Quatrième / Arithmétique

Ex. 1★★★Division euclidienne et reste — Écris la division euclidienne sous la forme $a = b \times q + r$, puis dis si $a$ est divisible par $b$.

Ex. 2★★★Multiple ou diviseur ? — Vrai ou faux ? Justifie par un produit ou une division.

1. a$56$ est un multiple de $8$.
2. b$9$ est un multiple de $63$.
3. c$13$ est un diviseur de $91$.
4. d$117$ est un diviseur de $9$.
5. e$0$ est un multiple de $14$.
6. f$84$ est divisible par $2$ et par $4$, donc $84$ est divisible par $8$.

Ex. 3★★★Tableau des critères — Complète le tableau par oui ou non, en citant le critère utilisé.

1. aComplète la ligne de $2\,538$.
2. bComplète la ligne de $1\,734$.
3. cComplète la ligne de $3\,816$.
4. dComplète la ligne de $4\,273$.
5. eComplète la ligne de $5\,019$.

Ex. 4★★★Chiffre manquant — Dans chaque nombre, le symbole ? remplace un chiffre. Trouve toutes les valeurs possibles et justifie.

1. a$7?2$ doit être divisible par $9$.
2. b$31?$ doit être divisible par $6$.
3. c$2\,5?6$ doit être divisible par $4$.
4. d$1\,?35$ doit être divisible par $15$.

Ex. 5★★★Listes de diviseurs — Pour trouver les diviseurs d'un nombre, cherche les produits égaux à ce nombre en essayant $1$, $2$, $3$… dans l'ordre.

1. aÉcris tous les diviseurs de $78$.
2. bPaul range $78$ cartes en paquets égaux, avec au moins $2$ paquets et au moins $2$ cartes par paquet. Combien de rangements différents peut-il faire ?
3. cInès donne les diviseurs de $100$ : $2$ ; $4$ ; $5$ ; $10$ ; $20$ ; $25$ ; $50$. Corrige sa liste.
4. dHugo écrit : « $96 = 1 \times 96 = 2 \times 48 = 3 \times 32 = 4 \times 24 = 6 \times 16$, j'ai fini. » A-t-il raison ? Justifie et donne la liste complète.

Ex. 6★★★Les affirmations de Lina — Lina a écrit cinq affirmations. Pour chacune, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie avec un critère, une division ou un produit. Si elle est fausse, corrige-la.

1. a« $2\,618$ est pair, donc $2\,618$ est divisible par $4$. »
2. b« $4\,213$ se termine par $3$, donc $4\,213$ est divisible par $3$. »
3. c« $3\,474$ est divisible par $2$ et par $6$, donc $3\,474$ est divisible par $12$. »
4. d« $2\,354$ est pair, donc $2\,354$ est divisible par $6$. »
5. e« $5\,436$ est divisible par $9$, donc $5\,436$ est aussi divisible par $3$. »

Ex. 7★★★La photo de classe — Pour la photo du collège, Samir doit placer $138$ élèves en rangées complètes. Toutes les rangées doivent avoir le même nombre d'élèves.

1. a$138$ est divisible par $3$. Samir en conclut qu'il peut faire des rangées de $9$ élèves. A-t-il raison ? Justifie avec un critère.
2. bPose la division euclidienne de $138$ par $9$. Avec des rangées de $9$, combien d'élèves faudrait-il ajouter pour compléter la dernière rangée ?
3. cÉcris tous les diviseurs de $138$. Pour cela, cherche les produits égaux à $138$ en essayant $1$, $2$, $3$… dans l'ordre.
4. dBen veut des rangées de $10$ à $30$ élèves. Quelles rangées sont possibles, et combien y en aura-t-il ?
5. eSamir écrit : « $6$ est un multiple de $138$. » Corrige sa phrase de deux façons.

Ex. 8★★★Le code du cadenas — Zoé a oublié le code de son cadenas. C'est un nombre de trois chiffres qui s'écrit $4?5$ : le symbole ? remplace le chiffre des dizaines. Elle dispose de plusieurs indices.

1. aPremier indice : le code est divisible par $9$. Trouve toutes les valeurs possibles du code.
2. bSon frère affirme que le code est divisible par $6$. Montre qu'il se trompe, quelle que soit la valeur de ?.
3. cDeuxième indice : le code est divisible par $11$. Pose la division euclidienne par $11$ de chaque valeur trouvée, puis donne le code.
4. dLe code est-il un multiple de $15$ ? Justifie avec deux critères. Si oui, écris-le sous la forme $15 \times q$.

