai.
2. bClara veut un nombre impair de roses par bouquet, et au moins $2$ roses par bouquet. Donne toutes les possibilités, avec le nombre de bouquets.
3. cElle veut entre $10$ et $20$ roses par bouquet. Donne toutes les possibilités et, pour chacune, le nombre de bouquets.
4. dClara reçoit aussi $60$ tulipes. Écris tous les diviseurs de $60$ dans l'ordre croissant.
5. eElle veut le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes les roses et toutes les tulipes. Combien de bouquets ? Que contient chacun ?

Ex. 17★★★Automatismes : multiples communs — Réponds à chaque question en t'aidant des tables de multiplication.

1. aÉcris les multiples de $15$ jusqu'à $90$, puis indique ceux qui sont aussi des multiples de $6$.
2. bLina dit : « Le plus petit multiple commun non nul de $10$ et $14$ est leur produit, $140$. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. c$0$ est-il un multiple commun de $7$ et de $11$ ? Justifie, puis donne leur plus petit multiple commun non nul.
4. dCite trois multiples communs de $8$ et de $12$.
5. eLe produit $9 \times 21 = 189$ est-il un multiple commun de $9$ et de $21$ ? Est-ce le plus petit non nul ? Justifie.
6. fTrouve le plus petit multiple commun non nul de $17$ et de $51$.

Ex. 18★★★Automatismes : diviseurs communs — Réponds à chaque question en écrivant les listes de diviseurs nécessaires.

1. aÉcris tous les diviseurs de $20$ et tous ceux de $28$, puis leurs diviseurs communs.
2. bQuel nombre est un diviseur commun à tous les nombres ? Justifie.
3. cTrouve le plus grand diviseur commun de $13$ et de $52$.
4. dTrouve tous les diviseurs communs de $8$ et de $15$.
5. eTom écrit les diviseurs de $18$ et seulement le début de ceux de $24$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$. Il conclut que leur plus grand diviseur commun est $3$. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 19★★★Les deux phares de Brest — Près de Brest, le phare A s'allume toutes les $8$ secondes et le phare B toutes les $20$ secondes. Margaux les voit s'allumer ensemble à $22$ h pile.

1. aMargaux calcule $8 \times 20$. Montre que les deux phares s'allument ensemble au bout de ce nombre de secondes.
2. bMargaux pense que c'est la première fois qu'ils s'allument de nouveau ensemble. Trouve le vrai premier moment en parcourant la table de $20$.
3. cCombien de fois s'allument-ils ensemble après $22$ h et jusqu'à $22$ h $02$ min (compris) ?
4. dÀ quelle heure s'allument-ils ensemble pour la $5^{e}$ fois après $22$ h ?

Ex. 20★★★Les sachets d'Inès — À Lyon, Inès a $42$ caramels et $56$ sucettes. Elle veut préparer des sachets identiques en utilisant tous les bonbons, sans aucun reste.

1. aPeut-elle préparer $7$ sachets ? Si oui, que contient chaque sachet ? Justifie.
2. bPeut-elle préparer $4$ sachets ? Justifie avec une division euclidienne.
3. cÉcris tous les diviseurs de $42$ et tous ceux de $56$, puis tous les nombres de sachets possibles.
4. dSon frère dit : « Pour faire le plus de sachets, je cherche le plus petit multiple commun de $42$ et $56$. » A-t-il raison ? Donne le nombre maximal de sachets et leur contenu.

Ex. 21★★★Le jeu de cartes de Ben — Ben peut ranger toutes ses cartes en paquets de $6$, ou en paquets de $10$, ou en paquets de $12$, sans qu'il reste de carte. Il a entre $100$ et $150$ cartes.

1. aÉcris les multiples de $12$ jusqu'à $144$.
2. bParmi eux, lesquels sont à la fois des multiples de $6$ et de $10$ ? Justifie.
3. cQuel est le plus petit multiple commun non nul de $6$, $10$ et $12$ ?
4. dCombien Ben a-t-il de cartes ? Combien de paquets de $6$ peut-il faire ?