Ex. 9★★★Automatismes : premier ou pas ? — Réponds en une ligne.

1. aCombien de diviseurs le nombre $1$ a-t-il ? Est-il premier ?
2. bQuel est le seul nombre premier pair ?
3. cDonne la liste des diviseurs de $37$.
4. dDonne la liste des diviseurs de $49$. Ce nombre est-il premier ou composé ?
5. ePour tester si $89$ est premier, quels nombres premiers suffit-il d’essayer ?
6. fCombien y a-t-il de nombres premiers inférieurs à $100$ ?

Ex. 10★★★Le plus petit diviseur premier — Donne le plus petit diviseur premier de chaque nombre. Essaie $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ dans l’ordre.

Ex. 11★★★Le crible de Lina — Lina applique le crible d’Ératosthène aux nombres de $1$ à $100$.

1. aQuel nombre Lina barre-t-elle en tout premier ? Pourquoi ?
2. bElle a barré les multiples de $2$, $3$ et $5$. Quel est le plus petit nombre composé qui n’est pas encore barré ?
3. cAprès avoir barré les multiples de $7$, Lina s’arrête. Explique pourquoi elle peut s’arrêter.
4. dAvant de barrer les multiples de $7$, son frère dit : « $91$ n’est pas barré et se termine par $1$, donc il est premier. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eÀ la fin, combien de nombres restent non barrés entre $90$ et $100$ ? Justifie.

Ex. 12★★★Tester jusqu’au bout — Pour tester un nombre, utilise les critères de divisibilité puis la division posée en ligne.

1. a$101$ est-il premier ? Justifie et précise à quel nombre tu t’arrêtes.
2. b$299$ est-il premier ? Justifie.
3. cTrouve le nombre compris entre $300$ et $350$ qui est le produit de deux nombres premiers qui se suivent ($2$ et $3$, $3$ et $5$…). Justifie.
4. dTrouve le plus petit nombre premier plus grand que $120$. Justifie.

Ex. 13★★★Vrai ou faux ? — Vrai ou faux ? Justifie par un calcul ou un contre-exemple.

1. aTout nombre impair plus grand que $1$ est premier.
2. bLe produit de deux nombres premiers est encore un nombre premier.
3. cUn nombre composé a au moins trois diviseurs.
4. dAucun nombre premier ne se termine par $5$.
5. e$57$ est premier, car il n’est divisible ni par $2$, ni par $5$, ni par $7$.

Ex. 14★★★L’erreur de Noé — Noé teste le nombre $221$. Il écrit : « J’essaie $2$, $3$, $5$, $7$ et $11$. Aucune division ne tombe juste, donc $221$ est premier. »

1. aVérifie que $221$ n’est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$, ni par $11$.
2. bExplique pourquoi Noé n’avait pas le droit de s’arrêter à $11$.
3. cTermine le test de $221$. Le nombre $221$ est-il premier ? Justifie.
4. dFaustine affirme : « Pour tester $113$, je dois essayer jusqu’à $13$. » A-t-elle raison ? Le nombre $113$ est-il premier ? Justifie.

Ex. 15★★★Les cartes de Malik — Malik a sept cartes numérotées : $1$ ; $2$ ; $9$ ; $15$ ; $17$ ; $23$ ; $39$.

1. aMalik dit : « $1$ et $2$ sont premiers. » Corrige-le, puis donne toutes les cartes qui portent un nombre premier. Justifie.
2. bCalcule $17 + 23$. Est-ce un nombre premier ? Explique pourquoi la somme de deux nombres premiers impairs n’est jamais un nombre premier.
3. cTrouve toutes les paires de cartes premières dont la somme est un nombre premier. Justifie.
4. dMalik ajoute une carte à deux chiffres : le chiffre des dizaines est $7$, celui des unités est effacé. Quels chiffres donnent un nombre premier ? Justifie.

Ex. 16★★★Le crible d’Inès jusqu’à 200 — Inès prolonge le crible d’Ératosthène aux nombres de $1$ à $200$, en barrant les multiples de chaque nombre premier dans l’ordre.

1. aAprès quel nombre premier Inès peut-elle s’arrêter de barrer des multiples ? Justifie.
2. bInès pense que $131$, $133$, $137$ et $139$ restent tous non barrés, car ils se terminent par $1$, $3$, $7$ ou $9$. A-t-elle raison ? Justifie.
3. cInès oublie de barrer les multiples de $11$. Quel nombre entre $180$ et $190$ reste alors non barré par erreur ? Justifie.
4. dLe nombre $193$ reste non barré à la fin. Justifie qu’il est premier.

Ex. 17★★★Divisions successives — Décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers par divisions successives, puis vérifie en recalculant le produit.

Ex. 18★★★Retrouver le nombre — Calcule le nombre qui a cette décomposition en produit de facteurs premiers.

Ex. 19★★★Premier ou produit caché ? — Décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers. Si le nombre est premier, justifie-le par des divisions.

Ex. 20★★★Décompositions d'élèves — Voici des décompositions écrites par des élèves. Pour chacune : est-elle juste ? Justifie, puis corrige si besoin.

1. aLéa : $180 = 2^{2} \times 9 \times 5$.
2. bTom : $72 = 2^{2} \times 3^{3}$.
3. cYanis : $350 = 1 \times 2 \times 7 \times 25$.
4. dNoah : $210 = 7 \times 2 \times 15$.

Ex. 21★★★Partir d'un produit connu — On veut décomposer des nombres en produit de facteurs premiers sans faire toutes les divisions.

1. aDécompose $36$ et $35$, puis déduis-en la décomposition de $1\,260 = 36 \times 35$.
2. bSacha part de $1\,260 = 28 \times 45$. Décompose $28$ et $45$ : trouve-t-il le même résultat ? Justifie.
3. cDécompose $1\,400$ en écrivant $1\,400 = 14 \times 100$.
4. dDécompose $40$, puis retrouve la décomposition de $1\,600 = 40 \times 40$. Que remarques-tu sur les exposants ?
5. e$2^{4} \times 3^{3}$ est-il le carré d'un nombre entier ? Justifie.

Ex. 22★★★Carreaux en carré — Hugo a $784$ petits carreaux et Clara en a $1\,176$. Chacun veut assembler tous ses carreaux, sans en laisser, en un grand carré plein. Un nombre est un carré s'il s'écrit $k \times k$, avec $k$ entier.

1. aDécompose $784$ en produit de facteurs premiers par divisions successives. Écris le résultat avec des exposants.
2. bÀ l'aide de ta décomposition, écris $784$ sous la forme $k \times k$. Combien de carreaux Hugo met-il sur chaque côté ?
3. cDécompose $1\,176$ en produit de facteurs premiers. Clara peut-elle former son carré ? Justifie avec les exposants.
4. dLes carreaux sont vendus en boîtes de $1\,176$ ; Clara en a déjà une. Combien de boîtes lui faut-il en tout, au minimum, pour former un carré plein ? Donne son côté.

Ex. 23★★★Ils ont l'air premiers — Noé et Zoé étudient deux nombres qui ont l'air premiers : $1\,547$ et $1\,859$.

1. aNoé affirme : « $1\,547$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, donc il est premier. » Vérifie ces trois critères. A-t-il raison ? Justifie.
2. bDécompose $1\,547$ en produit de facteurs premiers en testant ensuite $7$, $11$, $13$… Vérifie en recalculant le produit.
3. cZoé a écrit $1\,859 = 13 \times 143$. Son produit est juste, mais pourquoi sa décomposition n'est-elle pas finie ? Justifie.
4. dTermine la décomposition de Zoé. Écris-la avec des exposants, facteurs rangés dans l'ordre croissant, puis vérifie.

Ex. 24★★★Deux chemins, une seule décomposition — Pour décomposer $1\,080$, Inès part de $1\,080 = 24 \times 45$ et Malo part de $1\,080 = 30 \times 36$. Léo, lui, fait les divisions successives.

1. aDécompose $24$ et $45$, puis déduis-en la décomposition de $1\,080$ obtenue par Inès.
2. bDécompose $30$ et $36$, puis déduis-en la décomposition de Malo. Compare avec celle d'Inès : que remarques-tu ? Explique.
3. cLéo trouve les facteurs $2$, $2$, $2$, $3$, $3$, $3$, $5$, mais il écrit $1\,080 = 2 \times 3 \times 3^{3} \times 5$. Calcule son produit et explique son erreur.
4. dSans poser la multiplication $1\,080 \times 12$, donne la décomposition de $12\,960$. Vérifie ensuite en calculant le produit.