Ex. 22★★★Le cahier d'erreurs de Lucas — Lucas a écrit des phrases sur les multiples communs et les diviseurs communs. Pour chacune, dis s'il a raison et justifie. S'il se trompe, corrige-le.

1. a« Le plus petit multiple commun non nul de $22$ et de $33$ est $0$, car $0 = 22 \times 0 = 33 \times 0$. »
2. b« $25$ et $18$ n'ont aucun diviseur commun. »
3. c« Diviseurs de $32$ : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $8$ ; $16$ ; $32$. Diviseurs de $80$ : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $5$ ; $8$ ; $10$.
   Donc le plus grand diviseur commun est $8$. »
4. d« Le plus petit multiple commun non nul de $19$ et de $76$ est $19 \times 76 = 1\,444$. »
5. e« $14 \times 21 = 294$ n'est pas un multiple commun de $14$ et de $21$, car le plus petit multiple commun non nul est $42$. »

Ex. 23★★★Les navettes du port de Sète — À Sète, la navette bleue part du quai toutes les $20$ minutes et la navette verte toutes les $25$ minutes. Elles partent ensemble à $9$ h. Le service s'arrête à $14$ h.

1. aTrouve le plus petit multiple commun non nul de $20$ et de $25$ en parcourant la table de $25$.
2. bÀ quelle heure les deux navettes repartiront-elles ensemble pour la première fois après $9$ h ?
3. cDonne tous les horaires où elles partent ensemble, de $9$ h à $14$ h compris. Justifie.
4. dLe soir, Hugo range $20$ gilets rouges et $25$ gilets jaunes dans des caisses identiques, sans reste. Il dit : « Il faut $100$ caisses. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eCombien de caisses Hugo peut-il remplir au maximum ? Que contient alors chaque caisse ?

Ex. 24★★★Le carrelage de Malo — À Rennes, Malo pose des carreaux carrés sur des surfaces rectangulaires. Il veut des carreaux tous identiques, sans en couper aucun. Les côtés des carreaux sont des nombres entiers de centimètres.

1. aSa table basse mesure $84$ cm sur $60$ cm. Peut-il utiliser des carreaux de $8$ cm de côté ? Justifie par une division euclidienne.
2. bÉcris tous les diviseurs de $84$ et tous ceux de $60$ par paires de produits, puis leurs diviseurs communs.
3. cQuel est le plus grand carreau possible pour la table basse ? Combien en faut-il ?
4. dSon plan de travail mesure $48$ cm sur $96$ cm. Quel est le plus grand carreau possible ? Combien en faut-il ? Justifie.
5. eUne crédence mesure $35$ cm sur $64$ cm. Quel est le plus grand carreau possible ? Combien en faut-il ?

Ex. 25★★★Automatismes : divisible par 3 ? — Le nombre est-il divisible par $3$ ? Justifie avec la somme des chiffres.

Ex. 26★★★Automatismes : par 9, et donc par 3 ? — Le nombre est-il divisible par $9$ ? Est-il divisible par $3$ ? Justifie. Pour un grand nombre, tu peux appliquer le critère à la somme elle-même.

Ex. 27★★★Tableau de divisibilité et conditions combinées — Réponds par oui ou non dans chaque case.

1. aComplète le tableau. Pour $3$ et $9$, écris la somme des chiffres de chaque nombre.
2. bQuel nombre du tableau est divisible à la fois par $2$ et par $9$ ? Justifie.
3. cQuel nombre est divisible par $3$ et par $5$, mais pas par $9$ ? Justifie.
4. dQuel nombre du tableau est divisible par $10$ ? Justifie.

Ex. 28★★★Chiffres manquants — Le symbole $\square$ remplace un chiffre (de $0$ à $9$). Trouve toutes les solutions et écris les nombres obtenus.