Ex. 25★★★Simplifier une fraction déjà décomposée — Automatismes. Supprime les facteurs communs, puis écris la fraction irréductible.

1. a$\dfrac{2^{2} \times 3 \times 7}{2 \times 3^{2}}$
2. b$\dfrac{3 \times 5}{3^{2} \times 5 \times 7}$
3. c$\dfrac{2^{4} \times 3}{2^{2} \times 3 \times 11}$
4. d$\dfrac{5^{2} \times 13}{2 \times 5^{3}}$
5. e$\dfrac{2 \times 3^{3} \times 7}{3 \times 7^{2}}$
6. f$\dfrac{2 \times 7 \times 11}{2 \times 7 \times 11 \times 13}$

Ex. 26★★★Le facteur qui manque — Automatismes. Décompose les nombres donnés, trouve le facteur qui manque, puis complète l'égalité.

Ex. 27★★★Décomposer pour rendre irréductible — Décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis rends la fraction irréductible.

Ex. 28★★★Quatre simplifications à vérifier — Chaque élève a simplifié une fraction. A-t-il raison ? Justifie, puis corrige si besoin.

1. aInès barre les deux chiffres 3 de $\frac{13}{39}$ et obtient $\frac{1}{9}$.
2. bNora écrit $\frac{2^{3} \times 7}{2 \times 7 \times 13} = \frac{1}{13}$ car « 2 et 7 sont en haut et en bas ».
3. cMalo écrit $\dfrac{2 \times 3 \times 11}{2^{2} \times 3^{2}} = \dfrac{11}{6}$.
4. dSacha écrit $\frac{60}{108} = \frac{30}{54} = \frac{15}{27}$ et affirme que $\frac{15}{27}$ est irréductible.

Ex. 29★★★Fractions égales et dénominateur commun — Utilise les décompositions en produits de facteurs premiers pour répondre.

1. aVrai ou faux ? $\frac{133}{209}$ et $\frac{91}{143}$ sont égales. Justifie.
2. bVrai ou faux ? $\frac{84}{120}$ et $\frac{105}{147}$ sont égales. Justifie.
3. cÉcris $\frac{5}{18}$ et $\frac{7}{24}$ avec le plus petit dénominateur commun possible.
4. dÉcris $\frac{3}{20}$ et $\frac{7}{45}$ avec le plus petit dénominateur commun possible.

Ex. 30★★★Tom s'arrête trop tôt — Tom simplifie $\frac{840}{1\,260}$ en plusieurs fois : il divise par 2, puis encore par 2, puis par 5. Il écrit $\frac{840}{1\,260} = \frac{420}{630} = \frac{210}{315} = \frac{42}{63}$ et s'arrête là.

1. aDécompose 42 et 63 en produits de facteurs premiers. La fraction $\frac{42}{63}$ de Tom est-elle irréductible ? Justifie.
2. bDécompose 840 et $1\,260$, puis rends $\frac{840}{1\,260}$ irréductible en une seule étape.
3. cPar quel nombre Tom aurait-il dû diviser directement le numérateur et le dénominateur ? Justifie à l'aide des décompositions.
4. dTom affirme : « Dans $\frac{70}{1\,260}$, tous les facteurs du haut disparaissent, donc la fraction vaut 0. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 31★★★L'astuce de Hugo — Pour simplifier, Hugo barre les chiffres ou les nombres identiques en haut et en bas. Teste son astuce avec les décompositions en produits de facteurs premiers.

1. aHugo barre les deux 6 de $\frac{16}{64}$ et trouve $\frac{1}{4}$. Rends $\frac{16}{64}$ irréductible avec les décompositions. Son résultat est-il juste ? Sa méthode l'est-elle ?
2. bHugo barre les deux 4 de $\frac{34}{48}$ et écrit $\frac{3}{8}$. A-t-il raison ? Justifie avec les décompositions.
3. cHugo barre les 5 de $\frac{5 + 9}{5 + 16}$ et obtient $\frac{9}{16}$. Calcule le numérateur et le dénominateur, rends la fraction irréductible, puis conclus.
4. dDans $\frac{5 \times 9}{5 \times 16}$, explique pourquoi on a le droit de supprimer les 5. La fraction obtenue est-elle irréductible ? Justifie.

Ex. 32★★★La plus forte proportion à la cantine — Dans le collège A, 98 élèves sur 252 mangent à la cantine. Dans le collège B, c'est 119 élèves sur 306, et dans le collège C, 65 élèves sur 156.

1. aDécompose 98, 252, 119 et 306. Les collèges A et B ont-ils la même proportion d'élèves qui mangent à la cantine ? Justifie.
2. bRends irréductible la fraction du collège C à l'aide des décompositions.
3. cLucas multiplie les dénominateurs des fractions irréductibles de A et de C. Trouve plutôt le plus petit dénominateur commun, puis dis quel collège a la plus grande proportion.
4. dLe collège D compte 228 élèves, avec la même proportion que le collège C. Combien d'élèves du collège D mangent à la cantine ?

Ex. 33★★★Lire les diviseurs sur la décomposition — On sait que $600 = 2^{3} \times 3 \times 5^{2}$. Sans poser de division, réponds et justifie avec la décomposition du diviseur.

1. a$600$ est-il divisible par $12$ ?
2. bVrai ou faux : « $3$ est un facteur de $600$, donc $600$ est divisible par $9$. » Justifie.
3. cLequel des deux nombres $40$ et $250$ est un diviseur de $600$ ? Justifie.
4. dPar quel plus petit nombre entier faut-il multiplier $600$ pour obtenir un multiple de $16$ ? Justifie.
5. e$600$ est-il divisible par $75$ ?
6. fÉcris $45$ en produit de facteurs premiers, puis explique pourquoi $45$ n'est pas un diviseur de $600$.

Ex. 34★★★Diviseur commun et multiple commun en ligne — Utilise les décompositions en produit de facteurs premiers. Calcule ce qui est demandé et donne le résultat sous forme d'un nombre.

1. aLe plus grand diviseur commun de $2^{3} \times 3 \times 7$ et de $3^{2} \times 7$.
2. bLe plus petit multiple commun de $2^{3} \times 3 \times 7$ et de $3^{2} \times 7$.
3. cÉcris tous les diviseurs communs de $3^{2} \times 5^{2}$ et de $3 \times 5 \times 11$.
4. dLe plus petit multiple commun de $2 \times 5^{2}$ et de $2^{2} \times 5 \times 13$.
5. eLe plus grand diviseur commun de $2^{4} \times 3$ et de $5 \times 7$.
6. fLe plus petit multiple commun de $2^{2} \times 11$ et d'un nombre $N$ plus petit que $88$ est $2^{3} \times 11$. Trouve $N$.

Ex. 35★★★Comparer des listes de diviseurs — Avec de petits nombres, on peut écrire les listes de diviseurs puis les comparer.

1. aÉcris la liste des diviseurs de $24$, puis celle des diviseurs de $42$.
2. bDéduis-en les diviseurs communs à $24$ et $42$, puis le plus grand d'entre eux.
3. cLila affirme : « Le plus grand diviseur commun de $13$ et $39$ est $1$, car $13$ est premier. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dEn écrivant leurs listes de diviseurs, trouve le plus grand diviseur commun de $27$ et $32$.

Ex. 36★★★L'erreur de Malik — Malik écrit : « $156 = 2^{2} \times 3 \times 13$ et $234 = 2 \times 3^{2} \times 13$. Le plus grand diviseur commun est $2^{2} \times 3^{2} \times 13 = 468$ et le plus petit multiple commun est $2 \times 3 \times 13 = 78$. »

1. aVérifie par divisions successives les décompositions de $156$ et de $234$.
2. bSans poser de division, explique pourquoi $468$ ne peut pas être un diviseur de $156$.
3. cCorrige Malik : donne le bon plus grand diviseur commun et le bon plus petit multiple commun de $156$ et $234$.
4. dInès propose $156 \times 234$ comme multiple commun. Calcule ce produit. Est-ce le plus petit multiple commun ? Justifie.

Ex. 37★★★Ranger 200 chaises — Pour un spectacle, Ben doit ranger $200$ chaises en rangées qui ont toutes le même nombre de chaises.

1. aDécompose $200$ en produit de facteurs premiers par divisions successives.
2. bComplète le tableau des diviseurs de $200$ : chaque case est le produit de son en-tête de ligne par son en-tête de colonne.

   ×	1	2	4	8
   1	?	?	?	?
   5	?	?	?	?
   25	?	?	?	?