1. a$5\square2$ est divisible par $3$.
2. b$38\square5$ est divisible par $9$.
3. c$6\square21$ est divisible par $9$.
4. d$30\square\,152$ est divisible par $3$.

Ex. 29★★★Ont-ils raison ? — Chaque élève fait une affirmation. A-t-il raison ? Justifie et corrige si besoin.

1. aInès : « $6\,523$ se termine par $3$, donc il est divisible par $3$. »
2. bMalik : « La somme des chiffres de $1\,926$ vaut $18$, donc $1\,926 \div 9 = 18$. »
3. cChloé : « $5\,736$ est divisible par $3$, donc il est aussi divisible par $9$. »
4. dYanis : « Pour $26\,154$, je calcule $2 + 6 + 1 + 5 = 14$ : ce nombre n'est pas divisible par $3$. »
5. eSofia : « $4\,581$ est divisible par $9$, donc $8\,154$ l'est aussi, car il a les mêmes chiffres. »

Ex. 30★★★Nombres mystères à plusieurs conditions — Le symbole $\square$ remplace un chiffre (de $0$ à $9$). Trouve toutes les solutions et justifie qu’il n’y en a pas d’autres.

1. a$\square4\square$ est divisible par $9$. Les deux $\square$ cachent le même chiffre.
2. b$7\,48\square$ est divisible par $5$ et par $3$.
3. c$3\,61\square$ est divisible par $2$ et par $9$.
4. dJe suis un nombre de trois chiffres. Mon chiffre des centaines est $5$, celui des unités est $0$. Je suis divisible par $3$ mais pas par $9$. Qui suis-je ?

Ex. 31★★★Problème : les sachets du confiseur — À Lille, le confiseur Hugo a $2\,574$ bonbons. Il veut les répartir en sachets qui contiennent tous le même nombre de bonbons, sans qu’il en reste.

1. aPeut-il faire des sachets de $2$ bonbons ? de $3$ bonbons ? de $5$ bonbons ? Justifie chaque réponse.
2. bPeut-il faire des sachets de $9$ bonbons ? Si oui, combien de sachets obtient-il ? Justifie.
3. cHugo reçoit entre $1$ et $9$ bonbons de plus. Il peut encore faire des sachets de $3$, mais pas de $9$. Combien de bonbons a-t-il pu recevoir ?
4. dPour un salon, Hugo prévoit $687\,495$ bonbons. Peut-il faire des sachets de $3$ ? de $9$ ? Applique le critère à la somme elle-même.

Ex. 32★★★Vrai ou faux ? Justifie — Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse. Justifie avec le critère, une division ou un contre-exemple.

1. a« Un nombre divisible par $3$ et par $5$ se termine forcément par $5$. »
2. b« Un nombre de trois chiffres identiques, comme $555$, est toujours divisible par $3$. »
3. c« Un nombre divisible par $9$ est toujours divisible par $3$. »
4. d« $888\,888$ n’est pas divisible par $9$, donc il n’est pas divisible par $3$ non plus. »
5. e« Il y a exactement trois façons de remplacer $\square$ pour que $8\,1\square0$ soit divisible par $3$. »

Ex. 33★★★Automatismes : le critère de divisibilité par 4 — Ce critère est un complément au programme. Réponds à chaque question avec le critère des deux derniers chiffres.

1. a$9\,524$ est-il divisible par $4$ ? Justifie.
2. b$4$ est-il un diviseur de $3\,150$ ? Justifie.
3. c$2\,734$ est-il un multiple de $4$ ? Justifie.
4. d$40\,708$ est-il dans la table de $4$ ? Justifie.
5. ePeut-on partager $612$ billes en $4$ parts égales, sans reste ? Justifie.
6. f$135\,792$ est-il divisible par $4$ ? Justifie.