3. cCombien de rangements différents Ben peut-il faire ? Tom répond « $3 + 2 = 5$ » : corrige-le.
4. dBen veut entre $15$ et $30$ chaises par rangée. Quelles possibilités a-t-il, et avec combien de rangées ?

Ex. 38★★★Le carrelage d'Amel — Amel veut carreler une salle rectangulaire de $588$ cm sur $420$ cm. Elle veut des carreaux carrés identiques, de côté entier en cm, sans aucune découpe.

1. aDécompose $588$ et $420$ en produit de facteurs premiers par divisions successives.
2. bHugo dit : « $588$ et $420$ sont pairs, donc des carreaux de $8$ cm conviennent. » A-t-il raison ? Justifie avec les décompositions.
3. cQuel est le côté des plus grands carreaux possibles ? Combien de carreaux faut-il alors ?
4. dCombien de longueurs de côté (en cm entiers) conviennent ? Justifie avec la décomposition, sans écrire de liste.

Ex. 39★★★Les deux roues dentées — Deux roues dentées tournent ensemble : la roue A a $40$ dents, la roue B en a $108$. Au départ, deux repères sont face à face. Ils se retrouvent face à face quand le nombre de dents passées est un multiple commun de $40$ et de $108$.

1. aDécompose $40$ et $108$ en produit de facteurs premiers.
2. bSarah prend tous les facteurs avec le plus petit exposant et trouve $540$. Montre que $540$ ne convient pas, puis corrige son calcul.
3. cLes roues tournent jusqu'à ce que $5\,000$ dents soient passées. Combien de fois les repères se retrouvent-ils face à face, sans compter le départ ?
4. dLors de leur première rencontre face à face, combien de tours chaque roue a-t-elle faits ?

Ex. 40★★★Les bouquets de Nora — Nora a $91$ roses et $60$ tulipes. Elle veut faire des bouquets identiques (même nombre de roses et même nombre de tulipes dans chaque bouquet) en utilisant toutes ses fleurs.

1. aNora pense que $91$ est un nombre premier. A-t-elle raison ? Justifie.
2. bÉcris la liste des diviseurs de $91$, puis celle de $60$. Nora peut-elle faire plusieurs bouquets ? Justifie.
3. cNora achète $14$ roses de plus. Quel est le plus grand nombre de bouquets possible ? Donne la composition d'un bouquet.
4. dZoé a $57$ marguerites et $19$ pivoines. Elle dit que, sans décomposer, elle peut faire au plus $19$ bouquets identiques. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 41★★★Diviseur commun ou multiple commun ? — Pour chaque situation, dis si tu cherches le plus grand diviseur commun ou le plus petit multiple commun, puis donne la réponse.

1. aLéa répartit 48 roses et 36 tulipes en bouquets identiques, sans reste. Combien de bouquets au maximum ?
2. bDeux sonneries retentissent ensemble. L'une sonne toutes les 10 min, l'autre toutes les 15 min. Dans combien de temps sonnent-elles de nouveau ensemble ?
3. cTom empile des cubes de 6 cm de haut, Zoé des cubes de 8 cm de haut. Quelle est la plus petite hauteur que leurs deux tours peuvent atteindre toutes les deux ?
4. dUne plaque de carton de 70 cm sur 50 cm est découpée en carrés identiques, les plus grands possibles, sans chute. Quel est le côté d'un carré ?
5. eDeux phares s'allument ensemble. L'un s'allume toutes les 25 s, l'autre toutes les 35 s. Dans combien de secondes s'allument-ils de nouveau ensemble ?
6. fUne corde de 45 m et une corde de 60 m sont coupées en morceaux de même longueur, les plus longs possibles. Quelle est la longueur d'un morceau ?

Ex. 42★★★Calculs en ligne avec les décompositions — Calcule, en t'aidant des décompositions en produit de facteurs premiers.

1. aLe plus grand diviseur commun de $2^{3} \times 3 \times 7$ et $2 \times 3^{2} \times 13$.
2. bLe plus petit multiple commun de $2^{2} \times 11$ et $2 \times 5 \times 11$.
3. cLe plus petit multiple commun de 52 et 78.
4. dLe plus grand diviseur commun de $3^{3} \times 7$ et $3^{2} \times 7^{2}$.
5. eLe plus petit multiple commun de $2^{3} \times 5$ et $2 \times 5^{2} \times 7$.
6. fLe plus grand diviseur commun de 110 et 154.