Ex. 34★★★Automatismes : chiffre manquant et divisibilité par 4 — Dans chaque nombre, $\square$ remplace un seul chiffre. Le nombre doit être divisible par $4$. Ce critère est un complément au programme.

1. aQuels chiffres peux-tu écrire à la place de $\square$ dans $7\,4\square8$ ?
2. bLe chiffre des centaines de $6\,\square32$ est effacé. Quels chiffres conviennent ? Donne toutes les solutions.
3. cQuel peut être le chiffre des unités de $2\,58\square$ ? Donne toutes les solutions.
4. dCombien de chiffres conviennent pour $95\square$ ? Lesquels ?
5. eComplète $60\,0\square2$ de toutes les façons possibles.
6. fMalo cherche un chiffre $\square$ pour que $4\,3\square5$ soit divisible par $4$. Est-ce possible ? Justifie.

Ex. 35★★★Tous les critères dans un tableau — Réponds par oui ou par non dans chaque case. Le critère par $4$ est un complément au programme.

1. aComplète le tableau et cite le critère que tu utilises pour chaque colonne.
2. bLequel de ces nombres est pair sans être divisible par $4$ ? Justifie.
3. cLesquels de ces nombres sont divisibles à la fois par $2$ et par $5$ ? Justifie.
4. dQuel nombre du tableau est divisible à la fois par $2$, $3$, $4$, $5$, $9$ et $10$ ? Justifie.

Ex. 36★★★Vrai ou faux sur le critère par 4 — Le critère par $4$ est un complément au programme. Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie. Si c'est faux, donne un contre-exemple.

1. aThéo affirme : « Tout nombre pair est divisible par $4$. » Vrai ou faux ? Justifie.
2. b« Tout nombre divisible par $4$ est aussi divisible par $2$. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cInès dit : « Un nombre qui se termine par $6$ n'est jamais divisible par $4$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. d« Un nombre divisible par $4$ et par $5$ se termine forcément par $0$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 37★★★Nombres mystères à plusieurs conditions — Utilise ensemble les critères de divisibilité (le critère par $4$ est un complément au programme). Justifie chaque réponse.

1. aQuel est le plus petit nombre pair de trois chiffres qui n'est pas divisible par $4$ ?
2. bQuel est le plus petit nombre de quatre chiffres divisible à la fois par $4$ et par $9$ ?
3. cQuel est le plus grand nombre de trois chiffres divisible à la fois par $3$, par $4$ et par $5$ ?
4. dJe m'écris $24\square8$, je suis divisible par $4$ et par $9$. Qui suis-je ?

Ex. 38★★★Le cahier de Lina — Lina a écrit ces phrases sur les critères de divisibilité. Le critère par $4$ est un complément au programme. Pour chaque phrase, dis si Lina a raison et justifie avec le bon critère. Si elle se trompe, corrige.

1. a« $503\,514$ se termine par $4$, donc il est divisible par $4$. » A-t-elle raison ? Justifie.
2. b« La somme des chiffres de $2\,330$ vaut $8$, qui est dans la table de $4$, donc $2\,330$ est divisible par $4$. » A-t-elle raison ? Justifie.
3. c« $62\,104$ se termine par $04$. Ce n'est pas un vrai nombre de deux chiffres, donc je ne peux pas utiliser le critère par $4$. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. d« $7\,252$ est divisible par $4$, donc il est divisible par $2$. Et $7\,254$ est divisible par $2$, donc il est divisible par $4$. » Vrai ou faux pour chaque partie ? Justifie.

Ex. 39★★★Le code du coffre — Au club de jeux de cartes de Brest, le code du coffre est le nombre $29\,1\square6$, où $\square$ remplace un seul chiffre. Le critère par $4$ est un complément au programme.