Ex. 43★★★Les sachets d'Inès — Inès a 126 bonbons au citron et 210 bonbons à la fraise. Elle veut faire des sachets identiques (même nombre de bonbons au citron, même nombre de bonbons à la fraise) en utilisant tous les bonbons.

1. aDécompose 126 et 210 en produit de facteurs premiers.
2. bInès peut-elle faire 12 sachets ? Justifie à l'aide des décompositions.
3. cÉcris tous les nombres de sachets possibles.
4. dQuel est le plus grand nombre de sachets identiques ? Donne alors le contenu d'un sachet.

Ex. 44★★★Deux lignes de bus — Au terminus, les bus des lignes A et B partent ensemble à 7 h 15. Un bus de la ligne A part ensuite toutes les 24 min, un bus de la ligne B toutes les 40 min.

1. aDécompose 24 et 40 en produit de facteurs premiers.
2. bLucas dit : « Ils repartiront ensemble au bout de $24 \times 40 = 960$ min. » A-t-il raison ? Justifie.
3. cAu bout de combien de temps les deux bus repartent-ils ensemble pour la première fois ? Donne la réponse en heures.
4. dÀ quelle heure a lieu ce départ commun ?
5. eLe service s'arrête à 20 h. À quelle heure a lieu le dernier départ commun ?

Ex. 45★★★Les cartes de Nora — Nora a entre 100 et 150 cartes. En paquets de 7, il ne reste aucune carte. En paquets de 4, il reste 1 carte. Son nombre de cartes n'est pas divisible par 3.

1. aÉcris tous les multiples de 7 compris entre 100 et 150.
2. bLesquels ont un reste de 1 dans la division par 4 ? Pose les divisions.
3. cCombien Nora a-t-elle de cartes ? Justifie.
4. dMaxime affirme que ce nombre est premier. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 46★★★Le carrelage de la salle de bains — Le sol d'une salle de bains est un rectangle de 432 cm sur 336 cm. Ben veut le couvrir avec des dalles carrées identiques, sans en couper aucune. Le côté d'une dalle est un nombre entier de centimètres.

1. aDécompose 432 et 336 en produit de facteurs premiers.
2. bLe magasin vend des dalles dont le côté est compris entre 10 cm et 30 cm. Donne tous les côtés possibles pour Ben.
3. cBen préfère finalement les dalles les plus grandes possibles. Quel est leur côté ? Combien de dalles lui faut-il ?
4. dLe vendeur affirme : « Des dalles de 36 cm conviennent, car 36 est un diviseur de 432. » A-t-il raison ? Justifie avec les décompositions.

Ex. 47★★★Les deux ferries — À 6 h 40, deux ferries quittent le port ensemble. Ensuite, un ferry A part toutes les 54 min et un ferry B toutes les 1 h 30 min. Les départs s'arrêtent à 20 h.

1. aConvertis 1 h 30 min en minutes, puis décompose 54 et ce nombre de minutes en produit de facteurs premiers.
2. bAu bout de combien de temps, au plus tôt, deux ferries A et B repartent-ils ensemble ? Donne la réponse en heures et minutes.
3. cÀ quelle heure ce départ commun a-t-il lieu ?
4. dUn ferry C part aussi à 6 h 40, puis toutes les 2 h 15 min. Part-il avec A et B lors de leur premier départ commun suivant ? Justifie avec une décomposition.
5. eCombien de fois dans la journée un ferry A et un ferry B partent-ils ensemble, en comptant le départ de 6 h 40 ?

Ex. 48★★★Les engrenages de la boîte à musique — Dans une boîte à musique, une roue A de 84 dents entraîne une roue B de 132 dents. Un repère est peint sur une dent de chaque roue. Au départ, les deux repères sont face à face.

1. aDécompose 84 et 120 en produit de facteurs premiers.
2. bCombien de dents, au minimum, doivent passer au point de contact pour que les repères soient de nouveau face à face ?
3. cCombien de tours chaque roue a-t-elle alors effectués ?
4. dLina affirme : « Après 7 tours de la roue A, les repères sont aussi face à face. » Vrai ou faux ? Justifie avec une décomposition.
5. eLa roue B fait un tour en 4 s. Au bout de combien de temps les repères sont-ils face à face pour la 4ᵉ fois, sans compter le départ ? Réponds en minutes et secondes.