1. aQuels chiffres peux-tu écrire à la place de $\square$ pour que le code soit divisible par $4$ ? Donne-les tous.
2. bParmi ces chiffres, lesquels rendent aussi le code divisible par $3$ ? Justifie.
3. cLe code doit être divisible par $4$ et par $9$. Trouve-le, puis écris-le sous la forme $9 \times q$.
4. dLe code peut-il être aussi divisible par $5$ ? Et par $10$ ? Justifie.

Ex. 40★★★Les chaises du concert — Pour un concert à Rouen, on installe entre $2\,000$ et $2\,100$ chaises. On veut pouvoir les ranger en rangées de $4$ chaises, et aussi en rangées de $9$ chaises, sans qu'il reste de chaise. Le critère par $4$ est un complément au programme.

1. aLe régisseur propose $2\,044$ chaises, car $44$ est dans la table de $4$. Ce nombre convient-il ? Justifie.
2. bÉcris tous les nombres compris entre $2\,000$ et $2\,100$ qui sont divisibles par $9$.
3. cParmi ces nombres, lesquels permettent aussi les rangées de $4$ ? Justifie avec le critère par $4$.
4. dQuel est le plus petit nombre de chaises possible ? Écris-le sous la forme $4 \times \ldots$, puis $9 \times \ldots$.
5. eOn voudrait aussi pouvoir faire des rangées de $10$ chaises. Est-ce possible ? Justifie.

Ex. 41★★★Automatismes : multiple commun ou diviseur commun ? — Pour chaque situation, dis s'il faut chercher un multiple commun ou un diviseur commun. Justifie en une phrase.

1. aDeux phares clignotent, l'un toutes les $10$ s, l'autre toutes les $14$ s. On cherche quand ils clignoteront de nouveau ensemble.
2. bLina range $60$ feutres et $42$ crayons dans des trousses identiques, sans qu'il en reste.
3. cSacha empile des cubes de $4$ cm d'un côté et des cubes de $6$ cm de l'autre. Il veut deux piles de même hauteur.
4. dUne couturière découpe un tissu de $210$ cm sur $150$ cm en carrés identiques, les plus grands possibles, sans chute.
5. eDeux coureurs partent ensemble. L'un fait un tour de piste en $3$ min, l'autre en $5$ min. On cherche quand ils repasseront ensemble sur la ligne.
6. fUn pâtissier veut faire le plus grand nombre de plateaux identiques avec $24$ éclairs et $30$ macarons.

Ex. 42★★★Automatismes : sans reste ou pas ? — Réponds en justifiant par un critère de divisibilité ou par une division euclidienne.

1. aPeut-on planter $84$ arbres en rangées complètes de $7$ ?
2. bOn met $130$ œufs dans des boîtes de $6$. Toutes les boîtes seront-elles pleines ?
3. cOn distribue $96$ cartes à $5$ joueurs, autant à chacun. Reste-t-il des cartes ?
4. dLe partage de $117$ élèves en équipes de $9$ tombe-t-il juste ?
5. ePeut-on vendre $2\,350$ billes en sachets de $10$ sans qu'il en reste ?
6. fUn fleuriste fait des bouquets de $3$ tulipes avec $245$ tulipes. Lui en reste-t-il ?

Ex. 43★★★Les ferries de Marseille — À Marseille, le ferry A part toutes les $18$ min et le ferry B toutes les $30$ min. Ce matin, ils sont partis ensemble à $7$ h.

1. aÉcris les multiples non nuls de $30$ inférieurs ou égaux à $180$.
2. bTeste ces multiples dans l'ordre par une division par $18$ pour trouver le plus petit multiple commun non nul de $18$ et de $30$.
3. cLe ferry A part-il à $7$ h $54$ ? Et le ferry B ? Justifie par des divisions euclidiennes.
4. dÀ quelle heure les deux ferries repartent-ils ensemble pour la première fois après $7$ h ?
5. eÀ quelle heure repartent-ils ensemble la fois suivante ?

Ex. 44★★★Les sachets de bonbons d'Inès — Inès a $72$ caramels et $120$ chocolats. Elle veut faire des sachets de bonbons identiques en utilisant tous les bonbons, sans reste.

1. aÉcris tous les diviseurs de $72$ en cherchant les paires de produits.
2. bÉcris tous les diviseurs de $120$ de la même façon.
3. cQuel est le plus grand nombre de sachets qu'elle peut faire ? Justifie avec les diviseurs communs.
4. dCombien de caramels et combien de chocolats y a-t-il alors dans chaque sachet ?
5. eSon frère propose de faire $9$ sachets. Est-ce possible ? Justifie.

Ex. 45★★★Les chaises de la salle de Lille — À Lille, Noah compte les chaises d'une salle de spectacle. Leur nombre est compris entre $220$ et $260$. C'est un multiple de $9$, il est pair et il ne se termine pas par $2$.

1. aÉcris tous les multiples de $9$ compris entre $220$ et $260$.
2. bUtilise les deux autres conditions pour trouver le nombre de chaises.
3. cVérifie ta réponse avec le critère de divisibilité par $9$, puis conclus par une phrase.
4. dNoah peut-il placer toutes les chaises en rangées complètes de $12$ ? Justifie.
5. eEt en rangées complètes de $18$ ? Si oui, combien de rangées obtient-il ?

Ex. 46★★★Le carrelage de la salle de bains de Hugo — À Rennes, Hugo veut carreler un mur rectangulaire de $96$ cm sur $156$ cm. Il veut des carreaux carrés, tous identiques, dont le côté est un nombre entier de centimètres. Il ne veut faire aucune découpe.

1. aExplique pourquoi le côté d'un carreau doit être un diviseur commun de $96$ et de $156$. Ce n'est pas un multiple commun.
2. bLéa propose des carreaux de $8$ cm de côté. Est-ce possible sans découpe ? Justifie par deux divisions euclidiennes.
3. cÉcris tous les diviseurs de $96$, puis tous les diviseurs de $156$, en cherchant les paires de produits.
4. dQuel est le côté des plus grands carreaux possibles ? Combien de carreaux Hugo doit-il alors poser ? Conclus par une phrase.

Ex. 47★★★Le train et le car de la gare de Bordeaux — À la gare de Bordeaux, Malik observe les départs. Un train part toutes les $25$ min et un car toutes les $40$ min. Ce matin, ils sont partis ensemble à $7$ h. Les départs continuent ainsi toute la journée.

1. aÀ $9$ h $40$, le train et le car partent-ils ensemble ? Justifie avec des divisions euclidiennes.
2. bTrouve le plus petit multiple commun non nul de $25$ et de $40$ en parcourant la table de $40$.
3. cÀ quelle heure le train et le car repartent-ils ensemble pour la première fois après $7$ h ?
4. dZoé affirme : « Ils repartent ensemble pour la première fois au bout de $25 \times 40 = 1\,000$ min. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eCombien de fois partent-ils ensemble entre $7$ h et $20$ h, en comptant le départ de $7$ h ? Donne les horaires.

Ex. 48★★★Le tournoi de handball de Nantes — À Nantes, Camille organise un tournoi avec $48$ filles et $64$ garçons. Toutes les équipes doivent être identiques : même nombre de filles et même nombre de garçons. Tout le monde joue.

1. aCamille peut-elle former $6$ équipes identiques ? Justifie avec des divisions euclidiennes.
2. bQuel est le plus grand nombre d'équipes identiques possible ? Combien de filles et de garçons y a-t-il dans chaque équipe ?
3. cLes spectateurs sont entre $250$ et $400$. On peut les placer en rangées complètes de $10$, et aussi en rangées complètes de $12$. Leur nombre n'est pas divisible par $9$. Combien sont-ils ?
4. dVérifie ta réponse précédente par deux divisions de reste nul et un critère, puis conclus par une phrase.